50

3

25

2

3

12

i

i

ii

ii

1

11

)4(mod3

)4(mod21

)4(mod1

)4(mod01

nifi

nif

nifi

nif

i n

ii

i

1

1

ni1

4sin

4cos21

ii

)8(mod722

)8(mod62

)8(mod522

)8(mod42

)8(mod322

)8(mod22

)8(mod122

)8(mod02

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

nwheni

nwheni

nwheni

nwhen

nwheni

nwheni

nwheni

nwhen

i

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

n

: שדות ,מספרים מרוכבים . 1פיתרון תרגיל

50-55i ,5-12i.א( 1

ב( כדי לבטל מספר מרוכב במכנה ,מכפילים את המונה ואת המכנה של השבר במספר

הצמוד של המספר המרוכב המופיע במכנה, לדוגמה:

ג(

ובאופן כללי:

ד(

עבור וכדי למצוא אותו נשתמש בנוסחה : nיש גם נוסחה לפי

ואז מקבלים :

65

7

65

4

65

74

)74)(74(

74

74

1 ii

ii

i

i

2

3

2

1

53

29 i

i

i

iiiiii 1501420042005

iwz 29

zaaibaibazz Re22

1

2

1

2

1

i

iz

31

1

zr

iz

4

13

4

13

2

2 zr

12tan 1

a

b

iiz 13112

7,22

r

zbaba

b

ba

a

ba

bi

ba

a

ibaz

1111

22222

2

222

2

2222

3sin

3cos2

2

3

2

1231

iiiz

.א(2

: z=a+ib.א( נסמן 3

עבור הסעיף ב(ניתן לעשות אותה הוכחה

ז(

ניתן לעסיק מסעיפים ד( ו ז( את סעיף ח( .

.א( צריך למצוא את ההצגה הטריגונומטרית של המספר המרוכב 4

,כאשר σואת rכלומר צריך למצוא את עושה עם ציר ozהוא הזווית ש σו

: zזית של בכיוון החיובי .נמצא קודם את ההצגה הקרט x-ה

ולכן

,מקבלים . עבור

הערה:משמעות גאמטרית של חלוקה או הכפלה במספר מרוכב .

נשים לב ש:

izw 2929

58

41

58

1 i

w

z

iz 52 iw 37

29254 z 58949 w

29

41

29

1 ix

z

wxwzx

29

2

29

5

25

11 i

ia

29

7

29

31 iabx

3ba

13213 ba

762054 x

)7(mod5x)7(mod6x)7(mod5x

03 iz

cbzaziziz 23

22

3

22

33 iz

iziziz

3

11

2

11

1

321321

321

321

1

...333 iziziz

6

11sin

6

11cos

3

42

3

sin3

42

3

cos

6

7sin

6

7cos

3

22

3

sin3

22

3

cos

2sin

2cos

3

2

3

sin3

2

3

cos

2

3sin

2

3cos

3

2

1

iiz

iiz

iiz

ii

3

ולכן לחלק בz כלומר הזווית של זה לסובב חזרהz בהצגה הגאומטרית שלו היא

זה לסובב בכיוון חיובי בזווית זו. zיוון השעון( בזווית זו, להכפיל ב )בכ

.א( ולכן 5 .

:רמז: צריך למצוא מספר מהצורה 1ג( שיטה ,וכך a,b כאשר

שיתקיים: משווים מקדים ופותרים את המערכת משוואות

. bו aשנוצרה בנעלמים

במספרים מרוכבים )אותו מבנה( ,נכפיל במספר ה"צמוד": :כמו 2שיטה

ב 3ד( ההופכי של ולכן 5הוא

ב( ג( .א( 6

(z-i) א( ניתן לראות בקלות ש 7 הוא.i הוא פיתרון של המשוואה ולכן

כך ש a,b,cגורם לינארי .עתה נשווה מקדמים או נחלק פולינומים כדי למצוא

ית שנוצרה ומקבלים:ערים את המשוואה הריבופות

: רמז: 2שיטה

:3שיטה

)12(12522 izizzz

0 12

3

2

1

2

3

2

1 zorzorizor

iz

22

3

22

3

2

32

2

1

2

3

2

12

22

222

izor

iz

ab

ba

iabibaz

ibaz

iz

22

1,1, 321

izziz

ב( ו ג( כמו בסעיף א(.

ד( נסמן

ה( )פותרים משוואה ריבועית כמו בממשיים(

z=1+bi.א( 8

( .1,1העובר דרך הנקודה ) y-הפתרון מיוצג בישר המקביל לציר ה במישור המרוכב

ב(

ג( על ידי השוואה חלק ממשי , חלק מדומה מקבלים :

ד(מדובר פה על כל הנקודות הנמצעות במרחק שווה מהנקודות:

. z=0( : 1( ומרדיוס 1,1כלומר מרכז המעגל העובר דרכם )המעגל ממרכז )