STACIONARNO MAGNETNO POLJE – ELEKTROMAGNETNA · PDF fileELEKTROMAGNETNA SILA I VEKTOR...
Transcript of STACIONARNO MAGNETNO POLJE – ELEKTROMAGNETNA · PDF fileELEKTROMAGNETNA SILA I VEKTOR...
Elektromagnetizam STACIONARNO MAGNETNO POLJE –
ELEKTROMAGNETNA SILA I VEKTOR MAGNETNE INDUKCIJE
decembar 2013
Elektromagnetika- oblast elektrotehnike u kojoj se proučavaju jedinstvene elektromagnetne pojave.
Magnetne pojave, kao i električne, odavno su uočene. Međutim, tek početkom XIX veka otkrivena je njihova međuzavisnost.
Godine 1821. Ersted je otkrio da magnetna igla (kompas) skreće sa pravca sever-jug, ako se u njenoj blizini nalazi provodnik kroz koji protiče električna struja.
Delovanje električne struje nije lokalizovano samo u električnom kolu
(zagrijavanje provodnika, hemijske reakcije u bateriji), već se to djelovanje osjeća i van provodnika.
Kažemo da električna struja u okolnom prostoru stvara magnetno polje. Eksperimenti ukazuju da ovo magnetno polje, stvoreno strujom (elektricitetom u pokretu), ima sve osobine magnetnog polja koje potiče od permanentnog (stalnog) magneta.
Elektromagnetizam STACIONARNO MAGNETNO POLJE –ELEKTROMAGNETNA SILA I VEKTOR MAGNETNE INDUKCIJE
Čuveni naučnici toga doba, Andre-Mari Amper(1775-1836) i Faradej Michael (1791-1867), na osnovu mnogobrojnih eksperimenata, uspijevaju da shvate zakonitosti elektromagnetnih pojava i dolaze do saznanja da
nema električne struje bez magnetnog polja,
niti, magnetnog polja bez električne struje.
Te dvije pojave su delovi jedne jedinstvene elektromagnetne pojave.
U okolini stalnih magneta i provodnika kroz koje protiče električna struja opažaju se karakteristične, zajedničke, pojave:
a) Magnetna igla teži da se postavi u odredeni položaj, a gvozdeni i uopšte feromagnetni predmeti i stalni magneti su podvrgnuti dejstvu mehaničkih sila;
b) Provodnik kroz koji protiče električna struja biva podvrgnut dejstvu mehaničkih sila, koje nazivamo elektromagnetskim silama;
c) U provodnicima koji se relativno kreću u odnosu na stalne magnete ili strujna kola indukuju se elektromotorne sile.
Magnento polje predstavlja posebno stanje materijalne sredine u okolini provodnika sa strujom, odnosno magneta, koje se manifestuje dejstvom magnetne sile na provodnik sa strujom, koji se unese u prostor tog polja.
Drugim rečima, kada se u provodniku koji se nalazi u stranom magnentom polju, uspostavi stacionarna elektirčna struja, na njega deluju mehaničke sile, koje teže da ga pokrenu i deformišu.(vidljiva manifestacija magnentog polja od fudamentalnog je značaja za rad svih obrtnih električnih mašina).Sile koje se javljau u pojavama ovakve vrste nazivaju se elektromagnentnim silama F, jer su rezultat uzajamnog delovanja električne struje i magnetnog polja.
Magnetizam u materijalima
Magnetna polja koja se stvaraju usled protoka struje kroz provodnike navode
nas da se pitamo šta to uzrokuje da odreñeni materijali pokazuju jake
magnetne osobine.
Videli smo da se, na primer, jedan solenoid kroz koji protiče struja ponaša kao
da ima N i S pol magneta. Zapravo, svaka strujna petlja ili kontura stvara
magnetno polje i stoga ima magnetni moment dipola, uključujući i strujne
konture na atomskom nivou koje su definisane u nekim modelima atoma.
Tako se magnetni momenti namagnetisanih materijala mogu opisati polazeći
od ovih strujnih petlji na nivou atoma. Za Borov model atoma, ove strujne
petlje ili konture se povezuju sa kretanjem elektrona oko jezgra po kružnim
orbitama. Takoñe, magnetni moment je svojstven elektronima, protonima,
neutronima i ostalim česticama, a potiče od osobine koja se naziva spin, pa je
ukupni magnetni moment jednak sumi orbitalnog i spin magnetnog momenta.
Magnetni momenti atoma
Razmatramo klasični model atoma u kome se elektron kreće po kružnoj
putanji oko mnogo masivnijeg centralnog dela, koje se naziva jezgro. U ovom
modelu, elektron koji kruži oko jezgra formira tanku strujnu konturu i
magnetni moment elektrona se povezuje sa ovim orbitalnim kretanjem. Mada
ovakav model ima mnogo nedostataka, njegova predviñanja su u dobroj
saglasnosti sa tačnijom teorijom, definisanoj na nivou kvantne fizike.
m
Razmatramo kretanje elektrona konstantnom
brzinom v po kružnoj orbiti poluprečnika r oko
jezgra. Kako elektron za vreme T napravi pun krug
(preñe put 2πr), to je njegova brzina .
Struja I koja se povezuje sa ovim kruženjem
elektrona jednaka je količniku njegovog
naelektrisanja e i periode T, I=e/T. Kako je:
Trv /2π=
r
vT == ω
ωπ
;2
to je:
r
eve
T
eI
ππω
22===
Magnetni moment ove strujne konture je m=IA, gde je A=πr2 površina
zatvorena orbitom, odnosno:
rverr
evAIm
2
1
2
2 === ππ
S obzirom da je intenzitet orbitalnog ugaonog momenta elektrona ,
magnetni moment se može izraziti i kao:
rvmL e=
Lm
em
e
=
2
Magnetni moment elektrona je proporcionalan orbitalnom ugaonom momentu.
Kako je elektron negativno naelektrisan to su vektori i u suprotnim
smerovima, i oba vektora su normalna na ravan orbite.
Fundamentalno otkriće u kvantnoj fizici je da je orbitalni ugaoni moment
kvantovana veličina jednaka celobrojnim umnošcima ,
gde je h Plankova konstanta.
mr
Lr
Js1005.12/ 34−⋅== πhh
Najmanja nenulta vrednost magnetnog momenta elektrona koji potiče od
njegovog orbitalnog kretanja je:
h
em
em
22=
Kako sve materije sadrže elektrone, pitanje je zašto sve materije nisu
magnetne?
Glavni razlog je što se, za najveći broj materijala, magnetni moment jednog
elektrona u atomu poništava drugim, koji potiče od elektrona koji se kreće u
suprotnom smeru. Kao krajnji rezultat, za najveći broj materijala je magnetni
efekt, koji potiče od orbitalnog kretanja elektrona, ili jednak nuli ili je vrlo
slab. Elektroni imaju i svojstvenu osobinu,
okretanje oko svoje ose (spin), koja takoñe
doprinosi magnetnom momentu. Ugaoni
moment spina (iz kvantne teorije) je:
mspin h2
3=S
Magnetni moment koji potiče od spina elektrona je (naziva se još i Borov
magneton):
Magnetni momenti atoma se mogu izraziti kao umnošci Borovog magnetona.
U atomima koji sadrže veliki broj elektrona, parovi elektrona obično imaju
suprotne spinove, pa se spin magnetni momenti poništavaju. Kod atoma koji
imaju neparan broj elektrona, postoji najmanje jedan nespareni elektron, te
stoga i odreñeni spin magnetni moment. Ukupni magnetni moment atoma
jednak je vektorskom zbiru orbitalnih i spin magnetnih momenata.
Jezgro atoma takoñe ima magnetni moment, usled postojanja protona i
neutrona. Meñutim, magnetni momenti protona i neutrona su mnogo manji od
magnetnog momenta elektrona, zbog njihove značajno veće mase, i mogu se
zanemariti.
J/T1027.92
24−⋅=== Be
spin mm
em
h
Vektor gustine magnetnog momenta i
vektor jačine magnetnog polja
Stanje namagnećenosti neke materije se karakteriše veličinom koja se naziva
vektor gustine magnetnog momenta (negde i vektor magnetizacije).
Definiše se kao količnik ukupnog magnetnog momenta po jedinici
zapremine materijala. Kao što se može očekivati, ukupna magnetna indukcija
u nekoj tački unutar materijala zavisi i od primenjene (spoljašnje) magnetne
indukcije i od magnetizacije samog materijala.
Posmatrajmo neku oblast u kojoj strujni provodnik stvara magnetno polje
indukcije . Ako se sad ta oblast ispuni nekim magnetnim materijalom,
ukupna magnetna indukcija u oblasti je , gde je magnetna
indukcija koja potiče od samog magnetnog materijala. Ova magnetna
indukcija se može izraziti preko vektora gustine magnetnog momenta
, pa je ukupna magnetna indukcija:
Mr
mr
0Br
Br
mBBBrrr
+= 0 mBr
MBm
rr
0µ=
MBBrrr
00 µ+=
Kada se analizira magnetna indukcija koja potiče od magnetizacije materijala,
pogodno je uvoñenje jedne nove veličine, koja je nazvana jačina magnetnog
polja unutar materije. Jačina magnetnog polja izražava efekt koji provodne
struje u provodnicima imaju na materijal. Jačina magnetnog polja je vektor
koji se definiše kao:
Hr
MBB
Hr
rrr
−==00
0
µµNa osnovu ovog izraza, ukupna magnetna indukcija je:
)(0 MHBrrr
+= µ
U vakuumu je , pa izmeñu vektora magnetne indukcije i vektora jačine
polja postoji prosta veza:
0=Mr
HBrr
0µ=
Jedinice za vektor gustine magnetnog momenta i vektor jačine magnetnog
polja su iste, amper po metru, A/m.
Da bi bolje razumeli ove relacije, razmatrajmo oblast torusa kod torusnog
namotaja kroz koji protiče struja I. Ako je ta oblast vakuum, onda je
(zato što nije prisutan magnetni materijal), pa je ukupna magnetna indukcija
jednaka onoj koja potiče od struje . Kako je u oblasti torusa
, gde je n broj navojaka po jedinici dužine, to je:
U ovom slučaju, magnetna indukcija u oblasti torusa je usled struje u
namotaju torusa.
Ako je sad torus od nekog materijala, pri čemu i dalje protiče ista struja I kroz
namotaj, jačina magnetnom polja u torusu ostaje nepromenjena (jer zavisi
samo od struje) i ima vrednost nI. Ukupna magnetna indukcija se, meñutim,
razlikuje od one kada je u torusu bio vakuum. Deo magnetne indukcije
potiče od protoka struje kroz namotaj, a deo potiče od magnetizacije
materijala od kojeg je torus napravljen.
0=Mr
HBBrrr
00 µ==InB 00 µ=
InInB
H ===0
0
0
0
µµ
µ
Hr
Br
Hr
0µMr
0µ
Klasifikacija magnetnih materijala
U zavisnosti od svojih magnetnih osobina, svi materijali se mogu podeliti na
tri grupe:
� paramagnetici;
� dijamagnetici;
� feromagnetici.
Atomi materijala paramagnetika i feromagnetika imaju stalne magnetne
momente. Atomi dijamagnetika nemaju stalne magnetne momente.
Kod paramagnetika i dijamagnetika, vektor gustine magnetnog momenta
je proporcionalan jačini magnetnog polja. Ako se ovi materijali nalaze u
prisustvu spoljašnjeg magnetnog polja, za njih važi:
HMrr
χ=gde je χ bezdimenziona veličina koja se naziva magnetna susceptibilnost.
Mr
Za paramagnetike, χ je pozitivno i vektori i su u istom smeru. Za
dijamagnetike, χ je negativno pa je u suprotnom smeru od . Važno je
napomenuti da je ova linearna zavisnost izmeñu i ne važi za
feromagnetike.
Vektor magnetne indukcije se može izraziti i preko susceptibilnosti:
Mr
Mr
Mr
Hr
Hr
Hr
HHHMHBrrrrrr
)1()()( 000 χµχµµ +=+=+=
HHB r
rrr
0µµµ ==
Konstanta µ se naziva magnetna (apsolutna) permeabilnost i ima istu fizičku
prirodu kao µ0:
)1(0 χµµ +=
Konstanta µr se naziva relativna magnetna permeabilnost materijala,
neimenovan je broj, i za sve magnetne materijale, sem za dijamagnetike, je
veća od 1:
0/1 µµχµ =+=r
Vrednost relativne magnetne permeabilnosti za pojedine grupe magnetnih
materijala su:
� za paramagnetike je
� za dijamagnetike je
� za feromagnetike je
Magnetni efekti dijamagnetnih i paramagnetnih materijala su zanemarljivo
mali.
Za elektrotehniku, posebno važnu grupu magnetnih materijala čine
feromagnetici, u koje spadaju gvožñe, nikl i kobalt.
1>rµ1<rµ
1>>rµ
Feromagnetizam
Pod feromagnetnim se podrazumeva mala grupa materijala, kod kojih atomi
imaju stalne magnetne momente i pokazuju jake magnetne efekte. Ovi
materijali imaju atomske magnetne momente koji teže da se postave
paralelno jedni drugima, čak i u slučajevima slabih magnetnih polja. Nakon
što se magnetni momenti postave u odreñenom smeru, materija će ostati
namagnetisana i nakon ukidanja spoljašnjeg polja. Ovo prisutno uravnjavanje
ili upravljivanje je posledica jakih sprega izmeñu susednih momenata, što se
može objasniti samo na nivou kvantne fizike.
Karakteristično za feromagnetike je to što se odlikuju velikim vrednostima
relativne magnetne permeabilnosti, čak i preko 100000 za neke specijalne
legure. Takoñe, magnetna permeabilnost feromagnetika nije konstantna
veličina za dati materijal, jer ne postoji linearna zavisnost izmeñu vektora i
, kao kod paramagnetika i dijamagnetika.
Br
Hr
Svi feromagnetni materijali se sastoje od mikroskopskih oblasti koje se zovu
domeni. Domen je oblast u kojoj su svi vektori magnetnih momenata
poravnati. Ovi domeni imaju zapreminu oko 10−12 do 10−8 m3 i sadrže 1017
do 1021 atoma. Domeni različitih orjentacija magnetnih momenata su
meñusobno odvojeni granicama domena. U nemagnetisanom uzorku, domeni
su proizvoljno orjentisani tako da je ukupni magnetni moment jednak nuli.
Kada se uzorak nañe pod uticajem spoljašnjeg magnetnog polja, magnetni
momenti domena teže da se postave u smeru polja, što za rezultat ima
namagnetisani uzorak.
Istraživanja su pokazala da se domeni, koji su u početku imali orjentaciju u
pravcu kasnije uspostavljenog spoljašnjeg magnetnog polja , šire na račun
onih domena sa drugačijom orjentacijom vektora magnetnog momenta.
Nakon što se ukloni spoljašnje magnetno polje, uzorak može zadržati ukupnu
gustinu magnetnog momenta u smeru spoljašnjeg polja. Pri uobičajenim
temperaturama okoline, vibracije kristala usled temperature nisu dovoljne da
naruše ovu željenu orjentaciju magnetnih momenata.
0Br
Metod za eksperimentalno odreñivanje karakteristika
magnećenja: Materijal koji se ispituje se koristi za
pravljenje torusa, oko koga se namota N navojaka žice.
Navojci koji su crno obojeni na slici se odnose na
primarni namotaj. Sekundarni namotaj (crvena boja),
koji je povezan sa galvanometrom, se koristi za merenje
ukupnog magnetnog fluksa kroz torus (posebna vrsta
galvanometara koji se još naziva i teslametar se koristi
za merenje magnetne indukcije). Magnetna indukcija
u torusu se meri povećavanjem jačine struje u torusnom
namotaju od 0 do I.
Sa promenom struje u primarnom namotaju, menja se magnetni fluks BA kroz
sekundarni namotaj, gde je A površina poprečnog preseka torusnog namotaja.
Usled promene magnetnog fluksa, u sekundarnom namotaju se indukuje
elektromotorna sila koja je proporcionalna brzini promene fluksa. Ako je
galvanometar odgovarajuće kalibrisan, može se izmeriti odgovarajuća
vrednost magnetne indukcije B koja odgovara bilo kojoj vrednosti struje kroz
primarni namotaj.
Magnetna indukcija B se meri prvo u odsustvu torusa (jezgra), a zatim sa
torusom (jezgrom). Magnetne osobine torusa se dobijaju poreñenjem rezultata
ova dva merenja.
Neka je torus napravljen od nemagnetisanog gvožña. Ako se struja u
primarnom namotaju povećava od 0 do neke vrednosti I, jačina magnetnog
polja H će se linearno povećavati sa I prema izrazu:
InH =
Vrednost magnetne indukcije B se takoñe povećava sa povećanjem struje, što
je na slici prikazano krivom od tačke O do tačke a. U tački O, domeni gvožña
su proizvoljno orjentisani ( ). Kako porast struje u primarnom
namotaju uzrokuje povećanje spoljašnjeg polja B0, domeni se upravljaju u
smeru tog polja sve dok se svaki od njih ne usmeri ka smeru B0 (tačka a). U
ovoj tački je magnetna indukcija u jezgru od gvožña dostigla saturaciju, uslov
koji se postiže kad se svi domeni u gvožñu poravnaju.
0=mBr
Kriva magnećenja feromagnetnog materijala
Neka se sad struja kroz primarni namotaj smanji na nulu,
što znači da će nestati i spoljašnjeg polja B0. B(H) kriva,
ili kriva magnećenja, sad sledi put ab na krivoj
magnećenja. U tački b, magnetna indukcija nije jednaka
nuli iako je spoljašnje polje B0=0. Ovo je usled toga što je
gvožñe sada namagnetisano, veliki broj domena je
upravljen, pa je B=Bm. Za ovu tačku se kaže i da gvožñe
ima zaostali ili remanentni magnetizam, a indukcija u toj
tački je remanentna indukcija i često se označava sa Br.
Ako struja u primarnom namotaju promeni smer, menja se i smer jačine
spoljašnjeg magnetnog polja i magnetne indukcije, domeni se preorjentišu sve
dok uzorak ponovo ne bude nemagnetisan (tačka c), kada je B=0. Jačina
magnetnog polja pri kojoj se to dešava se naziva koercitivno polje Hc.
Povećanje inverzne struje uzrokuje da se gvožñe magnetiše u suprotnom
smeru, sve dok indukcija ne dostigne saturaciju u tački d. Slična sekvenca
dogañaja se dešava kada se struja sada vraća na nulu i dalje povećava u
pozitivnom smeru. U ovom slučaj, kriva magnećenja sledi put def sa slike. Ako
se struja dovoljno poveća, kriva magnećenja se vraća u tačku a, u kojoj je
uzorak maksimalno namagnetisan.
Opisani ciklus, koji se naziva magnetni histerezis ili ciklus histerezisa,
pokazuje da magnetizacija feromagnetnog materijala zavisi od istorije
materijala, kao i od primenjenog polja. Još se i kaže da feromagnetik ima
memoriju zato što ostaje namagnetisan i kad se ukloni izvor spoljašnjeg
magnetnog polja. Zatvorena petlja na B(H) krivoj se naziva i histerezisna
petlja. Njen oblik i veličina zavisi od feromagnetnog materijala i od
maksimalne jačine primenjenog polja. Razlikuju se tvrdi (slika a) i meki
feromagnetici (slika b):
Za tvrde feromagnetike je karakteristično da imaju široku histerezisnu petlju i
veliku vrednost remanentne indukcije. Takvi materijali se teško
demagnetizuju pomoću spoljašnjih polja. Pogodni su za izradu permanentnih
magneta.
Meki feromagnetici imaju usku histerezisnu petlju i malu vrednost
remanentne magnetne indukcije, pa ih je lako namagnetisati i demagnetisati
(razmagnetisati). Idealni mek feromagnetik ne pokazuje histerezisno
ponašanje, te stoga nema remanentnu indukciju. Najčešće se koriste za izradu
transformatora i električnih mašina, jer su gubici usled histerezisa srazmerni
površini njegovog ciklusa.
Feromagnetni materijal se može razmagnetisati
provoñenjem materijala kroz nekoliko histerezisnih
petlji, pri čemu se svaki put menja maksimalna
jačina spoljašnjeg magnetnog polja.
Definicije magnetne permeabilnosti
feromagnetika
Kada se nacrtaju ciklusi histerezisa za različite vrednosti maksimalne jačine
magnetnog polja Hm i njihovi vrhovi u prvom kvadrantu povežu, dobija se
kriva koja se naziva osnovna kriva magnećenja.
Odnos magnetne indukcije i jačine polja na osnovnoj krivoj magnećenja
definiše normalnu permeabilnost feromagnetika:
Diferencijalna permeabilnost se definiše kao diferencijalni količnik u nekoj
tački krive magnećenja:
H
B=µ
dH
dB=µ
Početna permeabilnost je diferencijalna permeabilnost prvobitne krive
magnećenja u koordinatnom početku.
Kad se prilikom snimanja krive magnećenja proces promene jačine polja za
trenutak zaustavi i jačina polja promeni za malu vrednost ∆H u suprotnom
smeru i zatim vrati na prvobitnu vrednost, obrazovaće se jedna mala
histerezisna petlja. Količnik:
definiše reverzibilnu permeabilnost.
H
Bu ∆
∆=µ
Paramagnetizam
Paramagnetni materijali imaju malu, ali pozitivnu vrednost magnetne
susceptibilnosti koja potiče od prisustva atoma koji imaju stalne magnetne
momente. Ovi momenti meñusobno slabo reaguju i u odsustvu spoljašnjeg
polja su proizvoljno orjentisani. Kada se paramagnetni materijal nañe u
prisustvu spoljašnjeg magnetnog polja, magnetni momenti atoma (ili jona)
teže da se uprave u smeru polja. Ovaj proces se odvija istovremeno sa
termičkim kretanjem atoma koje teži haotičnoj raspodeli magnetnih
momenata. Pierre Curie je eksperimentalno pokazao da je, pod odreñenim (i
ne tako malobrojnim) uslovima, magnetizacija (odnosno gustina magnetnog
momenta) paramagnetnog materijala proporcionalna primenjenom
magnetnom polju i obrnuto proporcionalna apsolutnoj temperaturi:
Ova relacija je poznata kao Kirijev zakon, a C je Kirijeva konstanta.
T
BCM 0=
Zakon pokazuje da je za B0=0 gustina magnetnih momenata jednaka nuli,
M=0, što odgovara proizvoljnoj orjentaciji magnetnih momenata. Kako odnos
B0/T postaje veći, M dostiže svoju saturacionu vrednost, što odgovara
potpunoj upravljenosti magnetnih momenata, i jednačina više nije opravdana.
Kad temperatura feromagnetika dostigne ili
prevaziñe Kirijevu temperaturu, materijal gubi
svoju preostalu magnetizaciju i postaje
paramagnetik. Ispod Kirijeve temperature,
magnetni momenti su upravljeni i materijal je
feromagnetik. Iznad Kirijeve temperature,
dominantno je termičko kretanje koje
uzrokuje proizvoljnu orjentaciju momenata.
89331763113941043TCurie (K)
materijal Fe2O3gadolinijumniklkobaltgvožñe
DijamagneticiPrimenom spoljašnjeg magnetnog polja na dijamagnetni materijal, pojavljuje
se slabi magneti moment u smeru koji je suprotan primenjenom polju. Ovo
uzrokuje da dijamagnetni materijali budu slabo odbijeni od magneta. Iako je
ovaj efekt prisutan u svim materijalima, mnogo je manji od efekata
karakterističnih za paramagnetike ili feromagnetike, i postaje uočljiv jedino
kada drugi efekti ne važe.
Kod klasičnog modela atoma, pretpostavimo da dva elektrona kruže oko
jezgra u suprotnim smerovima, ali istom brzinom. Kako su magnetni momenti
elektrona jednaki po intenzitetu, ali suprotnih smerova, oni se meñusobno
poništavaju. Kada se primeni spoljašnje magnetno polje, na elektrone ne
deluje više samo elektrostatička sila usled protona u jezgru, već i dodatna sila
. Ova dodatna sila, zajedno sa elektrostatičkom, povećava orbitalnu
brzinu elektrona čiji je magnetni moment antiparalelan polju i smanjuje brzinu
elektrona čiji je magnetni moment u smeru polja. Magnetni momenti
elektrona više se ne poništavaju, a materijal ima ukupni magnetni moment
koji je suprotan primenjenom polju.
Bvqrr
×
Dijamagnetici su: drvo, voda, pirolitički grafit, bizmut, srebro, zlato,....
Granični uslovi na razdvojnoj površini
materijala sa različitim magnetnim osobinama
A∆ 1nr
2nr
1Br
2Br
Da bi odredili ponašanje normalnih
komponenata vektora magnetne
indukcije, primenićemo zakon o
konzervaciji magnetnog fluksa. Ako
∆h teži nuli, fluks vektora magnetne
indukcije se svodi samo na osnovice
valjka, pa je:
02211 =∆⋅+∆⋅=⋅∫ AnBAnBAdB
A
rrrrrr
Ako se uvede zajednički jedinični vektor , onda je:nnnrrr
=−= 21
nBnBrrrr⋅=⋅ 21
odnosno:
nn BB 21 = 1. uslov
Normalne komponente vektora magnetne indukcije s jedne i druge strane
granične površine su jednake.
Ponašanje tangencijalnih komponenata
jačine magnetnog polja se može lako
odrediti ako se Amperov zakon primeni
na elementarnu pravougaonu konturu
ABCD.
02211 =∆⋅+∆⋅=⋅∫ lHlHldH
ABCD
rrrrrr
Ako je , prethodna relacija je:
lHlHrrrr
∆⋅=∆⋅ 21
lllrrr
∆=∆−=∆ 21
2lr
∆
1lr
∆
2
1
Jednačina može biti zadovoljena samo ako su tangencijalne komponente
vektora jačine magnetnog polja jednake:
tgtg HH 21 = 2. uslov
Pošto u linearnim i izotropnim magneticima važi veza , 1. uslov
se može napisati u formi:
HBrr
µ=
nn HH 2211 µµ = 3. uslov
Normalne komponente vektora jačine magnetnog polja skokovito se
menjaju pri prolasku kroz graničnu površinu.
Granični uslov 2 se može napisati u formi:
2
2
1
1
µµtgtg BB
= 4. uslov
Tangencijalne komponente vektora električne indukcije se skokovito
menjaju kroz graničnu površinu.
n
tg
n
tg
B
B
B
B
2
2
21
1
1 tgtg == αα
2
1
2
1
tg
tg
µµ
αα
=
Pri prelazu iz sredine sa većom magnetnom permeabilnošću u
sredinu sa manjom magnetnom permeabilnošću, linije magnetnog
polja se priklanjaju ka normali.
1µ
2µ
1Br
2Br
1α
2α
Deobom ova dva izraza i uz granične uslove 1
i 4, dobija se zakon prelamanja linija
magnetnog polja: