Stabilit¨at von Runge-Kutta-Verfahren · Stabilit¨at von Runge-Kutta-Verfahren Tobias Jahnke...
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
Stabilitat von Runge-Kutta-Verfahren
Tobias Jahnke
Vorlesung Numerische Methoden fur Differentialgleichungen
Wintersemester 2011/12
Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
Dahlquistsche Testgleichung
y = λy , y(0) = 1
Beispiel 1: λ = −2 nicht steifBeispiel 2: λ = −100 steifBeispiel 3: λ = i isometrieerhaltend
Numerische Verfahren
Explizites Euer-VerfahrenImplizites Euler-Verfahren (A-stabil, L-stabil)Implizite Mittelpunktsregel (A-stabil, isometrieerhaltend)
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
Beispiel 1: λ = −2
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
y
h = 0.1, lambda = −2
exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
Beispiel 2: λ = −100
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
t
y
h = 0.1, lambda = −100
exaktexpliziter Euler
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
t
y
h = 0.025, lambda = −100
exaktexpliziter Euler
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
y
h = 0.02, lambda = −100
exaktexpliziter Euler
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
y
h = 0.0125, lambda = −100
exaktexpliziter Euler
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
y
h = 0.01, lambda = −100
exaktexpliziter Euler
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
y
h = 0.005, lambda = −100
exaktexpliziter Euler
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
Implizites Euler-Verfahren und implizite Mittelpunktsregel
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
y
h = 0.1, lambda = −100
exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel
Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
y
h = 0.05, lambda = −100
exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
y
h = 0.025, lambda = −100
exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
y
h = 0.0125, lambda = −100
exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
y
h = 0.005, lambda = −100
exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
Illustration der Konvergenzordnung
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
10−3
10−2
10−1
10−7
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
Schrittweite h
max
. Feh
ler
Konvergenz fuer lambda = −2
expliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregelHeun
10−3
10−2
10−1
10−5
100
105
1010
1015
1020
Schrittweite h
max
. Feh
ler
Konvergenz fuer lambda = −100
expliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregelHeun
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
10−3
10−2
10−1
10−7
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
Schrittweite h
max
. Feh
ler
Konvergenz fuer lambda = −2
expliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregelHeun
10−3
10−2
10−1
10−4
10−3
10−2
10−1
100
101
102
Schrittweite h
max
. Feh
ler
Konvergenz fuer lambda = −100
expliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregelHeun
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
Ein weiteres Beispiel zur L-Stabilitat
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
Anfangswertproblem: y = −2000(y(t)− cos(t)
), y(0) = 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
t
h = 0.04
exaktimpliziter EulerMittelpunktsregel
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
Anfangswertproblem: y = −2000(y(t)− cos(t)
), y(0) = 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
t
h = 0.02
exaktimpliziter EulerMittelpunktsregel
Tobias Jahnke Karlsruher Institut fur Technologie
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
Anfangswertproblem: y = −2000(y(t)− cos(t)
), y(0) = 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
t
h = 0.01
exaktimpliziter EulerMittelpunktsregel
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
Beispiel 3: λ = i
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2
0
2
t
y
Realteil, h = 0.2, lambda = 0+1i
exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2
0
2
t
y
Imaginärteil, h = 0.2, lambda = 0+1i
exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel
−2 0 2−2
−1
0
1
2
Realteil
Imag
inär
teil
−2 0 2−2
−1
0
1
2
Realteil
Imag
inär
teil
−2 0 2−2
−1
0
1
2
RealteilIm
agin
ärte
il
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2
0
2
t
y
Realteil, h = 0.1, lambda = 0+1i
exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2
0
2
t
y
Imaginärteil, h = 0.1, lambda = 0+1i
exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel
−2 0 2−2
−1
0
1
2
Realteil
Imag
inär
teil
−2 0 2−2
−1
0
1
2
Realteil
Imag
inär
teil
−2 0 2−2
−1
0
1
2
RealteilIm
agin
ärte
il
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2
0
2
t
y
Realteil, h = 0.05, lambda = 0+1i
exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2
0
2
t
y
Imaginärteil, h = 0.05, lambda = 0+1i
exaktexpliziter Eulerimpliziter EulerMittelpunktsregel
−2 0 2−2
−1
0
1
2
Realteil
Imag
inär
teil
−2 0 2−2
−1
0
1
2
Realteil
Imag
inär
teil
−2 0 2−2
−1
0
1
2
RealteilIm
agin
ärte
il
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Numerische Methoden fur Differentialgleichungen Wintersemester 2011/12
Stabilitat von Runge-Kutta-Verfahren
Tobias Jahnke
Vorlesung Numerische Methoden fur Differentialgleichungen
Wintersemester 2011/12
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