Semejanza

1. Polígonos semejantes.

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma y diferente tamaño. Es decir, es

como si fueran ampliaciones o reducciones de una misma figura.

Son semejantes

Son semejantes

(Inciso: las dos primeras figuras no es necesario que las copiéis en la libreta).

Vamos con ejemplos geométricos, que es lo que nos interesa.

- Está claro que dos cuadrados cualesquiera son semejantes.

- Sin embargo, dos rectángulos no tienen por qué ser semejantes:

Esos dos se ve a simple vista que no son semejantes.

¿Y estos dos? ¿Son semejantes?

Parece que sí. Pero en Matemáticas las cosas no son “quizá sí”, o “parece que sí”.

Necesitamos criterios para estar seguros. El criterio es el siguiente:

Dos polígonos son semejantes si cumplen las dos condiciones siguientes:

a) Sus ángulos homólogos son iguales.

b) Sus lados homólogos son proporcionales.

Esa palabra “homólogos” significa lo siguiente:

En esas dos figuras: el lado a es homólogo al lado a’, el lado b es homólogo al lado b’, y así

sucesivamente. El ángulo A es el homólogo al ángulo A’, el ángulo B es el homólogo al

ángulo B’ , ….. Es decir, cada uno con “el que le toca”.

Que los lados homólogos sean proporcionales significa que al dividir cada lado de un

polígono entre el lado homólogo del otro polígono, el resultado es el mismo.

Ejercicio resuelto 1:

1,5 cm 3 cm

4 cm 8 cm

8 : 4 = 2

Luego los lados son proporcionales.

3 : 1,5 = 2

Y los ángulos son todos de 90º

Luego cumplen las dos condiciones y por tanto son semejantes.

Su razón de semejanza es k = 2.

Ejercicio resuelto 2 (ejercicio 34 del libro).

a) Al ser dos rectángulos, la condición de que tengan sus ángulos iguales se cumple siempre.

Tenemos que ver si se cumple la otra condición.

8,4 : 7 = 1,2 3,6 : 3 = 1,2

Por tanto son semejantes y su razón de semejanza es k = 1,2.

b) 7 : 5 = 1,4

4,8 : 4 = 1,2 No son semejantes.

Pregunta: ¿Es suficiente con que se cumpla solo una de las dos condiciones

para que dos polígonos sean semejantes?

Respuesta: no. Se tienen que cumplir las dos.

Vamos a verlo con dos ejemplos:

Esos dos rectángulos no son semejantes: cumplen la condición a (sus ángulos homólogos

son iguales), pero no cumplen la b (sus lados homólogos no son proporcionales).

Lo que he hecho es “estirar” el rombo por los lados, como si fuera de elástico.

Esos dos rombos cumplen la condición b (sus lados son proporcionales, de hecho es que

miden lo mismo), pero no cumplen la condición a (sus ángulos no son iguales).

Por tanto, para decidir si dos polígonos son semejantes tenemos que comprobar las dos

condiciones, no basta con una.

Excepto para el caso de triángulos, que vamos a estudiar aparte.

2. Semejanza de triángulos.

Dos triángulos son semejantes si cumplen una de las tres condiciones siguientes:

a) Sus ángulos homólogos son iguales.

b) Sus lados homólogos son proporcionales.

c) Dos de sus lados homólogos son proporcionales y el ángulo que forman es igual.

Es decir, para decidir si dos triángulos son o no semejantes, basta con comprobar una de esas

tres condiciones (la que nos venga mejor en cada caso). Si se cumple una, se cumplen las

otras sin necesidad de comprobarlo. Y si no se cumple una, no se cumple ninguna.

Ejercicio resuelto 3.

2 cm 6 cm

4 cm

12 cm

¿Son semejantes? ¿Cuál es la razón de semejanza?

Conocemos dos lados homólogos de cada uno y el ángulo que forman (90º). Luego lo más

fácil es usar el criterio c). Vamos a ver si los lados son proporcionales:

12 : 4 = 6 : 3 = 2

Por tanto sí, son semejantes por el criterio c) y la razón de semejanza es 2.

Ejercicio resuelto 4. Un triángulo rectángulo T1 tiene un ángulo agudo de 35º, y otro

triángulo rectángulo T2 tiene un ángulo agudo de 55º. ¿Son semejantes ambos

triángulos?

Puesto que solo conozco ángulos, usaré el criterio a).

El triángulo T1 : tiene un ángulo de 35º , otro de 90º (porque es rectángulo), y como entre los

tres ángulos de un triángulo suman 180º, el tercer ángulo es de 180 – 90 – 35 = 55º. Es decir,

sus ángulos son: 90º, 35º, 55º.

El triángulo T2 : tiene un ángulo de 55º , otro de 90º (porque es rectángulo), y como entre los

tres ángulos de un triángulo suman 180º, el tercer ángulo es de 180 – 90 – 55 = 35º. Es decir,

sus ángulos son: 90º, 35º, 55º.

Por tanto sus ángulos son iguales, y los triángulos son semejantes por el criterio a).

Ejercicio resuelto 5. Los lados de un triángulo miden 3, 4 y 5 cm. Y los de otro 6, 7 y 8

cm. ¿Son semejantes ambos triángulos?

Como solo conozco lados, usaré el criterio b). ¿Cómo sé cual es el homólogo de cada lado?

Pues el mayor ( 8 ) con el mayor ( 5 ), el mediano ( 7 ) con el mediano ( 4 ) y el pequeño ( 6 )

con el pequeño ( 3 ).

8 : 5 = 1,6 7 : 4 = 1,75 6 : 3 = 2 No son semejantes.

Ejercicio resuelto 6. Razona si son semejantes las siguientes figuras:

a) Dos triángulos equiláteros cualesquiera.

a a b b

a

b

Al ser equiláteros, sus lados son iguales, y por tanto al dividir uno entre otro siempre sale lo

mismo:

𝑏

𝑎 =

𝑏

𝑎 =

𝑏

𝑎 Luego sus lados son proporcionales.

Por tanto, son semejantes por el criterio b).

b) Dos triángulos rectángulos cualesquiera.

No.

Esos dos son triángulos rectángulos y claramente no son semejantes: ni tienen los lados

homólogos proporcionales, ni tienen sus ángulos homólogos iguales.

c) Dos triángulos isósceles cualesquiera.

No.

Estos dos son isósceles y no son semejantes.

Ejercicio resuelto 7. Estos dos triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados

que faltan.

Como nos dicen que son semejantes, sabemos que los lados homólogos son proporcionales:

15

𝑥 =

20

8 → 15 ∙ 8 = 20 ∙ x → x =

120

20 = 6

𝑦

7 =

20

8 → 20 ∙ 7 = 8 ∙ y → y =

140

8 = 17,5

Ejercicio resuelto 8.

Sabiendo que estas dos figuras son semejantes, y que el ángulo D = 60º

calcula el ángulo A y los lados que faltan.

A

2 x y 3,6

3 D

4,5

Si son semejantes, tienen sus lados homólogos proporcionales:

4,5

3 =

3,6

𝑥 → 3 ∙ 3,6 = 4,5 ∙ x → x =

10,8

4,5 = 2,4

4,5

3 =

𝑦

2 → 2 ∙ 4,5 = 3 ∙ y → y =

9

3 = 3

Tenemos que ver ahora como calculamos el ángulo A. Por ser semejantes, sus ángulos

homólogos son iguales. El homólogo al ángulo A es B.

B

2 x

3 D

Aquí tenemos que usar algo que no sé si recordáis, pero que yo os recuerdo: los cuatro

ángulos de un cuadrilátero suman siempre 360º.

Como hay dos ángulos rectos y D = 60º, el ángulo B = 360 – 90 – 90 – 60 = 120º.

Por tanto A = 120º.

3. Relación entre los perímetros y las áreas de polígonos semejantes.

Ejercicio resuelto 9. Los dos rectángulos siguientes son semejantes con razón de

semejanza k = 2. Halla el área y el perímetro del rectángulo mayor de dos formas

diferentes.

1,5 cm y

4 cm x

1ª forma. Como son semejantes, sus lados son proporcionales, es decir:

x = 2 ∙ 4 = 8 cm, y = 2 ∙ 1,5 = 3 cm

Por tanto, el perímetro del rectángulo mayor es 8 + 8 + 3+ 3 = 22 cm.

Y su área es 8 ∙ 3 = 24 cm2.

2ª forma. Perímetro del pequeño= 1,5 +1,5 +4 +4 = 11cm →Perímetro del mayor =11∙ 2 = 22

Área del pequeño = 4 ∙ 1,5 = 6 cm2

→ Área del mayor = 6∙ 22 = 24 cm

2.

Si dos polígonos son semejantes con razón de semejanza k, entonces :

Perímetro2 = k ∙ Perímetro1

Área2 = k2 ∙ Área1

Ejercicio resuelto 10. Dos pentágonos regulares tienen áreas 7 y 343 cm2. Si el lado del

menor es 2 cm, halla el perímetro del mayor.

Dos polígonos regulares son siempre semejantes, porque tienen sus lados y sus ángulos

iguales. Por tanto, podemos aplicar la relación que hay entre áreas de figuras semejantes.

Área mayor = k2 ∙ Área menor → 343 = k

2 ∙ 7 → k

2 = 49 → k = 7.

Por tanto, si el lado del menor es 2 cm , el del mayor será 2 ∙ 7 = 14 cm.

Ejercicios propuestos.

1) Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm y 6 cm. Calcula el área y las dimensiones de otro

rectángulo semejante a él, sabiendo que al dividir el área del mayor entre la del menor se

obtiene 9

4 .

2) Dado un trapecio isósceles de 4 cm de altura y bases 8 y 6 cm, construimos otro semejante

a él de razón de semejanza 1,5. Calcula el área del segundo por dos métodos.

3) Un pozo tiene 1,5 m de ancho; situándonos a 1 m del borde, desde una altura de 1,74 m,

observamos que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo. ¿Qué profundidad

tiene el pozo?

1,74 m

1,5 m

1m

4) Las sombras de cuatro árboles miden, a las cinco de la tarde, 12 metros, 8 metros, 6 metros

y 4 metros, respectivamente. El árbol pequeño tienen una altura de de 2,5 metros. ¿Qué altura

tienen los demás?

Ejercicios propuestos del libro.

36, 38, 39, 58, 90, 99, 100, 101.