Spheric Motion
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8/3/2019 Spheric Motion
1/10
A R E M A R K A B L E O V E R C O N S T R A I N E D
S P H E R I C A L M O T I O N
H E L L M U T H S T A C H E L
V i e n n a U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y , I n s t i t u t e o f G e o m e t r y ,
W i e d n e r H a u p t s t r . 8 - 1 0 / 1 1 3 , A - 1 0 4 0 W i e n , A u s t r i a
e m a i l : s t a c h e l @ g e o m e t r i e . t u w i e n . a c . a t
A b s t r a c t : T h e m o t i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n i s b a s e d o n t h e f a c t t h a t i n t h e
E u c l i d e a n s p a c e t h r e e p a i r w i s e o r t h o g o n a l a x e s c a n s i m u l t a n e o u s l y m o v e
o n a s o - c a l l e d e q u i l a t e r a l c o n e . T h i s d e n e s a n o n - r a t i o n a l o v e r c o n s t r a i n e d
s p h e r i c a l m o t i o n w h e r e a l m o s t e a c h p o i n t p a t h i s s i m u l t a n e o u s l y t r a c e d
b y t h e v e r t i c e s o f a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e . O n e p a t h i s a s p h e r i c a l c o n i c .
A f t e r p r e s e n t i n g t h e p r o j e c t i v e b a c k g r o u n d , t h e m a t r i x e q u a t i o n o f i s
g i v e n . A l s o s o m e p r o p e r t i e s o f t h e a l g e b r a i c c o m p l e t i o n o f a r e d i s c u s s e d .
1 . I n t r o d u c t i o n
T h e p r e s e n t e d s p h e r i c a l m o t i o n i n t h e E u c l i d e a n 3 - s p a c e E
3
i s c h a r a c t e r -
i z e d b y t h e p r o p e r t y t h a t t h e e n d p o i n t s A ; B ; C o f a n o r t h o n o r m a l m o v i n g
3 - f r a m e t r a c e t h e s a m e s p h e r i c a l c o n i c c ( s e e F i g . 2 ) . T h i s m o t i o n i s
r e m a r k a b l e i n m a n y r e s p e c t s :
i s o v e r c o n s t r a i n e d .
T h e r e i s n o p l a n a r c o u n t e r p a r t o f
T o t h e a u t h o r ' s k n o w l e d g e , u n t i l r e c e n t o n l y t r o c h o i d m o t i o n s h a v e
b e e n k n o w n a s a n a l y t i c s p h e r i c a l m o t i o n s w i t h m u l t i p l y t r a c e d p o i n t
p a t h s . T h e p l a n a r v e r s i o n o f t h i s p r o b l e m i s a d d r e s s e d i n M u l l e r ( 1 9 6 3 ) ,
p . 9 6 - 9 7 . N o n - a n a l y t i c p l a n a r m o t i o n s w i t h a t h r e e f o l d p a t h c a n e . g .
b e f o u n d i n W u n d e r l i c h ( 1 9 7 0 ) , p . 4 7 - 4 8 ( F i g . 3 2 ) .
R a t i o n a l s p a t i a l m o t i o n s h a v e b e e n s t u d i e d i n s e v e r a l p a p e r s ( s e e e . g .
J u t t l e r a n d W a g n e r ( 1 9 9 6 ) ) a n d e v e n b e e n c l a s s i e d a c c o r d i n g t o t h e
o r d e r o f t h e i r p o i n t p a t h s ( s e e W u n d e r l i c h ( 1 9 8 4 ) , R o s c h e l ( 1 9 8 5 ) a n d
J u t t l e r ( 1 9 9 3 ) ) . T h e c o n s i d e r e d s p h e r i c a l m o t i o n i s n o n - r a t i o n a l . T h e
g e n e r i c p o i n t p a t h s a r e o f s p h e r i c a l o r d e r 2 4 . T h i s m e a n s , t h a t t h e y
a r e p r o j e c t e d f r o m t h e x e d c e n t e r O o f b y c o n e s o f o r d e r 2 4 .
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2 . T h e p r o j e c t i v e b a c k g r o u n d
I n t h e r e a l p r o j e c t i v e p l a n e P
2
a n o r d e r e d p a i r (
1
;
2
) o f c o n i c s i s c a l l e d
a p o l a r
1
, i f t h e r e i s a t r i a n g l e P
2
Q
2
R
2
s e l f - p o l a r w i t h r e s p e c t t o
1
a n d
i n s c r i b e d i n
2
( s e e F i g . 1 ) . A s t a n d a r d r e s u l t o f P r o j e c t i v e G e o m e t r y s a y s
12
P2
Q2
R2
S2
T2
U2
s2t2
F i g u r e 1 . A p o l a r c o n i c s
1
2
L e m m a 1 . L e t (
1
;
2
) b e a p a i r o f a p o l a r c o n i c s . T h e n t h e r e i s a o n e -
p a r a m e t e r s e t o f t r i a n g l e s P
2
Q
2
R
2
w h i c h a r e s e l f - p o l a r w i t h r e s p e c t t o
1
a n d i n s c r i b e d i n
2
2
P r o o f : L e t P
2
Q
2
R
2
a n d S
2
T
2
U
2
b e t w o t r i a n g l e s w h i c h b o t h a r e s e l f - p o l a r
w i t h r e s p e c t t o
1
. T h e n d u e t o v o n S t a u d t t h e s i x v e r t i c e s a r e l o c a t e d
e i t h e r o n t w o l i n e s o r o n a c o n i c . A p r o o f c a n e . g . b e f o u n d i n C o x e t e r
( 1 9 9 3 ) , p . 8 7 .
L e t t h e a p o l a r p a i r (
1
;
2
) w i t h a d e n i n g t r i a n g l e P
2
Q
2
R
2
b e g i v e n . T h e n
s p e c i f y a n o t h e r p o i n t S
2
2
2
s u c h t h a t i t s p o l a r l i n e s
2
w i t h r e s p e c t t o
1
i n t e r s e c t s
2
a t a p o i n t T
2
6= S
2
( F i g . 1 ) . C o n t i n u i t y a r g u m e n t s g u a r a n t e e
t h e e x i s t e n c e o f S
2
s u c i e n t l y n e a r t o P
2
, Q
2
o r R
2
. T h e l i n e s
2
a n d t h e
p o l a r t
2
o f T
2
m e e t a t a p o i n t U
2
w h i c h c o m p l e t e s a s e c o n d s e l f - p o l a r t r i a n g l e
S
2
T
2
U
2
. T h e r e m u s t b e a c o n i c p a s s i n g t h r o u g h P
2
; Q
2
; R
2
; S
2
; T
2
; U
2
. S i n c e
t h i s c o n i c i s u n i q u e l y d e n e d b y t h e r s t v e p o i n t s , i t c o i n c i d e s w i t h
2
1
B a k e r ( 1 9 3 0 ) , p . 3 3 , p r e f e r s t h e u n s y m m e t r i c n o t a t i o n \
1
i s i n p o l a r t o
2
"
2
T h e r e i s a l s o a o n e - p a r a m e t e r s e t o f t r i a n g l e s P
1
Q
1
R
1
s e l f - p o l a r w i t h r e s p e c t t o
2
a n d c i r c u m s c r i b e d a b o u t
1
( s e e S t a u d e ( 1 9 1 5 ) , p . 2 1 3 ) . I n B a k e r ' s n o t a t i o n t h i s m e a n s
t h a t a t t h e s a m e t i m e \
2
i s o u t p o l a r t o
1
" . P r o o f s c a n b e f o u n d i n B a k e r ( 1 9 3 0 ) , p .
3 3 - 3 4 o r B l a s c h k e ( 1 9 5 4 ) , p . 8 4 - 8 6 . T h e a u t h o r w o u l d l i k e t o t h a n k a n a n o n y m o u s r e f e r e e
f o r t h e s e t w o r e f e r e n c e s .
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L e m m a 2 . L e t ( x
0
: x
1
: x
2
) b e h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s i n P
2
. T h e n t h e
p a i r o f c o n i c s (
1
;
2
) o b e y i n g
1
:
2
X
i k = 0
c
i k
x
i
x
k
= 0 ;
2
:
2
X
i k = 0
d
i k
x
i
x
k
= 0
w i t h s y m m e t r i c m a t r i c e s
c
i k
a n d
d
i k
i s a p o l a r i f a n d o n l y i f i n
F ( ; ) : = d e t ( c
i k
+ d
i k
) = J
0
3
+ J
1
2
+ J
2
2
+ J
3
3
t h e c o e c i e n t J
1
i s z e r o .
P r o o f : ( i ) T h e r a t i o J
0
: J
1
: J
2
: J
3
o f c o e c i e n t s i n F ( ; ) d o e s n o t d e p e n d
o n t h e c h o i c e o f t h e c o o r d i n a t e s y s t e m .
( i i ) F o r a p o l a r
1
;
2
w e u s e a c o o r d i n a t e s y s t e m w i t h t h e f u n d a m e n t a l
t r i a n g l e P
2
Q
2
R
2
. T h i s i m p l i e s a m a t r i x
c
i k
i n d i a g o n a l f o r m a n d v a n i s h i n g
d i a g o n a l e n t r i e s i n
d
i k
, h e n c e
( c
i k
+ d
i k
) =
0
@
c
0 0
d
0 1
d
0 2
d
0 1
c
1 1
d
1 2
d
0 2
d
1 2
c
2 2
1
A
a n d
F ( ; ) = d e t ( c
i k
+ d
i k
) = c
0 0
c
1 1
c
2 2
3
+
2
( e + f )
w i t h c e r t a i n c o e c i e n t s e ; f . O b v i o u s l y , t h e c o e c i e n t J
1
o f
2
i s z e r o .
( i i i ) I n o r d e r t o p r o v e t h e c o n v e r s e , w e s p e c i f y a c o o r d i n a t e s y s t e m w h i c h
d i a g o n a l i z e s
c
i k
a n d w h e r e t h e f u n d a m e n t a l p o i n t P
2
= ( 1 : 0 : 0 ) i s l o c a t e d
o n
2
. T h i s i m p l i e s d
0 0
= 0
3
S u p p o s e t h a t i n t h e p o l y n o m i a l
F ( ; ) = d e t ( c
i k
+ d
i k
) = d e t
0
@
c
0 0
d
0 1
d
0 2
d
0 1
c
1 1
+ d
1 1
d
1 2
d
0 2
d
1 2
c
2 2
+ d
2 2
1
A
t h e c o e c i e n t o f
2
i s z e r o , i . e . J
1
= c
0 0
( c
1 1
d
2 2
+ c
2 2
d
1 1
) = 0
O n t h e l i n e p
2
: x
0
= 0 p o l a r t o P
2
w i t h r e s p e c t t o
1
, b o t h c o n i c s i n d u c e
( r e g u l a r o r s i n g u l a r ) i n v o l u t i o n s
1
;
2
o f c o n j u g a t e p o i n t s , n a m e l y
( 0 : x
1
: x
2
) ! ( 0 : x
0
1
: x
0
2
) w i t h c
1 1
x
1
x
0
1
+ c
2 2
x
2
x
0
2
= 0 u n d e r
1
;
d
1 1
x
1
x
0
1
+ d
1 2
( x
1
x
0
2
+ x
2
x
0
1
) + d
2 2
x
2
x
0
2
= 0 u n d e r
2
F o r r e g u l a r
c
i k
t h e c o n d i t i o n J
1
= 0 i s e q u i v a l e n t t o t h e p r o p e r t y t h a t
t h e ( r e a l o r c o n j u g a t e c o m p l e x ) x e d p o i n t s Q
2
; R
2
o f
2
a r e c o r r e s p o n d i n g
3
O n l y f o r
1
=
2
t h i s c h o i c e w o u l d b e i m p o s s i b l e , b u t t h e n J
1
6= 0 i s t r u e .
-
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u n d e r
1
, v i c e v e r s a .
4
T h i s p r o v e s ( i n t h e c o m p l e x e x t e n s i o n o f P
2
) t h e
e x i s t e n c e o f a t r i a n g l e P
2
Q
2
R
2
i n s c r i b e d i n
2
a n d s e l f - p o l a r w i t h r e s p e c t
t o
1
x0 y0
000
cc
MM
CC
AA
BB
F i g u r e 2 . T h e s p h e r i c a l m o t i o n =
0
w i t h t h e e q u i l a t e r a l r i g h t t r i a n g l e A B C i n s c r i b e d
i n t h e e q u i l a t e r a l s p h e r i c a l c o n i c c
L e t P
2
b e t h e p r o j e c t i v e e x t e n s i o n o f t h e p l a n e z
0
= 1 i n t h e E u c l i d e a n 3 -
s p a c e E
3
, w h i c h i s e q u i p p e d w i t h a c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m ( x
0
; y
0
; z
0
)
w i t h o r i g i n O . L e m m a 1 r e m a i n s v a l i d w h e n
1
i s a n e m p t y c o n i c , e . g . w i t h
t h e e q u a t i o n x
2
0
+ y
2
0
+ 1 = 0 . I n t h i s c a s e t w o p o i n t s P = ( x
0
; y
0
; 1 ) a n d
P
0
= ( x
0
0
; y
0
0
; 1 ) a r e c o n j u g a t e w i t h r e s p e c t t o
1
i f a n d o n l y i f
0 = x
0
x
0
0
+ y
0
y
0
0
+ 1 = ( x
0
; y
0
; 1 ) ( x
0
0
; y
0
0
; 1 ) =
!
P O
!
P
0
O
T h e v a n i s h i n g d o t p r o d u c t s h o w s t h e e q u i v a l e n c e t o t h e o r t h o g o n a l i t y b e -
t w e e n t h e l i n e s c o n n e c t i n g t h e o r i g i n O w i t h P a n d P
0
, r e s p e c t i v e l y . T h e r e -
f o r e , w h e n p r o j e c t e d f r o m t h e o r i g i n O , t h e o n e - p a r a m e t e r s e t o f t r i a n g l e s
P
2
Q
2
R
2
a c c o r d i n g t o L e m m a 1 y i e l d s a o n e - p a r a m e t e r s e t o f o r t h o g o n a l
3 - b a r s w h i c h a l l a r e i n s c r i b e d i n a c o n e o f s e c o n d o r d e r . A n d t h i s s e t
d e n e s t h e s p h e r i c a l m o t i o n t o b e c o n s i d e r e d h e r e .
4
T h i s i s e x a c t l y t h e o n e - d i m e n s i o n a l v e r s i o n o f a p o l a r i t y ( t h e t w o i n v o l u t i o n s c o m -
m u t e , i . e .
1
2
=
2
1
, b u t
1
6=
2
) , a n d t h i s r e v e a l s t h a t t h e n - d i m e n s i o n a l v e r s i o n o f
L e m m a 2 c a n b e p r o v e d i n a s i m i l a r w a y b y u s e o f i n d u c t i o n .
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C o r o l l a r y 1 . W h e n a q u a d r a t i c c o n e c o n t a i n s t h r e e p a i r w i s e o r t h o g o n a l
g e n e r a t o r s , t h e n t h i s o r t h o g o n a l 3 - b a r i s e v e n m o v a b l e o n
S u c h a c o n e i s c a l l e d e q u i l a t e r a l . A c c o r d i n g t o L e m m a 2 i t s s y m m e t r i c
m a t r i x ( c
i k
) i s c h a r a c t e r i z e d b y a v a n i s h i n g t r a c e t r ( c
i k
) = 0 . W h e n t h e
p r i n c i p a l a x e s o f s e r v e a s a x e s o f t h e c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m i n E
3
,
t h e n t h e e q u a t i o n o f c a n b e w r i t t e n a s
G ( x
0
; y
0
; z
0
) : = x
2
0
+ y
2
0
z
2
0
= 0 ; + = 1 ; 0 <
1
2
( 1 )
O n l y f o r = =
1
2
t h i s i s a c o n e o f r e v o l u t i o n .
R e m a r k s : 1 . L e t p l a n e " b e a c i r c u l a r s e c t i o n o f t h e c o n e . T h e n i n e a c h
p o s i t i o n t h e a x e s o f t h e m o v i n g f r a m e i n t e r s e c t " i n a t r i a n g l e E
1
E
2
E
3
i n s c r i b e d i n t h e x e d c i r c l e k = \ " . A l l t h e s e t r i a n g l e s s h a r e t h e c e n t e r
o f t h e c i r c u m c i r c l e a n d t h e o r t h o c e n t e r , w h i c h i s t h e p e d a l p o i n t o f O i n "
H e n c e , d u e t o t h e p r o p e r t i e s o f t h e E u l e r l i n e , a l s o t h e c e n t e r o f g r a v i t y i s
c o m m o n f o r t h e s e t r i a n g l e s i n " . C o n v e r s e l y , t h e s e t r i a n g l e s c a n s e r v e f o r
a n e l e m e n t a r y a p p r o a c h t o C o r o l l a r y 1 .
2 . W i t h t h e f o l l o w i n g m e c h a n i c a l d e v i c e t h e m o t i o n c a n b e g e n e r a t e d :
S u p p o s e t h a t t h e v e r t i c e s E
1
; E
2
; E
3
a r e s l o t p o i n t s f o r t h e a x e s o f t h e
m o v i n g f r a m e . K e e p t h e o r i g i n O o f t h i s f r a m e x e d w h i l e t h e t h r e e s l o t
p o i n t s m o v e i n d e p e n d e n t l y f r o m e a c h o t h e r o n t h e c i r c l e k
3 . T h e 3 - d i m e n s i o n a l v e r s i o n s o f L e m m a 1 a n d 2 c a n b e f o u n d i n S t a u d e
( 1 9 1 5 ) , p . 2 1 3 , t h e n - d i m e n s i o n a l v e r s i o n s i n S e g r e ( 1 9 2 8 ) , p . 8 6 2 , f o o t n o t e
2 8 7 .
3 . M a t r i x - r e p r e s e n t a t i o n o f t h e m o t i o n
F r o m n o w o n ( x
0
; y
0
; z
0
) a r e s e e n a s c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s i n t h e x e d s p a c e
0
o f t h e m o t i o n . T h e c u r v e o f i n t e r s e c t i o n b e t w e e n t h e e q u i l a t e r a l c o n e
r e p r e s e n t e d i n ( 1 ) a n d t h e p l a n e z
0
= 1 c a n b e p a r a m e t r i z e d a s
x
0
=
c o s t
p
; y
0
=
s i n t
p
; z
0
= 1 ; 0 t 2
N o r m a l i z a t i o n g i v e s a p a r a m e t e r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c u r v e o f i n t e r s e c t i o n
b e t w e e n a n d t h e u n i t s p h e r e S
2
. I n t h e f o l l o w i n g c d e n o t e s o n e c o n n e c t e d
c o m p o n e n t o f t h i s s p h e r i c a l c o n i c . I t s p a r a m e t r i z a t i o n r e a d s
c
1
( t ) =
1
p
r
0
B
@
p
c o s t
p
s i n t
p
1
C
A
w i t h r : = ( ) s i n
2
t + ( 1 + ) ; ( 2 )
-
8/3/2019 Spheric Motion
6/10
c
cc
mm
AAA00A0
BBB00B0
CCC00C0
x0
y0
F i g u r e 3 . T o p v i e w o f t h e m o t i o n w i t h t h e i n i t i a l p o s i t i o n A
0
B
0
C
0
o f t h e m o v i n g
t r i a n g l e , t h e p a t h m o f t h e t r i a n g l e ' s c e n t e r a n d t h e e n v e l o p e b c o f t h e t h r e e s i d e s
a s + = 1 . F o r e a c h t t h e l i n e s o f i n t e r s e c t i o n b e t w e e n a n d t h e p l a n e
x
0
p
c o s t + y
0
p
s i n t + z
0
p
= 0 ( 3 )
p e r p e n d i c u l a r t o c
1
( t ) d e n e t h e p o s i t i o n o f t h e o t h e r t w o a x e s o f t h e m o v -
i n g f r a m e . W e n o r m a l i z e t h e i r d i r e c t i o n v e c t o r s s u c h t h a t t h e z
0
- c o o r d i n a t e
i s p o s i t i v e . T h e d e m a n d f o r a r i g h t h a n d e d f r a m e d e n e s t h e o r d e r o f t h e s e
t w o u n i t v e c t o r s c
2
( t ) ; c
3
( t ) i n a u n i q u e w a y .
L e t t h e a x e s o f t h i s m o v i n g 3 - b a r s e r v e a s a x e s o f a c a r t e s i a n c o o r d i n a t e
s y s t e m ( x ; y ; z ) i n t h e m o v i n g s p a c e . T h e n t h e v e c t o r s c
1
( t ) ; c
2
( t ) ; c
3
( t )
a r e t h e c o l u m n s i n t h e o r t h o g o n a l m a t r i x C w h i c h r e p r e s e n t s . W e o b t a i n
T h e o r e m 1 . I n m a t r i x - f o r m t h e m o t i o n : =
0
c a n b e r e p r e s e n t e d a s
0
@
x
0
y
0
z
0
1
A
=
c
1
( t ) c
2
( t ) c
3
( t )
0
@
x
y
z
1
A
( 4 )
H e r e t h e r s t c o l u m n v e c t o r c
1
( t ) m e e t s ( 2 ) . T h e o t h e r t w o u n i t v e c t o r s
c
2
( t ) ; c
3
( t ) o b e y ( 1 ) a n d ( 3 ) s u c h t h a t t h e i r z
0
- c o o r d i n a t e s a n d t h e t r i p l e
p r o d u c t d e t
c
1
( t ) ; c
2
( t ) ; c
3
( t )
a r e p o s i t i v e .
-
8/3/2019 Spheric Motion
7/10
E q . ( 4 ) e n a b l e s t o v i s u a l i z e t h e c o n s t r a i n e d s p h e r i c a l m o t i o n : I n F i g . 2 o n e
p o s i t i o n o f t h e m o v i n g s p h e r i c a l o c t a n t A B C w i t h c e n t e r M i s d i s p l a y e d .
F i g . 3 s h o w s s e v e r a l p o s i t i o n s o f t h e m o v i n g t r i a n g l e t o g e t h e r w i t h t h e
e l l i p s e - s h a p e d p a t h m o f M . T h e s e l e c t e d p o s i t i o n s o f A B C o r i g i n a t e
f r o m a n e q u a l s p a c i n g o f t h e p a t h m . I n F i g . 3 a l s o t h e e n v e l o p e
b
c o f t h e
m o v i n g o c t a n t i s d i s p l a y e d .
b
c i s a g a i n a s p h e r i c a l c o n i c ; i t i s l o c a t e d o n t h e
c o n e
b
o r t h o g o n a l t o , i . e .
b
i s t a n g e n t t o t h e p l a n e s w h i c h a r e o r t h o g o n a l
t o t h e g e n e r a t o r s o f .
pp
cc
mm
MM
mmm
PPP00P0
PPP11P1PPP22P2
xxx00x0yyy00y0
zzz00z0
F i g u r e 4 . T h e c o m p l e t e p a t h m o f M u n d e r a n d t h e p a t h p w i t h t h e t r a c i n g e q u i l a t e r a l
t r i a n g l e P
0
P
1
P
2
D u r i n g o n e t u r n o f t h e m o v i n g t r i a n g l e A B C r e t u r n s t w i c e t o i t s i n i t i a l
p o s i t i o n A
0
B
0
C
0
, h o w e v e r r o t a t e d u n d e r 1 2 0
a n d 2 4 0
, r e s p e c t i v e l y . L e t
P
0
; P
1
; P
2
b e t h e c o r r e s p o n d i n g p o s i t i o n s o f a n y p o i n t P o f t h e m o v i n g
s y s t e m f o r P 6= M . T h e n P
0
P
1
P
2
i s a g a i n a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e w i t h
v e r t i c e s t r a c i n g t h e s a m e s p h e r i c a l p a t h p u n d e r ( s e e F i g . 4 ) .
4 . A l g e b r a i c p r o p e r t i e s o f
E a c h p o s i t i o n ( t ) o f t h e m o v i n g s p a c e o b t a i n e d u n d e r i s u n i q u e l y d e t e r -
m i n e d e i t h e r b y t h e c o r r e s p o n d i n g o r t h o g o n a l m a t r i x C a c c o r d i n g t o ( 4 )
-
8/3/2019 Spheric Motion
8/10
o r b y t h e q u a t e r n i o n q ( t ) = a + b i + c j + d k o b e y i n g
T : = D C =
0
@
a
2
+ b
2
c
2
d
2
2 ( b c a d ) 2 ( b d + a c )
2 ( b c + a d ) a
2
b
2
+ c
2
d
2
2 ( c d a b )
2 ( b d a c ) 2 ( c d + a b ) a
2
b
2
c
2
+ d
2
1
A
( 5 )
w i t h D : = a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
. F o r e a c h t t h e q u a t e r n i o n q ( t ) i s u n i q u e u p t o
a r e a l f a c t o r o n l y . T h e m a p p i n g
: P
3
! S O
3
; ( a : b : c : d ) ! C =
1
D
T
i s t h e s o - c a l l e d s p h e r i c a l k i n e m a t i c m a p p i n g
S i n c e t h e u n i t p o i n t s ( 1 ; 0 ; 0 ) ; ( 0 ; 1 ; 0 ) ; ( 0 ; 0 ; 1 ) o f t h e m o v i n g c o o r d i n a t e s y s -
t e m t r a c e t h e s a m e c u r v e c i n
0
, t h e c o l u m n v e c t o r s t
1
; t
2
; t
3
o f T m u s t
o b e y t h e e q u a t i o n G ( x ) = 0 o f t h e e q u i l a t e r a l c o n e i n ( 1 ) . T h i s g i v e s
F
1
: = G ( t
1
) = ( a
2
+ b
2
c
2
d
2
)
2
+ 4 ( a d + b c )
2
4 ( a c b d )
2
= 0
F
2
: = G ( t
2
) = 4 ( a d b c )
2
+ ( a
2
b
2
+ c
2
d
2
)
2
4 ( a b + c d )
2
= 0
F
3
: = G ( t
3
) = 4 ( a c + b d )
2
+ 4 ( a b c d )
2
( a
2
b
2
c
2
+ d
2
)
2
= 0
( 6 )
H o w e v e r , t h e t h r e e h o m o g e n e o u s p o l y n o m i a l s F
1
; F
2
; F
3
i n t h e i n d e t e r m i -
n a t e s a , b , c , d a r e l i n e a r l y d e p e n d e n t . T h i s r e s u l t s f r o m t h e r e p r e s e n t a t i o n
F
k
= G ( t
k
) = t
2
1 k
+ t
2
2 k
t
2
3 k
w i t h T =
t
i k
;
w h i c h i m p l i e s f o r t h e r o w v e c t o r s r
1
; r
2
; r
3
o f T
F
1
+ F
2
+ F
3
= k r
1
k
2
+ k r
2
k
2
k r
3
k
2
= D
2
( + 1 ) = 0 ( 7 )
I n P
3
t h e s e t V
o f z e r o s ( a : b : c : d ) o f t h e h o m o g e n e o u s p o l y n o m i a l s F
1
a n d
F
2
i s a n a l g e b r a i c c u r v e o f o r d e r 1 6 . B u t V
i s r e d u c i b l e f o r t h e f o l l o w i n g
r e a s o n : T h e n o r m o f e a c h c o l u m n v e c t o r o f T o b e y s k t
k
k
2
= D
2
. H e n c e ,
( a : b : c : d ) i s a z e r o o f t h e p o l y n o m i a l s D a n d F
1
= G ( t
1
) i f a n d o n l y
i f t
1
i s i s o t r o p i c , i . e . k t
1
k = 0 . I n t h i s c a s e t
2
i s i s o t r o p i c t o o a n d d u e t o
t
1
t
2
= 0 p r o p o r t i o n a l t o t
1
, p r o v i d e d t
1
6= o . T h e r e f o r e F
1
= D = 0 a n d
t
1
6= o i m p l y F
2
= 0 . A c a r e f u l a n a l y s i s p r o v e s t h a t V
c o n t a i n s t w o p a i r s
o f s k e w c o n j u g a t e c o m p l e x l i n e s o n t h e e m p t y q u a d r i c : D = 0
5
T h e r e m a i n i n g a l g e b r a i c c u r v e V o f o r d e r 1 2 i s m a p p e d u n d e r t h e s p h e r i c a l
k i n e m a t i c m a p p i n g o n t o a n a l g e b r a i c o n e - p a r a m e t e r m o t i o n w h i c h w i l l
5
W e s u b s t i t u t e t h e p a r a m e t e r r e p r e s e n t a t i o n
a =
1
2
(
0
0
+
1
1
) b =
2
(
0
0
1
1
) c =
1
2
(
0
1
1
0
) d =
2
(
0
1
+
1
0
)
o f i n t h e e q u a t i o n s F
1
= 0 a n d F
2
= 0 a n d o b t a i n
2
0
2
1
P (
0
1
) = 0 a n d (
2
0
+
2
1
)
2
P (
0
1
) = 0 , r e s p . , w i t h P (
0
1
) : = ( 1 + ) (
4
0
+
4
1
) 2 ( 1 + 2 )
2
0
2
1
-
8/3/2019 Spheric Motion
9/10
b e c a l l e d a l g e b r a i c c o m p l e t i o n o f t h e m o t i o n . T h i s i s a p r o p e r e x t e n s i o n
o f a s t h e a l g e b r a i c e q u a t i o n s F
1
= F
2
= 0 d o n o t r u l e t h e o r i e n t a t i o n
o f t h e m o v i n g c o o r d i n a t e a x e s . W h e n t h e r e f o r e ( t ) i s a p o s i t i o n o c c u p i e d
u n d e r , t h e n c o n t a i n s a l s o a l l p o s i t i o n s w h i c h c a n b e a c h i e v e d f r o m
( t ) u n d e r d i r e c t d i s p l a c e m e n t s w h i c h p e r m u t e t h e n o n - o r i e n t e d c o o r d i n a t e
a x e s . T h e s e 2 4 d i s p l a c e m e n t s f o r m a g r o u p i s o m o r p h i c t o t h e r o t a t i o n a l
s y m m e t r i e s o f a c u b e .
T h e o r e m 2 . T h e p r e i m a g e o f t h e m o t i o n u n d e r t h e s p h e r i c a l k i n e m a t i c
m a p p i n g i s s u b s e t o f a n o n - r a t i o n a l c u r v e V o f o r d e r 1 2 i n P
3
T h e p a t h o f a g e n e r i c p o i n t u n d e r t h e a l g e b r a i c c o m p l e t i o n o f i s o f
s p h e r i c a l o r d e r 2 4 a n d s i m u l t a n e o u s l y t r a c e d b y 2 4 p o i n t s . T h e p a t h s o f
p o i n t s w i t h x = y o r x = z o r y = z a r e s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o
O ; t h e s p h e r i c a l o r d e r r e d u c e s t o a t m o s t 1 2
T h e c e n t e r M o f t h e m o v i n g e q u i l a t e r a l r i g h t t r i a n g l e A B C t r a c e s a ( t h r e e -
f o l d c o v e r e d ) p a t h w h i c h o b e y s t h e e q u a t i o n o f f o u r t h o r d e r
m : ( k
1
x
2
0
+ k
2
y
2
0
k
3
z
2
0
) ( x
2
0
+ y
2
0
+ z
2
0
) ( k
4
x
2
0
+ k
5
y
2
0
)
2
= 0 ;
k
1
: = ( 5 + 2 ) ( 1 + 4 ) ;
k
2
: = ( 5 + 2 ) ( 1 + 4 ) ;
k
3
: = ( )
2
;
k
4
: = 3 ( 1 + ) ;
k
5
: = 3 ( 1 + )
( 8 )
P r o o f : T h e p a t h o f a g e n e r i c p o i n t x : = ( x ; y ; z )
T
u n d e r i s l o c a t e d o n
a c o n e w h i c h i s t h e i m a g e o f t h e a l g e b r a i c c u r v e V o f o r d e r 1 2 u n d e r t h e
r a t i o n a l ( q u a d r a t i c ) m a p p i n g
x
: P
3
! P
2
; ( a : b : c : d ) ! ( x
0
: y
0
: z
0
) f o r ( x
0
y
0
z
0
)
T
= T x
T
a c c o r d i n g t o ( 5 ) a n d ( 4 ) . D u e t o s t a n d a r d r e s u l t s o f A l g e b r a i c G e o m e t r y
( s e e e . g . S e m p l e - K n e e b o n e ( 1 9 5 9 ) , c h a p t e r V I I I ) t h e o r d e r o f t h i s c o n e
e q u a l s 2 1 2 w i t h a s s u m o f i n t e r s e c t i o n m u l t i p l i c i t i e s b e t w e e n V a n d
t h e s e t S o f p o i n t s o f i n d e t e r m i n a c y u n d e r
x
. T h i s s e t S i n P
3
o b e y i n g
x
0
= y
0
= z
0
= 0 c o n s i s t s o f t w o s k e w c o m p l e x c o n j u g a t e g e n e r a t o r s o f .
6
F o r i n d e t e r m i n a t e ( x ; y ; z ) t h e s e t r a n s c e n d e n t a l l i n e s c a n n o t p a s s t h r o u g h
a n y p o i n t o f i n t e r s e c t i o n b e t w e e n V a n d . T h u s w e o b t a i n = 0
I n o r d e r t o v e r i f y t h e e q u a t i o n o f t h e p a t h m o f M , w e e i t h e r u s e t h e m a t r i x
e q u a t i o n ( 4 ) . O r w e e x p r e s s ( x
0
; y
0
; z
0
) i n t e r m s o f ( a ; : : : ; d ) a c c o r d i n g t o
( 5 ) a n d s h o w i n a c c o r d a n c e w i t h H i l b e r t ' s z e r o p o i n t t h e o r e m t h a t a p o w e r
o f t h e r e s u l t i n g p o l y n o m i a l i s a n e l e m e n t o f t h e i d e a l w h i c h d e n e s V
I n F i g . 3 o n l y o n e c o n n e c t e d c o m p o n e n t m o f t h e p a t h m i s d i s p l a y e d w h i c h
l o o k s l i k e a n e l l i p s e . F i g . 4 s h o w s t w o ( r e a l ) c o m p o n e n t s o f t h e a l g e b r a i c a l l y
c o m p l e t e d c u r v e m . O n e i s t r a c e d u n d e r b y t h e p o i n t ( x ; y ; z ) = ( 1 ; 1 ; 1 ) ,
t h e o t h e r s i m u l t a n e o u s l y b y ( 1 ; 1 ; 1 ) , ( 1 ; 1 ; 1 ) a n d ( 1 ; 1 ; 1 )
6
I n t h e n o t a t i o n o f f o o t n o t e 5 t h e s e l i n e s o b e y 2
0
1
x + i (
2
0
+
2
1
) y (
2
0
2
1
) z = 0
-
8/3/2019 Spheric Motion
10/10
U n d e r 6=
1
2
t h e h o m o g e n e o u s e q u a t i o n i n ( 8 ) d e n e s a n i r r e d u c i b l e q u a r t i c
i n P
2
w i t h o u t a n y s i n g u l a r i t y .
7
T h e r e f o r e t h i s q u a r t i c i s n o n - r a t i o n a l w h i c h
p r o v e s t h a t a l s o V a n d t h e m o t i o n a r e n o n - r a t i o n a l .
5 . C o n c l u s i o n
T h e f o l l o w i n g i t e m s a r e l e f t f o r f u t u r e r e s e a r c h :
E a c h a n a l y t i c s p h e r i c a l m o t i o n c a n b e e x t e n d e d i n t o t h e d u a l s p h e r e ,
w h i c h i s a m o d e l f o r t h e s e t o f o r i e n t e d l i n e s i n t h e E
3
( s e e e . g . S t a c h e l
( 1 9 9 7 ) ) . I n t h i s s e n s e t h e m o t i o n g i v e s r i s e t o a t w o - p a r a m e t e r s p a t i a l
m o t i o n w i t h t h e p r o p e r t y t h a t t h e a x e s o f a n o r t h o n o r m a l 3 - b a r t r a c e
t h e s a m e q u a d r a t i c c o n g r u e n c e o f l i n e s . T h e r e i s p e r h a p s a c o n n e c t i o n
w i t h r e s u l t s g i v e n i n W u n d e r l i c h ( 1 9 8 0 ) .
c a n e v e n b e g e n e r a l i z e d t o a s p h e r i c a l
( n 1 ) ( n 2 )
2
- p a r a m e t e r m o t i o n i n
t h e E u c l i d e a n n - s p a c e w h e r e t h e e n d p o i n t s o f a n o r t h o n o r m a l n - f r a m e
t r a c e t h e s a m e s p h e r i c a l q u a d r i c .
R e f e r e n c e s
B a k e r , H . F . ( 1 9 3 0 ) P r i n c i p l e s o f G e o m e t r y , V o l . I I , 2 n d e d . , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s .
B l a s c h k e , W . ( 1 9 5 4 ) P r o j e k t i v e G e o m e t r i e , 3 . A u . , V e r l a g B i r k h a u s e r B a s e l .
C o x e t e r , H . S . M . ( 1 9 9 3 ) T h e r e a l p r o j e c t i v e p l a n e , 3 r d e d . , S p r i n g e r - V e r l a g N e w Y o r k .
J u t t l e r , B . ( 1 9 9 3 )
U b e r z w a n g l a u g e r a t i o n a l e B e w e g u n g s v o r g a n g e , S i t z u n g s b e r . , A b t . I I ,
o s t e r r . A k a d . W i s s . , M a t h . - N a t u r w . K l . 2 0 2 , 1 1 7 { 1 3 2 .
J u t t l e r , B . a n d W a g n e r , M . G . ( 1 9 9 6 ) C o m p u t e r - A i d e d D e s i g n W i t h S p a t i a l R a t i o n a l
B - S p l i n e M o t i o n s , J o u r n a l o f M e c h a n i c a l D e s i g n 1 1 8 , 1 9 3 { 2 0 1 .
M u l l e r , H . R . ( 1 9 6 3 ) K i n e m a t i k , S a m m l u n g G o s c h e n , B d . 5 8 4 / 5 8 4 a , W a l t e r d e G r u y t e r
& C o . , B e r l i n .
R o s c h e l , O . ( 1 9 8 5 ) R a t i o n a l e r a u m l i c h e Z w a n g l a u f e v i e r t e r O r d n u n g , S i t z u n g s b e r . , A b t . I I ,
o s t e r r . A k a d . W i s s . , M a t h . - N a t u r w . K l . 1 9 4 , 1 8 5 { 2 0 2 .
S e g r e , C . ( 1 9 2 8 ) M e h r d i m e n s i o n a l e R a u m e , i n E n c y k l o p a d i e d e r m a t h . W i s s . I I I . 2 . 2 A
n o . C 7 , B . G . T e u b n e r , L e i p z i g , p p . 7 7 9 - 9 7 2 .
S e m p l e , J . G . a n d K n e e b o n e , G . T . ( 1 9 5 9 ) A l g e b r a i c C u r v e s , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s .
S t a c h e l , H . ( 1 9 9 7 ) E u c l i d e a n l i n e g e o m e t r y a n d k i n e m a t i c s i n t h e 3 - s p a c e , i n N . K .
A r t e m i a d i s a n d N . K . S t e p h a n i d i s ( e d s . ) , P r o c e e d i n g s o f t h e 4 t h I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s
o f G e o m e t r y , T h e s s a l o n i k i 1 9 9 6 , p p . 3 8 0 { 3 9 1 .
S t a u d e , O . ( 1 9 1 5 ) F l a c h e n 2 . O r d n u n g u n d i h r e S y s t e m e u n d D u r c h d r i n g u n g s k u r v e n , i n
E n c y k l o p a d i e d e r m a t h . W i s s . I I I . 2 . 1 , n o . C 2 , B . G . T e u b n e r , L e i p z i g , p p . 1 6 1 { 2 5 6 .
W u n d e r l i c h , W . ( 1 9 7 0 ) E b e n e K i n e m a t i k , B i b l i o g r a p h i s c h e s I n s t i t u t , M a n n h e i m .
W u n d e r l i c h , W . ( 1 9 8 0 ) O r t h o g o n a l e E r z e u g e n d e n p o l y n o m e a u f e i n s c h a l i g e n H y p e r -
b o l o i d e n , M o n a t s h . M a t h . 8 9 , 1 6 3 - 1 7 0 .
W u n d e r l i c h , W . ( 1 9 8 4 ) K u b i s c h e Z w a n g l a u f e , S i t z u n g s b e r . , A b t . I I , o s t e r r . A k a d . W i s s . ,
M a t h . - N a t u r w . K l . 1 9 3 , 4 5 { 6 8 .
7
S i n g u l a r p o i n t s c o u l d o n l y e x i s t o n t h e l i n e s x
0
y
0
z
0
= 0 b e c a u s e o f t h e s y m m e t r y .
