1

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW ANALOGOWYCH NA SYGNAŁY CYFROWE

Spis treści

1. Definicja próbkowania sygnału

2. Twierdzenie Shanona

3. Aliasing czyli utożsamianie

4. Przetwarzanie obrazów analogowych na dyskretne

2

Próbkowanie sygnałów

Dyskretyzacja czyli próbkowanie

+

Kwantyzacja

Sygnał cyfrowy

ang. sampling

Czy znając dyskretne wartości sygnału można z nich odtworzyć sygnał analogowy?

3

Próbkowanie sygnału akustycznego

Przykład 256 próbek sygnału Starwars

Sygnał dyskretny powstaje z sygnału analogowego zgodnie ze wzorem

przy czym jest odstępem między próbkami, czyli okresem próbkowania.

Odwrotność okresu próbkowania jest częstotliwością próbkowania

MTMssss )1(,),1(),0(

)()( tisis a

t

tf p

1

Sygnał dyskretny można zapisać w postaci wektorowej

czyli

Hzt

f p 100441

ssst 68,22102268100441 8

4

Twierdzenie Shanona

Jeżeli spełnione są warunki:1) nośnik widma sygnału jest ograniczony, tzn.

istnieje takie, że dla ,2) próbki sygnału są pobierane w odstępach czasu

takich, że

to wtedy sygnał może być odtworzony z ciągu próbek zapomocą szeregu

0mf 0)(ˆ fs mff

ntns )(

,21 df

mp fft

)(ts

./)(

/)(sin)()(

n ttnt

ttnttnsts

2ˆ Ls

t

Kotielnikow 1933 rok

Shannon 1949 rok

5

Przykład odtwarzania sygnału

n ttnt

ttnttnsts/)(

/)(sin)()(

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

0 5 10 15 20 25 30-2

0

24

68

0 2 42 64

tt)sin(Funkcja

Istotna ciekawostka z historiiKryterium Nyquist’a (”Certain topics in

telegraph transmission theory”, 1928 r.):„Up to 2B independent pulse samples could be

sent through a system of bandwidth B; but he did not explicitly consider the problem of sampling and reconstruction of continuous signals.”

Twierdzenie Shannon’a (”Communication in the Presence of Noise”, 1949 r.):

„If a function contains no frequencies higher than max(in radians per second), it is completelydetermined by giving its ordinates at a series of points spaced T=π/ max seconds apart.”

7

Wstęp do dowodu tw. Shanona

m

m

f

f

tfj dfefsts 2)(ˆ)(

We wzorze na odwrotną transformację Fouriera

0)(ˆ fs

mp ff ,2/ 2/, pm ff

to musi być spełniony warunek

mp ff 2/

na odcinkach i

2/

2/

2)(ˆ)(p

p

f

f

tfj dfefsts

możemy zmienić granice całkowania otrzymując

Obie całki są jednakowe bo jeżeli

8

Początek dowodu tw. Shanona

n

ffnjn

pesfs /2)(ˆ 2/,2/ pp ff

n

f

f

ffntj

n

p

p

p dfests2/

2/

2

)(

2/

2/

/2)(ˆ1 p

p

p

f

f

ffnj

pn dfefs

fs

Funkcję wyrugujemy ze wzoru odwrotnej transformacji Fouriera

wstawiając w jej miejsce szereg Fouriera

)(ˆ fs

zbieżny na odcinku

Przy okazji zauważmy, że współczynniki tego szeregu dane są wzorem

Otrzymujemy zatem

2/

2/

2)(ˆ)(p

p

f

f

tfj dfefsts

pp

n fnsf

s /1czyli

9

Kontynuacja dowodu tw. Shanona

n

f

f

ffntj

n

p

p

p dfests2/

2/

2

)(

2/

2/

2p

p

p

f

f

ffntj

dfe

2/

2/

2sin2cosp

p

f

f pp

dfffntjf

fnt

Dla otrzymanego wzoru

wyliczmy występującą w nim całkę

)/()(sin

p

p

fntntf

Uwaga! Po podstawieniu granic całkowania funkcja cosinus znikła bo jest funkcją parzystą!

10

Zakończenie dowodu

)/()(sin

p

p

fntntf

n p

pp ntf

ntffnsts

sin

/)(

tf p

1

pp

n fnsf

s /1

n

f

f

ffntj

n

p

p

p dfests2/

2/

2

)(

n ttnt

ttnttnsts/)(

/)(sin)()(

Do wzoru

podstawiamy

2/

2/

2p

p

p

f

f

ffntj

dfe

oraz

otrzymując

Uwzględniając dostajemy ostatecznie

11

Zmiany częstotliwości próbkowania

,21 df

mp fft

Z twierdzenia Shanona wiemy, że

Zatem częstotliwość próbkowania może być dowolnie duża.

Co się jednak stanie jeżeli częstotliwość próbkowania będzie za mała?

12

Aliasing czyli utożsamianie

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.81 ●● ●●

Przyjęta gęstość dyskretyzacji oznacza, że próbki mają takie same wartości dla dwóch różnych sygnałów.

13

Sygnał 1 fp=44100 Hz -> 4410 Hz (10x)

całość prawy

Zakłóceniedodanotylko dokanałulewego

a) przed próbkowaniemb) po próbkowaniu

z aliasingiemc) po próbkowaniu

poprzedzonymfiltracjąantyaliasingową

lewy

14

Sygnał 1 fp=44100 Hz -> 4410 Hz (10x)

15

Sygnał 1 fp=44100 Hz -> 4410 Hz (10x)

Z aliasingiem

16

Sygnał 2 fp=44100 Hz -> 2205 Hz (20x)

lewy

a) przed próbkowaniemb) po próbkowaniu

z alisingiemc) po próbkowaniu

poprzedzonymfiltracjąantyaliasingową

Zakłóceniedodanotylko dokanałulewego

17

Sygnał 2 fp=44100 Hz -> 2205 Hz (20x)

18

Sygnał 2 fp=44100 Hz -> 2205 Hz (20x)

całość prawy

a) przed próbkowaniemb) po próbkowaniu

z alisingiemc) po próbkowaniu

poprzedzonymfiltracjąantyaliasingową

19

Sygnał 2 fp=44100 Hz -> 2205 Hz (20x)

Z aliasingiem

20

Sygnał 3 fp=44100 Hz -> 2756,25 Hz (16x)

lewy

a) przed próbkowaniemb) po próbkowaniu

z alisingiemc) po próbkowaniu

poprzedzonymfiltracjąantyaliasingową

Zakłóceniedodanotylko dokanałulewego

21

Sygnał 3 fp=44100 Hz -> 2756,25 Hz (16x)

22

Sygnał 3 fp=44100 Hz -> 2756,25 Hz (16x)

całość prawy

a) przed próbkowaniemb) po próbkowaniu

z alisingiemc) po próbkowaniu

poprzedzonymfiltracjąantyaliasingową

23

Sygnał 3 fp=44100 Hz -> 2756,25 Hz (16x)

Filtracja antyaliasingowa

b

p

ff

SNRN 2/log6 2

Kwantyzacja sygnału

2626

Przykład sygnału dwuwymiarowego

ZnmnmD ,:),(

nmnms ,),(2:sModel matematyczny obrazu analogowego jest odwzorowaniem

Obraz dyskretny jest zborem punktów

zdefiniowanych na dziedzinie

27

Model matematyczny dyskretnego obrazu

ZnmnmD ,:),( nmnms ,),( NMs gdzie: M - ilość linii, N - ilość punktów (pikseli) w linii

m

n0,0

x 8

28

Twierdzenie Shanona dla sygnału 2-D

Jeżeli obraz analogowy ),( yxs spełnia następujące warunki:

1) nośnik widma obrazu 22ˆ Ls jest ograniczony, tzn.0),(ˆ yx ffs jeśli xmx ff lub ,ymy ff

2) próbki obrazu nmynxms ,),( są pobierane w odstępach

takich, że xmxp ffx

21 df

,21 df

ymyp ffy

xmf

ymfyf

xf

yx i

oraz

29

Twierdzenie Shanona dla sygnału 2-D

Jeżeli obraz analogowy ),( yxs spełnia następujące warunki:

1) nośnik widma obrazu 22ˆ Ls jest ograniczony, tzn.0),(ˆ yx ffs jeśli xmx ff lub ,ymy ff

2) próbki obrazu nmynxms ,),( są pobierane w odstępach

takich, że xmxp ffx

21 df

,21 df

ymyp ffy

yx i

oraz

to wtedy obraz analogowy ),( yxs może być zrekonstruowanyz obrazu dyskretnego nmynxms ,),(

.)(sin)(sin),(),( 2

m n nyymxx

nyymxxynxmsyxs

przy pomocy szeregu