Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor...
Transcript of Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor...
![Page 1: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/1.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Komputeralgebra rendszerekSorfejtések, approximáció
Czirbusz Sá[email protected]
Komputeralgebra TanszékELTE Informatika Kar
2009-2010 osz
![Page 2: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/2.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Index
1 SorfejtésekTaylor sorfejtésÁltalános sorfejtés
2 Approximáció
3 Hatványsorok
![Page 3: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/3.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Taylor sorfejtés
Taylor sorfejtés
Egyváltozós függvények
![Page 4: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/4.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Taylor sorfejtés
Taylor sorfejtés
Egyváltozós függvények
taylor(f(x),x=a,o) sorfejtés a megadott ordo-ig
![Page 5: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/5.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Taylor sorfejtés
Taylor sorfejtés
Egyváltozós függvények
taylor(f(x),x=a,o) sorfejtés a megadott ordo-ig
Típusa : series, konvertálható polinommá
![Page 6: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/6.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Taylor sorfejtés
Taylor sorfejtés
Egyváltozós függvények
taylor(f(x),x=a,o) sorfejtés a megadott ordo-ig
Típusa : series, konvertálható polinommá
Az együtthatók lekérdezhetok : coeftayl(...)
![Page 7: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/7.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Taylor sorfejtés
Taylor sorfejtés
Egyváltozós függvények
taylor(f(x),x=a,o) sorfejtés a megadott ordo-ig
Típusa : series, konvertálható polinommá
Az együtthatók lekérdezhetok : coeftayl(...)
order(..) : az Ordo lekérdezése
![Page 8: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/8.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Taylor sorfejtés
Taylor sorfejtés
Egyváltozós függvények
taylor(f(x),x=a,o) sorfejtés a megadott ordo-ig
Típusa : series, konvertálható polinommá
Az együtthatók lekérdezhetok : coeftayl(...)
order(..) : az Ordo lekérdezése
Többváltozós függvények
![Page 9: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/9.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Taylor sorfejtés
Taylor sorfejtés
Egyváltozós függvények
taylor(f(x),x=a,o) sorfejtés a megadott ordo-ig
Típusa : series, konvertálható polinommá
Az együtthatók lekérdezhetok : coeftayl(...)
order(..) : az Ordo lekérdezése
Többváltozós függvények
Utasítás : mtaylor(f,varlist, n, intlist)
![Page 10: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/10.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Taylor sorfejtés
Taylor sorfejtés
Egyváltozós függvények
taylor(f(x),x=a,o) sorfejtés a megadott ordo-ig
Típusa : series, konvertálható polinommá
Az együtthatók lekérdezhetok : coeftayl(...)
order(..) : az Ordo lekérdezése
Többváltozós függvények
Utasítás : mtaylor(f,varlist, n, intlist)
Eredménye : polinom.
![Page 11: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/11.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Taylor sorfejtés
Taylor sorfejtés
Egyváltozós függvények
taylor(f(x),x=a,o) sorfejtés a megadott ordo-ig
Típusa : series, konvertálható polinommá
Az együtthatók lekérdezhetok : coeftayl(...)
order(..) : az Ordo lekérdezése
Többváltozós függvények
Utasítás : mtaylor(f,varlist, n, intlist)
Eredménye : polinom.
Az együtthatók ugyanúgy lekérdezhetok
![Page 12: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/12.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Általános sorfejtés
Általános sorfejtés
series
![Page 13: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/13.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Általános sorfejtés
Általános sorfejtés
series
Utasítás : series(expr, eqn,n)
![Page 14: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/14.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Általános sorfejtés
Általános sorfejtés
series
Utasítás : series(expr, eqn,n)
Taylor − > Laurent − > Puisseux
![Page 15: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/15.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Általános sorfejtés
Általános sorfejtés
series
Utasítás : series(expr, eqn,n)
Taylor − > Laurent − > Puisseux
Saját függvény is adható meg : series/fA visszaadott adat típusának series-nek kell lennie.
![Page 16: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/16.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Általános sorfejtés
Általános sorfejtés
series
Utasítás : series(expr, eqn,n)
Taylor − > Laurent − > Puisseux
Saját függvény is adható meg : series/fA visszaadott adat típusának series-nek kell lennie.
A végtelenben : asympt(expr, var,n)
![Page 17: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/17.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Approximáció
A numapprox csomag
![Page 18: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/18.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Approximáció
A numapprox csomag
Hiba nagyságának a vizsgálata : infnorm(expr)
‖ f ‖∞= maxa<=x<=b | f (x) |
![Page 19: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/19.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Approximáció
A numapprox csomag
Hiba nagyságának a vizsgálata : infnorm(expr)
‖ f ‖∞= maxa<=x<=b | f (x) |
Padé approximáció : pade(expr,var [ord1,ord2])
![Page 20: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/20.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Approximáció
A numapprox csomag
Hiba nagyságának a vizsgálata : infnorm(expr)
‖ f ‖∞= maxa<=x<=b | f (x) |
Padé approximáció : pade(expr,var [ord1,ord2])
Csebisev polinomokkal :chebyshev(expr,x|a..b, ǫ)chebpade(expr,x|a..b, [m,n])
![Page 21: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/21.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Approximáció
A numapprox csomag
Hiba nagyságának a vizsgálata : infnorm(expr)
‖ f ‖∞= maxa<=x<=b | f (x) |
Padé approximáció : pade(expr,var [ord1,ord2])
Csebisev polinomokkal :chebyshev(expr,x|a..b, ǫ)chebpade(expr,x|a..b, [m,n])
A minimax approximáció : a
maxa<=x<=bw(x) | f (x) −p(x)
q(x)|
kifejezés minimalizálásával az összes p(x)q(x) racionális törtfv. fölött,
deg(q) <= n
![Page 22: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/22.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Hatványsorok
A powseries csomag
![Page 23: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/23.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Hatványsorok
A powseries csomag
Definiálás : powcreate(f(n)=expr)
![Page 24: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/24.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Hatványsorok
A powseries csomag
Definiálás : powcreate(f(n)=expr)
A tpsform(s,x,n) - "csonkolás" pontosságig
![Page 25: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/25.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Hatványsorok
A powseries csomag
Definiálás : powcreate(f(n)=expr)
A tpsform(s,x,n) - "csonkolás" pontosságig
Muveletek I: powadd, multiply, inverse
![Page 26: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/26.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Hatványsorok
A powseries csomag
Definiálás : powcreate(f(n)=expr)
A tpsform(s,x,n) - "csonkolás" pontosságig
Muveletek I: powadd, multiply, inverse
Muveletek II : compose ,reversion
![Page 27: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/27.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Hatványsorok
A powseries csomag
Definiálás : powcreate(f(n)=expr)
A tpsform(s,x,n) - "csonkolás" pontosságig
Muveletek I: powadd, multiply, inverse
Muveletek II : compose ,reversion
Muveletek III : powdiff, powint
![Page 28: Sorfejtések, approximáció Czirbusz Sándor …compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/kompalgr/2009...Sorfejtések Approximáció Hatványsorok Komputeralgebra rendszerek Sorfejtések,](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041722/5e4f3553c459936ae1392062/html5/thumbnails/28.jpg)
Sorfejtések Approximáció Hatványsorok
Hatványsorok
A powseries csomag
Definiálás : powcreate(f(n)=expr)
A tpsform(s,x,n) - "csonkolás" pontosságig
Muveletek I: powadd, multiply, inverse
Muveletek II : compose ,reversion
Muveletek III : powdiff, powint