SS 13 LZM FORMELSAMMLUNG - KOMPLEXE ZAHLEN · SS 13 LZM Algebraische Normalform Trigonometrische...
Transcript of SS 13 LZM FORMELSAMMLUNG - KOMPLEXE ZAHLEN · SS 13 LZM Algebraische Normalform Trigonometrische...
HTW Berlin Tanja Opitz
SS 13 LZM
Algebraische Normalform
Trigonometrische Normalform
Exponentielle Normalform � � � � � ∗ �
� � |�| ∗ �� � � � ∗ ��� �� � � |�| ∗ ��∗
Kenngrößen:
Wichtige Formeln zur Umformung: � � ����
� � ���� � � |�| � � arg��
→ ��� !�" #$%��&'� → ���("%ä�!�" #$%��&'�
→ ��*"+,/.�!��(#$%� → /"%0� /1�(+��%!#$%� 0° 4 � 5 360°
0 4 � 5 29
|�| � :�; � �; � � |�| ∗ cos�� � � |�| ∗ sin�� .$(�%��ß/"%0� � 9180°
� �
DEEEEFEEEEG ��H!�% I��J Kü�� M 0; � O 092 Kü�� � 0; � M 0
��H!�% I��J � 9Kü�� 5 0392 Kü�� � 0; � 5 0��H!�% I��J � 29Kü�� M 0; � 5 0
Rechenoperationen:
z1 = a1 + i*b1 oder z1 = |z1|*exp(ϕ1*i) und z2 = a2 + i*b2 oder z2 = |z2|*exp(ϕ2*i)
Addition/ Subtraktion:
Multiplikation/ Division:
→ algebraische Normalform
z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i*(b1 ± b2)
→ algebraischen Normalform
z1 * z2 = (a1a2 – b1b2) + i*(a1b2 + b1a2)
z1 =
a1a2 + b1b2 + i*
b1a2 – a1b2 z2 (a2)² + (b2)² (a2)² + (b2)²
→ trigonometrische + exponentielle Normalform
Multiplikation Division
Produkt der Beträge + Summe der Winkel Quotient der Beträge + Differenz der Winkel
z1*z2 = |z1|*|z2|*exp(i*(ϕ1+ϕ2)) z1: z2 = |z1|:|z2|*exp(i*(ϕ1-ϕ2))
z1*z2 = |z1|*|z2|*(cos(ϕ1+ϕ2)+ i*(sin(ϕ1+ϕ2)) z1: z2 = |z1|:|z2|*(cos(ϕ1-ϕ2)+ i*(sin(ϕ1-ϕ2))
→ BEACHTE: ϕ sollte im Intervall 0 ≤ ϕ < 2π liegen
Konjugiertes Komplex:
Potenzen:
Wurzeln:
Logarithmus:
z* = �̅ = a – b*i mit z = a+b*i
Formel von MOIVRE:
zn = |z|n * exp(i*n*ϕ) zn = |z|n * (cos(n*ϕ)+ i*(sin(n*ϕ))
→ Gleichung hat genau eine Lösung
√�R � :|�|R ∗ �S∗TU;VWX
k = {0; 1; 2; … ; n-1}
→ Gleichung hat genau n Lösungen
ln(z) = ln(|z|) + i*ϕ
→ input: exponentielle Normalform
→ output: algebraische Normalform
FORMELSAMMLUNG - KOMPLEXE ZAHLEN