ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Solution of Midterm Exam 2.

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Solution of Midterm Exam 2.

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Solution of Midterm Exam 2.

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Solution of Midterm Exam 2.

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Revisit charging capacitor by practical voltage source

It is easy to find solution if Vs is step function.

Wh i V i li d?What is Vs is more complicated?

1

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Series RLC circuit

2

This is second order equation and it is not easy even for step function Vs …. What should we do?

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Series RLC circuit under harmonic excitation (AC steady‐state)

3

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Series RLC circuit under harmonic excitation (AC steady‐state)

Phasor analysis – method to solve linear differential equations with sine wave sourcess e a e sou ces

4

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Back to simple RC circuit with sources of different frequencies

5

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Back to simple RC circuit with sources of different frequencies

For each frequency we can use phasors

‐ Transfer function

6

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Laplace Transform

Function in time‐domain

Function in s‐domain

One sided Laplace transform of V(t)

not allowed

Exists ifallowed

not allowed

is piecewise continuous

is of exponential orderis of exponential order exists

Why we talk about Laplace transform?

7

Why we talk about Laplace transform?– because it is method to solve differential equations.

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Laplace Transform of Derivative

8

Differentiation in time‐domain is replaces with multiplication in s‐domain

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Laplace Transform of Integral

Integration in time‐domain is replaces with division in s‐domain

9

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Let’s use Laplace Transform to solve RC circuit

Apply Laplace Transform method

Laplace transform is linear operation

10

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Let’s use Laplace Transform to solve RC circuit

‐ Assume that C was initially discharged

Impedance of the capacitor in s domain

11

‐ Impedance of the capacitor in s‐domain

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Let’s use Laplace Transform to solve RLC circuit

‐ Assume that C was initially discharged

Looks very similar to phasor 

12

y pmethod with s in place of j∙

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Back to step response of RC circuit

13

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

How to get back to time‐domain from s‐domain

1. Use Laplace inversion integral:

any within region of convergence

2. Use partial fraction expansion and utilize table:

14

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Back to step response of RC circuit

15

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Back to step response of RC circuit

bl h h h l f l f

16

We were able to get this without help from Laplace transform

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Back to step response of RLC circuit

17

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Back to step response of RLC circuit

Option 1:

18

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Back to step response of RLC circuit

Option 1:

19

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Back to step response of RLC circuit

Option 2:

20

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Back to step response of RLC circuit

Option 2:

21

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Back to step response of RLC circuit

Option 3:

Can not find A and B

Need to find function in t‐domain that corresponds to

22

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

T‐multiplication

23

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 17

Back to step response of RLC circuit

Option 3:

24