Sonos competition t&c 3
7
IOSR Journal of Mathematics (IOSR-JM) e-ISSN: 2278-5728,p-ISSN: 2319-765X, Volume 7, Issue 3 (Jul. - Aug. 2013), PP 39-45 www.iosrjournals.org www.iosrjournals.org 39 | Page Some aspects of Harmonic Numbers which divide the sum of its Positive divisors. Pranjal Rajkhowa 1 , Hemen Bharali 2 1 (Department of Mathematics),Gauhati University. India 2 (Department of Basic Sciences),Don Bosco College of Engineering and Technology ,Guwahati ,India Abstract: In this paper some particular harmonic numbers n, where n divides σ(n) completely have been taken. Three types of numbers prime factorised as say, ,2 ,2 1 2 …… have been discussed and some propositions have been developed to understand the properties of these type of numbers. It has been observed that harmonic numbers n having . . . , = of the form , 2 , does not exist if p,q both of them are odd primes. Further some useful properties of the harmonic numbers of the form 2 , for some values of m have been discussed with the help of some propositions. After that an algorithm has been proposed to get the numbers of the form 2 1 2 …… , where n divides σ(n) completely. Keywords: Harmonic number, Mersene prime, Ore’s conjecture, Perfect number I. Introduction In 1948 Ore [9] introduced the concept of Harmonic numbers, and these numbers were named as Ore’s harmonic numbers(some 15 years later) by Pomerance[10].In general, the harmonic mean of positive numbers 1 , 2 , …… .., is defined by 1 =1 −1 A positive integer n is said to be harmonic if the harmonic mean of its positive divisors = () () is an integer, where () denotes the number of positive divisors and σ(n) denotes the sum of the positive divisors of n. We call 1 the trivial harmonic number. A list of harmonic numbers less than 2.10 9 have been given by Cohen [2]. This have been extended by Goto and Okeya [5] which is up to 10 14 . If n is a harmonic divisor number then there are two possibilities (i) . . . , = or (ii) . . . , ≠ .(i) implies that σ(n)=kn, where k is a positive integer. In fact if σ(n)=2n, then the numbers are called perfect numbers. Ore [9] proved that every perfect number is harmonic. But the converse is not true. For example, 140 is not perfect, but H(140)=5. Ore [4] conjectured that all harmonic numbers other than 1 must be even. In the present paper , we focus on those harmonic numbers which satisfies the property (i). Some examples of this kind of numbers are 6,28,496,672,8128,30240, …….In section 2, some properties of the numbers of the form where p,q are any prime numbers have been discussed. In section 3, the type of numbers have been extended to the form 2 . In section 4, the numbers have been further extended to the form 2 1 2 …… . In fact in this section a search technique have been obtained to get the numbers of the form . . . , = , where =2 1 2 …… . II. Some properties of harmonic numbers having . . . , = of the form Theorem 2.1 The only harmonic divisor number of the form , where and are prime numbers and . . . , = , is . Proof: Let = , where , are two prime numbers. Now =1+ + + . If n divides σ(n) completely then 1+ + + = , for some number k. Since n is a harmonic divisor number so | = 4. So the possible values of k are 1,2,4 . Since 1+ + ≠ 0 therefore ≠ 1. The other possible equations are 1+ + = or 1+ + =3. The possible values of are 1+ −1 , 1+ 3−1 . Now 1+ > 3− 1 => 2 < 2, which is not possible. Hence the only possible solutions are 2,3. Therefore 6 is the only harmonic divisor number of the form . Theorem 2.2 The only harmonic divisor number of the form , where are prime numbers such that . . . , = is .
-
Upload
marcel-lada -
Category
Documents
-
view
715 -
download
0
Transcript of Sonos competition t&c 3
Warunki Konkursu Sonos
1. Niniejszy konkurs (“Konkurs”) jest organizowany przez Blogmusik SAS (“Deezer”) i
mogą w nim wziąć udział wszyscy użytkownicyPremium lub Premium+ subskrybenci
zamieszkali w Polsce, powyżej 18 roku życia. Może być wymagane potwierdzenie
wieku. W konkursie nie mogą brać udziału pracownicy (lub członkowie rodziny
pracowników) dowolnej spółki grupy Deezer, spółek związanych z Konkursem oraz
wszystkich spółek stowarzyszonych takich spółek.
2. Przystępując do Konkursu uczestnik akceptuje niniejsze Warunki oraz uznaje je za
wiążące.
3. Deezer zastrzega sobie prawo zmiany Warunków w dowolnym momencie.
4. W celu wzięcia udziału w Konkursie, uczestnik musi wykonaćzadanie (dostępne na
stronie dedykowanej Konkursu na http://bit.ly/konkurssonos3)i wysyłając email na
adres: [email protected] o temacie “Konkurs Sonos 3”.
Uczestnicy muszą podać następujące informacje: imię i nazwisko, numer telefonu
komórkowego, login lub adres e-mail wykorzystywane do logowania się w serwisie
Deezeroraz nazwę miejscowości zamieszkania.
5. Każda osoba może przystąpić do konkursu tylko jeden raz.
6. Data rozpoczęcia: 20.05.2013 godz. 00:01.
7. Data zakończenia: 26.05.2013, godz. 23:59. Zgłoszenia otrzymane po dacie
zakończenia nie będą brane pod uwagę. Dowód zgłoszenia uczestnictwa nie będzie
stanowił dowodu przyjęcia zgłoszenia uczestnictwa w Konkursie oraz Deezer nie
ponosi odpowiedzialności za zagubione lub opóźnione zgłoszenia.
8. Deezer nie ponosi odpowiedzialności za jakiekolwiek błędy sieci, komputera,
sprzętu lub oprogramowania, które mogą ograniczać lub opóźniać wysłanie lub odbiór
zgłoszenia. Zgłoszenia do konkursu nie mogą zostać wysłane przez przedstawicieli
lub strony trzecie. Zgłoszenia niepełne oraz takie, które nie spełniają wymogów
niniejszych Warunków będą dyskwalifikowane i nie będą brane pod uwagę.
9. Jury składające się z dwóch (3) przedstawicieli Deezer Poland i jednego
przedstawiciela (1) Sonos wybierze trzy (3) osoby, które zostaną zwycięzcami
Konkursu, spośród osób, które dokonały pełnego, poprawnego i uprawnionego
zgłoszenia otrzymanego przed upływem Daty zakończenia.
10. Deezer powiadomi zwycięzców poprzez wysłanie wiadomości email bezpośrednio
na adres, z którego zwycięzca wysłał zgłoszenie do Konkursu. Każdy ze zwycięzców
musi potwierdzić odbiór takiej wiadomości w ciągu 24 godzin od jej wysłania. Deezer
opublikuje nazwiska zwycięzców na swojej stronie w serwisie Facebook.
11. Nagrody.
a) Zwycięzcy otrzymają następujące nagrody:
Zwycięzca 1 nagrody: jeden (1) głośnik bezprzewodowy Sonos Play3 o
wartości 1399 PLN w tym VAT.
Zwycięzca 2 nagrody: jeden (1) zestaw dwóch (2) oficjalnych
produktów Deezer składający się z jednej (1) koszulki oraz jednej (1)
torby, o wartości 100 PLN w tym VAT.
Zwycięzca 3 nagrody: jeden (1) zestaw dwóch (2) oficjalnych
produktów Deezer składający się z jednej (1) koszulki oraz jednej (1)
torby, o wartości 100 PLN w tym VAT.
b) Nagrody (lub dowolna ich część) nie mogą zostać zamienione na ich
równowartość w gotówce.
c) Nagrody (lub dowolna ich część) są bezzwrotne oraz niezbywalne.
Zwycięzcy oraz ich goście ponoszą wszelkie wydatki związane z odebraniem oraz
wykorzystaniem Nagród, w tym, lecz niewyłącznie, koszty podróży, zakwaterowania
oraz wyżywienia.
12. Jeżeli którykolwiek ze zwycięzców, z jakiegokolwiek powodu, nie jest w stanie
przyjąć Nagrody lub nie można się z nim skontaktować za pomocą wiadomości email
lub nie potwierdzi otrzymania od Deezer wiadomości, o której mowa w punkcie 10
niniejszych Warunków w ciągu 24 godzin od jej wysłania, Deezer zastrzega sobie
prawo przyznania Nagrody innemu uprawnionemu uczestnikowi.
13. Poza przypadkiem śmierci lub uszkodzenia ciała wynikającego z zaniedbania, lub
w związku z nadużyciem, oraz w granicach dozwolonych przez przepisy prawa,
Deezer i jej spółki stowarzyszone oraz agenci nie ponoszą odpowiedzialności
wynikającej z:
a) przełożenia na inny termin lub odwołania Konkursu, oraz
b) ze zmian dotyczących wykorzystania lub dostarczenia Nagrody (w tym,
między innymi, nagród, które nie dotrą do zamierzonych odbiorców), oraz
c) działania lub zaniechania ze strony jakiegokolwiek dostawcy będącego
stroną trzecią, będącego poza uzasadnioną kontroląDeezera.
14. Zwycięzcy wyrażają zgodę na wykorzystanie bez wynagrodzenia ich nazwisk i
wizerunków przez Deezer na potrzeby reklamy.
15. Poza powyższym przypadkiem wykorzystania nazwisk zwycięzców, Deezer
wykorzysta dane osobowe każdego zwycięzcy oraz każdego uczestnika w celach
administracyjnych niniejszego Konkursu. Polityka Prywatności Deezer jest dostępna
na: http://www.deezer.com/de/legal/personal-datas.php.
16. Jeżeli uczestnik wyraził na to zgodę, Deezer oraz jej partnerzy biznesowi mogą
wykorzystać dane podane przez uczestnika w formularzu zgłoszenia do celów działań
marketingowych prowadzonych za pomocą telefonu, poczty, poczty elektronicznej lub
wiadomości SMS.
17. Prawem właściwym dla wykładni niniejszego Konkursu oraz wszelkich sporów lub
roszczeń wynikających z niego lub w związku z nim jest prawo Francji. Uczestnik
nieodwołalnie wyraża zgodę na to, że sądy Francji są wyłącznie właściwe do
rozpatrywania wszelkich sporów lub roszczeń, które mogą wyniknąć z niniejszego
Konkursu lub w związku z nim.
Deezer jest częścią: Blogmusik SAS, z siedzibą pod adresem 12 Rued’Athènes, 75009
Paryż, Francja.
![Sonos 5500 Service Manual[1]](https://static.fdocuments.net/doc/165x107/54fb01b84a7959434c8b47b5/sonos-5500-service-manual1.jpg)
