SOMAS DE SÉRIES

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  • FERNO COUCEIRO DA COSTA

    SOMAS DE SRIES NO SENTIDO GENERALIZADO

    Factores de convergncia

    PORTO IMPRENSA PORTUGUESA

    Rua Formosa,116

    1931

  • tsrom

    SOMAS DE SRIES NO SENTIDO GENERALIZADO

    Factores de convergncia

  • F E R N O C O U C E I R O DA C O S T A

    SOMAS DE SRIES NO SENTIDO GENERALIZADO

    Factores de convergncia

    PORTO IMPRENSA PORTUGUESA

    Rua Formosa, 116

    1931

  • Dissertao para o concurso a um lugar de professor catedrtico da Seco de Matemtica da Faculdade de Scincias da Universidade do Porto (1. grupo).

  • PREFCIO

    Abel e Cauchy, notando a falta de rigor da Anlise no sculo xvm, puseram em evidencia o cuidado que necessrio na aplicao das sries.

    A seguir aos seus trabalhos, qusi foram abandonadas as sries divergentes. Porm, o Sr. Borel e outros Matemticos mostraram, recen-temente, que no justa esta forma de proceder e que as sries diver-gentes so susceptveis de representar um papel importante na Anlise.

    Um estudo a que procedemos, sobre sries de Fourier, mostrou--nos bem, quanto justa aquela afirmao e conduziu-nos, natural-mente, para o campo das sries divergentes.

    claro, que o trabalho que apresentamos, no tem a preteno de conter uma exposio completa sobre sries divergentes. Seria essa exposio demasiadamente longa, imprpria para constituir uma dis-sertao de concurso.

    Para obter somas de sries, no sentido generalizado, empre-gamos factores de convergncia.

    0 primeiro capitulo desta dissertao contm generalidades sobre o modo de obter estas somas, e condies a que devem satisfazer os factores de convergncia. Trata tambm, especialmente, duas sucesses de factores de convergncia, que conduzem a resultados, de que faze-mos aplicao nos dois captulos seguintes.

  • Seguindo a norma, que nos parece indiscutvel, que num trabalho sobre Anlise se devem pr em evidncia as aplicaes a que uma certa teoria conduz, os captulos segundo e terceiro referem-se a duas aplicaes interessantssimas da teoria das sries divergentes.

    O captulo segundo constitudo por uma ligeira aplicao teoria do prolongamento analtico, intimamente ligada ao estudo das sries divergentes.

    claro que, o que expomos, susceptvel de generalizaes. Mas, estas obrigai-nos-iam a alargar demasiadamente este trabalho.

    O captulo terceiro trata das sries de Fourier, tendo sobretudo em vista mostrar as vantagens, que para o seu estudo provm da exposio dos assuntos do primeiro captulo.

    Porto, Novembro de 1930.

  • CAPTULO I

    MTODOS SOMATRIOS DAS SRIES

    I GENERALIZAO DO CONCEITO DE SOMA DUMA SRIE

    1 ) Segundo a teoria clssica das sries, estas so de duas naturezas diferentes convergentes e divergentes.

    Nessa teoria, as primeiras tm uma soma e as segundas no a tm.

    possvel, porm, modificando convenientemente a definio de soma, atribuir somas a certas sries divergentes. A estas lti-mas chamamos somas no sentido generalizado, e corresponder--lhes h um mtodo somatrio, diferente do que se emprega com as sries convergentes.

    Antes de tudo, notemos que para ter valor um processo que conduza generalizao da noo de soma duma srie, indis-pensvel que as definies obedeam a determinados preceitos. Assim, tratando-se de sries numricas, a soma no sentido gene-ralizado deve fazer corresponder a cada srie da classe que se considera, um nmero tal que a sua substituio pela srie con-duza a resultados exactos ou, pelo menos, qusi sempre exactos. Tratando-se de sries de termos variveis, as somas no sentido generalizado devem ser as funes, que do origem a essas sries.

    necessrio tambm, para que se trate realmente duma generalizao, que a classe das sries, s quais seja aplicvel um certo mtodo para obter a soma no sentido generalizado,

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    compreenda a classe das sries convergentes. esta a condio de permanncia, e um mtodo que conduza a somas generalizadas dizse regular, quando se respeita esta condio.

    A eficcia dum mtodo est tambm ligada possibilidade de efectuar operaes com as sries da classe correspondente e forma como nos conduz a proposies gerais, que apresentem como casos particulares teoremas conhecidos, da teoria clssica das sries convergentes.

    Conforme o expe o Sr. Borel, numa teoria de sries divergentes deve atribuirse uma soma a sries que a no tinham. Mas, essa teoria deve permitir, por clculos efectuados sobre tais sries, demonstrar resultados que, enunciados independentemente de toda a introduo de sries divergentes, constituam proposies rigorosas, ligadas s teorias clssicas. Alm disso, para que sejam possveis aplicaes, necessrio que as regras do clculo possam aplicarse s sries divergentes estudadas.

    Existem vrios mtodos somatrios, que nos conduzem a somas generalizadas das sries. Ns consideraremos apenas mtodos que se obtm, empregando factores de convergncia.

    2) Mtodos somatrios por factores de convergncia.

    Seja dada uma srie

    (1) "o + " i H " 2 + +"+

    e a ela faamos corresponder uma sucesso infinita de funes dum parmetro r: fu(r),

  • 11

    Se 5(r) tiver um limite determinado, quando r tender para r0, chamamos a este limite soma generalizada de ( I ). cor-respondente sucesso de factores de convergncia empregada.

    Para que ;te mtodo seja regular, no pode ser arbitrria a escolha dos factores de convergncia.

    O teorema seguinte, do Sr. scar Perron, fundamental na teoria :

    Seja cp((A) [ ' = 0 , I, 2 . . . ] uma sucesso infinita de fun-es do parmetro r, que obedeam ds duas condies:

    a) lim. tp,(/-) = I

    b) lim. 2J J 1j{r) T/+i(f) I , Atp. absolutamente convergente e as somas 5 0

    so limitadas, absolutamente convergente a srie Y A-.p.5..

  • 12

    A funo ~-2A*

  • 13

    Por mais pequeno que seja o nmero positivo e possvel fazerlhe corresponder um nmero inteiro p, tal que a desigualdade | S. 5 | < jj seja satisfeita para todos os valores de / > p.

    Temos:

    | | f t : (s / f ) | < | % (Si-S ) | "I" | A?/ ( / S) | 0 0 pf 1

    o

    Atendendo ento a (a), resulta:

    o

    o que demonstra o teorema.

    Observao. As condies do teorema sero satisfeitas, se os factores de convergncia constiturem uma sucesso de funes positivas, inferiores unidade, decrescentes, e obedecendo condio Hm.

  • 1-1

    evidente que estes factores de convergncia correspondem a um mtodo somatrio regular, porque so satisfeitas as condi-es do teorema de scar Perron.

    Pondo ( - J L . ) W , vem

    0 < / , + 1

  • 15

    4) Uma pregunta surge naturalmente:

    Para qualquer sucesso de factores de convergncia, dando origem a somas no sentido generalizado e obedecendo s condies do teorema de Perron, sero concordantes os resultados ?

    Dum modo geral a resposta no pode ser afirmativa. Um exemplo justifica a resposta.

    Consideremos a srie de Euler

    1 1 -f 1-1 + . . . + ( - ! ) " + . . .

    e procuremos obter a sua soma no sentido generalizado, empre-gando a sucesso de factores de convergncia referida no ltimo nmero.

    Temos: 1

    Continuemos a supor 0 < / < 1 e determinemos a soma gene-ralizada da mesma srie, correspondente sucesso

    I l", tm, t" + m, 2"', tn+2m, t3'",... l i > > 0 ] >

    que tambm nos conduz a um mtodo somatrio regular. Vem:

    S = lim. = t=\ \ lm '"

    O Sr. Borel chama cannica a toda a sucesso de factores de convergncia, que aplicada srie

    I + Z + 22+ . . . + Z - f . . .

    conduza a uma soma no sentido generalizado da forma ,

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    para valores de 2 a que no correspondem pontos da semi--recta (+ 1, o ).

    Assim, se uma sucesso infinita

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    5) As sucesses cannicas de factores de convergncia tm uma importncia especial, por serem aquelas que conduzem a resultados notveis na teoria do prolongamento analtico.

    Com efeito, seja / (x) uma funo analtica, holomorfa na vizinhana do ponto 0.

    No interior do crculo de convergncia, que supomos de raio finito, sabemos que :

    Suponhamos determinada a estrela da funo, relativa a 0, e representemos por C uma curva fechada, interior a esta estrela.

    Temos tambm, para os pontos x interiores a C:

    " . I f /U)d

    i i p x"+l/(i)ii/

    = a,.4-a. x-\-a9x 4- ... + a,,/' A I .

    Procuremos obter a soma generalizada da srie Y tfx" (con-vergente ou no, conforme o domnio em que se tomem os valo-res JC), empregando um mtodo somatrio regular, correspon-dente a uma sucesso de factores de convergncia f,(r).

    Se o valor x e a sucesso forem tais que a srie Y

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    Suponhamos ainda que V ? , [ - ) tenda uniformemente para o

    o limite :, quando tende para zero: ~7

    Neste caso, temos mais:

    hm. ) fl.jr'(p. = - i-L = j(x).

    Conclumos, portanto, como enunciamos, que as sucesses cannicas esto indicadas naturalmente para serem empregadas com xito no prolongamento analtico das funes, no sendo de modo algum arbitrria a escolha da funo r-, que interveio na definio apresentada no ltimo nmero.

    Baseados no teorema nele demonstrado e no que acaba de ser dito, podemos, raciocinando sobre a srie Y zn, deduzir con-dies relativas s sucesses e ao domnio onde se pode efectuar o prolongamento analtico.

    Assim, suponhamos a srie Y y.z' convergente para qualquer

    valor de r, numa rea 5 interior estrela da funo -j, rela-tiva a 0, e de modo que o limite

    seja atingido uniformemente. A sucesso cannica que seja considerada, aplicada srie

    de termo geral anzn, faz-lhe corresponder uma soma generalizada, que coincide com a funo, quando os pontos x e curvas C sejam escolhidos de maneira que, tomando t um valor qualquer sobre a curv