U.U.D.M. Project Report 2020:25

Examensarbete i matematik, 15 hpHandledare: Erik EkströmExaminator: Martin HerschendJuni 2020

Department of MathematicsUppsala University

Spelteori och auktionsmatematik

Johan Tilli

Sammanfattning

Den har uppsatsen behandlar spelteori och dess tillampning pa auktioner, medfokus pa hur en budgivare som vill vinna auktioner till ett sa lagt pris som mojligtkan maximera sin nyttofunktion. Budstrategier med Nashjamvikt har harlettsoch modellerats med hjalp av nyttofunktioner som uppfyller Von Neumann Mor-gensterns kriterier. Tva metoder for diskontering, additativ och multiplikativdiskontering, formulerades och undersoktes for att modellera en situation dardet tillkommer en kostnad for deltagandet i varje ytterligare auktion.

For varje diskonteringsmetod har en nyttofunktion formulerats och darifran haren allman form for budstrategier med Nashjamvikt harletts. Sedan har dessabudstrategier studerats narmre vid fallet dar varderingen av den auktioneradevaran ges fran olika likformiga fordelningar. De budstrategier som har stud-erats tycks inte avspegla verkligheten speciellt val, da de vid vissa argumentleder till negativa eller pa andra satt orimliga bud. Detta skulle kunna ha singrund i hur de formulerade nyttofunktionerna inte omfattade nagon mojlighetfor budgivaren att sluta delta i aterkommande auktioner utan att faktist vinnaen auktion.

2

Innehallsforteckning

1 Forord 4

2 Bakgrund: Spelteori 52.1 Definitionen av ett spel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Von Neumann–Morgensterns nyttofunktion . . . . . . . . 52.1.2 Spelteorins premisser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3 Nashjamvikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Exempel pa spel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.1 Fangarnas dilemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 Matching Pennies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Bakgrund: Spelteori applicerat pa auktioner 83.1 Auktionstyper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1.1 Engelsk auktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.2 Hollandsk auktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.3 Japansk auktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.4 Forstaprisauktion med forseglade bud . . . . . . . . . . . 83.1.5 Andraprisauktion med forseglade bud . . . . . . . . . . . 9

3.2 Matematisk formalisering av forstaprisauktioner med forsegladebud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.1 Budintervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.2 Symmetrisk Nashjamvikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.3 Exempel pa jamviktsstrategier . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 En auktionsstrategi over tid 134.1 Definition av problemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1.1 Definition av likvardiga varor . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Aterkommande auktioner av likvardiga varor . . . . . . . . . . . 134.3 Diskontering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3.1 Multiplikativ diskontering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3.2 Additativ diskontering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.4 Budstrategi med multiplikativ diskontering . . . . . . . . . . . . 144.4.1 Multiplikativ diskontering vid likformig fordelning . . . . 16

4.4.1.1 Budstrategi vid Re(0,1) . . . . . . . . . . . . . . 184.4.1.2 Budstrategi vid Re(10,11) . . . . . . . . . . . . . 20

4.5 Budstrategi med additativ diskontering . . . . . . . . . . . . . . 204.5.1 Additativ diskontering vid likformig fordelning . . . . . . 22

4.5.1.1 Budstrategi vid Re(0,1) . . . . . . . . . . . . . . 244.5.1.2 Budstrategi vid Re(10,11) . . . . . . . . . . . . . 25

5 Slutsats 28

Kallforteckning 30

3

1 Forord

Den har uppsatsen handlar om spelteori applicerat pa auktioner. Auktioner harfunnits i manga tusen ar och troligtvis budgivares funderingar kring strategierlikasa. Min personliga koppling till amnet foddes ur hur jag over manga arutvecklat och forfinat olika budstrategier for auktioner pa Tradera med maletatt buda hem varor jag vill ha och samtidigt betala sa lite som mojligt for dessa.Jag har dock aldrig tidigare forsokt narma mig detta intressanta amne pa ettteoretiskt plan.

Uppsatsen ar uppdelad i olika delar. Jag gar forst igenom grundlaggandespelteori och dess premisser. Jag gor sedan en genomgang av auktioner ochhur spelteori kan appliceras pa auktioner, mestadels baserat pa Vijay Krishnasverk Auction Theory [3]. Slutligen gor jag ett par forsok att applicera Krish-nas matematiska teoretisering av auktionsstrategi pa fallet med aterkommandestrategier av likvardiga varor for att harleda konkreta budfunktioner fran nyt-tofunktioner.

Jag vill har passa pa att tacka min handledare Erik for sina kreativa ideeroch smittsamma fascination for amnet. Jag vill aven tacka min fru Cecilia ochvara katter Sisco och Wolfgang for det moraliska stodet under skrivprocessen.

4

2 Bakgrund: Spelteori

Spelteori ar studiet av matematiska modeller over strategiska interaktioner mel-lan rationella beslutsfattare. Dessa matematiska modeller kallas spel och de delt-agande parterna kallas spelare. Varje spel gar att klassificera utifran olika kri-terier som avgor spelets karaktar och vilken sorts matematik som kan anvandasfor att modellera spelet. Vi kommer i den har uppsatsen att fokusera pa denmatematik och spelteori som beror auktioner.

2.1 Definitionen av ett spel

Sedan Drew Fudenberg och Jean Tiroles gemensamma verk Game Theory [1]utkom 1991 har den radande matematiska definitionen av ett spel varit attett spel bestar av tre delar: en mangd spelare i som tillsammans bildar denandliga mangden δ = {1, 2, ..., I}, ett strategirum Si som rymmer de mojligastrategierna s = (s1, ..., sI), samt och en nyttofunktion Πi. Tillsammans gerdessa tre delar oss Πi(s) vilket uppfyller Neumann–Morgensterns kriterier foren nyttofunktion.

2.1.1 Von Neumann–Morgensterns nyttofunktion

Enligt Von Neumann–Morgenstern finns det fyra axiom som definierar en ra-tionell beslutsfattare, eller med var terminologi: en spelare [4]. Dessa ar:

Fullstandighet. Varje individ anses ha valdefinierade preferenser och att alltidvara formogen att valja mellan tva olika alternativ. For varje alternativ A ochB galler antingen A � B eller A � B.

Transitivitet. Detta axiom sager oss att en individ som tar beslut enligt ovannamnda fullstandighetsaxiom ar konsekvent i sitt beslutsfattande. For varjeA,B och C galler att om A � B och B � C sa foljer A � C.

Oberoende fran irrelevanta alternativ. Detta axiom sager oss att om det tillkom-mer ett irrelevant alternativ till tva stycken sedan innan existerande relevantaalternativ sa kommer individens preferens i valet mellan ett av de tva relevantaalternativen och det nytillkomna ej relevanta alternativet alltid falla pa nagotav de relevanta alternativen. Om vi later A,B och C vara tre lotterier medegenskaperna A � B samt later t vara sannolikheten att det tillkommer ettalternativ C, t ∈ [0, 1], sa galler:

tA+ (1− t)C � tB + (1− t)C (1)

Detta visar oss att relationen mellan A och B bibehalls aven nar ett irrele-vant alternativ C presenteras.

Kontinuitet. Om det existerar tre lotterier A,B och C, dar en individ har

5

preferenserna A � B och B � C sa existerar en mojlig kombination av A ochC som ur ett preferensperspektiv ej kan skiljas fran B. Det existerar alltsa ensannolikhet p sa att

B = pA+ (1− p)C (2)

2.1.2 Spelteorins premisser

Forutom de nyss namnda fyra axiom som definierar en rationell spelare ochsom ligger till grund for att kunna definiera Von Neumann–Morgensters nytto-funktion existerar vissa antaganden som ligger till grund for den spelteoretiskamatematiken:

i) Varje spelare kanner till de olika mojliga strategierna och deras olika mojligautfall.ii) Varje spelare vet att de andra spelarna kanner till i).iii) Varje spelare ar rationell och har som mal att maximera sin egna nyttofunk-tion. Att maximera sin egna nyttofunktion kan i vissa sammanhang innebaraatt assistera sina motspelare medan det i andra sammanhang kan innebara mot-satsen.iv) Varje spelare kanner till att de andra spelarna kanner till att dom andraspelarna kanner till i), ii), iii) och iv) (och sa vidare) [6].

2.1.3 Nashjamvikt

Nar det i ett spel med tva eller fler spelare uppstar en situation dar ingen spelarehar nagonting att tjana pa att ensam byta strategi sa sager man att dessa strate-gier tillsammans utgor en Nashjamvikt.Mer formellt later vi (S, f) vara ett spel dar S ar mangden strategier och f armangden nyttofunktioner. Varje enskild spelare i ∈ {1, ..., n} valjer en strategixi vilket resulterar i en strategiprofil x = (x1, ..., xn) vilket ska forstas sommangden strategier som de olika spelarna valt. Varje spelare far da nyttofunk-tionen fi(x) som beror pa mangden x, det vill saga mangden av strategiernasom de olika spelarna valt.Man sager att en strategiprofil x∗ ar en Nashjamvikt om ingen enskild spelarehar ett lonsammare val av strategi att byta till, det vill saga ifall det for alla igaller att

fi(x∗) ≥ fi(x∗1, ..., x∗i−1, xi, x∗i+1, ..., x

∗n) (3)

2.2 Exempel pa spel

Vi ska nu ge exempel pa tva olika sorters spel och deras tillhorande spelteori.

6

2.2.1 Fangarnas dilemma

Detta ar ett av de mest klassiska spelteoretiska exemplen. Tva fangar, som vihar valjer att kalla for Leonhard Euler och Sophie Germain, har akt fast forett brott som de begatt tillsammans. De stalls var och en infor ett val: attvittna mot sin medbrottsling eller att tiga. Om Euler vittnar mot Germainmedan Germain tiger sa far Euler ga fri medan Germain far tio ars fangelse.Likval om Germain vittnar mot Euler medan Euler tiger sa far Germain gafri medan Euler far tio ars fangelse. Om bada tiger far de bada sex manadersfangelse. Och om de bada vittnar mot varandra sa far de bada tva ars fangelsevar. Prisoners dilemma forutsatter att fangarnas enda mal ar att minimera sinegna fangelsetid, samt att de inte har nagon mojlighet att kommunicera medvarandra.

Germain vittnar Germain tigerEuler vittnar Bada far tva ars fangelse Euler friges, Germain far tio arEuler tiger Germain friges, Euler far tio ar Bada far sex manaders fangelse

Aven fast det kan verka som att det basta alternativet vore om de badaskulle tiga, sa har de tva fangarna ingen mojlighet att bekrafta denna strategimed varandra.Oavsett hur den andre fangen handlar sa ar det rationellt att sjalv vittna foratt fa nagot av de tva utfallen noll eller tva ars fangelse, istallet for nagot avutfallen sex manader eller tio ars fangelse. Vi ser med andra ord hur utfalletdar bada fangarna vittnar ar en Nashjamvikt.

2.2.2 Matching Pennies

Lat oss nu definiera ett nytt spel mellan Euler och Germain. De tva spelarnahar varsitt mynt dar de var for sig ska valja ifall myntet ska ligga med kronaeller klave uppat, for att sedan jamfora med varandra vad de valt. Om spelarnavalde samma alternativ sa vinner Euler Germains mynt. Om de daremot valdeolika alternativ sa vinner Germain Eulers mynt.

Germain: KRONA Germain: KLAVEEuler: KRONA (1,-1) (-1,1)Euler: KLAVE (-1,1) (1,-1)

Har uppstar en annorlunda dynamik an i det forra spelet. Till skillnad franPrisoner’s Dilemma sa ar detta ett nollsummespel dar den enas vinst alltidar den andres forlust och vice versa. De olika mojliga strategierna verkar vidforsta anblick inte heller ha nagon Nashjamvikt, men faktum ar ett det avenhar existerar en Nashjamvikt. Strategin att lata slumpen avgora vilken sidaav myntet som ska peka uppat ar en Nashjamvikt da alla andra strategier armojliga att upptacka och utnyttja for den andra spelaren. Darfor uppstar deten Nashjamvikt vid strategin att lata slumpen avgora myntets uppsida.

7

3 Bakgrund: Spelteori applicerat pa auktioner

En auktion ar en metod for kop och forsaljning via budgivning dar den sombjuder hogst maste kopa varan [2]. Vi kommer i den har uppsatsen att enbartatt behandla auktioner av varor vars uppskattade varde ar subjektivt for deolika budgivarna, sa kallade private value auctions. Detta till skillnad fran sakallade common value auctions. Ett illustrerande exempel pa en common valueauction ar en auktion av en giltig femhundrakronorssedel.

3.1 Auktionstyper

Det finns flera olika omraden dar auktioner kan skilja sig at fran varandra.Nedan foljer ett par beskrivningar av vanligt forekommande auktionsformer.Vi kommer dock i den har uppsatsen att fokusera pa forstaprisauktioner medforseglade bud och dess tillhorande spelteori.

3.1.1 Engelsk auktion

En engelsk auktion gar ut pa att en auktionsforrattare kommunicerar ett reserva-tionspris som ar varans lagsta acceptabla priset. Auktionsforrattaren tar sedanemot hogre och hogre bud av de potentiella koparna fram tills att ingen langrevill hoja sitt bud. Personen som gett hogst bud vinner sedan auktionen.

3.1.2 Hollandsk auktion

En hollandsk auktion, aven kallad klockauktion, ar en auktion som startar medett hogt utgangspris och dar priset sedan gradvis sanks fram tills att en kopareaccepterar budet.

3.1.3 Japansk auktion

En japansk auktion, aven kallad ascending clock auction, ar en variant av enengelska auktion dar en auktionsforrattare deklarerar ett utgangspris for attsedan succesivt hoja priset. Vid varje prishojning maste budgivarna bekraftaatt de fortfarande ar med i auktionen. Efter att auktionen startat far inganya budare tillkomma, och en budare som lamnat auktionen far inte helleratervanda. Den budaren som ar sist kvar i auktionen vinner och far betalaprissumman som den var ensam om att bekrafta [5].

3.1.4 Forstaprisauktion med forseglade bud

En forstaprisauktion med forseglade bud kallas ibland for en blind auktion. Auk-tionen gar ut pa budarna ger sina maxbud till auktionsforrattaren i forsegladekuvert. Budaren som har angett hogst maxbud vinner auktionen och betalarsitt maxbud.

8

3.1.5 Andraprisauktion med forseglade bud

Andraprisauktioner med foresglade bud har manga likheter med forstaprisauktionmed forseglade bud. Den mest relevanta skillnaden ar att vinnaren av auktionenenbart betalar vad budaren med det nast hogsta maxbudet angav som maxbud.

3.2 Matematisk formalisering av forstaprisauktioner medforseglade bud

For att kunna applicera spelteori pa auktioner kommer vi nu att formaliseraoch uttrycka vad vi kanner till om forstaprisauktioner med forseglade bud iabstrakta matematiska termer.Vid en auktion av en vara kan det finnas N stycken budgivare. Budgivare ivarderar varan till xi som ar ett varde ur den kontinuerliga stokastiska variabelnXi. De N stycken olika slumpvariablerna Xi befinner sig pa intervallet [0, ω] somskapas av den kontinuerliga, monotont okande och differentierbara funktionenF . Vi antar aven att E[Xi] <∞. Budgivaren i kanner till sin egna vardering xiav varan och att de andra budgivarnas vardering av varan fordelas av funktionenF. Vi definierar aven en budgivare i:s strategi vid en auktion som funktionen

βi :[0, ω

]→ R+ (4)

Strategin βi avgor helt enkelt vilket bud som budgivare i ska buda for varan.

Vidare foreseglar varje budgivare i ett bud bi och vi kan med det formuleranyttofunktion

Πi =

{xi − bi om bi > maxj 6=ibj

0 om bi < maxj 6=ibj(5)

dar ”nyttan” eller fortjansten xi − bi innebar varans varde minus vad bud-givare i la for bud pa varan. Vi ser ocksa att xi ar varje budgivare i:s maxbudpa auktionen, da det enligt nyttofunktionen skulle innebara en forlust for i attbetala ett pris hogre an varans varde. Vi antar aven att om bi = maxj 6=ibj sadrar budgivarna med samma hogsta maxbud lott om vem som far genomforaaffaren.

3.2.1 Budintervall

Vi har sedan tidigare definierat budgivningsstrategin β som en funktion dardefinitionsmangden bestar av maxbud ur [0, ω] och vardemangden bestar avalla positiva reella tal R+. Men hur ska budgivningsstrategin β konstrueras foratt vi ska maximera var nyttofunktion Π? Under forutsattningen att vi inte arensamma budare, j 6= 1, ar varat mal att komma fram det optimala budet b.Forst och framst ar det tydligt att det inte vore lonsamt att buda b > β(ω) dadet skulle innebara att vi budar ett bud b som ar storre an det storsta mojligabudet som var budstrategi β kan foresla for oss. Det blir med andra ord en

9

saker vinst av auktionen och en saker forlust i var nyttofunktion. Vi kommerdarfor bara att overvaga bud som uppfyller b ≤ β(ω).Vidare galler att om en budare i varderar en vara till 0 sa skulle det innebaraen forlust att vinna en auktion av varan med ett bud hogre an 0. Vi kan darfordra slutsatsen att β(0) = 0 maste galla i var budgivningsstrategi.Vi har nu definierat budintervallet 0 ≤ b ≤ β(ω) for vart optimala bud b.

3.2.2 Symmetrisk Nashjamvikt

Lat saga att vi har en budgivare nummer 1. Vi later den stokastiska variabeln

Y1 ≡ Y (N−1)1 sta for det hogsta budet fran de ovriga N −1 budgivarna. Vi later

G sta for fordelningsfunktionen av Y1. For alla y galler da att

G(y) = F (y)N−1 (6)

Budgivare 1 vinner auktionen vid laggandet av det hogsta budet, det villsaga nar maxi6=1β(Xi) < b. Eftersom att β ar okande galler att

maxi6=1β(Xi) = β( maxi 6=1Xi) = β(Y1) (7)

Var budgivare 1 vinner alltsa nar β(Y1) < b som ar ekvivalent med Y1 <β−1(b). Detta sammansatt med var tidigare definierade nyttofunktion ger varbudgivare den mojliga vinsten

G(β−1(b)

)× (x− b) (8)

Da vi onskar maximera nyttofunktionen med avseede pa b kan vi skriva

g(β−1(b)

)β′(β−1(b)

) (x− b)−G(β−1(b)

)= 0 (9)

dar g ar derivatan av G och β′ ar derivatan av β. Nar b = β(x) uppstar enNashjamvikt som ger oss differentialekvationen

G(x)β′(x) + g(x)β(x) = xg(x) (10)

som ar ekvivalent med

d

dx

(G(x)β(x)

)= xg(x) (11)

Vidare har vi tidigare definierat att β(0) = 0, vilket ger oss

β(x) =1

G(x)

∫ x

0

yg(y)dy = E[Y1|Y1 < x

](12)

Symmetriska jamviktsstrategier vid forstaprisauktioner ges av βI(x) = E[Y1|Y1 <x] dar Y1 ar det hogsta av N − 1 dragna varden.

Lat oss anta att alla budare forutom budgivare 1 foljer strategin βI(x) =

10

E[Y1|Y1 < x

]. I denna situation menar Krishna att det for budare 1 ocksa

ar optimalt att folja strategi β. Eftersom att β ar en kontinuerlig och okandefunktion innebar det att den budgivare med hogst vardering av varan ocksalagger hogst bud och darmed vinner auktionen.

Vi later z = β−1(b) sta for det varde dar b blir ett jamviktsbud. Om bud-givare 1 varderar varan till x men budar β(z) = b far vi nyttofunktionen:

Π(b, x) = G(z)[x− β(z)

]= G(z)x−G(z)E

[Y1|Y1 < z

]= G(z)x−

∫ z

0

yg(y)dy

= G(z)x−G(z)z +

∫ z

0

G(y)dy

= G(z)(x− z)∫ z

0

G(y)dy

(13)

Vi far da vidare att

Π(β(x), x

)−Π

(β(z), x

)= G(z)(x− z)

∫ z

0

G(y)dy ≥ 0 (14)

oavsett om z > x eller z < x. Hur vi an valjer z sa blir det antingen ettoverbud eller ett underbud. Vi har darmed visat att om alla budgivare forutombudare 1 budar enligt strategin β sa maximerar budare 1 sin nyttofunktiongenom att ocksa buda enligt β. Detta ar ekvivalent med att β ar en Nashjamvikt.

Vi kan skriva om jamviktsbudet som

βI(x) = x−∫ x

0

G(y)

G(x)dy (15)

vilket visar att jamviktsbudet ar mindre an x. Vi kan se pa sambandet

G(y)

G(x)=

[F (y)

F (x)

]N−1(16)

att βI(x) ror sig mot x nar antalet budare N okar.

3.2.3 Exempel pa jamviktsstrategier

Har foljer tva exempel pa jamviktsstrategier dar budgivarnas vardering av varani ena fallet hamtas fran en likformig fordelning och i det andra fallet fran enexponentiell fordelning.

i)Vi antar varderingar av en vara fran den likformiga fordelningen [0, 1]. Vi laterF (x) = x vilket ger G(x) = xN−1. Fran (12) far vi

11

βI(x) =N − 1

Nx (17)

Denna jamviktsstrategi later budgivaren buda en konstant del av sin varderingav den vara som auktioneras ut. Om det ar tva budgivare som tavlar blir detoptimala budet βI(x) = 2−1

2 x = x2 . Om det ar tre budgivare blir det optimala

budet 2x3 och sa vidare. Vi ser tydligt hur det optimala budet ror sig mot x nar

antalet budare okar.

ii)Vi antar har en exponentiell fordelning [0,∞) av budgivarnas vardering avvaran. Vi later F (x) = 1 − e−λx for nagot λ > 0 och N = 2. Vidare latervi

βI(x) = x−∫ x

0

F (y)

F (x)dy

=1

λ− xe−λx

1− e−λx

(18)

Om vi nu later λ = 2 far vi att E[X] = 12 .

En intressant situation som uppstar nar vi valjer en exponentiell fordelning aratt aven budgivare med en anmarkningsvard hog vardering av varan anda intekommer buda mer an 1

2 . Detta kan forklaras av att budgivarens framsta in-tresse inte ar att vinna budgivningen utan att optimera maximeringen av sinnyttofunktion.

Vi har nu gatt igenom de grundlaggande begreppen och dess tillhorande matem-atik som behovs for att kunna formalisera spelteori applicerat pa forstaprisauktionermed forseglade bud. Vi kommer nu utifran den begreppsvard vi definierat taoss an ett nytt problem: Hur ska vi buda for att maximera var nyttofunktionnar det med jamn frekvens tillkommer nya auktioner av likartade varor som denvara vi ar intresserade av?

12

4 En auktionsstrategi over tid

Vi har nu anlant vid uppsatsens sista del, dar vi i avstamp av vad vi hittillsgatt igenom ska forsoka losa ett nytt sorts problem.

4.1 Definition av problemet

I den matematik och de rakneexempel vi gatt igenom hittills har vi studeratuppkomsten av Nashjamvikter for budstrategier vid enskilda auktioner gallandespecifika varor. Vi ska nu lyfta blicken och forsoka fa svar pa hur strategier ochNashjamvikter paverkas nar vi introducerar iden om aterkommande auktionerav likvardiga varor.

4.1.1 Definition av likvardiga varor

For att kunna rakna pa detta specialfall maste vi forst definiera vad vi menarmed begreppet ”likvardiga varor”. Lat oss darfor definiera att tva eller fleravaror ar likvardiga om budgivaren upplever varorna som likvardiga och darforvarderar varorna till samma varde x. Det individuella vardet av varorna aroberoende slumpvariabler med samma fordelning. Likvardiga varor skulle tillexempel kunna vara en mangd bocker av samma eller olika utgavor eller enmangd svarta kavajer i samma storlek. Det vasentliga i var definition ar attbudgivaren ar den som uppfattar varorna som lika och darfor varderar demlika.

4.2 Aterkommande auktioner av likvardiga varor

Vi har tidigare visat hur varje den mojliga vinsten av varje enskild auktion gesav nyttofunktionen

Π(b, x) = G(β−1(b)

)× (x− b) (19)

Vad vi nu vill studera ar vilka Nashjamvikter som uppstar i en situation daren budgivare ej langre maste vinna en enskild auktion for att fa kopa en vara,utan for varje forlorad auktion ges en ny chans att buda pa en likvardig varai en ny auktion. Det finns flera olika satt att uttrycka detta matematiskt. Vivaljer att introducera V som far symbolisera vardet av att det for varje forloradauktion ges en ny chans till var budgivare genom en ny auktion. V maste darforinnehalla sig sjalv, da det for varje forlorad auktion ges en ny chans. Vardet avV bor aven vara beroende av β. Vi skriver darfor att

V = E[(X − β(X)

)1β(X)>β(Y )

]+ V E

[1β(X)<β(Y )

](20)

I fallet dar β(X) > β(Y ) vinner budgivaren auktion, medan budgivaren ifallet β(X) > β(Y ) ges en ny chans i form av V . Var budgivare kommer attdelta i α stycken auktioner men enbart vara vinnare av den α:e auktionen dar

13

α ∈ Z+. Var nyttofunktion Π vid rakning pa aterkommande auktioner medlikvardiga varor blir darfor

Π(b, x) = P(β(Y ) < b

)(x− b) + P

(β(Y ) > b

)V (21)

men det ar fortfarande nagot som fattas.

4.3 Diskontering

Det ar inte svart att forestalla sig ett fall dar nagon form av kostnad tillkommervid deltagandet i flera auktioner jamfort med en enbart en auktion. Dettaskulle kunna vara en kostnad i form av nedlagd tid, en aterkommande kostnadfor transportering till auktionerna eller kanske en kostnad for tiden utan varan,till exempel om det ar minusgrader ute och varan ar en vinterjacka. Men hurska vi uttrycka detta matematiskt?

4.3.1 Multiplikativ diskontering

Lat oss definiera en multiplikativ diskonteringsvariabel a < 1, dar a ∈ R+.Insattning av denna diskonteringsvariabel i nyttofunktionen ger oss en nytto-funktion vars varde minskar for varje ny auktion var budgivare deltar i:

Π(b, x) = P(β(Y ) < b

)(x− b) + P

(β(Y ) > b

)V a (22)

Om var budgivare forlorar den forsta auktionen men vinner pa sitt andraforsok belastas nu nyttofunktionen med diskonteringsvariabeln a. Om var bud-givare daremot forlorar de tva forsta auktionerna men vinner den tredje belastasnyttofunktionen av a2.

4.3.2 Additativ diskontering

Ett annat satt att uttrycka diskontering ar med hjalp av den additativa diskon-teringsvariabeln ε dar ε ∈ R+. Vi definierar ε som en diskonteringskostnad forvarje auktion vi deltar i forutom den forsta auktionen. Var nyttofunktion meddenna diskonteringskostnad inlagd blir

Π(b, x) = P(β(Y ) < b

)(x− b) + P

(β(Y ) > b

)(V − ε) (23)

Om var budgivare vinner pa sitt forsta forsok sa slipper budgivaren diskon-tering. Sedan diskonteras budgivaren med ε for varje efterfoljande auktion. Dentotala diskonteringskostnaden blir darfor (α−1)ε dar α sedan tidigare ar antaletauktioner fram tills vinst.

4.4 Budstrategi med multiplikativ diskontering

Vi ska nu genomfora berakningar for att forsoka finna budgivningsstrategiermed Nashjamvikt vid aterkommande auktioner av likvardiga varor uttrycktamed multiplikativ diskontering. Lat oss definiera att var budgivare har exakt

14

en motspelare per auktion och att den personen hamtar sin vardering av varanur slumpvariabeln Y . Da P (Y ≤ y) = G(y) kan vi nu uttrycka nyttofunktionenfor deltagandet i en serie auktioneringar av likvardiga varor med en motbjudareper auktion och multiplikativ diskontering som

G(β−1(b)

)(x− b) + V a

(1−G

(β−1(b)

))(24)

Om var budgivares bud b ar storre an motspelarens bud β(Y ) sa vinner varbudgivare auktionen och nyttofunktionen ger oss vinsten x − b. Om daremotmotspelarens bud ar storre an var budgivares bud aterstar (x − b)V a som ut-trycker att det kommer en ny likvardig auktion for oss att delta i, dar (x−b)aα−1blir var budgivares eventuella vinst med det vinnande budet som sker vid denα:e auktionen. Da vi onskar finna en maximering av var nyttofunktion genomforvi en derivering med avseende pa b som vi sedan satter lika med noll for att finnaden punkt som maximerar nyttofunktionen:

som ar lika med

G(β−1(b)

)(x− b) + V a

(1−G

(β−1(b)

))(25)

Vi deriverar nyttofunktionen med avseende pa b och satter resultatet likamed noll for att finna den punkt som maximerar nyttofunktionen:

0 = −G(β−1(b)

)+(x−b)g

(β−1(b)

) 1

β′(β−1(b)

)−V ag(β−1(b)) 1

β′(β−1(b)

) (26)

β′(β−1(b)

)G(β−1(b)

)+ V ag(β−1(b)) = (x− b)g

(β−1(b)

)(27)

da b = β(x) far vi

β′(x)G(x) + β(x)g(x) + V ag(x) = xg(x) (28)

Fallet med en motbjudare ger oss

V = E[(X − β(X)

)1β(X)>β(Y )

]+a

2V (29)

Vi subtraherar a2V pa bada sidor av likhetstecknet och far da

V (1− a

2) =

∫ ∞y=0

(∫ ∞x=y

(x− β(x)

)g(x)g(y)dx

)dy

=

∫ ∞x=0

(∫ x

y=0

g(y)dy

)(x− β(x)

)g(x)dx

=

∫ ∞x=0

(x− β(x)

)g(x)G(x)dx

(30)

V =

∫∞x=0

(x− β(x)

)g(x)G(x)dx

(1− a2 )

(31)

15

Insattning ger oss

β′(x)G(x) + β(x)g(x) +a

1− a2

g(x)

∫ ∞x=0

(x− β(x)

)g(x)G(x)dx = xg(x) (32)

som ar en integralekvation. Eftersom att integralen blir till en konstant vidutrakning kan vi ansatta

Γ =a

1− a2

∫ (x− β(x)

)g(x)G(x)dx (33)

vilket ger oss en ekvation som vi kan bearbeta som en differentialekvation:

β′G+ βg + Γg = xg (34)

β′G+ βg = xg − Γg (35)∫β′G+ βgdx =

∫xg − Γgdx (36)

βG =

∫xgdx− ΓG+A (37)

dar A ar en konstant som uppstod vid integrering.

β =1

G

∫xgdx− Γ +

A

G(38)

Vi har nu tagit fram en allman form for budfunktionen β vid aterkommandeauktioner av likvardiga varor och multiplikativ diskontering. Lat oss nu ta framhur budfunktionen ser ut om vi antar en allman likformig fordelning.

4.4.1 Multiplikativ diskontering vid likformig fordelning

Lat oss anta en likformig fordelning Re(c,d):

G(x) =

0 om x < c

x− cd− c

om c ≤ x ≤ d

1 om x > d

(39)

Insattning i budfunktionen ger oss

β =d− cx− c

∫x

d− cdx− Γ +

A(d− c)x− c

=x2

2(x− c)− Γ +

A(d− c)x− c

=x2 − 2(x− c)Γ + 2A(d− c)

2(x− c)

(40)

16

Vi satter B = 2A(d− c)

β =x2 − 2xΓ + 2cΓ +B

2(x− c)

=(x− c)(x− (2Γ− c)) + c2 +B

2(x− c)

(41)

For att fa en begransad budfunktion β later vi B = −c2. Genom att kom-pensera bort c2 far vi budstrategin

β =x

2− Γ +

c

2(42)

Lat oss nu ta fram vardet pa Γ. Vi har sedan tidigare att

Γ =a

1− a2

∫ (x− β(x)

)g(x)G(x)dx (43)

Insattning av var nyfunna β och den likformiga fordelningen ger oss

Γ =a

1− a2

∫ d

c

(x− (

x

2− Γ +

c

2)) x− c

(d− c)2dx

=a

1− a2

∫ d

c

(x− c2

+ Γ) x− c

(d− c)2dx

=a

1− a2

(1

6(d− c+ 3Γ)

)=a(d− c+ 3Γ)

6(1− a2 )

(44)

6Γ(1− a

2) = ad− ac+ 3aΓ (45)

Γ(6(1− a

2)− 3a) = ad− ac (46)

Γ =a(d− c)6(1− a)

(47)

Insattning i β ger oss

β =x

2− a(d− c)

6(1− a)+c

2(48)

Lat oss nu undersoka konkreta budstrategier med Nashjamvikt vid olikalikformiga fordelningar.

17

4.4.1.1 Budstrategi vid Re(0,1)

Om vi antar att vardering av var vara ges ur Re(0, 1) far vi

G(x) =

0 om 0 > x

x om 0 < x < 1

1 om x > 1

(49)

Insattning av c = 0 och d = 1 ger oss budstrategin

β(x) =x

2− a

6(1− a)(50)

som ar en Nashjamvikt. Vi ser ocksa hur a6(1−a) →∞ nar a→ 1. Vi skriver

ett par rader kod i Matlab for att rita upp funktionen:

syms x a;

beta=(x/2)-(a/(6*(1-a)));

beta_med_villkor=piecewise((1>a>0)&(beta>-1), beta, NaN);

fsurf(beta_med_villkor,[0 1 0 1]);

xlabel('a', 'FontSize', 20);

ylabel('x', 'FontSize', 20);

zlabel('\beta(x,a)', 'FontSize', 20);

Figur 1: β(x, a) = x2 −

a6(1−a)

18

Vi noterar i Figur 1 hur a = 0 ger oss budet x2 vilket motsvarar jamviktsbudet

i fallet med icke aterkommande auktioner, och hur vi sedan med a → 1 far engradvis minskande diskontering per auktion. Vi noterar aven hur det uppstarflera fall dar det ar en Nashjamvikt att buda negativt vilket strider med vartidigare definition att malmangden till var budfunktion β ar R+. I fallet dara = 1 kostar det oss inte langre nagonting att delta i de aterkommande auk-tionerna och det optimala budet for att maximera var nyttofunktion blir dalima→1 β(x, a) = −∞ for alla andliga varden pa x. Lat oss nu studera falletx = 1 i detalj:

syms a;

x=1;

beta=(x/2)-(a/(6*(1-a)));

noll = 0*a;

ezplot(beta,[0 1]);

hold on;

ezplot(noll,[0 1]);

xlabel('a', 'FontSize', 20);

ylabel('\beta(1,a)', 'FontSize', 20);

title([]);

Figur 2: β(1, a) = 12 −

a6(1−a)

19

I figur 2 noterar vi hur fallet x = 1 och 12−

a6(1−a) = 0 far nollpunkten a = 3

4 .

Att var budstrategi med Nashjamvikt foreslar negativa bud ar problematiskt danegativa bud ej vanligtvis forekommer vid auktioner. Lat oss undersoka vad somhander om vi far var vardering x fran en fordelning som befinner sig langre bortifran 0.

4.4.1.2 Budstrategi vid Re(10,11)

Om vi antar att vardering av var vara ges ur Re(10, 11) far vi

G(x) =

0 om 10 > x

x− 10 om 10 < x < 11

1 om x > 11

(51)

Insattning av c = 10 och d = 11 i var budstrategi ger oss

β =x

2− a

6(1− a)+ 5 (52)

Vi skriver nagra rader kod i Matlab for att rita funktionen

syms x a;

beta=(((x)/2)+5-(a/(6*(1-a))));

beta_med_villkor=piecewise((beta>0), beta, NaN);

fsurf(beta_med_villkor,[0 1 10 11]);

xlabel('a', 'FontSize', 20);

ylabel('x', 'FontSize', 20);

zlabel('\beta(x,a)', 'FontSize', 20);

I Figur 3 noterar vi att diskonteringsvariabeln a har en stor paverkan pavilket bud som ar optimalt. Ett satt att tolka detta resultat ar att ett a nara 1ger oss en lag kostnad att delta i auktioner. Denna laga kostnad betyder att vihar rad att vanta och ger oss darfor ett optimalt bud som ar mycket lagre annar vi har en mer markbar kostnad.

4.5 Budstrategi med additativ diskontering

Vi ska nu undersoka om vi hittar nagon jamviktsstrategi med nyttofunktioneninnehallandes additativ diskontering:

Π(b, x) = P(β(Y ) < b

)(x− b) + P

(β(Y ) > b

)(V − ε) (53)

som vi kan skriva om till

G(β−1(b)

)(x− b) + (V − ε)

(1−G

(β−1(b)

))(54)

20

Figur 3: β(x, a) = x2 + 5− a

6(1−a)

Da vi onskar finna en maximering av var nyttofunktion genomfor vi en de-rivering med avseende pa b som vi sedan satter lika med noll for att finna denpunkt som maximerar nyttofunktionen:

0 = −G(β−1(b)

)+ (x− b)g

(β−1(b)

) 1

β′(β−1(b)

) − (V − ε)g(β−1(b)

) 1

β′(β−1(b)

)(55)

β′(β−1(b)

)G(β−1(b)

)+ (V − ε)g(β−1(b)) = (x− b)g

(β−1(b)

)(56)

da b = β(x) far vi

β′(x)G(x) + β(x)g(x) + (V − ε)g(x) = xg(x) (57)

Fallet med en motbjudare ger oss

V = E[(X − β(X)

)1β(X)>β(Y )

]+ (V − ε)E

[1β(X)≤β(Y )

]V = E

[(X − β(X)

)1β(X)>β(Y )

]+

(V − ε)2

(58)

Vi subtraherar (V−ε)2 fran bada sidor av likhetstecknet och far da

V − (V − ε)2

= E[(X − β(X)

)1β(X)>β(Y )

]V + ε = 2E

[(X − β(X)

)1β(X)>β(Y )

]V = 2E

[(X − β(X)

)1β(X)>β(Y )

]− ε

(59)

21

Vi far vidare att

V = 2

∫ ∞y=0

(∫ ∞x=y

(x− β(x)

)g(x)g(y)dx

)dy − ε

= 2

∫ ∞x=0

(∫ x

y=0

g(y)dy

)(x− β(x)

)g(x)dx− ε

= 2

∫ ∞x=0

(x− β(x)

)g(x)G(x)dx− ε

(60)

Insattning ger oss

β′(x)G(x) + β(x)g(x) + 2g(x)

∫ ∞x=0

(x− β(x)

)g(x)G(x)dx− 2ε = xg(x) (61)

vilket ar en integralekvation.Vi gor ansattningen

Γ = 2

∫ ∞x=0

(x− β(x)

)g(x)G(x)dx− 2ε (62)

Vi far da ekvationen

β′(x)G(x) + β(x)g(x) + Γg(x) = xg(x) (63)

som ar pa samma form som var differentialekvation i fallet med multiplikativdiskontering. Vid bearbetning av den differentialekvationen kom vi fram till denallmana formen

β =1

G

∫xgdx− Γ +

A

G(64)

4.5.1 Additativ diskontering vid likformig fordelning

Lat oss nu aven i fallet med additativ diskontering anta den allmana formen aven likformig fordelning Re(c,d):

G(x) =

0 om x < c

x− cd− c

om c ≤ x ≤ d

1 om x > d

(65)

Insattning i budfunktionen ger oss

22

β =d− cx− c

∫x

d− cdx− Γ +

A(d− c)x− c

=x2

2(x− c)− Γ +

A(d− c)x− c

=x2 − 2(x− c)Γ + 2A(d− c)

2(x− c)

(66)

Precis som fallet med multiplikativ diskontering satter vi B = 2A(d− c)

β =x2 − 2xΓ + 2cΓ +B

2(x− c)

=(x− c)(x− (2Γ− c)) + c2 +B

2(x− c)

(67)

Aven har satter vi B = −c2 for att fa en begransad budfunktion. Detta geross

β =x

2− Γ +

c

2(68)

Lat oss nu ta fram vardet pa Γ. Vi har sedan tidigare att

Γ = 2

∫ ∞x=0

(x− β(x)

)g(x)G(x)dx− 2ε (69)

Insattning av β och den likformiga fordelningen ger oss

Γ = 2

∫ ∞x=0

(x− (

x

2− Γ +

c

2)) x− c

(d− c)2dx− 2ε

=1

6

(d− c+ 3Γ

)− 2ε

=d− c

6+

Γ

2− 2ε

(70)

Γ

2=d− c

6− 2ε (71)

Γ =d− c

3− 4ε (72)

Insattning i budfunktionen ger oss

β =x

2− d− c

3+ 4ε+

c

2(73)

vilket ar en allman budstrategi i fallet med likformig fordelning. Lat ossundersoka strategin vid Re(0, 1).

23

4.5.1.1 Budstrategi vid Re(0,1)

Om vi antar att vardering av var vara ges ur Re(0, 1) far vi

G(x) =

0 om 0 > x

x om 0 < x < 1

1 om x > 1

(74)

Insattning av c = 0 och d = 1 ger oss budstrategin

β =x

2− 1

3+ 4ε (75)

som ar en Nashjamvikt. Vi skriver ett par rader kod i Matlab for att ritaupp funktionen:

syms x epsilon;

beta=(x/2)+4*epsilon-(1/3);

fsurf(beta,[0 1 0 1]);

xlabel('\epsilon', 'FontSize', 20);

ylabel('x', 'FontSize', 20);

zlabel('\beta(x,\epsilon)', 'FontSize', 20);

Figur 4: β(x, ε) = x2 −

13 + 4ε

Vi ser i Figur 4 hur valet av ε har en signifikant paverkan pa vad som urett intuitivt perspektiv kan uppfattas som rimligt och inte. I det hypotetiska

24

fallet med x = 1 och ε = 1 far vi β(1, 1) = 256 ≈ 4.17. En mojlig forklaring

till dessa resultat ar att nyttofunktionens konstruktion tvingar budgivaren attfortsatta buda fram tills vunnen auktion. Var budgivare satts darmed i enorimlig situation; att buda pa en vara vars varde ocksa motsvarar kostnaden attdelta i en auktion. Den optimala strategin for att komma ur denna sits, i falletmed en motbjudare som ar i samma sitution, blir ett buda just 25

6 . Lat oss ritasamma funktion en gang till men med ε pa ett rimligare omrade:

syms x epsilon;

beta=(x/2)+4*epsilon-(1/3);

fsurf(beta,[0 0.25 0 1]);

xlabel('\epsilon', 'FontSize', 20);

ylabel('x', 'FontSize', 20);

zlabel('\beta(x,\epsilon)', 'FontSize', 20);

Figur 5: β(x, ε) = x2 −

13 + 4ε

Vi noterar i Figur 5 hur budfunktionen i detta fall med additativ diskonteringfor vissa x ger negativa optimala bud aven nar diskonteringskostnaden ar 0.Lat oss nu undersoka fallet nar vi hamtar varderingen av varan ur en likformigfunktion vars omrade inte angransar till 0.

4.5.1.2 Budstrategi vid Re(10,11)

Om vi antar att vardering av var vara ges ur Re(10, 11) far vi

25

G(x) =

1 om 10 > x

x− 10 om 10 < x < 11

1 om x > 11

(76)

Insattning av c = 10 och d = 11 i den allmana likformiga formen av β geross budstrategin

β =x

2+

14

3+ 4ε (77)

som ar en Nashjamvikt. Vi skriver ett par rader kod i Matlab for att ritaupp funktionen:

syms x epsilon;

beta=(x/2)+4*epsilon+(14/3);

fsurf(beta,[0 11 10 11]);

xlabel('\epsilon', 'FontSize', 20);

ylabel('x', 'FontSize', 20);

zlabel('\beta(x,\epsilon)', 'FontSize', 20);

Figur 6: β(x, ε) = x2 + 14

3 + 4ε

Vi ser i Figur 6 hur det i fallet med varden hamtade ur den likformigafordelningen Re(10, 11) blir annu tydligare hur budstrategin optimerar genomatt forsoka ta sig ur auktionen sa snabbt som mojligt for att slippa de additativa

26

kostnaderna av fler auktioner. En mojlig losning for att hantera denna tvek-samma modellering av aterkommande forstaprisauktioner av likvardiga varorvore om vi i var nyttofunktion pa nagot vis skulle uttrycka att budaren intemaste fortsatta med en ny auktion vid forlust. Aven denna intressanta riktninglamnar vi av omfattningsskal at framtida spelteoretiker och uppsatsskrivare attutforska.

27

5 Slutsats

Vi har utifran olika diskonteringsmetoder formulerat tva stycken nyttofunk-tioner. Fran dessa nyttofunktioner har vi sedan harlett budstrategier medNashjamvikt.

For de budstrategier med Nashjamvikt som undersokts leder multiplikativ diskon-tering under vissa forutsattningar till bud under noll, vilket ar anmarkningsvart.Utan diskontering ger samma strategier upphov till bud pa −∞. Intuitivt kandetta forstas som att −∞ vid ett oandligt antal chanser faktist ar det optimalabudet, men det ar ocksa vart att notera att dessa budstrategier inte uppfyllerhur vi tidigare definierat var budstrategi som just βi : [0, ω]→ R+. Det ar avenett rimligt antagande att de flesta auktionshus inte skulle acceptera ett negativtbud.

Additativ diskontering ledde samtidigt till bud bade under 0 och over varansvardering. En mojlig forklaring till detta skulle kunna vara att vi i var nyt-tofunktion inte uttryckt nagon mojlighet for budgivaren att sluta delta i deaterkommande auktionerna utan att ha vunnit. Budstrategierna optimerardarfor vid vissa varderingar och diskonteringsnivaer for att budgivaren skaforlora sa lite pengar som mojligt genom att buda hogt och darmed ”bli fri”fran de aterkommande auktionerna med fast kostnad per tillfalle.

Harledningarna av allmana budstrategier genom differentialekvationer, badefallet med multiplikativ och additativ diskontering, genererade svarhanterligauttryck som justerades genom anvandning av konstanter. Vid ett tillfalle hadevi

β =(x− c)(x− (2Γ− c)) + c2 +B

2(x− c)(78)

Att vi sedan satte B = −c2 gav oss den latthanterliga budstrategin

β =x

2− Γ +

c

2(79)

Det ar mojligt att det finns alternativa metoder for att hantera detta for attharleda sig fram till alternativa Nashjamvikter.

Innan vi applicerade diskonteringsmetoder pa i fallet med aterkommande auk-tioner av likvardiga varor definierade vi var nyttofunktion som

Π(b, x) = P(β(Y ) < b

)(x− b) + P

(β(Y ) > b

)V (80)

Detta innebar att budgivaren alltid fortsatter buda tills en auktion ar vun-nen. Om nyttofunktionen kunde omfatta en mojlighet for budaren att slutadelta i auktioner aven innan budaren vunnit en auktion skulle detta kunna ge

28

en mer realistisk bild av manga verkliga auktionssituationer. Detta ligger dockutanfor omfattningen pa denna uppsats och far undersokas i framtida arbeten.

29

Kallforteckning

[1] Jean Tirole Drew Fudenberg. Game Theory. The MIT Press, 1991. isbn:0262061414.

[2] Paul Klemperer. Auctions: Theory and Practice. Princeton University Press,2004. isbn: 0691114269.

[3] Vijay Krishna. Auction Theory. Academic Press, 2009. isbn: 0123745071.

[4] John Von Neumann Oskar Morgenstern. Theory of Games and EconomicBehavior. Princeton University Press, 1980. isbn: 0691003629.

[5] Ilya Segal Paul Milgrom. “Deferred-Acceptance Auctions and Radio Spec-trum Reallocation”. In: (2017). doi: https://web.stanford.edu/~isegal/heuristic.pdf.

[6] Michael Resnik. Choises. University of Minnesota Press, 1987. isbn: 0816614407.

30