127

SOLUÇÕES

338.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços, e ospontos AA e CC, pelas suas projecções e pertencentes ao plano, emfunção dos dados. O plano ! é ortogonal ao "1/3, pelo que os seustraços são simétricos em relação ao eixo XX. AA é um ponto de hh!,que é uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. AA e CCsituam-se no mesmo plano de perfil (situam-se na mesma recta deperfil), pelo que têm a mesma abcissa e CC é um ponto de ff!, que éuma recta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo. Umavez que o quadrado [AABBCCDD] não se projecta em V.G. em nenhumdos planos de projecção, para construir as suas projecções dabase da pirâmide, rebateu-se o plano ! para o Plano Horizontal deProjecção – a charneira foi hh! e tem-se imediatamente AArr # AA11. Noteque, em termos de economia de traçados, seria indistinto o rebati-mento para qualquer dos dois planos de projecção, pois o ponto CCé um ponto do Plano Frontal de Projecção. O ponto CC foi o pontoque nos permitiu rebater ff!. Em rebatimento, construiu-se o quadra-do [AABBCCDD] em V.G. e determinou-se OOrr, o centro do quadrado emrebatimento. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a rectasfrontais (de frente) do plano, obtendo-se as projecções de BB e DD(ver exercício 118800) – note que se omitiram as notações referentes àsrectas frontais (de frente) que nos permitiram inverter o rebatimentode BBrr e DDrr, com vista a não sobrecarregar visualmente a resoluçãográfica apresentada. A partir das projecções dos quatro vértices doquadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecçõesdo sólido). As projecções de OO determinaram-se directamente a partir do desenho das projecções das diagonais do quadrado. Em seguida,pelas projecções de OO conduziram-se as projecções homónimas de uma recta pp, ortogonal a ! – a recta pp é a recta suporte do eixo da pirâmide.Note que a recta pp é uma recta passante nesta situação particular. O vértice VV, da pirâmide, situa-se sobre pp, a 6 cm de OO. Como a recta pp éoblíqua aos dois planos de projecção, o segmento [OOVV] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário orecurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da recta pp (o plano $) para o Plano Horizontal deProjecção – a charneira foi hh$ (recta ee’’). A recta pp rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – o ponto OO e o seu ponto de concorrênciacom o eixo XX (que é um ponto fixo, pois situa-se na charneira). A recta pprr fica definida por OOrr11 e pelo seu ponto de concorrência com o eixo XX(note que OOrr11 é o ponto OO no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano $). Sobre pprr, a partir de OOrr11, mediram-se os 6 cm (a altura dapirâmide), obtendo-se VVrr (garantindo que VV se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de $, obtendo-se as projecções de VV sobre as pro-jecções homónimas da recta pp. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonn--ttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [AA22BB22VV22CC22DD22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [AA11VV11BB11CC11DD11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, todos os vértices integram ocontorno aparente frontal. No entanto, a base do sólido é invisível, bem como a face lateral [BBCCVV] pelo que a aresta [BBCC] da base é a únicaaresta invisível em projecção frontal (as restantes arestas são todas visíveis). Também em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall se tem que todos os vérticesintegram o contorno aparente horizontal. Também nesta projecção a base do sólido é invisível, bem como a face lateral [AABBVV] pelo que aaresta [AABB] da base é a única aresta invisível em projecção horizontal (as restantes arestas são todas visíveis).

339.Em primeiro lugar representou-se o plano %, pelos seus traços, e o ponto OO, pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dos da-dos. A recta hh, horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 2 cm de cota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinar as projec-ções do ponto OO. O plano % não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o pentágono não se projecta em V.G. em nenhum dosplanos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano % para o Plano Horizontal deProjecção (a charneira é hh% – hh% # ee11 # hh%rr). Para rebater o plano % há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seuspontos – o ponto FF (traço frontal da recta hh), por exemplo. Para tal conduziu-se, por FF11, uma perpendicular à charneira (que corresponde aoplano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento). Os traços do plano % são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixoXX, que é um ponto da charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até FF22, transportou-se essa distância até àperpendicular à charneira que passa por FF11 e obteve-se FFrr – ff%rr passa por FFrr e é concorrente com hh%rr no eixo XX. A recta hhrr passa por FFrr e é para-lela a hh%rr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebati-mento). Por OO11 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seurebatimento) e determinou-se OOrr sobre hhrr. Uma vez que a circunferência circunscrita ao pentágono é tangente a hh%, com centro em OOrr dese-nhou-se uma circunferência tangente a hh%rr – o vértice AA do polígono, porque tem cota nula, é o ponto de tangência da circunferência com hh%rr.Em seguida, construiu-se o pentágono em V.G., em rebatimento. Para determinar as projecções do pentágono inverteu-se o rebatimento. AA éum ponto da charneira, pelo que se tem imediatamente AArr # AA11 – AA22 situa-se no eixo XX. A inversão do rebatimento dos pontos BB, CC, DD e EE

REPRESENTAÇÃO DE SÓLIDOS III

18

(Continua na página seguinte)

128

SOLUÇÕES

processou-se com o recurso às rectas horizontais (de nível)do plano que por eles passam, obtendo-se as suas projec-ções (ver exercício 118822 e respectivo relatório) – note que seomitiram as notações referentes às rectas horizontais (de ní-vel) que nos permitiram inverter o rebatimento dos pontos,com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfi-ca apresentada. A partir das projecções dos cinco pontos,desenharam-se as projecções do pentágono (a traço leve,pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exer-cício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas pro-jecções de OO conduziram-se as projecções homónimas deuma recta pp, ortogonal a ! – a recta pp é a recta suporte doeixo da pirâmide. O vértice VV, da pirâmide, situa-se sobre pp, a 8 cm (a altura da pirâmide) de OO. Como a recta pp é oblíquaaos dois planos de projecção, o segmento [OOVV] não se pro-jecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo queé necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar.Optou-se por rebater o plano projectante frontal da recta pp(o plano ") para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foiff" (recta ee’’). A recta pp rebateu-se com o recurso a dois dosseus pontos – o ponto OO e o seu traço horizontal, HH. A recta pprrfica definida por OOrr11 (OOrr11 é o ponto OO no seu segundo rebati-mento – o rebatimento do plano ") e por HHrr. Sobre pprr, a partirde OOrr11, mediram-se os 8 cm (a altura da pirâmide), obtendo-se VVrr (garantindo que VV se situa no 1o Diedro). Inverteu-se orebatimento de ", obtendo-se as projecções de VV sobre asprojecções homónimas da recta pp. A partir das projecções detodos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contor-nos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [AA22VV22DD22EE22] eo ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [BB11VV11EE11DD11CC11]. Em pprroojjeecc--ççããoo ffrroonnttaall, há dois vértices que não integram o contornoaparente – CC e DD. Estes são os vértices de menor afastamentodo sólido, pelo que são invisíveis (bem como todas as ares-tas que neles convergem). A base do sólido é invisível, bemcomo as faces laterais [AABBVV], [BBCCVV] e [CCDDVV]. A aresta lateral [EEVV] é visível, pois separa duas faces visíveis em projecção frontal – as faces late-rais [AAEEVV] e [DDEEVV]. Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, o vértice AA é o único vértice que não integra o contorno aparente horizontal – este é invisível (porser o vértice de menor cota), bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, a base do sólido é invisível, tal comoas faces laterais [AABBVV] e [AAEEVV]. As restantes faces laterais são visíveis, bem como as restantes arestas.

340.Em primeiro lugar representaram-se os pontos AA e BB, pelas respectivas pro-jecções, em função dos dados. O ponto AA é um ponto do Plano Frontal deProjecção (AA tem afastamento nulo), pelo que é um ponto de ff#. O ponto BB éum ponto do Plano Horizontal de Projecção (BB tem cota nula), pelo que é umponto de hh#. O plano # é ortogonal ao $2/4, pelo que tem os seus traços coinci-dentes – estes estão coincidentes na recta que passa por AA22 e por BB11. O triân-gulo [AABBCC] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano que o contém – o plano # – é oblíquo a ambos os planos de projec-ção), pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Emtermos de economia de traçados, é indistinto o plano de projecção para oqual se processe o rebatimento do plano #, pois temos um ponto de cadaplano de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano # para o Plano Hori-zontal de Projecção – a charneira é hh# e BBrr % BB11, pois BB é um ponto da char-neira. É necessário rebater ff#, o que se processa rebatendo um dos seuspontos – o ponto AA. Por AA11 conduziu-se uma perpendicular à charneira (quecorresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebati-mento) – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos tra-ços do plano e raio até AA22, transportou-se essa distância para a perpendicularà charneira que passa por AA11, obtendo AArr. O traço frontal do plano rebatido(ff#rr) passa por AArr e é concorrente com hh#rr no eixo XX. A partir de AArr e BBrr cons-truiu-se o triângulo [AABBCC] em V.G., em rebatimento e, com vista à determina-ção das projecções da pirâmide, determinou-se também o seu centro – o ponto OO. A inversão do rebatimento dos pontos OO e CC processou-se com

(Continua na página seguinte)

129

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seustraços, e o ponto OO, pelas suas projecções e pertencenteao plano, em função dos dados. O plano ! tem os seustraços coincidentes, pois é ortogonal ao "2/4. A recta hh,horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 4 cm decota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinaras projecções do ponto OO. O plano ! não é paralelo a ne-nhum dos planos de projecção, pelo que o triângulo nãose projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção– é necessário o recurso a um processo geométrico auxi-liar. Optou-se por rebater o plano ! para o Plano Horizon-tal de Projecção (a charneira é hh! – hh! # ee11 # hh!rr). Pararebater o plano ! há que rebater o seu traço frontal, o quese processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto FF(traço frontal da recta hh), por exemplo. Para tal conduziu--se, por FF11, uma perpendicular à charneira (que corres-ponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arcodo seu rebatimento). Os traços do plano ! são concorren-tes num ponto fixo (um ponto do eixo XX, que é um pontoda charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo cen-tro nesse ponto e raio até FF22, transportou-se essa distân-cia até à perpendicular à charneira que passa por FF11 eobteve-se FFrr – ff!rr passa por FFrr e é concorrente com hh!rr noeixo XX. A recta hhrr passa por FFrr e é paralela a hh!rr (rectashorizontais de um plano são paralelas entre si e paralelasao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções eem rebatimento). Por OO11 conduziu-se uma perpendicular àcharneira (que corresponde ao plano ortogonal à charnei-ra que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se OOrr sobre hhrr. Com o compasso, fazendo centro em OOrr e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo e construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência e deacordo com os dados – o lado [AABB] é horizontal (é paralelo a hh!rr), sendo AA o vértice de maior afastamento e CC o vértice de menor cota (o vértice que se situa mais próximo de hh!rr). Em seguida, inverteu-se o rebatimento dos três vértices do triângulo, com o recurso às rectashorizontais (de nível) do plano que por eles passam (ver exercício 118822 e respectivo relatório) – note que se omitiram as notações referentesàs rectas horizontais (de nível) que nos permitiram inverter o rebatimento dos pontos, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolu-ção gráfica apresentada. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata--se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de OO conduziram-seas projecções homónimas de uma recta pp, ortogonal a ! – a recta pp é a recta suporte do eixo da pirâmide. O vértice VV, da pirâmide, porquetem afastamento nulo, é o traço frontal da recta pp, o que nos permite determinar imediatamente as suas projecções, sem o recurso a qual-quer outro rebatimento. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnooaappaarreennttee ffrroonnttaall é [BB22VV22CC22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [AA11BB11VV11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, há um vértice que não integra o contornoaparente – o vértice AA. Este é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível (bem como todas as arestas que nele convergem).A base do sólido é visível, bem como as faces laterais [AABBVV] e [AACCVV] (a face lateral [BBCCVV] é a única face invisível em projecção frontal). Empprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice CC. Este é o vértice de menor cota do sólido, pelo que éinvisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A face lateral [AABBVV] é a única face visível em projecção horizontal – a base e asrestantes faces são invisíveis.

341.

o recurso às rectas frontais (de frente) que por eles passam – ver exercício 118833 e respectivo relatório. A recta ff é a recta frontal (de frente)que nos permitiu determinar as projecções de CC. A recta ff’’ é a recta frontal (de frente) que nos permitiu determinar as projecções de OO. Apartir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliarpara o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de OO conduziram-se as projecções homónimasde uma recta pp, ortogonal a ! – a recta pp é a recta suporte do eixo da pirâmide. O vértice VV, da pirâmide, porque tem cota nula, é o traço ho-rizontal da recta pp, o que nos permite determinar imediatamente as suas projecções, sem o recurso a qualquer outro rebatimento. A partirdas projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [BB22VV22CC22] e occoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [AA11BB11CC11VV11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice AA. Este éo vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A base do sólido é invisí-vel, bem como as faces laterais [AABBVV] e [AACCVV]. Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, todos os vértices integram o contorno aparente. No entanto, asfaces laterais [AABBVV] e [BBCCVV] são invisíveis, pelo que a aresta lateral [BBVV] (a aresta que separa aquelas faces) é invisível. Já a aresta [AACC] dabase é visível, pois separa duas faces visíveis em projecção horizontal – a base e a face lateral [AACCVV].

130

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se os pontos OO e AA, pelas respectivas projecções, em função dos dados, e desenharam-se as projecções da recta rr. Em seguida, umavez que AA é o traço frontal da recta rr, foi possível desenharimediatamente ff!, passando por AA22 e perpendicular a rr22.Para determinar hh! poder-se-ia determinar o traço horizon-tal da recta rr, mas optou-se por conduzir, por OO, uma rectafrontal (de frente) ff, do plano (paralela a ff!) – HH é o traçohorizontal da recta ff. O traço horizontal do plano, hh!, passapor HH11 e é concorrente com ff! no eixo XX. O plano ! não éparalelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que oquadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planosde projecção – é necessário o recurso a um processo geo-métrico auxiliar. Uma vez que o ponto AA é um ponto do Pla-no Frontal de Projecção, com vista a uma maior economiade traçados, optou-se por rebater o plano ! para o PlanoFrontal de Projecção (a charneira é ff! – ff! " ee22 " ff!rr e tem--se imediatamente AArr " AA22). Para rebater o plano ! há querebater o seu traço horizontal, o que se processa rebaten-do um dos seus pontos – o ponto HH (traço horizontal darecta ff), por exemplo. Para tal conduziu-se, por HH22, umaperpendicular à charneira (que corresponde ao plano orto-gonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento).Os traços do plano ! são concorrentes num ponto fixo(um ponto do eixo XX, que é um ponto da charneira). Como recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto eraio até HH11, transportou-se essa distância até à perpendi-cular à charneira que passa por HH22 e obteve-se HHrr – hh!rrpassa por HHrr e é concorrente com ff!rr no eixo XX. A recta ffrrpassa por HHrr e é paralela a ff!rr. Conduzindo, por OO22, umaperpendicular à charneira (que corresponde ao plano orto-

gonal à charneira que contém o seu arco do rebatimento) determinou-se OOrr sobre ffrr. A recta rrrr fica definida por AArr e por OOrr. Note que não se-ria possível rebater o ponto OO exclusivamente através do rebatimento da recta rr, o que justifica o facto de se ter recorrido a uma recta frontal(de frente) do plano, passando por OO. Com o compasso, fazendo centro em OOrr e raio até AArr, desenhou-se a circunferência circunscrita aoquadrado e construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência. A inversão do rebatimento dos pontos BB e DD efec-tuou-se com o recurso à recta frontal (de frente) ff, que passa por OO, pois os dois pontos pertencem à mesma recta. A inversão do rebati-mento do ponto CC processou-se com o recurso a uma recta horizontal (de nível) do plano, passando por CC – note que se omitiram asnotações referentes à projecção frontal da recta horizontal (de nível) que nos permitiu inverter o rebatimento de CCrr, com vista a não sobre-carregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Omitiu-se a representação da projecção horizontal da recta horizontal (de nível), poisCC é um ponto da recta rr e, assim, as projecções de CC situam-se sobre as projecções homónimas da recta rr. A partir das projecções dosquatro pontos, desenharam-se as projecções do polígono (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício,que é as projecções do sólido). O enunciado refere expressamente que o quadrado [AABBCCDD] é uma base de um prisma situado no 1o Diedro,pelo que se infere que se trata da base inferior do sólido. Assim, em seguida conduziu-se, por CC, uma recta pp, ortogonal ao plano ! – a recta pp éa recta suporte da aresta lateral [CCCC’’] do prisma, que mede 5 cm (a altura do prisma). Como a recta pp é oblíqua aos dois planos de projec-ção, o segmento [CCCC’’] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geo-métrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da recta pp (o plano #) para o Plano Horizontal de Projecção – acharneira foi hh# (recta ee’’). A recta pp rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – o ponto CC e HH’’, o seu traço horizontal. A recta pprr ficadefinida por CCrr11 e HH’’rr (note que CCrr11 é o ponto CC no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano #). Sobre pprr, a partir de CCrr11, medi-ram-se os 5 cm (a altura do prisma), obtendo-se CC’’rr (garantindo que CC’’ se situa no 1º Diedro). Inverteu-se o rebatimento de #, obtendo-seas projecções de CC’’, sobre as projecções homónimas da recta pp. As projecções de AA’’, BB’’ e DD’’, os restantes vértices da base superior, deter-minaram-se atendendo a que os lados do quadrado [AA’’BB’’CC’’DD’’] são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [AABBCCDD] e que osseus vértices estão sobre as rectas ortogonais a ! (paralelas à recta pp) que contêm as respectivas arestas laterais. Assim, pelas projecçõesde CC’’, conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [BB’’CC’’], até encontrarem as projecções homónimas da recta suporte daaresta lateral [BBBB’’] – o ponto de concorrência das duas rectas é BB’’. Repetiu-se o processo para DD’’, a partir de CC’’, e ainda para AA’’, a partir deBB’’ ou de DD’’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreenntteeffrroonnttaall é [BB22CC22DD22DD’’22AA’’22BB’’22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [AA11DD11CC11CC’’11BB’’11AA’’11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, existem dois vértices que não in-tegram o contorno aparente – o vértice CC’’ (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem como todas as arestas que neleconvergem) e o vértice AA (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Empprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice DD’’ (que é o vértice de maior cota,pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice BB (que é o vértice de menor cota, pelo que é invisível bemcomo todas as arestas que nele convergem). A base [AA’’BB’’CC’’DD’’] é visível em ambas as projecções e a base [AABBCCDD] é invisível em ambas asprojecções.

342.

131

SOLUÇÕES

343.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seustraços, e os pontos RR e SS, pelas suas projecções e perten-centes ao plano, em função dos dados. O ponto RR é umponto de hh!, pois tem cota nula. A recta hh, horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 3 cm de cota, foi arecta auxiliar a que se recorreu para determinar as projec-ções do ponto SS. O plano ! não é paralelo a nenhum dosplanos de projecção, pelo que o triângulo não se projectaem V.G. em nenhum dos planos de projecção – é neces-sário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Comvista a uma maior economia de traçados, e uma vez que oponto RR é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, optou-se por rebater o plano ! para o Plano Horizontal deProjecção (a charneira é hh! – hh! " ee11 " hh!rr e tem-se imedia-tamente RRrr " RR11). Para rebater o plano ! há que rebater oseu traço frontal, o que se processa rebatendo um dosseus pontos – o ponto FF (traço frontal da recta hh), porexemplo. Para tal conduziu-se, por FF11, uma perpendicularà charneira (que corresponde ao plano ortogonal à char-neira que contém o arco do seu rebatimento). Os traçosdo plano ! são concorrentes num ponto fixo (um ponto doeixo XX, que é um ponto da charneira). Com o recurso aocompasso, fazendo centro nesse ponto e raio até FF22,transportou-se essa distância até à perpendicular à char-neira que passa por FF11 e obteve-se FFrr – ff!rr passa por FFrr e é concorrente com hh!rr no eixo XX. A recta hhrr passa por FFrr e éparalela a hh!rr. Por SS11 conduziu-se uma perpendicular àcharneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneiraque contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se SSrr sobre hhrr. A partir de RRrr e SSrr construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento,obtendo TTrr. A inversão do rebatimento de TT processou-se com o recurso a uma recta frontal (de frente) do plano, passando por TT (recta ff). A partirdas projecções dos três pontos, desenharam-se as projecções do triângulo (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo doexercício, que é as projecções do sólido). O enunciado refere expressamente que o triângulo [RR’’SS’’TT’’] é a base superior do prisma, pelo que seinfere que o triângulo [RRSSTT] é sua base inferior. Por outro lado, sabe-se que o vértice SS’’, da base superior, tem afastamento nulo – assim, em seguida conduziu-se, por SS, uma recta pp, ortogonal ao plano ! (a recta pp é a recta suporte da aresta lateral [SSSS’’] do prisma). O ponto SS’’ é ime-diatamente o traço frontal da recta pp. As projecções de RR’’ e TT’’, os restantes vértices da base superior, determinaram-se atendendo a que os lados do triângulo [RR’’SS’’TT’’] são paralelos aos lados correspondentes do triângulo [RRSSTT] e que os seus vértices estão sobre as rectas ortogonaisa ! (paralelas à recta pp) que contêm as respectivas arestas laterais. Assim, pelas projecções de SS’’ conduziram-se as projecções da recta suportedo segmento [RR’’SS’’], paralelas às projecções homónimas de [RRSS], até encontrarem as projecções homónimas da recta pp’’ (a recta suporte daaresta lateral [RRRR’’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é RR’’. Repetiu-se o processo para TT’’, a partir de SS’’ (a recta suporte da arestalateral [TTTT’’] é a recta pp’’’’). A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnooaappaarreennttee ffrroonnttaall é [RR22SS22SS’’22TT’’22RR’’22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [SS11TT11TT’’11RR’’11SS’’11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice TT’’, que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas quenele convergem. Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, também existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice RR, que é o vértice demenor cota, pelo que é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. A base [RRSSTT] é visível em projecção frontal e invisível emprojecção horizontal. A base [RR’’SS’’TT’’] é visível em projecção horizontal (a aresta [SS’’TT’’] da base é visível) e invisível em projecção frontal (aaresta [RR’’SS’’] da base é invisível).

344.Em primeiro lugar representou-se o plano #, pelos seus traços, e o ponto OO, pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dosdados. O plano # tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao $2/4. A recta hh, horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 3 cmde cota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinar as projecções do ponto OO. O plano # não é paralelo a nenhum dos planos deprojecção, pelo que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geo-métrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano # para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hh# – hh# " ee11 " hh#rr). Para rebater o plano #há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto FF (traço frontal da recta hh), por exemplo.Para tal conduziu-se, por FF11, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos traços do pla-no (que é um ponto fixo) e raio até FF22, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por FF11, obtendo-se FFrr. O tra-ço frontal do plano rebatido, ff#rr, passa por FFrr e é concorrente com hh#rr no eixo XX. A recta hhrr passa por FFrr e é paralela a hh#rr (rectas horizontaisde um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano). Por OO11 conduziu-se uma perpendicular à charneira e determi-nou-se OOrr sobre hhrr. Com o compasso, fazendo centro em OOrr e com 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo econstruiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência e de acordo com os dados – o lado [AABB] é frontal (é paralelo aff#rr), sendo AA o vértice de maior cota. Em seguida, inverteu-se o rebatimento dos três vértices do triângulo, com o recurso às rectas frontais(de frente) do plano que por eles passam (ver exercício 118877 e respectivo relatório). A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do

(Continua na página seguinte)

132

SOLUÇÕES

sólido) – note que o lado [AABB] é frontal(paralelo a ff!), o lado [BBCC] é horizontal(paralelo a hh!) e o lado [AACC] é de perfil.Em seguida conduziu-se, por CC, uma rectacc, ortogonal ao plano ! – a recta cc é a rec-ta suporte da aresta lateral [CCCC’’] do pris-ma, que mede 4 cm (a altura do prisma).Como a recta cc é oblíqua aos dois planosde projecção, o segmento [CCCC’’] não seprojecta em V.G. em nenhum dos planosde projecção, pelo que é necessário o re-curso a um processo geométrico auxiliar.Optou-se por rebater o plano projectantehorizontal da recta cc (o plano ") para oPlano Frontal de Projecção – a charneirafoi ff" (recta ee’’). A recta cc rebateu-se com orecurso a dois dos seus pontos – o pontoCC e FF’’, o seu traço frontal. A recta ccrr ficadefinida por CCrr11 e FF’’rr (note que CCrr11 é oponto CC no seu segundo rebatimento – norebatimento do plano "). Sobre ccrr, a partirde CCrr11, mediram-se os 4 cm (a altura doprisma), obtendo-se CC’’rr (garantindo queCC’’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o re-batimento de ", obtendo-se as projecçõesde CC’’ sobre as projecções homónimas darecta cc. As projecções de AA’’ e BB’’, os ou-tros dois vértices da base superior, deter-minaram-se atendendo a que os lados dotriângulo [AA’’BB’’CC’’] são paralelos aos ladoscorrespondentes do triângulo [AABBCC] e queos seus vértices estão sobre as rectas ortogonais a ! (paralelas à recta cc) que contêm as respectivas arestas laterais. Assim, pelas projec-ções de CC’’ conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [BB’’CC’’], até encontrarem as projecções homónimas da recta bb (a rec-ta suporte da aresta lateral [BBBB’’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é BB’’. Repetiu-se o processo para AA’’ – pelas projecções de CC’’conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [AA’’CC’’], até encontrarem as projecções homónimas da recta aa (a recta suporteda aresta lateral [AAAA’’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é AA’’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [AA22AA’’22BB’’22BB22CC22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [AA11BB11BB’’11CC’’11CC11]. Empprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice CC’’, que é o vértice de menor afastamento do sólido, peloque é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, também há um vértice que não integra o contor-no aparente – o vértice AA’’, que é o vértice de maior cota do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem. Abase [AA’’BB’’CC’’] é visível em projecção horizontal e invisível em projecção frontal. A base [AABBCC] é visível em projecção frontal e invisível emprojecção horizontal – a aresta [AABB] da base é visível em projecção frontal e a aresta [BBCC] da base é invisível em projecção horizontal.

345.Em primeiro lugar representou-se o plano ", pelos seus traços, e os pontos AA e BB, pertencentes ao plano ", pelas suas projecções, em fun-ção dos dados. O ponto AA é um ponto de ff", que é uma recta frontal (de frente) do plano com cota nula. O ponto BB é um ponto de hh", que éuma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. O plano " não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessárioo recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto AA é um ponto do Plano Frontal de Projecção e que o ponto BB é um pon-to do Plano Horizontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano " para o Plano Frontalde Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano " para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hh" – hh" # ee11 # hh"rr), pelo que se tem imediatamente BBrr # BB11, pois BB é um ponto da charneira. Para rebater o plano " há que re-bater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto AA, que é um ponto de ff". Para tal conduziu-se, por AA11,uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos traços do plano (que é um ponto fixo) eraio até AA22, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por AA11, obtendo-se AArr. O traço frontal do plano rebatido,ff"rr, passa por AArr e é concorrente com hh"rr no eixo XX. A partir de AArr e BBrr construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento. Para inverter o re-batimento dos pontos CC e DD, recorreu-se à recta suporte do lado [CCDD] do quadrado – a recta ss. A recta ssrr passa por CCrr e DDrr e é paralela àrecta rrrr, que é a recta que passa por AArr e BBrr (a recta rr é a recta suporte do lado [AABB] do quadrado). As projecções da recta rr determinam-seimediatamente – estão definidas pelas projecções homónimas de AA e BB. A recta ssrr é concorrente com hh"rr no ponto HHrr – HH é o traço horizon-tal da recta ss. As projecções de HH determinam-se imediatamente, pois HH é um ponto da charneira (é fixo). A recta ss fica definida por um pon-to (HH) e por uma direcção (é paralela à recta rr), o que nos permitiu desenhar as projecções da recta ss – passam pelas projecçõeshomónimas de HH e são paralelas às projecções homónimas da recta rr. Conduzindo, por CCrr e DDrr, as perpendiculares à charneira que por

(Continua na página seguinte)

133

SOLUÇÕES

eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaram-seas projecções de CC e DD, sobre as projecções homónimas da recta ss. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam--se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Emseguida conduziu-se, por AA, uma recta aa, ortogonal ao plano ! – a recta aa é a recta suporte da aresta [AAAA’’] do cubo, cujo comprimento seráigual ao lado do quadrado [AArrBBrrCCrrDDrr]. Como a recta aa é oblíqua aos dois planos de projecção, o segmento [AAAA’’] não se projecta em V.G.em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano pro-jectante horizontal da recta aa (o plano ") para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi ff" (recta ee’’). A recta aa rebateu-se com o recursoa dois dos seus pontos – o ponto AA (que é o seu traço frontal) e um ponto PP, qualquer, da recta. A recta aarr fica definida por AArr11 e PPrr (noteque AArr11 é o ponto AA no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano "). Transportou-se a medida do lado do quadrado [AArrBBrrCCrrDDrr]para aarr, a partir de AArr11, obtendo-se AA’’rr (garantindo que AA’’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de ", obtendo-se as projecçõesde AA’’ sobre as projecções homónimas da recta aa. As projecções de BB’’, CC’’ e DD’’, os outros três vértices da face superior do cubo, determina-ram-se atendendo a que os lados do quadrado [AA’’BB’’CC’’DD’’] são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [AABBCCDD] e que os seusvértices estão sobre as rectas ortogonais a ! (paralelas à recta aa) que contêm as respectivas arestas. Assim, pelas projecções de AA’’ condu-ziram-se as projecções da recta suporte do segmento [AA’’BB’’], até encontrarem as projecções homónimas da recta bb (a recta suporte daaresta [BBBB’’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é BB’’. Repetiu-se o processo para DD’’ – pelas projecções de AA’’ conduziram-se asprojecções da recta suporte do segmento [AA’’DD’’], até encontrarem as projecções homónimas da recta dd (a recta suporte da aresta [DDDD’’]) e oponto de concorrência das duas rectas é DD’’. Por fim, repetiu-se uma vez mais o processo descrito para CC’’ – pelas projecções de BB’’ (ou de DD’’)conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [BB’’CC’’] (ou do segmento [CC’’DD’’]), até encontrarem as projecções homónimas darecta cc (a recta suporte da aresta [CCCC’’]) e o ponto de concorrência das duas rectas é CC’’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido,desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [BB22BB’’22AA’’22DD’’22DD22CC22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é[AA11AA’’11BB’’11CC’’11CC11DD11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice CC’’ (que é o vértice demaior afastamento do cubo, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice AA (que é o vértice de menorafastamento do cubo, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, também existemdois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice DD’’ (que é o vértice de maior cota do cubo, pelo que é visível bem como todasas arestas que nele convergem) e o vértice BB (que é o vértice de menor cota do cubo, pelo que é invisível bem como todas as arestas quenele convergem). A face [AA’’BB’’CC’’DD’’] é visível em ambas as projecções e a face [AABBCCDD] é invisível em ambas as projecções.

134

SOLUÇÕES

346.Em primeiro lugar representaram-se os pontos RR e TT, pelassuas projecções, em função dos dados. Em seguida, dese-nharam-se os traços do plano ! – TT tem cota nula, pelo quehh! passa por TT1, e RR tem afastamento nulo, pelo que ff! passapor RR22. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dosplanos de projecção – para construir as suas projecções énecessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Umavez que o ponto RR é um ponto do Plano Frontal de Projecçãoe que o ponto TT é um ponto do Plano Horizontal de Projec-ção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar orebatimento do plano ! para o Plano Frontal de Projecção oupara o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater oplano ! para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foihh!. TTrr " TT11, pois TT é um ponto da charneira. Para rebater oplano ! há que rebater o seu traço frontal, o que se processarebatendo um dos seus pontos – o ponto RR (que é um pontode ff!), por exemplo. Para tal conduziu-se, por RR, uma perpen-dicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal àcharneira que contém o arco do seu rebatimento) – com ocompasso, fazendo centro em RR11 e raio até RR22 (o raio é a cotade RR) transportou-se essa distância até ao eixo XX, o que nospermitiu construir o triângulo do rebatimento de RR em V.G. edeterminar RRrr (ver exercício 118888). O traço frontal do plano ! emrebatimento, ff!rr, passa por RRrr e é paralelo ao eixo XX (e a hh!rr).A partir de RRrr e TTrr construiu-se o quadrado em V.G., em reba-timento, determinando SSrr e UUrr, bem como OOrr (OO é o centro dacircunferência circunscrita ao quadrado). Para inverter o reba-timento de SSrr conduziu-se, por SSrr, uma recta ssrr, paralela àrecta rrrr – a recta rr é a recta que passa por RR e TT, cujas projec-ções se determinaram imediatamente. O traço horizontal darecta ss é fixo (é um ponto da charneira), pelo que as suasprojecções se determinaram imediatamente (note que não seidentificou o traço horizontal da recta ss, nem em projecçõesnem em rebatimento, de forma a não sobrecarregar visual-mente a resolução gráfica apresentada). A recta ss, em projecções, fica definida por um ponto (o seu traço horizontal) e por uma direcção (éparalela à recta rr), o que nos permitiu desenhar imediatamente as suas projecções, paralelas às projecções homónimas da recta rr. Condu-zindo, por SSrr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), de-terminaram-se as projecções de SS sobre as projecções homónimas da recta ss. Repetiu-se o processo para o ponto UU – a recta mm é a rectaparalela à recta rr que passa por UU e está igualmente definida por um ponto e uma direcção (as projecções do ponto UU determinaram-se apartir das projecções da recta mm). A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traçoleve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). As projecções do ponto OO determina-ram-se a partir das duas diagonais do quadrado – OO22 é o ponto de concorrência das projecções frontais das duas diagonais do quadrado eOO11 é o ponto de concorrência das projecções horizontais das duas diagonais do quadrado. Em seguida, pelas projecções de OO, conduzi-ram-se as projecções de uma recta pp, ortogonal a ! – a recta pp é a recta suporte do eixo da pirâmide e é uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill. A recta pp estádefinida por um ponto (o ponto OO) e pela sua direcção (é ortogonal a !). A recta pp é ortogonal às rectas de perfil do plano !. Para definir arecta pp conduziu-se, pela recta, um plano de perfil # e determinou-se a recta de intersecção de # com ! – recta ii (que está definida pelosseus traços, FF e HH). A recta ii contém o ponto OO (que é um ponto dos dois planos) e a recta pp também – as duas rectas são perpendicularesno ponto OO. Por outro lado, $ vértice VV, da pirâmide, situa-se sobre pp, a 8 cm de OO (a altura da pirâmide). Atendendo a que o segmento [OOVV]não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, é necessário o recurso a um outro processo geométrico auxiliar. Optou-sepelo rebatimento do plano # para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi ff# (recta ee’’ ). A recta iirr fica definida por FFrr e HHrr. Note que oponto OOrr11 tem também de se situar sobre iirr, pois OO é um ponto da recta ii (OOrr11 é o ponto OO no seu segundo rebatimento – no rebatimento doplano #). A recta pprr passa por OOrr11 e é perpendicular a iirr em OOrr11. Sobre pprr, a partir de OOrr11, mediram-se os 8 cm, obtendo-se VVrr (garantindoque VV se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de #, obtendo-se as projecções de VV. A partir das projecções de todos os vértices dosólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [SS22TT22UU22VV22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é[RR11SS11VV11UU11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice RR, que é o vértice de menor afastamentodo sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, também há um vértice que nãointegra o contorno aparente – o vértice TT, que é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que neleconvergem. A aresta lateral [TTVV] é visível em projecção frontal, pois separa duas faces visíveis em projecção frontal – as faces laterais [SSTTVV]e [TTUUVV]. A aresta lateral [RRVV] é visível em projecção horizontal, pois separa duas faces visíveis em projecção horizontal – as faces laterais[RRSSVV] e [RRUUVV].

135

SOLUÇÕES

347.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços, em função dos dados – o plano ! tem os seus traços simétricos em relaçãoao eixo XX, pois é ortogonal ao "1/3. Os dados permitiram-nos, ainda, determinar as projecções de AA e BB – AA tem cota nula, pelo que é umponto de hh! e BB tem afastamento nulo, pelo que é um ponto de ff!. Os pontos AA e BB têm a mesma abcissa, pelo que se situam na mesma linha de chamada. Uma vez que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projec-ções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto AA é um ponto do Plano Horizontal de Projecção e queo ponto BB é um ponto do Plano Frontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano ! parao Plano Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou--se por rebater o plano ! para o Plano Horizontal de Projec-ção – a charneira foi hh!. AArr # AA11, pois AA é um ponto da charneira. Para rebater o plano ! há que rebater o seu traço frontal, o que se proces-sa rebatendo um dos seus pontos – o ponto BB (que é um ponto de ff!), por exemplo. Para tal, conduziu-se, por BB, uma perpendicular àcharneira – com o compasso, fazendo centro em BB11 e raio até BB22 (a cota de BB) transportou-se essa distância até ao eixo XX, o que nos permi-tiu construir o triângulo do rebatimento de BB em V.G. e determinar BBrr (ver exercício 118888). O traço frontal do plano ! em rebatimento, ff!rr, passapor BBrr e é paralelo ao eixo XX (e a hh!rr). A partir de AArr e BBrr construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, determinando CCrr (garantindo queCC é o vértice de menor abcissa, ou seja, o vértice que se situa mais à direita) e OOrr (OO é o centro do triângulo). Para inverter o rebatimento deOOrr conduziu-se, por OOrr e por BBrr, uma recta rrrr – rrrr é concorrente com hh!rr no ponto HHrr (HH é o traço horizontal da recta rr e BB é o seu traço fron-tal). HH é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram imediatamente, o que nos permitiu, em seguida, determinaras projecções da recta rr, passando pelas projecções homónimas de HH e BB. Conduzindo, por OOrr, uma perpendicular à charneira, determina-ram-se as projecções de OO sobre as projecções homónimas de rr. CCrr situa-se na recta fronto-horizontal que passa por OOrr e cujas projecçõesse determinaram a partir das projecções homónimas de OO – conduzindo, por CCrr, uma perpendicular à charneira, determinaram--se as pro-jecções de CC sobre as projecções homónimas da recta fronto-horizontal. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções dosólido). Em seguida, pelas projecções de OO conduziram-se as projecções de uma recta pp, ortogonal a ! – a recta pp é a recta suporte do eixoda pirâmide e é uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill. A recta pp está definida por um ponto (o ponto OO) e pela sua direcção (é ortogonal a !). A recta pp é orto-gonal às rectas de perfil do plano !. Para definir a recta pp conduziu-se, pela recta, um plano de perfil $ e determinou-se a recta de intersec-ção de $ com ! – recta ii (que está definida pelos seus traços, FF e HH’’). A recta ii contém o ponto OO (que é um ponto dos dois planos) e arecta pp também – as duas rectas são perpendiculares no ponto OO. Por outro lado, % vértice VV, da pirâmide, situa-se sobre pp, a 7 cm de OO(a altura da pirâmide). Atendendo a que o segmento [OOVV] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, é necessário o recurso a um outro processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano $ para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foiff$ (recta ee’’). A recta iirr fica definida por FFrr e HH’’rr. Note que o ponto OOrr11 tem também de se situar sobre iirr, pois OO é um ponto da recta ii (OOrr11 é oponto OO no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano $). A recta pprr passa por OOrr11 e é perpendicular a iirr em OOrr11. Sobre pprr, a partirde OOrr11, mediram-se os 7 cm, obtendo-se VVrr (garantindo que VV se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de $, obtendo-se as projec-ções de VV. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonn--ttaall é [AA22BB22VV22CC22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [AA11BB11CC11VV11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, todos os vértices da pirâmide integram o contornoaparente – no entanto, a base é invisível em projecção frontal, tal como a face lateral [BBCCVV]. Assim, em projecção frontal, apenas a aresta[BBCC] da base é invisível (as restantes arestas são todas visíveis, pois situam-se na parte visível do sólido). Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, todosos vértices da pirâmide integram também o contorno aparente – no entanto, a base é invisível em projecção horizontal, tal como a face lateral[AACCVV]. Assim, em projecção horizontal, apenas a aresta [AACC] da base é invisível (as restantes arestas são todas visíveis, pois situam-se naparte visível do sólido).

136

SOLUÇÕES

348.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelosseus traços, em função dos dados – o plano ! temos seus traços simétricos em relação ao eixo XX,pois é ortogonal ao "1/3. A recta rr é a recta do planoa que se recorreu para determinar as projecções doponto QQ (a recta rr está definida pelos seus traços,HH e FF). Uma vez que o triângulo não se projecta emV.G. em nenhum dos planos de projecção, paraconstruir as suas projecções é necessário o recursoa um processo geométrico auxiliar. Note que o ân-gulo dado (o ângulo que um dos lados do triângulofaz com hh!) é um ângulo que eessttáá ccoonnttiiddoo no plano(trata-se do ângulo entre duas rectas) e não temcorrespondência directa em projecções, pois o pla-no ! não é paralelo a nenhum dos planos de pro-jecção. Ao nível da economia de traçados éindistinto rebater o plano ! para o Plano Frontal deProjecção ou para o Plano Horizontal de Projecção.Optou-se por rebater o plano ! para o Plano Horizon-tal de Projecção – a charneira foi hh!. HHrr # HH11, pois HH(o traço horizontal da recta rr) é um ponto da char-neira. Para rebater o plano ! há que rebater o seutraço frontal, o que se processa rebatendo um dosseus pontos – o ponto FF (o traço frontal da recta rr),por exemplo. Para tal, conduziu-se, por FF, uma per-pendicular à charneira – com o compasso, fazendocentro em FF11 e raio até FF22 (a cota de FF) transportou--se essa distância até ao eixo XX, o que nos permitiuconstruir o triângulo do rebatimento de FF em V.G. edeterminar FFrr (ver exercício 118888). O traço frontal doplano ! em rebatimento, ff!rr, passa por FFrr e é para-lelo ao eixo XX (e a hh!rr). Por FFrr e HHrr conduziu-se rrrr –conduzindo, por QQ11, uma perpendicular à charneira(que corresponde ao plano ortogonal à charneiraque contém o arco do seu rebatimento) determinou-se QQrr sobre rrrr. Com centro em QQrr, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângu-lo e construiu-se o polígono, em V.G., inscrito na circunferência e de acordo com os dados. O ângulo que um lado do triângulo faz com hh!pode, agora, em rebatimento, ser medido em V.G. – o lado [AABB] é o lado do triângulo que faz, com hh!, um ângulo de 20o e o vértice CC será,assim, o vértice de menor cota do triângulo. Note que caso se tratasse da outra situação possível, em que CC seria o vértice de maior cota dopolígono, CC não se situaria no espaço do 1o Diedro, o que implica que a situação apresentada é a única solução do problema. Para inverter orebatimento de AArr e CCrr conduziu-se, pelos dois pontos, uma recta ssrr – ssrr é concorrente com hh!rr em HH’’rr (HH’’ é o traço horizontal da recta ss) e éconcorrente com ff!rr em FF’’rr (FF’’ é o traço frontal da recta ss). A recta ss é a recta suporte do lado [AACC] do triângulo. HH’’ é um ponto da charneira,pelo que as suas projecções se determinaram imediatamente. As projecções de FF’’ determinaram-se conduzindo, por FF’’rr uma perpendicularà charneira – FF’’ é um ponto de ff!. A partir das projecções de FF’’ e HH’’, desenharam-se as projecções da recta ss. Conduzindo, por AArr e CCrr, asperpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de AA e CC sobre as projecções homónimas de ss. Para in-verter o rebatimento de BBrr conduziu-se, por AArr e BBrr, uma recta mmrr – mmrr é concorrente com ff!rr em FF’’’’rr (FF’’’’ é o traço frontal da recta mm). A rectamm é a recta suporte do lado [AABB] do triângulo. As projecções de FF’’’’ determinaram-se conduzindo, por FF’’’’rr uma perpendicular à charneira – FF’’’’é um ponto de ff!. A partir das projecções de AA e FF’’’’, desenharam-se as projecções da recta mm. Conduzindo, por BBrr, uma perpendicular àcharneira, determinaram-se as projecções de BB sobre as projecções homónimas de mm. A partir das projecções dos três vértices do triângu-lo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecçõesdo sólido). Sobre a determinação das projecções de VV, o vértice da pirâmide, ver relatório do exercício anterior. A partir das projecções detodos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [AA22CC22BB22VV22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaa--rreennttee hhoorriizzoonnttaall é [AA11BB11CC11VV11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, todos os vértices da pirâmide integram o contorno aparente – no entanto, a base é in-visível em projecção frontal, tal como a face lateral [AABBVV]. Assim, em projecção frontal, apenas a aresta [AABB] da base é invisível (as restantesarestas são todas visíveis, pois situam-se na parte visível do sólido). Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, todos os vértices da pirâmide integram tam-bém o contorno aparente – no entanto, a base é invisível em projecção horizontal, tal como a face lateral [AACCVV]. Assim, em projecção hori-zontal, apenas a aresta [AACC] da base é invisível (as restantes arestas são todas visíveis, pois situam-se na parte visível do sólido).

137

SOLUÇÕES

349.

Em primeiro lugar representou-se o ponto AA, pelas suas projecções, em função dos dados. Os dados permitiram-nos, ainda, determinar asprojecções de BB – o lado [AABB] é fronto-horizontal e projecta-se em V.G. em ambos os planos de projecção. A recta gg é a recta fronto-hori-zontal que passa por AA e BB. O plano está definido por um ponto (o ponto AA) e pela sua orientação (é dada a amplitude do diedro que o pla-no faz com o Plano Horizontal de Projecção). O primeiro problema que o exercício nos coloca é a determinação dos traços do plano, o quepoderia ser resolvido com o recurso a uma recta de perfil do plano, passando por AA, e com o rebatimento do plano de perfil que contivessea recta. No entanto, optou-se por uma situação diferente – o recurso a uma mudança do diedro de projecção, transformando o plano ! numplano de topo. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (ppllaannoo 22) por um novo plano de projecção (ppllaannoo 44), ortogonal ao plano !– o novo eixo XX (o eixo XX’’) é a recta de intersecção do ppllaannoo 11 (o Plano Horizontal de Projecção, que se manteve) com o ppllaannoo 44 e é per-pendicular ao eixo XX. As projecções de AA e BB no ppllaannoo 44 determinaram-se em função da sua cota (que é a mesma), que se manteve, o quenos permitiu, também, determinar a projecção da recta gg no ppllaannoo 44 – a recta gg, no novo diedro de projecção, é uma recta de topo, razãopela qual se assinalou gg44 entre parêntesis. O plano !, no novo diedro de projecção, é um plano de topo e o diedro que o plano faz com oPlano Horizontal de Projecção projecta-se em V.G. no ppllaannoo 44 – assim, o traço do plano ! no ppllaannoo 44 (ff44!) passa por AA44 (e por BB44) e faz,com o eixo XX’’, um ângulo de 40o (o ângulo dado). Uma vez que os dois traços do planos são concorrentes no eixo XX’’, pelo ponto em que ff44!intersecta o eixo XX conduziu-se uma paralela ao eixo XX inicial, que é hh!. Em seguida, recorrendo a um ponto MM, do plano (e com afastamen-to nulo no diedro de projecção inicial), determinou-se ff! (o traço frontal do plano ! no diedro de projecção inicial) – MM é um ponto de ff!. Otriângulo não se projecta em V.G., pois o plano ! não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processogeométrico auxiliar. Aproveitando a mudança do diedro de projecção efectuada, procedeu-se ao rebatimento do plano ! como plano projec-tante (no novo diedro de projecção, o plano ! é um plano de topo). A charneira foi hh! (hh! " ee11 " hh!rr) que, no novo diedro de projecção, éuma recta de topo – a projecção da charneira no ppllaannoo 44 é um ponto (ee44), que se assinalou devidamente entre parêntesis. Para rebater otraço frontal do plano (ff!) efectuou-se o rebatimento do ponto MM (que é um ponto de ff!), pelo rebatimento do plano de topo (sugere-se queo aluno ponha a folha de papel com o eixo XX’’ na horizontal, para melhor entendimento deste processo), obtendo MMrr – ff!rr passa por MMrr e éparalelo a hh!rr. Também através do rebatimento do plano de topo se rebateram os pontos AA e BB. A partir de AArr e BBrr, construiu-se o triângulo[AABBCC], em V.G., em rebatimento, e determinou-se ainda OOrr, o centro do triângulo. Para determinar as projecções de CC conduziu-se, por CCrruma recta rrrr – a recta rr é a recta suporte do lado [AACC] do triângulo. A recta rrrr é concorrente com hh!rr em HHrr (HH é o traço horizontal da recta rr)

(Continua na página seguinte)

138

SOLUÇÕES

350. RReessoolluuççããoo

e é concorrente com ff!rr em FFrr (FF é o traço frontal da recta rr). HH é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram ime-diatamente. As projecções de FF determinaram-se conduzindo, por FFrr, uma perpendicular à charneira – FF é um ponto de ff!. A partir das pro-jecções de FF e HH, desenharam-se as projecções da recta rr (note que as projecções da recta rr passam pelas projecções homónimas doponto AA, que é um ponto da recta – bastaria o traço horizontal da recta e o ponto AA para desenhar as projecções da recta). Conduzindo, porCCrr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de CC sobre as projecções homónimas de rr. Para inverter o rebatimentode OOrr conduziu-se, por OOrr, uma recta mmrr, fronto-horizontal – mmrr é concorrente com rrrr num ponto PPrr, cujas projecções se determinaram ime-diatamente, sobre as projecções homónimas da recta rr. Pelas projecções de PP conduziram-se as projecções homónimas de mm. Conduzin-do, por OOrr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de OO sobre as projecções homónimas de mm. A partir dasprojecções dos três vértices do triângulo [AABBCC], desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para oobjectivo do exercício, que é as projecções do sólido). O problema seguinte consiste em determinar as projecções do vértice DD (o quartovértice do tetraedro), pois não é conhecida a altura do sólido – apenas se sabe que as suas arestas têm todas o mesmo comprimento. Assim, o ponto DD situa-se numa recta ortogonal ao plano ! que passa por OO, estando equidistante dos outros três vértices do sólido. A rectaortogonal ao plano ! que passa por OO é uma recta de perfil (recta pp) e a aresta [CCDD] também é de perfil, pelo que é possível resolver o exer-cício em rebatimento, recorrendo ao rebatimento do plano de perfil que contém as duas rectas (a recta pp e a recta suporte da aresta [CCDD]).No entanto, atendendo à mudança do diedro de projecção efectuada, há que reconhecer que o ppllaannoo 44 é paralelo à aresta [CCDD], pelo queesta se projecta em V.G. no ppllaannoo 44. Por outro lado, na mudança do diedro de projecção efectuada, o plano ! é um plano de topo e a orto-gonalidade entre a recta pp e o plano ! também é directa. Assim, o processo mais simples consiste, efectivamente, em recorrer à mudançado diedro de projecção, para concluir o exercício. Em primeiro lugar, determinaram-se as projecções de OO e CC no ppllaannoo 44, através das linhas de chamada (perpendiculares ao eixo XX’’) que passam por OO11 e CC11 – OO44 e CC44 situam-se sobre ff44!, pois no novo diedro de projecção, oplano ! é projectante frontal. A projecção da recta pp, no ppllaannoo 44, passa por OO44 e é perpendicular a ff44!. Com o compasso, fazendo centro emCC44 e com 6 cm de raio (a medida da aresta do tetraedro, que é a medida do lado do triângulo [AABBCC]), determinou-se DD44 sobre pp44. DD11 tevedeterminação directa, a partir de DD44, e DD22 determinou-se através da cota de DD (que se manteve). A partir das projecções de todos os vérticesdo sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [AA22BB22DD22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é[AA11CC11BB11DD11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice CC, que é o vértice de menor afastamentodo sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a face [AABBDD] é a única face visível em projecçãofrontal. Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, todos os vértices da pirâmide integram o contorno aparente – no entanto, a face [AABBCC] é invisível em pro-jecção horizontal, tal como a face [AABBDD]. Assim, em projecção horizontal, apenas a aresta [AABB] é invisível.

(Relatório na página seguinte)

139

SOLUÇÕES

350. RReellaattóórriioo

Em primeiro lugar representaram-se os pontos AA e BB, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, desenhou-se o traço hori-zontal do plano ! – BB tem cota nula, pelo que hh! passa por BB1. Por AA e BB conduziu-se uma recta rr, do plano, e determinou-se o seu traçofrontal – ff! passa por FF22. Uma vez que o quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas pro-jecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto BB é um ponto do Plano Horizontal de Projecção,ao nível da economia de traçados é preferível efectuar o rebatimento do plano ! para o Plano Horizontal de Projecção (economiza-se o re-batimento de um ponto). Rebateu-se o plano ! para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hh!. BBrr " BB11, pois BB é um ponto dacharneira. Para rebater o plano ! há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto FF (que éum ponto de ff!), por exemplo. Para tal, conduziu-se, por FF, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro em FF11 e raioaté FF22 (a cota de FF) transportou-se essa distância até ao eixo XX, o que nos permitiu construir o triângulo do rebatimento de FF em V.G. e de-terminar FFrr (ver exercício 118888). O traço frontal do plano ! em rebatimento, ff!rr, passa por FFrr e é paralelo ao eixo XX (e a hh!rr). A recta rrrr está de-finida por BBrr e por FFrr. Conduzindo, por AA11, uma perpendicular à charneira, determinou-se AArr sobre rrrr. A partir de AArr e BBrr construiu-se oquadrado em V.G., em rebatimento, determinando CCrr e DDrr. Para inverter o rebatimento de CCrr e DDrr conduziu-se, pelos dois pontos, uma rectassrr, paralela à recta rrrr. A recta ssrr é concorrente com ff!rr no ponto FF’’rr (FF’’ é o traço frontal da recta ss). Note que o traço horizontal da recta ss sesitua fora dos limites do desenho. Conduzindo, por FF’’rr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de FF’’ – FF’’ é um pon-to de ff!. As projecções da recta ss determinaram-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de FF’’ e são paralelas às projec-ções homónimas da recta rr (a recta ss está definida por um ponto e uma direcção). Conduzindo, por CCrr e DDrr, as perpendiculares à charneiraque por eles passam, determinaram-se as projecções de CC e DD sobre as projecções homónimas da recta ss. A partir das projecções dosquatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exer-cício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de AA conduziram-se as projecções de uma recta pp, ortogonal a ! – arecta pp é a recta suporte da aresta lateral [AAAA’’] e é uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill (que está definida por um ponto – AA – e pela sua direcção – é orto-gonal a !). A recta pp é ortogonal às rectas de perfil do plano !. Para definir a recta pp conduziu-se, pela recta, um plano de perfil # e determinou-se a recta de intersecção de # com ! – recta ii (que está definida pelos seus traços, FF’’’’ e HH). A recta ii contém o ponto AA (que éum ponto dos dois planos) e a recta pp também – as duas rectas são perpendiculares no ponto AA. Por outro lado, $ vértice AA’’ situa-se sobrepp, a 7 cm de AA (a altura do prisma). Atendendo a que o segmento [AAAA’’] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, recorreu-se ao rebatimento do plano # para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi ff# (recta ee’’). A recta iirr fica definida por FF’’’’rr e HHrr.Note que o ponto AArr11 tem também de se situar sobre iirr, pois AA é um ponto da recta ii (AArr11 é o ponto AA no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano #). A recta pprr passa por AArr11 e é perpendicular a iirr em AArr11. Sobre pprr, a partir de AArr11, mediram-se os 7 cm, obtendo-seAA’’rr (garantindo que AA’’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de #, obtendo-se as projecções de AA’’. A partir das projecções de AA’’desenharam-se as projecções do quadrado [AA’’BB’’CC’’DD’’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [AABBCCDD] – BB’’, CC’’ e DD’’estão nas rectas de perfil ortogonais a ! que contêm BB, CC e DD, respectivamente. Assim, pelas projecções de AA’’ conduziram-se as projec-ções homónimas da recta suporte do segmento [AA’’BB’’], até encontrarem as projecções homónimas da recta de perfil que contém a aresta lateral [BBBB’’] – o ponto de concorrência das duas rectas é BB’’. Repetiu-se o processo para DD’’, a partir de AA’’, e ainda para CC’’, a partir de BB’’ oude DD’’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é[AA22BB22CC22CC’’22DD’’22AA’’22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [AA11AA’’11BB’’11CC’’11CC11DD11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, existem dois vértices que não integram ocontorno aparente – o vértice BB’’ (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem)e o vértice DD (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em pprroojjeeccççããoohhoorriizzoonnttaall, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice DD’’ (que é o vértice de maior cota, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice BB (que é o vértice de menor cota, pelo que é invisível bem como todasas arestas que nele convergem). Note que a base [AABBCCDD] é invisível em ambas as projecções e que a base [AA’’BB’’CC’’DD’’] é visível em ambasas projecções. Em projecção horizontal, as faces laterais [CCCC’’DD’’DD] e [AAAA’’DD’’DD] são visíveis – no entanto, estas faces são invisíveis em projecçãofrontal. Já as faces [AAAA’’BB’’BB] e [BBBB’’CC’’CC], são visíveis em projecção frontal e invisíveis em projecção horizontal.

140

SOLUÇÕES

351.Em primeiro lugar representaram-se os pontos RR e SS, pelas suas projec-ções, em função dos dados. Por RR e SS conduziu-se uma recta rr, do plano,e determinaram-se os seus traços nos planos de projecção – pelos traçosda recta conduziram-se os traços homónimos do plano !. Uma vez que otriângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção,para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processogeométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano ! para o Plano Horizontalde Projecção – a charneira foi hh!. HHrr " HH11, pois HH (o traço horizontal darecta rr) é um ponto da charneira. Para rebater o plano ! há que rebater oseu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – oponto FF (o traço frontal da recta rr, que é um ponto de ff!), por exemplo.Para tal, conduziu-se, por FF, uma perpendicular à charneira – com o com-passo, fazendo centro em FF11 e raio até FF22 (a cota de FF) transportou-seessa distância até ao eixo XX, o que nos permitiu construir o triângulo dorebatimento de FF em V.G. e determinar FFrr (ver exercício 118888). O traço frontaldo plano ! em rebatimento, ff!rr, passa por FFrr e é paralelo ao eixo XX (e a hh!rr).A recta rrrr está definida por HHrr e por FFrr. Conduzindo, por RR11 e por SS11, asperpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se RRrr eSSrr sobre rrrr. A partir de RRrr e SSrr construiu-se o triângulo equilátero [RRrrSSrrTTrr]em V.G., em rebatimento, determinando TTrr. Para inverter o rebatimento deTTrr conduziu-se, pelo ponto, uma recta ssrr, paralela à recta rrrr. A recta ssrr éconcorrente com ff!rr no ponto FF’’rr (FF’’ é o traço frontal da recta ss) e é con-corrente com hh!rr no ponto HH’’rr (HH’’ é o traço horizontal da recta ss). Condu-zindo, por FF’’rr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se asprojecções de FF’’ – FF’’ é um ponto de ff!. HH’’rr " HH’’11, pois HH’’ é um ponto dacharneira. As projecções da recta ss determinaram-se imediatamente –passam pelas projecções homónimas de FF’’ e HH’’ (e são paralelas às pro-jecções homónimas da recta rr). Conduzindo, por TTrr, uma perpendicularà charneira, determinaram-se as projecções de TT sobre as projecçõeshomónimas da recta ss. A partir das projecções dos três vértices do triân-gulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se deum traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções dosólido). Em seguida, pelas projecções de RR conduziram-se as projecções de uma recta pp, ortogonal a ! – a recta pp é a recta suporte da arestalateral [RRRR’’] e é uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill (que está definida por um ponto – RR – e pela sua direcção – é ortogonal a !). A determinação das projec-ções do ponto RR’’, o extremo superior da aresta lateral [RRRR’’] determinou-se conforme exposto no relatório do exercício anterior para o ponto AA’’.O plano # é o plano de perfil que contém a recta pp. A recta ii (definida por FF’’’’ e por HH’’’’) é a recta de intersecção do plano # com o plano !. Rebateu-se o plano # para o Plano Frontal de Projecção – iirr fica definida por FF’’’’rr e por HH’’’’rr (e passa por RRrr11). A recta pprr é perpendicular a iirr emRRrr11. RR’’rr situa-se sobre pprr a 6 cm de RRrr11 (a altura do prisma). Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de RR’’. A partir das projecções de RR’’ desenharam-se as projecções do triângulo [RR’’SS’’TT’’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do triângulo [RRSSTT]– SS’’ e TT’’ estão nas rectas de perfil ortogonais a ! que contêm SS e TT, respectivamente. Assim, pelas projecções de RR’’ conduziram-se as projec-ções homónimas da recta suporte do segmento [RR’’SS’’], até encontrarem as projecções homónimas da recta de perfil que contem a aresta lateral[SSSS’’] – o ponto de concorrência das duas rectas é SS’’. Repetiu-se o processo para TT’’, a partir de RR’’. A partir das projecções de todos os vérticesdo sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [SS22SS’’22RR’’22TT’’22TT22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é[RR11SS11SS’’11TT’’11TT11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice RR’’, que é o vértice de menor afasta-mento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, também existe um vértice que não inte-gra o contorno aparente – o vértice RR’’, que é o vértice de maior cota, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem. Noteque a base [RRSSTT] é invisível em ambas as projecções e que a base [RR’’SS’’TT’’] é visível em ambas as projecções. Em projecção horizontal, as faceslaterais [RRRR’’SS’’SS] e [RRRR’’TT’’TT] são visíveis – no entanto, estas faces são invisíveis em projecção frontal. Já a face lateral [SSSS’’TT’’TT] é visível emprojecção frontal e invisível em projecção horizontal.

352.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ! é ortogonal ao $1/3, pelo que os seus traçossão simétricos em relação ao eixo XX. Uma vez que a circunferência circunscrita ao rectângulo [AABBCCDD] é tangente aos dois planos de projec-ção, sabe-se que a circunferência é tangente aos dois traços do plano. Por outro lado, uma vez que a diagonal [AACC] do plano é de perfil e queAA tem cota nula, sabe-se que a circunferência será tangente a hh! em AA. É possível, imediatamente, determinar as projecções de AA (que é umponto de hh!). Por outro lado, atendendo a que CC será o outro extremo da diagonal, CC terá de ser o ponto em que a circunferência será tangentea ff! – este raciocínio permite-nos, imediatamente, determinar as projecções de CC (que é um ponto de ff! com a mesma abcissa de AA). Só é pos-sível desenhar a circunferência em V.G., com o recurso a um processo geométrico auxiliar, pois o plano ! não é paralelo a nenhum dos planosde projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano !. Uma vez que o ponto AA é um ponto do Plano Horizontal de Projecção e que CC é um pontodo Plano Frontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano ! para o Plano Horizontal de Pro-jecção ou para o Plano Frontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano ! para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hh!. AArr " AA11,pois AA é um ponto da charneira. Para rebater o plano ! há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos –o ponto CC, por exemplo. Para tal, conduziu-se, por CC, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro em CC11 e raio até CC22

(Continua na página seguinte)

141

SOLUÇÕES

353.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo XX) e pelo ponto AA. Uma vez que o triângulonão se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processogeométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ! para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hh! (que é o próprio eixo XX).O ponto AA rebateu-se pelo triângulo do rebatimento (ver exercício 119955 e respectivo relatório). Em rebatimento, construiu-se o triângulo equi-látero [AABBCC] em V.G., em função dos dados. O ângulo que o lado [AABB] faz com o eixo XX é o âânngguulloo rreeaall, no espaço, e não em projecções,pelo que só é possível medir esse ângulo em V.G., em rebatimento. Por AArr conduziu-se uma recta fazendo um ângulo de 45o com o eixo XX,de forma a que BBrr se situe nessa recta à esquerda de AA e tenha cota inferior a AA – essa recta é rrrr, que é a recta suporte do lado [AABB] em rebatimento. Sobre rrrr mediram-se os 5 cm (o lado do triângulo) e determinou-se BBrr, sobre rrrr. A partir de AArr e BBrr construiu-se o triângulo equi-látero [AArrBBrrCCrr] em V.G., em rebatimento, e determinou-se OOrr, o centro do triângulo. Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano, inver-tendo o rebatimento dos pontos CCrr e OOrr, com o recurso a rectas oblíquas do plano (que são rectas passantes). As projecções da recta rrdeterminam-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas do ponto AA e são concorrentes entre si no ponto de concorrência

(a cota de CC), transportou-se essa distância até ao eixo XX, o que nospermitiu construir o triângulo do rebatimento de CC em V.G. e determinarCCrr (ver exercício 118888). O traço frontal do plano ! em rebatimento, ff!rr,passa por CCrr e é paralelo ao eixo XX (e a hh!rr). Em rebatimento, deter-minou-se o ponto médio de [AArrCCrr] (com o recurso à construção damediatriz de um segmento de recta) e, com centro nesse ponto e raioaté AArr (ou CCrr), desenhou-se a circunferência circunscrita ao rectângulo,em V.G., em rebatimento (note que a circunferência é tangente a ff!rrem CCrr e é tangente a hh!rr em AArr). Em rebatimento, efectuou-se a cons-trução do rectângulo, inscrito na circunferência, de acordo com osdados. Tenha em conta que o ângulo dado (o ângulo que o lado [AABB]do rectângulo faz com hh!) é um ângulo que eessttáá ccoonnttiiddoo no plano(trata-se do ângulo entre duas rectas) e não tem correspondência directa em projecções, pois o plano ! não é paralelo a nenhum dosplanos de projecção. O ângulo que [AABB] faz com hh! pode, em rebati-mento, ser medido em V.G. – com vértice em AArr, mediram-se os 25o

com hh!rr, com abertura para a direita, garantindo que o vértice BB se si-tua à direita de AA (note que BBrr tem de se situar sobre a circunferência).A partir de BBrr , determinou-se DDrr, sobre a circunferência e no extremo oposto do diâmetro que passa por BBrr. Para inverter o rebati-mento de BBrr e DDrr conduziu-se, pelos dois pontos, uma recta rrrr (a recta rré a recta suporte da diagonal [BBDD]). A recta rrrr é concorrente com ff!rr noponto FFrr (FF é o traço frontal da recta rr) e é concorrente com hh!rr no pontoHHrr (HH é o traço horizontal da recta rr). Conduzindo, por FFrr, uma perpen-dicular à charneira, determinaram-se as projecções de FF – FF é um pontode ff!. HHrr " HH11, pois HH é um ponto da charneira. As projecções da rectarr determinaram-se imediatamente – passam pelas projecções homóni-mas de FF e HH. Conduzindo, por BBrr e DDrr, as perpendiculares à charneiraque por eles passam, determinaram-se as projecções de BB e DD sobreas projecções homónimas da recta rr. A partir das projecções dos quatrovértices do rectângulo, desenharam-se as suas projecções (a traçoleve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de AAconduziram-se as projecções de uma recta pp, ortogonal a ! – a recta pp é a recta suporte da aresta [AAAA’’] (sendo [AA’’BB’’CC’’DD’’] a face superiordo paralelepípedo) e é uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill (que está definida por um ponto – AA – e pela sua direcção – é ortogonal a !). A determinação dasprojecções do ponto AA’’, o extremo superior da aresta [AAAA’’] determinou-se conforme exposto no relatório do exercício 335500. O plano # é o planode perfil que contém a recta pp. A recta ii é a recta de intersecção do plano # com o plano ! (note que a recta ii está definida por AA e por CC, quesão os seus traços nos planos de projecção – AA é o traço horizontal de ii e CC é o seu traço frontal). Rebateu-se o plano # para o Plano Frontalde Projecção – iirr fica definida por AArr11 e por CCrr11 (note que AArr11 e CCrr11 são, respectivamente, os pontos AA e CC rebatidos pelo seu segundo rebati-mento – o rebatimento do plano #). A recta pprr é perpendicular a iirr em AArr11. AA’’rr situa-se sobre pprr a 4 cm de AArr11 (a altura do sólido). Invertendo orebatimento, determinaram-se as projecções de AA’’. A partir das projecções de AA’’ desenharam-se as projecções do rectângulo [AA’’BB’’CC’’DD’’], cujoslados são paralelos aos lados correspondentes do rectângulo [AABBCCDD] – BB’’, CC’’ e DD’’ estão nas rectas de perfil ortogonais a ! que contêm BB, CC e DD,respectivamente (ver relatório do exercício 335500). A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornosaparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [AA22BB22BB’’22CC’’22DD’’22DD22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [CC11DD11DD’’11AA’’11BB’’11BB11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall,existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice AA’’ (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem comotodas as arestas que nele convergem) e o vértice CC (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível bem como todas as arestasque nele convergem). Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice CC’’ (que éo vértice de maior cota, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice AA (que é o vértice de menor cota,pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Note que a face [AABBCCDD] é invisível em ambas as projecções e que aface [AA’’BB’’CC’’DD’’] é visível em ambas as projecções. Em projecção horizontal, as faces [CCCC’’DD’’DD] e [BBBB’’CC’’CC] são visíveis – no entanto, estas facessão invisíveis em projecção frontal. Já as faces [AAAA’’BB’’BB] e [AAAA’’DD’’DD] são visíveis em projecção frontal e invisíveis em projecção horizontal.

(Continua na página seguinte)

142

SOLUÇÕES

da recta rr com o eixo XX. Conduzindo, por BBrr, uma perpendicular àcharneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira quecontém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecçõesde BB sobre as projecções homónimas da recta rr. A recta ssrr é a rectaparalela à recta rrrr que passa por OOrr – as projecções da recta ssdeterminaram-se imediatamente, paralelas às projecções homó-nimas da recta rr. A recta ss está definida por um ponto (o seu pontode concorrência com o eixo XX, que é fixo) e por uma direcção (é paralela à recta rr). Conduzindo, por OOrr, uma perpendicular àcharneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira quecontém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecçõesde OO sobre as projecções homónimas da recta ss. A recta mmrr é arecta paralela às rectas rrrr e ssrr que passa por CCrr – as projecções darecta mm determinaram-se imediatamente, paralelas às projecçõeshomónimas das rectas rr e ss. A recta mm está definida por um ponto(o seu ponto de concorrência com o eixo XX, que é fixo) e por umadirecção (é paralela às rectas rr e ss). Conduzindo, por CCrr, uma per-pendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à char-neira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se asprojecções de CC sobre as projecções homónimas da recta mm. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam--se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçadoauxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido).Em seguida, pelas projecções de OO conduziram-se as projecçõesde uma recta pp, ortogonal a ! – a recta pp é a recta suporte do eixo da pirâmide e é uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill (que está definida por um ponto – OO – epela sua direcção – é ortogonal a !). A recta pp é ortogonal às rectas de perfil do plano !. Para definir a recta pp conduziu-se, pela recta, um planode perfil " e determinou-se a recta de intersecção de " com ! – recta ii (que está definida pelo ponto OO e pelo seu ponto de concorrência com oeixo XX, pois trata-se de uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill ppaassssaannttee). A recta ii contém o ponto OO (que é um ponto dos dois planos) e a recta pp também – asduas rectas são perpendiculares no ponto OO. Por outro lado, # vértice VV, da pirâmide, situa-se sobre pp e, uma vez que tem cota nula, será o traçohorizontal da recta pp. A determinação do traço horizontal da recta pp implica o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebati-mento do plano " para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi ff" (recta ee’’). A recta iirr fica definida por OOrr11 e pelo seu ponto de concorrênciacom o eixo XX, que é fixo, pois é um ponto da charneira (OOrr11 é o ponto OO no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano "). A recta pprrpassa por OOrr11 e é perpendicular a iirr em OOrr11. Em rebatimento, determinou-se o traço horizontal da recta pp, que é VVrr – invertendo o rebatimento,determinaram-se as projecções de VV. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – occoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [AA22VV22BB22CC22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [AA11BB11CC11VV11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, todos os vértices do sólidointegram o contorno aparente frontal. No entanto, a base da pirâmide é invisível, bem como a face lateral [AABBVV], pelo que a única aresta invisí-vel em projecção frontal é a aresta [AABB] da base. Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, todos os vértices integram, igualmente, o contorno aparente hori-zontal. No entanto, ao contrário da projecção frontal, a base é visível, bem como a face lateral [AACCVV] – as faces laterais [AABBVV] e [BBCCVV] sãoambas invisíveis em projecção horizontal, pelo que a aresta lateral [BBVV] é a única aresta invisível, em projecção horizontal. Note que a base dosólido é visível em projecção horizontal e invisível em projecção frontal, pois o plano ! é um plano em tensão.

354.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo XX) e pelo ponto OO. Uma vez que o quadradonão se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processogeométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ! para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hh! (que é o próprio eixo XX).O ponto OO rebateu-se pelo triângulo do rebatimento (ver exercício 119955 e respectivo relatório). Em rebatimento, com o compasso, fazendocentro em OOrr e com 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao quadrado e construiu-se o quadrado [AABBCCDD] em V.G., emfunção dos dados. O ângulo que o lado [AABB] faz com o eixo XX é o âânngguulloo rreeaall, no espaço, e não em projecções, pelo que só é possível mediresse ângulo em V.G., em rebatimento. A diagonal [AACC] faz um ângulo de 45o com o lado [AABB] que, por sua vez, faz um ângulo de 20o com oeixo XX – a diagonal [AACC] faz, assim, um ângulo de 65o com o eixo XX (20o+45o = 65o). Este raciocínio permitiu-nos efectuar a construção doquadrado, em rebatimento. Note que se garantiu que AA é o vértice de menor afastamento do quadrado (é o vértice mais próximo do eixo XX)e que se situa à direita de BB. Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano, invertendo o rebatimento dos vértices do quadrado, com o re-curso a rectas oblíquas do plano (que são rectas passantes). A recta rrrr é a recta suporte da diagonal [BBDD] do quadrado em rebatimento – noteque rrrr passa por OOrr. As projecções da recta rr determinam-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de OO e são concorrentesentre si no ponto de concorrência da recta rr com o eixo XX. Conduzindo, por BBrr e DDrr, as perpendiculares à charneira que por eles passam (eque correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaram-se as projecções deBB e DD sobre as projecções homónimas da recta rr. A recta ssrr é a recta suporte do lado [AABB] do quadrado, em rebatimento. As projecções darecta ss determinam-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de BB e são concorrentes entre si no ponto de concorrência darecta ss com o eixo XX. Conduzindo, por AArr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém oarco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de AA sobre as projecções homónimas da recta ss. A recta mmrr é a recta suporte dolado [CCDD] do quadrado, em rebatimento – note que mmrr é paralela a ssrr. As projecções da recta mm determinam-se imediatamente – passam

(Continua na página seguinte)

143

SOLUÇÕES

pelas projecções homónimas de DD e são paralelas às projecções homónimas da recta ss (a recta mm está definida por um ponto (o ponto DD) epor uma direcção (é paralela à recta ss) – note que o ponto de concorrência da recta mm com o eixo XX se situa fora dos limites do desenho, masque já tínhamos as projecções do ponto DD. Conduzindo, por CCrr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à char-neira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de CC sobre as projecções homónimas da recta mm. A partir dasprojecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o ob-jectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de OO conduziram-se as projecções de uma recta pp, ortogo-nal a ! – a recta pp é a recta suporte do eixo da pirâmide e é uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill (que está definida por um ponto – OO – e pela sua direcção – éortogonal a !). A recta pp é ortogonal às rectas de perfil do plano !. Para definir a recta pp conduziu-se, pela recta, um plano de perfil " e determi-nou-se a recta de intersecção de " com ! – recta ii (que está definida pelo ponto OO e pelo seu ponto de concorrência com o eixo XX, pois trata-sede uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill ppaassssaannttee). A recta ii contém o ponto OO (que é um ponto dos dois planos) e a recta pp também – as duas rectas são per-pendiculares no ponto OO. Por outro lado, # vértice VV, da pirâmide, situa-se sobre pp e, uma vez que tem afastamento nulo, será o traço frontal darecta pp. A determinação do traço frontal da recta pp implica o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano "para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi ff" (recta ee’’). A recta iirr fica definida por OOrr11 e pelo seu ponto de concorrência com o eixo XX,que é fixo, pois é um ponto da charneira (OOrr11 é o ponto OO no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano "). A recta pprr passa por OOrr11 eé perpendicular a iirr em OOrr11. Em rebatimento, determinou-se o traço frontal da recta pp, que é VVrr – invertendo o rebatimento, determinaram-se asprojecções de VV. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreenntteeffrroonnttaall é [AA22BB22VV22DD22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [AA11DD11CC11BB11VV11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, existe um único vértice que não integra o con-torno aparente frontal – o vértice CC, que é o vértice de maior afastamento da pirâmide, pelo que é visível, bem como todas as arestas que neleconvergem. Note que a base da pirâmide é visível em projecção frontal, bem como as faces laterais [BBCCVV] e [CCDDVV]. Já as faces laterais [AADDVV]e [AABBVV] são invisíveis, pelo que a única aresta invisível em projecção frontal é a aresta lateral [AAVV]. Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, todos os vérticesda pirâmide integram o contorno aparente horizontal. No entanto, por oposição à projecção frontal, a base é invisível em projecção horizontal,bem como a face lateral [AABBVV] – a aresta [AABB] da base é a única aresta invisível da pirâmide, em projecção horizontal. Note que as faces late-rais [AADDVV], [CCDDVV] e [BBCCVV] são visíveis em projecção horizontal. Note que a base do sólido é invisível em projecção horizontal e visível em pro-jecção frontal, pois o plano ! é um plano em tensão.

144

SOLUÇÕES

355.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços e peloponto AA. Uma vez que o quadrado [AABBCCDD] não se projecta em V.G.em nenhum dos planos de projecção (o plano ! não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), para construir as suas projec-ções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Op-tou-se pelo rebatimento do plano ! para o Plano Frontal deProjecção – a charneira foi ff! (que é o próprio eixo XX). O ponto AA re-bateu-se pelo triângulo do rebatimento. O ângulo que o lado [AABB]faz com o eixo XX é o âânngguulloo rreeaall, no espaço, e não em projecções,pelo que só é possível medir esse ângulo em V.G., em rebatimento.Por AArr conduziu-se uma recta fazendo um ângulo de 30° com o eixoXX, de forma a que BBrr se situe nessa recta à direita de AA e tenha afas-tamento superior a AA – BBrr tem de estar mais distante do eixo XX doque AArr. Sobre essa recta, a partir de AArr, mediram-se os 5 cm (aaresta do cubo), obtendo BBrr. A partir de AArr e BBrr, construiu-se o qua-drado [AABBCCDD] em V.G., em rebatimento. Inverteu-se o rebatimentodo plano !, com o recurso às rectas suportes dos lados [AADD] e [BBCC]do quadrado, que são rectas passantes. A recta rrrr é, em rebatimen-to, a recta suporte do lado [AADD] do quadrado – as projecções da rec-ta rr determinaram--se imediatamente (passam pelas projecçõeshomónimas de AA e são concorrentes entre si no ponto de concorrên-cia da recta rr com o eixo XX). Conduzindo, por DDrr, uma perpendicularà charneira, determinaram-se as projecções de DD sobre as projec-ções homónimas da recta rr. A recta ssrr é, em rebatimento, a rectasuporte do lado [BBCC] do quadrado (ssrr é paralela a rrrr) – as projecçõesda recta ss determinaram-se imediatamente, paralelas às projecçõeshomónimas da recta rr. A recta rr está definida por um ponto (o seuponto de concorrência com o eixo XX, que é fixo) e por uma direcção(é paralela à recta rr). Conduzindo, por BBrr e CCrr, as perpendiculares àcharneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de BBe CC sobre as projecções homónimas da recta ss. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções(a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecçõesde AA conduziram-se as projecções de uma recta pp, ortogonal a ! – a recta pp é a recta suporte da aresta [AAAA’’] (considerando que o quadrado[AA’’BB’’CC’’DD’’] é a face superior o sólido) e é uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill (que está definida por um ponto – AA – e pela sua direcção – é ortogonal a !). Arecta pp é ortogonal às rectas de perfil do plano !. Para definir a recta pp conduziu-se, pela recta, um plano de perfil " e determinou-se a recta deintersecção de " com ! – recta ii (que está definida pelo ponto AA e pelo seu ponto de concorrência com o eixo XX, pois trata-se de uma rreeccttaa ddeeppeerrffiill ppaassssaannttee). A recta ii contém o ponto AA (que é um ponto dos dois planos) e a recta pp também – as duas rectas são perpendiculares noponto AA. Por outro lado, # vértice AA’’ situa-se sobre pp, a 5 cm de AA (a aresta do cubo). Atendendo a que o segmento [AAAA’’] não se projecta emV.G. em nenhum dos planos de projecção, recorreu-se ao rebatimento do plano " para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi ff" (rectaee’’). A recta iirr fica definida por AArr11 e pelo seu ponto de concorrência com o eixo XX, que é fixo, pois é um ponto da charneira (AArr11 é o ponto AA noseu segundo rebatimento – no rebatimento do plano "). A recta pprr passa por AArr11 e é perpendicular a iirr em AArr11. Sobre pprr, a partir de AArr11, medi-ram-se os 5 cm, obtendo-se AA’’rr (garantindo que AA’’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de ", obtendo-se as projecções de AA’’. Apartir das projecções de AA’’ desenharam-se as projecções do quadrado [AA’’BB’’CC’’DD’’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes doquadrado [AABBCCDD] – BB’’, CC’’ e DD’’ situam-se nas rectas de perfil ortogonais a ! que contêm BB, CC e DD, respectivamente. Assim, pelas projecções deAA’’ conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [AA’’BB’’], até encontrarem as projecções homónimas da recta de perfil que con-tem a aresta [BBBB’’] – o ponto de concorrência das duas rectas é BB’’. Repetiu-se o processo para DD’’, a partir de AA’’, e para CC’’, a partir de BB’’ ou deDD’’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é[AA22BB22BB’’22CC’’22DD’’22DD22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [BB11CC11DD11DD’’11AA’’11BB’’11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, existem dois vértices que não integram ocontorno aparente – o vértice AA’’ (que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que neleconvergem) e o vértice CC (que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem).Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice CC’’ (que é o vértice de maior cota dosólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice AA (que é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Note que a face [AABBCCDD] é invisível em projecção horizontal e visível em projecçãofrontal (o plano ! é um plano em tensão), enquanto que a face [AA’’BB’’CC’’DD’’] é invisível em projecção frontal e visível em projecção horizontal.

145

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representou-se o ponto OO, pelas suas projecções, em função dos dados – OO é um ponto do !1/3, pelo que as suas coorde-nadas são iguais. Note que o !1/3 não carece de representação. Uma vez que o pentágono regular [AABBCCDDEE] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o !1/3 não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), para construir as suas projecções é necessário orecurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do !1/3 para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi o próprio eixo XX.O ponto OO rebateu-se pelo triângulo do rebatimento. Com centro em OOrr e 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono,em rebatimento, e construiu-se o polígono, inscrito na circunferência, de acordo com os dados – o seu lado mais à esquerda é de perfil (ou seja, é perpendicular ao eixo XX) Note que a ordem dos vértices é arbitrária, pois o enunciado é omisso. Para inverter o rebatimento do !1/3recorreu-se a rectas do plano (poder-se-ia, também, ter recorrido ao triângulo do rebatimento, mas trata-se de um processo mais moroso e me-nos rigoroso). A recta rrrr é, em rebatimento, uma recta do !1/3 que passa por OOrr, e que é paralela ao lado [AArrBBrr] do pentágono em rebatimento –a recta rr é uma recta passante, cujas projecções se determinam imediatamente, pois são concorrentes entre si no ponto de concorrência da rec-ta com o eixo XX e passam pelas projecções homónimas do ponto OO (a recta rr fica definida por dois pontos – o ponto OO e o seu ponto de con-corrência com o eixo XX). Note que as projecções da recta rr são simétricas em relação ao eixo XX. A recta aarr é outra recta do !1/3 que passa porAArr e BBrr – a recta aa é a recta suporte do lado [AABB] do pentágono e é necessariamente paralela à recta rr. As projecções da recta aa determinam-seimediatamente, pois está definida por um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo XX) e por uma direcção (é paralela à recta rr). Condu-zindo, por AArr e BBrr, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de AA e BB sobre as projecções homóni-mas da recta aa. A recta bbrr é, em rebatimento, a recta suporte da diagonal [CCEE] do pentágono (bbrr é paralela a rrrr e a aarr) – as projecções da rectabb determinaram-se imediatamente, paralelas às projecções homónimas das rectas rr e aa. A recta bb está definida por um ponto (o seu ponto deconcorrência com o eixo XX, que é fixo) e por uma direcção (é paralela às rectas rr e aa). Conduzindo, por CCrr e EErr, as perpendiculares à charneiraque por eles passam, determinaram-se as projecções de CC e EE sobre as projecções homónimas da recta bb. A recta mmrr é, em rebatimento, arecta fronto-horizontal do !1/3 que passa por DDrr – a recta mmrr é concorrente com a recta aarr no ponto PPrr. As projecções do ponto PP determinam-seimediatamente, sobre as projecções homónimas da recta aa, com o recurso à perpendicular à charneira que passa por PPrr. Pelas projecções dePP conduziram-se as projecções homónimas da recta mm – conduzindo, por DDrr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecçõesde DD sobre as projecções homónimas da recta mm. A partir das projecções dos cinco vértices do pentágono, desenharam-se as suas projec-ções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). É dado que existe um único vértice do prisma com cota nula. Uma vez que o prisma se situa no 1o Diedro, esse vértice será o vértice de menor cota do sólido – será ovértice da base [AA’’BB’’CC’’DD’’EE’’] correspondente ao vértice EE (que é o vértice de menor cota da base [AABBCCDDEE]). Assim, pelas projecções de EE con-duziram-se as projecções de uma recta pp, ortogonal a " – a recta pp é a recta suporte da aresta [EEEE’’] e é uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill (que está definida

356.

(Continua na página seguinte)

146

SOLUÇÕES

357.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços, e ospontos PP e QQ, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ! é ortogonal ao "2/4, pelo que tem os seus traços coinciden-tes. O ponto PP é um ponto do Plano Horizontal de Projecção (PP temcota nula), pelo que é um ponto de hh!. A recta hh é a recta horizontal(de nível) do plano, com 4 cm de cota, a que se recorreu para deter-minar as projecções do ponto QQ. O triângulo [PPQQRR] não se projectaem V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano que o con-tém – o plano ! – é oblíquo a ambos os planos de projecção) peloque é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Oponto PP é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, pelo que,atendendo a uma maior economia de traçados, se optou por reba-ter o plano ! para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foihh e PPrr # PP11, pois PP é um ponto da charneira. É necessário rebater ff,o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto FF(o traço frontal da recta hh). Por FF11 conduziu-se uma perpendicular àcharneira – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrên-cia dos traços do plano e raio até FF22, transportou-se essa distânciapara a perpendicular à charneira que passa por FF11, obtendo FFrr. O traço frontal do plano rebatido (ff!rr) passa por FFrr e é concorrentecom hh!rr no eixo XX. Por FFrr conduziu-se a recta hhrr, paralela a hh!rr. Con-duzindo, por QQ11, uma perpendicular à charneira, determinou-se QQrrsobre hhrr . A partir de PPrr e de QQrr, construiu-se o triângulo [PPQQRR] emVG., em rebatimento e, com vista à determinação das projecções da pirâmide, determinou-se também o seu centro – o ponto OO. A inversão dorebatimento dos pontos OO e RR processou-se com o recurso às rectas frontais (de frente) que por eles passam – ver exercício 118833 e respectivorelatório. A recta ff é a recta frontal (de frente) que nos permitiu determinar as projecções de RR. A recta ff’’ é a recta frontal (de frente) que nospermitiu determinar as projecções de OO. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve,pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de OO conduzi-ram-se as projecções homónimas de uma recta pp, ortogonal a ! – a recta pp é a recta suporte do eixo da pirâmide. O vértice VV, da pirâmide, porque tem afastamento nulo, é o traço frontal da recta pp, o que nos permite determinar imediatamente as suas projecções, sem o recurso a qualquer outro rebatimento. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – occoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [PP22VV22QQ22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [QQ11RR11VV11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, há um vértice que não integra ocontorno aparente – o vértice RR, que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível (bem como todas as arestas que nele con-vergem). A base do sólido é visível, bem como as faces laterais [PPRRVV] e [QQRRVV] (a face lateral [PPQQVV] é a única face invisível em projecção frontal).Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice PP, que é o vértice de menor cota do sólido, pelo que éinvisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A base do sólido é invisível, bem como as faces laterais [PPRRVV] e [PPQQVV] (a facelateral [QQRRVV] é a única face visível em projecção frontal). Note que o plano ! é um plano em tensão, o que justifica o facto de a base ser invi-sível em projecção horizontal e ser visível em projecção frontal.

por um ponto – EE – e pela sua direcção – é ortogonal ao "1/3). A recta pp é ortogonal às rectas de perfil do "1/3. Para definir a recta pp conduziu-se,pela recta, um plano de perfil $ e determinou-se a recta de intersecção de $ com % – recta ii (que está definida pelo ponto EE e pelo seu ponto deconcorrência com o eixo XX, pois trata-se de uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill ppaassssaannttee). A recta ii contém o ponto EE (que é um ponto dos dois planos) e a rec-ta pp também – as duas rectas são perpendiculares no ponto EE. Por outro lado, & vértice EE’’ será o ponto da recta pp que tiver cota nula – será o tra-ço horizontal da recta pp. A determinação do traço horizontal da recta pp requer o recurso a outro processo geométrico auxiliar. Optou-se pelorebatimento do plano $ para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi ff$ (recta ee’’). A recta iirr fica definida por EErr11 e pelo seu ponto de concor-rência com o eixo XX, que é fixo, pois é um ponto da charneira (EErr11 é o ponto EE no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano $). A rectapprr passa por EErr11 e é perpendicular a iirr em EErr11. EE’’rr é o traço horizontal da recta pp em rebatimento – invertendo o rebatimento, determinaram-se asprojecções do ponto EE’’. A partir das projecções de EE’’ desenharam-se as projecções do pentágono [AA’’BB’’CC’’DD’’EE’’], cujos lados são paralelos aoslados correspondentes do pentágono [AABBCCDDEE] – AA’’, BB’’, CC’’ e DD’’ situam-se nas rectas de perfil ortogonais ao "1/3 que contêm AA, BB, CC e DD, respec-tivamente. Assim, pelas projecções de EE’’ conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [EE’’DD’’], até encontrarem as projecções ho-mónimas da recta de perfil que contem a aresta [DDDD’’] – o ponto de concorrência das duas rectas é DD’’. Repetiu-se o processo para AA’’, a partir deEE’’, bem como para BB’’ (a partir de AA’’) e para CC’’ (a partir de BB’’). Note que, uma vez que o lado [CC’’DD’’] é de perfil, não seria possível determinar DD’’ apartir de CC’’, sem o recurso a outro processo geométrico auxiliar. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seuscontornos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [AA22BB22CC22CC’’22DD’’22EE’’22AA’’22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [AA11EE11DD11CC11CC’’11BB’’11AA’’11]. Note quea face lateral [CCCC’’DD’’DD] do prisma é de perfil, que é duplamente projectante, pelo que não há invisibilidades a assinalar nesta face – as arestas in-visíveis estão ocultas por arestas visíveis. Ao nível dos restantes vértices do sólido, em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice EE (que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas quenele convergem) e o vértice BB’’ (que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele conver-gem). Sem referir os vértices da face de perfil (pelas razões já indicadas), em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, também existem dois vértices que não inte-gram o contorno aparente – o vértice BB (que é o vértice de maior cota do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que neleconvergem) e o vértice EE’’ (que é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Noteque a base [AABBCCDDEE] é visível em projecção horizontal e invisível em projecção frontal (o "1/3 é um plano em tensão), enquanto que a base[AA’’BB’’CC’’DD’’EE’’] é visível em projecção frontal e invisível em projecção horizontal.

147

SOLUÇÕES

358.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seustraços, em função dos dados. O plano ! tem os seustraços simétricos em relação ao eixo XX, pois é ortogonalao "1/3. O plano ! é oblíquo aos dois planos de projec-ção, pelo que o triângulo equilátero [AABBCC] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção– é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ! para oPlano Horizontal de Projecção. Note que, uma vez queé dado que a circunferência circunscrita ao triângulo[AABBCC] é tangente aos dois planos de projecção, sabe--se que a circunferência é tangente aos dois traços doplano – este dado não nos permite, de forma directa,determinar as projecções do centro da circunferência, oponto OO, pelo que é necessário, antes de mais, rebatero plano. Para rebater o plano ! há que rebater o seutraço frontal, o que se processa rebatendo um dos seuspontos – o ponto PP (que é um ponto qualquer de ff!).Para tal, conduziu-se, por PP11, uma perpendicular àcharneira. Os traços do plano ! são concorrentes numponto fixo (um ponto do eixo XX, que é um ponto dacharneira). Com o recurso ao compasso, fazendo cen-tro nesse ponto e raio até PP22, transportou-se essa dis-tância até à perpendicular à charneira que passa por PP11e obteve-se PPrr – ff!rr passa por PPrr e é concorrente comhh!rr no eixo XX. Em rebatimento, determinou-se o pontoque está a 4 cm de ff!rr e de hh!rr – esse ponto é OOrr, que éo centro da circunferência circunscrita ao triângulo, emrebatimento. Com o compasso fazendo centro em OOrr ecom 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência cir-cunscrita ao triângulo, que é necessariamente tangentea hh#rr e a ff#rr. Em seguida, procedeu-se à construção dotriângulo, de acordo com os dados – CC tem cota nula,pelo que é um ponto de hh!, e o lado [AABB] é horizontal(de nível), pelo que é paralelo a hh!. CCrr é, assim, o pontode tangência da circunferência a hh!rr. O lado [AArrBBrr] tem de ser paralelo a hh!rr, o que implica que um dos seus extremos (BBrr na resoluçãoapresentada) tem de se situar nneecceessssaarriiaammeennttee sobre ff!rr (é o ponto de tangência da circunferência com ff!rr). Em seguida, procedeu-se à in-versão do rebatimento do plano !. O ponto CC é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinam imediatamente – CC11 $ CCrre CC22 situa-se no eixo XX. O ponto BB é um ponto de ff!, pelo que as suas projecções também se determinam imediatamente – conduzindo, porBBrr, uma perpendicular à charneira, obtém-se BB11 no eixo XX e BB22 situa-se sobre ff!, na linha de chamada de BB11. A recta hh é a recta horizontal(de nível) que é a recta suporte do lado [AABB] do triângulo – as projecções da recta hh determinam-se imediatamente (a recta hh está definidapor um ponto – o ponto BB e por uma direcção – é paralela a hh!). Conduzindo, por AArr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se asprojecções de AA sobre as projecções homónimas da recta hh. A recta hh’’ é a recta horizontal (de nível) do plano a que se recorreu para inver-ter o rebatimento de OO – hh’’rr passa por OOrr e é concorrente com ff!rr em FFrr (FF é o traço frontal de hh’’). Conduzindo, por FFrr, uma perpendicular àcharneira, determinaram-se as projecções de FF (FF é um ponto de ff!). Pelas projecções de FF conduziram-se as projecções homónimas darecta hh’’. Conduzindo, por OOrr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de OO sobre as projecções homónimas da rec-ta hh’’. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado au-xiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Atendendo a que um tetraedro toma a forma aparente de uma pirâmidetriangular regular, sabe-se que o eixo do sólido (relativo à face [AABBCC]) passa por OO e é ortogonal ao plano ! – assim, pelas projecções de OOconduziram-se as projecções homónimas de uma recta pp, ortogonal a !. A recta é necessariamente uma recta do "1/3 (é uma recta passan-te). O quarto vértice do sólido, o vértice DD, situa-se sobre pp, equidistante de AA, de BB e de CC. Nenhuma das arestas [AADD], [BBDD] e [CCDD] se pro-jecta em V.G., pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano projectantehorizontal da recta pp – o plano %. Note que o plano % contém simultaneamente o eixo do sólido (relativo à face [AABBCC]) bem como a aresta[CCDD], sendo esta que nos permitirá determinar o vértice DD do sólido. Rebateu-se o plano % para o Plano Frontal de Projecção – a charneirafoi ff% (recta ee’’) – rebatendo OO e AA. OOrr11 e AArr11 são os pontos OO e AA, rebatidos no seu segundo rebatimento (no rebatimento do plano %). O pon-to de concorrência da recta pp com o eixo XX é fixo (é um ponto da charneira) – pprr passa por esse ponto e por OOrr11. Uma vez que as arestas dosólido são todas iguais e que DDrr tem de se situar sobre pprr, com o compasso, fazendo centro em AArr11 e com raio AA!rr!BB!rr! = BB!rr!CC!rr! = AA!rr!CC!rr! determi-nou-se DDrr sobre pprr. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de DD sobre as projecções homónimas da recta pp. A partir dasprojecções de todos os vértices do sólido, desenharam--se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [AA22VV22CC22] e o ccoonn--ttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [AA11BB11VV11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice BB. Este é o vérti-ce de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A face [AABBCC] do sólido é invisível,bem como as faces [AABBDD] e [BBCCDD] (a face [AACCDD] é a única face visível em projecção frontal). Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, há um vértice quenão integra o contorno aparente – o vértice CC. Este é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas quenele convergem). A face [AABBDD] é a única face visível em projecção horizontal – as restantes faces são invisíveis em projecção horizontal.

148

SOLUÇÕES

359.Em primeiro lugar representou-se a recta rr, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, determinaram-se os traços da recta rr nosplanos de projecção (FF é o traço frontal da recta rr e o ponto AA é o próprio traço horizontal da recta) pelos quais se conduziram os traços ho-mónimos do plano ! – hh! passa por AA11 e é perpendicular a rr11 (a recta rr é uma recta de maior declive do plano) e ff! passa por FF22 e é concor-rente com hh! no eixo XX. O plano ! é oblíquo aos dois planos de projecção, pelo que o triângulo equilátero [AABBCC] não se projecta em V.G.em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ! – umavez que o ponto AA é um ponto de hh!, com vista a uma maior economia de traçados, rebateu-se o plano ! para o Plano Horizontal de Projecção(a charneira foi hh! e tem-se imediatamente AArr " AA11 pois AA é um ponto da charneira). Para rebater o plano ! há que rebater o seu traço frontal, oque se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto FF (o traço frontal da recta rr), por exemplo. Para tal conduziu-se, por FF11, uma perpen-dicular à charneira. Os traços do plano ! são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo XX, que é um ponto da charneira). Com o recursoao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até FF22, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por FF11 e obteve--se FFrr – ff!rr passa por FFrr e é concorrente com hh!rr no eixo XX. A recta rrrr fica definida por AArr e por FFrr. A utilidade da recta rr para rebater o ponto OO énula, pelo que se recorreu a uma recta horizontal (de nível) hh, do plano, passando por OO – FF’’ é o traço frontal da recta hh. As rectas hh e rr são con-correntes em OO. Conduzindo, por FF’’11, uma perpendicular à charneira, determinou-se FFrr sobre ff!rr. Por FF’’rr conduziu-se hhrr, paralela a hh!rr – OOrr é oponto de concorrência de hhrr com rrrr. Com o compasso, fazendo centro em OOrr e raio até AArr, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triân-gulo em V.G., em rebatimento, e construiu-se o triângulo em rebatimento. O lado [BBrrCCrr] é paralelo à recta hhrr, o que significa que está contidonoutra recta horizontal (de nível do plano. Inverteu-se o rebatimento desta recta (conforme exposto no relatório do exercício anterior), o quenos permitiu determinar as projecções de BB e CC (ver exercício anterior e respectivo relatório). Note que se omitiram as notações referentes àrecta horizontal (de nível) que contém o lado [BBCC] do triângulo, bem como as referentes ao seu traço frontal, com vista a não sobrecarregar emdemasia a resolução gráfica apresentada. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traçoleve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Sobre a determinação do vértice DDdo tetraedro, ver exercício anterior e respectivo relatório. O plano # é o plano vertical que contém a recta pp e o vértice AA do tetraedro. Reba-teu-se o plano # para o Plano Frontal de Projecção – a recta pp rebateu-se a partir do rebatimento de OO e de HH, o seu traço horizontal. A partir dasprojecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [AA22VV22BB22] e o ccoonnttoorrnnooaappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [BB11CC11VV11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice CC. Este é o vértice demenor afastamento do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A face [AABBCC] do sólido é invisível, bemcomo as faces [AACCDD] e [BBCCDD] (a face [AABBDD] é a única face visível em projecção frontal). Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, há um vértice que nãointegra o contorno aparente – o vértice AA. Este é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas quenele convergem). A face [BBCCDD] é a única face visível em projecção horizontal – as restantes faces são invisíveis em projecção horizontal.

149

SOLUÇÕES

360.Em primeiro lugar representaram-se os pontos AA e BB, pelas suasprojecções, em função dos dados. AA é um ponto com cota nula,pelo que é um ponto de hh!, o que nos permitiu desenhar imediata-mente hh!. Para determinar o traço frontal do plano poder-se-ia con-duzir, por AA e BB, uma recta do plano e determinar o seu traçofrontal, mas este situa-se fora dos limites do papel, pelo que se optou por prosseguir com o exercício, mesmo sem determinar ff!.O plano ! não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, peloque o quadrado [AABBCCDD] não se projecta em VG. – é necessário orecurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebati-mento do plano !. Uma vez que ff! não é conhecido e que AA é umponto de hh!, optou-se por rebater o plano ! para o Plano Horizontalde Projecção – a charneira foi hh! e AArr " AA11 pois AA é um ponto dacharneira. O ponto BB rebateu-se com o recurso ao seu triângulo dorebatimento. A partir de AArr e BBrr, construiu-se o quadrado [AABBCCDD]em V.G., em rebatimento. Para inverter o rebatimento, recorreu-se aduas rectas do plano – as rectas suporte dos lados [AADD] e [BBCC] doquadrado. A recta rrrr é, em rebatimento, a recta suporte do lado[BBCC] do quadrado. A recta rrrr é concorrente com hh!rr em HHrr (HH é otraço horizontal da recta rr). HH é um ponto da charneira, pelo que éfixo – as projecções de HH determinam-se imediatamente. A partirdas projecções de BB e HH, foi possível desenhar as projecções darecta rr e determinar o seu traço frontal, FF. O traço frontal do plano,ff!, passa por FF22. Conduzindo, por FF11, uma perpendicular à charneira,determinou-se FFrr sobre rrrr – ff!rr passa por FFrr. Em seguida, conduziu--se, por CCrr, uma perpendicular à charneira e determinaram-se asprojecções de CC sobre as projecções homónimas da recta rr. Parainverter o rebatimento de DDrr recorreu-se à recta ssrr – esta é, em rebatimento, a recta suporte do lado [AADD] do quadrado. A recta ssrré concorrente com hh!rr em AArr (AA é o próprio traço horizontal da recta ss) e é concorrente com ff!rr em FF’’rr (FF’’ é o traço frontal da recta ss). Con-duzindo, por FF’’rr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de FF’’ (FF’’ é um ponto de ff!). As projecções da recta ss ficamdefinidas pelas projecções de AA e FF’’. Conduzindo, por DDrr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de DD sobre asprojecções homónimas da recta ss. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traçoleve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, efectuaram-se as cons-truções necessárias à determinação das projecções dos vértices da face superior do cubo (a face [AA’’BB’’CC’’DD’’]), conforme exposto no relatóriodo exercício 335522, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. A recta pp é a recta ortogonal ao plano ! que passa por AA (é a rectasuporte da aresta [AAAA’’]). O plano # é o plano que contém a recta pp. A recta ii é a recta de intersecção do plano # com o plano !. FF’’’’ é o traçofrontal da recta ii e AA é o seu traço horizontal. As rectas pp e ii são perpendiculares em AA. AArr11 é o ponto AA rebatido pelo seu segundo rebatimento– o rebatimento do plano #. O ponto AA’’rr é um ponto de pprr tal que AA!’’!rr!AA!rr!11!= AA!rr!BB!rr! = AA!rr!DD!rr! = BB!rr!CC!rr! = CC!rr!DD!rr! (que é a medida da aresta do cubo). A partir das projecções de AA’’ desenharam-se as projecções do quadrado [AA’’BB’’CC’’DD’’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentesdo quadrado [AABBCCDD]. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o ccoonnttoorrnnooaappaarreennttee ffrroonnttaall é [AA22BB22BB’’22CC’’22DD’’22DD22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [BB11CC11DD11DD’’11AA’’11BB’’11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, existem dois vérticesque não integram o contorno aparente – o vértice CC (que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível bem como todasas arestas que nele convergem) e o vértice AA’’ (que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível, bem como todas as ares-tas que nele convergem). Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice CC’’ (queé o vértice de maior cota do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice AA (que é o vértice de me-nor cota do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Note que a face [AABBCCDD] é invisível em ambas asprojecções e a face [AA’’BB’’CC’’DD’’] é visível em ambas as projecções.

(Continua na página seguinte)

361.Em primeiro lugar representou-se o plano !, pelos seus traços (que estão coincidentes no eixo XX), e o ponto OO, pela sua projecção horizontal (aúnica que os dados do exercício nos permitem localizar de forma directa). O plano está definido pela sua orientação – é necessário, antes demais, definir totalmente o plano e determinar a projecção frontal do ponto OO. O diedro que o plano ! faz com o Plano Horizontal de Projecção tema mesma amplitude que o ângulo que as rectas de perfil de ! fazem com o Plano Horizontal de Projecção. Assim, conduziu-se, por OO, um planode perfil # – a recta ii é a recta de intersecção do plano # com o plano !. A recta ii é uma recta de perfil passante – está definida por um ponto (oseu ponto de concorrência com o eixo XX) e por uma direcção (faz um ângulo de 30o com o Plano Horizontal de Projecção). Rebateu-se o plano# para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi ff# (recta ee). O ângulo que a recta ii faz com o Plano Horizontal de Projecção é igual (tem amesma amplitude) ao ângulo que a recta ii faz com hh# e esse ângulo está em V.G. em rebatimento – em rebatimento, desenhou-se iirr, fazendo umângulo de 30o com hh#rr e passando pelo seu ponto fixo (o ponto de concorrência com o eixo XX). Rebatendo o ponto OO a partir da sua projecçãohorizontal, determinou-se OOrr sobre iirr – invertendo o rebatimento, determinou-se OO22. Note que o ponto OO é um ponto do 1o Diedro e se garantiuque a recta iirr passa pelo quadrante em que OOrr se situa (o plano ! atravessa os 1o e 3o Diedros). Em seguida, procedeu--se à construção do triân-gulo [AABBCC] – este está contido no plano !, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que não se projecta em V.G. nenhum

150

SOLUÇÕES

dos planos de projecção. Nesse sentido, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano ! parao Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hh!, que é o próprio eixo XX). O ponto OO rebateu-se pelo seu triângulo do rebatimento, obtendo-seOOrr11 (OOrr11 é o ponto OO rebatido no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano !). Com o compasso, fazendo centro em OOrr11, desenhou-sea circunferência circunscrita ao triângulo e construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, de acordo com os dados (o lado [AABB] é fronto-hori-zontal e CC é o vértice de maior cota do triângulo, ou seja, o vértice mais distante do eixo XX). Para inverter o rebatimento do plano !, recorreu-se arectas do plano (poder-se-ia, também, ter recorrido ao triângulo do rebatimento, mas trata-se de um processo mais moroso e menos rigoroso). Arecta rrrr é, em rebatimento, uma recta do plano ! que passa por OOrr e que é paralela ao lado [AArrCCrr] do triângulo em rebatimento – a recta rr é umarecta passante, cujas projecções se determinam imediatamente, pois são concorrentes entre si no ponto de concorrência da recta com o eixo XXe passam pelas projecções homónimas do ponto OO (a recta rr fica definida por dois pontos – o ponto OO e o seu ponto de concorrência com oeixo XX). A recta ssrr é outra recta do plano ! e passa por AArr e CCrr – a recta ss é a recta suporte do lado [AACC] do triângulo e é necessariamente parale-la à recta rr. As projecções da recta ss determinam-se imediatamente, pois está definida por um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo XX)e por uma direcção (é paralela à recta rr). Conduzindo, por AArr e CCrr, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as pro-jecções de AA e CC sobre as projecções homónimas da recta ss. A recta mmrr é, em rebatimento, a recta fronto-horizontal que passa por AArr e é a rectasuporte do lado [AABB] do triângulo – as projecções da recta mm determinam-se imediatamente, passando pelas projecções homónimas do ponto AA(a recta mm está definida por um ponto – AA – e por uma direcção – é fronto-horizontal). Conduzindo, por BBrr, uma perpendicular à charneira, deter-minaram-se as projecções de BB sobre as projecções homónimas da recta mm. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam--se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Emseguida, pelas projecções de CC conduziram-se as projecções de uma recta pp, ortogonal a ! – a recta pp é a recta suporte da aresta [CCCC’’] (consi-derando que o triângulo [AA’’BB’’CC’’] é a base superior do sólido) e é uma rreeccttaa ddee ppeerrffiill (que está definida por um ponto – CC – e pela sua direcção– é ortogonal a !). A recta pp é ortogonal às rectas de perfil do plano !.Para definir a recta pp conduziu-se, pela recta, um plano de perfil " (é oplano de perfil com o qual se iniciou o exercício) e determinou-se arecta de intersecção de " com ! – a recta ii (que é a recta inicialmentedeterminada). A recta ii contém o ponto CC (que é um ponto dos doisplanos) e a recta pp também – as duas rectas são perpendiculares noponto CC. Por outro lado, # vértice CC’’ situa-se sobre pp, a 6 cm de CC (aaltura do prisma). Atendendo a que o segmento [CCCC’’] não se projectaem V.G. em nenhum dos planos de projecção, recorreu-se ao rebati-mento já efectuado do plano " para o Plano Frontal de Projecção. Arecta iirr já estava definida e CCrr11 é um ponto de iirr (CCrr11 é o ponto CC noseu segundo rebatimento – no rebatimento do plano "). A recta pprr éperpendicular a iirr em CCrr11. Sobre pprr, a partir de CCrr11, mediram-se os 6cm, obtendo-se CC’’rr (garantindo que CC’’ se situa no 1o Diedro). Inver-teu-se o rebatimento de ", obtendo-se as projecções de CC’’. A partirdas projecções de CC’’ desenharam-se as projecções do triângulo[AA’’BB’’CC’’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes dotriângulo [AABBCC] – ver exercício 335555 e respectivo re-latório. A partir das projecções de todos os vérti-ces do sólido, desenharam-se os seus contornosaparentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é[AA22BB22BB’’22CC’’22AA’’22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaallé [BB11CC11AA11AA’’11BB’’11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, existe umvértice que não integra o contorno aparente – ovértice CC (que é o vértice de maior afastamento dosólido, pelo que é visível bem como todas as ares-tas que nele convergem). Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonn--ttaall, também existe um vértice que não integra ocontorno aparente – o vértice CC’’ (que é o vérticede maior cota do sólido, pelo que é visível bemcomo todas as arestas que nele convergem). Noteque a base [AABBCC] é invisível em projecção hori-zontal e visível em projecção frontal (o plano ! éum plano em tensão), enquanto que a base[AA’’BB’’CC’’] é invisível em projecção frontal e visívelem projecção horizontal.

362.Em primeiro lugar representou-se o plano $, pelo seu traço horizontal (o único que é dado) e o ponto AA, pelas suas projecções, em função dosdados. O ponto AA é um ponto com cota nula, pelo que é um ponto de hh$. Os dados do enunciado não nos permitem desenhar ff$ – note que oângulo dado (o ângulo entre os dois traços do plano) é o âânngguulloo rreeaall, que existe nnoo eessppaaççoo (ou, mais correctamente, que está contido no pla-no $) e não tem correspondência directa em projecções, pois o plano $ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Trata-se, portanto,de uma situação semelhante à do exercício 220033, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. O plano $ não é paralelo a nenhumdos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Rebateu-se o plano $ para o Plano Horizontal deProjecção, pois não se conhece o seu traço frontal (que seria a charneira, caso se efectuasse o rebatimento do plano $ para o Plano Frontal de

(Continua na página seguinte)

151

SOLUÇÕES

Projecção). Assim, a charneira foi hh!, pelo que se tem imediatamente AArr " AA11, pois AA é um ponto da charneira. Em rebatimento, com vértice noponto de concorrência dos dois traços do plano (que é um ponto fixo, pois é um ponto da charneira) e a partir de hh!rr, mediram-se os 70o (o ân-gulo entre os dois traços do plano) em V.G., em rebatimento, o que nos permitiu desenhar ff!rr. O vértice BB, do triângulo, tem afastamento nulo,pelo que BB é um ponto de ff! – BBrr situa-se sobre ff!rr, a 6 cm (a medida do lado do triângulo) de AArr. A partir de AArr e de BBrr construiu-se o triângulo[AABBCC] em V.G., em rebatimento e determinou-se o ponto OOrr (o centro do triângulo, em rebatimento), com vista à determinação das projecçõesda pirâmide. Para inverter o rebatimento, é necessário determinar ff!, o que se processa determinando as projecções de um dos seus pontos –o ponto BB, neste caso, que é um ponto de ff!. Por BBrr conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se BB11 no eixo XX (BB é um pontocom afastamento nulo). Com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é fixo) e raio até BBrr, dese-nhou-se um arco de circunferência até à linha de chamada de BB11, onde se situa BB22 – ff! passa por BB22 e é concorrente com hh! no eixo XX. A inver-são do rebatimento dos pontos CCrr e OOrr processou-se com o recurso às rectas horizontais (de nível) do plano ! que por eles passam (e cujasnotações se omitiram). A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se deum traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Sobre a determinação do vértice da pirâmide, ver exercício333399 e respectivo relatório. A recta pp, passando por OO, é a recta ortogonal ao plano ! que contém o eixo da pirâmide. O plano # é o plano pro-jectante horizontal da recta pp. Rebateu-se o plano # para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi ff# (recta ee’’). A recta pp rebateu-se com orecurso a dois dos seus pontos – OO e FF, o seu traço frontal (que é um ponto fixo, pois situa-se na charneira). OOrr11 é o ponto OO rebatido pelo seu se-gundo rebatimento – o rebatimento do plano #. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes– o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ffrroonnttaall é [AA22CC22VV22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorriizzoonnttaall é [AA11CC11VV11]. Em pprroojjeeccççããoo ffrroonnttaall, existe um vértice que não integra ocontorno aparente – o vértice BB (que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele conver-gem). Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, também existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice AA (que é o vértice de menor cota do sóli-do, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Note que a base [AABBCC] é invisível em ambas as projecções.

(Continua na página seguinte)

363.Em primeiro lugar, representou-se o plano $, pelo seu traço frontal (o único que é conhecido), e o ponto AA, pela sua projecção frontal (a únicaque os dados do exercício nos permitem localizar de forma directa). O plano está definido pela sua orientação – é necessário, antes de mais, de-finir totalmente o plano e determinar a projecção horizontal do ponto AA. O diedro que o plano $ faz com o Plano Horizontal de Projecção tem amesma amplitude que o ângulo que as rectas de perfil de $ fazem com o Plano Horizontal de Projecção. Assim, conduziu-se, por AA, um plano deperfil % – a recta ii é a recta de intersecção do plano % com o plano $. A recta ii é uma recta de perfil que está definida por um ponto (o seu traçofrontal FF) e por uma direcção (faz um ângulo de 30o com o Plano Horizontal de Projecção). Rebateu-se o plano % para o Plano Frontal de Projec-ção – a charneira foi ff% (recta ee). O ponto FF é um ponto fixo, pois situa-se na charneira. O ângulo que a recta ii faz com o Plano Horizontal de Pro-jecção é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que a recta ii faz com hh% e esse ângulo está em V.G. em rebatimento – em rebatimento,desenhou-se iirr, fazendo um ângulo de 30o com hh%rr e passando pelo seu ponto fixo (FFrr). AA é o traço horizontal da recta ii, o que nos permitiu

152

SOLUÇÕES

determinar imediatamente AArr. Invertendo o rebatimento, determinou-se AA11 – por AA11 conduziu-se hh!. Note que o ponto AA é um ponto com afasta-mento positivo, e é pedido expressamente que o traço horizontal do plano tenha afastamento positivo (AA é um ponto de hh! pois tem cota nula).Em seguida, procedeu-se à construção do triângulo [AABBCC] – este está contido no plano !, que não é paralelo a nenhum dos planos de projec-ção, pelo que não se projecta em V.G. nenhum dos planos de projecção. Nesse sentido, é necessário o recurso a um processo geométrico auxi-liar – optou-se pelo rebatimento do plano ! para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi ff! – recta ee’’). O triângulo do rebatimento de AA jáestá em V.G. no triângulo [FFrrAA22AArr] – a hipotenusa do triângulo do rebatimento é, assim, [FFrrAArr], que já está em V.G., no rebatimento do plano ".Assim, com o recurso ao compasso, fazendo centro em FFrr e raio até AArr, desenhou-se o arco do rebatimento de AA (pelo rebatimento do plano ")e determinou-se AArr11 (AArr11 é o ponto AA rebatido pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano !). Note que o ângulo dado (o ângulo queo lado [AABB] do quadrado faz com hh!) é um ângulo que eessttáá ccoonnttiiddoo no plano (trata-se do ângulo entre duas rectas) e não tem correspondênciadirecta em projecções, pois o plano ! não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Esse ângulo pode, em rebatimento, ser medido emV.G. – o lado [AABB] faz, com hh!, um ângulo de 30o e o vértice BB situa-se à direita de AA. Com vértice em AArr11 e a partir de hh!rr, mediram-se os 30o, ob-tendo a recta suporte do lado [AABB] em rebatimento – sobre essa recta mediram-se os 5 cm (o lado do quadrado) e determinou-se BBrr. A partir deAArr11 e BBrr construiu-se o quadrado [AABBCCDD] em V.G, em rebatimento. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a duas rectas do plano – as rectassuporte dos lados [AADD] e [BBCC] do quadrado. A recta rrrr é, em rebatimento, a recta suporte do lado [AADD] do quadrado. A recta rrrr é concorrentecom hh!rr em AArr11 (AA é o traço horizontal da recta rr) e é concorrente com ff!rr em FF’’rr (FF’’ é o traço frontal da recta rr). FF’’ é um ponto da charneira, peloque é fixo – as projecções de FF’’ determinam-se imediatamente. As projecções de AA já são conhecidas. A partir das projecções de FF’’ e AA, foi pos-sível desenhar as projecções da recta rr. Em seguida conduziu-se, por DDrr, uma perpendicular à charneira e determinaram-se as projecções de DDsobre as projecções homónimas da recta rr. Para inverter o rebatimento de BBrr e CCrr recorreu-se à recta ssrr – esta é, em rebatimento, a recta suportedo lado [BBCC] do quadrado. A recta ssrr é paralela à recta rrrr. A recta ssrr é concorrente com ff!rr em FF’’’’rr (FF’’’’ é o traço frontal da recta ss). As projecçõesde FF’’’’ determinaram-se imediatamente, pois é um ponto da charneira. As projecções da recta ss determinam-se imediatamente – passam pelasprojecções homónimas de FF’’’’ e são paralelas às projecções homónimas da recta rr (a recta ss está definida por um ponto e uma direcção). Con-duzindo, por BBrr e CCrr, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de BB e CC sobre as projecções homó-nimas da recta ss. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de umtraçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Sobre a determinação das projecções do prisma, ver exercício 335500e respectivo relatório. Com vista a uma maior economia de traçados, optou-se por conduzir a recta pp pelo ponto AA, uma vez que existe umaquantidade significativa de traçados precedentes que nos permite economizar traçado. A recta pp é a recta ortogonal a ! que passa por AA (é arecta suporte da aresta lateral [AAAA’’] do prisma. A recta pp está definida por um ponto (o ponto AA) e por uma direcção (é ortogonal a !). A recta ii(já determinada no início do exercício) é a rectade intersecção do plano " com o plano !. Resol-veu-se a questão da altura do prisma em rebati-mento, no rebatimento previamente efectuado doplano " – a recta pprr é perpendicular à recta iirr emAArr. Sobre pprr, a partir de AArr, mediram-se os 8 cm(a altura do prisma), obtendo AA’’rr. Invertendo orebatimento, determinaram-se as projecções deAA’’ – a partir destas, determinaram-se as projec-ções dos restantes vértices da base superior dosólido (ver exercício 335500 e respectivo relatório).A partir das projecções de todos os vértices dosólido, desenharam-se os seus contornos apa-rentes – o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee ff rroonnttaall é[AA22BB22BB’’22CC’’22DD’’22DD22] e o ccoonnttoorrnnoo aappaarreennttee hhoorrii--zzoonnttaall é [CC11DD11DD’’11AA’’11BB’’11BB11]. Em pprroojjeeccççããooffrroonnttaall, existem dois vértices que não integramo contorno aparente – o vértice AA’’ (que é o vér-tice de maior afastamento do sólido, pelo que évisível bem como todas as arestas que neleconvergem) e o vértice CC (que é o vértice demenor afastamento do sólido, pelo que é invisí-vel bem como todas as arestas que nele con-vergem). Em pprroojjeeccççããoo hhoorriizzoonnttaall, tambémexistem dois vértices que não integram o contor-no aparente – o vértice CC’’ (que é o vértice demaior cota do sólido, pelo que é visível bemcomo todas as arestas que nele convergem) e ovértice AA (que é o vértice de menor cota do sóli-do, pelo que é invisível bem como todas as ares-tas que nele convergem).