Sra. Elisa Schaeffer Algoritmos y redes complejas · redes complejas Satu Elisa Schaeffer 29/03/05...

29/03/05 [email protected] 1

Algoritmos y redes complejas

Satu Elisa Schaeffer


Introducción• ¿Quién y de dónde soy?• Modelación de redes ” naturales”• Extracción de propiedades • Im plicaciones algorítm icas• Trabajo actual• Trabajo futuro y colaboraciones


Sra. Elisa Schaeffer

� Magister en Ciencias, Mención Com putación (2000), especialición en técnicas de im plem entación y usabilidad

� Después de esto, Licendiado en Ciencias, Mención Com putación (2003), especialición en inform át ica teórica y m atem át ica discreta (el licendiado es un t ítulo predoctoral en Finlandia)


Mi universidad

� Universidad Politécnica de Helsinki, Finlandia (ubicada en Espoo, una ciudad vecina)

� Laboratorio de Inform át ica Teóricaht tp://www.tcs.hut .fi/

� Supervisado por Doctor Catedrát ico Pekka Orponen

� Subvencionado por la Academ ia Finlandesa para un proyecto de 3 años


En DCC

� Mi visita perdura desde el 28 de febrero hasta el 16 de diciem bre de 2005

� Tengo una beca de buena voluntad de la Fundación Rotaria para estudiar en Chile

� Soy supervisado por Ricardo Baeza-Yates (cuando vuelva) y Carlos Hurtado

� Oficina: 329

� E-m ail: [email protected]


Teoría de grafos

� Un grafo G está compuesto de un conjunto de N vért ices (nodos) V y un conjunto de M aristas (conexiones) E

� Por lo general cada arista conecta exactamente dos vért ices dist intos

� Las aristas se puede definir sin o con dirección

� Dos vért ices conectados por una arista se llaman vecinos


Modelos de redes uniformes

� En los años 1950 y 1960, se propusieron los m odelos uniform es de Gilbert y Erdös & Rényi

� La cant idad de vért ices es fija, N, y cada arista de las N(N-1)/2 posibles t iene la m ism a probabilidad de aparecer en el grafo– Gilbert : define una probabilidad p para

cada arista– E&R: define una candidad fija de M aristas

escogidas al azar con probabilidad uniforme


Redes del mundo real

� Nunca se intentó const ruir un m odelo para aplicaciones reales; los m odelos sólo eran para análisis m atem át ica

� En las redes de com unicación, por ejem plo, los vért ices no son iguales; las aristas dist ribuyen diferentem ente entre los vért ices m ás centrales que los lejanos


Redes de colaboración científica

� Los vért ices representan autores de art ículos cient íficos

� Existe una arista ent re dos autores si ellos han publicado algo juntos

(cf. los núm eros Erdös)


Watts & StrogatzNature 1998:

• Fenómeno del mundo pequeño: ” todas las personas en el mundo se conocen por cadenas de contactos con más o menos seis personas” (realmente basado en una interpretación mal educada de un estudio sociológico ant iguo)

� Proponen un modelo de generación de redes que combina una topología rígida circular predeterm inada y aristas ” movidas” al azar

� Resuelta que el grafo obt iene rutas muy cortas ent re todos los vért ices mient ras mant iene ” vecinarios” densos


La construcción de Watts y Strogatz


Dos medidas claves

i. Coeficiente de racim o (C)

� La proporción de los vecinos de un vért ice que también son vecinos ent re ellos (si son todos, form an una ” pandilla” entre

ellos), promediado por todos los vért ices

ii. Largura de sendero prom edio (L)� La largura del sendero más corto ent re

dos vért ices, promediado por todos los pares de vért ices


Redes depequeño mundo

� Watts & St rogatz observaron que las redes naturales por lo general t ienen

� Un coef iciente de racimo más grande que los redes uniformes y

� Una largura de sendero promedio t an baja como los redes uniformes

� Nom braron ejem plos com o: redes de t ransm isión eléct rica, redes de neurones, redes de com unicación.


El efecto de la reubicación de aristas

Probabilidad de reubicación


Distribución de grados• El grado de un vért ice es

el núm ero de vecinos que t iene

• La lista de los grados de todos los vért ices se llam a la dist r ibución de grado del grafo

• Tam bién se puede representar com o una dist ribución probabilíst ica en form a de una histogram a


Distribución de grado:redes uniformes

Escala logarítmica para los ejes

La posición del máximo depende de la probabilidad de conexión, perola forma de la distribución no cambia


Distribución de grado:redes de pequeño mundo

(modelo de W&S)

Un cambio de altura pero no de forma

resulta cuando se ajusta la probabilidadde reubicación de las aristas


Distribución de grado:redes naturales

Para muchas redes naturales,

la distribución parece muy distinta de las de estos modelos – existen vértices con un

grado muy grande que se llaman concentradores.

Se puede obtener una

aproximación cruda con una linea derecha en el gráfico

de escala logarítmica.


Redes sin escala• Barabási & Albert 1999

• Observaron que la probabilidad Pr(k) de que un vért ice t enga grado k t iene forma k -γ

• Sugieron el siguente proceso de generación• Los vér t ices ” llegan” uno por uno con una

cant idad de aristas predeterm inada adjunta.• Los ot ros ext rem os de las aristas se conectan

en los vért ices que ya existen con probabilidad re la t iva de sus grados act ua les.

• Se necesita un gra fo ” sem ina l” para em pezar la construcción


Modelos y aplicaciones

� Hoy en día existe muchos modelos – también modelos decididos – que combinan las ideas de redes pequeño-mundo y redes sin escala, para que éstas concuerdan con las observaciones de dist intos clases de redes naturales

� Si se requieren simulaciones en grafos semejantes de una red de mundo real, primero se miden las propiedades de la red y despues se generan instancias sim ilares según un modelo que corresponde las medidas obtenidas


Extraccíón de propiedades

� Se necesita algoritmos eficientes para el cálculo de las medidas de est ructura

� A menudo es más fact ible y rápida de calcular aproximaciones

� Si la red natural de que se t rata es muy grande, se necesita métodos de muestreo para analisarla

� A veces la red entera no t iene importancia, pero sólo unos vért ices y sus ” alrededores” , en cual caso se puede ut ilizar métodos locales


Algoritmos y redes naturales

� El estudio de algoritm os ha t radicionalm ente usado el m odelo E&R com o fundam ento para el análisis de com plejidad prom edio: cualquier instancia se supone equiprobable

� Las instancias de m undo real son m uy específicas y t ienen est ructuras especiales; ¿los algoritm os no se podría diseñar y analizar tom ando en cuenta las observaciones est ructurales?


Observaciones algorítmicas• Para variosos problem as, com o la

coloración de grafos y el descubrim iento de cliques m áxim as, se ha tom ado cuenta que el rendim iento de algoritm os depende m ucho de las propiedades est ructurales

• Quizás sea posible aprovechar los conocim ientos est ructurales de las instancias naturales para dar eficacia o const ruir soluciones aproxim adas buenas


Métodos de tratamiento de grafos muy grandes

• El núm ero de vért ices es tan grande que toda la inform ación de adyacencia no se puede procesar al m ism o t iempo

• Norm alm ente los grafos naturales son m uy esparcidos (N ≈ M en vez de N << M)


Algoritmos locales

� Métodos de m uest reo

� Descubrim ient o de racim os

� subgrafos de alta densidad y independencia del resto de grafo

� aplicaciones en redes ad hoc

� Búsqueda rápida de rutas con largura casi opt im al


Muestreo

� La ” recoleción” de vért ices en una manera uniforme según alguna propiedad específica, como el grado, por ejemplo

� Se necesitan métodos que no usen mucha memoria, que no necesiten acceso a la red entera al m ismo t iempo y que sean eficientes y adaptables a varias medidas

� Proponemos una construcción para combinar dos cadenas de Markov: una que se mezcla rápidamente y una para la elección de las muestras


Descubrimiento de racimos

� Clasificación de redes según la est ructura y la dist ribución de racimos

� Consultas (queries) de vért ices ” relacionados” en un base de datos con ” enlaces” ent re documentos sim ilares

� Ùtil para el encaminamiento jerárquico en redes adhocs

� Algoritm os locales, opt im ización de una función objet ivo que se basa en datos disponibles en el candidato de racim o actual, just ificación ” física” de funciones diferentes


Rutas suboptimales

� No siempre es necesario usar la ruta de largo mínima; la rapidez y/o localidad de las decisiones de encaminamiento pueden tener mucho más valor

� Búsqueda de una ruta de largo casi tan corta com o la de la ruta opt im al

� Ut ilizacíón de conocim iento sobre ” vecinos secundarios” (los vecinos de los vecinos) junto con cam inos aleatorios rápidos

– Problem as con la presencia de concent radores en redes naturales

� El número de vecinos secundarios puede ser demasiado grande y se puede guardar solamente información parcial en los vért ices


¿Oportunidades de colaboración?

� Me interesa cualquier cosa que t iene algo que ver con minería de datos con grafos, como la búsqueda para subgrafos semejantes, métodos asignación de ruta

� Si alguién necesita auyda con modelación y/o generación de redes para simulaciónes o otros experimentos, dígame por favor

� Todos mis art ículos y ot ro material están disponibles en m i página de web (son en inglés m ás o m enos todos)

ht tp://www.tcs.hut .fi/~ satu/castellano.shtm l


¡Muchas gracias por su atención!

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