3Sorozatok

Egysejtűek populációja. Tegyük fel, hogy van egy örökéletű egysejtű élőlényünk, ami bizonyosidőközönként kettéosztódik, és az új egyedek is ugyanúgy. Figyeljük a populáció egyedszámát azegyes osztódások után.

By Credit: Rocky Mountain Laboratories, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=104228

a 0. osztódás után az egyedszám: 1az 1. osztódás után az egyedszám: 2a 2. osztódás után az egyedszám: 4a 3. osztódás után az egyedszám: 8a 4. osztódás után az egyedszám: 16...az n. osztódás után az egyedszám: 2n

Az egyedszám az osztódás sorszámának függvénye. Ha ezt a függvényt x-szel, a változóját, n-neljelöljük, akkor a populáció egyedszámát így írhatjuk le:

x(n) = 2n vagy xn = 2n, n = 0, 1, 2, . . .

n értékét nem korlátozzuk, akárhány generációt tudunk így figyelni. Ennek a függvénynek többspeciális tulajdonsága is van.

– nincsen minden számra értelmezve, csak természetes számokra (de minden természetesszámra),

– felsorolással is megadható lenne: 1,2,4,8,16,. . .

– ha ábrázolnánk, nem összefüggő vonal lenne a grafikonja, hanem különálló pontok

Az ilyen függvényeket sorozatoknak nevezzük.

Az felsőbb matematika anyagának szerves részét képezik a különböző valós számsorozatokkalkapcsolatos kérdések. Amellett, hogy részben ezekre épül az analízis számos későbbi fogalma,az elméleti matematika szerteágazó absztrakt struktúráiban is építő szerepet töltenek be. Asorozatok bevezető témaköre, egyszerűsége ellenére is sok látványos és hasznos alkalmazásbanyújthat bepillantást.A témában mindenki rendelkezik bizonyos alapismeretekkel, gondoljunk a középiskolában megis-mert számtani és mértani sorozatra. Ha egy sorozat minden eleme között ugyanannyi a különbség

2 3. Sorozatok

(d), akkor számtani sorozatnak nevezzük, azaz

a1, a2 = a1 + d, . . . an = an−1 + d = a1 + (n− 1)d.

Ha egy sorozat minden elemének a hányadosa ugyanaz a 0-tól különböző szám (q), akkor mértanisorozatnak nevezzük, azaz

a1, a2 = qa1, . . . an = qan−1 = qn−1a1.

Megjegyzés. Később visszatérünk még az egysejtű populáció részletesebb vizsgálatára.

3.1. Monotonitás, korlátosság

3.1.1. Definíció. Az olyan függvényt, amelynek az értelmezési tartománya a természetes számokhalmaza, sorozatnak nevezzük. Az (an) jelölésen a továbbiakban az

a : N→ R, n 7→ a(n) = an (3.1)

sorozatot értjük. A (3.1) alatti megadásban n-et indexnek, an értéket pedig a sorozat n-ediktagjának nevezzük.

Az (an) sorozat tehát valós számoknak egy végtelen hosszú felsorolása, azaz

(an) : a1, a2, a3, . . . , an, . . . .

Megjegyzés.

(1) Érdemes megjegyezni, hogy az (an) jelölés mellett a szakirodalomban gyakran használatosa {an} jelölés is.

(2) Jelen jegyzetben a 0 nem tartozik a természetesen számok (N) halmazához, ettől függetlenülgyakran előfordul, hogy a sorozatok indexezése nullával kezdődik.

Sorozatok megadásának módjai. A sorozatokat többféleképpen meg lehet adni, például

(1) formulával:an =

n

n+ 1,

ekkora1 =

1

2, a2 =

2

3, a3 =

3

4, a4 =

4

5, a5 =

5

6, . . .

(2) rekurzióval:a0 = 3, an+1 = 3an + 2,

ekkor

a0 = 3, a1 = 11, a2 = 35, a3 = 107, a4 = 323, a5 = 971, . . .

(3) utasítással: an legyen√2 n-edik tizedesjegye, ekkor

a0 = 1, a1 = 4, a2 = 1, a3 = 4, a4 = 2, a5 = 1, . . .

3.1. Monotonitás, korlátosság 3

Egy sorozatot nagyon sok tulajdonság (feltétel) szerint lehet vizsgálni, amely azok sokszínűosztályozását teszik lehetővé a matematika számára. A monotonitás és korlátosság két olyantermészetesen adódó fogalom, amely egyszerűsége mellett szoros kapcsolatban áll az analízisegyik meghatározó fogalmával, a konvergenciával.

3.1.2. Definíció. Az (an) sorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha megadható olyan K szám,hogy a sorozat minden tagja kisebb vagy egyenlő K-nál, azaz

an ≤ K, ∀n ∈ N.

Az (an) sorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha megadható olyan k szám, hogy a sorozatminden tagja nagyobb vagy egyenlő k-nál, azaz

k ≤ an, ∀n ∈ N.

A sorozat korlátos, ha alulról, és felülről is korlátos.

3.1.3. Példa. Írjuk fel, és ábrázoljuk az

an = (−1)n és bn =1

n

sorozat első néhány tagját.

a1 = −1, a2 = 1, a3 = −1, a4 = 1, a5 = −1, a6 = 1, . . .

b1 = 1, b2 =1

2, b3 =

1

3, b4 =

1

4, b5 =

1

5, b6 =

1

6, . . .

A (3.1) ábráról látszik, hogy a sorozatok korlátosak, hiszen mindkét sorozat esetében alsó korlát-nak jó választás a −1, felső korlátnak pedig az 1. Természetesen, ez csupán sejtés, hiszen az első7 tag ábrázolásából nem tudunk következtetni a többi tag viselkedésére. A két sorozat általánosképletéből azonban azonnal adódik, hogy

−1 ≤ an ≤ 1 és 0 < bn ≤ 1 minden n ∈ N esetén.

1 2 3 4 5 6 7

−1

−0.5

0

0.5

1

3.1. ábra. A ((−1)n) és az(1

n

)sorozat.

Ha egy sorozatnak K a felső korlátja, akkor bármely K-nál nagyobb szám is biztosan felső korlát,azaz ekkor végtelen sok felső korlát létezik. Érezhetően, így a felső korlátok között a legkisebbkitüntetett szerepet kap (a gondolatmenet természetesen az alsó korlátra is igaz).

4 3. Sorozatok

3.1.4. Definíció. Felülről korlátos sorozat legkisebb felső korlátját felső határnak vagy supre-mumnak, alulról korlátos sorozat legnagyobb alsó korlátját pedig alsó határnak vagy infimumnaknevezzük. Jelölése: sup an, inf an.

3.1.5. Példa. Mutassuk meg, hogy az an =2n− 1

3n+ 4sorozat korlátos.

Megoldás. A tört számlálója és nevezője is minden n ∈ N esetén pozitív, így

0 <2n− 1

3n+ 4.

A tört értékét felülről becsülve (tört értékét számlálójának növelése, vagy nevezőjének csökken-tése növeli)

2n− 1

3n+ 4<

2

3. �

1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

3.1.5. Példa

1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

3.1.6. Példa

3.1.6. Példa. Mutassuk meg, hogy az an =3n+ 4

2n− 1sorozat korlátos.

Megoldás. A tört számlálója, és nevezője is minden n ∈ N esetén pozitív, így

0 <3n+ 4

2n− 1.

Felső becslést nem tudunk olyan egyszerűen adni, mint az előző példánál, azonban hogy mindenn ∈ N esetén

3n+ 4 ≤ 3n+ 4n = 7n és 2n− 1 ≥ 2n− n = n,

így3n+ 4

2n− 1≤ 7n

n=

7

1= 7. �

3.1.7. Definíció. Az (an) sorozatmonoton nő (csökken) valamely n indexétől kezdve, ha bármelyk ∈ N, k > n esetén

ak ≤ ak+1 (ak ≥ ak+1). (3.2)

Az (an) sorozat szigorúan monoton nő (csökken) valamely n indexétől kezdve, ha bármely k ∈ N,k > n esetén

ak < ak+1 (ak > ak+1).

3.1. Monotonitás, korlátosság 5

A (3.2) egyenlőtlenség alapján adódik, hogy az (an) sorozat monotonitását a legegyszerűbben az

an+1 − an

különbség előjelvizsgálatával tudjuk vizsgálni. Ha an+1 − an ≥ 0,akkor a sorozat monoton nő,ha an+1 − an ≤ 0, akkor pedig monoton csökken.

3.1.8. Példa. Vizsgáljuk meg monotonitás szempontjából az an =1

3n+ 1sorozatot.

Megoldás. Minthogy

an+1 − an =1

3(n+ 1) + 1− 1

3n+ 1=

1

3n+ 4− 1

3n+ 1=

(3n+ 1)− (3n+ 4)

(3n+ 4)(3n+ 1)=

−3(3n+ 4)(3n+ 1)

< 0

bármely n ∈ N esetén, így a sorozat szigorúan monoton csökken. A monoton csökkenés azt isjelenti, hogy a sorozat első tagjai a legnagyobb az elemei között, így a monotonitás igazolásávalsikerült megadni egy felső korlátot (jelen esetben a sorozat legnagyobb elemét, így a felső határt),továbbá bármely n ∈ N esetén an pozitív, így

0 < an ≤ a1 =1

4. �

3.1.9. Példa. Vizsgáljuk meg monotonitás szempontjából az an =2n− 1

2n+ 9sorozatot.

Megoldás. Mivel

an+1 − an =2(n+ 1)− 1

2(n+ 1) + 9− 2n− 1

2n+ 9=

2n+ 1

2n+ 11− 2n− 1

2n+ 9=

(2n+ 1)(2n+ 9)− (2n− 1)(2n+ 11)

(2n+ 11)(2n+ 9)=

20

(2n+ 11)(2n+ 9)> 0,

így a sorozat monoton nő. A tört étékét felülről becsülve

2n− 1

2n+ 9<

2n

2n= 1,

így

a1 =1

11≤ an < 1. �

3.1.10. Példa. Vizsgáljuk meg korlátosság és monotonitás szempontjából az an =1

2n− 9sorozatot.

Megoldás. Mivel

an+1 − an =1

2(n+ 1)− 9− 1

2n− 9=

1

2n− 7− 1

2n− 9=

−2(2n− 7)(2n− 9)

,

így az előző példákkal ellentétben, most a nevező előjelét is figyelembe kell vennünk. Könnyenlátható, hogy (2n−7)(2n−9) ≥ 0, ha n ≥ 5, azaz a sorozat az 5. tagtól kezdve monoton csökken,én onnan minden tagja pozitív.A korlátok megadásához írjuk fel a sorozat első 4 tagját:

a1 = −1

7, a2 = −

1

5, a3 = −

1

3, a4 = −

1

1.

6 3. Sorozatok

1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3.1.9. Példa

3 4 5 6 7

−1

−0.5

0

0.5

1

3.1.10. Példa

A felírt tagokból és a monotonitásból következik, hogy

a4 = −1

1= −1 ≤ an ≤ a5 =

1

1= 1. �

Az előző példák sorozatait vizsgálva észrevehető, hogy mindegyik esetben van egy olyan szám,amelyhez közelednek „minden határon túl”. Ezen tulajdonság pontos megfogalmazása adja ahatárérték definícióját.

3.2. Sorozatok határértéke

3.2.1. Definíció. Az (an) sorozatot konvergensnek nevezzük, ha létezik olyan a ∈ R szám,hogy bármely pozitív ε-hoz megadható olyan N = N(ε) küszöbindex, amelynél nagyobb n indexesetén a sorozat tagjainak eltérése az a számtól kisebb mint ε. Ekkor az a számot a sorozathatárértékének nevezzük. Jelölése:

limn→∞

an = a, vagy an → a, (n→∞).

Ha az (an) sorozat nem konvergens, akkor divergensnek nevezzük.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a− ε1

a+ ε1

a− ε2

a+ ε2a

N(ε1) N(ε2)

3.2. ábra

A definíció szemléletes jelentését nagyon jól mutatja a 3.2. ábra, minden ε-hoz megadható olyanN küszöbindex, hogy attól az indextől kezdve a sorozat tagjai egyre közelebb kerülnek az a

3.2. Sorozatok határértéke 7

számhoz. Az ábrán jól látszik, hogy az ε1-hez tartozó ilyen index az N(ε1) = 3, a ε2-höz tartozóilyen index pedig a N(ε2) = 8. A definícióból az is következik, hogy ha tetszőleges ε eseténtalálunk ilyen küszöbindexet, akkor bármely ennél nagyobb index is megfelel küszöbindexnek.Fontos megemlíteni, hogy a határérték mindig egyértelmű.

3.2.2. Tétel. Konvergens sorozatnak csak egy határértéke lehet.

3.2.3. Példa. Igazoljuk definíció szerint, hogy

limn→∞

n+ 1

2n− 1=

1

2.

Megoldás. Az egyszerűbb érthetőség, és szemléletesség kedvéért megmutatjuk először egy tetsző-leges választott ε esetén a küszöbindex keresését, majd általánosan, paraméteresen is megoldjuka feladatot. Legyen ε = 1

100 . Mindkét esetben a |an −A| < ε egyenlőtlenséget kell megoldanunkaz n ismeretlenre.

Behelyettesítve a definícióba∣∣∣∣ n+ 1

2n− 1− 1

2

∣∣∣∣ < 1

100,∣∣∣∣2n+ 2− (2n− 1)

2(2n− 1)

∣∣∣∣ < 1

100,∣∣∣∣ 3

4n− 2

∣∣∣∣ < 1

100.

∣∣∣∣ n+ 1

2n− 1− 1

2

∣∣∣∣ < ε,∣∣∣∣2n+ 2− (2n− 1)

2(2n− 1)

∣∣∣∣ < ε,∣∣∣∣ 3

4n− 2

∣∣∣∣ < ε.

Az egyenlőtlenség bal oldalán az abszolút értéken belüli kifejezés értéke mindig pozitív, így azabszolút értéket elhagyva, majd átrendezve adódik, hogy

300 < 4n− 2,3

ε< 4n− 2,

302 < 4n,3

ε+ 2 < 4n,

302

4= 75,5 < n,

1

4

(3

ε+ 2

)=

3 + 2ε

4ε< n,

így a küszöbindex

N

(1

100

)= 75. N(ε) =

[3 + 2ε

4ε

]. (3.3)

Ha n > 75, akkor a sorozat tagjainak az eltérése 12 -től kevesebb mint 1

100 . Behelyettesítve példáulaz n = 76 értéket

a76 =76 + 1

2 · 76− 1=

77

151≈ 0,5099338.

A paraméteres megoldás bármely ε esetén megadja a küszöbindexet, így igazoltuk, hogy a sorozathatárértéke definíció szerint 1

2 .Tetszőleges ε értéket választva a (3.3) alatti összefüggés megadja a küszöbindexet. Például

N(10−4) =

[3 + 2 · 10−4

4ε

]= 7500,

8 3. Sorozatok

a7 501 =7501 + 1

2 · 7 501− 1=

7 502

15 001≈ 0,500099993. �

Bizonyos sorozatok, sorozattípusok esetén a pontos határérték megsejtése is problémát okoz, ígya következő állítás nem csupán könnyen ellenőrizhető elegendő feltételt ad egy sorozat konver-genciájához, de példát is ad arra, hogyan kapcsolható össze a sorozatok egyéb tulajdonságaival.

3.2.4. Tétel. Monoton és korlátos sorozat konvergens.

A 3.2.9. példában szereplő sorozatról beláttuk, hogy monoton és korlátos, így az állítás alapjánkonvergens.Divergens sorozatok esetén természetesen adódik, hogy külön figyelmet érdemes fordítanunk azalábbi típusúakra.

3.2.5. Definíció. Az (an) sorozat határértéke végtelen, ha tetszőleges K ∈ R esetén megadhatóolyan N(K) küszöbindex, amelynél nagyobb index esetén a sorozat tagjai K-nál nagyobbak.Jelölése:

limn→∞

an =∞, vagy an →∞, (n→∞).

A definíció szemléletesen azt jelenti, hogy az (an) sorozat tagjai - az indexének növelésével -minden határon túl nőnek (hasonlóan átfogalmazható mínusz végtelenre).3.2.6. Példa. Definíció szerint igazoljuk, hogy

limn→∞

n2 + 2

2n− 1=∞.

Megoldás. Definíció szerint an2 + 2

2n− 1> K

paraméteres, másodfokú egyenlőtlenséget kell megoldani. Kihasználva, hogy tetszőleges K ér-tékhez tartozó küszöbindex esetén, bármely nála nagyobb index is megfelel küszöbindexnek, afeladat jelentősen egyszerűsíthető, ha a sorozat általános tagjára alsó becslést adunk. Kihasz-nálva, hogy

n2 + 2

2n− 1>

n2

2n=

n

2,

a feladat an

2> K

egyenlőtlenség megoldására egyszerűsödik, ahonnan

N(K) = 2K.

Mindezek alapján a sorozat definíció szerint divergens.Legyen K = 10, ekkor a küszöbindex

N(10) = 2 · 10 = 20,

és

a21 =212 + 2

21 + 1≈ 20,13 > 10,

amely jól mutatja, hogy a becslésnél elkövetett hiba miatt a küszöbindex pontossága javíthatólenne. �

3.3. Műveletek határértékekkel 9

3.3. Műveletek határértékekkel

Az előző fejezetben láttuk, hogy a határérték definíció szerinti meghatározása nehézkes, ugyan-akkor hasonló sorozatok esetén sablonos. A formális határérték-meghatározást jelentősen egysze-rűsíti a gyakran előforduló sorozattípusok, illetve a véges és végtelen határértékekkel végezhetőműveleti szabályok összefoglalása.

3.3.1. Tétel. (Véges határértékekre vonatkozó műveleti szabályok). Legyen a, b, c ∈ R,(an), (bn) tetszőleges sorozatok, amelyekre an → a és bn → b. Ekkor(1) lim

n→∞can = ca,

(2) limn→∞

(an + bn) = a+ b,

(3) limn→∞

(anbn) = ab,

(4) ha bn 6= 0 bármely n ∈ N esetén, és b 6= 0, akkor limn→∞

anbn

=a

b,

3.3.2. Tétel. (Végtelen határértékekre vonatkozó műveleti szabályok). Legyen c ∈ R, (an),(bn) és (cn) tetszőleges sorozatok, amelyekre, an →∞ és bn →∞ és cn → c. Ekkor(1) lim

n→∞(an + cn) =∞,

(2) limn→∞

(an + bn) =∞,

(3) limn→∞

(anbn) =∞,

(4) ha c > 0, akkor limn→∞

(cnan) =∞,

(5) ha cn > 0 minden n ∈ N esetén és c = 0, akkor limn→∞

1

cn=∞,

(6) ha an 6= 0 minden n ∈ N esetén, akkor limn→∞

1

an= 0,

Fontos azonban megjegyezni, hogy végtelenbe tartó sorozatok hányadosára és különbségére nemmondható ki általános szabály.

(1) Legyen an = n, bn = n2, cn = 2n. Mindhárom sorozat határértéke végtelen, ugyanakkor

limn→∞

anbn

= limn→∞

n

n2= lim

n→∞

1

n= 0,

limn→∞

bnan

= limn→∞

n2

n= lim

n→∞=∞,

limn→∞

cnan

= limn→∞

2n

n= lim

n→∞2 = 2.

(2) Legyen an = n − 1, bn = 2n − 1, cn = n + 1. Mindhárom sorozat határértéke végtelen,ugyanakkor

limn→∞

(bn − an) = limn→∞

(2n− 1)− (n− 1) = limn→∞

n =∞,

limn→∞

(cn − an) = limn→∞

(n+ 1)− (n− 1) = limn→∞

2 = 2.

A határértékek és műveleti szabályok kapcsolatának összefoglalása után ismertetjük néhány fon-tos nevezetes sorozat határértékét.

3.3.3. Tétel.

10 3. Sorozatok

(1) Legyen p pozitív racionális szám, ekkor

limn→∞

np =∞, limn→∞

1

np= 0.

(2) Legyen q ∈ R, ekkor

limn→∞

qn =

∞, ha q > 1,0, ha |q| < 1,1, ha q = 1,nem létezik, különben

.

(3) Az((

1 +1

n

)n)sorozat konvergens.

Megjegyzés. A (3) pontban szereplő sorozatról bebizonyítható, hogy szigorúan monoton növekvőés korlátos, következésképp konvergens. A határértékét e-vel jelöljük, ami egy 2 és 3 közötti szám.

e = limn→∞

(1 +

1

n

)n

≈ 2,7182818.

3.3.4. Példa. Számítsuk ki a(2

n−(1

2

)n

+ 3

(1 +

1

n

)n)sorozat határértékét.

Megoldás. A fenti tételek szerint

limn→∞

2

n−(1

2

)n

+ 3

(1 +

1

n

)n

= limn→∞

2

n− lim

n→∞

(1

2

)n

+ limn→∞

3

(1 +

1

n

)n

=

2 limn→∞

1

n− lim

n→∞

(1

2

)n

+ 3 limn→∞

(1 +

1

n

)n

= 2 · 0− 0 + 3e = 3e. �

3.3.5. Példa. Számítsuk ki az(n2 + n+ 3

)sorozat határértékét.

Megoldás. Mivel limn→∞

n2 = limn→∞

n =∞, ezért

limn→∞

n2 + n+ 3 =∞. �

3.3.6. Példa. Számítsuk ki az(n2 − n

)sorozat határértékét.

Megoldás. Mivel limn→∞

n2 = limn→∞

n = ∞, és a különbségük határértékét kell meghatároznunk,nem alkalmazhatjuk közvetlenül a 3.3.2. Tételt. Ehelyett:

limn→∞

n2 − n = limn→∞

n2

(1− 1

n

)=∞,

mert ez egy ∞-hez tartó és egy 1-hez tartó sorozat szorzatának határértéke. �

A következő példákban két végtelenhez tartó sorozat hányadosának a határértéke szerepel, melyesetre nem létezik műveleti szabály. A törtek átalakításával azonban az ilyen típusú feladatokegyszerűen visszavezethetőek a 3.3.3. Tételben ismertetett nevezetes sorozatok határértékére.

3.3.7. Példa. limn→∞

3n2 − n

4n2 + n− 3= lim

n→∞

n2(3− 1

n

)n2(4 + 1

n −3n2

) = limn→∞

3− 1n

4 + 1n −

3n2

=3

4.

3.3. Műveletek határértékekkel 11

3.3.8. Példa. limn→∞

3n3 − n

n2 + 5n− 2= lim

n→∞

n3(3− 1

n2

)n2(1 + 5

n −2n2

) = limn→∞

n ·3− 1

n2

1 + 5n −

2n2

=∞.

3.3.9. Példa. limn→∞

2n+3

5n= lim

n→∞

23 · 2n

5n= lim

n→∞23 · 2

n

5n= lim

n→∞23 ·

(2

5

)n

= 0.

3.3.10. Példa. limn→∞

5n+1 + 3 · 7n

3n − 2 · 7n= lim

n→∞

7n(5 · 5n7n + 3

)7n(3n

7n − 2) = lim

n→∞

5 ·(57

)n+ 3(

37

)n − 2= −3

2.

3.3.11. Példa. limn→∞

32n + 5n

7n+1 − 9n+2= lim

n→∞

(32)n

+ 5n

7 · 7n − 92 · 9n=

limn→∞

9n + 5n

7 · 7n − 81 · 9n= lim

n→∞

9n(1 +

(59

)n)9n((7 · 79

)n − 81) = − 1

81.

3.3.12. Példa. limn→∞

(n+ 1

n

)n

= limn→∞

(n

n+

1

n

)n

= limn→∞

(1 +

1

n

)n

= e.

3.3.13. Példa. limn→∞

(1 +

1

n

)n2

= limn→∞

((1 +

1

n

)n) 12

= e12 =√e.

Feladatok

Számítsuk ki a következő határértékeket.

3.3.1. limn→∞

9n2 + 8n− 9

11n2 + 8n+ 8= 3.3.2. lim

n→∞

−4n2 + 4n+ 1

10n2 + n− 1=

3.3.3. limn→∞

8n2 − 5n+ 7

9n− 10= 3.3.4. lim

n→∞

5n2 + 3

n2 + 8n=

3.3.5. limn→∞

−8n2 + 11n

8n+ 5= 3.3.6. lim

n→∞

n− 4

9n2 + 2n+ 4=

3.3.7. limn→∞

5n2 + 1n+ 4

2n2 − 7n− 7= 3.3.8. lim

n→∞

5n2 − 3n+ 6

11n2 + 6=

3.3.9. limn→∞

6n2 − 9n− 2

7n2 − 10= 3.3.10. lim

n→∞

−2n3 − 6n− 2

7n2 + 6=

3.3.11. limn→∞

6n7 + 3n2 − 1

8n7 + 7n= 3.3.12. lim

n→∞

3n11 − 10n

−5n13 − 9n=

3.3.13. limn→∞

7n16 + 2n5 + 2n9

9n9 − 3n19 + 5n15= 3.3.14. lim

n→∞

4n4 − 8n12 − 8n9

8n3 − 4n12 − 8n16=

3.3.15. limn→∞

6− 8n8 + 10n5

8n3 + 8n10 + 3 + 9n14= 3.3.16. lim

n→∞

5n4 − 6n14 + 5n16

4n3 − 9n12 − 4n16 + 30=

3.3.17. limn→∞

9n7 − 10n27 − 6n15

2n10 + 2n25 + 7n27= 3.3.18. lim

n→∞

7n2 + 2n17 − 8n15

2n7 − 3n10 + 4n17=

3.3.19. limn→∞

6n23 + 6n7 − 7n13

100 + 8n8 − 5n15 + 10n16= 3.3.20. lim

n→∞

4n3 + 2n23 + 9n20

10n3 + 7n14 − 2n20=

12 3. Sorozatok

3.3.21. limn→∞

10n10 − 2n20 + 2n18

10n5 − 6n8 − 4n9= 3.3.22. lim

n→∞

2n8 + 5 + 8n28 + 2n12

7n9 − 10n28 − 5n14=

3.3.23. limn→∞

6n2 − 10n14 − 6n5 − 1

3n2 + 3 + 4n11 + 10n14= 3.3.24. lim

n→∞

10n8 + 4n24 + 6n21

5n10 − 10n19 − 7n24=

3.3.25. limn→∞

7n4 − 9n16 − 10n7

6n6 − 10n9 + 8n16= 3.3.26. lim

n→∞

7n10 + 2n27 + 3n18

7n2 − 6n16 + 10n21=

3.3.27. limn→∞

6n10 + 4n19 − 8n16

4n9 − 7n12 − 7n24= 3.3.28. lim

n→∞

5n4 − 3n23 − 10n16

10n9 − 7n15 − 5n23=

Megoldás.

1.9

112. −2

53. ∞ 4. 5 5. −∞ 6. 0 7.

5

28.

5

119.

6

710. −∞ 11.

3

4

12. 0 13. 0 14. 0 15. 0 16. −5

417. −10

718.

2

419. ∞ 20. −∞ 21. ∞ 22.

− 8

1023. −10

1024. −4

725. −9

826. ∞ 27. 0 28.

3

5

Számítsuk ki a következő határértékeket.

3.3.29. limn→∞

2n+3 + 3 · 5n

5n − 4 · 3n= 3.3.30. lim

n→∞

17− 2 · 3n−1

5n+1 − 3n+1=

3.3.31. limn→∞

22n + 3 · 5n+2

67 + 3n−1= 3.3.32. lim

n→∞

32n+3 + 7n−1

2n + 23 · 9n=

3.3.33. limn→∞

3 · 22n−1 + 5 · 2n+4 − 10

2 · 83n−5 + 4 · 43n−7 + 3= 3.3.34. lim

n→∞

53n+4 + 3 · 92n−8 − 70

7 · 82n+4 + 10 · 63n+6 − 17=

3.3.35. limn→∞

43n+2 + 4 · 6n−9 − 38

7n−8 + 9 · 82n+1 + 68= 3.3.36. lim

n→∞

10 · 8n+6 + 92n−3 + 49

−5 · 42n−2 + 10 · 83n−8 + 29=

3.3.37. limn→∞

3 · 6n−2 + 3 · 5n+3 − 16

−2 · 8n+4 + 4 · 9n+1 + 80= 3.3.38. lim

n→∞

8 · 22n−1 + 9 · 32n+7 − 6

−6 · 43n+5 + 3 · 5n+7 − 62=

3.3.39. limn→∞

52n + 2 · 83n−2 + 34

4 · 83n + 6 · 63n+6 + 50= 3.3.40. lim

n→∞

6 · 33n−4 + 5 · 82n+1 + 26

7 · 6n+8 + 5 · 82n−1 − 87=

3.3.41. limn→∞

−7 · 22n−5 + 7 · 92n−10 − 57

−4 · 43n−7 + 10 · 62n−1 + 82= 3.3.42. lim

n→∞

10 · 92n−1 + 52n+8 + 86

2 · 6n+5 + 92n+1 + 62=

3.3.43. limn→∞

2 · 92n−1 + 2 · 43n−7 + 76

7 · 2n−5 + 5 · 72n+9 − 56= 3.3.44. lim

n→∞

2 · 33n+3 + 3 · 7n−3 + 12

−1 · 33n + 7 · 2n + 86=

3.3.45. limn→∞

9 · 8n + 22n+8 − 5

6 · 8n−1 + 4 · 4n+3 − 8= 3.3.46. lim

n→∞

6 · 93n + 9 · 4n−8 + 84

−3 · 36n+1 + 9 · 3n−4 + 8=

3.3.47. limn→∞

−1 · 42n−10 + 2 · 23n+2 + 100

−4 · 42n+1 + 3 · 92n−7 − 70= 3.3.48. lim

n→∞

−1 · 2n−2 + 4 · 33n+4 − 82

4 · 5n−5 + 6 · 42n+9 + 24=

3.3.49. limn→∞

6 · 8n+4 + 2 · 83n−9 + 22

10 · 72n−3 + 9 · 82n+3 − 32= 3.3.50. lim

n→∞

−5 · 32n+10 + 43n+2 + 28

−2 · 43n−1 + 8 · 7n+6 − 14=

3.3.51. limn→∞

−3 · 3n−9 + 2 · 62n+1 + 49

−6 · 62n + 5 · 33n+9 + 92= 3.3.52. lim

n→∞

−3 · 7n−8 + 10 · 52n−1 − 60

−9 · 52n + 4 · 6n−1 − 22=

3.3. Műveletek határértékekkel 13

3.3.53. limn→∞

8 · 92n−9 + 8 · 8n+4 − 15

−8 · 5n−9 + 7 · 2n+6 − 5= 3.3.54. lim

n→∞

2 · 92n+6 + 32n+7 + 50

3 · 6n−7 + 7 · 43n−1 + 28=

3.3.55. limn→∞

−6 · 6n+4 + 5 · 73n + 90

−1 · 73n+3 + 8 · 62n + 40= 3.3.56. lim

n→∞

−10 · 63n+2 + 2 · 52n−8 + 86

−4 · 9n−5 + 6 · 63n−1 + 12=

Megoldás.

29. 3 30. 0 31. ∞ 32.27

2333. 0 34. 0 35.

2

936. 0 37. 0 38. 0 39.

1

128

40. 64 41. −∞ 42.10

8143. ∞ 44. −27 45. 1 46. −2

347. 0 48. ∞ 49. ∞ 50.

−32 51. −2 52. −2

953. −∞ 54. ∞ 55. − 5

34356. −360

Számítsuk ki a következő határértékeket.

3.3.57. limn→∞

3

(1 +

1

n

)n

= 3.3.58. limn→∞

2(1 + 1

n

)n =

3.3.59. limn→∞

(1 +

1

n

)−n= 3.3.60. lim

n→∞

(1 +

1

n

)2n

=

Megoldás.

57. 3e 58.2

e59.

1

e60. e2