Soustava lineárních rovnic

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Mgr. Martina Fainová

POZNÁMKY ve formátu PDF

Soustava 2 lineárních rovnic

Soustavou dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými je každá dvojice rovnic, kterou lze ekvivalentními

úpravami převést na tvarax + by = cpx + qy = r

kde a, b, c, p, q, r jsou reálná čísla, x a y neznámé.

Řešením této soustavy je uspořádaná dvojice čísel [x;y], která splňují obě rovnice.

?? platí VŽDY

metoda dosazovací (substituční) vyjádříme jednu neznámou z jedné rovnice

a dosadíme ji do druhé rovnice metoda sčítací

rce násobíme vhodnými čísly tak, aby se po sečtení vynásobených rovnic jedna neznámá vyloučila

metoda srovnávací (komparační) z obou rovnic vyjádříme stejnou neznámou, výsledky

dáme do rovnosti a tím tuto neznámou vyloučíme

Metody početního řešení soustavy

Příklad 1:

a) Řešení metodou dosazovací:

x + 3y = 11 2x – y = 1

x + 3y = 11

2x – y = 1

x = 11 – 3y

2(11 – 3y) – y = 1

22 – 7y = 1

21 = 7y

y = 3

= 11 – 3·3 = 2

K = [2;3]

vyjádříme neznámou x

Řešte soustavu rovnic:

Příklad 1:

b) Řešení metodou sčítací:

x + 3y = 11 2x – y = 1

x + 3y = 11

2x – y = 1

7x = 14

x = 2 K = [2;3]

vyloučíme neznámou y

3

x + 3y = 11

6x – 3y = 3

vyloučíme neznámou x

x + 3y = 11

2x – y = 1

–7y = –21

y = 3

(–2)

–2x – 6y = –22

2x – y = 1

Řešte soustavu rovnic:

+ +

Příklad 1:

c) Řešení metodou srovnávací:

x + 3y = 11 2x – y = 1

x + 3y = 11

2x – y = 1

x = 2

y = 2x – 1

3

11 xy

y = y

3

1112

xx

6x – 3 = 11 – x

= 2·2 – 1 = 3

K = [2;3]

Poznámka: Metodu volíme dle zadání, lze také kombinovat metodu sčítací a dosazovací.

Řešte soustavu rovnic:

Příklad 2:

Řešení (sčítací + dosazovací):

–4x + 2y = –6 2x – y = 3

2x – y = 3

0 = 0

x RK = {[x; 2x – 3]; x R}

2

4x – 2y = 6

y = 2x – 3

–4x + 2y = –6

–4x + 2y = –6

řešení

2·x – y = 3

2·x – 3= y

Řešte soustavu rovnic:

Příklad 3: Řešte soustavu rovnic:

Řešení (dosazovací):

–4x + 2y = 6 2x – y = 3

2x – y = 3

– 6 = 6

y = 2x – 3

–4x + 2y = 6

–4x + 2(2x – 3) = 6

nemá řešení

–4x + 4x – 6 = 6 K = 0

Shrnutí (řešení soustavy): Soustava 2 lin. rovnic o 2 neznámých má buď právě jedno řešení [x;y], nebo nemá žádné řešení nebo jich má nekonečně mnoho.

Příklad 4:Určete věk otce a syna, jestliže za 3 roky bude otec 5 starší než syn, avšak za 5 let bude otec jen 4 starší než syn.

Řešení:

x + 3 = 5(y + 3)

(-1)

věk otce … x

věk syna… y

věk otce … x + 3

věk syna… y + 3

za 3 roky:

x + 5 = 4(y + 5)

věk otce … x + 5

věk syna… y + 5

za 5 let:

x + 3 = 5(y + 3)x + 5 = 4(y + 5)x – 5y = 12x – 4y = 15

y = 3

+

x – 4·3 = 15

x = 27

Otci je 27 let a synovi 3 roky.

Cvičení:Příklad 1: Najděte dvě čísla tak, aby jejich součet byl 137 a rozdíl 41.

a) 3x = 2y + 14y = 3 + 6x

b) 5(y +2) = 3(x 3) + 7 3(y +2) + 23 = 5(x 3)

c) 3x 2y = 1 6x = 2 + 4y

Příklad 2: Řešte dané soustavy rovnic:

22) yxd

232 yx

yxy

xe 313

6524)

xxyyx

26

6512

4

32

5

4

4

2)

y

xf

3

2

6

8

y

x !! podmínky

Cvičení:

Příklad 4: Ze dvou druhů ovoce v ceně 15 Kč a 21 Kč za 1 kg je třeba namíchat 78 kg směsi po 17,50 Kč za 1 kg. Kolik kterého ovoce budeme potřebovat?

Příklad 3: Řešte dané soustavy rovnic v ZZ:

252

5)

yxa

6

1

63

yx

15

32

3

35)

x

xyyxb

13

23

2

34

y

xyyx

Příklad 5: Dva dělníci by práci vykonali za 12 dní. Po osmi dnech byl jeden z nich odvolán a druhý dokončil práci sám za dalších 10 dní. Za kolik dní by ji udělal každý sám?

z každé rovnice vyjádříme neznámou y každou rovnici převedeme na funkci do jedné kartézské soustavy souřadné

narýsujeme grafy obou funkcí určíme průsečík - jeho souřadnice jsou řešením

soustavy 2 lineárních rovnic

Grafické řešení soustavy 2 rovnic

?? typ funkce

?? graf lin. fce

?? vzáj. poloha 2 přímek

x

y

x

y

x

ygf

x

y

K = [x;y]

f

K = 0

f

K = R

g=gP neex. všechny

spol. body

osa x - hodinyosa y - km

Cvičení:

a) x + 2y = 42x – y = 5,5

b) 2x = 3 + y 2y = 4x – 6

Příklad 1: Graficky řešte dané soustavy rovnic:c) 3x = 2y + 1

4y = 3 + 6x

d) 2x – y = 3 2y – 4x = 6

Příklad 2: Z místa A vyjíždí do místa B v 9 hodin nákl. vlak rychlostí 50 km/h. Z místa B vyjede v 9 hodin 20 minut po vedlejší koleji rychlík rychlostí 80 km/h. V kolik hodin a na kterém místě se vlaky potkají? Řešte graficky i výpočtem

Soustava lin. rovnic s více neznámými

využíváme stejné metody jako u soustav dvou lineárních rovnic postupně snižujeme počet rovnic a neznámých,

např. soustavu 3 rovnic o 3 neznámých převedeme na soustavu 2 rovnic o 2 neznámých, …

NELZE použít grafické řešení

Řešením soustavy n lin. rovnic o n neznámých je uspořádaná n-tice čísel [x1; x2;…;xn], která splňuje všechny rovnice.

?? kolik neznámých u soustavy 4 rovnic, aby měla jednozn. řešení

Cvičení:

Příklad: Řešte dané soustavy rovnic:a)

b)

c)

d)

e)

f)