1 George Spencer Brown Laws of Form E.P. Dutton. New York. 1979 Traduccion del ingles de Aldo Mascareo Prefacio a la edicin de 1979 Una decada ha pasado desde que Leves de la Forma Iue publicado por primera vez el 17 de abril de 1969. Su continuado exito iustiIica esta nueva edicion. Espero que los lectores me perdonen por reiterar que este es un texto de matematicas. no de logica o IilosoIia. aunque la logica y la IilosoIia pueden beneIiciarse de su aplicacion. HastahoyhasidociertoquelalogicanohasidounadisciplinaIundamental.Conla gramaticaylaretoricaIormanloquehasidoconocidocomoeltrivium.considerado inIerior a la aritmetica. la que iunto a la geometria. la astronomia y la musica constituyen el grupo llamado quadrivium. En este texto consideramos una aritmetica cuya geometria no tiene medida numerica. y por sorprendentequeparezca.lasproposicionesdelalogicatantocomosusaplicaciones.son derivables del calculo construido de esta manera. Prefacio a la edicin americana La posicion de este texto es simplemente esta. En el algebra comun. los valores compleios son aceptados como una materia obvia. y las tecnicas mas avanzadas serian imposibles sin ellos.Enelalgebrabooleanaestoesnegado.WhiteheadyRussellintroduieronunaregla especial.quellamaronteoriadelostipos.pararechazarparadoias.LaTeoriaera.decia Russell.lacosamasarbitrariaqueelyWhiteheadhabianhechoiamas.Puestodemanera simple. la cuestion es como sigue: ha sido demostrado que las paradoias autorreIerenciales 2 descartadasporlaTeoriadelosTiposnosonsimilaresalasparadoiasautorreIerenciales aceptadas en la teoria de ecuaciones ordinarias. LamasIamosadeesasparadoiasenlogicaeselpostuladoestepostuladoesfalso. Supongamos que esta proposicion pueda estar contenida en tres categorias. verdadero. Ialso o sin sentido. y que una proposicion provista de sentido que no es verdadera. debe ser Ialsa. yaquellaquenoesIalsadebeserverdadera.Elpostuladobaioconsideracion(este postuladoesfalso)noaparececarentedesentido(comoalgunosIilosoIoslohan propuesto). debe ser verdadero o Ialso. Si es verdadero. de acuerdo a lo que dice. debe ser Ialso; si es Ialso. puesto que esto es lo que seala. debe ser verdadero. Asumamosqueunnumeropuedesernegativo.positivoocero.Consideremosqueun numeroquenoesceroyquenoespositivodebesernegativoyunoquenoesnegativo debe ser positivo. Consideremos la siguiente ecuacion: x 2 1 0 De este modo. tenemos x 2 - 1 y dividiendo por x. tenemos x -1 / x Podemos ver que esto (como el postulado logico analogo) es autorreIerente: el valor-raiz de x que se busca debe ser reintroducido en la expresion desde la que lo buscamos. Una simple inspeccion nos muestra que x debe ser una Iorma de unidad. o la ecuacion no se balancearia numericamente. Hemos asumido solo dos Iormas de unidad. 1 y 1. Si x 1. esto da 3 1-1/-1 1 lo que es igualmente paradoiico. Por supuesto. como todos saben. la paradoia en este caso es resuelta por la introduccion de una cuarta clase de numeros. llamados imaginarios. asi podemos decir que las raices de la ecuacion presentada son - i. donde i es un nuevo tipo de unidad que consiste en una raiz cuadrada de menos uno. Loquehacemosenelcapitulo11esextenderesteconceptoalalgebrabooleana.loque signiIicaqueunargumentovalidopuedecontenernosolotresclasesdeestado.sino tambien un cuarto: verdadero. Ialso. sin sentido e imaginario.Las implicancias de esto. en los campos de la logica. IilosoIia. matematicas y aun la Iisica. son proIundas. 1La Forma (1-2) Damosporsentadaslasideasdedistincioneindicacion.yquenopodemoshaceruna indicacion sin trazar una distincion. Tomamos. por ende. la Iorma de la distincion como la Iorma. DeIinicion La distincion es continencia perfecta Esdecir.unadistincioneshechaporlaconstrucciondeunlimitequeseparalados.de maneraqueunladonopuedaalcanzaralotrosincruzarellimite.Poreiemplo.enun espacio plano el circulo traza una distincion. Una vez que la distincion es trazada. los espacios. estados o contenidos a cada lados de los limites son distintos y pueden ser indicados. 4 No hay distincion sin motivo y no hay motivo a menos que los contenidosa cada lado de los limites diIieran en valor. Si el contenido es de valor. se puede tomar un nombre para indicar ese valor. Deestemodo.lainvocaciondeunnombrepuedeseridentiIicadoconelvalordel contenido. Axioma 1. La ley de la llamada. El valor de la invocacion hecha mas de una vez es el valor de la invocacion. Es decir. si un nombre es invocado y luego es invocado nuevamente. el valor indicado para ambas llamadas es el valor indicado por una de ellas. Es decir. para cualquier nombre. re-invocar es invocar. Igualmente.sielcontenidoesdevalor.unmotivo.intencionoinstrucciondecruzarlos limites puede ser tomado para indicar ese valor. De este modo. tambien. cruzar el limite puede ser identiIicado con el valor del contenido. Axioma 2. La ley del cruce. El valor de un cruce hecho por segunda vez no es el valor del cruce Siseintentacruzarellimiteyluegosecruzanuevamente.elvalorindicadoporlasdos intenciones es un valor no indicado por ninguna de ellas. Es decir. para cualquier limite. cruzar nuevamente. no es cruzar. 5 2Formas que se extraen de la Forma (3-7) Construccin Trace una distincion Contenido Llamela la primera distincion Llame al espacio en el cual es trazada. el espacio separado o dividido por la distincion. LlamealaspartesdelespacioIormadoporladivision.losespacios.estadosocontenidos distinguidos por la distincion. Intento Deie una marca. seal o signo que siempre sea tomado respecto de la distincion como una indicacion. Llame al uso de esta seal un intento. Primera regla. Convencin de intencin. Admita que la seal esta limitada a su uso permitido. Llame a esto la convencion de intencion. En general. lo que no es admitido!prohibido

Conocimiento Deie que un estado distinguido por la distincion sea marcado por una marca de distincion. Deie que tal estado sea conocido por la marca. 6 Llame a ese estado el estado marcado. Forma Llame al espacio dividido por cualquier distincion. iunto con el contexto entero del espacio. la Iorma de la distincion. Llame a la Iorma de esta primera distincion la Iorma. Nombre Sea una Iorma distinta de la Iorma. Permita que la marca de distincion sea copiada Iuera de la Iorma. dentro de otra Iorma. Llame a cualquier copia de la marca. una division de la marca. Permitaquecualquierdivisiondelamarcaseallamadaconelnombredeunestado marcado. Deie que el nombre indique el estado. Arreglo Llame a la Iorma de un coniunto de divisiones consideradas una respecto de otra (es decir. considerada en la misma Iorma). un arreglo. Expresin Llame a cualquier arreglo eIectuado como indicador. una expresion. Valor Llame al estado indicado por una expresion. el valor de la expresion. 7 Equivalencia Llame a las expresiones del mismo valor. equivalentes. Permita que un signo de equivalencia sea escrito entre expresiones equivalentes. Ahora. por el axioma 1. Llame a esto la Iorma de la condensacion. Instruccin Llame al estado no marcado con la marca. el estado no marcado. Permitaquecadamarcaunaelespacioenelcualescopiada.Esdecir.permitaquecada marca sea una distincion de si misma. Llame al lugar concavo de la marca. su interior. Permitaquecualquiermarcaseaunainstruccionparacruzarellimitedelaprimera distincion. Permita que el cruce sea desde el estado indicado hacia el interior de la marca. Permita que el cruce sea hacia el estado indicado por la marca. Permita que el espacio sin marca sea indicado como el espacio no marcado. 8 Ahora. por el axioma 2. Llame a esto la Iorma de la cancelacion. Ecuacin Llame a una indicacion de expresiones equivalentes. una ecuacion. Ecuacin primitiva Llame a la Iorma de condensacion una ecuacion primitiva. Llame a la Iorma de cancelacion una ecuacion primitiva. Permita que no exista ninguna otra ecuacion primitiva. Expresin simple NotequehaytresIormasdearreglo... ytambienlaausenciadeIorma tomadas de las ecuaciones primitivas. son todas. por convencion. expresiones. Llame a cualquier expresion consistente de una marca vacia. simple. Llame a cualquier expresion consistente de un espacio vacio. simple. Permita que no existe otra expresion simple. Operacin Ahoravemos que si un estado puede ser indicado usando una marca como nombre. puede serindicadausandolamarcacomounainstruccionsuietaaconvencion.Cualquiermarca 9 puedesertomada.porlotanto.comoinstruccionparalaoperaciondeunaintencion.y puede darse a si misma un nombre Cruce Para indicar lo que la intencion indica. Relacin HabiendodecididoquelaIormadecadamarcallamadacruceesuncontinenteperIecto. hemos permitido solo un tipo de relacion entre cruces: la continencia. Permita que el intento de esta relacion sea restringida. de modo que se pueda sealar que un cruce contiene lo que esta en su interior y no contiene lo que no esta en su interior. Profundidad En un arreglo a puesto en un espacio s. llame al numero n de cruces que deben ser hechos para alcanzar un espacio sn desde s. la proIundidad de sn con respecto a s. Llamealespacioalcanzadoporelmasaltonumerodeentradasdesdes.elespaciomas proIundo en a. Llame al espacio alcanzado por ninguna entrada desde s. el espacio menos proIundo de a. De este modo. s0s Permitaquecualquiercrucesituadoencualquierespaciocseadesignadocomocontenido en c.10 Permita que un cruce situado en el espacio menos proIundo en c sea designado como baio. o cubierto por c. Cruce no escrito Suponga que cualquier ! esta rodeado de un cruce no escrito. Llamealoscrucessituadosbaiocualquiercruce escritosonoescritos.loscruces ocupados por el espacio menos proIundo en Espacio ocupado Permita que cualquier espacio

sea designado como ocupando cualquier arreglo en el cual

es el espacio menos proIundo. Llamealespacio ocupantedeunarreglo seaono elunicoarregloqueocupa el espacio que ocupa todas las partes de 12Reintroduccin dentro de la Forma (69-76) La concepcion de la Iorma descansa en el deseo de distinguir. Garantizado ese deseo. no podemos escapar a la Iorma. aunque podemos verlo de la manera que nos plazca. El calculo de indicaciones es una manera de ver la Iorma. PodemosverqueelcalculodelaIormaylaIormadelcalculoestanlibresdela intervencion de leyes. iniciales. teoremas o consecuencias. Los experimentos mas adelante muestran una de las indeIinidas posibilidades de hacer esto. 11 Podemos notar que en esos experimentos el signo puede ser consignado con las palabras es confundido con Tambienpodemosnotarquelosladosdecadadistincionexperimentalmentetrazados. tienen dos tipos de reIerencia. La primera. o explicita. es que el valor de un lado se realiza de acuerdo a como es marcado. Lasegunda.oimplicita.esparaunobservadorexterno.Esdecir.elladodeaIuera.esel lado desde el cual se supone que sera vista la distincion. Primer experimento En un espacio plano. dibuie un circulo Permita que una marca indique el lado externo de la circunIerencia

M m 12 Permita que no exista marca al interior de la circunIerencia.

m Permita que la marca sea un circulo. m Reingrese la marca dentro de la Iorma del circulo Ahora el circulo y la marca no pueden (respecto de sus propiedades relevantes) ser distinguidas. y asi 13 Segundo experimento En un espacio plano. dibuie un circulo Permita que una marca indique el interior de la circunIerencia M Permita que no exista marca que indique el exterior de la circunIerencia. Permita que el valor de la marcasea elvalor delespacio en el que se encuentra. Es decir. permita que el valor de la marca sea el espacio Iuera de la marca. Ahora el espacio externo a la circunIerencia no esta marcado. Por lo tanto. por valoracion.

m

m

m 14 Permita que la marca sea un circulo

m Reintroduzca la marca dentro de la Iorma del circulo. Ahora. por valoracion. Tercer experimento. En un espacio plano. dibuie un circulo. 15 Permita que una marca indique el exterior de la circunIerencia m Permita que una marca similar indique el interior de la circunIerencia.

m Ahora.puestoquelamarca indicaambosladosdelacircunIerencia.ellasnopueden. respecto del valor. ser distinguidas. Nuevamente. permita que la marca sea un circulo.

m Reintroduzca la marca dentro de la Iorma del circulo. Ahora.debidoalasmarcasidenticas.elcirculooriginalnopuededistinguirdiIerentes valores.

m 16 Por lo tanto. no es. a este respecto. una distincion. Por ello. puede ser borrada sin perder o ganar el espacio en el cual se han hecho.

Pero encontramos en el primer experimento que

Por lo tanto.

y esto no es inconsistente con los hallazgos del segundo experimento. esto es puestoque hemos hecho aqui en dos pasos lo que antes hicimos en uno. Cuarto experimento En un espacio plano. dibuie un circulo. 17 Permita que el exterior de la circunIerencia no este marcado. Permita que el interior de la circunIerencia no este marcado. Pero vimos en el primer experimento que y que por lo tanto. invirtiendo el procedimiento. m 18 El valorde unacircunIerencia para el espacioexterno debeser. por lotanto elvalor de la marca. puesto que la marca ahora distingue este espacio. Un observador en tanto distingue el espacio que ocupa. es tambien una marca. En los experimentos hechos. imagine que los circulos son Iormas y sus circunIerencias son distinciones que perIilan espacios de esas Iormas. En esta concepcion una distincion trazada en cualquier espacio. es una marca que distingue el espacio. Igual e inversamente. cualquier marca en un espacio traza una distincion. Vemosahoraquelaprimeradistincion.lamarcayelobservador.nosonsolo intercambiables. sino. en la Iorma. identicos. Notas (77-106) Captulo 1. Aunquedicealgomas.todoloqueloslectoresnecesitansaberdeestecapitulosonlas deIinicionesdeladistincioncomounaIormadeclausura.maslosdosaxiomassobrelos que esta descansa. Captulo 2 Puede ser util a este nivel sealar que la Iorma primaria de la comunicacion matematica no esladescripcion.sinolaorden(omandato.iniuction).LamusicaesunaIormadearte similar.dondeelcompositornointentadescribirelconiuntodesonidosqueeltieneen mente.muchomenoslossentimientosqueleocasionan.sinoqueescribeunconiuntode 19 comandos. los cuales. si son obedecidos por el lector. pueden resultar en una reproduccion. para el lector. de la experiencia original del compositor. Aunlaciencianaturalparecesermasdependientedelasordenesdeloqueusualmente estamos preparadosaadmitir.La iniciacion proIesional del hombre decienciaconsisteno tanto en leer los textos apropiados. sino en obedecer mandatos tales como mire a traves del microscopio.Sinembargo.noestaIueradelhombredeciencia.habiendomiradoenel microscopio. describir a otros y discutir con ellos. acerca de lo que vio. y escribir articulos y libros de texto al respecto. Del mismo modo. no esta Iuera del campo de las matematicas. habiendo obedecido un coniunto dado de instrucciones. describir a otros y discutir con ellos acercadeloquevio.yescribirarticulosylibrosalrespecto.Peroencadacasola descripcion depende del coniunto de instrucciones que hayan sido obedecidas. Cuandointentamostocaralgunapiezademusicacompuestaporotrapersona.lohacemos ilustrandonosanosotrosmismos.conalguninstrumentomusical.lasinstruccionesdel compositor.Asi.sitocamosunapiezadematematicas.debemosencontrarunaIormade ilustrarnos las instrucciones de los matematicos. La manera normal de hacer esto es a traves de algun tipo de marcador y una marca en alguna superIicie marcable. por eiemplo un dedo en la arena. o un lapiz y un pedazo de papel. Podemosdistinguirenunordenesencial.instrucciones(commands).queinvocanla existenciadealgo;lascosasqueson.yquesonusualmenteconstruidasenIormas permisivas tales como Permita que sea asioasa u ocasionalmente en Iormas mas activas como haga una perpendicular, 20 nombres dados para serusados como puntos de reIerencia en relacion con la operacion de instrucciones.diseadasparallevaraeIectoloquehasidoordenadooinvocado.La institucion o ceremonia del nombramiento es usualmente llevada a cabo en la Iorma de llamelo asioasa yestenombramientoesatribuidoenambasdirecciones.talcomoelsigno.demodotal que alllamarlo asio asa tambien podemos llamarlo asaoasi.Losnombramientos puedenserconsideradossindirecciono.alternativamente.pandireccionales.Encambio. unainstruccionesdireccional.ydemandaunatraslaciondesdeelestadoconsupropio nombrea otracondicion diIerente.con otro nombre. tal que el nombre del primero no sea llamado como el nombre del ultimo. LasinstruccionesquetendraneIectoenelsentidodescrito.debenserdistinguidasdelas instruccionesdecalculo.designadasporconstantesyoperadoresdecalculo.lascuales nombran algo de determinada manera de modo que esto pueda ser reIerido sin redeIinicion. Estaconstrucciondoblenombre-con-instruccioneinstruccion-con-nombreesusualmente entendidacomounaestructuraenlacuallasideasosigniIicado(...)secondensanenun simbolo. Esta condensacion es la que le otorga su poder. Captulo 12 Imaginemos que en vez de escribir en una superIicie plana. escribimos en la superIicie de la tierra. Suponga que escribimos

B bc 21 Nuestraescrituratendraquesergrandeparaserlegibledesdeotroplaneta.Supongaque dibuiamos el circulo exterior cerca del Ecuador. y los que contienen b y c mas cerca de las costas de Australia y de las Islas del sur de Nueva Zelanda. respectivamente. AsiescomoapareceralaexpresionenelhemisIerionorte.digamosLondres.Pero viaiemos. Arribando a Ciudad de Cabo. veremos Navegando hacia Melbourne. veremos Y viaiando desde ahi a Christchurch. veremos bca

ac

ba 22 Estas cuatro expresiones son distintas y no equivalentes. De este modo. es evidente que no essuIicientesolamenteescribirunaexpresionyesperarqueseaentendida.Debemos tambien indicar el lugar desde donde se supone que se situara el observador en relacion a la expresion.Escribiendoloenunplanonoapareceambigedad.porquetendemosaverla expresiondesdeelexteriordelaconstruccionmasamplia.Cuandoseescribeenla superIiciedeunaesIera.nohaymaneradedecircualdelasconstruccioneseslaexterior. En tal caso. para construir una expresion signiIicativa. debemos sumar al indicador el lugar desde el cual el observador esta invitado a observar. ConsideremosporunmomentoelmundotalcomolodescribeunIisico.Consisteenun numerodeparticulasIundamentales.lascualessisonlanzadasatravesdesupropio espacio. aparecen comoondas.y de este modo las consideramos viaiando por el espacio a una velocidad estandar. Todo ello aparece enmarcado en ciertas leyes naturales que indican la Iorma de sus relaciones. Ahora el Iisico. que describe estas relaciones. esta construido por ellas. En pocas palabras. estahechodelaarticulaciondelasparticulasquedescribe;nimasnimenos.yobedecea aquellas leyes que el ha estudiado hasta encontrarlas y registrarlas. Deestemodo.nopodemosescaparalhechodequeelmundoqueconocemosesta construidoenordenydeunamaneraquelepermiteverseasimismo.Estoes verdaderamentesorprendente.Notantoenrelacionaloqueseve.aunqueelloes suIicientemente Iantastico. sino respecto del hecho que todo puede verse.