Stable Real-Time Deformations - Korea...

Stable Real-Time Deformations

Copyright of figures and other materials in the paper belongs original authors.

Presented by Yang,Daebong

2015.08.11

Computer Graphics @ Korea University

Matthias Muller et al.

Proceedings of the 2002 ACM SIGGRAPH / EurographicsSymposium on Computer Animation

Yang, Daebong | 2015. 08.11 | # 2Computer Graphics @ Korea University

Contents

• 2. Modeling Deformation

• Abstract & 1. Introduction

• 3. Stiffness Warping

• 4. Result

• 5. Conclusion

2. Modeling Deformation


• Deformation Modeling

𝑀 =𝑚1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 𝑚𝑛

, C =𝐶1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 𝐶𝑛

Internal force function F 𝐱 − x𝟎 = f𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐 = [f1 f2 … f𝑛]𝑇

Deformed position x = [x1 x2 …x𝑛]𝑇

Original position x0 = [x01 x02 …x𝑛]𝑇

• n차 상미분 방정식 → n개의 1차 연립 상미분 방정식 → Integration (※ Explicit Euler or Implicit Euler method)


2.1 Dynamic Deformation

※ n : # of vertex


• n차 상미분 방정식 → n개의 1차 연립 상미분 방정식 → Integration (※ Explicit Euler or Implicit Euler method)


2.1 Dynamic Deformation (Integration)

Implicit Euler Method

Explicit Euler ( ※ un-stable, 추가적인 Constraint 필요)


• Elastic Force F 𝐱 − x𝟎 = f𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐 = [f1 f2 … f𝑛]𝑇

• Non - Linear elastic force & Linear elastic force


2.2 Non-Linear Elasticity, 2.3 Linear Elasticity

Green Strain tensor → F 𝐱 − x𝟎 : non-linear function

Infinitesimal Strain tensor → F 𝐱 − x𝟎 : linear function

※ 𝜖 : strain tensor, 𝜎 : strass tensor

1

2 𝑉 𝜖

𝑇𝜎 𝑑𝑉


• Strain measure ( ※ See Appendix A )



𝜖𝑥𝑥

𝜖𝑦𝑦

𝜖𝑧𝑧

𝜖𝑥𝑦

𝜖𝑥𝑧

𝜖𝑦𝑧

𝜖𝑥𝑥

𝜖𝑦𝑦

𝜖𝑧𝑧

𝜖𝑥𝑦

𝜖𝑥𝑧

𝜖𝑦𝑧

Green Strain Tensor (Non-linear) Infinitesimal Strain Tensor (Linear)


• Non – Linear Elasticity

장점• Large Rotational Deformation이 일어 났을 경우에도 정확히 Simulation을 수행

단점

• Implicit Euler Method 적용 시, 매 Time step 마다 Stiffness Matrix(※K =𝝏𝑭

𝝏x )를 재계산 해주어야 함

• “Stiffness Matrix 계산 수행”은 Simulation Cost가 상당히 큼

• Linear Elasticity

장점• Implicit Euler Method 적용 시, Stiffness Matrix가 상수가 되므로, 최초 한번만 계산

• 따라서, Simulation Cost를 낮출 수 있고, Real-Time Simulation이 가능

단점• Rest Shape으로 부터 tension/compression 또는 Rigid body translate 의 경우에만

적절한 결과를 냄

• Large Rotation Deformation이 일어났을 경우, Artifact 발생



Green Strain tensor

Infinitesimal Strain tensor

Abstract, 1. Introduction


• The linear strain measure → fast and stable simulation

Large Rotational Deformation이 일어 났을 경우, Artifact 발생

• Artifact를 발생시키지 않기 위해, Non-linear strain measure 사용

Non-linear strain measure를 사용했을 경우, Simulation cost 높음

Non-linear system 을 풀기 위한 수치해석 기법 적용 시, 불안정한Simulation을 초래 할 수 있음

Abstract, 1. Introduction

Green bar : non-linear strainBlue bar : our approachRed bar : linear strain


Abstract, 1. Introduction (Contribution)

• Linear strain measure 를 사용하여, 상수 Stiffness Matrix 를 적용

Simulation Cost를 낮춤으로서 Real-Time이 가능하게 함

• Stiffness Warping

Linear Strain measure를 사용하고, Large Rotational Deformation이 발생 했을 경우의Artifact를 해결하는 기법 제안

- 𝑅𝑏 : Global Rigid body rotation matrix- 𝑅𝑖 : Local Rotation matrix


• Physically based models with rigid and deformable components

[ Terzopoulos et al / CGA 1988 ]

• Artdefo, accurate real time deformable objects

[ James and Pai / SIGGRAPH 99 ]

• Dynamic real-time deformations using space & time adaptive sampling

[ Debunne et al / SIGGRAPH 01 ]

1. Introduction

1.1 Related Work

Hybrid model = Rigid component + Deformable component

Single Rotation Matrix 사용

• 회전이 일어나지 않은 작은 부분도 회전행렬이 적용 됨

Linear Elasticity + Boundary Element Method

• Large rotational deformation 발생 시, Artifact 발생

Multi – Resolution hierarchy of tetrahedral mesh

변형이 일어 나는 부분만 고해상도 mesh를 사용하여 detail 과성능을 효율적으로 고려함

• 본 논문은 성능향상을 위해, 위 기법을 사용했음

3. Stiffness Warping


3. Stiffness Warping (Internal Force)

• 한 개의 tetrahedral element 의 elastic force

• Linear elasticity 의 경우, Rest Shape(= x0)에서 Deformed Shape (=x) 까지 변형 중tensile/compression 또는 Rigid body Translate만 일어난 경우에만 적절한 결과를얻을 수 있음

※𝝏𝑭

𝝏x= K ∈ R𝟏𝟐 𝒙 𝟏𝟐, f𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄 ∈ R

𝟏𝟐 𝒙 𝟏, x ∈ R𝟏𝟐 𝒙 𝟏, x𝟎 ∈ R𝟏𝟐 𝒙 𝟏

z

x

y

f𝟎

f𝟑f2

f𝟏※


• 반면에, x0 에서 x 의 변형 중, 회전이 섞여 있다면 → Artifact 발생

• Rigid body Transformation 의 Rotation Matrix(=𝑹𝒙) 으로부터 𝑹𝒆 행렬 생성

3. Stiffness Warping (Rotation Matrix)

※ 𝑹𝒆 ∈ R𝟏𝟐 x 𝟏𝟐, 𝑹𝒙 ∈ R

𝟑 x 𝟑

𝑅𝑥−1x − x0

𝑅𝑥−1

Stiffness warping

※ 회전이 적용되지 않은 좌표계에서Internal force를 구함 으로 써, Artifact 제거


• 따라서, 각 vertex 𝑖 의 internal force f𝑖 는 다음 과 같다

• Sub-matrix 𝒌𝒊𝒋 ( 3𝑖 -2 ≤ 𝒗 ≤ 3𝑖 and 3j - 2 ≤ 𝑤 ≤ 3𝑗)

• 각 vertex의 internal force를 계산하기 위한 Global Stiffness Matrix 𝑲 의 부분 행렬

• 동일한 방법을 전체 메쉬에 적용

3. Stiffness Warping (Entire Mesh)

※ 𝑖 ∈ (1…4)

※ 𝑖 ∈ (1…𝑛)


• (Local) Rotation Tensor Field

• 각 Vertex의 전체 Mesh의 해당하는 Rotation Matrix(=𝑹𝒙)가 아닌, 지역적으로 적용된Rotation Matrix (𝑹𝒊) 를 적용하여, 좀 더 정확한 결과를 근사


3.1 Rotation Tensor Field

𝑅𝑥𝑅𝑖


1. 주어진 vector 집합 {𝑢𝑖} , {𝑣𝑖} 으로부터, 행렬 𝑭 ∈ R𝟑 𝒙 𝟑 는 다음과 같다

2. 𝑭 에 SVD(Singular value decomposition),를 적용하면 𝑭 = 𝑼𝑺𝑽𝑻 이고, 따라서 각 Vertex에 대응하는 Rotation Matrix는 다음과 같다


3.1 Rotation Tensor Field (Cont)

• Lasenby et al [ New geometric methods for computer vision / Comp. Vision 98]이제안한 기법 사용

p4p1 u4

u2u3

u1

p2p3

p0

Rest Shape

v4

v2v3

v1p’4p’1

p’2p’3

p’0

Deformed Shape

※ 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3 is orthonormal based vector of R𝟑

(직교 좌표계에서 𝑛1 = 𝑒1, 𝑛2 = 𝑒2, 𝑛3 = 𝑒3 )



3.1 Rotation Tensor Field (A simpler and faster technique)

• 본 논문이 제안하는 좀 더 간단하고 빠른 방법

• 𝑛1 : Vertex에 연결 된 임의의 Edge중 3개를 선택하여 평균

𝑛1 =1

3𝑒1+𝑒2+𝑒3

1

3𝑒1+𝑒2+𝑒3

• 𝑛2 : 𝑛1 과 선택된 Edge 중 한 개와 외적

𝑛2 = 𝑐𝑟𝑜𝑠𝑠(𝑛1 , 𝑒)

• 𝑛3 : 𝑛1 과 𝑛2 의 외적

𝑛3 = 𝑐𝑟𝑜𝑠𝑠(𝑛1 , 𝑛2)

• 동일한 절차를 Deformed Shape에서 적용한 후

단, Deformed Shape에서 선택 될 Edge들은 Rest Shape에서 선택된 Edge와 동일한위상정보를 가진 Edge들이 선택되어야 함



3.2 The Algorithm

4. Result


4. Result

4.1 The Bars

• Rectangular bar : 450 tetrahedral elements (4 x 4 x 11 vertices)

Elastic modulus E : 105 N/m2 , Poisson ratio ν : 0.33

• The time to compute on time step

Linear case : 5ms

Stiffness warping case : 6ms

Non-linear case : 12ms


4. Result

4.1 The Bars (Experiment Result)

• Linear Model의 경우 Volume 이 증가하는 Artifact를 보여줌

• Non-Linear model과 본 논문의 기법이 적용 된 경우, Volume이 정확히 유지 되는 것을 알 수있음

• 위 표는 본 논문의 기법이 Linear Model만큼 빠르고, Volume Conservation에 있어, Non-Linear Model 만큼 정확하다는 것을 보여줌


4. Result

4.2 A Simple Tube

• The tube : 1,000 tetrahedral element (50cm x 13cm in size)

Density ρ : 1 g/ cm3 , Poisson ratio ν : 0.33

• 충돌이 일어난 경우, time step 값 에 따라 Simulation이 unstable 할 가능성이 있음

Time step 값은 stiffness (Young’s Modulus E)에 영향을 받음


4. Result

4.3 The Bunny, 4.4 The Great Dane


결과 영상

5. Conclusion


5. Conclusion

• Linear Strain Measure 를 적용했음에도 불구하고, Large Rotational Deformations 이발생하여도, 안정적이고, 빠른 시뮬레이션을 수행할 수 있는 기법 제안

• 본 논문의 Deformable Body Simulation 를 근간으로, Fracture Simulation 적용을Future Work로 남김

Fracture 발생 시, Stiffness Matrix의 전체를 업데이트 하는 것이 아니라, 일부분만업데이트 하므로, 성능 하락에 크게 영향을 안 미칠 것이라고 기대

Interactive Virtual Materials

• [Matthias Muller et al / GI '04 Proceedings of Graphics Interface 2004 ]

Appendix A


2D Element Stiffness Matrix 𝒌𝒆(using Minimum Potential Energy Principle)

𝑥

𝑦

• Internal force & displacement Relationship

f𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄 𝟔 𝒙 𝟏 = 𝒌𝒆𝟔 𝒙 𝟔 𝒖 𝟔 𝒙 𝟏 (※ 𝒖 = x − x𝟎)

f𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄 𝟐𝒏 𝒙 𝟏 = 𝑲 𝟐𝒏 𝒙 𝟐𝒏 𝒖 𝟐𝒏 𝒙 𝟏 (※ 𝒖 = x − x𝟎)


Displacement field {u}

f1x

f1y

f2x

f2y

f3x

f3y

{𝒖} =𝑢(𝑥, 𝑦)𝑣(𝑥, 𝑦) 𝒖𝟐 =

𝑢(𝑥3, 𝑦3)𝑣(𝑥3, 𝑦3)

𝒖𝟑 =𝑢(𝑥3, 𝑦3)𝑣(𝑥3, 𝑦3)

𝒖𝟏 =𝑢(𝑥1, 𝑦1)𝑣(𝑥2, 𝑦2)


Linear shape function

• 요소 내부 임의의 한 점에서의 변위

※ linear shape function

※


Linear shape function (cont)



{𝒖} =𝑢(𝑥, 𝑦)𝑣(𝑥, 𝑦)


Strain – Displacement relationship


Minimum Potential Energy Principle

• Total potential energy


2D Element Stiffness Matrix 𝒌𝒆

• Minimum Potential Energy Principle

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