Soutenance de TER Ensimag 2A Tuteur : Zoltán SZIGETI€¦ · Soutenance de TER Ensimag 2A. Plan...
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Elève : Yuefei HUANG
Tuteur : Zoltán SZIGETI
Soutenance de TER Ensimag 2A
Plan Finance
Présentation du problème
Théorie des graphes
Résolution du problème
Extension du problème
Conclusion
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Finance Marché des changes:
24/24h
Un marché qui se base sur la confiance
pas de structure centralisée
la clé d’un ordre: prix
Arbitrage
Une stratégie pour avoir un gain de manière certaine
Profiter d’incohérence de prix
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Arbitrage sur le marché des changesIl y a deux types principaux d’arbitrage :
Arbitrage sur le taux des changes
Exemple : 1 Euro contre 10 Yuan à Shanghai et
1 Euro contre 9.5 Yuan à Paris
Arbitrage sur le taux d’intérêt
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Exemple
un tableau de taux des changes réels fait le 29 avril, 2010
Euro-Yuan-CHF-Euro => on gagne € 0. 00000005 par Euro.
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à :
de: Euro CHF Forint Yuan
Euro ---- 1.43485302 268.265533 9.04771981
CHF 0.69693549 ---- 186.963773 6.30567709
Forint 0.00372765 0.00534863 ---- 0.03372673
Yuan 0.11052509 0.15858725 29.6500708 ----
Problème
Y-a-t il un moyen efficace à détecter l’existence d’un arbitrage sur le marché des changes ?
Si oui, comment ?
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Existe-il ??
Théorie des graphes
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-2
1
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1 0Graphe orienté
Circuits
Coûts sur les arcs
Circuit absorbant
Modélisation du problèmeSoit une suite de devises .
Soit le taux des changes entre et .
Le problème revient à chercher une suite de devises tq:
.
.
Modèle Sommet : devise Arc : change Coût : -log(ri,j)
à chercher un circuit absorbant.
Résolution algorithme de Floyd et Warshall
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Exemple
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Retour à la finance: Arbitrage en général
Théorème :
Il existe une mesure de probabilité risque neutre
il n’y a pas d’arbitrage.
Pour le démontrer…
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Application de la Recherche Opérationnelle
Cas spécial : réseau avec circuitsSoit (G, c) un réseau. Soient A la matrice d’incidence de G et b le vecteur nul.
Minimiser : z = c * x
[P] Sous : A x = b
x ≥ 0
Remarque : il existe un circuit absorbant dans (G,c) si et seulement si le minimum est moins infini.
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Cas spécial du théorème de Goldman et Tucker
Minimiser : z = c * x[P] Sous : A x = 0
x ≥ 0
Maximiser : w = 0 * y[D] Sous : y(v) – y(u) ≤ c(uv)
Théorème :S’il existe une solution réalisable de [D], alors il existe une paire de solutions optimales x de [P] et y de [D] tqsi y(v) – y(u) = c(uv), alors x(uv)>0 pour tout arc uv.
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Arc serré
Idée de démonstration Toute solution réalisable de [D] est optimale.
x, y solutions optimales quelconques de [P] et de [D].
On change y tq chaque arc serré appartienne à un circuit de coût nul (en utilisant l’ordre topologique du graphe réduit).
On change x tq pour chaque arc serré uv, on ait x’(uv)>0 (en utilisant que x+χC reste solution optimale de [P] si C circuit de coût nul).
Algorithmique
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Conclusion et question démonstration d’un cas spécial (sur les graphes) du
théorème de Goldman et Tucker.
l’algorithme pour trouver un tel couple de solutions optimales dans ce cas.
La recherche est un métier amusant mais très difficile.
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Merci pour votre attention!
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