Sommaire de la séquence 2 -...

Sommaire de la séquence 2

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Je découvre deux propriétés dites « des milieux » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Je découvre la troisième propriété dite « des milieux » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42J’applique les propriétés « des milieux » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44J’utilise les propriétés des milieux dans des situations concrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Je découvre la propriété de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51J’applique la propriété de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56J’effectue des exercices de synthèse - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59J’effectue des exercices de synthèse - fin - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit

respectifs. Tous ces éléments font l’objet d’une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que

par les conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent être utilisés qu’à des fins strictement personnelles. Toute

reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d’un cours

ou d’une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits.

©Cned-2009

Objectifs Effectuer des démonstrations .

Connaître et utiliser les trois propriétés des milieux .

Connaître et utiliser la propriété de Thalès .

© Cned – Académie en ligne

© Cned, Mathématiques 4e — 35

Séquence 2séance 1 —

Séance 1Je découvre deux propriétés dites « des milieux »

Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n° 2.

Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses.

je révise les acquis de la 5e 1- Sur la figure ci-dessous :

A

B

C

DE

® E est le milieu de [AC]® (DB) est la médiatrice de [AC]® (AC) est la médiatrice de [BD]® ABCD est un losange

2- Parmi les figures ci-dessous, lesquelles permettent de prouver que (IJ) est parallèle à (CB) ?

®

IJ

BC

O

®

I J

A

BC

37°

®

I J

BC

®

I

J B

C

(d)

3- De ces deux tableaux, quel est celui qui correspond à un tableau de proportionnalité ?

®10 20 156 12 9

®

24 4 2618 3 20

4- Sur la figure ci-dessous :

A I B C

®

AB

AC=

3

5

®

AC

AB=

3

5

® AB = 3 cm et AC = 5 cm

®

AB = 3

5 AC

Nous allons maintenant commencer cette séquence. Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et écris : « SÉQUENCE 2 : TRIANGLE : MILIEUX ET PARALLÈLES ». Fais de même avec ton cahier d’exercices.Effectue l’exercice suivant sur ton livret.


— © Cned, Mathématiques 4e36

Séquence 2 — séance 1

Exercice 1 Manon, Hugo, Quentin et Noémie ont tracé chacun un triangle ABC, puis ils ont placé

les points I et J au milieu respectivement de [AB] et de [AC].

MANON HUGO QUENTIN

NOEMIE TA FIGURE

A

A A

A

B

B

B

B

C C

C

C

II

I

I

J

J

J

J

1- Que remarques-tu concernant la droite (IJ) ? Est-ce vrai pour chaque figure ?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

2- Que remarques-tu concernant les longueurs IJ et CB ? Cela semble-t-il vrai pour chaque figure ?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

3- À ton tour, trace un triangle ABC et la droite (IJ) comme ci-dessus. Qu’observes-tu ?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

4- Es-tu d’accord avec Noémie qui affirme : « Puisque c’est vrai sur toutes nos figures, cela signifie que c’est vrai dans n’importe quel triangle ABC »

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices. Télécharge le logiciel Geocned sur le site du collège du cned et lance cette application. Elle va te permettre de construire des figures géométriques « vivantes » !




A

B

J I

C

I ∈ [AB]J ∈ [AC]

Exercice 21- Le but est de construire la figure ci-contre avec Geocned.

a) Construis trois points A, B et C. Indication technique : pour construire un point A, va

dans « créer », puis dans « points » puis clique sur « quelconque ». Entre « A » comme nom pour le point.

b) Trace le triangle ABC. Indication technique : va dans « créer », puis dans

« polygone », puis choisis « défini par ses sommets ». Entre ensuite A, puis B, puis C, puis enfin appuie sur la

touche « Entrée » pour construire le triangle.

c) Construis I le milieu de [AB], J le milieu de [AC]. Indication technique : pour construire I le milieu de [AB],

va dans « créer », puis dans « points » puis clique sur « milieu d’un segment ». Entre ensuite le nom du point « I », puis le segment « [AB] ».

d) Mesure les longueurs IJ et BC. Indication technique : pour mesurer la longueur IJ, va dans « afficher », puis « mesure », et clique

sur « longueur ». Entre ensuite par exemple « IJ » comme nom de mesure, puis « I » et « J » pour les points. Clique ensuite sur le volet « mesure ». Il se déplie et tu peux alors lire IJ.

Fais calculer le quotient des longueurs IJ et BC. Indication technique : pour faire calculer ce quotient, va dans « afficher », puis « mesure », et clique

sur « quotient de longueurs ». Entre ensuite par exemple « IJ/BC » comme nom de mesure, puis « I », « J », « B » et « C » pour les points.

2- Déplace successivement les points A, puis B, puis C.

a) Comment semblent être (IJ) et (BC) ?

b) Que peux-tu dire de IJ et de BC ? Indication technique : Pour déplacer le point A, clique sur le point, puis, en maintenant le bouton enfoncé, déplace la

souris.

Effectue l’exercice ci-dessous directement dans ton livret.

Exercice 3 On a la figure ci-contre :

On cherche à démontrer que (IJ) est parallèle à (BC) et que IJ = BC

2.

1- Construis le point M, symétrique de I par rapport à J.

2- Démontre que AICM est un parallélogramme en utilisant le plan de démonstration suivant :

On sait que ......................................................................

Or, ...................................................................................

On en déduit que .............................................................

3- Démontre que (IB) est parallèle à (MC) :

On sait que ......................................................................................................................

Or, ..................................................................................................................................

On en déduit que .............................................................................................................

A

B

CI

J




4- Démontre que AI = MC puis déduis-en : IB = MC :

On sait que ...................................................................................................................

Or, ................................................................................................................................

On en déduit que ..........................................................................................................

.....................................................................................................................................

5- Déduis de ce qui précède que IBCM est un parallélogramme :

On sait que ....................................................................................................................

Or, ................................................................................................................................

On en déduit que ..........................................................................................................

6- Conclus :

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

Les deux conjectures de la première partie sont maintenant démontrées. Cela signifie qu’elles sont toujours vraies. Lis attentivement l’encadré ci-dessous puis recopie-le sur ton cahier de cours.Tu reproduiras soigneusement les figures en respectant les couleurs.

e retiens PROPRIÉTÉS DES MILIEUX

Propriété 1 : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.

A

B C

I J

A

B C

I J

DONC

I milieu de [AB]J milieu de [AC]

(IJ) // (BC)

Je sais que : J'en déduis que :

Propriété 2 : Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.

A

B C

I J

A

B C

I J

DONC

I milieu de [AB]J milieu de [AC]

IJ =


BC 2

j



Lis attentivement le paragraphe suivant et retiens-le.

je comprends la méthodeMontrer que (IJ) et (BC) sont parallèles

A

BC

I J

3 cm

I ∈ [AB]

J ∈ [AC]

Je vois, grâce aux codages, que l’on connaît les milieux de deux côtés.Grâce à la propriété 1, je vais pouvoir en déduire que des droites sont parallèles.Je rédige alors la démonstration de la façon suivante :

Je sais que : Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC].

Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.

J’en déduis que : (IJ) est parallèle à (BC).

Calculer la longueur IJ.Je vois, grâce aux codages, que l’on connaît les milieux de deux côtés et la longueur BC.Grâce à la propriété 2, je vais pouvoir calculer la longueur IJ.Je rédige alors la démonstration de la façon suivante :

Je sais que : Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] ; J est le milieu de [AC] et BC = 3 cm.

Or, dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.

J’en déduis que : IJ = BC2

32

= soit IJ = 1,5 cm.

Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d’exercices, en appliquant les méthodes ci-dessus.

Exercice 41- Trace un triangle ABC quelconque. Place I le milieu

de [AB], J le milieu de [AC] et le milieu K de [BC]. Trace le quadrilatère IJCK. Quelle question es-tu amené(e) à te poser ?

2- Si tu possèdes un ordinateur, fais cette question. Si tu n’en as pas, passe à la question 3.

Construis trois points A, B et C. Construis I le milieu de [AB], J le milieu de [AC] et K

le milieu de [BC]. Trace le quadrilatère IJCK et colorie-le en rouge. Indication : Pour tracer IJCK, va dans « Créer », puis dans

« polygone », puis dans « défini par ses sommets ». Entre ensuite I, puis J, puis C, puis K, puis appuie sur la touche « Entrée ».

Déplace les points A, B et C. Quelle semble être la nature de IJCK ?


A

B C

I

K

J



3- Montre que (IJ) est parallèle à (BC).

4- Montre que (IK) est parallèle à (AC).

5- Que peux-tu en déduire pour le quadrilatère IJCK ?

6- Pouvais-tu déterminer la nature du quadrilatère IJCK d’une autre façon ?

Exercice 51- Trace un rectangle ABCD tel que BD = 8 cm et BC = 3 cm. Place M le milieu de [CD] et N

le milieu de [BC].

2- Détermine MN.

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n° 1. Effectue ensuite la série 2 de cette fiche.

Séance 2Je découvre la troisième propriété dite « des milieux »

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.

Exercice 61- Si tu possèdes un ordinateur, passe directement à la

question 2.

Trace un triangle ABC quelconque. Place I le milieu de [AB]. Trace ensuite la parallèle à (BC) passant par I. Cette droite coupe (AC) en J. Mesure AJ et JC.

Que remarques-tu ?

2- Effectue la construction proposée dans la question précédente à l’aide de Geocned.

Fais afficher les longueurs AJ et CJ.

Déplace successivement les points A, B et C. Que remarques-tu ?

Lis attentivement la propriété ci-dessous puis recopie-la sur ton cahier de cours.Tu reproduiras soigneusement les figures en respectant les couleurs.

e retiens Propriété 3 (admise)

Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un secondcôté, alors elle coupe le troisième côté enson milieu.

j


A

B C

I J

AJ = 3.4578CJ = 3.4578

mesures

A

B C

I J

A

B C

I J

DONC

I milieu de [AB](IJ) // (BC)

J milieu de [AC]





je comprends la méthodeMontrer qu’un point est le milieu d’un segment :

Je sais d’après l’énoncé que : I est le milieu de [AC] et (IJ) // (BC).Grâce à la propriété 3, je vais pouvoir déduire que J est le milieu de [AB].Je rédige alors la démonstration de la façon suivante :

Je sais que : Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AC] et (IJ) est parallèle à (CB).Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.J’en déduis que : J est le milieu de [AB].

Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.

Exercice 7Écris pour chacune des figures ci-dessous ce que tu peux démontrer à l’aide des propriétés des milieux et précise quelle propriété il faut utiliser : 1- 2- 3-

A

B

I

JC

E

GF

L

K

EG = 3 cmGF = 4 cm

6 cm

P J N

I

M

• Je peux démontrer que ………………………………..

à l’aide de la propriété ………







• Je peux démontrer que

………………………………..


• Je peux ensuite démontrer que

………………………………..


Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices, en appliquant les méthodes vues précédemment.

Exercice 8Aide : Pense à coder la figure au fur et à mesure de l’exercice.

1- Construis un triangle ABC tel que :

AB = 7 cm BC = 5 cm AC = 4 cm

Place I le milieu de [BC] , K le milieu de [AC]. Place J le point du segment [AB] tel que (IJ) est parallèle à (AC).


A

B

C

IJ

(IJ) // (BC)

J ∈(AB)



2- Montre que (IK) est parallèle à (AB).

3- Montre que J est le milieu de [AB]

4- Montre que (JK) est parallèle à (BC).

5- Déduis des trois premières questions la nature des quadrilatères IJAK et IJKC.

6- Calcule la longueur IJ en cm.

7- Calcule le périmètre p de BIJ en cm.

Exercice 91- Construis un rectangle ABCD. La médiatrice du segment [AB] coupe [AB] en I et [DC] en

J. Les droites (AJ) et (BC) se coupent en K.

2- Montre que (IJ) est parallèle à (BK).

3- Montre que J est le milieu de [AK].

S’il te reste du temps, réponds à la question suivante :

4- Montre que C est le milieu de [BK].

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°2. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche.

Séance 3J’applique les propriétés des milieux

Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 101- Construis un cercle de centre O et de rayon 4 cm.

Trace un diamètre [AB] de ce cercle.

C est un point du cercle tel que : CB = 3 cm.

D est le symétrique de B par rapport à C.

2- Montre que (OC) est parallèle à (AD).

3- Calcule la longueur AD en cm.

4- Déduis-en que le triangle ABD est isocèle en A.

Exercice 111- Construis un quadrilatère quelconque ABCD, puis place I, J, K, et L les milieux respectifs

de [AB], [BC], [CD] et [DA]. Quelle semble être la nature du quadrilatère IJKL ?




2- Si tu ne possèdes pas d’ordinateur, passe directement à la question 3.

Ouvre le logiciel Geocned et construis la figure de la question 1. Tu représenteras en blanc le quadrilatère ABCD et en rouge le quadrilatère IJKL.

Indication technique :

Commence par créer quatre points A, B, C et D. Va dans « Créer », puis dans « polygone », puis dans « défini par ses sommets ». Entre ensuite A, puis B, puis C, puis D, puis appuie sur la touche « Entrée ».

Créer ensuite les milieux de chacun des côtés du quadrilatère.

Déplace ensuite les sommets du quadrilatère ABCD (essaie les cas où le quadrilatère est croisé !), et observe le quadrilatère IJKL. Quelle semble être sa nature ?

3- Manon et Quentin pensent que IJKL est un parallélogramme. Lindsay pense que c’est un losange, et Noémie pense que c’est un quadrilatère quelconque.

a) Essaie de prouver quelle est la nature exacte de IJKL. Si, au bout de 5 minutes, tu es bloqué, passe à la question suivante.

b) Manon aimerait prouver à Lindsay que IJKL est un parallélogramme. Pour cela, elle aimerait prouver que (IJ) // (LK). Le professeur suggère à Manon de commencer par prouver que : (IJ) // (AC).

Saurais-tu aider Manon à prouver que : (IJ) // (AC) et (IJ) // (LK) ?

c) Quentin se souvient d’une propriété vue en 5e : « Si deux côtés opposés d’un quadrilatère non croisé sont parallèles et ont la même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme ».

Il a déjà prouvé que : (IJ) // (LK). Il aimerait donc prouver : IJ = LK.

Le professeur suggère à Quentin d’essayer de prouver que les distances IJ et LK sont égales à une même troisième.

Saurais-tu aider Quentin ?

d) Quelle est la nature exacte du quadrilatère IJKL ?

4- Lindsay dit qu’elle a remarqué quelque chose d’intéressant : d’après elle, le périmètre de IJKL est égal à la somme des longueurs des diagonales de ABCD. Qu’en penses-tu ?



A

B C

DI

K

J

L

A

B D

CI

K J

L



Séance 4J’utilise les propriétés des milieux dans des situations concrètes

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices. Construis une figure pour t’aider à réfléchir, en notant bien les informations de l’énoncé.

Exercice 12Une bascule est une balançoire dont l’un des siège s’élève quand l’autre s’abaisse. La bascule est posée en son milieu, sur un support vertical mesurant 1 m de haut.1- Démontre que : (BE) // (CD)

2- Prouve que E est le milieu de [AD].

3- À quelle hauteur maximale, en m, un enfant peut-il s’élever ?

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices. Construis une figure pour t’aider à réfléchir, en notant bien les informations de l’énoncé. Nomme les points avec des lettres de ton choix.

Exercice 13Le voilier ci-contre est composé d’un mât mesurant 3,3 m de haut. La voile (supposée triangulaire) est maintenue par une bôme (horizontale) de 2,6 m et une barre horizontale, fixée à égale distance de la bôme et du haut du mât.

Quelle est la longueur de la barre horizontale ?

Effectue l’activité suivante sur ton cahier d’exercices. Tu pourras effectuer les tracés de ton choix directement sur ton livret.Commence par chercher tout seul pendant dix minutes.Lis ensuite la remarque de Manon.Cherche encore cinq minutes puis lis la remarque d’Hugo.Cherche encore cinq minutes puis lis ensuite les remarques d’Ali et de Noémie et essaie de résoudre cet exercice.


1 m

?B

C

D

EA

le sol est horizontal

bôme

barre horizontale

0,3 m

3,3 m



Exercice 14

Jack le Terrible, grand pirate du Pacifique, est à la recherche du trésor des Marquises.

D’après ses calculs, ce trésor doit se trouver sur l’île de Hiva Oa.

Le pirate a tracé sur la carte ci-contre un triangle ABC reliant les trois îles :

A : Ua Huka B : Ua Pou

C : Hiva Oa.

Malheureusement, cette carte a été en partie détruite au cours d’une longue bataille.

Aide Jack à retrouver une estimation de la distance qui sépare l’île de Ua Pou de celle d’Hiva Oa.

Attention : la carte est le seul document qui est à ta disposition. Tu n’as donc pas le droit d’effectuer de tracés en dehors de cette carte.

La remarque de Manon : « Je n’ai pas le droit de tracer en dehors de la carte, mais je peux effectuer autant de tracés que je veux à l’intérieur ».

La remarque d’Hugo : « Sur la carte, il y a 3,6 cm entre A et B. D’après l’échelle, cela correspond à une distance réelle de 72 km. »

La remarque d’Ali : « Si je trace la droite parallèle à la droite (AC) passant par le milieu de [AB], j’obtiens les données d’une propriété que je connais. Je dois sûrement pouvoir en déduire BC. »

La remarque de Noémie : « Si je trace la droite parallèle à la droite (BC) passant par le milieu de [AB], j’obtiens les données d’une propriété que je connais. Je dois sûrement pouvoir en déduire BC. »

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°4. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche.

20 km

A

BC

Ua Huka

Ua Pou

Hiva Oa




Séance 5Je découvre la propriété de Thalès

Effectue l’exercice suivant dans ton cahier d’exercices.

Exercice 15Parmi les quatre cas ci-contre, il y a un intrus !

Dans trois des quatre cas ci-contre, on peut passer du triangle de gauche à celui de droite d’une certaine façon. Laquelle ? Quels sont les trois cas concernés ? Que peux-tu dire alors des deux triangles ?

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le soigneusement dans ton cahier de cours.

e retiens On multiplie par un même nombre les trois longueurs d’un triangle. Cela permet de tracer un nouveau triangle.

• Si on a multiplié par un nombre plus grand que 1, le nouveau triangle est un agrandissement du triangle de départ.

• Si on a multiplié par un nombre plus petit que 1, le nouveau triangle est une réduction du triangle de départ.

Exemples :1 2

1 2

Le triangle 2 est un agrandissement du Le triangle 2 est une réduction du triangle 1 triangle 1(on a multiplié par 2 les dimensions). (on a multiplié par

3

4 les dimensions).

j




Effectue l’exercice suivant à la fois dans ton livret et dans ton cahier d’exercices.

Exercice 16Dans toutes les figures ci-dessous :• le triangle ABC est tel que : AC = 3 cm AB = 6 cm CB = 4 ,5 cm.• on a : F ∈ [AC) E ∈ [AB) (FE) // (CB)• l’unité de longueur est le centimètre.

1- Complète le tableau du cas 1 sans faire aucune mesure (pense aux propriétés déjà vues dans la séquence). Complète ensuite le tableau suivant à l’aide de mesures (sauf pour AE).

cas 1 cas 2

AF = ..............

AC = 3

AE = ..............

AB = 6

FE = ..............

CB = 4,5

AF = .............. AE = .............. FE = ..............

AC = 3 AB = 6 CB = 4,5

A

F E

C B

A

F E

C B

2- Complète les tableaux des cas 3 et 4 en faisant des mesures (sauf pour AE que tu peux calculer).

Pour le cas 3, vérifie sur ta figure que la longueur AF proposée est la bonne.

cas 3 cas 4

AF = 0,75

AC = 3

AE = ..............

AB = 6

FE = ..............

CB = 4,5

AF = .............. AE = .............. FE = ..............

AC = 3 AB = 6 CB = 4,5

A

F E

C B

A

F E

CB

cas 3 cas 4




3- Que peux-tu dire des tableaux des cas 1, 2, 3 et 4 ? Que peux-tu en déduire concernant le triangle AEF et le triangle ABC pour les quatre cas ?

4- Si tu possèdes un ordinateur, effectue cette question. Ouvre la figure appelée seq2_exercice16 à l’aide de Geocned. On va essayer de voir si la remarque semble être toujours vraie pour tous les triangles ABC et AEF tels que :

• F est un point de [AC) • E est un point de [AB)

• (CB) // (FE)

Déplace les points A, B et C, ainsi que le point F.

Remplis alors les quatre tableaux ci-dessous, chacun pour des positions différentes de A, B, C et F. Que peux-tu dire de ces tableaux ?

AF = .............. AE = .............. FE = ..............

AC = .............. AB = .............. CB = ..............

AF = .............. AE = .............. FE = ..............

AC = .............. AB = .............. CB = ..............

AF = .............. AE = .............. FE = ..............

AC = .............. AB = .............. CB = ..............

AF = .............. AE = .............. FE = ..............

AC = .............. AB = .............. CB = ..............

Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le soigneusement dans ton cahier de cours.

e retiens PROPRIÉTÉS DE THALÈS

Propriété (admise)

Si ABC et AEF sont deux triangles tels que :

• E est un point de [AB)

• F est un point de [AC)

• (EF) est parallèle à (BC)

alors les longueurs des côtés correspondants de ces deux triangles sont proportionnelles.

Remarque :

Les longueurs des côtés correspondants de ces deux triangles sont proportionnelles revient à dire que le tableau

longueurs des côtés de AEF AE AF EFlongueurs des côtés de ABC AB AC BC

est un tableau de proportionnalité.

j

A

C B

F E

AF = 1.45AC = 4.35AE = 1.30AB = 3.9FE = 1CB = 3

mesures

A

B

E F

C

1er cas : E ∈ [AB] et F ∈ [AC]le triangle ABC est

un agrandissement du triangle AEF

A

E

B C

F

2ème cas : E ∈ [AB) mais E ∉[AB] F ∈ [AC) mais F ∉[AC]

le triangle ABC est une réductiondu triangle AEF




Effectue les trois exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 17À l’aide de la figure ci-contre représentée à main levée, calcule RV.

Exercice 18Il y a longtemps, à peu près en 600 avant J.C., un homme appelé Thalès de Milet a réussi à mesurer la hauteur d’une pyramide (celle de Kheops), ce qui était très difficile. Pour cela, il a juste utilisé… son ombre et sa tête !

Il est parti du principe simple qu’à un certain moment de la journée, la longueur de son ombre était égale à sa taille.

Lorsque le moment est arrivé, Thalès s’est placé de façon que le haut de son ombre coïncide avec le haut de l’ombre de la pyramide. Il a ensuite mesuré sa distance à la pyramide, et sa distance au haut de son ombre.

Il a dit alors : « À cet instant précis, la hauteur de cette pyramide est égale à la longueur de son ombre, je sais donc que cette pyramide mesure environ 136 m ! ».

Peux-tu expliquer le raisonnement de Thalès ?

Exercice 19

Le tableau2 a

est un tableau de proportionnalité (b ≠ 0).3 b

Sais-tu prouver que : a

b=

2

3 ?

Aide : À quoi est égal 2

3×b ?

R

S

T

U

V

(SU) // (RV) S ∈[TR) U ∈[TV)

6 cm

2 cm

2,6 cm

A

E

B C F

134,3 m 1,7 m





e retiens b, d et f sont trois nombres différents de 0.

Si le tableaua c e

est un tableau de proportionnalité, alors on a :

a

b

c

d

e

f= =

.b d f

j

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 20Démontre que si ABC et AEF sont deux triangles tels que :




alors on a l’égalité : AE

AB

AF

AC

EF

BC= = .


e retiens PROPRIÉTÉ DE THALÈS :

Si ABC et AEF sont deux triangles tels que :




alors on a l’égalité :

AEAB

AFAC

EFBC

= =

Remarque :

• A E

A B

A F

A C

E F

B C A est le sommet commun aux deux triangles ABC et AEF.

• On a aussi : AB

AE

AC

AF

BC

EF= =

car le tableau

longueurs des côtés de ABC AB AC BClongueurs des côtés de AEF AE AF EF

est également un tableau de proportionnalité.

j


A

B

E F

C

1er cas : E ∈ [AB] et F ∈ [AC]le triangle ABC est

un agrandissement du triangle AEF

A

E

B C

F

2ème cas : E ∈ [AB) mais E ∉[AB] F ∈ [AC) mais F ∉[AC]

le triangle ABC est une réductiondu triangle AEF




Séance 6J’applique la propriété de Thalès


je comprends la méthodeCalculer EB

E ∈ [AD]

B ∈ [AC]

(EB) // (DC)

Voici trois méthodes permettant de répondre à la question posée :

Méthodes 1 et 2 : application de la propriété de ThalèsJe rédige de la façon suivante :Dans le triangle ADC :• E est un point de [AD)• B est un point de [AC)• (EB) est parallèle à (DC).

Je commence par écrire les données qui permettent d’appliquer la propriété de Thalès.

J’annonce que j’applique la propriété de Thalès

J’écris les égalités de quotients. Pour cela, je repère sur la figure le petit triangle et le grand triangle dont les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles : ici AEB et ADC.

J’écris toutes les longueurs connues sous forme numérique.

J’isole le quotient qui contient la longueur que je veux calculer et un quotient de nombres.

J’applique la propriété de Thalès :

AE

AD

AB

AC

EB

DC= =

2

5 4= =

AB

AC

EB

2

5 4=

EB

Ensuite, on peut conclure de deux façons :Méthode 1 :• On a une égalité de fractions, donc les produits en croix sont égaux : 2 × 4 = EB × 5

On a vu dans la séquence 1 que si deux quotients sont égaux, alors les produits en croix sont égaux.

EB est le nombre qui multiplié par 5 donne 2 × 4 soit 8, donc :

On applique ensuite la définition d’une fraction.

EB = =8

51 6,

soit EB = 1,6 cm. L’avantage de cette méthode par rapport à la

suivante est que l’on peut toujours l’appliquer.


A

B

C

D

E

4 cm5

cm

2 cm

(EB) // (DC)



Méthode 2 :

• Le nombre qui divisé par 4 donne

2

5 est 4

2

5× .

EB = × = =42

5

8

51 6,

soit EB = 1,6 cm.

Dans cette méthode, on revient au sens de la division.

Par exemple, le nombre qui divisé par 2 donne 3 est 2 × 3.

3ème Méthode

• E est un point de [AD) • B est un point de [AC) • (EB) est parallèle à (DC)

D’après le cours, les longueurs des côtés correspondants des triangles AEB et ADC sont proportionnelles.

Le coefficient de proportionnalité entre la série AE, AB, EB et entre la série AD, AC, DC est5

2 soit 2,5. La longueur EB est donc :

4

2 5, soit 1,6 cm.

Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.

Exercice 21Pour chacune des figures ci-dessous, complète le tableau et rédige ensuite soigneusement la démarche te permettant de calculer la longueur en cm du côté marqué d’un « ? », en utilisant la propriété de Thalès.

1-

............nom du côté du

petit triangle ............ ............


grand triangle ............ ............

J'écris les données :

Je calcule :

..............................................................

..............................................................

..............................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

J'applique la propriété de Thalès :

= =..............

..............

..............

..............

..............

..............

A

E B

CD

7 cm

1 cm

2 cm

?

(EB) // (DC)


E ∈ [AD]B ∈ [AC]



2-


petit triangle ............ ............


grand triangle ............ ............


Je calcule :

..............................................................

..............................................................

..............................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................


= =..............

..............

..............

..............

..............

..............

C

?

(AE) // (DB)

7 cm

3 cm

4 cm

A

B

DE

3-

............ nom du côté du

petit triangle ............ ............

............ nom du côté du

grand triangle ............ ............


Je calcule :

..............................................................

..............................................................

..............................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................


= = ..............

..............

..............

..............

..............

..............

?

A

B

C D

E

2,5 cm

6,5 cm

7,5 cm

(DB) // (AE)B ∈ [AC] D ∈ [EC]

Effectue les trois exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 22ABC est un triangle tel que : AB = 6 cm BC = 5 cm AC = 5,5 cm

E est un point du segment [AB] tel que BE = 2 cm. La parallèle à la droite (AC) passant par E coupe [BC] en F. Calcule, en cm, la longueur BF, puis la longueur EF.

Tu donneras la valeur arrondie au dixième des résultats.


B ∈ [AC]D ∈ [CE]



Exercice 23MNP est un triangle tel que : MN = 5 cm NP = 6 cm PM = 4 cm

R est un point de [PM] tel que PR = 1 cm. La parallèle à la droite (PN) passant par R coupe (MN) en S. Calcule, en cm, les longueurs RS et SN.

Exercice 24Manon, Noémie, Quentin et Hugo ont rédigé chacun une démonstration en rapport avec la figure ci-contre. Malheureusement, aucune de leur démonstration n’est parfaitement rédigée.

Trouve l’erreur ou ce qu’il manque dans chacune des copies puis corrige-les.

Copie de Manon : Copie de Noémie : Copie de Quentin : Copie d’Hugo :


Séance 7J’effectue des exercices de synthèse

Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 25Sur la figure ci-contre, ABCD est un parallélogramme tel que :

AB = 5 cm ; BC = 3 cm.

E est un point de la demi-droite [BC) tel que : CE = 4 cm.

Les droites (AE) et (DC) se coupent en F.

Calcule, en cm, la longueur FC.

Donne l’arrondi au dixième du résultat.

A

B

E

D F

G

C

B ∈ [AC]

F ∈ [EG]

D ∈ [EC]

• D est un point de [EC)

• F est un point de [EG)

• (DF) // (CG)

J’applique la propriété de Thalès :ED

EC

EF

EG

DF

CG= =

J’applique la propriété de Thalès :CB

CA

CD

CE

AE

BD= =

• B est un point de [CA)

• D est un point de [CE)

• (BD) // (AE)

J’applique la propriété de Thalès :AB

BC

ED

DC

AE

BD= =

• B est un point de [CA)

• D est un point de [CE)

• (BD) // (AE)

J’applique la propriété de Thalès :CB

CA

CD

CE

BD

AE= =

A B

C

E

FD

5 cm

4 cm

3 cm

?




Pour l’exercice ci-dessous, traduis l’énoncé par une figure géométrique, nomme les points et écris toutes les informations de l’énoncé sur cette figure.

Exercice 26Thomas veut louer un appartement dans un immeuble situé près de la mer.

Une maison est malheureusement construite entre la plage et son immeuble.

À quelle hauteur minimale doit se situer son appartement pour que Thomas puisse apercevoir un bout de la plage de chez lui ?

Exercice 27On considère la figure ci-contre.1- Explique pourquoi [BE] et [AP] sont des médianes du

triangle ABC.

2- Prouve que (EH) est parallèle à (AP).

3- Prouve que

BG

BE =

2

3

Exercice 28Tracer un triangle EBD rectangle en B tel que : EB = 9 cm et BD = 3 cm.

Tracer le cercle de centre B passant par D. Il coupe le segment [EB] en C.

Tracer la droite perpendiculaire à la droite (BE) passant par le point C.

Elle coupe le segment [ED] en A.1- Construis la figure.

2- Calcule, en cm, la longueur AC.

Exercice 29ABCD est un losange de centre O tel que : AB = 5 cm et DB = 4 cm.

E est un point du segment [DB] tel que : EB = 1 cm.

Tracer la droite parallèle à la droite (AB) passant par E. Elle coupe la droite (AD) en F.

Tracer la droite perpendiculaire à la droite (BD) passant par B. Elle coupe la droite (AD) en G.1- Construis la figure.

2- Calcule, en cm, la longueur FE.

3- Calcule, en cm, la longueur DG.

Effectue l’exercice suivant s’il te reste du temps et si tu possèdes un ordinateur.

mer

plage maison immeuble

10 m 10 m

5m

10 m

A

B PIC

E

G

H


E ∈ [AC] ; B, I, P, H, C sont alignés.



Exercice 301- Trace un cercle C de centre O et de rayon 3,6 cm. Place : • un point A tel que : OA = 12 cm • un point M sur C • un point B sur [OA] tel que :

AB AO=

1

3 .

Trace la droite parallèle à (OM) et passant par B. Elle coupe [AM] en N.

On veut savoir sur quelle ligne se déplace N lorsque M décrit C ? (c’est-à-dire se « promène » sur C )

Pour cela, télécharge le fichier séquence2_exercice 30 et ouvre-le avec Geocned. Déplace le point M sur le cercle.

2- Peux-tu faire une conjecture à propos de la ligne sur laquelle se déplace le point N ?

3- Peux-tu démontrer quelle est la ligne sur laquelle se déplace le point N ? Trace cette ligne sur ta figure. Aide : essaie de prouver que BN = 1,2 cm !


Séance 8J’effectue des exercices de synthèse –suite–

Effectue les quatre exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

Exercice 31ABC est un triangle tel que : AC = 5 cm ; BC = 6 cm ; ACB∑ = 80°

E est un point du segment [AC] tel que : AE = 2 cm.

F est un point du segment [AB] tel que : CEF∑

= 100°.

1- Construis la figure.

2- Calcule, en cm, la longueur EF.

Exercice 32Le ski de vitesse est une épreuve où les concurrents descendent sur une piste, à grande vitesse et sans faire de virage.Le départ de la course a lieu à 2 700 m d’altitude et l’arrivée à 2 200 m d’altitude. Chaque skieur parcourt une distance de 1 220 m, en suivant une trajectoire qu’on supposera ici rectiligne. Lorsque la zone d’élan se termine, les skieurs ont déjà parcouru 450 m. À quelle altitude, en m, se trouvent-ils à ce moment-là ? Tu donneras une valeur approchée du résultat au mètre près.

O B A

N

M

zone d'élan

départ :altitude 2 700 m

arrivéealtitude 2 200 m




Exercice 33Le bâton de Jacob est un ancien instrument de mesure. Inventé au XIVème siècle, il sert notamment à mesurer des longueurs inaccessibles, comme par exemple, la largeur d’une rivière.

Il est constitué d’une perche de 5 pieds de long sur laquelle une autre perche de 2 pieds de long est fixée, perpendiculaire en son milieu à la première. On considère dans cet exercice qu’un pied correspond environ à 30 cm.1- Dans cette question, on veut connaître la largeur

de la rivière ci-contre. Pour cela, Louis et ses deux amis Jean et Paul se placent des deux côtés de la rivière de façon à ce que Louis puisse voir ses deux amis en visant dans les directions définies par le bâton de Jacob (dessinées en pointillés sur le schéma ci-contre).

Paul et Jean sont alors à 12 m l’un de l’autre.

Écris le raisonnement qu’a ensuite fait Louis pour calculer la largeur de la rivière. On suppose que les rives de la rivière sont parallèles.2- Pour répondre à cette question, commence par chercher

seul pendant 10 min. Lis ensuite la remarque d’Ali. Cherche encore 5 min puis lis la remarque de Quentin. Cherche à nouveau 5 min puis regarde la remarque de Manon. Cherche à nouveau 5 min puis lis la remarque d’Hugo. Essaie ensuite de résoudre cet exercice.

Louis se trouve maintenant devant un donjon.Aide Louis à trouver une astuce pour calculer la hauteur de ce donjon à l’aide du bâton de Jacob.Le but de cet exercice n’est pas de trouver précisément la hauteur de la tour mais de trouver une méthode qui permettrait de la calculer, en manipulant astucieusement le bâton de Jacob.La remarque d’Ali : « Il suffit de viser le haut de la tour avec le bâton de Jacob. »La remarque de Quentin : « La perche de 2 pieds de long du bâton de Jacob doit rester bien verticale mais du coup, je ne vois plus le haut de la tour. »La remarque de Manon : « En montant sur un escabeau, on doit pouvoir viser le haut de la tour tout en gardant la perche de 2 pieds de long du bâton de Jacob bien verticale. »La remarque d’Hugo : « Oui, mais si la tour est vraiment très haute, ton escabeau ne sera pas assez grand … »

Exercice 34Construis un segment [AB] de longueur 4 cm. Construis le cercle de centre A et de rayon 3 cm.C est le point du segment [AB] tel que : AC = 2,5 cm.La droite perpendiculaire à la droite (AB) passant par C coupe le cercle en deux points M et N.Trace la droite perpendiculaire à la droite (AB) passant par B. Elle coupe (AM) en E et (AN) en F.1- Construis la figure.

2- Calcule, en cm, la longueur AE.

rivière

Louis

Paul

Jean

?

?




Effectue l’exercice ci-dessous s’il te reste du temps et si tu possèdes un ordinateur. Tu répondras sur ton livret et sur ton cahier d’exercices.

Exercice 351- À partir de la figure ci-contre, place P le milieu de [JK], Q le

milieu de [IK], R le symétrique de Q par rapport à I, et S le point d’intersection de (RP) et [JI].

2- Lindsay fait la même construction que toi et dit : « J’ai l’impression que IJ est quatre fois plus grand que IS ». À l’aide de mesures, essaie de voir si tu es d’accord avec Lindsay.

3-

On voudrait savoir si cette remarque semble valable avec n’importe quel triangle. Trace un triangle de ton choix dans le cadre suivant, fais à nouveau la construction, et compare IJ et IS.

4- Si tu possèdes un ordinateur, télécharge le fichier séquence2_exercice35 et ouvre-le avec Geocned. Déplace les points, I, J, et K. Que remarques-tu ?

5- Noémie aimerait savoir si on a toujours : IJ = 4 IS.

Elle n’a pas beaucoup d’idées…

a) Son professeur lui suggère de démontrer : (IS) // (QP). Saurais-tu faire cette démonstration ?

b) Lindsay et Ali ont prouvé que : (IS) // (QP). Ils disent savoir à présent comparer IS et QP. Saurais-tu le faire toi-aussi ?

c) Ali dit que s’il savait à présent comparer QP et IJ, il saurait comparer IS et IJ. Saurais-tu à présent terminer la démonstration ?

I J

K

P

R

S

Q

I J

K




Effectue l’exercice ci-dessous s’il te reste du temps

Exercice 36Sur le schéma ci-contre, on a représenté une salle de spectacle vue de côté.

Elle fait 50 m de long sur 15 m de haut.

La scène est composée d’une estrade de 2 m de haut et de 4 m de large.

Au bout de l’estrade, on installe un haut-parleur dont les dimensions sont indiquées sur le schéma ci-contre. On supposera que la partie [BF] du haut-parleur est parfaitement verticale.

Le son se diffuse à partir du haut-parleur de façon conique. Autrement dit, sur notre schéma : la qualité du son est satisfaisante à l’intérieur de la partie délimitée par les pointillés [BC] et [FG].

À 6 m de l’estrade, on élève des gradins pour les spectateurs.

1- À quelle hauteur maximale, en m, doit-on élever les gradins pour que les spectateurs du dernier rang reçoivent un son de bonne qualité ?

2- Chaque gradin s’élève de 20 cm à chaque rangée. Combien de rangées va-t-on pouvoir installer ?


Séance 9J’effectue des exercices de synthèse –fin–

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 37Le but de l’exercice est de valider une méthode permettant de partager un segment [AB] de longueur quelconque en parts égales, sans avoir besoin d’utiliser les graduations de la règle.

On peut utiliser un compas, une règle non graduée et une équerre.1- Partage d’un segment en 5 parts égales

Dans cette question, on veut partager un segment [AB] en 5 parts égales, puis placer un

point E’ sur ce segment tel que : AE’ = 3

5 AB.

2 m gradinsestrade

4 m AB

F

50 m

6 m

15 m

G

C

D

A

B

E

F

1 m

0,4 m




a) Trace un segment [AB] de longueur quelconque, puis trace une demi-droite [Ax) telle que (Ax) ne soit pas confondue avec (AB).

b) Place des points C, D, E, F et G sur [Ax) tels que : AC = CD = DE = EF = FG.

c) Trace la droite (BG), puis trace les droites (d1), (d2), (d3) et (d4) parallèles à (GB) et passant respectivement par C, D, E et F. Elles coupent le segment [AB] respectivement en C’, D’, E’ et F’.

d) Montre que le point E’ vérifie : AE’ = 3

5 AB.

2- Partage d’un segment en 7 parts égales

Construis un autre segment [AB].

Utilise une démarche semblable à celle utilisée dans la question précédente pour partager

ce segment [AB] en 7 parts égales et placer un point Y tel que : AY = 57

AB.

Cette fois, ne justifie pas ta construction.

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche directement la ou les bonnes réponses sur ton livret. Une fois les dix questions traitées, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.

je m’évalue

1- En tenant compte des

renseignements notés

sur la figure ci-contre,

on peut démontrer

que :

® (AB) // (DC)

® EF = FB

® AE = AB

® ABCD est un rectangle

2- En utilisant une

propriété des

milieux, je peux

démontrer que :

® F est le milieu de [BC]

® (DE) // (BC)

® (EF) // (BA)

® BC = 2 cm.3- Dans quel(s) cas a-t-on : AB = 3 ?

® AB

7

9

21= ®

1

6 2=

AB

®

9 12

6AB=

®

15

10

4 5=

,

AB

A B

CD

F

E

A

B

C

DF

E5 cm

1 cm




Dans les quatre figures ci-dessous, (BD) et (AE) sont parallèles, B ∈ [AC] et D ∈ [EC].

figure 1 figure 2 figure 3 figure 4

A

B

C

D

E

1,5

31

2

A

B

C

D

E3

1

2

6

A

B

C

D

E

2

1,5

6

A

B

C

D

E

2

63

4,5

4- Quelle est la bonne écriture de la propriété de Thalès dans chacune des figures ci-dessus ?

®

AB

BC

ED

DC

BD

AE= =

®

CB

CA

CD

CE

BD

AE= =

®

BC

AC

DC

EC

AE

BD= =

®

AC

BC

EC

DC

AE

BD= =

5- Pour quelle(s) figure(s) peut-on calculer la longueur BD ?

® figure 1 ® figure 2 ® figure 3 ® figure 46- Dans les figures pour lesquelles on peut calculer BD, quel résultat trouves-tu pour BD ?

® BD = 4 ® BD = 3

® BD = 9 ® BD = 6BCDE est un parallélogramme.

A, B, G et D sont alignés, F, B et C sont alignés,

E, H et D sont alignés, E, G et C sont alignés,

C, D et I sont alignés, B, H, I sont alignés.

On considère la figure ci-dessus :7- Pour calculer la longueur HD, on peut utiliser : ® la propriété 1 des milieux ® la propriété 2 des milieux ® la propriété 3 des milieux ® la propriété de Thalès8- Pour calculer la longueur FB, on peut utiliser : ® la propriété 1 des milieux ® la propriété 2 des milieux ® la propriété 3 des milieux ® la propriété de Thalès9- Pour montrer que les droites (GD) et (EI) sont parallèles, on peut utiliser : ® la propriété 1 des milieux ® la propriété 2 des milieux ® la propriété 3 des milieux ® la propriété de Thalès10- Pour montrer que H est le milieu du segment [BI], on se place : ® dans le triangle BIE ® dans le triangle BIC ® dans le quadrilatère BDIE ® dans le triangle BID

A

FG

B C

DE H

I

4 cm

1,5 cm



Sommaire de la séquence 2 -...

Documents

Transcript of Sommaire de la séquence 2 -...