Somas de Riemann e Integração Numérica

Cálculo 2– Prof. Aline Paliga

Introdução

1.1 Áreas e distâncias

1.2 Integral Definida

Problemas de tangente e de velocidade

Derivada

Problemas de área e distância

Integral Definida

1.1 Áreas e distâncias

O PROBLEMA DA ÁREA

, ,0S x y a x b y f x

Achar a área de uma região S que está sob a curva y=f(x) de a até b. Isto significa que S está limitada pelo gráfico de uma função contínua f (onde ), as retas verticais x=a e x=b e o eixo x.

Qual o significado da palavra área?

( ) 0f x

EXEMPLO 1

No entanto, não é tão fácil encontrar a área de uma região com lados curvos. Uma ideia similar à que usamos para definir uma tangente, aproximando a inclinação da reta tangente por inclinações de retas secantes e então tomamos o limite dessas aproximações. Aqui aproximaremos a região S por retângulos e então tomamos o limite das áreas desses retângulos à medida que aumentamos o número de retângulos. Use retângulos para estimar a área sob a parábola abaixo:

Suponha que S seja dividida em quatro faixas .

Podemos aproximar cada faixa por um retângulo de base igual à largura da faixa e altura igual ao lado direito da faixa.

1 2 3 4, , S S S e S

Alturas são valores da função nas extremidades direitas dos subintervalos: Subintervalo Altura

2

2

1 10,

4 4

1 1 1,

4 2 2

2

2

1 3 3,

2 4 4

3,1 1

4

2 2 2

2

4

1 1 1 1 1 3 1 15. . . . 1 0,46875

4 4 4 2 4 4 4 32R

0,46878A

2 2 2

2

4

1 1 1 1 1 1 3 7. 0 . . . 0,21875

4 4 4 4 2 4 4 32L

0,21875 0,46878A

0,2734375 0,3984375A

8 80,2734375 0,3984375L R

0,3333335A

Dos valores da tabela parece que aproxima-se de à medida que aumentamos n. Vamos confirmar isso: EXEMPLO 2: Para a região S do Exemplo , mostre que a soma das áreas dos retângulos aproximantes superiores tende a , isto é: RESOLUÇÃO:

1lim

3n

nR

2 2 2 21 1 1 2 1 3 1

...n

nR

n n n n n n n n

1/ 3

1/ 3

nR

1

2 2 2 2

2

1 1. 1 2 3 ... n

n n

2 2 2 2

3

11 2 3 ... n

n

Utilizamos aqui a fórmula para a soma dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos (demonstrada no Apêndice E do Stewart):

2 2 2 21 2 1

1 2 3 ...6

n n nn

3 2

1 2 1 1 2 11

6 6n

n n n n nR

n n

2

1 2 1 1 1 2 1lim lim lim

6 6n

n n n

n n n nR

n n n

1 1 1 1 1lim 1 2 .1.2

6 6 3n n n

1lim lim

3n n

n nA R L

Vamos usar regiões S mais gerais que a do Exemplo Começamos por subdividir S em n faixas como na figura abaixo: A largura do intervalo [a,b] é b-a; assim, a largura de cada uma das faixas é: Essas faixas dividem o intervalo [a,b] em n subintervalos:

b ax

n

0 1 1 2 2 3 1, , , , , ,..., ,n nx x x x x x x x

1 2.e

Onde As extremidades direitas dos subintervalos são:

1

2

3

2

3

...

x a x

x a x

x a x

1 2 ...n nR f x x f x x f x x

0 .nx a e x b

DEFINIÇÃO:

A área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes:

1 2lim lim ...n nn n

A R f x x f x x f x x

0 1 1lim lim ...n nn n

A L f x x f x x f x x

Podemos tomar a altura do i-ésimo retângulo como o valor de f em qualquer número no i-ésimo subintervalo

* * *

1 2lim ... nn

A f x x f x x f x x

Pontos amostrais

*

ix 1[ , ].i ix x

Usando a notação de somatória (sigma): 1 2

1

...n

i n

i

f x x f x x f x x f x x

1

1

1

*

1

lim

lim

lim

n

in

i

n

in

i

n

in

i

A f x x

A f x x

A f x x

O PROBLEMA DA DISTÂNCIA

Estimar a distância percorrida por um carro durante um intervalo de tempo de segundos. Distância = velocidade x tempo

(7,5 5) (9,4 5) (10,6 5) (12,8 5) (14,2 5) (13,9 5) 342m

(9,4 5) (10,6 5) (12,8 5) (14,2 5) (12,5 5) 367m

1

1 1

lim ( ) lim ( )n n

i in n

i i

d f t t f t t

30

1.2 A integral definida

DEFINIÇÃO:

Se f é uma função contínua definida em a≤x≤b, dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimentos iguais . Sejam as extremidades desses subintervalos, escolhemos os pontos amostrais nesses subintervalos, de forma que esteja no i-ésimo subintervalo Então a integral definida de f de a a b é

desde que este limite exista. Se ele existir, dizemos que f é integrável em [a,b]

* * * *

1 2

1

lim lim ...n

i nn n

i

A f x x f x x f x x f x x

*

1

( ) limnb

ia n

i

f x dx f x x

( ) /x b a n

* * *

1 2, ,... nx x x0 1 2( ), , ,... ( )nx a x x x b

*

ix 1[ , ].i ix x

( )f x

Sinal de integral introduzido por Leibniz

*

1

n

i

i

f x x

Integrando

,a b Limites de integração, inferior e superior

Soma de Riemann

( ) ( ) ( )b b b

a a af x dx f t dt f r dr

“Uma mente criativa, ativa e

verdadeiramente matemática, e de uma

originalidade gloriosamente fértil”

Gauss

1826 1866

Se f(x)≥0

*

1

n

i

i

f x x

A soma de Riemann é a soma de áreas de retângulos

( )b

af x dx

A integral é a área sob a curva y=f(x) de a até b

Se f(x)assumir valores positivos e negativos:

A soma de Riemann é a soma das áreas dos retângulos rosas menos os azuis

1 2( )b

af x dx A A

CÁLCULO DE INTEGRAIS

Para trabalhar com somas precisamos de três fórmulas para as somas de potências de inteiros positivos:

1

( 1)

2

n

i

n ni

2

1

( 1) 2 1

6

n

i

n n ni

2

3

1

( 1)

2

n

i

n ni

1

n

i

c nc

1 1

n n

i i

i i

ca c a

1 1 1

( )n n n

i i i i

i i i

a b a b

1 1 1

( )n n n

i i i i

i i i

a b a b

EXEMPLO 3:

A. Calcule a soma de Riemann para tomando como

pontos amostrais as extremidades direitas e a=0, b=3 e n=6

B. Calcule

RESOLUÇÃO:

A. Com n=6, o comprimento de intervalo é

As extremidades direitas são:

Logo a soma de Riemann é:

33

0( 6 )x x dx

3 0 1

6 2

b ax

n

6

6

1

i

i

R f x x

3( ) 6f x x x

1 2 3 4 5 60,5, 1, 1,5, 2, 2,5 3.x x x x x e x

6 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0R f x f x f x f x f x f x

1

2,875 5 5,625 4 0,625 92

3,9375

3b ax

n n

3

3

01 1

3 36 lim lim

n n

in n

i i

ix x dx f x x f

n n

3

31

3 27 18lim

n

ni

i in n n

3

1

3 3 3lim 6

n

ni

i i

n n n

B. Com n subintervalos, temos:

Assim, e em geral . Utilizando as extremidades direitas, podemos usar a equação:

0 1 2 30, 3/ , 6 / , 9 /x x n x n x n 3 /ix i n

281 1 1

lim 1 27 14n n n

81 2727 6,75

4 4

2

4 2

1 181 54lim

2 2n

n n n n

n n

3

4 21 1

81 54lim

n n

ni i

i in n

3

31

3 27 18lim

n

ni

i in n n

PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA:

1. 2. 3. 4. 5.

( )b

acdx c b a

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

( ) ( )b b

a acf x dx c f x dx ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

( ) ( ) ( )c b b

a c af x dx f x dx f x dx

( ) ( )a b

b af x dx f x dx

( ) 0b

af x dx

Se b<a:

Se a=b:

PROPRIEDADE 1:

PROPRIEDADE 2:

( )b

acdx c b a

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

PROPRIEDADE 5:

( ) ( ) ( )c b b

a c af x dx f x dx f x dx

PROPRIEDADE 8:

PROPRIEDADES COMPARATIVAS DA INTEGRAL: 6. 7. 8.

( ) 0b

af x dx

( ) ( )b b

a af x dx g x dx

( ) ( ) ( )b

am b a f x dx M b a

Se f(x)≥0 para a≤x≤b, então

Se f(x)≥g(x) para a≤x≤b, então

Se m≤f(x)≤M para a≤x≤b, então