Spiralne fale gęstości

5/11/2018 Spiralne fale gęstości - slidepdf.com

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S p i r a l n e f a l e g ¦ s t o ± c i

B a r t ª o m i e j D ¦ b s k i

∗

1 7 w r z e ± n i a 2 0 1 0

S t r e s z c z e n i e

W p r e z e n t o w a n e j p r a c y p r z e d s t a w i o n a z o s t a j e h i p o t e z a s p i r a l n y c h f a l g ¦ s t o -

± c i , p o r a z p i e r w s z y z a p r o p o n o w a n a p r z e z C . C . L i n o r a z F . H . S h u w p r a c y p t :

O n t h e s p i r a l s t r u c t u r e o f d i s k g a l a x i e s w r o k u 1 9 6 4 . C e l e m p o n i » s z e g o a r t y k u ª u

j e s t j a w n e w y ª o » e n i e a p a r a t u m a t e m a t y c z n e g o k o n i e c z n e g o d o p o s ª u g i w a n i a s i ¦

t e o r i ¡ Q S S S ( Q u a s i S t a b l e S p i r a l S t r u c t u r e - q u a s i - s t a b i l n e j s t r u k t u r y s p i r a l n e j )

w r a z z k o m e n t a r z a m i . O p i s t e o r e t y c z n y i a n a l o g i e s ¡ s t o s o w a n e s p e c j a l n i e , b y

C z y t e l n i k o w i ª a t w i e j b y ª o s o b i e w y o b r a z i ¢ r o z w i ¡ z y w a n y p r o b l e m . W t r a k c i e l e k -

t u r y C z y t e l n i k p r z e b r n i e p r z e z z a g a d n i e n i e p r ¦ d k o ± c i r o t a c j i d y s k u g a l a k t y c z n e g o ,

p r ¦ d k o ± ¢ r o z p r z e s t r z e n i a n i a s i ¦ f a l g ¦ s t o ± c i , z a p r e z e n t o w a n y b ¦ d z i e s p o s ó b p r z e j -

± c i a d o p o m o c n i c z y c h u k ª a d ó w w s p ó ª r z ¦ d n y c h ( u k ª a d c y l i n d r y c z n y i b i e g u n o w y ) ,

a w p ó ¹ n i e j s z y m c z a s i e r o z w a » o n a b ¦ d z i e s t r u k t u r a l o k a l n a d y s k ó w g a l a k t y c z n y c h

o r a z w y k a z a n i e , d l a j a k i c h m o d ó w f a l p o t e n c j a ª u g r a w i t a c y j n e g o n a s t ¦ p u j e n i e s t a -

b i l n o ± ¢ d y s k u .

∗E - m a i l : a l g a n o n i m @ b y k . o a . u j . e d u . p l

1



S p i s t r e ± c i

1 W s t ¦ p 3

1 . 1 Z a r y s p r o b l e m u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 2 M a s a k r y t y c z n a . D ª u g o ± ¢ J e a n s a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 W y j ± c i o w e r ó w n a n i a . C y l i n d r y c z n y u k ª a d w s p ó ª r z ¦ d n y c h . 6

3 R a c h u n e k p e r t u r b a c y j n y 1 0

4 P o t e n c j a ª g r a w i t a c y j n y d y s k u g a l a k t y c z n e g o 1 2

5 L o k a l n a s t r u k t u r a g a l a k t y k . 1 5

5 . 1 T r a n s f o r m a c j a r ó w n a « : c i ¡ g ª o ± c i i E u l e r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

5 . 2 P r ¦ d k o ± c i o b i e k t ó w w d y s k u g a l a k t y c z n y m . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

5 . 3 P o t e n c j a ª g r a w i t a c y j n y w p o b l i » u S ª o « c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

6 P o d s u m o w a n i e 2 1

2



1 W s t ¦ p

1 . 1 Z a r y s p r o b l e m u

W 1 9 6 4 r o k u L i n i S h u z a p r o p o n o w a l i h i p o t e z ¦ , k t ó r a t ª u m a c z y ª a s p i r a l n ¡ s t r u k -

t u r ¦ g a l a k t y k . W m o d e l u p r z e z n i c h z a p r e z e n t o w a n y m s t r u k t u r a s p i r a l n a s k ª a d a s i ¦ z

( n i e m a l ) s t a b i l n e j f a l i g ¦ s t o ± c i . O z n a c z a t o , » e f a l a g ¦ s t o ± c i z a c h o w u j e s w ó j k s z t a ª t ( l u b

k s z t a ª t p r z y b l i » o n y , n i e z d e f o r m o w a n y ) p r z e z o k r e s o d p o w i a d a j ¡ c y w i e l u o b r o t o m w o k ó ª

o s i g a l a k t y k i . H i p o t e z a t a , w p i e r w o t n y m z a ª o » e n i u , n i e o d p o w i a d a n a p y t a n i e d o t y -

c z ¡ c e g e n e z y s t r u k t u r y s p i r a l n e j , a n a j b a r d z i e j i n t u i c y j n ¡ t e o r i a j e s t , » e r a m i o n a s p i r a l n e

p o w s t a ª y p r z e z z a i s t n i e n i e n i e s t a b i l n o ± c i w m i a r ¦ j e d n o l i t y m p i e r w o t n y m d y s k u . S t ¡ d

z a i s t n i a ª p o g l ¡ d , » e s t r u k t u r a s p i r a l n a j e s t w y n i k i e m n a j b a r d z i e j n i e s t a b i l n e g o m o d u g a -

l a k t y c z n e g o d y s k u . W r a z z n a r a s t a n i e m a m p l i t u d y d y s s y p a c j a ( r o z p r a s z a n i e ) e n e r g i i w

o ± r o d k u m i ¦ d z y g w i e z d n y m p r o w a d z i d o t ª u m i e n i a . S t o p i e « t ª u m i e n i a r o ± n i e w i ¦ c w r a z

z e w z r o s t e m a m p l i t u d y f a l i a » d o m o m e n t u o s i ¡ g n i ¦ c i a s t a b i l n e j , s k o « c z o n e a m p l i t u d y ,

k t ó r a j e s t p o s t a c i o b s e r w o w a n e j d z i s i a j .

Z a g a d n i e n i e f a l g ¦ s t o ± c i m o » n a r o z p a t r y w a ¢ d w o j a k o : b i o r ¡ c p o d u w a g ¦ s t r u k t u r ¦

s p i r a l n ¡ j a k o e w e n e m e n t g l o b a l n y , a t a k » e r o z p o c z ¡ ¢ d o c h o d z e n i e o s t r u k t u r z e s p i r a l -

n e j n a p o z i o m i e e l e m e n t a r n y m , r o z p a t r u j ¡ c r u c h p o j e d y n c z y c h o b i e k t ó w w c h o d z ¡ c y c h

w s k ª a d d y s k u g a l a k t y c z n e g o , i c h o r b i t y i z a b u r z e n i a i c h r u c h u . M e t o d a p i e r w s z a , t j .

t r a k t o w a n i e s t r u k t u r y s p i r a l n e j o r a z f a l g ¦ s t o ± c i w s p o s ó b g e n e r a l n y j e s t b a r d z i e j i n t u -

i c y j n a d l a o s ó b , k t ó r e s p o t y k a j ¡ s i ¦ z H i p o t e z ¡ p o r a z p i e r w s z y , g d y » j e s t ª a t w i e j s z a w

o p i s i e . C e n ¡ ª a t w o ± c i o p i s u j e s t j e g o n i e d o k ª a d n o ± ¢ i o g ó l n i k o w e t r a k t o w a n i e t e o r i i . A b y

p r z e a n a l i z o w a ¢ p r o b l e m d o k ª a d n i e , n a l e » y p o d e j ± ¢ d o p r o b l e m u z d r u g i e j , e l e m e n t a r n e j

s t r o n y . R o z p a t r u j e s i ¦ r u c h p o j e d y n c z y c h o b i e k t ó w . W p r o w a d z o n e z o s t a n i e z a ª o » e n i e ,

» e o b i e k t y o k r ¡ » a j ¡ c e g a l a k t y k ¦ p o r u s z a j ¡ c s i ¦ p o o r b i t a c h e l i p t y c z n y c h . D o k ª a d n i e j :

o b i e k t y p o r u s z a ¢ s i ¦ b ¦ d ¡ n a e p i c y k l a c h , k t ó r e o k r ¡ » a j ¡ g a l a k t y k ¦ p o o r b i t a c h k o ª o w y c h .

W y p a d k o w ¡ r u c h u b ¦ d z i e o r b i t a o b i e k t u z b l i » o n a d o e l i p t y c z n e j . P o d e j ± c i e t o n a j e » o n e

j e s t z a ª o » e n i a m i o r a z n i e t r y w i a l n y m i p r z e j ± c i a m i , j e d n a k p o s i a d a s i l n ¡ p o d s t a w ¦ m a t e -

m a t y c z n ¡ . W p o n i » s z y m a r t y k u l e p r z e d s t a w i o n a b ¦ d z i e m a t e m a t y c z n a s t r o n a h i p o t e z y

L i n S h u .

A b y z r o z u m i e ¢ i d e ¦ f a l g ¦ s t o ± c i , m o » n a w y o b r a z i ¢ s o b i e o w e f a l e j a k o o b s z a r y o z w i ¦ k -

s z o n e j g ¦ s t o ± c i p r z y j m u j ¡ c e p o s t a ¢ c z o ª a m e c h a n i c z n e j f a l i r o z c h o d z ¡ c e j s i ¦ w o ± r o d k u

m a t e r i a l n y m . D o b r ¡ a n a l o g i ¡ t a k i e g o p r z y p a d k u j e s t f a l a d ¹ w i ¦ k o w a ( k t ó r a r o z c h o d z i s i ¦

z d u » o w i ¦ k s z ¡ p r ¦ d k o ± c i ¡ w w a r u n k a c h n o r m a l n y c h ) . F a l ¦ g ¦ s t o ± c i , k t ó r a z r e d u k o w a n o

d o j e d n e g o w y m i a r u , p o r ó w n a ¢ m o » n a z d o s t a t e c z n ¡ d o k ª a d n o ± c i ¡ d o k o r k u , j a k i p o -

w s t a j e n a z a t ª o c z o n e j d r o d z e . P o j e d y n c z e e l e m e n t y ( g w i a z d y , m g ª a w i c e ) r e p r e z e n t o w a n e

t u s ¡ p r z e z s a m o c h o d y , k t ó r e z b l i » a j ¡ c s i ¦ d o z a t ª o c z o n e g o o b s z a r u w y t r a c a j ¡ p r ¦ d k o ± ¢ ,

z b l i » a j ¡ s i ¦ d o s i e b i e w z a j e m n i e i s z a n s e k o l i z j i s ¡ w i ¦ k s z e . P o n a d t o , c o j e s t s e d n e m

a n a l o g i i , p r ¦ d k o ± ¢ p r z e s u w a j ¡ c e g o s i ¦ o b s z a r u z a t ª o c z e n i a j e s t w i e l o k r o t n i e m n i e j s z a o d

p r ¦ d k o ± c i p o j e d y n c z y c h e l e m e n t ó w , a j e j z w r o t j e s t p r z e c i w n y d o i c h p r ¦ d k o ± c i .

3



1 . 2 M a s a k r y t y c z n a . D ª u g o ± ¢ J e a n s a .

P o d o b n a s y t u a c j a z a c h o d z i w d y s k u g a l a k t y c z n y m , w k t ó r y m r o z c h o d z i s i ¦ f a l a g ¦ -

s t o ± c i : R e g i o n y H I I , n i e l i c z n e g w i a z d y i m g ª a w i c e , k t ó r e w k r a c z a j ¡ d o r e g i o n u g ¦ s t s z e g o

p o d d a w a n e s ¡ d z i a ª a n i u l o k a l n i e z w i ¦ k s z o n e j g r a w i t a c j i t a k , » e o b i e k t y z b l i » a j ¡ c e s i ¦ d o

c z o ª a f a l i g ¦ s t o ± c i s ¡ p r z y s p i e s z a n e w j e j k i e r u n k u . A n a l o g i c z n i e , o b i e k t y w y c h o d z ¡ c e z

o b s z a r u g ¦ s t o ± c i s ¡ s p o w a l n i a n e p r z e z p r z y c i ¡ g a n i e g r a w i t a c y j n e d z i a ª a j ¡ c e w k i e r u n k u

c z o ª a f a l i .

S t r u k t u r a s p i r a l n a s t a j e s i ¦ w i d o c z n a , g d y o b ª o k i m a t e r i i w p a d a j ¡ d o o b s z a r u g ¦ s t -

s z e g o . T a m , p o d d z i a ª a n i e m z w i ¦ k s z o n e j g r a w i t a c j i i c i ± n i e n i a m a t e r i i m i ¦ d z y g w i e z d n e j ,

o b ª o k i g a z o w e i g a z o w o - p y ª o w e k o l a p s u j ¡ s t a j ¡ c s i ¦ r e g i o n a m i g w i a z d o t w ó r c z y m i . P a r a -

m e t r y o b s z a r ó w k o l a p s u j ¡ c y c h o r a z p o w s t a j ¡ c y c h c i a ª n i e b i e s k i c h ± c i ± l e z a l e » ¡ o d t z w .

p a r a m e t r ó w J e a n s a , k t ó r e m o » n a w y p r o w a d z i ¢ k o r z y s t a j ¡ c z r ó w n a n i a J e a n s a :

ν ∂ v j

∂t+ viν

∂ v j

∂xi

= −ν ∂ Φ∂x j

−∂

∂xi

(νσ2ij)

( 1 )

g d z i e

σ2ij - t e n s o r d y s p e r s j i ,

ρ = mν ,

P V = N kT ( r ó w n a n i e s t a n u )

J e s t t o z m o d y k o w a n e r ó w n a n i e E u l e r a ( b e z l e p k o ± c i ; t z w . ± u c h a w o d a " ) .

W p r o w a d z a j ¡ c z a ª o » e n i e , » e g ¦ s t o ± ¢ ± r e d n i a j e s t s t a ª a o r a z p r ¦ d k o ± ¢ z a l e » y w y ª ¡ c z n i e

o d g ¦ s t o ± c i i p o s ª u g u j ¡ c s i ¦ r ó w n a n i a m i : c i ¡ g ª o ± c i , s t a n u , a t a k » e z a k ª a d a j ¡ c r o z k ª a d

P o i s s o n a o t r z y m u j e s i ¦ o s t a t e c z n i e r ó w n a n i e f a l o w e :

∂ 2ρ1

∂t2− v2s

2ρ1 − 4πρ1ρ0 = 0( 2 )

g d z i e

ρ1 - z a g ¦ s z c z e n i e m a t e r i i .

S t ¡ d w y z n a c z y ¢ m o » n a p a r a m e t r - d ª u g o ± ¢ J e a n s a λ j , c z y l i p r o m i e « s f e r y , w j a k i e j

m i e ± c i s i ¦ n i e s t a b i l n y g r a w i t a c y j n i e r e g i o n :

λ j =

v2sπ

Gρ0( 3 )

A s t ¡ d j u » t y l k o k r o k d o o t r z y m a n i a m a s y k r y t y c z n e j , p o w y » e j k t ó r e j r e g i o n z a -

m k n i ¦ t y w s f e r z e o p r o m i e n i u

λ j b ¦ d z i e n i e s t a b i l n y ( z a c z n i e s i ¦ z a p a d a ¢ ) :

M j =4

3πρ0(

v2sπ

Gρ0)3

( 4 )

J e ± l i u w z g l ¦ d n i s i ¦ n a s t ¦ p u j ¡ c e z a l e » n o ± c i :

σ2 =kT

m( 5 )

4



P = σ2v( 6 )

t o m a s ¦ J e a n s a d a s i ¦ w y r a z i ¢ j a k o :

M j =4

3πρ0(

kT π

Gρ0m)3

( 7 )

p r z y c z y m m

- m a s a p o j e d y n c z y c h e l e m e n t ó w , k t ó r e w c h o d z ¡ w s k ª a d u k ª a d u .

5



2 W y j ± c i o w e r ó w n a n i a . C y l i n d r y c z n y u k ª a d w s p ó ª -

r z ¦ d n y c h .

Z n a j ¡ c j u » w a r u n k i k o n i e c z n e d o p o w s t a w a n i a n i e s t a b i l n y c h ( k o l a p s u j ¡ c y h ) r e g i o n ó w

i p o s i a d a j ¡ c d o b r y m o d e l o b r a z u j ¡ c y z a j ± c i a w p e w n y c h m i e j s c a c h d y s k u g a l a k t y c z n e g o ,

m o » n a z a s t a n o w i ¢ s i ¦ n a d t e o r i ¡ o p i s u j ¡ c ¡ s t r u k t u r ¦ s p i r a l n ¡ g a l a k t y k i . T a k ¡ t e o r i ¡ j e s t

h i p o t e z a ( Q S S S ) L i n S h u . O p a r c i e m h i p o t e z y s ¡ n a s t ¦ p u j ¡ c e r ó w n a n i a :

R ó w n a n i e E u l e r a :

∂ρ

∂t− (v · )v = −

P

ρ−Φ

( 8 )

R ó w n a n i e c i ¡ g ª o ± c i :

∂ρ∂t

+(ρv) = 0( 9 )

R ó w n a n i e P o i s s o n a :

2Φ = 4πGρ( 1 0 )

R ó w n a n i e s t a n u :

P = P (ρ)D l a p r o s t o t y o b l i c z e n i a b ¦ d ¡ p r z e p r o w a d z a n e d l a p r z y p a d k u , g d z i e c a ª a m a t e r i a

d y s k u r o z l o k o w a n a b ¦ d z i e z d w u w y m i a r o w e j p ª a s z c z y ¹ n i e

z = 0. P o n i e w a » i s t n i e j e k o -

l i s t a s y m e t r i a r u c h ó w o r a z c y l i n d r y c z n a s y m e t r i a p o t e n c j a ª u g r a w i t a c y j n e g o , k o n i e c z n e

b ¦ d z i e p r z e t r a n s f o r m o w a n i e p o w y » s z y c h r ó w n a « d o o p t y m a l n e g o u k ª a d u w s p ó ª r z ¦ d n y c h .

T a k i m u k ª a d e m b ¦ d z i e c y l i n d r y c z n y u k ª a d w s p ó ª r z ¦ d n y c h , k t ó r y w p r z y p a d k a c h z = 0

z r e d u k u j e s i ¦ d o u k ª a d u b i e g u n o w e g o .

W z w i ¡ z k u z p o w y » s z y m , g ¦ s t o ± ¢ d y s k u p r z e d e n i o w a n a z o s t a n i e n a s t ¦ p u j ¡ c o :

ρ(r,φ,z) = Σ(r, φ)δ(z)( 1 1 )

Σ(r, φ)- g ¦ s t o ± ¢ p o w i e r z c h n i o w a :

Σ(r, φ) =

+∞−∞

dzρ(r,φ,z)( 1 2 )

P r o w a d z a s i ¦ t e » c i ± n i e n i e p a n u j ¡ c e n a p ª a s z c z y ¹ n i e d y s k u :

Π(r, ϕ) =

+∞−∞

dzP (ρ)( 1 3 )

P o n i e w a » i s t n i e j e o g r a n i c z e n i e d o z = 0

, t o p r ¦ d k o ± c i w o s i z s ¡ r ó w n i e » r ó w n e z e r u :

vz = 0P o d c z a s p r z e c h o d z e n i a d o c y l i n d r y c z n e g o ( o r a z , d l a

z = 0, b i e g u n o w e g o ) u k ª a d u

w s p ó ª r z ¦ d n y c h w y k o n u j e s i ¦ n a s t ¦ p u j ¡ c e p r z e k s z t a ª c e n i a .

P r ¦ d k o ± ¢ w p ª a s z c z y ¹ n i e

zw u k ª a d z i e b i e g u n o w y m :

−→v = vrr + vϕϕ

( 1 4 )

6



W s t ¦ p n i e n a l e » y z n a l e ¹ ¢ r o z w i ¡ z a n i a :

˙r =?

˙ϕ =?( 1 5 )

P o s ª u g u j ¡ c s i ¦ t r a n s f o r m a c j ¡ z u k ª a d u k a r t e z j a « s k i e g o d o b i e g u n o w e g o : r = xcos(ϕ) + ysin(ϕ)

ϕ = −xsin(ϕ) + ycos(ϕ)( 1 6 )

N a s t ¦ p n i e , r ó » n i c z k u j ¡ c p o w y » s z e :

˙r = −xsin(ϕ) ϕ + ycos(ϕ) ϕ˙ϕ = −xcos(ϕ) ϕ− ysin(ϕ) ϕ

( 1 7 )

S t ¡ d : drdt

= ϕϕdϕdt

= −ϕr( 1 8 )

k o l e j n o , k o r z y s t a j ¡ c z b i e g u n o w e j p o s t a c i l a p l a s j a n u :

= r∂

∂r+ ϕ

1

r

∂

∂ϕ( 1 9 )

O r a z : drdϕ

= ϕdϕdϕ

= −r( 2 0 )

R o z p i s u j e s i ¦

−→v · = vr∂

∂ϕ+ vϕ

1

r

∂

∂ϕ( 2 1 )

N a s t ¦ p n i e w y k o n u j e s i ¦ d z i a ª a n i e z u » y c i e m p o w y » s z y c h w y l i c z e « n a r ó w n a n i u E u -

l e r a :

(−→v · )

−→v == (vr

∂ ∂ϕ

+ vϕ1r

∂ ∂ϕ

)(vrr + vϕϕ) =

= vr∂vr∂r

r + vr∂vϕ∂ϕ

ϕ + vϕ∂vr∂ϕ

r 1r

+ vϕvr1r

ϕ + vϕ∂vϕ∂ϕ

ϕ1r− vϕvr

1r

r =

= r(vr∂vr∂r

+ vϕ1r∂vr∂ϕ− v2ϕ

1r

) + ϕ(vr∂vϕ∂r

+ vϕ1r

∂vϕ∂ϕ

+ vϕvr1r

)N a l e » y w y l i c z y ¢ t e » :

∂

∂t(vrr + vϕϕ) =

∂vr

∂tr +

∂vϕ

∂tϕ

( 2 2 )

P o w r a c a j ¡ c n a c h w i l ¦ d o r ó w n a n i a E u l e r a ; m n o » ¡ c g o o b u s t r o n n i e p r z e z g ¦ s t o ± ¢ ρ

i

c a ª k u j ¡ c +∞

−∞dz

:

7



∂ρ

∂t− (v · )v = −

P

ρ−Φ \ ·ρ

( 2 3 )

ρ∂ρ

∂t− ρ(v · )v = −P − ρΦ \

+∞−∞

dz( 2 4 )

Σ∂ Σ

∂t− Σ(v · )v = −Π− ΣΦ \ : Σ

( 2 5 )

∂ Σ

∂t− (v · )v = −

P

Σ−Φ

( 2 6 )

O t r z y m a n ¡ p o w y » e j p o s t a ¢ r ó w n a n i e E u l e r a s k l e j a s i ¦ z p o p r z e d n i m i w y l i c z e n i a m i .

B ¦ d z i e t o w y k a z a n e n i e b a w e m . T y m c z a s e m p r z e c h o d z i s i ¦ d o p r z e t r a n s p o n o w a n i a r ó w -

n a n i a c i ¡ g ª o ± c i d o b i e g u n o w e g o u k ª a d u w s p ó ª r z ¦ d n y c h :

−→v = vrr + vϕϕ( 2 7 )

∂

∂t−→v =

∂vr

∂tr +

∂vϕ

∂tϕ

( 2 8 )

= r∂

∂r+ ϕ

1

r

∂

∂ϕ( 2 9 )

∂ρ

∂t +(ρv) = 0R ó w n a n i e c i ¡ g ª o ± c i ( 3 0 )

O s t a t n i e r ó w n a n i e j e s t c a ª k o w a n e w g r a n i c a c h

+∞−∞

dz, c z e g o w y n i k i e m j e s t :

∂ Σ

∂t+(Σv)

I

= 0( 3 1 )

R o z p i s u j e s i ¦ n a s t ¦ p n i e c z ¦ ± ¢

I :

I = (r∂

∂r+ ϕ

1

r

∂

∂ϕ)(Σvrr + Σvϕϕ) =

1

r

∂

∂r(rΣvr) +

1

r

∂

∂ϕ(Σvϕ)

( 3 2 )

W s t a w i a j ¡ c w y n i k d o r ó w n a n i a ( 2 9 ) :

∂ Σ

∂t+

1

r

∂

∂r(rΣvr) +

1

r

∂

∂ϕ(Σvϕ) = 0

( 3 3 )

N a k o n i e c , z n a n e j u » r ó w n a n i e P o i s s o n a w e w s p ó ª r z ¦ d n y c h c y l i n d r y c z n y c h :

∂ 2Φ

∂r2+

1

r

∂ Φ

∂r+

1

r2∂ 2Φ

∂ϕ2+

∂ 2Φ

∂z2= 4πGΣδ(z)

( 3 4 )

T y m s p o s o b e m o t r z y m u j e s i ¦ w y j ± c i o w e r ó w n a n i a w b i e g u n o w y m u k ª a d z i e w s p ó ª r z ¦ d -

n y c h . R ó w n a n i e E u l e r a z o s t a ª o r o z b i t e n a d w a r ó w n a n i a g r o m a d z ¡ c e e l e m e n t y z a l e » n e

o d p o c h o d n y c h p o t e n c j a ª u

Φo d p o w i e d n i o p o o d l e g ª o ± c i r l u b k ¡ c i e

ϕ:

8



∂vr

∂t+ vr

∂vr

∂r+

vϕ

r

∂varr

∂ϕ− ∂∂ v2ϕ∂r = −∂ 1Σ

∂ Π

∂r−

∂ Φ

∂r( 3 5 )

∂vϕ

∂t+ vr

∂vϕ

∂r+

vϕ

r

∂vϕ

∂ϕ− ∂vϕvrr = −∂ 1rΣ

∂ Π

∂ϕ−

1

r

∂ Φ

∂ϕ( 3 6 )

∂ Σ

∂t+

1

r

∂

∂r(rΣvr) +

1

r

∂

∂ϕ(Σvϕ) = 0

( 3 7 )

∂ 2Φ

∂r2+

1

r

∂ Φ

∂r+

1

r2∂ 2Φ

∂ϕ2+

∂ 2Φ

∂z2= 4πGΣδ(z)

( 3 8 )

9



3 R a c h u n e k p e r t u r b a c y j n y

P o s i a d a j ¡ c p o d s t a w o w e r ó w n a n i a p r z e t r a n s p o n o w a n e d o o d p o w i e d n i e g o u k ª a d u w s p ó ª -

r z ¦ d n y c h m o » n a z a c z ¡ ¢ r o z w a » a ¢ z a b u r z e n i e w n i e s t a b i l n y m d y s k u g a l a k t y c z n y m . W

t y m c e l u w p r o w a d z a s i ¦ r a c h u n e k p e r t u r b a c y j n y :

Σ(r,ϕ,t) = Σ0(r) + Σ1(r,ϕ,t)( 3 9 )

vr(r,ϕ,t) = vr0(r) + vr1(r,ϕ,t)( 4 0 )

vϕ(r,ϕ,t) = vϕ0(r) + vϕ1(r,ϕ,t)( 4 1 )

Φ(r,ϕ,t) = Φ0(r) + Φ1(r,ϕ,t) ( 4 2 )

g d z i e

j e s t p a r a m e t r e m r o z w i n i ¦ c i a p e r t u r b a c y j n e g o (

1 ) ,

vr0 = 0,

vϕ0 = rΩ(r).

P r z y j m u j e s i ¦ , » e r ó w n a n i e s t a n u j e s t p o s t a c i :

Π = K Σγ ( 4 3 )

g d z i e K - s t a ª a , γ

- w s p ó ª c z y n n i k a d i a b a t y c z n y z a l e » n y o d r o z p a t r y w a n e g o p r z y -

p a d k u . W a r t o p r z y p o m n i e ¢ , » e a d i a b a t ¡ j e s t p r o c e s w y k o n y w a n y p r z e z u k ª a d t e r m o -

d y n a m i c z n y b e z w y m i a n y e n e r g i i z o t o c z e n i e m . T a k i m u k ª a d e m j e s t z z a ª o » e n i a r o z -

p a t r y w a n y d y s k g a l a k t y c z n y . P r z y k ª a d e m p r o c e s u a d i a b a t y c z n e g o j e s t r o z c h o d z e n i e s i ¦

d ¹ w i ¦ k u . W e w s t ¦ p i e z w r ó c o n o u w a g ¦ n a p o d o b i e « s t w o p o m i ¦ d z y p r o p a g a c j ¡ d ¹ w i ¦ k u i

r o z c h o d z e n i e s i ¦ w d y s k u g a l a k t y c z n y m f a l i g ¦ s t o ± c i . D o n a s t ¦ p n y c h o b l i c z e « w y k o r z y -

s t u j e s i ¦ d e n i c j ¦ c z ¦ s t o ± c i e p i c y k l i c z n e j :

κ2 = 4Ω2 + rdΩ2

dr( 4 4 )

W t y m m o m e n c i e z a k ª a d a s i ¦ , j a k w s p o m n i a n o w e w s t ¦ p i e a r t y k u ª u , » e o b i e k t y k r ¡ » ¡

p o e p i c y k l a c h ( z c z ¦ s t o ± c i ¡

κ) p o o k r ¦ g a c h w d y s k u g a l a k t y c z n y m , w o k ó ª o s i g a l a k t y k i .

C z ¦ s t o ± ¢ r u c h u e p i c y k l u w d y s k u g a l a k t y c z n y m j e s t o z n a c z a n a j a k o Ω

. W n a s t ¦ p u j ¡ c y c h

o b l i c z e n i a c h u » y w a s i ¦ r ó w n i e » p o n i » s z e j d e n i c j i p r ¦ d k o ± c i r o z c h o d z e n i a s i ¦ z a b u r z e « :

v2s = dΠdΣΣ=Σ0

= γK Σγ −10 ( 4 5 )

P o k a z u j e s i ¦ , » e r ó w n a n i a z a b u r z e « ( 3 9 - 4 2 ) m o » n a z a p i s a ¢ w p o s t a c i :

∂vr1

∂t+ Ω

∂vr1

∂ϕ− 2Ωvϕ1 =

1

Σ0

∂

∂r(v2sΣ1) +

Σ1K

Σ0

dΣγ 0

dr−

∂ Φ1

∂r( 4 6 )

∂vϕ1

∂t− Ω

∂vϕ1

∂ϕ+

κ2

2Ω= −

v2srΣ0

∂ Σ1

∂ϕ−

1

r

∂ Φ1

∂ϕ( 4 7 )

∂ Σ1

∂t +

1

r

∂

∂r (rΣ0vr1) + Σ0

1

r

∂vϕ

∂ϕ + Ω

∂ Σ1

∂ϕ = 0( 4 8 )

1 0



∂ 2Φ

∂r2+

1

r

∂ Φ

∂r+

1

r2∂ 2Φ

∂ϕ2+

∂ 2Φ

∂z2= 4πGΣδ(z)

( 4 9 )

R o z w i ¡ z a n i e m p o w y » s z y c h j e s t u k ª a d c z t e r e c h r ó w n a « :

Σ1(r) = R [Σa(r)exp(i(mϕ− ωt))]( 5 0 )

vr1(r) = R [vra(r)exp(i(mϕ− ωt))]( 5 1 )

vϕ1(r) = R [vϕa(r)exp(i(mϕ− ωt))]( 5 2 )

Φ1(r, z) = R [Φa(r, z)exp(i(mϕ− ωt))]( 5 3 )

g d z i e m

j e s t p a r a m e t r e m , k t ó r y j e s t r ó w n y i l o ± c i r a m i o n s p i r a l n y c h w y s t ¦ p u j ¡ c y c h

w d a n e j g a l a k t y c e .

F u n k c j ¦ g ¦ s t o ± c i d y s k u m o z n a z a p i s a ¢ w t e d y j a k o :

Σa(r,ϕ,t) = S (r)exp(ωI t)cos(mϕ|ψ(r)− ωRt)( 5 4 )

g d z i e r o z p i s a n o :

ω = ωR + iωI .

S t ¡ d w y p r o w a d z i ¢ m o » n a p r ¦ d k o ± ¢ k ¡ t o w ¡ , z j a k ¡ o b r a c a s i ¦ s t r u k t u r a s p i r a l n a .

1 1



4 P o t e n c j a ª g r a w i t a c y j n y d y s k u g a l a k t y c z n e g o

K o l e j n y m e t a p e m b ¦ d z i e p o k a z a n i e , j a k i e j p o s t a c i j e s t p o t e n c j a ª g r a w i t a c y j n y d y s k u

g a l a k t y c z n e g o . W t y m c e l u r o z p o c z n i e s i ¦ o b l i c z e n i a o d r ó w n a n i a P o i s s o n a :

∂ 2Φ

∂r2+

1

r

∂ Φ

∂r+

1

r2∂ 2Φ

∂ϕ2+

∂ 2Φ

∂z2= 4πGΣδ(z)

( 5 5 )

D o p o w y » s z e g o w s t a w i ¡ s i ¦ r o z w i ¡ z a n i a :

Φ1 = R [Φa(r, z)exp(i(mϕ− ωt))]( 5 6 )

Σ1 = R [Σa(r)exp(i(mϕ− ωt))]( 5 7 )

P o w y k o n a n i u o d p o w i e d n i e g o r ó » n i c z k o w a n i a i s k r ó c e n i u p o w t a r z a j ¡ c y c h s i ¦ c z ª o n ó w

exp(i(mϕ− ωt))o t r z y m u j e s i ¦ p o s t a ¢ :

∂ 2Φa

∂r2+

1

r

∂ Φa

∂r−

m2

r2Φa +

∂ 2Φa

∂z2= 4πGΣaδ(z)

( 5 8 )

P o n i e w a » Φa = Φa(r, z)

, d o k o n u j e s i ¦ s e p a r a c j i z m i e n n y c h :

Φs = W (r)R(z)( 5 9 )

T e r a z r ó w n a n i e ( 5 8 ) p r z e d s t a w i a s i ¦ n a s t ¦ p u j ¡ c o :

1R(z)

∂ 2

R(z)∂z2 + 1

W (r)∂ 2

W (r)∂r2

+ 1rW (r)

∂W (r)∂r

− m2

r2= 4πGΣaδ(z) ( 6 0 )

C z ª o n

1R(z)

∂ 2R(z)∂z2

= k2o d p o w i a d a w e k t o r o w i f a l o w e m u .

S t ¡ d :

d2R(z)

dz2− k2R(z) = 0

( 6 1 )

J e ± l i p r z y j m i e s i ¦ , » e f u n k c j ¦ p o t e n c j a ª u z d e n i o w a ¢ m o » n a j a k o Φa = W (r)exp(−|kz|)

,

t o n a w i ¡ z u j ¡ c p o n o w n i e d o s e p a r a c j i z m i e n n y c h m o » n a p r z y r ó w n a ¢ :

R(z) = e(−|kz|) ( 6 2 )

O r a z p o w y » s z e w s t a w i ¢ d o ( 5 5 ) o t r z y m u j ¡ c :

d2ee(−|kz|)

dz2− k2e(−|kz|) = 0

( 6 3 )

R ó w n a n i e t e g o n i e m o » n a r o z w i ¡ z a ¢ w p r o s t , p o n i e w a » f u n k c j a

e( − |kz|)n i e j e s t

r ó » n i c z k o w a l n a w p u n k c i e z = o , a c a ª y t o k r o z u m o w a n i a p r z e b i e g a w ª a ± n i e w t e j p ª a s z -

c z y ¹ n i e . T r z e b a b ¦ d z i e p o s ª u » y ¢ s i ¦ p e w n a m e t o d ¡ . I t a k , w s t a w i a j ¡ c z a p o s t u l o w a n ¡

d e n i c j ¦ Φa d o r ó w n a n i a P o i s s o n a :

1 2



e(−|kz|)(∂ 2W

∂r2+

1

r

∂W

∂r−

m2

r2W (r)) +

∂ 2

∂z2(W (r)e(−|kz|)) = 4πGΣaδ(z)

( 6 4 )

P o n i e w a » f u n k c j a

e(−|kz|)n i e j e s t r ó » n i c z k o w a l n a w

z = 0, w y k o n u j e s i ¦ c a ª k o w a n i e

w g r a n i c a c h

+ξ

−ξdz

p r z y g r a n i c y ξ → 0

:

limx→∞

+ξ

−ξ

dze(−|kz|)

∂ 2W

∂r2+

1

r

∂W

∂r−

m2

r2W

+

+ξ

−ξ

dz∂ 2

∂z2(W e(−|kz|))

=

= limx→∞

+ξ

−ξ

dz4πGΣaδ(z)

N a s t ¦ p n i e r o z p a t r u j e s i ¦ :

limx→∞

+ξ

−ξ

dze(−|kz|)

= limx→∞

2 ·

+ξ

0

dze(−|kz|)

=

= limx→∞

−2

|k|e(−|kz|)|+ξ

0

= lim

x→∞

−2

|k|e(−|k|ξ) − 1

= 0

N a s t ¦ p n y c z ª o n :

limx→∞

+ξ

−ξ

dz∂ 2

∂z2(e(−|kz|))

= lim

x→∞

+ξ

−ξ

dz∂

∂z[

∂

∂z(e(−|kz|))]

=

= limx→∞

∂

∂z(e(−|kz|))|+ξ

−ξ

= lim

x→∞

∂

∂ξ(e(−|k||ξ|))− ∂

∂ (−ξ)(e(−|k||−ξ|))

=

= limx→∞

2 ·

∂

∂ξe(−|k||ξ|)

= lim

x→∞

−2|k|e(−|k|ξ)

= −2|k|

P r z y p o m i n a j ¡ c , » e :

limx→∞

+ξ

−ξ

dzδ(z)

= 1

P r a w a s t r o n a r ó w n a n i a :

limx→∞

+ξ

−ξ

dz4πGΣaδ(z)

= 4πGΣa

W s t a w i a j ¡ c w y n i k i d o z m o d y k o w a n e g o r ó w n a n i a P o i s s o n a o t r z y m u j e s i ¦ :

−2|k|W = 4πGΣa

W =−2πGΣa

|k|( 6 5 )

B i o r ¡ c p o d u w a g ¦ d e n i c j ¦ f u n k c j i p o t e n c j a ª u :

1 3



Φa = Wexp(−|kz|)( 6 6 )

O t r z y m u j e s i ¦ :

Φa(z = 0) = W , a s t ¡ d :

Φa(z = 0) =−2πGΣa

|k|( 6 7 )

P o n a d t o , w r a c a j ¡ c j e s z c z e d o s e p a r a c j i z m i e n n y c h f u n k c j i p o t e n c j a ª u :

Φa(r, z) = W (r)R(z)

o r a z d o r ó w n a n i a P o i s s o n a :

1

R(z)

∂ 2R(z)

∂z2

+1

W (r)

∂ 2W (r)

∂r2

+1

rW (r)

∂W (r)

∂r

−m2

r2

= 4πGΣaδ(z)

P r z y w y k o r z y s t a n i u :

1

R(z)

∂ 2R(z)

∂z2= k2

o t r z y m u j e s i ¦ :

r2∂ 2W

∂r2+ r

∂W

∂r+ (k2r2 −m2)W = 0

( 6 8 )

P o w y » s z e r ó w n a n i e j e s t r ó w n a n i e m B e s s e l a , a j e g o r o z w i ¡ z a n i a m i s ¡ f u n k c j e

J m(kr)o r a z Y m(kr) . D o t e g o r ó w n a n i a p o w r ó c i s i ¦ w n a s t ¦ p n y c h o b l i c z e n i a c h .

1 4



5 L o k a l n a s t r u k t u r a g a l a k t y k .

5 . 1 T r a n s f o r m a c j a r ó w n a « : c i ¡ g ª o ± c i i E u l e r a

A b y p o z n a ¢ s t r u k t u r ¦ l o k a l n ¡ ( l o k a l n ¡ , t j . z a n i e w i e l k i c h o d l e g ª o ± c i a c h r z ¦ d u k i l k u -

n a s t u p a r s e k ó w ) d y s k ó w g a l a k t y c z n y c h n a l e » y w p i e r w p r z e j ± ¢ d o p o m o c n i c z e g o u k ª a d u

r ó w n a « , k t ó r y p r z e d s t a w i a ª b ¦ d z i e r ó w n a n i e c i ¡ g ª o ± c i i r ó w n a n i e E u l e r a r o z p i s a n e w

r a c h u n k u p e r t u r b a c y j n y m z p o d s t a w i o n y m i r o z w i ¡ z a n i a m i z a p o s t u l o w a n y m i w c z e ± n i e j .

O b l i c z e n i a p r z e p r o w a d z o n e z o s t a n ¡ d l a s t r u k t u r y g l o b a l n e j , p o c z y m w p r o w a d z o n e z o -

s t a n ¡ p e w n e z a ª o » e n i a z w i ¡ z a n e z e s t r u k t u r ¡ l o k a l n ¡ i r o z w i ¡ z a n i a p r z y b i o r ¡ p o s t a ¢ , z

k t ó r e j w y d e d u k o w a ¢ b ¦ d z i e m o » n a s k ª a d o w e p r ¦ d k o ± c i r a d i a l n e j i t r a n s w e r s a l n e j p o j e -

d y n c z y c h o b i e k t ó w .

P r z y p o m n i e n i e :

R ó w n a n i e c i ¡ g ª o ± c i :

∂ρ∂t

+(ρv) = 0

R ó w n a n i e E u l e r a :

∂ρ

∂t− (v · )v = −

P

ρ−Φ

R ó w n a n i a z a b u r z e « :

∂vr1

∂t+ Ω

∂vr1

∂ϕ− 2Ωvϕ1 =

1

Σ0

∂

∂r(v2sΣ1) +

Σ1K

Σ0

dΣγ 0

dr−

∂ Φ1

∂r( 6 9 )

∂vϕ1

∂t − Ω∂v

ϕ1

∂ϕ +κ2

2Ω = −v2s

rΣ0

∂ Σ1

∂ϕ −1

r

∂ Φ1

∂ϕ( 7 0 )

∂ Σ1

∂t+

1

r

∂

∂r(rΣ0vr1) + Σ0

1

r

∂vϕ

∂ϕ+ Ω

∂ Σ1

∂ϕ= 0

( 7 1 )

∂ 2Φ

∂r2+

1

r

∂ Φ

∂r+

1

r2∂ 2Φ

∂ϕ2+

∂ 2Φ

∂z2= 4πGΣδ(z)

( 7 2 )

R o z w i ¡ z a n i a r ó w n a « z a b u r z e « :

Σ1(r) = R [Σa(r)exp(i(mϕ− ωt))]( 7 3 )

vr1(r) = R [vra(r)exp(i(mϕ− ωt))] ( 7 4 )

vϕ1(r) = R [vϕa(r)exp(i(mϕ− ωt))]( 7 5 )

Φ1(r, z) = R [Φa(r, z)exp(i(mϕ− ωt))]( 7 6 )

P i e r w s z e r ó w n a n i e p o m o c n i c z e w y p r o w a d z a s i ¦ w s t a w i a j ¡ c r o z w i ¡ z a n i a r ó w n a « z a -

b u r z e « ( 7 4 - 7 7 ) d o r ó w n a n i a ( 6 9 ) :

∂

∂t

vraei(mϕ−ωt)

+ Ω

∂

∂ϕ

vraei(mϕ−ωt)

− 2Ωvϕaei(mϕ−ωt) =

−

1

Σ0

∂

∂r v2sΣae

i(mϕ−ωt) +

ΣaK

Σ20 e

i(mϕ−ωt)

−

∂

∂r Φaei(mϕ−ωt)

1 5



P o z r ó » n i c z k o w a n i u , p r z e g r u p o w a n i u p o d o b n y c h c z ª o n ó w i s k r ó c e n i u p o o b u s t r o n a c h

p o w t a r z a j ¡ c e g o s i ¦ e l e m e n t u

ei(mϕ−ωt)o t r z y m u j e s i ¦ r ó w n a n i e :

i(mΩ− ω)vra − 2Ωvϕa = − 1Σ0

ddr

(v2sΣa) + ΣaK Σ− 02

dΣγ 0

dr+ 2πG|k|

dΣa

dr( 7 7 )

U w a g a ! W p o w y » s z y m r ó w n a n i u w y k o r z y s t a n a z o s t a ª a j u » z a l e » n o ± ¢ :

Φa = −2πGΣa

|k|d l a :

z = 0( 7 8 )

D r u g i e r ó w n a n i e w y p r o w a d z a s i ¦ a n a l o g i c z n i e . P o t r z e b n e r o z w i ¡ z a n i a ( 7 4 - 7 7 ) w s t a -

w i a s i ¦ d o r ó w n a n i a ( 7 0 ) :

∂

∂t vϕaei(mϕ−ωt) + Ω

∂

∂ϕ vϕaei(mϕ−ωt)+ κ

2vra

2Ω ei(mϕ−ωt)

=

−v2s

Σ0r

∂

∂ϕ

Σaei(mϕ−ωt)

−

1

r

∂

∂ϕ

Φaei(mϕ−ωt)

P o n o w n i e w y k o n u j e s i ¦ r ó » n i c z k o w a n i e , g r u p u j e s i ¦ w y r a z y p o d o b n e , u p r a s z c z a c z ª o n

ei(mϕ−ωt)i k o r z y s t a j ¡ c z z a l e » n o ± c i ( 7 9 ) d o c h o d z i s i ¦ d o p o » ¡ d a n e j p o s t a c i :

i(mΩ− ω)vϕa + κ2vra2Ω

= −v2s

Σ0rimΣa +

im

r

2πGΣa

|k|( 7 9 )

T r z e c i e , o s t a t n i e r ó w n a n i e , o t r z y m u j e s i ¦ p o d o b n i e : p r z e z w s t a w i e n i e d o r ó w n a n i a

( 7 1 ) r o z w i ¡ z a « ( 7 4 - 7 7 )

∂

∂t

Σaei(mϕ−ωt)

−

1

r

∂

∂r

rΣ0vraei(mϕ−ωt)

+

+Σ0

r

∂

∂ϕ

vϕaei(mϕ−ωt)

+ Ω

∂

∂ϕ

Σaei(mϕ−ωt)

= 0

P o a n a l o g i c z n y c h j a k w c z e ± n i e j p o s t ¦ p o w a n i a c h o s t a t e c z n a p o s t a ¢ t r z e c i e g o r ó w n a n i a

j e s t n a s t ¦ p u j ¡ c a :

i(mΩ− ω)Σa +1

r

d

dr(rΣ0vra) +

imΣ0

rvϕa = 0

( 8 0 )

5 . 2 P r ¦ d k o ± c i o b i e k t ó w w d y s k u g a l a k t y c z n y m

P o d c z a s r o z p a t r y w a n i a n i e w i e l k i c h o b s z a r ó w ( s f e r y o p r o m i e n i u r z ¦ d u p a r s e k ó w )

w y k o r z y s t u j e s i ¦ l o k a l n e r o z w i ¡ z a n i e f u n k c j i g ¦ s t o ± c i d y s k u g a l a k t y c z n e g o :

Σ0(r) = const.( 8 1 )

c o o z n a c z a , » e w m a ª y m o t o c z e n i u p u n k t u P z n a j d u j ¡ c e g o s i ¦ w o d l e g ª o ± c i r

o d

c e n t r u m g a l a k t y k i g ¦ s t o ± ¢ o ± r o d k a j e s t s t a ª a . P r z y j m u j ¡ c , » e :

v2s = k · σγ −10 ( 8 2 )

1 6



m o » n a p r z e k s z t a ª c i ¢ t r z y w y p r o w a d z o n e w y » e j r ó w n a n i a t a k , b y p r z e d s t a w i a ª y o n e

r o z w i ¡ z a n i a l o k a l n e p r ¦ d k o ± c i t r a n s w e r s a l n e j i r a d i a l n e j e l e m e n t ó w d y s k u . D l a p o r z ¡ d k u

p r z y p o m i n a s i ¦ t r z y w y j ± c i o w e r ó w n a n i a :

i(mΩ− ω)vra − 2Ωvϕa = −1

Σ0

d

dr(v2sΣa) +

ΣaK

Σ− 02dΣγ

0

dr+

2πG

|k|

dΣa

dr( 8 3 )

i(mΩ− ω)vϕa + κ2vra2Ω

= −v2s

Σ0rimΣa +

im

r

2πGΣa

|k|( 8 4 )

i(mΩ− ω)Σa +1

r

d

dr(rΣ0vra) +

imΣ0

rvϕa = 0

( 8 5 )

N a j ª a t w i e j s z e d o p r z e k s z t a ª c e n i a j e s t r ó w n a n i e ( 8 5 ) . P a m i ¦ t a j ¡ c o ( 8 1 ) o t r z y m u j e

s i ¦ :

i(mΩ− ω)Σa + Σ0dvra

dr+

Σ0

rvra +

imΣ0

rvϕa = 0

( 8 6 )

N a s t ¦ p n i e z m o d y k o w a n e z o s t a n ¡ r ó w n a n i a ( 8 3 ) i ( 8 4 ) . W c e l u u t r z y m a n i a p r o s t o t y

p o s t a c i r ó w n a « w y z n a c z a j ¡ c y c h

vϕa i

vra w p r o w a d z a s i ¦ :

≡ κ2 − (mΩ− ω)2( 8 7 )

O b l i c z e n i a u p r a s z c z a j ¡ s i ¦ , p o n i e w a » w s z y s t k i e c z ª o n y z a w i e r a j ¡ c e r ó » n i c z k i Σ0 z e -

r u j ¡ s i ¦ z e w z g l ¦ d u n a ( 8 1 ) . P o p r z e g r u p o w a n i u i r o z w i ¡ z a n i u u k ª a d u d w ó c h r ó w n a « ( 8 3

i 8 4 ) o t r z y m u j e s i ¦ :

vra = −i

v2sΣ0−

2πG

|k|

2Ωm

rΣa + (mΩ− ω)

dΣa

dr

( 8 8 )

vϕa =1

v2sΣ0−

2πG

|k|

m(mΩ− ω)

rΣa +

κ2

2Ω

dΣa

dr

( 8 9 )

5 . 3 P o t e n c j a ª g r a w i t a c y j n y w p o b l i » u S ª o « c a

P o n i e w a » z a g a d n i e n i e r o z p a t r y w a n e j e s t t e r a z n a m a ª y c h s k a l a c h , w a r t o j e s t s p r a w -

d z i ¢ z a c h o w a n i e s i ¦ p o t e n c j a ª u g r a w i t a c y j n e g o w o b s z a r z e l o k a l n y m : n a p r z y k ª a d w

p o b l i » u S ª o « c a .

P r z y p o m n i e n i e : W - p o t e n c j a ª g r a w i t a c y j n y w p ª a s z c z y ¹ n i e d y s k u g a l a k t y c z n e g o

W ( s ) s p e ª n i a r ó w n a n i e B e s s e l a :

r2∂ 2W

∂r2+ r

∂W

∂r+ (k2r2 −m2)W = 0

( 9 0 )

g d z i e :

r - o d l e g ª o ± ¢ o d c e n t r u m g a l a k t y k i

k - p a r a m e t r ( l i c z b a f a l o w a )

R o z w i ¡ z a n i e m r ó w n a n i a B e s s e l a j e s t f u n k c j a :

1 7



w(r) = C 1J m(kr) + C 2Y m(kr)( 9 1 )

g d z i e

J m, Y ms ¡ h a r m o n i k a m i s f e r y c z n y m i z a l e » n y m i o d i l o ± c i r a m i o n s p i r a l n y c h

m.

R y s u n e k 1 : G r a c z n a p r e z e n t a c j a r o z w i ¡ z a « r ó w n a n i a B e s s e l a .

Z s u p e r p o z y c j i p o w y » s z y c h f u n k c j i p o w s t a j e p e w i e n p o t e n c j a ª g r a w i t a c y j n y , k t ó r y

g e n e r o w a ª b ¦ d z i e o s c y l a c j e g ¦ s t o ± c i . O b y d w i e h a r m o n i k i ,

J m i

Y m z a l e » ¡ o d w e k t o r a

f a l o w e g o k , k t ó r y j e s t o d w r o t n i e p r o p o r c j o n a l n y d o d ª u g o ± c i r o z c h o d z a c y c h s i ¦ f a l :

k =2π

λ( 9 2 )

S t ¡ d : d l a m a ª y c h d ª u g o ± c i l i c z b a f a l o w a j e s t b a r d z o d u » a .

W a r t o z a u w a » y ¢ , » e d l a d u » y c h l i c z b f a l o w y c h

−→k · −→r

f u n k c j a J m(

−→k · −→r )

z a c h o -

w y w a ¢ s i ¦ b ¦ d z i e j a k f u n k c j a a s y m p t o t y c z n a , t j . j a k s i n u s l u b c o s i n u s . R z e c z y w i ± c i e ,

p r z y b l i » o n y m i r o z w i ¡ z a n i a m i f u n k c j i B e s s e l a d l a |−→k · −→r | 1

, s ¡ (−→k · −→r = x)

: J m(x) ≈ 2πx

cos x− mπ2− π

4 Y m(x) ≈ 2

πxsin x− mπ

2− π

4

P o d k r e ± l a j ¡ c r a z j e s z c z e , p o w y » s z e p r z y b l i » e n i a d z i a ª a j ¡ w y ª ¡ c z n i e n a m a ª y c h s k a -

l a c h ! Z e w z o r u o k r e ± l a j ¡ c e g o f u n k c j ¦ p o t e n c j a ª u g r a w i t a c y j n e g o :

W =−2πGΣa

|k|( 9 3 )

O d c z y t u j e s i ¦ r e l a c j ¦ :

Σa ≈ W ( 9 4 )

. . . k t ó r a p r z y d a s i ¦ z a c h w i l ¦ , p r z y z n a j d y w a n i u z a l e » n o ± c i m i ¦ d z y

Σa o r a z

−→k

.

1 8



P o k a z u j e s i ¦ n a s t ¦ p n i e , » e j e ± l i C 2 = iC 1 , t o :

W (x) = C 1J m(x) + C 2Y m(x) = C 1 (J m(x) + iY m(x))

P o w y » s z a f u n k c j a j e s t f u n k c j ¡ H e n k l a ,

H (2)m (x)

, k t ó r a s t a n o w i r o z w i ¡ z a n i a k o s m o -

l o g i c z n y c h f u n k c j i z a b u r z e « . K o n t y n u u j ¡ c p r z e k s z t a ª c e n i a , w s t a w i a s i ¦ d o p o w y » s z e j

p r z y b l i » e n i a

J m(x), Y m(x) x 1:

W (x) ≈ C 1

2

πxcos

x−

mπ

2−

π

4

+ i

2

πxsin

x−

mπ

2− fracπ4

W (x) ≈ C 1 2

πx

expix−mπ

2

−π

4K o r z y s t a j ¡ c z w y z n a c z o n e j r e l a c j i

Σa ≈ W :

Σa ≈

k

rexp(ik · r)

Σa = A

k

rexp(ik · r)

( 9 5 )

g d z i e A - s t a ª a .

R ó » n i c z k u j ¡ c r ó w n a n i e ( 9 0 ) p o o d l e g ª o ± c i

r:

∂ Σa

∂r= A

−

1

2

k

r32

exp(ik · r) + A|k|

k

rikexp(ikr)

∂ Σa

∂r= A

1

r

k

rexp(ik · r)

−

1

2+ ikr

=

Σa

r

−

1

2+ ikr

O p e r u j e s i ¦ n a m a ª y c h

λ, w i ¦ c

k 1, c z y l i

ikr −12

, w i ¦ c m o » n a z a p i s a ¢ :

∂ Σa

∂r≈ ikΣa ( 9 6 )

W y k o r z y s t u j ¡ c o t r z y m a n y w y n i k o r a z z a l e » n o ± ¢

|kr| 1

, a p l i k u j e s i ¦ o b y d w a w y n i k i

d o r ó w n a « ( 7 3 ) i ( 7 4 ) . O t r z y m u j e s i ¦ a u t o m a t y c z n i e :

vra ≈k

v2sΣ0

−2πG

|k|

(mΩ− ω)Σa

vϕa ≈ik

v2sΣ0−

2πG

|k|

κ2

2ΩΣa

P o w s t a w i e n i u p o w y » s z y c h d o r ó w n a n i a c i ¡ g ª o ± c i ( 7 5 ) o t r z y m u j e s i ¦ :

Σa 1 + v2s

Σ0

−2πG

|k| k2Σ0

= 0( 9 7 )

1 9



S t ¡ d w y p r o w a d z a s i ¦ r e l a c j ¦ d y s p e r s j i o ± r o d k ó w g a z o w y c h w d y s k u g a l a k t y c z n y m :

(mΩ− ω)2 = κ2 − 2πGΣ0|k| + k2v2s ( 9 8 )

P o s i a d a j ¡ c t a k i a p a r a t m a t e m a t y c z n y m o » n a z b a d a ¢ , c o b y s i ¦ s t a ª o , g d y b y w p r o w a -

d z i ¢ z a b u r z e n i e o s i o w o s y m e t r y c z n e . W t a k i m p r z y p a d k u z a d a j e s i e p y t a n i e o t o , k t ó r e

m o d y k

s ¡ w o w e j s y t u a c j i n i e s t a b i l n e . D l a m = 0

r ó w n a n i e ( 9 5 ) s p r o w a d z a s i ¦ d o

p o s t a c i :

(ω)2 = κ2 − 2πGΣ0|k| + k2v2s ( 9 9 )

R o z w i ¡ z u j e s i ¦ t e r a z r ó w n a n i e k w a d r a t o w e z e w z g l ¦ d u n a k

:

= (2πGΣa)2 − 4v2s(κ2 − ω2)g d z i e :

j e s t w y r ó » n i k i e m t r ó j m i a n u k w a d r a t o w e g o z e w z g l ¦ d u n a

k. Z w y c z a j o w y m s y m b o -

l e m w y r ó » n i k a j e s t

, j e d n a k t e n z o s t a ª u » y t y j u » w c z e ± n i e j , w i ¦ c w p r o w a d z o n o s y m b o l

z a s t ¦ p c z y a b y z a p o b i e c k o l i z j i o z n a c z e « . < 0 ⇒

B r a k m o d ó w n i e s t a b i l n y c h

= 0 ⇒J e d e n m o d n i e s t a b i l n y ( p r z y p a d e k k r y t y c z n y )

> 0 ⇒N i e s t a b i l n e w s z y s t k i e m o d y w p r z e d z i a l e

[k1, k2]P r z y p a d k i e m g r a n i c z n y m j e s t

ω = 0. W t a k i e j s y t u a c j i :

= 4π2G2Σ20 − 4κ2v2s

D l a p r z y p a d k u k r y t y c z n e g o : = 0:

4π2G2Σ20 = 4κ2v2s

W i ¦ c :

= 4π2G2Σ20

1−

κ2v2sπ2G2Σ2

0

D e n i u j e s i ¦ p a r a m e t r T o o m r e ' a :

Q =κvs

πGΣ0( 1 0 0 )

W t e d y : Q < 1

z a c h o d z i : < 0- d y s k s t a b i l n y

Q > 1z a c h o d z i : > 0

- d y s k n i e s t a b i l n y

N i e s t a b i l n o ± c i w d y s k u g a l a k t y c z n y m o b j a w i a j ¡ s i ¦ w p o s t a c i o b s z a r ó w g ¦ s t s z y c h , g d z i e

p r z y c i ¡ g a n i e g r a w i t a c y j n e d o m i n u j e n a d c i ± n i e n i e m w e w n ¦ t r z n y m g a z u .

W c e l u ¢ w i c z e n i a C z y t e l n i k m o » e s p r a w d z i ¢ , j a k ¡ w a r t o ± ¢ p r z y j m u j e p a r a m e t r T o -

o m r e ' a d l a n a j b l i » s z y c h o k o l i c U k ª a d u S ª o n e c z n e g o . D l a u k ª a d u l o k a l n e g o z w i ¡ z a n e g o

z e S ª o « c e m w a r t o ± c i p o s z c z e g ó l n y c h p a r a m e t r ó w w y n o s z ¡ :

Σ0 75M pc−2,

κ 36km s−1 kpc−1,

vs ≈ σr 45km s−1.

2 0



R y s u n e k 2 : G r a c z n a p r e z e n t a c j a r o z w i ¡ z a « r ó w n a n i a B e s s e l a .

6 P o d s u m o w a n i e

H i p o t e z a z a p r o p o n o w a n a p r z e z L i n o r a z S h u d o s t a r c z a s i l n e g o a p a r a t u m a t e m a t y c z -

n e g o , k t ó r y u m o » l i w i a w y t ª u m a c z y ¢ m . i n . , d l a c z e g o s t r u k t u r a s p i r a l n a g a l a k t y k j e s t

z a c h o w a n a p r z e z d ª u » s z y c z a s ( t j . d l a c z e g o s t r u k t u r a s p i r a l n a j e s t w c i ¡ » w i d o c z n a , p o -

m i m o t e g o , » e o b i e k t y z n a j d u j ¡ c e s i ¦ w d y s k u g a l a k t y c z n y m z d ¡ » y ª y j u » w y k o n a ¢ w i e l e

o b r o t ó w w o k ó ª o s i g a l a k t y k i ) . H i p o t e z a z n a j d u j e w i ¦ c r o z w i ¡ z a n i e n a t z w . " p r o b l e m

n a w i j a n i a " . D u » ¡ z a l e t ¡ p r o p o n o w a n e j h i p o t e z y j e s t j e j p r o s t o t a i i n t u i c y j n o ± ¢ , k i e d y

s p o g l ¡ d a s i ¦ n a z a g a d n i e n i e g l o b a l n i e . Z k o l e i p a r a m e t r T o o m r e ' a o k r e ± l a m i n i m a l n ¡ d y s -

p e r s j ¦ p r ¦ d k o ± c i , j a k a j e s t p o t r z e b n a , a b y z a p o b i e c k o l a p s o w i g r a w i t a c y j n e m u . C a ª o ± ¢

d o s t a t e c z n i e d o b r z e p o k r y w a s i ¦ z d a n y m i o b s e r w a c y j n y m i . J u » w 1 9 6 7 r o k u S h u w y -

s u n ¡ ª s t w i e r d z e n i e , » e k w e s t i ¡ k o n i e c z n ¡ d o d y s k u s j i j e s t t o , c z y g a l a k t y k a g d z i e k o l w i e k

m o » e p r z y j m o w a ¢ t r w a l e w a r t o ± c i g r a n i c z n e p r z e d s t a w i o n e w k o « c o w y c h o b l i c z e n i a c h

r o z d z i a ª u 5 . W t y m s a m y m r o k u w y k a z a n o , » e G a l a k t y k a o Q = 1 p o s i a d a ª a b y f a l ¦ g ¦ -

s t o ± c i , k t ó r a b y b y ª a f a l ¡ s t o j ¡ c ¡ , n a p e w n o n i e p o s i a d a j ¡ c ¡ s t r u k t u r y s p i r a l i . H i p o t e z a

L i n S h u w c i ¡ » p o d d a w a n a j e s t t e s t o m o b s e r w a c y j n y m . W o b e c n y m c z a s i e j e s t j e d n a k

n a j d o k ª a d n i e j s z ¡ t e o r i ¡ t ª u m a c z ¡ c ¡ k s z t a ª t g a l a k t y k s p i r a l n y c h .

L i t e r a t u r a

[ 1 ] C . C . L i n , F . H . S h u , O n t h e s p i r a l s t r u c t u r e o f d i s k g a l a x i e s ( 1 9 6 4 )

[ 2 ] F . H . S h u , T h e D y n a m i c s a n d L a r g e - S c a l e S t r u c t u r e o f S p i r a l G a l a x i e s , H a r v a r d

( 1 9 6 8 )

[ 3 ] J . B i n n e y , S . T r e m a i n e , G a l a x y D y n a m i c s , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s ( 1 9 8 7 )

2 1



[ 4 ] A . T o o m r e , T h e o r i e s o f s p i r a l s t r u c t u r e . , A R A A ( 1 9 7 7 )

[ 5 ] C . C . L i n , C . Y u a n , , F . H . S h u , O n t h e s t r u c t u r e o f d i s k g a l a x i e s . I I I . C o m p a r i s o n

w i t h o b s e r v a t i o n s A p J 1 5 5 ( 1 9 6 9 )

2 2

Spiralne fale gęstości

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