1

Séries de Fourier ____________

A. Séries trigonométriques.

1. Définitions.

2. Propriétés.

3. Exemples.

B. Séries de Fourier.

1. Définitions, premières propriétés.

2. Convergence en moyenne quadratique.

3. Un théorème de convergence uniforme.

4. Théorème de Dirichlet.

5. Exemples de développements en série de Fourier.

6. Convolution, suites en delta.

Pierre-Jean Hormière ____________

« L’étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. (…) L‘analyse mathématique est aussi étendue que la nature elle-même ; elle définit tous les rapports sensibles, mesure les temps, les espaces, les forces, les températures. »

Joseph Fourier, Théorie analytique le la chaleur (1822)

« Les progrès des sciences, les progrès en médecine, tous les progrès auxquels nous pouvons penser traduisent et aggravent les inégalités dans le monde. Ils pourraient être au bénéfice de tous, ils sont d’abord au service des riches et des puissants ».

Jean-Pierre Kahane (mai 2017)

Les séries trigonométriques et les séries de Fourier constituent deux théories bien distinctes, même si elles ont des liens profonds, et dialectiques.

Une série trigonométrique est une série de la forme a0/2 + ∑n≥1 an.cos(nθ) + bn.sin(nθ). Se posent à son sujet des questions simples et naturelles : en quels points converge-t-elle ? Sur quels domaines y a-t-il convergence uniforme ? convergence en moyenne quadratique ? si elle converge simplement

sur R, quelles sont les propriétés de la fonction somme f(θ) ? les coefficients an et bn sont-ils uniques ? s’expriment-ils simplement à l’aide de f ?

Les séries de Fourier posent le problème inverse : étant donnée une fonction f 2π–périodique, peut-on la représenter comme somme d’une série trigonométrique, c’est-à-dire comme une superposition d’ondes de fréquences de plus en plus petites ? Si tel est le cas, le plus souvent, les an et bn sont les coefficients de Fourier de f. Tout revient alors à former la série de Fourier de f, et à examiner les relations qu’elle entretient avec cette série. Du coup, revenant aux séries trigonométriques, si la série a0/2 + ∑n≥1 an.cos(nθ) + bn.sin(nθ) converge sur R et a pour somme f(θ), est-elle la série de Fourier de sa somme ? Ces deux théories ont pour point de départ les travaux de Fourier sur la propagation de la chaleur dans les solides. Elles se sont développées simultanément depuis deux siècles. Elles ont dû pour cela surmonter, dès leur naissance, de multiples objections et obstacles, car le moins qu’on puisse dire est qu’elles ne sont pas faciles ! Mais les résultats établis ont eu des retombées dans des domaines

2

voisins, appliqués (équations aux dérivées partielles) ou théoriques (topologie et théorie des ensembles, intégration, analyse fonctionnelle, théorie spectrale, …)

Commençons par rappeler que si f est une fonction 2π–périodique R → C réglée sur (tout segment

de) R, l’intégrale ∫+ π2

).(a

adttf est indépendante de a, et sera souvent notée ∫ )2(

).(π

dttf .

A. Séries trigonométriques 1. Définitions.

1.1. Polynômes trigonométriques.

Définition 1 : Pour tout n ∈ Z, on note en la fonction θ → einθ

. On appelle polynôme trigono-métrique toute combinaison linéaire de ces fonctions. Comme toute partie finie de Z est incluse dans un intervalle [−n, n], un polynôme trigonométrique

s’écrit sous la forme : P(θ) = ∑−=

n

nk

ikk ec θ. (1)

ou encore, compte tenu des formules d’Euler, sous la forme :

P(θ) = 20a + ∑

=+

n

kkk kbka

1

)sin(.)cos(. θθ (2)

(1) est l’écriture exponentielle, (2) l’écriture trigonométrique de P.

Proposition 1 : Les (en)n∈Z forment une C-base de l’espace PPPP des polynômes trigonométriques.

Corollaire : Les fonctions θ → ½, θ → cos(kθ) et θ → sin(kθ) (k ≥ 1), forment une C-base de P , et une R-base de l’espace des polynôme trigonométriques réels.

La preuve qui est le plus dans l’esprit du chapitre repose sur les relations d’orthogonalité :

π21 ∫

(2π) e

−imθ.e

inθ.dθ = δm,n ∀(m, n) ∈ Z

2

π1 ∫

(2π) cos(mθ).cos(nθ).dθ = 0 si m ≠ n , 2 si m = n = 0 , 1 si m = n ≥ 1

π1 ∫

(2π) sin(mθ).sin(nθ).dθ = 0 si m ≠ n , 1 si m = n ≥ 1.

Du coup, si P(θ) = ∑−=

n

nk

ikk ec θ. =

20a + ∑

=+

n

kkk kbka

1

)sin(.)cos(. θθ , on a les formules de Fourier:

(∀k ∈ Z) ck = π21 ∫

(2π) P(θ).e

−ikθ.dθ

(∀k ∈ N) ak = π1 ∫

(2π) P(θ).cos(kθ).dθ et (∀k ∈ N*) bk = π

1 ∫(2π)

P(θ).sin(kθ).dθ

La liberté s’en déduit. Le caractère générateur était évident. Au fond, la liberté des deux familles découle de ce que ce sont des familles orthogonales de vecteurs non nuls pour le produit scalaire

hermitien ( P | Q ) = π21 ∫

(2π) θθθ dQP ).(.)( sur PPPP.

Autres propriétés des polynômes trigonométriques :

1) P est une algèbre pour la multiplication usuelle, stable par dérivation.

2) P est à valeurs réelles ssi les ak et bk sont réels, ou encore ssi c0 ∈ R et c−k = kc pour tout k.

P est pair ssi les bk sont nuls, ou encore ssi c−k = ck pour tout k.

3

P est impair ssi les ak sont nuls, ou encore ssi c−k = − ck pour tout k (donc c0 = 0).

Exercice 1 : Donner d’autres preuves de la proposition 1.

Exercice 2 : Montrer pour tout 0 ≤ k ≤ n knC = π2

1 ∫+

−−

π

πθθθ dknn ).)

2cos((.)

2cos.2( .

Exercice 3 : Polynômes de Tchebychev.

1) Montrer que pour tout n ∈ N, il existe un unique polynôme réel Tn vérifiant (∀θ) cos(nθ) =

Tn(cosθ). Formule de récurrence liant Tn+2 , Tn+1 et Tn ? Factoriser Tn(X).

2) Montrer que pour tout n ∈ N*, existe un unique polynôme réel Un−1 vérifiant (∀θ) sin(nθ) =

sin(θ).Un−1(cosθ). Montrer que les Un vérifient la même relation de récurrence que les Tn, et

exprimer les Un en fonction des Tn. Factoriser Un(X).

3) En déduire que les polynômes trigonométriques pairs sont les polynômes en cos θ et que les polynômes impairs sont de la forme sin θ.Q(cos θ), où Q est un polynôme.

Exercice 4 : interpolation de Lagrange trigonométrique.1

On note PPPPn = Vect(e−n , …, e0 , …, en). Les réels x0, x1, x2, … sont dits distincts modulo 2π si leurs

classes modulo 2π sont distinctes dans R/2πZ, i.e. si 0ixe , 1ixe , 2ixe , … sont distincts dans U.

1) Si x0, x1, …, x2n sont distincts modulo 2π, et si y0, y1, …, y2n sont des complexes quelconques,

montrer : ∃!P ∈ PPPPn ∀k ∈ { 0, 1, … , 2n } P(xk) = yk .

2) Montrer que P est donné par : P(x) = ∑≤≤ np

pp xLy20

)(. , où Lp(x) = ∏≠ −

−pq qp

q

xxxx

))2/)sin(()2/)sin((

( .

3) a) Si x0, x1, …, xn sont distincts dans [0, π], et si y0, y1, …, yn sont des complexes quelconques,

montrer qu’il existe un unique P ∈ PPPPn pair tel que ∀k ∈ { 0, 1, … , n } P(xk) = yk .

Il est donné par : P(x) = ∑≤≤ np

pp xCy0

)(. , où Cp(x) = ∏≠ −

−pq qp

q

xxxx )

coscoscoscos( .

b) Si x1, …, xn sont distincts dans ]0, π[, et si y1, …, yn sont des complexes quelconques,

montrer qu’il existe un unique P ∈ PPPPn impair tel que ∀k ∈ {1, 2, … , n} P(xk) = yk .

Il est donné par : P(x) = ∑≤≤ np

pp xSy0

)(. , où Sp(x) = px

xsinsin .∏

≠ −−

pq qp

q

xxxx )

coscoscoscos( .

1.2. Séries trigonométriques.

Définition 2 : Par série trigonométrique, on entend une série de fonctions de la forme∑+∞

−∞=n

inn ec θ. , à

condition d’appeler « sommes partielles » de cette série les sommes partielles symétriques :

Sn(θ) = ∑−=

n

nk

ikk ec θ. .

En d’autres termes, on dit que la série converge en un point (resp. uniformément sur une partie A, resp. en moyenne quadratique sur [0, 2π]) si ses sommes partielles symétriques convergent en ce point (resp. uniformément sur A, resp. en moyenne quadratique sur [0, 2π]).

Avec ce point de vue, ∑+∞

−∞=n

inn ec θ. désigne au fond, par pliage, la série c0 + ∑

+∞

=

−−+1

)..(n

inninn ecec θθ .

1 Zygmund (chap. X) étudie en grand détail ce sujet.

4

Remarque : Soit cn = 1 si n > 0, 0 si n = 0, −1 si n < 0. La série ∑+∞

−∞=n

nc est convergente, de somme

nulle, au sens des sommes partielles symétriques, mais divergente si l’on considère les sommes partielles quelconques.

Définition 3 : Par série trigonométrique, on entend une série de fonctions de la forme :

20a + ∑

+∞

=+

1

)sin(.)cos(.n

nn nbna θθ .

L’équivalence des deux points de vue est manifeste, car, avec les formules :

(∀n ∈ N) an = cn + c−n , (∀n ∈ N*) bn = i (cn − c−n)

c0 = 20a

et (∀n ∈ N*) cn = 21 (an − i.bn) et c−n =

21 (an + i.bn) .

les sommes partielles de la seconde série sont les sommes partielles symétriques de la première.

Notons que si an et bn sont réels, on peut écrire an.cos(nθ) + bn.sin(nθ) = rn.cos(nθ − ϕn), où :

rn = 22 nn ba + est l’intensité, et ϕn le déphasage.

2. Propriétés des séries trigonométriques. La théorie des séries trigonométriques est immense : le livre de A. Zygmund fait 700 pages, et l’article de Jean-Pierre Kahane dans l’Encyclopedia universalis sur ce sujet est fort long. Contentons-nous ici d’en donner le point de départ. Dans les énoncés suivants, nous considérons une ST mise sous l’une des formes :

∑∈Zn

nc .einθ

=

20a

+ ∑+∞

=+

1

)sin(.)cos(.n

nn nbna θθ .

Proposition 1 : Le domaine de convergence simple2 d’une série trigonométrique est un FFFFσδ (et a fortiori un ensemble borélien) de R, stable par les translations de 2kπ, k ∈ Z.

Preuve : Le second point est évident. Quant au premier, il découle d’une propriété tout à fait générale des limites simples de suites de fonctions continues, déjà citée dans le chapitre sur ce sujet :

Exercice : Si AAAA est un ensemble de parties de E, on note AAAAσ , resp. AAAAδ , l’ensemble des parties de E

qui s’écrivent comme réunion, resp. intersection, d’une suite de parties de AAAA. On note GGGG, resp FFFF,

l’ensemble des ouverts, resp. des fermés, de l’espace métrique (E, d). Soit (fn) une suite de fonctions

continues E → R. Montrer que le domaine de convergence simple S de la suite (fn) est un FFFFσδ.

[ Indication : Noter que S = I1≥kU

1≥nI

nqp ≥,

{ x ∈ E ; | fp(x) − fq(x) | ≤ k1 } . ]

Proposition 2 : Si une série trigonométrique converge uniformément sur R, sa somme f(θ) est une fonction continue 2π-périodique sur R, et les coefficients de la série sont données par les formules :

(∀n ∈ Z) cn = π21 ∫

(2π) f(θ).e

−inθ.dθ

(∀k ∈ N) ak = π1 ∫

(2π) f(θ).cos(kθ).dθ et (∀k ∈ N*) bk = π

1 ∫(2π)

f(θ).sin(kθ).dθ

2 L’étude du domaine de définition et de l’ensemble des points de continuité des séries trigonométriques fut le point de départ des travaux de Georg Cantor (1845-1918), qui s’intéressa à ce sujet sur les conseils de son aîné Eduard Heine, et, suivant la pente abstraite de son esprit, se tourna vers les parties de R les plus générales, leurs propriétés ensemblistes et topologiques.

5

Autrement dit, en anticipant légèrement, les coefficients sont les coefficients de Fourier de la fonction f. Cela implique qu’ils sont uniquement liés à la somme f. En résumé, une série trigono-métrique uniformément convergente est la série de Fourier de sa somme.

Preuve : Les formules précédentes découlent de ce que l’interversion ∫ ∑= ∑ ∫ est licite, et des relations d’orthogonalité énoncées en § 1.1.

Remarque 1 : En vertu du théorème de convergence dominée, la prop. 2 reste vraie si la série converge simplement sur R vers une fonction réglée, et si ses sommes partielles sont uniformément majorées.

Remarque 2 : Les propriétés suivantes sont équivalentes : i) La série trigonométrique converge normalement sur R ;

ii) ∑n∈Z |cn| < + ∞ ;

iii) ∑n∈N |an| < + ∞ et ∑n∈N* |bn| < + ∞ ; Si ces conditions sont remplies, la prop 2 s’applique ; de plus, la somme f(θ) est aussi limite des

sommes partielles dissymétriques∑≤≤− nkm

ikk ec θ. , lorsque m et n tendent vers +∞ indépendamment.

La proposition 3 établit un lien direct entre le comportement à l’infini des coefficients cn, an et bn, et la régularité de la somme : plus les coefficients tendent vite vers 0, plus la somme est régulière. Du coup, si l’on veut obtenir des séries trigonométriques pathologiques, il suffit de considérer des séries dont les coefficients tendent lentement vers 0, ou des séries lacunaires. Le théorème 4 montre que si les coefficients trigonométriques tendent vers 0 en décroissant, il y a encore convergence.

Proposition 3 : Soit p ≥ 2. Si cn = O( pn1 ) quand n → ±∞, ou, ce qui est équivalent, an et bn sont

O( pn1 ) quand n → ±∞, alors f est de classe C

p−2 sur R.

Corollaire : Si la suite (cn) est à décroissance rapide, c’est-à-dire cn = O( pn1 ) quand n → ±∞, pour

tout p ∈ N, alors f est de classe C∞

.

Preuve : Récurrence sur p fondée sur le théorème de dérivation terme à terme des séries.

Insistons sur le fait que le théorème suivant est hors programme : à l’écrit, vous n’aurez jamais à faire une transformation d’Abel sans indication.

Exercice : Si ∃C, λ > 0 ∀n ∈ Z |cn| ≤ C.exp(−λ|n|), montrer que f(θ) est développable en série entière en 0 et en tout point de R.

Théorème 4 (Abel) : i) Si (an) ↓ 0, la série 20a + ∑

+∞

=1

)cos(.n

n na θ converge simplement sur R−2πZ,

et uniformément sur tout segment ⊂ R−2πZ.

ii) Si (bn) ↓0, la série ∑+∞

=1

)sin(.n

n nb θ converge simplement sur R, et uniformément sur tout segment

⊂ R−2πZ.

Preuve : Elle repose sur la transformation d’Abel, qui accélère la convergence, de même qu’une intégration par parties rend manifeste la semi-convergence d’une intégrale impropre en la ramenant à

une absolue convergence. Notons Vn = 1 + eix

+ ei2x

+ … + einx

= einx/2

.)2/sin(

)2/)1sin(x

xn+ = Cn + i.Sn .

Il vient : ∑=

n

kk ka

1

)cos(. θ = ∑=

−−n

kkkk CCa

11).( = ∑

=

n

kkk Ca

1

. − ∑=

−

n

kkk Ca

11.

6

= ∑=

n

kkk Ca

1

. − ∑−

=+

1

01.

n

kkk Ca = an.Cn − a1.C0 + ∑

=+−

n

kkkk Caa

11).( .

Or (Cn) est bornée, (an) tend vers 0, donc (an.Cn) → 0, et ∑=

+−n

kkkk Caa

11).( est la somme partielle

d’une série absolument convergente. De plus, si l’on se place sur un segment J ⊂ R−2πZ, (Cn) est

uniformément bornée, et ∑=

+−n

kkkk Caa

11).( est somme partielle d’une série normalement convergente.

Idem pour la série en sinus.

Exercice : Montrer que le théorème 4 subsiste sous les hypothèses plus générales :

(an) → 0 et ∑k≥0

| ak+1 − ak | < + ∞ , resp. (bn) → 0 et ∑k≥0

| bk+1 − bk | < + ∞ .

3. Exemples de séries trigonométriques.

Exemple 1 : Séries entières et séries trigonométriques.

Les séries entières fournissent à foison des séries trigonométriques : si la série entière f(z) = n

n

n za .0∑+∞

=

a un rayon de convergence R > 0, chacune des séries trigonométriques f(r.eiθ

) = θinn

n

n era ..0∑+∞

=est

normalement convergente, donc est la série de Fourier de sa somme. On en déduit l’expression intégrale des coefficients :

(∀n ∈ N) (∀r ∈ ]0, R[) an = nrπ21 ∫

(2π) f(r.e

iθ).e

−inθ.dθ .

et aussi (∀n < 0) 0 = nrπ21 ∫

(2π) f(r.e

iθ).e

−inθ.dθ .

On notera que les seconds membres sont indépendants de r… puisque constants !

Enfin, si R est fini, l’étude de f sur le cercle d’incertitude |z| = R équivaut à celle de la série

trigonométrique θinn

n

n eRa ..0∑+∞

=. Elle est parfois difficile.

Exemple 2 : Série et noyau de Poisson.

Soit r ∈ [0, 1[. Les séries trigonométriques suivantes sont normalement convergentes, et de sommes :

∑+∞

−∞=n

nr einθ = 1 + 2∑

+∞

=1

)cos(.n

n nr θ = ²cos21

²1rr

r+−

−θ et ∑

+∞

=1

)sin(.n

n nr θ = ²cos21

sin.rr

r+− θ

θ .

Exemple 3 : La série d’Euler-Abel ∑+∞

=1

)sin(

n nnθ

(1744-1825) 3.

1) Montrer que cette série converge simplement sur R. Soit f(θ) sa somme.

2) Pour 0 < r < 1, on pose Fn(r, θ) = ∑=

−n

k

k kr1

1 )sin(. θ . Calculer Fn(r, θ), et montrer que :

Fn(r, θ) = ²cos21

sinrr +− θ

θ + Rn(r, θ) , où Rn est une fraction rationnelle de r à préciser.

3) Soit An(θ) = ∑=

n

k kk

1

)sin( θ . Vérifier que An(θ) = ∫ +−

1

0.

²cos21sin dr

rr θθ + ∫

1

0).,( drrRn θ .

3 Euler indiqua la somme de cette série, dans une lettre à Goldbach (1744). Abel nota en 1825 qu’elle donnait un exemple de suite simplement convergente de fonctions continues ayant une somme discontinue.

7

4) Calculer la première intégrale. Montrer que pour tout θ ∈ ]0, π[, ∫1

0).,( drrRn θ → 0 , la conver-

gence étant uniforme sur tout [α, π−α], (0 < α < π) . En déduire f(θ) (cf aussi § 5.2)

Exemple 4 : la série de Fatou ∑+∞

=2 ln)sin(

n nnθ

(1906).

1) Montrer que cette série converge sur R ; domaines de convergence uniforme ? 2) Par des transformations d’Abel répétées, montrer que la somme de cette série est C

1 sur ]0, 2π[.

3) Représenter graphiquement les premières sommes partielles. Qu’observe-t-on ? 4

Exemple 5 : La série de Riemann-Gerver ∑+∞

=1 ²)²sin(

n nn θ

(1861, 1970).

Etudier la convergence de cette série. Représenter son graphe à différentes échelles.5

Exercice : Soient (bmn)m,n≥1 une suite double telle que ∑∑+∞

=

+∞

=1 1m n

mnb < +∞ , T1 et T2 deux réels > 0.

Montrer que f(x, y) = 21 1 1

sin.sin.T

ynT

xmbm n

mnππ∑∑

+∞

=

+∞

= est définie, continue sur R

2,

et vérifie f(x + T1, y) = f(x, y + T2) = f(x, y) , f(−x, y) = f(x, −y) = −f(x, y).

et bmn = 21

4TT ∫∫ × ],0[],0[

2121

.sin.sin).,(TT

dxdyT

ynT

xmyxfππ .

____________

B. Séries de Fourier

1. Définitions, premières propriétés.

Notations : RRRR2π(R, C) désigne l’espace des fonctions réglées 2π-périodiques R → C ;

CCCC2π(R, C) désigne l’espace des fonctions continues 2π-périodiques R → C. Ces espaces sont munis :

d’une part de la norme uniforme || f ||∞ = supx∈R | f(x) | pour laquelle ils sont tous deux complets.

d’autre part de la forme hermitienne positive ( f | g ) = π21 ∫

(2π))(θf .g(θ).dθ et de la semi-

norme associée || f ||2 = )( ff . Ils induisent resp. un produit scalaire et une norme sur CCCC2π(R, C).

Aucun des deux espaces n’est complet pour cette norme. La convergence pour cette semi-norme est appelée convergence en moyenne quadratique.

Rappelons que la convergence uniforme implique la convergence en moyenne quadratique, mais que la convergence en moyenne quadratique n’implique même pas la convergence simple.

Exercice : Construire une suite de fonctions continues 2π-périodiques convergeant en moyenne quadratique vers 0, mais ne convergeant simplement en aucun point de R.

4 On peut montrer que la somme de cette série n’est ni bornée, ni intégrable-Riemann au sens généralisé, ni intégrable-Lebesgue sur [0, 2π], et qu’enfin la série de Fatou n’est pas la série de Fourier de sa somme. 5 En 1861, Riemann déclara en cours que la somme de cette série trigonométrique lacunaire n’était nulle part dérivable. Weierstrass tenta sans succès de le démontrer, mais découvrit une classe de séries trigonométriques possédant cette propriété. En 1916, Hardy montra la non-différentiabilité de la fonction de Riemann en certains points. En 1970 enfin, à la surprise générale, un étudiant américain, J. Gerver, montra que cette fonction était dérivable en les πp/q, avec p et q impairs, et non dérivable ailleurs (cf. D. Choimet et H. Queffélec, Grands théorèmes du XXème siècle, chap. VII).

8

Exercice : 1) Construire une bijection naturelle de CCCC2π(R, C) sur CCCC(U, C), où U = { z ∈ C ; |z| = 1 }. 2) Montrer que les caractères du groupe compact U, c’est-à-dire les morphismes continus de

groupe multiplicatif de U dans C*, sont les fonctions en : θ → einθ

, où n décrit Z.

Définition : Soit f ∈ RRRR2π(R, C). On appelle :

série de Fourier exponentielle de f la série trigonométrique ∑n∈Z cn(f).einθ

, où :

(∀n ∈ Z) cn(f) = π21 ∫

(2π) f(θ).e

−inθ.dθ (coefficients de Fourier exponentiels de f).

série de Fourier trigonométrique de f la série trigonométrique :

2

)(0 fa + ∑

+∞

=+

1

)sin().()cos().(n

nn nfbnfa θθ , où :

(∀n ∈ N) an(f) = π1 ∫

(2π) f(θ).cos(nθ).dθ et (∀n ∈ N*) bn(f) = π

1 ∫(2π)

f(θ).sin(nθ).dθ .

Les an(f) et bn(f) sont les coefficients de Fourier trigonométriques de f.

On a les relations (∀n ∈ N) an(f) = cn(f) + c−n(f) , (∀n ∈ N*) bn(f) = i ( cn(f) − c−n(f) )

c0(f) = 2

)(0 fa , (∀n ∈ N*) cn(f) =

21 ( an(f) − i.bn(f) ) et c−n(f) =

21 ( an(f) + i.bn(f) )

On observera que f ne peut admettre de série de Fourier que si elle est intégrable sur tout segment de R. Le fait que nous l’ayons supposée réglée assure cette intégrabilité ; on aurait aussi pu supposer f Riemann-intégrable, ou Lebesgue-intégrable.6 La théorie des séries de Fourier a pour but de répondre à cette question : quels liens f entretient-elle avec sa série de Fourier ? En particulier, cette série converge-t-elle vers f en moyenne quadratique ? simplement ? uniformément ? Si ces questions sont simples, les réponses, elles, ne le sont guère.

Pour l’instant, nous noterons suivant l’usage de Zygmund :

f(θ) ∼ ∑∈Zn

n fc )( einθ

, resp. f(θ) ∼ 2

)(0 fa + ∑

+∞

=+

1

)sin().()cos().(n

nn nfbnfa θθ ,

où le symbole ∼ signifie ici : « a pour série de Fourier ».

Premières propriétés de cette correspondance formelle :

1) Un polynôme trigonométrique est son propre développement en série de Fourier.

2) Linéarité : la série de Fourier d’une combinaison linéaire est comblin. des séries de Fourier.

3) Si f est à valeurs réelles, alors les an(f) et bn(f) sont réels, et cn(f) = )(fc n− pour tout n.

4) Si f est paire, alors an(f) ≡ π2 ∫

πθθθ

0).cos().( dnf et bn(f) ≡ 0 ;

Si f est impaire, alors an(f) ≡ 0 et bn(f) ≡ π2 ∫

πθθθ

0).sin().( dnf .

5) Pour tout p ∈ Z, f(pθ) ∼ ∑∈Zn

n fc )( .einpθ

et eipθ.f(θ) ∼ ∑

∈Zn

n fc )( .ei(p+n)θ

.

6) Translation : pour tout a ∈ R, f(θ + a) ∼ ∑∈Zn

n fc )( .eina

.einθ

7) Dérivation : si f est C1, alors f’(θ) ∼ ∑

∈Zn

n fcin )(. .einθ

,

6 Ce n’est pas un hasard si Riemann a défini son intégrale dans son mémoire consacré aux séries trigono-métriques. Ces séries ont joué un rôle constitutif dans la théorie de l’intégration, car elles ont souvent pour sommes des fonctions discontinues, susceptibles ou non d’intégration.

9

autrement dit, la série de Fourier de f’ est la dérivée terme à terme de la série de Fourier de f.

Exercice 1 : Exprimer à l’aide de celle de f la série de Fourier de F(x) = ∫x

dttf0

).( − c0(f).x.

A quelle condition x → ∫x

dttf0

).( est-elle 2π-périodique ? Conséquence et remarques ?

Exercice 2 : Exprimer à l’aide de celle de f la série de Fourier de g(x) = n1 ∑

−

=+

1

0

)2(n

k nk

nxf π .

Exercice 3 : Soit h > 0. Exprimer à l’aide de celle de f la série de Fourier de fh(x) = h21 ∫

+

−

hx

hxdttf ).( .

2. Convergence en moyenne quadratique, formule de Parseval.

Proposition 1 : La somme partielle d’ordre n de la série de Fourier de f ∈ RRRR2π(R, C) :

Sn(f)(θ) = ∑−=

n

nk

ikk efc θ).( =

2)(0 fa

+ ∑=

n

kk fa

1

).( cos(kθ) + bk(f).sin(kθ)

est l’orthoprojection de f sur l’espace PPPPn = Vect(e−n , …, e0 , …, en).

Corollaire : Pour toute f ∈ RRRR2π(R, C), on a l’inégalité dite de Bessel 7 :

∑∈Zn

| cn(f) |2 =

41 |a0(f)|

2 +

21 ∑

∈ *Nn

|an(f)|2 + |bn(f)|

2 ≤ ( f | f ) = π2

1 ∫(2π)

|f(θ)|2.dθ

Preuve : Nous sommes dans le cadre du théorème de la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie séparé (chap. Espaces préhilbertiens, § 4.1). La prop. 1 est alors immédiate. Le théorème de Pythagore donne :

2

2f −

2

2)(fSn =

2

2)(fSf n− ,

ce qui implique : 2

2f − ∑

−=

n

nk

n fc ²)( ≥ 0.

La suite n → ∑−=

n

nk

n fc ²)( est croissante majorée par 2

2f , donc la famille (cn(f)) est de carré sommable

et l’inégalité de Bessel est immédiate.

Théorème 2 : Pour toute f ∈ RRRR2π(R, C) :

i) La série de Fourier de f converge en moyenne quadratique vers f, en ce sens que || Sn(f) − f ||2 → 0. ii) L’inégalité de Bessel est en fait une égalité, l’identité dite de Parseval (Fatou, 1906) :

∑∈Zn

| cn(f) |2 = 41 |a0(f)|2 +

21 ∑

≥1n

| an(f) |2 + | bn(f) |2 = ( f | f ) = π21 ∫(2π) | f(θ) |

2.dθ

Preuve : l’équivalence de i) et ii) découle de la preuve de la prop 1. Tout revient à montrer 1).

1ère étape : PPPP est dense dans CCCC2π(R, C).

Cette densité découle du théorème de Weierstrass trigonométrique, et des liens entre les normes

|| f ||∞ et || f ||2. Le théorème de Weierstrass trigonométrique affirme que :

7 L’astronome berlinois Friedrich Wilhelm BESSEL (1784-1846) étudia les fonctions qui portent son nom. Il publia l’inégalité ci-dessus dans un mémoire de 1828 sur les phénomènes périodiques, où il utilise le développement en série de Fourier sans référence à sa démonstration ou aux problèmes de convergence (dixit Godement).

10

∀f ∈ CCCC2π(R, C) ∀ε > 0 ∃P ∈ PPPP || f − P ||∞ ≤ ε.

Soit n0 tel que P ∈ PPPPn0 . Alors, pour n ≥ n0, on a

|| f − Sn( f ) ||2 ≤ || f − Sn0( f ) ||2 ≤ || f − P ||2 ≤ || f − P ||∞ ≤ ε.

2ème étape : CCCC2π(R, C) est dense dans RRRR2π(R, C) pour la semi-norme || f ||2.

Cela signifie que : ∀g ∈ RRRR2π(R, C) ∀ε > 0 ∃f ∈ CCCC2π(R, C) || g − f ||2 ≤ ε.

Cela se montre par étapes, d’abord pour les fonctions caractéristiques d’intervalles périodiques, puis pour les fonctions en escaliers périodiques, et enfin pour les fonctions réglées périodiques. Alors

|| g − Sn(g) ||2 ≤ || g − f ||2 + || f − Sn(f) ||2 + || Sn(f) − Sn(g) ||2 ≤ 2ε + || f − Sn(f) ||2 ≤ 3ε àpcr.

Conséquences :

1) Pour toute f ∈ RRRR2π(R, C), la suite (cn(f))n∈Z est de carré sommable, et l’application FFFF : f →

(cn(f))n∈Z de RRRR2π(R, C), dans l2(Z, C) est linéaire et est un morphisme d’espaces préhilbertiens, en

ce sens que : ∀ f, g ∈ RRRR2π(R, C) ( f | g ) = (F(f) | F(g)) = ∑n∈Z )(fcn .cn(g).

Cette formule se déduit de Parseval via l’identité de polarisation (chap. Esp. préhilbertiens § 1.1).

2) En particulier cn(f) → 0 quand n → ±∞, an(f) et bn(f) → 0 quand n → +∞ . A noter que ce résultat découle aussi du lemme de Riemann-Lebesgue.

3) Si deux fonctions f, g ∈ CCCC2π(R, C) ont mêmes coefficients de Fourier, elles sont égales.

Ainsi, l’application FFFF : f → (cn(f))n∈Z de CCCC2π(R, C) dans l2(Z, C) est un morphisme injectif

d’espaces préhilbertiens. (Si f et g sont réglées, il n’en est plus de même : deux fonctions réglées périodiques qui diffèrent en un nombre fini ou dénombrable de points modulo 2π, ont mêmes coefficients de Fourier).

4) Soit f ∈ CCCC2π(R, C). Pour que f soit un polynôme trigonométrique, il faut et il suffit que la famille

(cn(f))n∈Z de ses coefficients de Fourier soit à support fini.

Exercice : Comment se traduit sur les coefficients de Fourier exponentiels, resp. trigonométriques, le fait que f soit π-antipériodique, c’est-à-dire que f(x + π) + f(x) = 0 pour tout x ? Extensions.

1) Le théorème 2 reste vrai pour les fonctions Riemann-intégrables 2π-périodiques.

2) Il reste aussi vrai pour les fonctions f 2π-périodiques telles que, pour un ensemble fini E ⊂ [0,

2π], f|[0,2π]−E soit réglée ou Riemann-intégrable, et que f soit de carré intégrable sur [0, 2π].Mais alors les coefficients de Fourier se présentent comme des intégrales impropres. Cela peut être établi en exercice.

Interprétation physique de l’identité de Parseval.

Si f représente une onde ou une vibration (la variable t est le temps), la formule de Parseval exprime que l’énergie totale de la vibration sur une période est la somme des énergies de ses

composantes harmoniques cn(f).einθ

(Lord Rayleigh, 1889). Interprétation mathématique de l’identité de Parseval 8.

8 Marc Antoine PARSEVAL DES CHËNES (1755-1836) fut emprisonné comme royaliste en 1792, et dut son salut à Legendre. Plus tard, il dut fuir la France pour avoir publié un poème contre l’Empire. Sa laideur l’avait fait surnommer le « cochon savant » par ses très-aimables collègues de l’Académie. Il a seulement cinq

11

L’identité de Parseval signifie que la famille orthonormale (en)n∈Z est totale dans les espaces

préhilbertiens RRRR2π(R, C) et CCCC2π(R, C). Généralisons-la afin de mieux comprendre la situation :

Soit E un espace préhilbertien, séparé ou non, BBBB = (ei)i∈I une famille orthonormale indexée par I.

On suppose que le sous-espace vectoriel PPPP engendré par les ei est séparé. Pour toute partie finie J ⊂ I,

notons PPPPJ = Vect(ei)i∈J ; c’est un sous-espace de dimension card J.

Pour tout x ∈ E, on appelle i-ème coefficient de Fourier de x par rapport à BBBB : ci(x) = (ei | x).

Proposition : Pour tout x ∈ E, la famille x = (ci(x))i∈I est de carré sommable, et vérifie :

||x ||2 = ∑i∈I | ci(x) |

2 ≤ ||x||

2 (inégalité dite de Bessel).

Il en résulte que pour tout x ∈ E, la famille x = (ci(x))i∈I est à support fini ou dénombrable.

Preuve : Les hypothèses du théorème d’orthoprojection sur un sous-espace de dimension finie séparé sont remplies (cf. chap Espaces préhilbertiens, § 4.1)

Le vecteur x admet pour orthoprojection sur PPPPJ : SJ(x) = ∑i∈J ci(x).ei .

Par Pythagore : d(x, PPPPJ)2 = ||x||

2 − ∑i∈J | ci(x) |

2 ≥ 0. La proposition en découle aussitôt.

Plus précisément, je dis que : ||x||2 − ||x ||

2 = d(x, PPPP)

2.

En effet, par associativité des bornes inférieures :

d(x, PPPP)2 = d(x, ∪J PPPPJ)2 = infJ d(x, PPPPJ)

2 = infJ ||x||2 − ∑i∈J | ci(x) |2

= ||x||2 − supJ ∑i∈J | ci(x) |2 = ||x||2 − ||x ||2 . Grâce à cela, on peut établir le :

Théorème : Les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) La famille orthonormale BBBB = (ei)i∈I est totale dans E ;

ii) Pour tout x ∈ E, on a ||x ||2 = ∑i∈I | ci(x) |

2 ≤ ||x||

2 (formule dite de Parseval) ;

iii) Pour tout x ∈ E, la famille ((ei | x).ei)i∈I est sommable de somme x : x = ∑i∈I ci(x).ei ;

iv) Pour tout (x, y) ∈ E2, l’on a (x | y) = ∑i∈I )(xci .ci(y), cette famille étant sommable.

Corollaire : Si E est préhilbertien séparé et BBBB = (ei)i∈I une famille orthonormale totale, l’application

FFFF : x → (ci(x))i∈I de E dans l2(I, K ) est un morphisme injectif d’espaces préhilbertiens.

Exercice 1 : Montrer que l2(I, K ) admet une famille orthonormale totale.

Exercice 2 : Montrer que les polynômes de Legendre Πn(x) = 2/1+n .Pn(x) , qui forment une base

de R[x] orthonormalisée de la base canonique (1, x, x2, … ), forment une famille totale dans l’espace

C([−1, 1], R) pour le produit scalaire ( f | g ) = ∫−1

1).().( dxxgxf . En déduire une formule de

« Parseval-Legendre ».

publications à son actif, la seconde contenant, sans démonstration, le fameux théorème relatif aux séries trigonométriques. Ce résultat, énoncé en 1805 à l’issue d’un simple calcul formel, fut utilisé par Lacroix et Poisson, et devait jouer un rôle important dans la théorie des séries de Fourier. En réalité, la formule dite « de Parseval » relative aux séries trigonométriques ne trouva son cadre naturel, lorsque f est de carré intégrable, qu’avec la thèse de Fatou de 1906. Celui-ci en attribua la paternité à Parseval, à cause de son mémoire publié en 1805-06, à une époque où personne ne pouvait avoir la moindre idée de la démonstration de la totalité d’un système trigonométrique.

12

3. Un théorème de convergence uniforme.

Définition : Une fonction f 2π-périodique, non nécessairement continue, est dite C1-par morceaux

s’il existe une subdivision σ = (0 = x0 < x1< … < xn = 2π) telle que f soit de classe C1 sur chacun des

intervalles ]xi, xi+1[ et que f’ ait une limite à droite et à gauche en ces points.

Il revient au même de dire que pour chaque i, f|]xi, xi+1[ est la restriction à ]xi, xi+1[ d’une fonction

de classe C1 sur [xi, xi+1].

Théorème : Si f est une fonction 2π-périodique continue et C1-par morceaux, la série de Fourier de f

converge normalement et a pour somme f.

Preuve : Pour des raisons pédagogiques, procédons en trois étapes.

1) Supposons d’abord f de classe C2.

Alors, si f(θ) ∼ ∑∈Zn

n fc )( .einθ

, f’(θ) ∼ ∑∈Zn

n fcin )(. .einθ

et f’’( θ) ∼ ∑∈

−Zn

n fcn )(². .einθ .

La suite (cn(f’’)) est bornée par ||f’’||∞, donc cn(f) = O(2

1n

) en ±∞ . [ (cn(f’’)) tend même vers 0, de

sorte que cn(f) = o(2

1n

) ]. Par suite, la série trigonométrique ∑∈Zn

n fc )( .einθ

est normalement conver-

gente ; sa somme g(θ) est une fonction continue vérifiant cn(g) = cn(f) pour tout n. Il découle de Parseval que g = f.

2) Supposons ensuite f de classe C1.

On a encore : f’(θ) ∼ ∑∈Zn

n fcin )(. .einθ

; pour n ≠ 0, cn(f) = infcn )'(

.

Le lemme |ab| ≤ 21 ( |a|

2 + |b|

2 ) implique alors : | cn(f) | ≤

21 ( | cn(f’) |

2 +

²1n

).

Comme (cn(f’)) est de carré sommable, la suite (cn(f)) est sommable. Par suite, la série trigono-

métrique ∑∈Zn

n fc )( .einθ

, est normalement convergente ; sa somme g(θ) est une fonction continue

vérifiant cn(g) = cn(f) pour tout n. Il découle de Parseval que g = f.

3) Supposons maintenant f continue et C1-par morceaux.

On note alors par abus f’ la fonction donnant la valeur de f’(θ) en tout point θ où f est dérivable. Cette « quasi-dérivée » est définie sauf en un nombre fini de points modulo 2π. Et elle est 2π-périodique et continue par morceaux sur R.

Or on a encore, avec ces conventions : f’(θ) ∼ ∑∈Zn

n fcin )(. .einθ

.

Pour établir cn(f’) = in.cn(f), il faut faire une découpe à la Chasles, et intégrer par parties sur chaque

morceau : 2πcn(f) = ∑∫−

=

−+1

0

int1

.).(n

k

x

x

k

k

dtetf = ∑−

=

1

0

n

k

{1int

).(+

−

− k

k

x

xine

tf + ∫+ −1

.).('1 intk

k

x

xdtetf

in} = 2π

infcn ')(

,

car les parties intégrées […] se simplifient. La preuve se poursuit alors comme en 2). Conséquence : isomorphisme des espaces ∞

π2C et S.

13

Notons S le sous-espace de l2(Z, C) formé des suites c = (cn) à décroissance rapide, c’est-à-dire

telles que cn = O( pn1 ) quand n → ±∞, pour tout p ∈N. S n’est pas un sous-espace fermé de l

2(Z, C),

car il contient les suites canoniques, qui forment une famille totale dans l2(Z, C).

On a déjà observé en A.2) que si c = (cn)n∈Z ∈ S, la fonction f(x) = ∑∈Zn

nc einx

est définie et C∞

, et

que les cn sont alors les coefficients de Fourier de f. Réciproquement, si f est C∞

et 2π-périodique, il

découle aussitôt d’une application répétée de f’(θ) ∼ ∑∈Zn

n fcin )(. .einθ

que la suite (cn(f)) est à

décroissance rapide. On en déduit que l’application FFFF : f → (cn(f))n∈Z de CCCC2π(R, C) dans l2(Z, C)

induit un isomorphisme d’espaces préhilbertiens séparés, du sous-espace ∞π2C des fonctions C

∞ sur le

sous-espace S des suites à décroissance rapide.

Exercice 1 : Soit T l’endomorphisme de ∞π2C qui à f associe f(n)

. Déterminer Ker T et Im T ; montrer qu’ils sont orthogonaux.

Exercice 2 : Soit (ak)0≤k≤n une suite de complexes. Pour toute f ∈ ∞π2C , on pose T(f) = ∑

=

n

k

kk fa

0

)(. .

Image et noyau de T ? Quand T est-elle bijective ?

Exercice 3 : Développer en série de Fourier la fonction f 2π–périodique et paire telle que f(t) = t sur [0, π]. Montrer que la série converge normalement, alors que le th du § 3 ne s’applique pas.

L’exercice suivant généralise le théorème de ce § , ainsi que l’exercice précédent.

Exercice 4 : 1) Soit f ∈ CCCC2π(R, C), h > 0. Montrer que :

h21 ∫ −−+

)2(².)()(

πdxhxfhxf = 4∑

+∞

−∞=n

n fcnh )²(.²sin .

2) On suppose ∃M ≥ 0 ∃α > 0 ∀(u, v) ∈ R2 | f(u) − f(v) | ≤ | u − v |

α.

Montrer que ∑+=

N

Nn

n fc2

1

²)( = O( α21

N) . [ Indication : prendre h =

N4π . ]

3) En déduire que si α > ½, la série de Fourier de f converge normalement vers f.

4. Théorème de Dirichlet. 4.1. Un peu d’histoire.

Comme le note Jean-Pierre Kahane, l’article de Dirichlet sur les séries de Fourier, publié en 1829, constitua un tournant : « Son but est simplement de donner un énoncé correct, avec une démons-tration correcte, sur la convergence des séries de Fourier. Mais, ce faisant, il constitue un nouveau paradigme de la rigueur en analyse. » Dans cet article, Dirichlet énonce des conditions suffisantes pour que la série de Fourier de f converge vers f.

Cependant, comme l’écrira l’allemand Paul Du Bois-Reymond au français Georges Halphen en 1883 : « Avant 1873, c’était bien la conviction générale, entre autres de Lejeune-Dirichlet, de Riemann, de Weierstrass, que cette série [la série de Fourier] converge toujours vers la limite f(x) quand f(x) est continue. Eh bien, à force d’essayer de trouver une démonstration pour ce théorème, je parvins à trouver un raisonnement qui prouve le contraire. » C’est en effet en 1873 que Du Bois-Reymond produisit un exemple d’une série de Fourier d’une fonction continue périodique ne conver-geant pas vers f(x), sous la forme d’une fonction monotone par morceaux hors d’un voisinage de 0 et oscillant indéfiniment près de 0. Au début du XXème siècle, L. Fejér et H. Lebesgue donnèrent d’autres contre-exemples. Lebesgue et Banach-Steinhaus expliquèrent ce phénomène par une

14

propriété défectueuse du noyau de Dirichlet (voir fin du chapitre, § 6). Le théorème de Dirichlet et ses généralisations par Dini, Jordan, etc. n’en ont que plus d’importance. 4.2. Le théorème de Dirichlet.

Théorème de Dirichlet 9 (1829) : Soit f une fonction 2π-périodique, C1-par morceaux. La série de

Fourier de f converge simplement en tout x ∈ R vers φ(x) ≡ 21 [ f(x + 0) + f(x − 0) ] :

(∀x ∈ R) ∑∈Zn

n fc )( einx =

2)(0 fa

+ ∑+∞

=+

1

)sin().()cos().(n

nn nfbnfa θθ = 21 [ f(x + 0) + f(x − 0) ].

Il en résulte que la série de Fourier converge vers f(x) sauf en un nombre fini de points (mod. 2π).

Preuve : Elle repose sur le lemme suivant (cf. Intégration sur un segment, § 11.2) :

Lemme de Riemann-Lesbesgue : Soient I = [a, b] un segment, f une fonction réglée I → C. Alors la

fonction F(x) = ∫b

a

ixt dtetf .).( tend vers 0 quand x tend vers ±∞ .

Revenons à nos agneaux. Tout repose sur l’identité, facile à établir :

Sn(x) = π21 ∫− −

π

πdttxDtf n ).().(

où Dn(t) est le noyau de Dirichlet : Dn(t) = ∑−=

n

nk

ikte =

)2/sin()2/)12sin((

ttn+

si t ∉ 2πZ.

Il s’ensuite aussitôt que Sn(x) = π21 ∫− −

π

πdttDtxf n ).().( ( chgt de var u = x − t et périodicité )

= π21 ∫ ++−

π

0).()].()([ dttDtxftxf n ( pliage et parité des Dn )

Sn(x) − φ(x) = π21 ∫ +−++−−−

π

0).()].0()()0()([ dttDxftxfxftxf n ( car c0(Dn) = 1 )

= π1 dtt

ttn

txftxf

txftxf

.2

.)2/sin(

)2/)12sin((].

)0()()0()([

0

++−++−−−∫

π

= π1 ∫ +

π

0).2/)12sin(().( dttnth ,

où h est réglée sur ]0, π], prolongeable par continuité en 0 car h(t) → f’d(x) − f’g(x) quand t → 0+. Il reste à conclure via Riemann-Lebesgue. Cqfd. 4.3. Généralisations : de Dirichlet à Jordan.

9 Peter Gustav LEJEUNE-DIRICHLET (1805-1859) fut un grand mathématicien allemand, proche ami de Carl Jacobi. Il vint à Paris en 1822 terminer ses études scientifiques, comme précepteur des enfants du général Foy. A l’automne 1826, il rencontra Niels Abel de passage à Paris, et le prit d’abord pour un compatriote. Nommé à son retour en 1826 Privatdocent à l’Université de Breslau, sur la recommandation de Fourier, Dirichlet devint ensuite professeur à l’École militaire, puis à l’Université de Berlin. Il publia à Berlin en 1829 un article intitulé Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données. Il fait par la suite d’importants travaux en théorie des nombres et en théorie du potentiel. À la mort de Gauss en 1855, Dirichlet fut élu pour lui succéder à Göttingen. Il eut pour successeur Riemann, qui, comme lui, mourut jeune. Dirichlet avait épousé la sœur cadette, Rebecca (1811-1858), du compositeur Félix Mendelssohn-Bartholdy (1809-1847). Il faut donc étudier ces théorèmes en écoutant la Symphonie écossaise… Ajoutons que la sœur bien-aimée de Mendessohn, Fanny (1805-1847), elle aussi compositeur, épousa en 1829 le peintre de cour Wilhelm Hensel et a eu pour petit-fils le mathématicien Kurt Hensel, créateur des nombres p-adiques. Pour en revenir à Dirichlet, on peut noter que c’est au tournant des années 1830, qui marque la fin de l’épopée polytechnicienne en France, et la génération de Dirichlet, Jacobi et Kummer, en Allemagne, que les mathématiques allemandes affirment leur suprématie. Et l’on se prend à rêver à la collaboration qui serait née entre Dirichlet et Abel, si celui-ci n’était pas mort préma-turément, et avait été nommé à Berlin.

15

Les résultats suivants sont hors programme. Aussi sont-ils donnés en exercices.

Exercice 1 : Soit f réglée 2π-périodique, admettant en tout point une dérivée à droite et à gauche.

Alors la série de Fourier de f converge simplement en tout x ∈ R vers φ(x) ≡ 21 [f(x + 0) + f(x − 0)] .

Exercice 2 : Soit f 2π-périodique, Riemann-intégrable sur tout segment. Soit x∈R tel que :

i) Les limites f(x + 0) et f(x − 0) existent ;

ii) Les intégrales impropres ∫ +−+π

0.)0()(tdtxftxf et ∫ −−−

π

0.)0()(tdtxftxf convergent.

Alors la série de Fourier de f converge au point x, et a pour somme φ(x) ≡ 21 [ f(x + 0) + f(x − 0) ] .

Les conditions ii) sont appelées conditions unilatérales de Dini. Mentionnons pour finir le résultat suivant (hors pgme), qui contient le th de Dirichlet et le th du §3 :

Théorème de Jordan : Soit f 2π périodique R → C, et à variation bornée sur [0, 2π].

1) La série de Fourier de f converge simplement en tout x∈R vers φ(x) ≡ 21 [ f(x + 0) + f(x − 0) ].

2) Si f est continue sur un segment J, alors la convergence est uniforme sur J.

(Rappelons qu’une fonction à variation bornée est réglée.)

5. Exemples de développements en série de Fourier. Développer une fonction en série de Fourier, c’est former sa série de Fourier exponentielle ou trigonométrique, et étudier les relations entre la fonction et sa série de Fourier, à la lumière des théorèmes disponibles (ici, les trois théorèmes du programme). 5.1. L’onde carrée ou créneau.

Il s’agit de la fonction � 2π-périodique définie par � (t) = 1 si t∈]0, π[, −1 si t∈]−π, 0[, 0 si t∈πZ. � est impaire et l’on a aussitôt :

� (t) ∼ π4 (

3)3sin(

1sin tt + +

5)5sin( t

+ … ) = π4 ∑

≥ ++

0 12))12sin((

k ktk

.

La formule de Parseval donne ∑≥ +0 )²12(

1k k

= 8²π , d’où l’on déduit ζ(2) =

6²π .

Le théorème de Dirichlet s’applique, car � est C1 par morceaux, et comme elle est réelle, on a :

(∀t ∈ R) � (t) = π4 (

3)3sin(

1sin tt + +

5)5sin( t

+ … ) = π4 ∑

≥ ++

0 12))12sin((

k ktk

.

Si l’on fait t = 2π , on retrouve la formule : ∑

≥ +−

0 12)1(

k

k

k =

4π . Prendre d’autres valeurs.

La série précédente converge simplement (Dirichlet), en moyenne quadratique (Parseval), pas uniformément, car � est discontinue, mais uniformément sur tout [α, π−α] (0 < α < π/2), en vertu du

th.4 de A.2, à condition d’en modifier légèrement la preuve (les sommes partielles Vn = sin t + sin 3t

+ … + sin (2n−1)t = tnt

sin²sin sont bornées, uniformément sur ces segments).

16

Exercice 1 : Phénomène de Gibbs.

1) Représenter graphiquement les sommes partielles de la série ; vérifier les résultats précédents. Quel phénomène nouveau voit-on apparaître ?

2) Soit Sn la somme partielle d’ordre n de la série. Montrer que :

Sn( )2nπ → π

2 dtt

t.sin0∫π

> 1 (voir § 5.2., ex. 1)

Exercice 2 : Développer en série de Fourier la fonction f 2π-périodique définie par f(t) = c2 si t ∈ ]0, π[ , c1 si t ∈ ]−π, 0[ ( f est incomplètement définie, mais c’est sans importance ). Définition de Fourier du nombre 1

Il découle des résultats précédents que : 1 = ∑+∞

= ++

0 12))12sin((

.4k k

tkπ pour 0 < t < π.

Pourquoi ne pas définir le nombre 1 de cette façon ? Après tout, cette définition du nombre 1 vaut bien celle de Bourbaki, et ferait sourire Archytas de Tarente… Hélas, ceux qui voudraient utiliser cette formule pour obtenir des valeurs approchées du nombre 1 doivent savoir que l’approximation est très mauvaise. 5.2. Le toit d’usine.

Soit f la fonction 2π–périodique définie par f(t) = 2

t−π si t∈]0, 2π[, f(0) = 0. f est impaire, et C1

par morceaux. On a : f(t) ∼ 2

)2sin(1

sin tt + +3

)3sin( t+ … = ∑

≥1

)sin(

n nnt

.

Il y a convergence en moyenne quadratique, et la formule de Parseval implique ζ(2) = 6²π .

Le théorème de Dirichlet s’applique, et il y a convergence simple de la série :

f(t) = 2

)2sin(1

sin tt + +3

)3sin( t+ … = ∑

≥1

)sin(

n nnt

.

Niels Abel observa en 1825 que cette série, déjà connue d’Euler, converge simplement vers une fonction discontinue, contredisant une affirmation du Cours d’Analyse de Cauchy selon laquelle toute série simplement convergente de fonctions continues a une somme continue. En réalité, il n’y a pas convergence uniforme, car f est discontinue, mais la convergence est uniforme sur tout segment [α, 2π−α] (0 < α < π), en vertu du th.4 de A.2. (Abel).

17

Exercice 1 : Phénomène de Gibbs.

1) Représenter graphiquement les sommes partielles Sn de la série ; visualiser les résultats précédents. Quel phénomène nouveau voit-on apparaître ?

2) a) Montrer que Sn(nπ ) → G = dt

tt.sin

0∫π

(constante de Wilbraham-Gibbs).

b) Montrer que t

tsin > 1 − πt2 sur [0, π] ; en déduire G >

2π .

c) Obtenir un développement en série de G, et calculer G à 10−3

près. d) La convergence de la série est-elle uniforme sur ]0, 2π[ ? 3) Montrer que les sommes partielles Sn sont uniformément majorées sur R.

[ Indication : on pourra étudier leurs variations, qui conduisent à ∀(n, x) | Sn(x) | < G. Mais on peut aussi prendre x ∈ ]0, π[, et découper la somme à l’aide de p = [π/x]. ]

4) On considère la série trigonométrique ∑≥1 ²

)cos(

n nnt

. Montrer qu’elle est définie et continue sur

R ; calculer sa somme.

Exercice 2 : On considère la série trigonométrique ∑≥

+1

)sin().11ln(n

ntn

.

1) Montrer que sa somme g(t) est partout définie ; nature de la convergence. 2) Montrer que g(t) est la somme du toit d’usine et d’une fonction continue périodique. En déduire qu’elle présente un phénomène de Gibbs analogue au précédent. 3) Vérifier cela en représentant graphiquement les sommes partielles de la série. 5.3. La quinconce.

Soit f la fonction 2π–périodique définie par f(t) = | t | si | t | ≤ π ; f est paire, continue, et C1 par

morceaux. On a : f(t) ∼ 2π − π

4 ∑≥ +

+0 )²12(

))12cos((n n

tn.

La formule de Parseval implique ∑≥ +0

4)12(1

n n =

96

4π ; d’où ζ(4) =

90

4π.

Il y a convergence normale de la série vers f.

Exercice : 1) Représenter sur un même graphe les sommes partielles de la série. 2) Faire t = 0, π ; essayer d’autres valeurs. 3) Développer en série de Fourier la « dérivée » de f . Que retrouve-t-on ? 5.4. Le feston.

18

Soit f la fonction 2π–périodique définie par f(t) = t2 si | t | ≤ π ; f est paire, continue et C

1 par

morceaux. On a : f(t) ∼ 3²π + 4 ∑

≥−

1 ²)cos(

.)1(n

n

nnt

.

La formule de Parseval implique ζ(4) = 90

4π. Il y a convergence normale de la série vers f.

Exercice 1 : 1) Que trouve-t-on si t = 0, π ? Prendre d’autres valeurs. 2) Représenter les sommes partielles de la série.

Exercice 2 : Développer en série de Fourier la « dérivée » de f.

Exercice 3 : Développer en série de Fourier la fonction f 2π–périodique définie par :

f(t) = 4²t −

2tπ +

6²π si 0 ≤ t ≤ 2π. Retrouver le résultat de l’ex. 1, 4) du § 5.2.

5.5. Développements eulériens des fonctions trigonométriques. Les séries de Fourier permettent d’obtenir à peu de frais d’importantes identités dues à Euler. Soit f la fonction 2π–périodique définie par f(t) = cos(αt) si | t | ≤ π. On suppose α ∈ C−Z (sinon ?). f est paire, continue et C

1 par morceaux, donc :

f(t) = απαπ)sin(

+ παπ)sin(

∑+∞

= −−1 ²²

2.)1(n

n

nαα .cos(nt) ,

et il y a convergence normale de la série vers f. Si l’on fait t = 0 puis t = π, on obtient :

)sin(απ

π = α1 + ∑

+∞

= −−1 ²²

2.)1(n

n

nαα et π.cotan(απ) = α

1 + ∑+∞

= −1 ²²2

n nαα .

Si α ∈ R−Z, Parseval donne )²(sin

²απ

π = ∑∈ −Zn n)²(

1α .

Exercice : Application.

1) Montrer que g(x) = cotan x − x1 est définie et continue sur ]−π, π[. Calculer ∫

xdttg

0).( .

2) En déduire que ∀x ∈ ]−π, π[ sin x = x ∏+∞

=−

1

)²²

²1(n n

xπ . Etendre cette formule à tout x .

___________ Exercices Exercice 1 : Soit 0 < h < π, f la fonction 2π-périodique définie par f(x) = 1 si |x| < h, 0 si h < |x| ≤ π.

Développer f en série de Fourier. En déduire ∑+∞

=1 ²²sin

n nnh = ).(

2hh −π , ∑

+∞

=1

sinn n

nh = 2

h−π .

Calculer ∑+∞

=1 ²²sin

n nnh et ∑

+∞

=1

sinn n

nh pour tout réel h. En déduire ∑+∞

=1 ²²sin

n nn et ∑

+∞

=1

sinn n

n .

Exercice 2 : Montrer les identités :

∀x ∈ ]0, π[ 2

x−π = ∑+∞

=1

)sin(n n

nx =

4π + π

2 ∑+∞

= ++

02)12(

))12cos((k k

xk.

∀x ∈ [0, π] x.(π − x) = 6²π − ∑

+∞

=1 ²)2cos(

k kkx

= π8 ∑

+∞

= ++

13)12(

))12sin((

k kxk

.

Application : calculer ζ(6).

19

Exercice 3 : Montrer la formule ∀x ∈ ]0, π[ cos x = π8 )2sin(.

)12)(12(1

nxnn

nn∑+∞

= +− .

Exercice 4 : Développer en série de Fourier la fonction f(x) = | sin x |.

Exercice 5 : En calculant un seul développement en série de Fourier, déterminer ceux de :

sup(sin, 0) , sup(cos, 0) , | sin | , | cos | .

Exercice 6 : Montrer ∀x ∈ [0, π] ∑+∞

=1 ²)cos(

n nnx

= 6²π −

2xπ +

4²x . En déduire ∑

+∞

=121

nkn

pour k = 1, 2, 3.

Exercice 7 : Développer en série de Fourier la fonction f 2π–périodique impaire telle que :

f(t) = t4 − 2πt

3 + π3

t sur [0, π]. Calculer ∑+∞

= +−

05)12(

)1(

k

k

k , ∑

+∞

= +010)12(

1k k

et ζ(10).

Exercice 8 : Développer en série de Fourier f(x) = exp(eix

). En déduire π21 ∫

π2

0

cos2 .dxe x = ∑+∞

=0 )²!(1

n n.

Retrouver cette formule directement.

Exercice 9 : Développer en série de Fourier la fonction 2π–périodique définie par g(t) = sin(αt) si |t| < π (α ∈ C − Z). Formules obtenues ?

Exercice 10 : 1) Développer en série de Fourier la fonction 2π–périodique définie par f(t) = ch(αt) si |t| ≤ π (α ∈ C − i.Z). Formules obtenues ?

2) Montrer que g(x) = coth x −x1 est continue sur R. Exprimer g(x) comme somme d’une série de

fonctions rationnelles.

3) Prouver que le produit infini ∏+∞

=+

1

)²

11(n n

converge, et calculer sa valeur.

Exercice 11 : Développer en série de Fourier la fonction 2π–périodique définie par g(t) = sh(αt) si |t| < π (α ∈ C − Z). Formules obtenues ?

Exercice 12 : Soit f(x) = π2x − E( π2

x ) − 21 .

1) Montrer que f est 2π-périodique ; étudier sa parité. 2) Développer f est série de Fourier. Convergence de la série de Fourier.

3) Soient p et q des entiers ≥1. Calculer ∫π2

0).().( dtqtfptf en fonction de p ∧ q et de p ∨ q.

Exercice 13 : Soit f une fonction continue 2π-périodique de R dans C.

On suppose (∀n ∈ Z) ∫ +π2

0

)12( .).( dtetf itn = 0. Montrer que f est π-périodique.

Exercice 14 : Existe-t-il une fonction réglée 2π-périodique dont la série de Fourier est ∑+∞

=1

)sin(

n n

nθ ?

Exercice 15 : Développer en série de Fourier la fonction 2π-périodique définie par f(x) = − ln|2sin2x |

si 0 < |x| ≤ π, f(0) = 0. Quels problèmes cela pose-t-il ?

Exercice 16 : Soit F : [0, 1]2 → R définie par F(x, y) = x(1 – y) si x ≤ y , F(x, y) = y(1 – x) si y ≤ x .

Montrer que F(x, y) = ²

2π ∑

+∞

=1 ²)sin().sin(

n nynxn ππ

.

Exercice 17 : Représenter les courbes d’équations :

20

21

1 )sin().sin()1(n

nynx

n

n∑+∞

=

−− = 0 , resp. 31

1 )cos().sin()1(

nnxny

n

n∑+∞

=

−− = 0.

Exercice 18 : Développer en série de Fourier f(x) = xcos45

1+ et g(x) =

xx

cos24cos1

−+ (2 méthodes).

Exercice 19 : Développer en série entière f(x) = ²cos.21

²1xx

x+−

−θ .

En déduire le développement en série de Fourier de g(θ) = θcos21

− .

Exercice 20 : Soit a ∈ R*. 1) Développer en série trigonométrique la fonction f(x) = xcha

shacos+ .

En déduire le développement en série de Fourier de f , puis la valeur des intégrales :

In = ∫− +π

πdx

xchanx

.cos

)cos(.

2) Calculer les intégrales In ( Indication : noter que In+1 + 2.ch a.In + In−1 = 0.) Retrouver le développement en série de Fourier de f.

3) Montrer que la fonction F(x, y) =xchy

shycos+ est harmonique sur R×R*.

Exercice 21 : Développer en série de Fourier f(x) = ln(5 – 3 cos x).

Exercice 22 : On pose f(x, θ) = Arctan(xx

+−

11 .tan θ).

1) Pour θ ∈ ]−2π ,

2π [, donner le développement en série entière de x → f(x, θ) en 0.

2) Pour x ∈ ]−1, 1[, donner le développement en série de Fourier de θ → f(x, θ).

Exercice 23 : Développer en série de Fourier f(x) = x²cos1

1+ .

Exercice 24 : Montrer que S(x) = ∑+∞

= +−

1 ²)²²()cos()1(

k

k

kakkx

est de classe C2 et vérifie sur [−π, π] l’équation

différentielle S’’(x) − a2.S(x) =

12²π −

4²x . Calculer S(x).

Exercice 25 : Trouver les fonctions f C∞

2π-périodiques telles que (∀x) f(2x) = 2.sin(x).f’(x) .

Exercice 26 : Trouver les fonctions f de classe C1, 2π-périodiques, à valeurs réelles telles que :

(∀x) 2 f(x + 1) = f(x) + f(2x) .

Exercice 27 : Résoudre les équations différentielles :

y’’ + y = | sin t | y’’ + y = max(sin t, 0) y’’− y = | sin2t | y

(4) + 5.y’’ + 4y = | sin(2t) | .

Exercice 28 : Soit g continue 2π–périodique R → C, (E) équation différentielle y’’ – 2y’ + y = g(x). 1) Montrer que (E) admet une unique solution 2π–périodique. 2) Calculer ses coefficients de Fourier à l’aide de ceux de g.

6. Convolution, suites en delta.

6.1. L’algèbre de convolution RRRR2ππππ(R, C).

Définition 1 : Si f et g sont réglées 2π-périodiques R → C, on appelle convolée de f et g la fonction

définie par : (∀x ∈ R) ( f ∗ g )(x) = π21 ∫(2π) f(x − t).g(t).dt .

21

En allemand, la convolée se nomme faltung.

Exemples : 1) La somme partielle d’ordre n de la série de Fourier de f est la convolée de f avec le noyau de

Dirichlet d’ordre n : Dn(t) = ∑−=

n

nk

ikte =

)2/sin()2/)12sin((

ttn+

.

2) Soit 0 < h < π, dh la fonction 2π-périodique définie par dh(x) = hπ si |x| < h, 0 si h < |x| ≤ π.

Alors, pour tout x, ( f ∗ dh)(x) = h21 ∫

+

−

hx

hxduuf ).( .

Proposition 1 : i) La convolution est une loi interne bilinéaire, commutative, associative, sans

élément neutre dans CCCC2π(R, C), et même dans RRRR2π(R, C).

ii) Si l’une des fonctions est de classe Cp, ou est un polynôme trigonométrique, il en est de même

de leur convolée. iii) La série de Fourier de la convolée a pour coefficients les produits des coefficients de f et g :

(∀n ∈ Z) cn( f ∗ g) = cn(f).cn(g) , en d’autres termes ( f ∗ g )(θ) ∼ ∑∈Zn

nn gcfc )().( .einθ

.

Preuve : laissée en exercice. Pour l’associativité, utiliser les ∫∫. Montrons seulement que ∗ n’a pas

d’élément neutre : si δ était élément unité, on aurait : ∀f ∈ CCCC2π(R, C) δ ∗ f = f . Appliquant ceci aux

en, il viendrait (∀n ∈ Z) π21 ∫(2π) δ(θ).e

−inθ.dθ = 1 , contredisant Riemann-Lebesgue.

ii) signifie que le bébé hérite de toutes les qualités de ses parents ! Si f est continue et g réglée, f ∗ g est continue en vertu du théorème de convergence dominée. Si f est C

k, f ∗ g aussi et ( f ∗ g )

(k) = f

(k) ∗ g. Enfin, pour tout n, (en ∗ g) = cn(g).en.

iii) Utiliser des intégrales doubles, ou noter que cn(f) = (en ∗ f)(0).

Exercice 1 : Calculer f ∗ � , � ∗ � .

Exercice 2 : Calculer an( f ∗ g) et bn( f ∗ g) à l’aide de an(f), bn(f), an(g) et bn(g).

Exercice 3 : 1) Montrer que PPPPn est une algèbre pour la convolution, unifère d’unité Dn, noyau de

Dirichlet, et diagonale, c’est-à-dire isomorphe à l’algèbre C2n+1

.

2) Montrer qu’il existe un élément ∆n ∈ PPPPn tel que (∀P ∈ PPPPn) ∆n ∗ P = P’. Exprimer ∆n à l’aide de

Dn . Application : Soit f ∈ PPPP ; résoudre dans l’équation différentielle y’’ − ω2 y = f.

Exercice 4 : 1) Montrer que CCCC2π(R, C) admet des diviseurs de zéro f, g ≠ 0 tels que f ∗ g = 0.

2) Résoudre f ∗ f = f dans CCCC2π(R, C).

3) On note f [k]

= f ∗ … ∗ f ( k fois ). Soit P(X) = a1.X + … + an.Xn un polynôme complexe.

Résoudre l’équation P(f) ≡ ∑=

n

kka

1

. f [k] = 0 , où f ∈ CCCC2π(R, C).

Exercice 5 : On munit CCCC2π(R, C) de la norme || f ||1 = π21 ∫(2π) | f(t) |.dt.

1) Montrer que || f ∗ g ||∞ ≤ || f ||1.|| g ||∞ ≤ || f ||∞.|| g ||∞ ; conséquences ?

2) Montrer que || f ∗ g ||∞ ≤ || f ||2.|| g ||2 ; conséquences ?

3) Montrer que || f ∗ g ||1 ≤ || f ||1.|| g ||1 ; conséquences ?

Exercice 6 : Soit h > 0. A toute f ∈ E = CCCC2π(R, C) on associe la fonction fh(x) = h21 ∫

+

−

hx

hxdttf ).( .

Montrer que T : f → fh est un endomorphisme de E. Valeurs propres ? Lien avec la convolution ?

22

Exercice 7 : Soit E = CCCC2π(R, R). Pour f ∈ E, on définit Φ(f) par

(∀x ∈ R) Φ(f)(x) = π21 ∫(2π) |sin

2tx− |.f(t).dt .

Montrer que Φ est un endomorphisme de E. Valeurs et vecteurs propres ?

Exercice 8 : Soient E = CCCC2π(R, R), g ∈ E fixé. Pour f ∈ E, on pose Φ(f) = f ∗ g. Montrer que Φ est un endomorphisme de E. Valeurs et vecteurs propres ?

Exercice 9 : Soit E = CCCC2π(R, R) muni de || f ||1. Pour f ∈ E, on définit Φ(f) par :

(∀x ∈ R) Φ(f)(x) = ∫+∞

− +0

).( dttxfe t .

Montrer que Φ est un endomorphisme continu de E. Est-il bijectif ? Valeurs et vecteurs propres ?

Définition 2 : On appelle suite en delta toute suite (gn) d’éléments de CCCC2π(R, C) vérifiant les trois

axiomes : (∆1) (∀n ∈ N) (∀x ∈ R) gn(x) ≥ 0 ;

(∆2) limn→+∞ π21 ∫(2π) gn(t).dt = 1 ;

(∆3) ∀α ∈ ]0, π[ π21 ∫ ≤≤ πα t

n dttg ).( = 0 .

Les axiomes signifient que les gn sont positives, d’intégrales moyennes tendant vers 1, et d’aires se concentrant au voisinage de 0 et de ses translatés. La notion de suite en delta s’étend sans peine à celle de famille en delta, indexée par un réel (cf. § 6.2., ex.3).

Théorème 2 : Si (gn) est une suite en delta, pour toute f ∈ CCCC2π(R, C), la suite ( f ∗ gn) converge uniformément vers f.

Preuve : (f ∗ gn)(x) − f(x) = π21 ∫

+

−−−

π

π)]()([ xftxf .gn(t).dt + f(x).[ π2

1 ∫+

−

π

πdttgn ).( − 1]

= π21 ∫

+

−−−

α

α)]()([ xftxf .gn(t).dt + π2

1 ∫ ≤≤−−

πα tn dttgxftxf ).()].()([ + f(x).[ π2

1 ∫+

−

π

πdttgn ).( − 1]

D’où | (f ∗ gn)(x) − f(x) | ≤ π21 ∫

+

−−−

α

α)()( xftxf .gn(t)dt + π2

1 ∫ ≤≤−−

πα tn dttgxftxf ).(.)()( +

| f(x) |.| π21 ∫

+

−

π

πdttgn ).( − 1|

≤ π21 ∫

+

−−−

α

α)()( xftxf gn(t)dt + π2

1 2.|| f ||∞ ∫ ≤≤ πα tn dttg ).( + || f ||∞ | π2

1 ∫+

−

π

πdttgn ).( − 1|

Pour l’instant, α est un réel quelconque compris entre 0 et π. Il est temps de prendre notre ε !

Soit ε > 0 . f étant continue 2π-périodique est uniformément continue sur R.

On peut donc choisir α ∈ ]0, π[ tel que ∀(u, v) ∈ R2 | u − v | ≤ α ⇒ | f(u) − f(v) | ≤ ε.

Dès lors, pour tout réel x

| ( f ∗ gn )(x) − f(x) | ≤ πε

2 ∫+

−

α

αdttgn ).( + π

1 || f ||∞ ∫ ≤≤ πα tn dttg ).( + || f ||∞ | π2

1 . ∫+

−

π

πdttgn ).( − 1|

≤ πε

2 ∫+

−

π

πdttgn ).( + π

1 || f ||∞ ∫ ≤≤ πα tn dttg ).( + || f ||∞.| π2

1 ∫+

−

π

πdttgn ).( − 1|

≤ B.ε + π1 || f ||∞ ∫ ≤≤ πα t

n dttg ).( + || f ||∞ | π21 ∫

+

−

π

πdttgn ).( − 1|

car la suite ( π21 ∫

+

−

π

πdttgn ).( ) est convergente donc bornée.

αααα étant ainsi choisi, en vertu de (∆2) et (∆3), il existe n0 tel que, pour n ≥ n0, on ait, pour tout x,

| ( f ∗ gn )(x) − f(x) | ≤ ( B + 2 ).ε. CQFD. Vive Weierstrass !

23

Remarque : Une suite en delta est parfois dite système d’unités approchées, ou suite de Dirac. Si l‘expression « suite en delta » fait référence à l’allure des graphes des gn (on pourrait la nommer plus justement « suite phallique »), l’expression « système d’unités approchées » insiste sur le fait que les gn tendent vers un objet idéal, qui joue le rôle d’élément neutre pour la convolution. Cette limite n’existe pas en tant que fonction… ni en tant que limite. Si l’on voulait donner un fondement rigoureux à cette utopie ou idéalité mathématique, il faudrait, d’une part plonger l’algèbre de convolution des fonctions continues 2π–périodiques dans un sur-anneau unifère, d’unité ∆, et d’autre part le doter d’une notion de limite, afin de pouvoir affirmer que (gn) tend vers ∆. Tout cela peut se faire dans le cadre des distributions de Schwartz (∆ est le « peigne de Dirac »), mais retenons plus poétiquement que l’élément neutre est une « fonction » valant +∞ en les 2kπ, 0 ailleurs, et de valeur moyenne 1 sur une période, et que le phallus tend vers l’élément neutre… Michel-Ange, dessin (vers 1512) Musée du Vatican

6.2. Premiers exemples de suites en delta.

Exercice 1 : Donner un exemple de suite en delta formée de fonctions affines par morceaux. Retrouver le fait que la convolution n’a pas d’élément neutre.

Exercice 2 : Noyau de de la Vallée Poussin (1908).

Pour tout n ∈ N, on pose gn(x) = Cn.cos2n

(2x ) , où Cn est tel que ∫−

π

πdttgn ).( = 2π.

1) Montrer que les gn sont des polynômes trigonométriques, qui forment une suite en delta. 2) En déduire le théorème de Weierstrass trigonométrique.

Exercice 3 : Noyau d’Abel-Poisson.

Pour tout r ∈ [0, 1[, on pose Pr(θ) = ∑n∈Z r|n|

.einθ

= 1 + 2 ∑+∞

=1

)cos(.n

n nr θ .

1) Calculer Pr(θ). Etudier les variations de Pr(θ) sur R.

2) Soit f ∈ RRRR2π(R, C). Exprimer la série de Fourier de f ∗ Pr à l’aide de celle de f.

3) Montrer que si f ∈ CCCC2π(R, C) , ( f ∗ Pr ) tend uniformément vers f lorsque r ↑ 1. 6.3. La théorie de Fejér.

Après ces exemples, revenons à notre propos principal. Si (Dn) est la suite des noyaux de Dirichlet,

on a déjà observé que : ∀n ∈ N , ∀ f ∈ RRRR2π(R, C) Sn(f) = f ∗ Dn . Hélas, (Dn) n’est pas une suite

en delta, car elle n’est pas formée de fonctions ≥ 0. Si elle l’était, pour toute fonction f ∈ CCCC2π(R, C),

Sn(f) tendrait uniformément vers f, et la théorie des séries de Fourier serait beaucoup plus simple !

En 1900, un jeune hongrois de 20 ans, L. Fejér, eut l’idée de considérer les moyennes de Cesàro des sommes partielles de Fourier de f :

σn(f) = n1 .[S0(f) + S1(f) + … + Sn−1(f)] = f ∗ Fn , où Fn =

n1 .[D0 + D1 + … + Dn−1].

Théorème de Fejér (1900) : i) On a Fn(x) = )2/²(sin.)2/²(sin

xnnx

si x ∉ 2πZ , Fn(x) = n si x ∈ 2πZ.

ii) (Fn) est une suite en delta formée de polynômes trigonométriques.

iii) Pour toute f ∈ CCCC2π(R, C), σn(f) tend uniformément vers f.

Autrement dit, la série de Fourier de f converge uniformément vers f en moyenne de Cesàro. On retrouve en particulier le théorème de Weierstrass. Retenons pour l’heure que :

Le noyau de Fejér bande mieux que celui de Dirichlet ! Qu’on en juge :

24

Noyau de Dirichlet

Noyau de Fejer

6.4. Résultats complémentaires.

Exercice 1 : Lagrange affirmait que la série ½ + cos(θ) + cos(2θ) + … a une somme nulle.

Or ses sommes partielles valent )2/sin(.2

)2/)12sin((θ

θ+n si θ ∉ 2πZ , n +

21 sinon. Elles divergent !

En quel sens peut-on cependant donner raison à Lagrange ? Exercice 2 : On définit plus généralement la convolée de deux fonctions réglées 2π-périodiques. 1) Montrer qu’elle est continue dès que l’une des fonctions est continue. 2) Montrer qu’elle est même toujours continue (passer par f fonction périodique en escaliers, etc.)

Exercice 3 : Montrer que le th 2 du § 6.1. reste vrai si les gn ∈ RRRR2π(R, C).

Exercice 4 : Soit (gn) une suite en delta de fonctions continues ou réglées.

Montrer que, pour toute fonction f ∈ RRRR2π(R, C), (f ∗ gn)(x) converge vers f(x) en tout point où f est

continue ; si de plus f est continue sur [a, b], ( f ∗ gn)(x) tend vers f(x) simplement sur ]a, b[, et uniformément sur tout segment [c, d] ⊂ ]a, b[.

Exercice 5 : On appelle suite en delta généralisée toute suite (gn) d’éléments de RRRR2π(R, C) véri-

fiant les 3 axiomes : (∆1) (∃C > 0) (∀n ∈ N) π21 ∫(2π) |gn(t)|.dt ≤ C ;

(∆2) limn→+∞ π21 ∫(2π) gn(t).dt = 1 ;

(∆3) ∀α ∈ ]0, π[ π21 ∫ ≤≤ πα t

n dttg .)( = 0 .

Montrer que le th. 2 du § 6.1. reste vrai.

Exercice 6 : Constantes de Lebesgue.

25

Soit E l’espace CCCC2π(R, C) muni de la norme uniforme. Pour toute f ∈ E, soit Sn(f) la somme partielle d’ordre n de sa série de Fourier.

1) Vérifier que Sn(f)(x) = π21 ∫− −

π

πdttxDtf n ).().( , où Dn(t) =

)2/sin()2/)12sin((

ttn+

.

2) Montrer que les formes linéaires f → Sn(f)(0) ont pour normes les constantes de Lebesgue :

Ln = π1 dt

ttn

.)2/sin(

)2/)12sin((0∫

+π.

3) Montrer que Ln ≥ π2 ∫

+π

0.

)2/)12sin((dt

ttn

. En déduire que Ln → +∞, et que (Dn) n’est pas une

suite en delta généralisée. 4) Déduire du théorème de Banach-Steinhaus qu’il existe au moins une fonction f ∈ E telle que (Sn(f)(0)) ne tende pas vers f(0). Formulaire dans le cas des fonctions T-périodiques

Définition : Soit T > 0, ω = Tπ2 , f ∈ RRRRT (R, C) une fonction réglée T-périodique. On appelle :

série de Fourier exponentielle de f la série trigonométrique ∑∈Zn

n fc ).( einωθ

, où :

(∀n ∈ Z) cn(f) = T1 ∫(T) f(θ).e

−inωθ.dθ (coefficients de Fourier exponentiels de f) .

série de Fourier trigonométrique de f la série trigonométrique :

2

)(0 fa + ∑

≥1

)(n

n fa .cos(nωθ) + bn(f).sin(nωθ) , où :

(∀n ∈ N) an(f) = T2 ∫(T) f(θ).cos(nωθ).dθ et (∀n ∈ N*) bn(f) =

T2 ∫(T) f(θ).sin(nωθ).dθ.

Les an(f) et bn(f) sont les coefficients de Fourier trigonométriques de f.

On a les relations (∀n ∈ N) an(f) = cn(f) + c−n(f) , (∀n ∈ N*) bn(f) = i (cn(f) − c−n(f))

c0(f) = 2

)(0 fa , (∀n ∈ N*) cn(f) =

21 (an(f) − i.bn(f)) et c−n(f) =

21 (an(f) + i.bn(f))

La formule de Parseval s’écrit :

∑∈Zn

| cn(f) |2 =

41 | a0(f) |2 +

21∑n≥1 |an(f)|

2 + |bn(f)|

2 = ( f | f ) =

T1 ∫(T) | f(θ) |

2.dθ

Les autres théorèmes se traduisent aussitôt. Une remarque capitale pour finir : Si f ∈ RRRR([a, b], C) est une fonction réglée sur le segment [a, b], on peut l’approcher en moyenne quadratique par exemple par des polynômes de Legendre modifiés, mais on peut aussi la rendre T-périodique, avec T = b − a, et la développer en série de Fourier. Si f(a) ≠ f(b), on modifiera éventuellement ses valeurs en a ou b.10

10 Si f est de classe C1 sur [a, b] et f(a) ≠ f(b), il faut s’attendre à un phénomène de Gibbs aux points a et b. Pour pallier cet inconvénient, on peut prolonger f à [a, 2b−a] en effectuant une symétrie par rapport à la droite x = b, puis prolonger f en une fonction 2(b−a) périodique. Ainsi, la fonction f(t) = (π−t)/2 sur [0, 2π] peut être prolongée en un toit d’usine ou en une quinconce. Dans le premier cas, on obtient une série de Fourier en sinus avec phénomène de Gibbs, dans le second une série en cosinus avec convergence normale.

26

Problèmes

Problème 1 : le contre-exemple de Fejér (1905).

Soit f : R → C la fonction paire, 2π-périodique, telle que ∀x ∈ [0, π] f(x) = ∑+∞

=+

1

)2

)12sin((.²

1 3

p

p xp

.

1) Vérifier que f est définie et continue sur R. Représenter graphiquement ses sommes partielles.

2) On pose a0,ν = 21 . ∫ +

πν

0).2/)12sin(( dtt et ak,ν = ∫ +

πν

0).2/)12sin(().cos( dttkt si k ≥ 1.

a) Soit sq,ν = ∑=

q

kka

0,ν . Montrer que si ν est fixé, limq→+∞ sq,ν = 0.

b) Calculer ak,ν . Montrer que ∀(q, ν) sq,ν > 0 et que maxq sq,ν = sν,ν .

c) Montrer (∃B > 0) (∀ν ≥ 1) sν,ν ≥ B. ln n.

d) Exprimer an(f) en fonction des ak,ν .

3) Soit Sn(x) = 2

)(0 fa + ∑

=

n

kk kxfa

1

)cos().( . Vérifier que Sn(0) = π2 ∑

≥1 ²1

p p.sn,2^(p^3−1) ,

puis que Sn(0) ≥ D.p, pour tout n, où D est indépendant de p. Conclusion ? Le problème suivant aborde un des plus vieux problèmes des mathématiques, dont l’origine fabuleuse remonte à Didon et Enée. Ce problème est toujours l’objet d’actives recherches 11.

Problème 2 : étude des convexes du plan.

Soit p une fonction de classe C2 2π-périodique R → R, vérifiant : (∀θ ∈ R) p(θ) + p’’(θ) > 0.

Dans le plan euclidien orienté rapporté au repère orthonormé (O, i , j ), on note :

(u (θ), v (θ)) le repère radial : u (θ) = cos(θ). i + sin(θ). j , v (θ) = u (θ + 2π )

D(θ) la droite d’équation x.cos θ + y.sin θ − p(θ) = 0 D’(θ) la droite d’équation − x.sin θ + y.cos θ − p’(θ) = 0 .

1) a) Montrer que D(θ) ∩ D’(θ) est un singleton {M(θ)}. Soit Γ l’arc paramétré décrit par M(θ). Montrer qu’il est de classe C

1. Reconnaître la tangente et la normale en M(θ) à Γ.

b) Montrer que Γ − {M( θ)} est contenu dans l’un des demi-plans ouverts délimités par D(θ).

c) On note Π+(θ) le demi-plan { (x, y) ; x.cos θ + y.sin θ ≤ p(θ) }.

Montrer que Iθ

θ)(+Π est un convexe compact K d’intérieur non vide, de frontière Γ.

2) Exprimer la longueur L de Γ et l’aire A de K à l’aide des fonctions p et p’, puis des coefficients

de Fourier cn(p), n ∈ Z.

3) En déduire A ≤ π4²L , avec égalité ssi Γ est un cercle.

C’est l’inégalité isopérimétrique, démontrée par la méthode d’Hurwitz (1901).

4) On appelle épaisseur de K dans la direction u (θ), et on note eK(θ) la longueur de sa projection

sur la droite R.u (θ). Montrer que eK(θ) = p(θ) + p(θ + π), et en déduire la formule de Cauchy :

11 « Je n’oublierai jamais d’avoir vu à Turin un jeune homme à qui dans son enfance on avoit appris les rapports des contours et des surfaces en lui donnant chaque jour à choisir dans toutes les figures géométriques des gauffres isopérimètres. Le petit gourmand avoit épuisé l’art d’Archimède pour trouver dans laquelle il y avoit le plus à manger. » raconte Jean-Jacques Rousseau dans Emile (Livre II, Pléïade, p. 401)

27

L = 21 ∫

πθθ

2

0).( deK .

Soit D le diamètre de K. Montrer l’encadrement 2D < L ≤ πD. Quand a-t-on L = πD ?

5) On appelle épaississement de K de rayon r ≥ 0 :

V(K, r) = { x ∈ E ; d(x, K) ≤ r } = K + B’(O, r) .

a) Montrer que V(K, r) est un convexe compact. Comment paramétrer sa frontière ? b) En déduire que l’aire de V(K, r) est un trinôme en r, donné par la formule de Steiner-Minkowski : A(V(K, r)) = π.r

2 + L(K).r + A(K) .

Problème 3 : applications combinatoires et probabilistes.

1) Calculer π21 ∫−

+π

πdx

xxn

.))2/sin(

)2/)12sin((( 3 . Interprétations combinatoire et probabiliste.

2) Calculer Imn = π21 ∫−

++π

πdx

xxm

xxn

.)2/sin(

)2/)12sin((.

)2/sin()2/)12sin((

pour (m, n) ∈ N2.

3) Soient n, s ∈ N. Montrer que :

card{ (x, y, z) ∈ [−n, n]3 ; −s ≤ x + y + z ≤ s } = π2

1 ∫−++π

πdx

xxs

xxn

)2/sin()2/)12sin((

.))2/sin(

)2/)12sin((( 3 .

4) Soit an le coefficient du terme constant du développement de (1/x + 1 + x)n. Exprimer an sous

forme intégrale, et en déduire un équivalent et un développement asymptotique de an.

Problème 4 : fonction θθθθ de Jacobi, formule de Poisson. 12

1) Domaine de définition de la fonction θ(t) = ∑∈

−Zn

tn )²exp( π , où la variable t est réelle. Montrer

que θ est continue et de classe C∞

sur *+R ; monotonie, concavité limites aux bornes, graphe ?

2) On fixe t > 0 et on considère la fonction f(x) = exp(−πtx2) et sa transformée de Fourier intégrale

φ(u) = ∫R f(x).exp(−2iπux).dx (u ∈ R). Montrer que φ est définie sur R ; calculer φ(0). Montrer que

φ est de classe C1 et vérifie l’équation différentielle : y’(u) = − 2πu

tuy )(

. En déduire φ(u).

3) On pose F(x) = ∑∈

+Zp

pxf )( . Montrer que F est définie sur R, continue et 1-périodique.

Développer F en série de Fourier, et en déduire la formule de Poisson : (∀t > 0) θ(t) = t

t)/1(θ.

Problème 5 : sommes de Gauss.

Pour tout entier m ≥ 1, on note G(m) = ∑−

=

1

0

)²2exp(m

k mkiπ .

On se propose de montrer que G(m) = mii m).)(1.(2

1 −++ .

Soit f la fonction 2π−périodique de R dans C telle que f(t) = ∑−

=

+1

0

)2

)²2(exp(

m

k mkt

i ππ

pour t ∈ [0, 2π].

12 On trouvera un énoncé plus complet dans le chapitre sur les séries de fonctions (§ 6).

28

1) Montrer au moyen du changement de variable t = 2π(u − k) + mnπ, que

(∀n ∈ Z) cn(f) = exp(− iπ )2

²mn . ∫−

−2

2

).²2exp(mnm

mn dumui π .

2) Que dire de la série de Fourier de f ?

3) On pose pour tout q ∈ Z : uq = ∫+ )1(

).²2exp(qm

mqdu

mui π et vq = ∫

+

−2

1

21 ).²2exp(

qm

qm

dumui π ,

de sorte que c2q = u−q et c2q+1 = exp(− iπ )2m ).v−q.

Montrer que G(m) = f(0) = lim q→+∞ ∑−=

q

qkku + (−i)

m. lim q→+∞ ∑

−=

q

qkkv

En déduire que G(m) = [1 + (−i)m]. ∫

+∞

∞−du

mui ).²2exp( π

[On montrera au passage la convergence de cette intégrale.]

4) Calculer G(1) . En déduire ∫+∞

∞−duui ²).2exp( π , et conclure.

Problème 6 : fonctions propres d’un noyau.

Cf. Problèmes sur les équations différentielles, pb. 11. Comme on l’a dit, les équations de la propagation de la chaleur furent à l’origine des travaux de Fourier. L’exercice suivant n’est qu’une introduction au sujet. On pourra aussi consulter le pb ENSI 1993, ENSET 1992, le livre de Kahane (noyau de Weiertrass).

Problème 7 : équation de la chaleur.

La température d’une barre de longueur π est maintenue à ses extrémités à la valeur 0. Cette température est une fonction u : D = [0, π]×[0, +∞[ → R, continue, telle que les dérivées partielles

tu

∂∂ ,

xu

∂∂ ,

²²xu

∂∂ existent, soient continues sur D, et vérifient :

∀(x, t) ∈ D tu

∂∂ (x, t) =

²²xu

∂∂ (x, t)

∀t ∈ [0, +∞[ u(0, t) = u(π, t) = 0

∀x ∈ [0, π] u(x, 0) = f(x) ,

où f : [0, π] → R est une fonction de classe C1, telle que f(0) = f(π) = 0.

Montrer que ∀(x, t) ∈ D u(x, t) = ∑+∞

=

−

1

² sin.n

tnn nxeb , où, pour tout n ∈ N*, bn = π

2 ∫π

0).sin().( dynyyf .

La théorie des ondelettes a renouvelé récemment l’analyse harmonique et la théorie du signal. Son point de départ est une critique des séries de Fourier : puisque celles-ci marchent mal, pourquoi ne pas changer la base orthonormée de décomposition, et chercher des bases orthonormées relativement auxquelles il y ait à la fois convergence uniforme et en moyenne quadratique de la série obtenue ? Le problème suivant ne fait qu’introduire à la préhistoire de cette théorie.

Problème 8 : ondelettes de Haar (1909).

Soit I = [0, 1[, E l’espace vectoriel des fonctions I → R continues par morceaux, bornées, et continues à droite en tout point.

29

1) Montrer que ( f | g ) = ∫ [1,0[).().( dttgtf est un produit scalaire sur E, et que l’espace préhilbertien

ainsi défini n’est pas complet. [On pourra considérer la fonction ϕ(t) = sint1 si t ∈ ]0, 1[ , ϕ(0) = 0.]

2) Soit h la fonction R → R définie par h(x) = 1 si x ∈ [0, 21 [ , −1 si x ∈ [

21 , 1[ , 0 sinon.

On définit la suite (hn) de fonctions I → R par : h0(x) = 1 ;

hn(x) = 2m/2

h(2m

.x − k) où n ≥ 1 , et n = 2m

+ k ( 0 ≤ k < 2m

).

a) Représenter graphiquement les fonctions hn pour 0 ≤ n ≤ 7.

b) Montrer que (hn) est une suite orthonormale d’éléments de E (système orthonormal de Haar).

3) a) Pour tout N soit VN le sous-espace de E engendré par h0 , h1 , …, hN. Montrer qu’il existe une

décomposition de I en N+1 intervalles disjoints de la forme [α, β[ tels que toute fonction f ∈VN soit constante dans chacun de ces intervalles. Réciproquement, établir que toute fonction ayant cette propriété appartient à VN.

b) Soient f ∈ E, ∑n≥0 (hn | f).hn sa série de Fourier-Haar, SN(f) = ∑=

N

n

nn hfh0

).( la somme partielle

d’indice N de cette série. Montrer que, dans chacun des intervalles [α, β[ où toutes les fonctions de

VN sont constantes, on a : SN(f) = ∫− [,[).(1

βααβ dxxf .

c) En déduire que, pour toute f continue dans [0, 1], la série de Fourier-Haar de f converge uniformément vers f. d) En conclure que (hn) est un système orthonormal total dans E, i.e. que pour toute g ∈ E la série de Fourier-Haar de g converge en moyenne quadratique vers g. En déduire :

∀( f, g) ∈ E2 ∫ [1,0[

).().( dttgtf = ∑n≥0 (hn | f).(hn | g) (formule de Parseval-Haar).

4) Quel avantage présente le système de Haar par rapport à celui de Fourier ?

Quels inconvénients présente-t-il ?

___________ La difficile naissance des séries de Fourier Lorsque Joseph Fourier (1768-1830), préfet de l’Isère, envoie à l’Institut en 1807 son premier Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, Lagrange s’oppose fermement à ce qu’écrit Fourier sur les séries trigonométriques, et le mémoire n’est pas publié. Cependant, le sujet est mis au concours, et Fourier remporte le prix en 1811, non sans réserves : « Cette pièce renferme les véritables équations différentielles de la transmission de la chaleur, soit à l’intérieur d’un corps, soit à leur surface ; et la nouveauté du sujet, joint à son importance, a déterminé la Classe à couronner cet Ouvrage, en observant cependant que la manière dont l’Auteur parvient à ses équations n’est pas exempte de difficultés, et que son analyse, pour les intégrer, laisse encore quelque chose à désirer, soit relativement à la généralité, soit même du côté de la rigueur. » Fourier ne se découragea pas, et publia en 1822 la Théorie analytique de la chaleur, comprenant l’exposé des séries et intégrales de Fourier. De fait, pendant longtemps encore, ces théories furent considérées avec méfiance par les mathématiciens, et comme faisant partie de la physique mathématique. Cependant, leur manque de

30

rigueur initiale stimula les recherches et, à mesure que les résultats partiels s’accumulaient, se constitua une théorie mathématique à part entière, qui joua un rôle de plus en plus central. Plusieurs grands mathématiciens ont contribué à cette théorie : au XIXème siècle, Dirichlet, Riemann et Jordan, au XXème, Fejér, Lebesgue et Fatou, et, après le tournant des années 1930, Schauder, Wiener et Paley, Pontryaguine et Gelfand. Après guerre, la théorie des distributions de Schwartz a permis de donner une justification rigoureuse aux formules de Fourier relatives à la transformation de Fourier intégrale. Les années 1980 ont vu l’essor de la théorie des ondelettes, qui sont des bases orthonormales moins naturelles que les harmoniques en sinus-cosinus, mais possédant de meilleures performances. La biographie de Fourier par Dhombres et Robert, et le livre de Kahane et Lemarié sur les séries de Fourier racontent, le premier, la vie de Fourier, le second, l’historie de ses théories jusqu’à nos jours. Je renvoie à ces deux livres, vraiment passionnants. Lipot FEJÉR (Pécs 1880 – Budapest 1959) Lipot Fejér, né Léopold Weiss, changea de nom vers 1900 pour marquer sa solidarité avec la culture hongroise. Cette pratique, courante à l’époque, n’empêcha pas la montée de l’antisémitisme13. En 1897, il avait remporté un prix lors d’une des premières compétitions mathématiques de Hongrie. Il étudia ensuite, jusqu’en 1902, les mathématiques et la physique aux universités de Budapest et de Berlin, où il fut étudiant de H. A. Schwarz14 (celui-ci refusa de lui parler après qu’il ait changé de nom). Il termina ses études en 1901 à l’université de Budapest, soutint sa thèse en 1902. De 1902 à 1905 il enseigna à l’université de Budapest, et de 1905 à 1911 à celle de Kolosvar (aujourd’hui Cluj, en Roumanie). En 1911 il fut nommé sur la chaire de mathématiques de l’université de Budapest, et prit la tête de la brillante école hongroise d’analyse : F. et M. Riesz, A. Haar, G. Polya, G. Szegö, P. et O. Sasz, etc.

Dans sa thèse de 1902, Fejer démontre un théorème sur les séries trigonométriques sommables, qui fut le point de départ de recherches fructueuses sur les séries divergentes et leurs procédés sommatoires. Ses travaux portent sur la théorie des fonctions et les développements en série de Fourier. Le noyau de Fejer appliqué à une fonction continue périodique est la moyenne de Cesaro des sommes de Fourier ; il converge uniformément vers celle-ci. On lui doit aussi en 1905 un contre-exemple de fonction continue qui n’est pas la somme de sa série de Fourier (cf. E.U. Analyse harmonique et Séries trigonométriques). Fejér écrivit en collaboration deux papiers importants, l’un avec Carathéodory en 1907 sur les fonctions entières, l’autre avec Riesz en 1922 sur les applications conformes.

Lemme de Fejer-F. Riesz (1916) : Tout polynôme trigonométrique p(eit) ≥ 0 peut être écrit sous la forme

| q(eit) |², où q est un polynôme trigonométrique.

Théorème taubérien de Féjer : Soit ∑ an.xn une série entière de rayon 1, de somme f(x). Si limx→1−0 f(x) = λ

et si ∑ n.|an|² < ∞, alors ∑ an converge et vaut λ.

Théorème de Fejer (1930) : Il existe un unique polynôme P de degré 2n−1 tel que P et sa dérivée P' prenne des valeurs données en n points distincts (polynôme d’interpolation d’Hermite). Si f est continue [−1, 1] → R et si Ln(f) désigne le polynôme d’Hermite coïncidant avec f en les zéros du n-ème polynôme de Tchebychev, et de

dérivées nulles en ces points, Ln(f) → f uniformément. Ceci découle du théorème de Bohman-Korovkine de

1959. (On sait que le polynôme d’interpolation de Lagrange de f ne converge pas vers f lorsque le nombre de points d’interpolation augmente) (cf. Cheney, Approximation theory, p.70).

13 De même, le chef d’orchestre et compositeur Gustav Mahler (1860-1911), originaire d’une humble famille juive de Moravie, se convertit au catholicisme pour marquer son attachement à la culture autrichienne. Cela n’empêcha pas les attaques antisémites de s’amplifier durant les dix années (1897-1907) où il dirigea l’Opéra de Vienne. En 1907, Mahler émigra aux Etats-Unis ; en 1910 fut élu à Vienne le premier maire antisémite... 14 C’est à Berlin en 1900 que L. Fejer trouve une solution élégante au problème de Gianfranco di Fagnano (1775), fils du comte C. Fagnano, qui consiste à inscrire dans un triangle un triangle de périmètre minimum. (cf. RMS mai juin 95, p.788, et H. Dörrie, pb.90 p.359)

31

La nomination de Fejér à l’université de Budapest en 1911 posa problème. Bien que déjà mondialement connu et chaudement soutenu par Poincaré à l’occasion de la remise du prix Bolyai, cette nomination fut contestée par les antisémites de la Faculté. L’un d’eux, sachant fort bien que le vrai patronyme de Fejér était Weiss, demanda durant l’entretien d’habilitation : «Ce Leopold Fejér est-il apparenté à notre distingué collègue de la faculté de théologie, le Frère Ignatius Fejér?» Sans ciller Lorant Eötvös, professeur de Physique, répondit : «Fils naturel». Après quoi la nomination se passa toute en douceur...

L’un des étudiants de Fejér décrit ainsi sa façon d'exposer : «Fejér donnait des conférences très courtes, et très belles. Elles duraient moins d'une heure. On attendait assis longtemps qu'il vienne. Quand il entrait, il était dans une sorte de frénésie. A la première impression il paraissait très laid, mais il avait un visage très vivant et très expressif. La conférence était élaborée en très grand détail, avec un dénouement dramatique. Il semblait revivre la naissance du théorème ; nous assistions à la création. Il rendait ses fameux contemporains également vivants ; ils surgissaient des pages des livres. Cela faisait apparaître les mathématiques comme une activité sociale autant qu'intellectuelle.»

Un mathématicien engagé : Jean-Pierre Kahane (1926-2017) Fils d’un biochimiste et d’une chimiste, le mathématicien français Jean-Pierre Kahane (Paris, 11 décembre 1926 – Paris, 21 juin 2017) était un grand spécialiste des séries de Fourier et de l’Analyse harmonique. Entré à l’Ecole normale supérieure en 1946, il fut professeur de mathématiques à l’Université de Montpellier et à l’Université Paris-Sud. Président de la Mission interministérielle de l’information scientifique et technique de 1982 à 1986, il entra à l’Académie des sciences en 1998, et présida l’Union rationaliste de 2001 à 2004. Intellectuel engagé, Jean-Pierre Kahane a adhéré au Parti communiste français en 1946, et y est resté toute sa vie. Membre du comité central de 1979 à 1994, il dirigea Progressistes, revue du Parti communiste consacrée aux sciences, au travail et à l’environnement. Peu avant sa mort, le 1 mai 2017, il a signé avec d’autres scientifiques un texte appelant à voter en faveur d’Emmanuel Macron lors du second tour de l’élection présidentielle, afin de « barrer la route au pire », tout en faisant dans L’Humanité ce constat désabusé : « Les progrès des sciences, les progrès en médecine, tous les progrès auxquels nous pouvons penser traduisent et aggravent les inégalités dans le monde. Ils pourraient être au bénéfice de tous, ils sont d’abord au service des riches et des puissants ». Le 18 décembre 2018 a lieu une journée spéciale en hommage à Jean-Pierre Kahane et à son œuvre à l’Académie des sciences. Un autre hommage avait eu lieu de la part de la direction du PCF, les 6 et 7 avril 2018, à l’Espace Oscar Niemeyer. ____________

Bibliographie

A. Zygmund : Trigonometric series (Cambridge) J.-P. Kahane et Lemarié : Séries de Fourier et ondelettes (Cassini) Dhombres et Robert : Fourier (Belin) B. Riemann : Œuvres mathématiques (Blanchard) R. Godement : Cours d’analyse (Springer) J.-M. Arnaudiès et H. Fraysse, B. Gostiaux, D. Monasse : Cours de math spé. L. Schwartz : Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, chap. IV (Hermann) Encyclopedia universalis

Analyse harmonique, Théorie spectrale, Séries trigonométriques, Ondelettes Fourier, Abel, Dirichlet, Riemann, Cantor, Lebesgue, Haar, Wiener

_____________