Stabilità per E.D.O. (I): STABILITÀ LINEARIZZATA Marina Mancini 19-Maggio-2006.
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Stabilità per E.D.O. (I):Stabilità per E.D.O. (I):
STABILITÀ LINEARIZZATASTABILITÀ LINEARIZZATA
MarinaMarina ManciniMancini19-Maggio-200619-Maggio-2006
22
Sistema autonomoSistema autonomo
Consideriamo un sistema di equazioni ed incognite:Consideriamo un sistema di equazioni ed incognite:
..
..
funzioni continue di variabili reali funzioni continue di variabili reali
è definita e continua inè definita e continua in
nxxFdt
dx,...11
1
nnn xxFdt
dx,...1
iF nxxx .., 21
nxxxx ...,: 21 xFxFxF n,...: 1
xF axx ||||
n n
n
33
(1)(1)
Se partiamo dalla condizione iniziale: Se partiamo dalla condizione iniziale:
esiste un’ unica soluzione di (1) che esiste un’ unica soluzione di (1) che verificaverifica
..
Definizione:Definizione:
Un punto dove tutte le funzioni Un punto dove tutte le funzioni sono uguali a zero è detto sono uguali a zero è detto punto fissopunto fisso del sistema del sistema autonomo (1).autonomo (1).
Sistema autonomo(2)Sistema autonomo(2)
00 xtx 00 ,; xttx
00 xtx
nf xxx ,...: 1 iF
xFdt
dxx
44
Un sistema autonomo come (1) è lineare se e solo se Un sistema autonomo come (1) è lineare se e solo se tutte le funzioni sono funzioni lineari omogenee di tutte le funzioni sono funzioni lineari omogenee di , e: , e:
, i=1…n, i=1…n
. .
. (2) . (2)
Il sistema (2) ha come soluzione .Il sistema (2) ha come soluzione .
Sistema autonomo lineareSistema autonomo lineare
iF kx
ninii xaxadt
dx ...11
nnxaxaxax 12121111 ...
nnnnnn xaxaxax ...2211 00 xtx
Axx
ijaA
000 ,; xexttx At
55
Sia , allora .Sia , allora .
E soddisfa le seguenti proprietà :E soddisfa le seguenti proprietà :
1.1. , ,, ,
2.2. , e, e
3.3. vettore.vettore.
Inoltre vale:Inoltre vale:
Se sono autovalori di t.c.Se sono autovalori di t.c.
Norma di una matriceNorma di una matrice
nMB 1||||:||||max|||| xBxB
|||||||||||| BABA |||||||||||| BAAB cAccA ||||||||||xxAAx ||||||||||||
n ,...1 nMA
ReRi Ati ||||0,00Re te
nMBA ,
66
Stabilità alla Lyapunov delle Stabilità alla Lyapunov delle soluzioni soluzioni
DEFINIZIONE: DEFINIZIONE:
Sia soluzione di (1) che soddisfa:Sia soluzione di (1) che soddisfa:
(a)(a) è definita per , e è definita per , e
(b)(b) appartiene all’insieme appartiene all’insieme
allora è detta allora è detta stabilestabile se: se:
(c)(c) t. c. ogni soluzione soddisfa t. c. ogni soluzione soddisfa (a)(a) e e (b)(b) con con
,e,e
(d)(d) Fissato t. c. implica Fissato t. c. implica
00 ,; xttxtx tx 0tt tx axx ||||
tx
0 |||| 01 xx
10 ,; xttx
0 ,0,0 |||| 10 xx
,||,;,;|| 1000 xttxxttx0tt
77
DEFINIZIONE:DEFINIZIONE:
La soluzione di (1) è La soluzione di (1) è asintoticamente asintoticamente stabilestabile se è stabile e t. c. se è stabile e t. c. implica implica
Una soluzione che non è stabile è detta Una soluzione che non è stabile è detta instabileinstabile..
Stabilità asintotica delle soluzioniStabilità asintotica delle soluzioni
00 ,; xttxtx ,0,0 |||| 10 xx
0||,;,;|| 1000lim
xttxxttxt
88
Consideriamo il sistema autonomo non lineare:Consideriamo il sistema autonomo non lineare:
(3)(3)
e sia la soluzione di (3) all’istante t, a e sia la soluzione di (3) all’istante t, a partire dalla condizione iniziale .partire dalla condizione iniziale .
Un punto è un punto fisso per (3), , se:Un punto è un punto fisso per (3), , se:
In generale sappiamo che i punti fissi di (3) sono tutte le In generale sappiamo che i punti fissi di (3) sono tutte le soluzioni reali di: soluzioni reali di:
pertantopertanto
Riduzione alle soluzioni nulleRiduzione alle soluzioni nulle
xhx 00 ,; xttxtx
00 xtx
fx 0tt
ff xttxx ,; 0
0fxh
0xh
99
Sia punto fisso di (3).Sia punto fisso di (3).
Si consideri come nuova variabile:Si consideri come nuova variabile:
Il sistema dinamicoIl sistema dinamico
ha punto fisso nell’origine poiché:ha punto fisso nell’origine poiché:
CONCLUSIONE:CONCLUSIONE:
Non è insomma restrittivo limitare l’analisi al caso di un Non è insomma restrittivo limitare l’analisi al caso di un sistema autonomo con punto fisso nell’origine.sistema autonomo con punto fisso nell’origine.
Riduzione alle soluzioni nulle(2)Riduzione alle soluzioni nulle(2)0fx
fxxz :
zhz fxzhzh :
00 fxhh
1010
Il processo di linearizzazione ci consente di determinare Il processo di linearizzazione ci consente di determinare l’l’equivalenteequivalente lineare di un sistema non lineare lineare di un sistema non lineare nell’intorno di un punto fisso.nell’intorno di un punto fisso.
Consideriamo il sistema non lineare:Consideriamo il sistema non lineare:
con punto fisso .con punto fisso .
Il punto fisso può essere preso come punto Il punto fisso può essere preso come punto iniziale per un’espansione in serie della iniziale per un’espansione in serie della funzione .funzione .
Arrestando tale espansione al primo ordine si ottiene:Arrestando tale espansione al primo ordine si ottiene:
Approssimazione lineareApprossimazione lineare
xhx 0fx
)(xh0fx
xhxhxh n,...: 1
nxxx ,...: 1
xoxxhdx
dhxh x 00
1111
Dove:Dove:
è l’incremento rispetto al punto fissoè l’incremento rispetto al punto fisso
indica tutti i termini di ordine superiore al indica tutti i termini di ordine superiore al primoprimo
è nullo per definizione di punto fisso.è nullo per definizione di punto fisso.
è un termine lineare descrivibile, quindi, è un termine lineare descrivibile, quindi, inin modo matriciale: modo matriciale:
Il comportamento del sistema non lineare, in un intorno Il comportamento del sistema non lineare, in un intorno del punto fisso, può quindi essere descritto, in modo del punto fisso, può quindi essere descritto, in modo approssimato, dal sistema lineare:approssimato, dal sistema lineare:
Approssimazione lineare(2)Approssimazione lineare(2)
x)()( xfxo
)0(h
xxhdx
dx 0)(
,)( 0 xAxxhdx
dx 0)(: 0 hJxh
dx
dA x
xAx
1212
Se e sono funzioni scalari non negative Se e sono funzioni scalari non negative continue per continue per
è una costante non negativa eè una costante non negativa e
alloraallora
Lemma di GronwallLemma di Gronwall
)(tu )(tv,0 t
0,)()()(0
tperdssusvtut
.0,)( 0 tperetu
tdssv
1313
DimostrazioneDimostrazione
Se allora la disuguaglianza data implica che:Se allora la disuguaglianza data implica che:
Integrando ambo i membri da a si ha:Integrando ambo i membri da a si ha:
Lemma di Gronwall(2)Lemma di Gronwall(2)
,0
)()()(
)()(
0
tvdssusv
tvtut
0 t
ttdssvdssusv
00,)(lg)()(lg
1414
Ciò implica cheCiò implica che
Se il risultato vale e implica Se il risultato vale e implica che che è identicamente nulla e la disuguaglianza è è identicamente nulla e la disuguaglianza è banalmente soddisfatta.banalmente soddisfatta.
Lemma di Gronwall(3)Lemma di Gronwall(3)
.)()()( 0
0
t
dssvtedssusvtu
,0 ,01 01 )(tu
1515
Consideriamo il sistema non lineare nella forma:Consideriamo il sistema non lineare nella forma:
(4)(4)
termine lineare termini di ordine superiore al I
Con e soddisfa:Con e soddisfa:
i.i. è continua per eè continua per e
ii.ii. cioè concioè con
La condizione La condizione i.i. assicura la locale esistenza delle soluzioni, assicura la locale esistenza delle soluzioni,
ii.ii. implica quindi è soluzione di (4). implica quindi è soluzione di (4).
Un risultato per i sistemi non lineariUn risultato per i sistemi non lineari
xfAxx
ijaA xfxfxf n,...1 xf ax ||||
0
||||
||||lim
0||||
x
xfx
|||||||| xoxf 0|||| x
00 f 0)( tx
nn
1616
Se è una matrice costante con polinomio Se è una matrice costante con polinomio caratteristico caratteristico
stabile e soddisfa le condizioni stabile e soddisfa le condizioni i.i. e e ii. ii. , allora la , allora la soluzionesoluzione
del sistema del sistema
è asintoticamente stabile.è asintoticamente stabile.
Teorema (Stabilità Linearizzata)Teorema (Stabilità Linearizzata)
xf
0tx
xfAxx
nnA
1717
Riscriviamo la definizione di Riscriviamo la definizione di stabilità stabilità per per ::
sia soluzione di (1) che soddisfa:sia soluzione di (1) che soddisfa:(a)(a) è definita per , e è definita per , e(b)(b) appartiene all’insieme appartiene all’insieme allora è detta allora è detta stabilestabile se: se:
(c)(c) t. c. ogni soluzione soddisfa t. c. ogni soluzione soddisfa (a)(a) e e (b) (b) con , e con , e
(d)(d) Fissato t. c. implica Fissato t. c. implica
DimostrazioneDimostrazione
0tx tx 0t tx axx ||||
tx
0|||| 1x
1,0;)( xtxtx
0 ,0,0 |||| 1x
,||,0;|| 1 xtx 0t
0)0,0;()( txtx
1818
Innanzitutto dimostriamo che la soluzione è Innanzitutto dimostriamo che la soluzione è definita per quando è vicino a zero.definita per quando è vicino a zero.
Se è la matrice fondamentale del sistema Se è la matrice fondamentale del sistema t.c. , allora per ipotesi esistono due costanti t.c. , allora per ipotesi esistono due costanti positivepositive e t.c. per . e t.c. per .
Poiché è una matrice costante, la soluzione deve Poiché è una matrice costante, la soluzione deve soddisfare la relazione soddisfare la relazione
che implicache implica
La prima relazione, e quindi la seconda, è certamente valida La prima relazione, e quindi la seconda, è certamente valida per in ogni intervallo per cui se per in ogni intervallo per cui se prendiamo prendiamo
Dimostrazione(2)Dimostrazione(2)
1,0;)( xtxtx 0t 1x
Atet Axx I )0(
R Rt ||)(|| te 0tA )(tx
t
dssxfstxttx01 ,)()()(
.||)(||||||||)(||01 t st dsesxfRxRetx
t),0[ T atx ||)(||
.|||| 1 ax
1919
Dalla condizione Dalla condizione ii.ii. segue che t.c. segue che t.c. implica . implica .
Se prendiamo allora, per la continuità di , Se prendiamo allora, per la continuità di , esiste esiste t.c. per . Pertanto t.c. per . Pertanto
per . Per il Lemma di Gronwall si ha:per . Per il Lemma di Gronwall si ha:
Ma e sono arbitrari, quindi scegliamo t.c. Ma e sono arbitrari, quindi scegliamo t.c. e t.c. implica e t.c. implica
per . per .
Dimostrazione(3)Dimostrazione(3)
00 dm dx |||| |||||||| xmxf
dx |||| 1 )(tx01 t dtx ||||
t st dsesxmRxRetx01 ||)(||||||||)(||
10 tt .0,||||||)(|| 11 ttexRtx tmR
1x m mmR 10 xx Rdx 2/|||| 1
2/||)(|| dtx 10 tt
10 tt
2020
Poiché è definita per , possiamo prolungare la Poiché è definita per , possiamo prolungare la soluzione , che esiste localmente in ogni puntosoluzione , che esiste localmente in ogni punto , intervallo dopo intervallo, preservando , intervallo dopo intervallo, preservando la condizione . la condizione .
Pertanto, ogni soluzione con , Pertanto, ogni soluzione con , è definita per e soddisfa .è definita per e soddisfa .
Ma può essere piccolo a nostra scelta, ciò implica che Ma può essere piccolo a nostra scelta, ciò implica che è stabile, e implica che è asintoticamente stabile.è stabile, e implica che è asintoticamente stabile.
CONCLUSIONE:CONCLUSIONE:
La stabilità asintotica delle traiettorie dei sistemi lineari è La stabilità asintotica delle traiettorie dei sistemi lineari è preservata.preservata.
Dimostrazione(4)Dimostrazione(4) xf ax ||||
)(txaxtxt ||||,0),,(
2/||)(|| dtx
1,0;)( xtxtx Rdx 2/|||| 1 0t 2/||,0;|| 1 dxtx
d 0)( txmR
2121
Osserviamo che questo risultato vale anche nel caso dei Osserviamo che questo risultato vale anche nel caso dei sistemi non autonomi non lineari che assumono la sistemi non autonomi non lineari che assumono la seguente forma:seguente forma:
soddisfa: soddisfa:
i.i. è continua per , eè continua per , e
ii.ii. uniformemente rispetto a .uniformemente rispetto a .
OsservazioneOsservazione
xtfAxx ,
xtf , 0,|||| tax
0
||||
||,||lim
0||||
x
xtfx
t
xtfxtfxtf n ,,...,, 1
2222
Consideriamo il sistema:Consideriamo il sistema:
Dove ad-bcDove ad-bc≠0, ≠0, sono continue e sono continue e
con con
Per il teorema precedente si ha: Per il teorema precedente si ha:
EsempioEsempio
yxdycxy
yxbyaxx
,
,
2
1
yxi ,
0lim
r
0,
r
yxi 22 yxr
2323
Se le radici del polinomio caratteristico di Se le radici del polinomio caratteristico di
hanno hanno
parte reale negativa, allora (0,0) è un punto fisso parte reale negativa, allora (0,0) è un punto fisso asintoticamente stabile del sistema non lineare .asintoticamente stabile del sistema non lineare .
Esempio(2)Esempio(2)
dc
baA