SQRVASAA - SOCARproceedings.socar.az/uploads/pdf/13/Bondar-54-67.pdf ·...

ELMİ ƏSƏRLƏR bull PROCEEDINGS bull НАУЧНЫЕ ТРУДЫ

54

2015 2

Предложен метод оценки возможности создания подземного хранилища природного газа в гидратном состоянии в подходящих с геологической точки зрения водоносных пластах (подмерзлотных горизонтах) Он основан на использовании математической модели много-фазной неизотермической фильтрации несовершенного газа и воды в которой химическая реакция гидратообразования происходит при температуре существенно зависящей от давления газа С помощью этой модели оценивается динамика распределения гидратона-сыщенности водонасыщенности давления и температуры в выбранном пласте который характеризуется пористостью проницаемостью и начальными значениями давления тем-пературы и водонасыщенности Результаты расчетов показали что возможность создания таких хранилищ газа существенно зависит от коллекторских свойств и гидродинамических характеристик водоносных горизонтов

Ключевые слова гидратообразование подземное хранение газа вычислительный экспе-риментE-mail bondarevipngysnruDOI 105510OGP20150200243

В настоящее время подземные хранилища природного газа в основном создаются в пори-стых пластах на базе истощенных газовых и газо-конденсатных месторождений или водоносных структур расположенных вблизи трассы маги-стральных газопроводов или крупных центров потребления газа Их роль заключается в обеспе-чении равномерной подачи газа по газопроводам при его сезонно неравномерном потреблении особенно в регионах с резко континентальным климатом то есть они служат своеобразными аккумуляторами газа

Альтернативой таких хранилищ могут стать подземные хранилища газа в гидратном состоянии те в твердой фазе которая образуется при закач-ке природного газа в пористые коллекторы при определенных соотношениях между температурой и давлением зависящих от состава газа В зоне рас-пространения многолетнемерзлых пород этими коллекторами могут служить подмерзлотные водоносные горизонты Например в Центральной Якутии они могут располагаться непосредственно под подошвой многолетней мерзлоты на глубинах 500 ndash 600 м [1] при этом их проницаемость лежит в пределах 10ndash12 divide 10ndash14 м2

Преимущества такого способа хранения заклю-чаются в большей компактности и стабильности хранилища тк газ в гидратном состоянии занима-ет гораздо меньший объем чем в свободном состо-янии при тех же температуре и давлении и кроме того при переходе в гидратное состояние связыва-ется вся свободная пластовая вода Известен способ хранения природных газов в гидратном состоянии в котором гидраты создаются из природного газа и воды в специальных емкостях располагающихся

на поверхности и в этом смысле они являются ана-логом хранилищ сжиженного газа

В немногочисленных научных публикациях [2-5] посвященных математическому моделирова-нию создания подземных хранилищ природного газа в гидратном состоянии использовались следу-ющие упрощающие допущения

1) не учитывались реальные свойства природно-го газа

2) не учитывалась зависимость равновесных условий образования гидратов от состава природ-ного газа

3) пластовая вода считалась неподвижной4) в уравнении энергии не учитывались адиаба-

тическое расширение и эффект Джоуля ndash Томсона 5) граничные условия ставились таким образом

чтобы свести исходную задачу к автомодельной 6) соответствующие дифференциальные уравне-

ния решались приближенными методами

1 Математическая модельДля изучения динамики образования гидратов

при нагнетании природного газа в водоносный пласт ограниченных размеров воспользуемся мате-матической моделью работы [6] в которой наибо-лее полно учтены основные физические особенно-сти этого процесса реальные свойства газа эффект Джоуля ndash Томсона совместное движение воды и газа массообмен между газом водой и гидратом Соответствующие дифференциальные уравнения выведены на основе фундаментальных законов сохранения массы и энергии а роль уравнений движения здесь играет обобщенный закон филь-трации Дарси коэффициенты проницаемости в котором являются функциями насыщенности соот-

УДК 62269124 519

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЗДАНИЯ ПОДЗЕМНОГО ХРАНИЛИЩА ПРИРОДНОГО ГАЗА

В ГИДРАТНОМ СОСТОЯНИИ

ЭАБондарев1 ИИРожин1 ВВПопов2 ККАргунова1

(1Институт проблем нефти и газа СО РАН 2Северо-Восточный федеральный университет им МКАммосова)


55

2015 2

ветствующей фазой [7] Для замыкания системы необходимо добавить уравнения состояния каждой фазы В данном случае считается что поведение газа описывается каким-либо эмпирическим урав-нением состояния а вода и гидрат несжимаемы

Рассмотрение выполним на примере модельной осесимметричной задачи нагнетания газа через одиночную скважину в горизонтальный водонос-ный пласт кровля и подошва которого непрони-цаемы и теплоизолированы В начальный момент пласт насыщен водой либо водой вместе с газом Скелет пористой среды недеформируемый газ находится только в газообразном и гидратном вода ndash только в жидком и гидратном состояниях то есть образования льда и пара не происходит В работе [8] показано что доля теплопроводности в общем балансе переноса тепла пренебрежимо мала по сравнению с конвекцией тем самым в уравнении энергии положим равным нулю кондуктивную составляющую Тогда на основе фундаментальных законов механики многофазных сред [9 10] c уче-том обобщенного закона Дарси уравнение энергии в цилиндрических координатах можно привести к виду

(1)

где (ρc)e =(1-m)ρscs+m(1-ν-σ)ρgcg+ mνρhch+mσρwcw ndash эффективное значение объемной теплоемкости пористой среды содержащей газ гидрат и воду

В этих же координатах запишем уравнения фильтрации газа и воды

(2)

(3)

Здесь и далее приняты следующие обозначения c ndash удельная теплоёмкость f ndash фазовая проницае-мость k ndash абсолютная проницаемость m ndash пори-стость p ndash давление q ndash теплота фазового перехода laquoгидратndashгазndashводаraquo R ndash газовая постоянная r ndash про-странственная координата rb ndash радиус скважины rk ndash радиус контура пласта T ndash температура t ndash время Z ndash коэффициент несовершенства газа ε ndash содержание газа в единице объёма гидрата micro ndash динамическая вязкость ρ ndash плотность σ ν ndash соответственно водо-насыщенность и гидратонасыщенность Нижние индексы g h s w 0 относятся соответственно к газу гидрату твердому скелету пористой среды воде и начальному состоянию

Для однозначного решения системы (1) ndash (3) необходимо задать начальные и граничные усло-вия В качестве начальных условий задаем началь-

ные значения давления температуры гидратона-сыщенности и водонасыщенности

p(r0)=p0 T(r0)=T0 ν(r0)=ν0 σ(r0)=σ0 (4)

В точке нагнетания газа то есть на забое скважи-ны задаются постоянное значение температуры

T(rbt)=Tb (5)и либо забойное давление газа

p(rbt)=pb (t) (6)либо его объемный дебит (приведенный к нор-мальным физическим условиям)

(7)

где H ndash мощность пласта ρn ndash плотность газа при pn =101325 Па и Tn =27315 К

На контуре газоносного пласта задается условие непроницаемости (отсутствие притока газа)

(8)

Уравнения задачи замыкаются - соотношениями для относительных фазовых

проницаемостей газа и воды [7]

(9)

(10)

- условием термодинамического равновесия laquoгидратndashгазndashводаraquo T = a lnp + b (11)

где a b ndash эмпирические константы определяемые по экспериментальным данным или вычисляются для газа данного состава по методикам изложен-ным в монографиях [1112] и уравнением состоя-ния для несовершенного газа ρg = pZRT (12)

где Z=Z(pT) ndash эмпирическая функция которую аппроксимируем уравнением Латонова ndash ГуревичаZ = (017376 lnTTc + 073)ppc + 01ppc [13]

Критические параметры природного газа опре-деляются в зависимости от его состава по форму-лам [14]

где yi pci Tci ndash мольная доля критические давление и температура i-го компонента природного газа

Для решения поставленной задачи (1) ndash (12) используется метод конечных разностей При этом исходные уравнения граничные и началь-ные условия заменяются их сеточными ана-логами [8] а для решения соответствующей системы алгебраических уравнений на каждом временном слое использовался предложенный в работах [15 16] алгоритм реализации метода простых итераций

( ) ( )

( )

( )22

1 1

1

1 0

he

gww w g g

w g

gg g

g p

T T pc mq m

t t T t

ff p Tk c c

r r

f RT pk c

c p T r

νρ ρ ν σ

ν ρ ρmicro micro

ν ρmicro

part part partΖ part minus minus minus minus + minus part part Ζ part part part part

minus + + part part

partΖ part + minus = part part

( )

( )

1

11 gh

g

pm

t T

k f p pr m R

r r T r t

ν σ

ν νρ εmicro

part minus minus = part Ζ minuspart part part

= minus part Ζ part part

( )11(1 )w h

w w

k f pm r m

t r r r t

ν ρσ νεmicro ρ

minuspart part part part= minus minus

part part part part

( ) bb

n

1 ( )2 g g

g

k f p r tr H Q

r

ρ νπ

ρ microminus part

= minuspart

k( )0

p r tr

part=

part

35

1 (1 3 ) 0 09( ) 09

0 09gf

σ σ σσ

σ

minus + le lt = ge

3502

02 1( ) 08

0 0 02 wf

σ σσ

σ

minus lt le = le le

c c1

n

i ii

p y p=

=sum c c1

n

i ii

T y T=

=sum


56

2015 2

2 Численная реализация модели Для решения начально-краевой задачи (1) ndash (12)

заменяя p(ritj)=pij T(ritj)=Ti

j ν(ritj)=νij и σ(ritj)=σi

j численными аналогами в узлах пространственно-временной сетки аппроксимируем уравнения (1) ndash (8) чисто неявной абсолютно устойчивой разност-ной схемой

(13)

(14)

(15)

(16)

T0j = Tb j gt 0 (17)

p0j = pb или

(18)

где τ ndash шаг равномерной сетки по времени hi ndash шаг квазиравномерной сетки по радиальной координате со сгущением вблизи точки нагнетания

ħi = (hi +hi+1)2 ndash шаг потоковой сеткиВ разностном виде условие на правой границе

записывается с первым порядком аппроксимации

pij = pj

n-1 j gt 0 (19)

Для решения нелинейной системы алгебраиче-ских уравнений (13) ndash (19) на каждом временном

слое можно использовать следующий алгоритм реализации метода простых итераций Вначале используя (13) исключаем из (14) выражение (ν i

j-ν ij-1)τ при этом все T i

j заменяем через a lnp i

j + b В получающемся уравнении дискрет-ный аналог производной температуры по времени заменяем конечно-разностным аналогом произво-дной давления по времени Алгоритм дальнейших действий заключается в следующем

1 Задаем начальное значение счетчику итера-ций s=0 и начальные приближения распределе-ний давления температуры водонасыщенности и гидратонасыщенности равными их соответствую-щим значениям на нижнем временном слое

2 Увеличиваем счетчик итерации на единицу Умножаем уравнение (15) на pi

j (zijTi

j) и склады-ваем его с уравнением (14) Далее из полученного уравнения методом потоковой прогонки находим распределение давления pi

3 Начиная с левого конца (i=0) для всех σi gt0 из уравнения (13) находим распределение гидра-тонасыщенности νi при этом распределение тем-пературы определяется из условия трехфазного равновесия laquoгидратndashгазndashводаraquo Ti = alnpi + b В случае σi = 0 из уравнения (13) сразу находим рас-пределение температуры Ti

4 Из уравнения (15) находим распределение водонасыщенности σi так же начиная вычисления с левого конца

5 Повторяем пункты 2 ndash 4 до заданной точности Если условия сходимости итераций выполняются то переходим к следующему временному слою

3 Результаты вычислительного экспериментаВ вычислительном эксперименте изучалось

влияние пористости и проницаемости водонос-ного пласта и интенсивности закачки газа на динамику полей температуры давления водо-насыщенности и гидратонасыщенности Другие исходные параметры оставались неизменными и имели следующие значения ρw =1000 кгм3

ρ s =2650 кгм3 ρh=920 кгм3 cw =4200 Дж(кгtimesК) cs =700 Дж(кгtimesК) ch =3210 Дж(кгtimesК) cg =2093 Дж(кгtimesК) q=510000 Джкг ε=0147 microw =1810-3 Паtimesс microg =1310-5 Паtimesс p0=30106 Па T0=27415 К Tb=27915 К H=10 м rb=01 м rk=1001 м n=1000 τ=10 с В начальный момент пласт не содержит гидратов

Состав закачиваемого природного газа по которому вычислялись газовая постоянная кри-тические давление и температура и эмпири-ческие коэффициенты входящие в соотноше-ние (11) соответствовал Средне-Ботуобинскому месторождению Республики Саха (Якутия) CH4-8590 C2H6-732 C3H8-224 iC4H10-026 nC4H10-068 iC5H12-017 nC5H12-024 C6H14-008 CO2-005 N2-264 H2-014 He-028 (объемные доли ) R=4456 Дж(кг∙К) pc=4555 МПа Tc=204134 К a=782К b=16664 К Месторождение было выбра-

( ) ( )

( )

( )

1 1

1

1 1

1 1

1

1

1

1 1

1

j j j jj ji i i i

h i ie i

jj j jji i iij

i ni

j j j j jw w i g g ii i i i i

w j jw i i g i i

jj j j ji g i i i i

jg i ii

T Tntilde mq m

T p pk

T

c f c fp p p T TRT h h

k f T p pzT h

ν νρ ρ ν στ τ

ντ

ρmicro micro

ν

micro

minus minus

minus

+ +

+ +

+

+

minus minusminus minus minus minus times

minuspartΖ times + = minus times Ζ part minus minus

times + minus Ζ

minus minuspartminus Ζ part

2

1 1 0i n j

= minus gt

( ) ( )

( )

( )

11 1

1 1

11

112

1

12

1 1

1

1 1 1

j jj j j ji i i ii i i ij j j j

i i i i

jj j j j

gi i i ih i i

g ii

jj j

g i i

g ii

p p rm

T T

k f p ppm R r r

T h

k f p ppr i n

T h

ν σ ν στ

νν νρ ετ micro

νmicro

minusminus minus

minus minus

minus+

++

minus

minus

minus minus minus minus minus + Ζ Ζ

minusminus minus+ == minus Ζ

minus minusminus = minus Ζ

( )

( )

( )

1 1

1

112

1

12

1

1

1 1 1 0

j j j ji i h i i

i i i iw

jj j

w i i

w ii

jj j

w i i

w ii

m r m r

k f p pr

h

k f p pr i n j

h

σ σ ρ ν νετ ρ τ

νmicro

νmicro

minus minus

+

++

minus

minus

minus minus+ minus =

minus minus= minus

minus minusminus = minus gt

0 00

00

00

00 niTTpp iiii ===== σσνν

( )0 00 1 0b

0 0 n 1

12 0

jj j jg

j jg

k fp p pr H Q j

RT h

νπ

ρ micro

minus minus= minus gt

Ζ

Jjjt j 0 =sdot== τωτ

( )1 k w 1

1 0 b 0

exp ln( )

= 0 1 0

h i i i

i i

r r r r n h

r r i n r r h

ω + +

+

= = sdot =

minus = minus = =

1 1 1 1 0s s s s

j j j ji i ii i i i ip p T T i nν ν σ σminus minus minus minus= = = = =

0i n=

0i n=


57

2015 2

но потому что для этого газа имеются пря-мые экспериментальные данные по равновесным условиям гидратообразования которые были использованы для вычисления эмпирических коэффициентов в соотношении (11)

Вычислительный эксперимент проводился чтобы выявить принципиальную возможность создания подземного хранилища газа в гидрат-ном состоянии на небольших глубинах соот-ветствующих подошве многолетней мерзлоты в центральной части Восточной Сибири По этой причине время нагнетания газа было ограничено 10 сутками В качестве варьируемых параметров были выбраны расход нагнетаемого газа (86400 и 432000 м3сут) его уравнение состояния (несовер-шенный или совершенный газ) и начальная водо-насыщенность пласта (истощенный газоносный или чисто водоносный пласт)

На рисунках 1ndash9 представлены результаты вычислений в случае начальной водонасыщен-ности σ0=04 Их анализ позволяет сделать следу-ющие выводы

За сравнительно небольшое время температура газа существенно повышается при малом расходе ndash на 12 K при большом ndash на 20 K (рис1а кривые 3 и 5 и рис1б кривая 3) При малых значениях вре-мени наблюдается перемещение температурного фронта (рис1а кривые 1 и 4 и рис1б кривая 2) а затем температура растет со временем по линей-ному закону причем интенсивность этого роста существенно зависит от расхода нагнетаемого газа (рис2а и рис2б кривые 2 и 3) Из кривых на рисун-ке 1а также следует что несовершенство газа мало влияет на распределение температуры даже при больших расходах газа

Давление газа в хранилище со временем растет однако гораздо медленнее чем температура и кроме того оно практически равномерно распре-делено по площади хранилища за исключением области вблизи скважины (рис3) В то же время интенсивность этого роста существенно зависит от расхода газа (рис4 кривые 1-4) Давление совер-шенного газа получается немного больше чем давление несовершенного газа и эта разница с

Рис1 Распределение температуры при большом (а) и малом (б) расходе газа 1 4 ndash t = 3 часа 2 ndash t = 1 сут 3 5 ndash t = 10 сут 1 2 3 ndash несовершенный газ 4 5 ndash совершенный газ

Рис2 Динамика температуры при большом (а) и малом (б) расходе несовершенного газа 1 ndash r = 01 м 2 ndash r = 02 м 3 ndash r = 1001 м

295

288

281

274 274

278

282

286

01 01201 201401 401601 601801 8011001 1001

(a) (б)

294

289

284

274

t сутt сут

279

0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10

286

283

280

274

277

(a) (б)


58

2015 2

течением времени увеличивается (рис3 кривые 2-5 рис4 кривые 1 и 5 )

Перейдем к анализу динамики изменения водо-

насыщенности и гидратонасыщенности создавае-мого хранилища ndash основных показателей эффек-тивности процесса (рис5 и рис6) Из рисунка 5а следует что к моменту окончания закачки газа вода полностью перешла в гидрат только в узкой зоне вблизи нагнетательной скважины В остальной части хранилища водонасыщенность снизилась вдвое с 04 до 02 При меньшей интенсивности нагнетания такого уменьшения особо не наблюдается (рис5б) Соответственно при большом расходе вблизи нагнетательной скважины гидратонасыщенность почти достигла значения 04 а в остальной части пласта она воз-росла от 0 до примерно 025 (рис6а) Из рисунка 6а видно что по водоносному пласту передвига-ется несколько размытый вал гидратонасыщен-ности При меньшем расходе гидратонасыщен-ность монотонно возрастает и в конце процесса нагнетания на забое скважины она равна 025 а на контуре пласта ndash 005 (рис6б)

Оба рисунка подтверждают сказанное ранее о малом влиянии несовершенства газа на резуль-

Рис3 Распределение давления при большом (а) и малом (б) расходе газа 1 ndash t = 3 часа 2 4 ndash t = 5 сут 3 5 ndash t = 10 сут 1 2 3 ndash несовершенный газ 4 5 ndash совершенный газ

Рис4 Динамика давления 135 ndash r = 01 м 24 ndash r = 1001 м 125 ndash большой расход

34 ndash малый расход 1234 ndash несовершенный газ 5 ndash совершенный газ

Рис5 Поле водонасыщенности при большом (а) и малом (б) расходе газа 1 ndash несовершенный газ 2 ndash совершенный газ

12

9

6

3

01 201 401 601 801 1001

45

40

35

3001 201 401 601 801 1001

(a) (б)

(a) (б)


59

2015 2

Рис7 Поле водонасыщенности (а) и гидратонасыщенности (б) при большом расходе 1 ndash газ Средне-Ботуобинского месторождения 2 ndash газ Отраднинского месторождения

Рис6 Поле гидратонасыщенности при большом (а) и малом (б) расходе газа1 ndash несовершенный газ 2 ndash совершенный газ

Рис8 Поле водонасыщенности (а) и гидратонасыщенности (б) при большом расходе 1 ndash m = 015 2 ndash m = 04


60

2015 2

таты вычислений однако следует отметить что использование уравнения совершенного газа несколько завышает значения гидратонасыщен-ности (рис6)

Теперь рассмотрим влияние компонентного состава природного газа (те его газовой посто-янной критических параметров и равновесных условий гидратообразования) на динамику водо-насыщенности и гидратонасыщенности в случае большого расхода Для этого результаты полу-ченные для газа Средне-Ботуобинского место-рождения сопоставлялись с расчетами выпол-ненными для газа Отраднинского месторожде-ния состав и некоторые параметры которого приведены в работе [17]

На рисунке 7 представлены результаты расчета в случае нагнетания несовершенного газа с большей интенсивностью Показанное положение поверх-ностей свидетельствует о том что в конце процес-са нагнетания гидратонасыщенность будет выше а водонасыщенность ниже для газа с большим значением коэффициента а и малым значением

коэффициента b то есть для газа Отраднинского месторождения

Также было исследовано влияние коллекторских свойств пласта на водонасыщенность и гидратона-сыщенность На рисунке 8 показаны соответству-ющие поля для различных значений пористости а на рисунке 9 ndash для различных проницаемостей Видно что чем меньше пористость и проницае-мость тем быстрее увеличивается гидратонасы-щенность и тем неравномернее она распределяется по водоносному пласту (рис8а и рис9а)

Теперь проанализируем результаты вычис-лений для случая водоносного пласта когда в начальный момент σ0=09 При этом простран-ственная сетка теперь должна быть равномерной( n=100) так как предварительные расчеты показали что при новом начальном значении водонасыщенности искомые функции изменяются во всем простран-ственном диапазоне Здесь состав газа соответство-вал Средне-Ботуобинскому месторождению и он считался несовершенным

Рис9 Поле водонасыщенности (а) и гидратонасыщенности (б) при большом расходе 1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2

Рис10 Распределение температуры при большом (а) и малом (б) расходе газа 1 ndash t = 3 часа 2 ndash t = 1 сут 3 ndash t = 10 сут

( ) 10 bk111 minus=minus=+== +++ ninrrhhrr iiiihω

295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a) (б)

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

288

282

276

292

286

280


61

2015 2

Рис11 Распределение давления при большом (а) и малом (б) расходе газа 1 ndash t = 3 часа 2 ndash t = 5 сут 3 ndash t = 10 сут

В этом случае как и для истощенного газоносно-го пласта за сравнительно небольшое время тем-пература газа существенно повышается за 3 часа при большом расходе ndash на 13 K при малом ndash на 11 K (рис10а и рис10б кривая 1) При малых значе-ниях времени наблюдается перемещение темпера-турного фронта причем его скорость существенно зависит от темпа нагнетания (кривые 1 и 2 на этих же рисунках) В момент завершения закачки темпе-ратура по всему пласту выравнивается повышаясь при большом расходе на 21 К при малом ndash на 12 К

Давление газа в хранилище со временем растет однако гораздо медленнее чем температура осо-бенно при малой интенсивности закачки (рис11а и рис11б) При этом при большой интенсивности закачки оно уже через 5 суток практически равно-мерно распределено по площади хранилища (рис 11а кривые 2 и 3)

Сопоставим эти результаты с распределением водонасыщенности и гидратонасыщенности в хра-нилище Из сравнения кривых 1 и 2 на рисунках 10 и 12 видно что скорость фронта водонасыщенно-сти существенно меньше скорости температурного фронта При этом распределение водонасыщен-ности качественно соответствует решению задачи Бакли ndash Леверетта [7] Влияние образования гидра-тов то есть перехода части воды в неподвижную фазу проявляется в немонотонности распределе-ния за фронтом (рис12б кривая 3) и в том что перед фронтом водонасыщенность при большом расходе всегда меньше 1 (рис12а)

Эти выводы подтверждаются анализом кривых распределения гидратонасыщенности представ-ленных на рисунке 13 причем наиболее наглядно эти эффекты проявляются при большом расходе газа Действительно сопоставление на рисунках

Рис12 Распределение водонасыщенности при большом (а) и малом (б) расходе газа 1 ndash t = 3 часа 2 ndash t = 1 сут 3 ndash t = 10 сут

15

12

6

301 201 401 601 801 1001

45

40

35

3001 201 401 601 801 1001

(a)

10

08

06

001 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

(a)

9

(б)

04

02

(б)10

08

06

0

04

02


62

2015 2

Рис13 Распределение гидратонасыщенности при большом (а) и малом (б) расходе газа 1 ndash t = 3 часа 2 ndash t = 1 сут 3 ndash t = 10 сут

Рис14 Динамика температуры при большом (а) и малом (б) расходе газа 1 ndash r = 101 м 2 ndash r = 1001 м

12а и 13а показывает что скорости фронта водона-сыщенности и условного фронта гидратонасыщен-ности примерно равны

Сравнение кривых на рисунках 13а и 13б пока-зывает что величина гидратонасыщенности сильно зависит от интенсивности закачки газа Конечно это не прямое а косвенное воздействие которое объясняется различием в изменениях давления и температуры при существенно разных темпах закачки В то же время значение гидратонасыщен-ности перед фронтом свидетельствует о том что в этой части хранилища далеко не вся вода перешла в гидрат

Важные выводы следуют из сопоставления дина-мики рассмотренных выше функций Эти резуль-таты представлены на рисунках 1415 Обращаем внимание на рисунок 14 где приведены только две кривые так как температура газа на забое задана (условие (5)) На этом рисунке хорошо видно что после некоторого времени температура выходит на регулярный режим что полностью соответствует

физике процесса (постоянная температура и рас-ход нагнетаемого газа)

Давление выходит на квазистационарный режим несколько позже чем температура что объясняет-ся более сложной динамикой движения смеси газ ndash вода (рис15) Однако для большого расхода газа оно сильно (почти в 4 раза) возрастает по всему объему хранилища (рис15а кривые 1 и 2) Для малого расхода газа возрастание давления не пре-вышает 50 и при этом даже в конце закачки оно распределено по пласту неравномерно (рис15б)

Из рисунков 16 и 17 отметим что при большой интенсивности закачки газа водонасыщенность изменяется во времени немонотонно Это особен-но заметно вблизи скважины где со временем вода частично переходит в гидрат (рис17а кривая 1) а большая ее часть оттесняется от скважины (рис16а кривая 1)

Из результатов представленных на рисунках 10 ndash 17 следует что к моменту окончания закачки газа почти во всем пласте образуется зона смеси гидра-

04

02

01

001 201 401 601 801 1001

01

0075

005

0025

01 201 401 601 801 1001

(a)

295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a)

0 2 4 6 8 10

288

282

276

292

286

280

03

0

(б)

(б)

0 2 4 6 8 10


63

2015 2

Рис15 Динамика давления при большом (а) и малом (б) расходе газа 1 ndash r = 101 м 2 ndash r = 1001 м

Рис16 Динамика водонасыщенности при большом (а) и малом (б) расходе газа 1 ndash r = 11 м 2 ndash r = 501 м 3 ndash r = 1001 м

Рис17 Динамика гидратонасыщенности при большом (а) и малом (б) расходе газа 1 ndash r = 11 м 2 ndash r = 501 м 3 ndash r = 1001 м

(a) (б)

(a) (б)

(a) (б)

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

15

12

6

3

45

40

35

30

9

10

08

06

0

04

02

10

08

06

0

04

02

03

01

0

04

02

0075

010

0

050

0025


64

2015 2

та с водой однако гидратонасыщенность при этом составляет около 03 при большом расходе газа и менее 01 при малом расходе Учитывая рост гидра-тонасыщенности во времени по закону близкому к линейному (рис17) можно утверждать что увели-чение продолжительности закачки газа приведет к существенному увеличению этого показателя

В вычислительном эксперименте также оце-нивалось влияние коллекторских свойств пла-ста на распределение и динамику водонасыщен-ности и гидратонасыщенности в конце закачки Вычисления проводились только для большого расхода газа На рисунках 18 и 19 показаны соот-ветствующие кривые для двух различных значений пористости

Кривые на рисунке 18 подтверждают физически очевидный вывод о том что скорость вытеснения воды газом будет тем выше чем меньше пори-стость Это в свою очередь приведет к росту гидра-тонасыщенности (рис18а и рис18б кривые 1 и 2)

Такой вывод подтверждается сравнением кривых 1 и 2 на рисунке 19б скорость роста гидратонасы-щенности увеличивается с уменьшением пористо-сти Зависимость динамики водонасыщенности от пористости сложнее (рис19а) при меньшей пори-стости она вначале возрастает быстрее но затем и убывает быстрее

Влияние проницаемости на распределение и динамику рассматриваемых функций показано на рисунках 20 и 21 Как следует из кривых на рисун-ке 20 уменьшение проницаемости в 10 раз мало сказывается на скорости движения фронта водона-сыщенности (рис20а кривые 1 и 2) что полностью соответствует теории Бакли ndash Леверетта В то же время оно приводит к резкому хотя и локализо-ванному вблизи скважины росту гидратонасы-щенности (рис20б кривая 2) Однако снижение проницаемости приводит к задержке динамики как водонасыщенности (рис21а) так и гидратона-сыщенности (рис21б)

Рис18 Влияние пористости на распределение водонасыщенности (а) и гидратонасыщенности (б) в конце закачки газа при большом расходе 1 ndash m = 015 2 ndash m = 04

Рис19 Влияние пористости на динамику водонасыщенности (а) и гидратонасыщенности (б) на внешней границе при большом расходе 1 ndash m = 015 2 ndash m = 04

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

10

06

04

0

08

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

02

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

(a) (б)

(a) (б)


65

2015 2

Оценивая результаты вычислительного экспе-римента в целом можно утверждать что при современных технологиях закачки создание под-земных хранилищ газа в гидратном состоянии вполне реализуемо В то же время следует иметь в виду что для чисто водоносных пластов под-мерзлотных горизонтов создание хранилищ газа в гидратном состоянии требует тщательного анализа их коллекторских свойств и данных гидродина-

мических исследований Дополнительные усилия исследователей необходимы для оценки теплового взаимодействия таких хранилищ с окружающими горными породами

Полученные результаты и предложенная мате-матическая модель могут быть использованы при разработке научных основ технологии подземного хранения природного газа а также парниковых и токсичных газов в гидратном состоянии

Рис21 Влияние проницаемости на динамику водонасыщенности (а) и гидратонасыщенности (б) на внешней границе при большом расходе

1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2

Рис20 Влияние проницаемости на распределение водонасыщенности (а) и гидратонасыщенности (б) в конце закачки газа при большом расходе

1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

10

06

04

0

08

02

(a) (б)

(a) (б)

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

05

06

07


66

2015 2

Литература

1 ВТБалобаев ЛДИванова НМНикитина и др Подземные воды Центральной Якутии и перспективы их использования Новосибирск СО РАН laquoГеоraquo 2003

2 ВШШагапов НГМусакаев МКХасанов Нагнетание газа в пористый резервуар насыщенный газом и водой Теплофизика и аэромеханика ndash2005 ndashТ 12 ndash4 ndashС645ndash656

3 ВШШагапов МКХасанов ИКГималтдинов МВСтолповский Численное моделирование образова-ния газогидрата в пористом пласте конечной протяжен-ности при продувке его газом Прикладная механика и техническая физика ndash2011 ndashТ52 ndash4 ndashС116ndash126

4 ВШШагапов МКХасанов НГМусакаев Образование газогидрата в пористом резервуаре частично насыщенном водой при инжекции холодного газа Прикладная меха-ника и техническая физика ndash2008 ndashТ49 ndash3 ndashС137ndash150

5 НГМусакаев Двухфазные течения с физико-хими-ческими превращениями в каналах и пористых средах в задачах нефтегазовой механики Диссертация на соис-кание ученой степени доктора физико-математических наук Тюмень 2012

6 EABondarev TAKapitonova Simulation of multiphase flow in porous media accompanied by gas hydrate formation and dissociation Russian Journal of Engineering Thermophysics ndash1999 ndashVol9 ndashNo1ndash2 ndashP83ndash97

7 ИАЧарный Подземная гидрогазодинамика М Гостоптехиздат 1963

8 ЭАБондарев ККАргунова ИИРожин Плоскопараллельная неизотермическая фильтрация газа роль теплопереноса Инженерно-физический журнал ndash2009 ndashТ82 ndash6 ndashС1059ndash1065

9 КСБасниев АМВласов ИНКочина ВММаксимов Подземная гидравлика М Недра 1986

10 ЭАБондарев ГДБабе АГГройсман МАКаниболотский Механика образования гидратов в газовых потоках Новосибирск Наука Сибирское отделение 1976

11 ВАИстомин ВГКвон Предупреждение и ликви-дация газовых гидратов в системах добычи газа М ООО laquoИРЦ Газпромraquo 2004

12 EDSloan CAKoh Clathrate hydrates of natural gases Boca Raton TaylorampFrancis GroupCRC Press 2008

13 ВВЛатонов ГРГуревич Расчет коэффициента сжимаемости природных газов Газовая промышлен-ность ndash1969 ndash2 ndashС7ndash9

14 WBKay Density of hydrocarbon gases and vapors at high temperature and pressures Industrial amp Engineering Chemistry Research ndash1936 ndashVol28 ndashP1014ndash1019

15 ЭАБондарев ВВПопов Динамика образования гидратов при добыче природного газа Вычислительные технологии ndash2002 ndash1 ndashС28ndash33

16 ВИВасильев ВВПопов ТСТимофеева Вычислительные методы в разработке месторождений нефти и газа Новосибирск СО РАН 2000

17 ЭАБондарев ИИРожин ККАргунова Образование гидратов при разработке Отраднинского газоконденсатного месторождения SOCAR Proceedings ndash2014 ndash4 ndashС46ndash53

References

1 VTBalobaev LDIvanova NMNikitina et al Ground Water in Central Yakutia and Its Prospective Use Novosibirsk Publishing House of SB RAS laquoGeoraquo 2003

2 VShShagapov NGMusakaev and MKKhasanov Gas injection into porous reservoir saturated with gas and water Thermophysics and Aeromechanics ndash2005 ndashVol 12 ndashNo4 ndash P645ndash656

3 VShShagapov MKKhasanov IKGimaltdinov MVStolpovskii Numerical modeling of formation of a gas hydrate in a finite-length porous bed purged by a gas Journal of Applied Mechanics and Technical Physics -2011 ndashVol52 ndashNo4 ndashP599-607

4 VShShagapov MKKhasanov NGMusakaev Formation of a gas hydrate due to injection of a cold gas into a porous reservoir partly saturated by water Journal of Applied Mechanics and Technical Physics -2008 ndashVol49 ndashNo3 ndashP462-472

5 NGMusakayev Dvuhfazniye techeniya s fiziko-khimicheskimi prevrasheniyami v kanalah i poristyh sredah v zadachah neftegazovoy mehaniki Dissertatsiya na soiskaniye uchenoy stepeni doktora fiziko-matematicheskih nauk Tumen 2012


7 IACharnyi Underground Gas Hydrodynamics M Gostoptekhizdat 1963

8 EABondarev KKArgunova IIRozhin Plane-parallel nonisothermal filtration of a gas the role of heat transfer Journal of Engineering Physics and Thermophysics -2009 ndashVol82 ndashNo6 ndashP1073-1079

9 KSBasniev AMVlasov INKochina VMMaksimov Underground Hydraulics M Nedra 1986

10 EABondarev GDBabe AGGroysman MAКanibolotskiy Mechanics of Hydrate Formation in Gas Flows Novosibirsk Nauka 1976

11 VAIstomin VGKvon Prevention and liquidation of gas hydrates in gas production systems M IRTs Gazprom 2004

12 ED Sloan CA Koh Clathrate hydrates of natural gases Boca Raton TaylorampFrancis GroupCRC Press 2008

13 VVLatonov GRGurevich Raschet koeffitsiyenta szhimayemosti prirodnyh gazov Gazovaya promyshlennost -1969 -2 -S7-9


15 EABondarev VVPopov Dynamics of hydrate formation during gas production Computational Technologies ndash2002 ndashNo1 ndashP 28ndash33

16 VIVasilyev VVPopov TSTimofeeva Computational Methods In The Development of Oil And Gas Fields Novosibirsk Publishing House of SB RAS 2000

17 EABondarev IIRozhin KKArgunova Hydrate formation at development of the Otradninsky gas-condensate field SOCAR Proceedings ndash2014 ndash4 ndashP46ndash53


67

2015 2

Mathematical modeling of natural gas underground storage in hydrate state

EABondarev1 IIRozhin1 VVPopov2 KKArgunova1

(1Institute of Oil and Gas Problems SB of the RAS 2МКAmmosov North-Eastern Federal University)

Abstract

An approach to predict a possibility of natural gas underground storage in hydrate state in corresponding geological structures (underpermafrost aquifers) has been proposed It is based on the mathematical model of multiphase real gas and water flow in porous media The model takes into account transformation of gas and water into hydrate at certain temperature which depends on gas flow pressure The model is able to predict the dynamics of hydrate and water saturation as well as pressure and temperature fields in a chosen reservoir with given porosity permeability and initial values of pressure temperature and water saturation Results of calculations showed that possibility of creation of such gas hydrate storages significantly depends on capacity and hydrodynamic characteristics of the aquifers

Hidrat vəziyyətində olan təbii qazların yeraltı anbarının yaradılmasının riyazi modelləşdirilməsi

EABondarev1 İİRojin1 VVPopov2 KKArqunova1

(1REA SB-nin Neft və Qaz Problemləri İnstitutu2MKAmmosov adına Şimal-Şərq Federal Universiteti)

Xuumllasə

Hidrat vəziyyətində olan təbii qazların yeraltı anbarının geoloji noumlqteyi-nəzərdən uyğun olan sulu laylarda yaradılması muumlmkuumlnluumlyuumlnuumln qiymətləndirilməsi uumlsulu təklif olunur Uumlsul natamam qaz və suyun ccediloxfazalı qeyri-izometrik suumlzuumllməsinin riyazi modelinin istifadəsinə əsaslanıb Bu modeldə hidratəmələgəlmə prosesinin kimyəvi reaksiyası qaz təziqindən əhəmiyyətli dərəcədə asılı olan temperaturda baş verir Bu modelin koumlməyi ilə məsaməliliyi keccediliriciliyi və ilkin təzyiq temperatur və su ilə doyma qiymətləri ilə xarakterizə olunan seccedililmiş layda hidratla doymanın su ilə doymanın təzyiqin və temperaturun paylanma dinamikası qiymətləndirilir Hesablamaların nəticələri goumlstərir ki bu cuumlr qaz anbarlarının yaradılmasının muumlmkuumlnluumlyuuml əsasən sulu horizontların kollektor xassələrindən və hidrodinamiki xuumlsuumlsiyyətlərindən asılıdır


55

2015 2

ветствующей фазой [7] Для замыкания системы необходимо добавить уравнения состояния каждой фазы В данном случае считается что поведение газа описывается каким-либо эмпирическим урав-нением состояния а вода и гидрат несжимаемы

Рассмотрение выполним на примере модельной осесимметричной задачи нагнетания газа через одиночную скважину в горизонтальный водонос-ный пласт кровля и подошва которого непрони-цаемы и теплоизолированы В начальный момент пласт насыщен водой либо водой вместе с газом Скелет пористой среды недеформируемый газ находится только в газообразном и гидратном вода ndash только в жидком и гидратном состояниях то есть образования льда и пара не происходит В работе [8] показано что доля теплопроводности в общем балансе переноса тепла пренебрежимо мала по сравнению с конвекцией тем самым в уравнении энергии положим равным нулю кондуктивную составляющую Тогда на основе фундаментальных законов механики многофазных сред [9 10] c уче-том обобщенного закона Дарси уравнение энергии в цилиндрических координатах можно привести к виду

(1)

где (ρc)e =(1-m)ρscs+m(1-ν-σ)ρgcg+ mνρhch+mσρwcw ndash эффективное значение объемной теплоемкости пористой среды содержащей газ гидрат и воду

В этих же координатах запишем уравнения фильтрации газа и воды

(2)

(3)

Здесь и далее приняты следующие обозначения c ndash удельная теплоёмкость f ndash фазовая проницае-мость k ndash абсолютная проницаемость m ndash пори-стость p ndash давление q ndash теплота фазового перехода laquoгидратndashгазndashводаraquo R ndash газовая постоянная r ndash про-странственная координата rb ndash радиус скважины rk ndash радиус контура пласта T ndash температура t ndash время Z ndash коэффициент несовершенства газа ε ndash содержание газа в единице объёма гидрата micro ndash динамическая вязкость ρ ndash плотность σ ν ndash соответственно водо-насыщенность и гидратонасыщенность Нижние индексы g h s w 0 относятся соответственно к газу гидрату твердому скелету пористой среды воде и начальному состоянию

Для однозначного решения системы (1) ndash (3) необходимо задать начальные и граничные усло-вия В качестве начальных условий задаем началь-

ные значения давления температуры гидратона-сыщенности и водонасыщенности

p(r0)=p0 T(r0)=T0 ν(r0)=ν0 σ(r0)=σ0 (4)

В точке нагнетания газа то есть на забое скважи-ны задаются постоянное значение температуры

T(rbt)=Tb (5)и либо забойное давление газа

p(rbt)=pb (t) (6)либо его объемный дебит (приведенный к нор-мальным физическим условиям)

(7)

где H ndash мощность пласта ρn ndash плотность газа при pn =101325 Па и Tn =27315 К

На контуре газоносного пласта задается условие непроницаемости (отсутствие притока газа)

(8)

Уравнения задачи замыкаются - соотношениями для относительных фазовых

проницаемостей газа и воды [7]

(9)

(10)

- условием термодинамического равновесия laquoгидратndashгазndashводаraquo T = a lnp + b (11)

где a b ndash эмпирические константы определяемые по экспериментальным данным или вычисляются для газа данного состава по методикам изложен-ным в монографиях [1112] и уравнением состоя-ния для несовершенного газа ρg = pZRT (12)

где Z=Z(pT) ndash эмпирическая функция которую аппроксимируем уравнением Латонова ndash ГуревичаZ = (017376 lnTTc + 073)ppc + 01ppc [13]

Критические параметры природного газа опре-деляются в зависимости от его состава по форму-лам [14]

где yi pci Tci ndash мольная доля критические давление и температура i-го компонента природного газа

Для решения поставленной задачи (1) ndash (12) используется метод конечных разностей При этом исходные уравнения граничные и началь-ные условия заменяются их сеточными ана-логами [8] а для решения соответствующей системы алгебраических уравнений на каждом временном слое использовался предложенный в работах [15 16] алгоритм реализации метода простых итераций

( ) ( )

( )

( )22

1 1

1

1 0

he

gww w g g

w g

gg g

g p

T T pc mq m

t t T t

ff p Tk c c

r r

f RT pk c

c p T r

νρ ρ ν σ

ν ρ ρmicro micro

ν ρmicro

part part partΖ part minus minus minus minus + minus part part Ζ part part part part

minus + + part part

partΖ part + minus = part part

( )

( )

1

11 gh

g

pm

t T

k f p pr m R

r r T r t

ν σ

ν νρ εmicro

part minus minus = part Ζ minuspart part part

= minus part Ζ part part

( )11(1 )w h

w w

k f pm r m

t r r r t

ν ρσ νεmicro ρ

minuspart part part part= minus minus

part part part part

( ) bb

n

1 ( )2 g g

g

k f p r tr H Q

r

ρ νπ

ρ microminus part

= minuspart

k( )0

p r tr

part=

part

35

1 (1 3 ) 0 09( ) 09

0 09gf

σ σ σσ

σ

minus + le lt = ge

3502

02 1( ) 08

0 0 02 wf

σ σσ

σ

minus lt le = le le

c c1

n

i ii

p y p=

=sum c c1

n

i ii

T y T=

=sum


56

2015 2





(13)

(14)

(15)

(16)

T0j = Tb j gt 0 (17)

p0j = pb или

(18)




pij = pj

n-1 j gt 0 (19)








j (zijTi









( ) ( )

( )

( )

1 1

1

1 1

1 1

1

1

1

1 1

1

j j j jj ji i i i

h i ie i

jj j jji i iij

i ni


w j jw i i g i i

jj j j ji g i i i i

jg i ii

T Tntilde mq m

T p pk

T


k f T p pzT h


ντ

ρmicro micro

ν

micro

minus minus

minus

+ +

+ +

+

+



times + minus Ζ


2

1 1 0i n j

= minus gt

( ) ( )

( )

( )

11 1

1 1

11

112

1

12

1 1

1

1 1 1


i i i i

jj j j j

gi i i ih i i

g ii

jj j

g i i

g ii

p p rm

T T

k f p ppm R r r

T h

k f p ppr i n

T h

ν σ ν στ


νmicro

minusminus minus

minus minus

minus+

++

minus

minus




( )

( )

( )

1 1

1

112

1

12

1

1

1 1 1 0

j j j ji i h i i

i i i iw

jj j

w i i

w ii

jj j

w i i

w ii

m r m r

k f p pr

h

k f p pr i n j

h


νmicro

νmicro

minus minus

+

++

minus

minus


minus minus= minus


0 00

00

00


( )0 00 1 0b

0 0 n 1

12 0

jj j jg

j jg

k fp p pr H Q j

RT h

νπ

ρ micro


Ζ


( )1 k w 1

1 0 b 0

exp ln( )

= 0 1 0

h i i i

i i

r r r r n h

r r i n r r h

ω + +

+

= = sdot =

minus = minus = =

1 1 1 1 0s s s s


0i n=

0i n=


57

2015 2








295

288

281

274 274

278

282

286

01 01201 201401 401601 601801 8011001 1001

(a) (б)

294

289

284

274

t сутt сут

279

0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10

286

283

280

274

277

(a) (б)


58

2015 2









12

9

6

3

01 201 401 601 801 1001

45

40

35

3001 201 401 601 801 1001

(a) (б)

(a) (б)


59

2015 2





60

2015 2










295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a) (б)

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

288

282

276

292

286

280


61

2015 2







15

12

6

301 201 401 601 801 1001

45

40

35

3001 201 401 601 801 1001

(a)

10

08

06

001 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

(a)

9

(б)

04

02

(б)10

08

06

0

04

02


62

2015 2










04

02

01

001 201 401 601 801 1001

01

0075

005

0025

01 201 401 601 801 1001

(a)

295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a)

0 2 4 6 8 10

288

282

276

292

286

280

03

0

(б)

(б)

0 2 4 6 8 10


63

2015 2




(a) (б)

(a) (б)

(a) (б)

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

15

12

6

3

45

40

35

30

9

10

08

06

0

04

02

10

08

06

0

04

02

03

01

0

04

02

0075

010

0

050

0025


64

2015 2








01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

10

06

04

0

08

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

02

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

(a) (б)

(a) (б)


65

2015 2





1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2


1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

10

06

04

0

08

02

(a) (б)

(a) (б)

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

05

06

07


66

2015 2



















References



















67

2015 2




Abstract





Xuumllasə



56

2015 2





(13)

(14)

(15)

(16)

T0j = Tb j gt 0 (17)

p0j = pb или

(18)




pij = pj

n-1 j gt 0 (19)








j (zijTi









( ) ( )

( )

( )

1 1

1

1 1

1 1

1

1

1

1 1

1

j j j jj ji i i i

h i ie i

jj j jji i iij

i ni


w j jw i i g i i

jj j j ji g i i i i

jg i ii

T Tntilde mq m

T p pk

T


k f T p pzT h


ντ

ρmicro micro

ν

micro

minus minus

minus

+ +

+ +

+

+



times + minus Ζ


2

1 1 0i n j

= minus gt

( ) ( )

( )

( )

11 1

1 1

11

112

1

12

1 1

1

1 1 1


i i i i

jj j j j

gi i i ih i i

g ii

jj j

g i i

g ii

p p rm

T T

k f p ppm R r r

T h

k f p ppr i n

T h

ν σ ν στ


νmicro

minusminus minus

minus minus

minus+

++

minus

minus




( )

( )

( )

1 1

1

112

1

12

1

1

1 1 1 0

j j j ji i h i i

i i i iw

jj j

w i i

w ii

jj j

w i i

w ii

m r m r

k f p pr

h

k f p pr i n j

h


νmicro

νmicro

minus minus

+

++

minus

minus


minus minus= minus


0 00

00

00


( )0 00 1 0b

0 0 n 1

12 0

jj j jg

j jg

k fp p pr H Q j

RT h

νπ

ρ micro


Ζ


( )1 k w 1

1 0 b 0

exp ln( )

= 0 1 0

h i i i

i i

r r r r n h

r r i n r r h

ω + +

+

= = sdot =

minus = minus = =

1 1 1 1 0s s s s


0i n=

0i n=


57

2015 2








295

288

281

274 274

278

282

286

01 01201 201401 401601 601801 8011001 1001

(a) (б)

294

289

284

274

t сутt сут

279

0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10

286

283

280

274

277

(a) (б)


58

2015 2









12

9

6

3

01 201 401 601 801 1001

45

40

35

3001 201 401 601 801 1001

(a) (б)

(a) (б)


59

2015 2





60

2015 2










295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a) (б)

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

288

282

276

292

286

280


61

2015 2







15

12

6

301 201 401 601 801 1001

45

40

35

3001 201 401 601 801 1001

(a)

10

08

06

001 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

(a)

9

(б)

04

02

(б)10

08

06

0

04

02


62

2015 2










04

02

01

001 201 401 601 801 1001

01

0075

005

0025

01 201 401 601 801 1001

(a)

295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a)

0 2 4 6 8 10

288

282

276

292

286

280

03

0

(б)

(б)

0 2 4 6 8 10


63

2015 2




(a) (б)

(a) (б)

(a) (б)

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

15

12

6

3

45

40

35

30

9

10

08

06

0

04

02

10

08

06

0

04

02

03

01

0

04

02

0075

010

0

050

0025


64

2015 2








01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

10

06

04

0

08

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

02

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

(a) (б)

(a) (б)


65

2015 2





1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2


1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

10

06

04

0

08

02

(a) (б)

(a) (б)

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

05

06

07


66

2015 2



















References



















67

2015 2




Abstract





Xuumllasə



57

2015 2








295

288

281

274 274

278

282

286

01 01201 201401 401601 601801 8011001 1001

(a) (б)

294

289

284

274

t сутt сут

279

0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10

286

283

280

274

277

(a) (б)


58

2015 2









12

9

6

3

01 201 401 601 801 1001

45

40

35

3001 201 401 601 801 1001

(a) (б)

(a) (б)


59

2015 2





60

2015 2










295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a) (б)

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

288

282

276

292

286

280


61

2015 2







15

12

6

301 201 401 601 801 1001

45

40

35

3001 201 401 601 801 1001

(a)

10

08

06

001 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

(a)

9

(б)

04

02

(б)10

08

06

0

04

02


62

2015 2










04

02

01

001 201 401 601 801 1001

01

0075

005

0025

01 201 401 601 801 1001

(a)

295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a)

0 2 4 6 8 10

288

282

276

292

286

280

03

0

(б)

(б)

0 2 4 6 8 10


63

2015 2




(a) (б)

(a) (б)

(a) (б)

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

15

12

6

3

45

40

35

30

9

10

08

06

0

04

02

10

08

06

0

04

02

03

01

0

04

02

0075

010

0

050

0025


64

2015 2








01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

10

06

04

0

08

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

02

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

(a) (б)

(a) (б)


65

2015 2





1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2


1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

10

06

04

0

08

02

(a) (б)

(a) (б)

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

05

06

07


66

2015 2



















References



















67

2015 2




Abstract





Xuumllasə



58

2015 2









12

9

6

3

01 201 401 601 801 1001

45

40

35

3001 201 401 601 801 1001

(a) (б)

(a) (б)


59

2015 2





60

2015 2










295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a) (б)

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

288

282

276

292

286

280


61

2015 2







15

12

6

301 201 401 601 801 1001

45

40

35

3001 201 401 601 801 1001

(a)

10

08

06

001 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

(a)

9

(б)

04

02

(б)10

08

06

0

04

02


62

2015 2










04

02

01

001 201 401 601 801 1001

01

0075

005

0025

01 201 401 601 801 1001

(a)

295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a)

0 2 4 6 8 10

288

282

276

292

286

280

03

0

(б)

(б)

0 2 4 6 8 10


63

2015 2




(a) (б)

(a) (б)

(a) (б)

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

15

12

6

3

45

40

35

30

9

10

08

06

0

04

02

10

08

06

0

04

02

03

01

0

04

02

0075

010

0

050

0025


64

2015 2








01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

10

06

04

0

08

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

02

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

(a) (б)

(a) (б)


65

2015 2





1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2


1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

10

06

04

0

08

02

(a) (б)

(a) (б)

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

05

06

07


66

2015 2



















References



















67

2015 2




Abstract





Xuumllasə



59

2015 2





60

2015 2










295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a) (б)

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

288

282

276

292

286

280


61

2015 2







15

12

6

301 201 401 601 801 1001

45

40

35

3001 201 401 601 801 1001

(a)

10

08

06

001 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

(a)

9

(б)

04

02

(б)10

08

06

0

04

02


62

2015 2










04

02

01

001 201 401 601 801 1001

01

0075

005

0025

01 201 401 601 801 1001

(a)

295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a)

0 2 4 6 8 10

288

282

276

292

286

280

03

0

(б)

(б)

0 2 4 6 8 10


63

2015 2




(a) (б)

(a) (б)

(a) (б)

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

15

12

6

3

45

40

35

30

9

10

08

06

0

04

02

10

08

06

0

04

02

03

01

0

04

02

0075

010

0

050

0025


64

2015 2








01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

10

06

04

0

08

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

02

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

(a) (б)

(a) (б)


65

2015 2





1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2


1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

10

06

04

0

08

02

(a) (б)

(a) (б)

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

05

06

07


66

2015 2



















References



















67

2015 2




Abstract





Xuumllasə



60

2015 2










295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a) (б)

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

288

282

276

292

286

280


61

2015 2







15

12

6

301 201 401 601 801 1001

45

40

35

3001 201 401 601 801 1001

(a)

10

08

06

001 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

(a)

9

(б)

04

02

(б)10

08

06

0

04

02


62

2015 2










04

02

01

001 201 401 601 801 1001

01

0075

005

0025

01 201 401 601 801 1001

(a)

295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a)

0 2 4 6 8 10

288

282

276

292

286

280

03

0

(б)

(б)

0 2 4 6 8 10


63

2015 2




(a) (б)

(a) (б)

(a) (б)

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

15

12

6

3

45

40

35

30

9

10

08

06

0

04

02

10

08

06

0

04

02

03

01

0

04

02

0075

010

0

050

0025


64

2015 2








01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

10

06

04

0

08

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

02

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

(a) (б)

(a) (б)


65

2015 2





1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2


1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

10

06

04

0

08

02

(a) (б)

(a) (б)

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

05

06

07


66

2015 2



















References



















67

2015 2




Abstract





Xuumllasə



61

2015 2







15

12

6

301 201 401 601 801 1001

45

40

35

3001 201 401 601 801 1001

(a)

10

08

06

001 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

(a)

9

(б)

04

02

(б)10

08

06

0

04

02


62

2015 2










04

02

01

001 201 401 601 801 1001

01

0075

005

0025

01 201 401 601 801 1001

(a)

295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a)

0 2 4 6 8 10

288

282

276

292

286

280

03

0

(б)

(б)

0 2 4 6 8 10


63

2015 2




(a) (б)

(a) (б)

(a) (б)

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

15

12

6

3

45

40

35

30

9

10

08

06

0

04

02

10

08

06

0

04

02

03

01

0

04

02

0075

010

0

050

0025


64

2015 2








01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

10

06

04

0

08

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

02

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

(a) (б)

(a) (б)


65

2015 2





1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2


1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

10

06

04

0

08

02

(a) (б)

(a) (б)

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

05

06

07


66

2015 2



















References



















67

2015 2




Abstract





Xuumllasə



62

2015 2










04

02

01

001 201 401 601 801 1001

01

0075

005

0025

01 201 401 601 801 1001

(a)

295

289

283

274

t сутt сут

277

286

284

280

274

278

(a)

0 2 4 6 8 10

288

282

276

292

286

280

03

0

(б)

(б)

0 2 4 6 8 10


63

2015 2




(a) (б)

(a) (б)

(a) (б)

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

15

12

6

3

45

40

35

30

9

10

08

06

0

04

02

10

08

06

0

04

02

03

01

0

04

02

0075

010

0

050

0025


64

2015 2








01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

10

06

04

0

08

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

02

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

(a) (б)

(a) (б)


65

2015 2





1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2


1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

10

06

04

0

08

02

(a) (б)

(a) (б)

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

05

06

07


66

2015 2



















References



















67

2015 2




Abstract





Xuumllasə



63

2015 2




(a) (б)

(a) (б)

(a) (б)

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

15

12

6

3

45

40

35

30

9

10

08

06

0

04

02

10

08

06

0

04

02

03

01

0

04

02

0075

010

0

050

0025


64

2015 2








01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

10

06

04

0

08

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

02

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

(a) (б)

(a) (б)


65

2015 2





1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2


1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

10

06

04

0

08

02

(a) (б)

(a) (б)

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

05

06

07


66

2015 2



















References



















67

2015 2




Abstract





Xuumllasə



64

2015 2








01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

10

06

04

0

08

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

02

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

(a) (б)

(a) (б)


65

2015 2





1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2


1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

10

06

04

0

08

02

(a) (б)

(a) (б)

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

05

06

07


66

2015 2



















References



















67

2015 2




Abstract





Xuumllasə



65

2015 2





1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2


1 ndash k = 810-13 м2 2 ndash k = 810-14 м2

01 201 401 601 801 1001 01 201 401 601 801 1001

04

02

01

0

03

t сут0 2 4 6 8 10

t сут0 2 4 6 8 10

10

06

04

0

08

02

(a) (б)

(a) (б)

100

096

094

090

098

092

04

02

01

0

03

05

06

07


66

2015 2



















References



















67

2015 2




Abstract





Xuumllasə



66

2015 2



















References



















67

2015 2




Abstract





Xuumllasə



67

2015 2




Abstract





Xuumllasə


SQRVASAA - SOCARproceedings.socar.az/uploads/pdf/13/Bondar-54-67.pdf ·...

Documents

Transcript of SQRVASAA - SOCARproceedings.socar.az/uploads/pdf/13/Bondar-54-67.pdf ·...