Somas de Riemann e Integrao Numrica

Clculo 2 Prof. Aline Paliga

Introduo

1.1 reas e distncias

1.2 Integral Definida

Problemas de tangente e de velocidade

Derivada

Problemas de rea e distncia

Integral Definida

1.1 reas e distncias

O PROBLEMA DA REA

, ,0S x y a x b y f x

Achar a rea de uma regio S que est sob a curva y=f(x) de a at b. Isto significa que S est limitada pelo grfico de uma funo contnua f (onde ), as retas verticais x=a e x=b e o eixo x.

Qual o significado da palavra rea?

( ) 0f x

EXEMPLO 1

No entanto, no to fcil encontrar a rea de uma regio com lados curvos. Uma ideia similar que usamos para definir uma tangente, aproximando a inclinao da reta tangente por inclinaes de retas secantes e ento tomamos o limite dessas aproximaes. Aqui aproximaremos a regio S por retngulos e ento tomamos o limite das reas desses retngulos medida que aumentamos o nmero de retngulos. Use retngulos para estimar a rea sob a parbola abaixo:

Suponha que S seja dividida em quatro faixas .

Podemos aproximar cada faixa por um retngulo de base igual largura da faixa e altura igual ao lado direito da faixa.

1 2 3 4, , S S S e S

Alturas so valores da funo nas extremidades direitas dos subintervalos: Subintervalo Altura

2

2

1 10,

4 4

1 1 1,

4 2 2

2

2

1 3 3,

2 4 4

3,1 1

4

2 2 22

4

1 1 1 1 1 3 1 15. . . . 1 0,46875

4 4 4 2 4 4 4 32R

0,46878A

2 2 2

2

4

1 1 1 1 1 1 3 7. 0 . . . 0,21875

4 4 4 4 2 4 4 32L

0,21875 0,46878A

0,2734375 0,3984375A

8 80,2734375 0,3984375L R

0,3333335A

Dos valores da tabela parece que aproxima-se de medida que aumentamos n. Vamos confirmar isso: EXEMPLO 2: Para a regio S do Exemplo , mostre que a soma das reas dos retngulos aproximantes superiores tende a , isto : RESOLUO:

1lim

3n

nR

2 2 2 21 1 1 2 1 3 1

...nn

Rn n n n n n n n

1/ 3

1/ 3

nR

1

2 2 2 221 1

. 1 2 3 ... nn n

2 2 2 231

1 2 3 ... nn

Utilizamos aqui a frmula para a soma dos quadrados dos n primeiros nmeros inteiros positivos (demonstrada no Apndice E do Stewart):

2 2 2 2 1 2 11 2 3 ...6

n n nn

3 2

1 2 1 1 2 11

6 6n

n n n n nR

n n

2

1 2 1 1 1 2 1lim lim lim

6 6n

n n n

n n n nR

n n n

1 1 1 1 1lim 1 2 .1.2

6 6 3n n n

1lim lim

3n n

n nA R L

Vamos usar regies S mais gerais que a do Exemplo Comeamos por subdividir S em n faixas como na figura abaixo: A largura do intervalo [a,b] b-a; assim, a largura de cada uma das faixas : Essas faixas dividem o intervalo [a,b] em n subintervalos:

b ax

n

0 1 1 2 2 3 1, , , , , ,..., ,n nx x x x x x x x

1 2.e

Onde As extremidades direitas dos subintervalos so:

1

2

3

2

3

...

x a x

x a x

x a x

1 2 ...n nR f x x f x x f x x

0 .nx a e x b

DEFINIO:

A rea A da regio S que est sob o grfico de uma funo contnua f o limite da soma das reas dos retngulos aproximantes:

1 2lim lim ...n nn n

A R f x x f x x f x x

0 1 1lim lim ...n nn n

A L f x x f x x f x x

Podemos tomar a altura do i-simo retngulo como o valor de f em qualquer nmero no i-simo subintervalo

* * *1 2lim ... nn

A f x x f x x f x x

Pontos amostrais

*

ix 1[ , ].i ix x

Usando a notao de somatria (sigma): 1 2

1

...n

i n

i

f x x f x x f x x f x x

1

1

1

*

1

lim

lim

lim

n

in

i

n

in

i

n

in

i

A f x x

A f x x

A f x x

O PROBLEMA DA DISTNCIA

Estimar a distncia percorrida por um carro durante um intervalo de tempo de segundos. Distncia = velocidade x tempo

(7,5 5) (9,4 5) (10,6 5) (12,8 5) (14,2 5) (13,9 5) 342m

(9,4 5) (10,6 5) (12,8 5) (14,2 5) (12,5 5) 367m

1

1 1

lim ( ) lim ( )n n

i in n

i i

d f t t f t t

30

1.2 A integral definida

DEFINIO:

Se f uma funo contnua definida em axb, dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimentos iguais . Sejam as extremidades desses subintervalos, escolhemos os pontos amostrais nesses subintervalos, de forma que esteja no i-simo subintervalo Ento a integral definida de f de a a b

desde que este limite exista. Se ele existir, dizemos que f integrvel em [a,b]

* * * *1 21

lim lim ...n

i nn n

i

A f x x f x x f x x f x x

*1

( ) limnb

ia n

i

f x dx f x x

( ) /x b a n

* * *

1 2, ,... nx x x0 1 2( ), , ,... ( )nx a x x x b

*

ix 1[ , ].i ix x

( )f x

Sinal de integral introduzido por Leibniz

*1

n

i

i

f x x

Integrando

,a b Limites de integrao, inferior e superior

Soma de Riemann

( ) ( ) ( )b b b

a a af x dx f t dt f r dr Uma mente criativa, ativa e

verdadeiramente matemtica, e de uma

originalidade gloriosamente frtil

Gauss

1826 1866

Se f(x)0

*1

n

i

i

f x x

A soma de Riemann a soma de reas de retngulos

( )b

af x dx

A integral a rea sob a curva y=f(x) de a at b

Se f(x)assumir valores positivos e negativos:

A soma de Riemann a soma das reas dos retngulos rosas menos os azuis

1 2( )b

af x dx A A

CLCULO DE INTEGRAIS

Para trabalhar com somas precisamos de trs frmulas para as somas de potncias de inteiros positivos:

1

( 1)

2

n

i

n ni

21

( 1) 2 1

6

n

i

n n ni

2

3

1

( 1)

2

n

i

n ni

1

n

i

c nc

1 1

n n

i i

i i

ca c a

1 1 1

( )n n n

i i i i

i i i

a b a b

1 1 1

( )n n n

i i i i

i i i

a b a b

EXEMPLO 3:

A. Calcule a soma de Riemann para tomando como pontos amostrais as extremidades direitas e a=0, b=3 e n=6

B. Calcule

RESOLUO:

A. Com n=6, o comprimento de intervalo

As extremidades direitas so:

Logo a soma de Riemann :

33

0( 6 )x x dx

3 0 1

6 2

b ax

n

6

6

1

i

i

R f x x

3( ) 6f x x x

1 2 3 4 5 60,5, 1, 1,5, 2, 2,5 3.x x x x x e x

6 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0R f x f x f x f x f x f x

1

2,875 5 5,625 4 0,625 92

3,9375

3b ax

n n

3

3

01 1

3 36 lim lim

n n

in n

i i

ix x dx f x x f

n n

3

31

3 27 18lim

n

ni

i in n n

3

1

3 3 3lim 6

n

ni

i i

n n n

B. Com n subintervalos, temos:

Assim, e em geral . Utilizando as extremidades direitas, podemos usar a equao:

0 1 2 30, 3/ , 6 / , 9 /x x n x n x n 3 /ix i n

281 1 1

lim 1 27 14n n n

81 27

27 6,754 4

2

4 2

1 181 54lim

2 2n

n n n n

n n

3

4 21 1

81 54lim

n n

ni i

i in n

3

31

3 27 18lim

n

ni

i in n n

PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA:

1. 2. 3. 4. 5.

( )b

acdx c b a

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

( ) ( )b b

a acf x dx c f x dx ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

( ) ( ) ( )c b b

a c af x dx f x dx f x dx

( ) ( )a b

b af x dx f x dx

( ) 0b

af x dx

Se b

PROPRIEDADE 1:

PROPRIEDADE 2:

( )b

acdx c b a

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

PROPRIEDADE 5:

( ) ( ) ( )c b b

a c af x dx f x dx f x dx

PROPRIEDADE 8:

PROPRIEDADES COMPARATIVAS DA INTEGRAL: 6. 7. 8.

( ) 0b

af x dx

( ) ( )b b

a af x dx g x dx

( ) ( ) ( )b

am b a f x dx M b a

Se f(x)0 para axb, ento

Se f(x)g(x) para axb, ento

Se mf(x)M para axb, ento