Soluciones tema 3

Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación

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1 ES

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G U Í A D I DÁ C T I C A UNIDAD 3

Potencias yraíz cuadrada

CO N T E N I D O

2 Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada

INTRODUCCIÓNLos contenidos de este tema se deben dar una vez que los alumnos dominen las operaciones básicas (suma, resta, mul-tiplicación y división) con los números enteros. Las potencias y las raíces cuadradas son conceptos instrumentales quese van a utilizar profusamente en toda la secundaria, por lo que conviene que se capten correctamente.

El concepto de potencia se puede introducir como una forma abreviada de escribir multiplicaciones de un mismo ente-ro. Conviene relacionar el estudio de las potencias con la geometría, las potencias de exponente 2 con los cuadrados ylas de exponente 3 con los cubos.

La aplicación de la definición de potencia para las potencias de base negativa, junto con las reglas de los signos, debellevarnos a la relación del signo de la potencia con la paridad del exponente.

El concepto de raíz no es nuevo para los alumnos. En esta unidad no se explica el algoritmo para su cálculo, lo que sepretende es que las calculen por tanteo, entendiendo la raíz cuadrada como la operación inversa de elevar al cuadrado.Conviene empezar con el cálculo de raíces cuadradas exactas, y una vez dominado, pasar al cálculo de raíces cuadra-das enteras mediante aproximación de cuadrados, calculando el resto.

• Potencia de exponente natural. Base y exponente.

• Potencias de exponentes 2 y 3: cuadrados y cubos.

• Potencias de base de un número negativo.

• Calcular el signo de potencias de base negativa.

• Potencia de un producto y de un cociente.

• Producto y cociente de potencias de igual base.

• Base y exponente de productos y cocientes de potenciasde la misma base.

• Potencias de exponente 1 y 0.

• Potencia de una potencia, base y exponente.

• Reducción de expresiones sencillas a una sola potencia.

• Reducción de expresiones complejas a una sola potencia.

• Cuadrados perfectos.

• Raíz cuadrada exacta.

• Cálculo de raíces exactas.

• Raíz cuadrada entera, resto de la raíz.

• Cálculo de raíz cuadrada entera y su resto.

• Resolución de problemas que impliquen el uso de poten-cias y raíces.

Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada

CONTENIDOS

Programación de aula

OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACIÓNCOMPETENCIAS

BÁSICAS

1. Entender los conceptos de poten-cia y raíz cuadrada, así como uti-lizar e interpretar las potencias yraíces cuadradas en expresionesmatemáticas sencillas, manipu-lando los algoritmos de cálculonecesarios.

1.1 Distinguir la base y el expo-nente de una potencia entera.

1.2 Operar con potencias de pro-ductos y cocientes, con produc-tos y cocientes de potencias dela misma base o con potenciasde potencias.

1.3 Calcular la raíz exacta de unnúmero.

1.4 Calcular la raíz cuadra enterade un número y su resto.

• Lingüística• Matemática• Interacción con el mundo físico• Social y ciudadana• Tratamiento de la información y

competencia digital• Aprender a aprender2. Resolver problemas relacionados

con la vida cotidiana describiendoverbalmente el proceso elegido ylas soluciones obtenidas, y utili-zando correctamente las poten-cias y las raíces cuadradas.

2.1 Plantear y resolver problemasutilizando potencias y/o raícescuadradas.

3Potencias y raíz cuadrada Unidad 3


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previosLos alumnos deben dominar todo lo relativo a las operaciones con números naturales y números enteros para com-prender el concepto de potencia.

2. Previsión de dificultadesLa principal dificultad que van a encontrar los alumnos es la aplicación simultánea, en un mismo ejercicio, de dos o máspropiedades de las potencias. Para evitarlo sería conveniente dedicar una sesión a realizar las actividades 28, 34, 37 y65 a 68.

3. Vinculación con otras áreasEn los epígrafes se detallará de una forma más concreta la vinculación con otras áreas, aunque podemos afirmar quelas potencias y la aplicación de sus propiedades para el cálculo están presentes en todos los campos de la ciencia, la eco-nomía, la técnica y la sociedad.

4. Esquema general de la unidadEsta unidad es fundamental en el desarrollo algebraico de toda la etapa. Captar correctamente los conceptos de poten-cias y raíz cuadrada evita posibles errores en el futuro. Se va a ver la potencia como una multiplicación abreviada, y laraíz cuadrada, como la operación inversa de la potencia de exponente 2. Se puede considerar que la unidad está dividi-da en dos partes, una relacionada con potencias y otra con raíces cuadradas.

Comienza la unidad con la definición de poten-cia como una expresión abreviada de una mul-tiplicación de factores iguales, definiendo labase y el exponente de la potencia. Se resaltanlas potencias de exponentes 2 y 3, los cuadra-dos y cubos, y las potencias de base negativa.

A continuación se expone cómo operar con laspotencias de un producto y de un cocienteexpandiéndolas a productos y cocientes depotencias.

Seguidamente se enseña a trabajar con el pro-ducto y el cociente de potencias de la mismabase y a pasarlos a una única potencia de la mis-ma base. Como caso particular aparecen laspotencias de exponente 1 y 0. Las potencias depotencias permiten obtener una única potencia.

Una vez terminada la parte de potencias se pasaa definir cuadrado perfecto y la raíz cuadradaexacta como la base de un cuadrado perfecto.Si el radicando no es un cuadrado perfecto, sepuede definir la raíz cuadrada entera y el res-to de la raíz.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones:

1.ª Introducción. Potencias de exponente natural.

2.ª Potencia de un producto y de un cociente. Producto y cociente de potencias de la misma base.

3.ª Potencia de potencia. Reducción de expresiones a una sola potencia.

4.ª Cuadrado perfecto. Raíz cuadrada exacta.

5.ª Raíz cuadrada entera. Resto.

6.ª y 7.ª Actividades de consolidación.

8.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad.

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesa-rias para desarrollar la unidad.

Potencias deexponente natural

POTENCIAS Y RAÍZCUADRADA

Operacionescon potenciasde la misma

base

Potencia deun producto

Potencia deun cociente

Potencia deuna potencia

Raíz cuadrada enteraResto

Cuadrados perfectosRaíz cuadrada exacta

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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad. En especial, con el texto de entrada, el epígrafe 1 y los proble-mas contextualizados se desarrolla de una forma más concreta la subcompetencia comunicación escrita.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas lassubcompetencias e indicadores.

Como la unidad está dedicada a las potencias y sus propiedades, se trabaja sobre todo la subcompetencia uso de ele-mentos y herramientas matemáticas.

Competencia para la interacción con el mundo físicoEn la unidad hay varias actividades que hacen referencia a la aplicación de las potencias y las raíces a situaciones con-cretas de la vida real.

Competencia social y ciudadanaA partir del texto de entrada podremos hacer una reflexión que nos ayude a desarrollar la subcompetencia desarrollopersonal y social.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalA lo largo de la unidad aparecen en LIBROSVIVOS y EN LA RED varias referencias para realizar actividades interactivasy buscar información con el fin de desarrollar y ampliar los contenidos de la unidad, desarrollando la subcompetenciadel uso de herramientas tecnológicas.

El texto de entrada, junto con la primera actividad de “Pon a prueba tus competencias”, contribuye de forma especial adesarrollar la subcompetencia obtención, transformación y comunicación de la información.

Competencia para aprender a aprenderAlgunas de las actividades propuestas, y con mayor carácter las de ampliación, permiten averiguar la adquisición de estacompetencia, en especial la subcompetencia conciencia y control de las propias capacidades y conocimiento del propioaprendizaje.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críticodel alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio refle-xivo y crítico.

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate.



5

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias que prescribe el currículo. Para esta unidad, en con-creto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptorescompetenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.


COMPETENCIA1.er nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR3.er nivel de concreción

DESEMPEÑO4.º nivel de concreción

LingüísticaComunicaciónescrita.

Leer, buscar, recopilar, procesar ysintetizar la información contenidaen un texto para contribuir aldesarrollo del pensamiento crítico.

– Extrae información de varias lecturas,determina cuál es relevante y la emplea en laresolución de problemas reales.

Pon a prueba tus competencias.

Matemática

Razonamiento yargumentación.

Interpretar y expresar con claridady precisión distintos tipos deinformación, datos yargumentación, utilizandovocabulario matemático.

– Aplica las potencias para representarsituaciones de la vida cotidiana.

En toda la unidad.

Resolución deproblemas.

Utilizar las matemáticas para elestudio y comprensión desituaciones cotidianas.

Aplicar estrategias de resoluciónde problemas adecuadas a cadasituación.

– Interpreta y resuelve problemas con ayuda de laspotencias y las raíces.

En toda la unidad.

Uso de elementos yherramientasmatemáticos.

Conocer y utilizar los elementosmatemáticos básicos (distintostipos de números, medidas,símbolos, elementos geométricos,etc.) en situaciones reales osimuladas de la vida cotidiana.

– Opera con rigor y precisión con potencias parareducir expresiones.

En toda la unidad.

Interacción con elmundo físico

Aplicación delmétodo científico endiferentes contextos.

Conocer y manejar el lenguajecientífico para interpretarsituaciones en diversos contextos(académico, personal y social).

– Aplica las potencias para calcular cantidades.

Actividades 6, 83 y 84.

Conocimiento yvaloración deldesarrollo científico-tecnológico.

Conocer y valorar la aportación deldesarrollo de la ciencia y latecnología a la sociedad.

– Conoce en qué consiste la prueba del carbono 14.Pon a prueba tus competencias. Analiza y deduce.

– Conoce las unidades de capacidad de memoriaelectrónica.

Actividad 22.

Competencia socialy ciudadana

Desarrollo personal ysocial.

Conocerse, valorarse y aprender acomunicarse en diferentescontextos.

– Es crítico con el uso de las redes sociales.

Desarrolla tus competencias.

Tratamiento de lainformación y

competencia digital

Obtención,transformación ycomunicación de lainformación.

Buscar y seleccionar informacióncon distintas técnicas según lafuente o el soporte, valorando sufiabilidad.

– Busca en páginas de internet para complementar lainformación.

En la red

– Visita la página librosvivos.net para realizardistintas actividades.

Actividades 7, 15, 38, 44 y 51, organiza tusideas, autoevaluación.

Uso de herramientastecnológicas.

Identificar y utilizar lastecnologías de la información ycomunicación como herramientade aprendizaje, trabajo y ocio.

– Conoce cómo usar las redes sociales.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar.

Potencias y raíz cuadrada Unidad 3

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EDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos per-miten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores:

• Educación ambiental: actividad “Carbono 14” de “Pon a prueba tus competencias”.

• Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la edu-cación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDADEn este proyecto se incluyen los siguientes materiales que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permi-ten trabajar la diversidad del alumnado.

• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS


SM

Repaso de contenidos de cursos anteriores

• Cuaderno de Matemáticas básicas.

– Unidad 3. Potencias.

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO.

– Unidad 1. Números naturales.

• Cuaderno de matemáticas. 1.º de ESO. N.º 1. “Números naturales”.

– Unidad 2. Potencias y raíces.

• Cuaderno de resolución de problemas I. 1.º de ESO.

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Potencias en la página del proyecto Descartes, educación digital a distancia del Ministe-rio de Educación.

www.e-sm.net/1esomatprd03

Potencias y raíces en la página del proyecto Averroes.

www.e-sm.net/1esomatprd04

Otros materiales

• Juegos de dominó en los que intervengan potencias, raíces cuadradas y sus soluciones.

• Tablas de cuadrados perfectos y cubos.

• La calculadora científica permite la simplificación de los cálculos numéricos y la obtención de las poten-cias cuyos resultados son de varias cifras.

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Sugerencias didácticas

Desarrolla tus competencias

Entrada

1. Potencias de exponente mayor que 1

2. Potencia de un producto y deun cociente

I. Podemos realizar esta actividad a la vez que vamosexplicando la teoría de los seis grados de separación ycomprobar así si los alumnos la han comprendido.

II. Esta actividad nos servirá para comprobar cuántosalumnos utilizan redes sociales y para qué las utilizan,facilitando el trabajo para la actividad III.

III. La puesta en común de la actividad III puede ser el pun-to de partida para establecer un debate sobre el usoadecuado de las redes sociales, pidiendo a los alum-nos que expongan situaciones concretas, tanto perju-diciales como ventajosas.

Algunas de las situaciones ventajosas serían:

– Las redes pueden permitir el intercambio de infor-mación entre los alumnos, la comunicación entre ellospara explicarse dudas, el préstamo de apuntes.

– Potencian las relaciones socioafectivas.

El principal inconveniente del uso de las redes es que losalumnos no son conscientes de que lo que en ellas regis-tran puede ser visto por muchas personas, siempre y cuan-do no hayan configurado bien las opciones de privacidad.

Para comprender la teoría de los seis grados de separaciónpodemos proponer ejemplos sencillos como el de que elnúmero de intermediarios entre cualquiera de ellos y elpadre o la madre de un compañero es 2.

• Conviene detenerse en el concepto de potencia de basey exponente natural, entendido como una forma abrevia-da de escribir un producto de factores iguales. Con nume-rosos ejemplos, los alumnos deben identificar como baseel factor y como exponente el número de veces que serepite dicho factor, ya que es muy frecuente que multi-pliquen la base por el exponente.

• Hay que tener cuidado al trabajar con potencias de basenegativa e insistir en el signo de la potencia según sea elexponente par o impar. Un error común es no utilizar losparéntesis cuando la base de la potencia es negativa.

6, 83 y 84. Estos tres problemas contextualizados permitenver de una forma concreta cómo el lenguaje matemá-tico sirve para expresar situaciones del mundo que nosrodea.

• Remarcar con ejemplos la potencia de un producto o deun cociente. Cada ejemplo se puede realizar de dos for-mas distintas, primero operando el paréntesis o prime-ro desarrollando el paréntesis.

• Es conveniente realizar también ejemplos como los dela actividad resuelta, en los que se apliquen estas pro-piedades en el sentido inverso, es decir:

(an · bn) = (a · b)n

(an : bn) (a : b)n

• Hay que tener cuidado en que la potencia solo se puedeaplicar si se tiene un producto o un cociente. No se pue-de aplicar el desarrollo a la potencia de una suma o de unaresta.

3. Producto y cociente de potenciasde la misma base

• Los alumnos deben conseguir averiguar la regla del pro-ducto mediante ejemplos en los que se desarrollen laspotencias para luego comprimir el producto como unaúnica potencia.

• Hacer hincapié en el orden de prioridad de las operacio-nes cuando haya sumas y restas de potencias de la mis-ma base.

• La regla del cociente la demostraremos mediante ejem-plos en los que se desarrollen las potencias, posterior-mente se simplifique el cociente y se escriba la potenciaresultante.

• Hacer observar que al dividir potencias del mismo expo-nente resultan potencias de exponente 0, y relacionarlocon que el cociente de dos números iguales es la unidad.

• Se debe tener cuidado de que el exponente del divisor nosea mayor que el exponente del dividendo. A alumnosavanzados se les pueden explicar las potencias de expo-nente negativo.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 2, 3, 52 a 55, 61 y 82 a 84

Medio 4 a 6, 56, 57 y 85


Básico 17 a 19, 23, 24 y 62

Medio 20 a 22, 25 a 29, 63 y 64


Básico 9 a 11 y 58

Medio 8, 69.12, 13 y 14


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5. Raíz cuadrada exacta y cuadradosperfectos

6. Raíz cuadrada entera• La raíz cuadrada entera es una generalización de la raíz

cuadrada exacta. Algunos alumnos creen que solo exis-ten raíces cuadradas exactas.

• El concepto de resto de la raíz es complicado. Se puedever como los puntos que sobran para formar el mayorcuadrado posible, como se muestra en el margen y enlas actividades de refuerzo.

• Realizar numerosos ejemplos hasta que se asimile elconcepto de raíz cuadrada entera y su resto.

• Para calcular raíces de números superiores a 100, si elalumno no está familiarizado con los cuadrados perfec-tos mayores que 100, es bueno seguir estos pasos:

1. Determinamos el número de cifras de la raíz. Paraello hacemos grupos de dos cifras empezando por laderecha, teniendo en cuenta que el grupo de laizquierda puede tener una cifra o dos. La raíz cua-drada tendrá tantas cifras como grupos se hayanformado.

2. Se calcula la raíz del primer grupo: = 3. La primeracifra de la raíz de 1357 es 3.

3. Vamos probando hasta obtener el mayor númeroque elevado al cuadrado es menor que el radicando.

302 = 900

352 = 1225

362 = 1296

372 = 1369 > 1357

La raíz cuadrada entera es 36

4. Calculamos el resto: 1357 − 1296 = 61

13

1357

Organiza tus ideasEn esta página se muestran los contenidos vistos a lo lar-go de la unidad. Se empieza por las potencias, dando ladefinición de potencia y las operaciones con potencias. Acontinuación se da la definición de raíz cuadrada exacta,cuadrados perfectos y raíz cuadrada entera.

• Es importante que el alumno realice sus propios esque-mas. Pero para empezar se le puede pedir que comple-te el que aparece en esta página, con los conceptos yejemplos que a su juicio falten, o que le sirvan para com-prender mejor lo estudiado.

• El concepto de raíz cuadrada se puede explicar como elcálculo de la base de un cuadrado perfecto.

• La palabra cuadrada hace referencia al objeto geométri-co. Se puede explicar dibujando cuadrados de puntos,siendo la raíz cuadrada el número de puntos del lado delcuadrado.

• Puede ser útil construir una tabla con los 25 primeroscuadrados perfectos, para el posterior cálculo de raícescuadradas.

• Una vez que hayan elaborado la tabla con los primeros 25cuadrados perfectos, sería un buen momento para rea-lizar la actividad 78.

• Como ampliación, y de forma análoga a la raíz cuadrada,puede introducirse la raíz cúbica como operación inver-sa a la potencia cubo.


Básico 32, 33 y 35

Medio 34, 36, 37 y 65

Alto 66 a 68, 103 y 107


Básico 40, 69, 70, 72 y 73

Medio 41 a 43, 71, 74 a 76, 86, 87, 92, 93 y 96

Alto 81, 97, 100 a 102, 105 y 107


Básico 46 a 48, 77 y 78

Medio 49, 50, 79, 80, 88 a 91, 94 y 95

Alto 98 y 99


4. Potencia de potencia• Si se desarrolla la potencia exterior, la potencia de una

potencia es un caso particular de productos de potenciasde la misma base.

• Hay que tener cuidado si la base de la potencia es nega-tiva para escribir correctamente los paréntesis.

• Al finalizar este epígrafe conviene detenerse en realizarejercicios en los que haya que expresar diversas expre-siones en una sola potencia, siendo necesario para elloaplicar las cinco propiedades de las potencias.

22. Podemos utilizar este ejercicio para hacer una refle-xión sobre la aportación del desarrollo tecnológico a lasociedad, con la evolución que han sufrido las unida-des de memoria y las repercusiones que esto suponepara el medio ambiente, con menos gasto de papel. Unejemplo para ilustrar este fenómeno es la presentaciónen el Congreso de los Presupuestos Generales del Esta-do. Antiguamente eran cajas y cajas de folios, poste-riormente se utilizaron DVD, y por último, un pendrive.

9



Pon a prueba tus competencias

Actividades de ampliación

APRENDE A PENSAR: EL PODER DE LAS REDES SOCIALES

Para que los alumnos respondan a las actividades 1, 2 y 3deberemos guiarles para que sean capaces de deducirlaspor sí mismos.

Para ello partiremos de supuestos más sencillos, supo-niendo que la información la transmite una persona a 2, 3y 5 personas que no la han recibido anteriormente, y com-pletaremos en la pizarra una tabla como la siguiente:

Al ver las secuencias que aparecen en las diferentescolumnas, no les costará deducir que a las 10.00 la infor-mación la saben 1 + 20 personas, a las 11.00 ha llegado a1 + 20 + 20 · 102; y así sucesivamente.

Velocidad de transmisión 2 3 5

Antes de las 10.00 1 1 1

10.00 2 3 5

11.00 22 32 52

12.00 23 33 53

Total 15 40 156

Con estas actividades desarrollamos las competencias deaprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal.Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, deci-diendo cuáles son los más apropiados para resolver cadauna de las actividades.

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias pararesolver los problemas, dado que estos no son guiados nise ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, loque puede resultarles muy estimulante, aunque al comien-zo les asuste un poco.

Para responder a las preguntas 2 y 3 deberán encontrar, conayuda de la calculadora, cuál es el número n que verifica que:

1 + 20 + 20 · 10 + 20 · 102 + ... + 20 · 10n

sea igual a 2000 o 6000 millones.

La última actividad es una extensión de las actividades dela entrada de la unidad.

Una vez que los alumnos hayan comprobado lo vertigino-so que es el ritmo de crecimiento de las personas que reci-ben la información, valorarán la importancia que tiene el sercríticos con la información que cuelgan en la red.

ANALIZA Y DEDUCE: LA PRUEBA DEL CARBONO 14Esta actividad muestra la utilidad de las potencias paraescribir números grandes.

Puede servirnos de pie para introducir, como contenido deampliación, la notación científica, para lo que primera-mente tendríamos que repasar las potencias de 10 y losnúmeros decimales.

Para completar la tabla los alumnos tienen que darse cuentade que mientras los años transcurridos se duplican, la can-tidad de unidades de carbono 14 queda dividida por 2, porlo que habrá un momento en el que el fósil ya no contengamás unidades y sea imposible datarlo.

CREA UN JUEGO: MAGIA CON LAS POTENCIASEsta actividad se realizará de forma individual. Tiene carác-ter lúdico y permite a los alumnos ver el lado divertido delas matemáticas.

Al calcular los diferentes números, los alumnos se daráncuenta de que podemos escribir cualquier número comosuma de potencias de 2.

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Actividades de refuerzo

Unidad 3 Potencias y raíz cuadradaORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: distinguir la base y el exponente de una potencia yoperar con potencias de forma básica.

• Hay que insistir en la diferencia entre una potencia y un producto. A veces, los alumnos creen que es una multipli-cación; por ejemplo, 24 = 16 lo confunden con 2 · 4 = 8.

• Es importante recalcar el uso correcto de los paréntesis. Un error común ocurre con las potencias de base negati-va. Confunden con , siendo cierto si n es impar, pero no si es par.

• También es fundamental el cálculo de raíces cuadradas enteras por aproximaciones de números de pocas cifras para asi-milar el concepto, ya que las raíces de un gran número de cifras se pueden calcular con la ayuda de una calculadora.

A este tipo de alumnado se le deben plantear problemas sencillos, ayudándoles a comprenderlos mediante esque-mas o dibujos.

−xn( )−x n

1. a) 35 = 243 b) 73 = 343 c) 83 = 5122.

3. a) Raíz, 5. Resto, 2 b) Raíz, 7. Resto, 7 c) Raíz, 7. Resto, 144. 22 · 23 = 25 = 32

24 : 2 = 23 = 8(10 : 5)4 = 24 = 16(24)0 = 20 = 122 · 22 · 22 = 26 = 64

A B C D E

1 2 2 5 1

2 8 2 5 6

3 9 9

4 3 6 4

5 1 0 2 4

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Dominó de potencias

Vamos a construir un dominó de potencias. Para realizar las fichas deben escribir en un papel un número entero, y enotro, diversas operaciones con potencias y raíces cuadradas exactas cuyo resultado es el número entero escrito. Divididla pizarra en dos partes, poned en una las potencias, y en la otra, los resultados.

Comprobad que no coinciden dos operaciones o números. Cada uno de los alumnos fabricará varias piezas de dominócon un número en uno de los extremos de la pieza y una de las operaciones en el otro extremo; para ello, repartid lasoperaciones y los números.

Una vez terminadas las fichas se puede jugar de varias formas.

Una forma sería repartir las fichas entre todos los alumnos de modo que cada uno tenga el mismo número de fichas.Se juega por turnos, el primero sitúa una pieza, el siguiente intenta poner una de las suyas a continuación en uno de losextremos de forma que coincidan la operación y el número, y así sucesivamente. Gana el primer alumno que consiga ponertodas sus fichas.

Otra forma puede ser intentar poner todas las fichas, una tras otra como en el anterior juego, hasta que se complete elcírculo. Hay que intentar situar todas las fichas, lo cual puede resultar imposible.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.


11

1. Relaciona cada piloto con su moto.

2. Completa el crucigrama.

Horizontales1. 152; 20

2. 23; (2 · 8)2

3. (−3)2; 32

4. 3; 82

5. 45

VerticalesA) 174 : 172; 1B) 21; C) 232; 2D) 53 : 52; 26

E) 24; (−2)2

900

3. Las raíces cuadradas enteras de un número y el resto pueden calcularse gráficamente con ayuda de unacuadrícula. Fíjate en el ejemplo y calcula con ayuda de la cuadrícula las raíces y restos de los númerosindicados.

Para calcular la raíz cuadrada entera de 18, pintamos 18 cuadrados en la cuadrícula, for-mando cuadrados. El lado del mayor cuadrado que podamos formar es la raíz, y los cua-drados que quedan sueltos indican el resto.

a) 27 b) 56 c) 63


Pági

na

foto

cop

iab

le

ACTIVIDADES de REFUERZO


243 343 512

4. Une con flechas cada expresión con la potencia correspondiente, y cada potencia con su valor.

22 · 23 24 8

24 : 2 23 16

(10 : 5)4 25 32

(24)0 26 1

22 · 22 · 22 20 64

8 3 3 5 7 3

A B C D E

1

2

3

4

5

a) b) c)

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Actividades de ampliación

Unidad 3 Potencias y raíz cuadradaORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Se proponen diversas actividades, unas son de ampliación y otras son curiosidades matemáticas.

Para algunas actividades sería conveniente enseñar el uso de la calculadora. La calculadora es una herramienta quesirve para comprobar los resultados o para operar números con muchas cifras decimales. Las calculadoras simplesrealizan sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Para la mayoría de las actividades de la unidad es suficiente coneste tipo de calculadoras.

1. Depende de la factorización de la base y del exponente.a) 42

b) 26 u 82

c) 56 ó 1252

d) 493 ó 3432

2. 1 vez: 21 mm 2 veces: 22 = 4 mm3 veces: 23 = 8 mm 4 veces: 24 = 16 mm5 veces: 25 = 32 mm 100 veces: 2100 mm

3. 1 + 3 + 32 + 33 + 34 = 121 personas

4. a) 24 · ( − 2)3 = 24 · 23 = 27

b) : 23 = (11 − 9)5 : 23 = 25 : 23 = 22

c) = · 53 = 5 · 53 = 54

d) = (9 − 6)5 : 9 = 35 : 32 = 33

5. No es posible. La raíz cuadrada entera de 450 es 21, yel resto es 9.

6. Si acaba en 5, su raíz acaba en 5.Si acaba en 6, su raíz acaba en 4 ó 6.Un cuadrado perfecto no puede acabar en 3.

7. Se puede formar un cuadrado de lado 223 fichas ysobran 271 fichas.Para el cuadrado de lado 224 faltan 176 fichas.

8. El método no es correcto. Por ejemplo, no se cumplepara 2116.

9. 263 = 17 576 1 + 7 + 5 + 7 + 6 = 26273 = 19 683 1 + 9 + 6 + 8 + 3 = 27

10. 12 = 22 + 22 + 22

16 = 42

23 = 32 + 32 + 22 + 12

238 = 152 + 32 + 22

239 = 152 + 32 + 22 + 12

3 36 925

−( ) :

253 4 52 2 3+( )⋅121 81

5

−( )16

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Dominó de potenciasVamos a construir un dominó de potencias. Para realizar las fichas deben escribir en un papel un número entero, y enotro, diversas operaciones con potencias y raíces cuadradas exactas cuyo resultado sea el número entero escrito. Divi-did la pizarra en dos partes, poned en una las potencias, y en la otra, los resultados.Comprobad que no coinciden dos operaciones o números. Cada uno de los alumnos fabricará varias piezas de dominócon un número en uno de los extremos de la pieza y una de las operaciones en el otro extremo; para ello, repartid lasoperaciones y los números.Una vez terminadas las fichas se puede jugar de varias formas.Una forma sería repartir las fichas entre todos los alumnos de modo que cada uno tenga el mismo número de fichas.Se juega por turnos, el primero sitúa una pieza, el siguiente intenta poner una de las suyas a continuación en uno de losextremos de forma que coincidan la operación y el número, y así sucesivamente. Gana el primer alumno que consiga ponertodas sus fichas.Otra forma puede ser intentar poner todas las fichas, una tras otra como en el anterior juego, hasta que se complete elcírculo. Hay que intentar situar todas las fichas, lo cual puede resultar imposible.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.


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1. Escribe las siguientes potencias como otra potencia distinta de exponente distinto de 1. ¿Existen variasformas? ¿De qué depende?

a) 24 b) 43 c) 253 d) 76

2. Un folio mide 1 milímetro de grueso. Calcula el grosor si lo doblas 1 vez por la mitad. ¿Y si lo doblas 2,3, 4 ó 5 veces? ¿Es posible doblarlo 100 veces? ¿Cuál será su grosor?

3. Gonzalo cuenta un secreto a tres amigos. A su vez, cada amigo les cuenta el secreto a tres de sus ami-gos, y así sucesivamente.

¿Cuántas personas saben el secreto si se repite otras dos veces?

4. Expresa como una sola potencia.

a) 24 · = c) =

b) : 23 = d)

5. Ana le dice a Belén que su padre tiene una parcela cuadrangular de lado un número entero de metrosy de superficie 450 metros cuadrados. ¿Son posibles estos datos de la parcela?

6. Un número de 10 cifras acaba en 5 y es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es la última cifra de su raíz cua-drada? ¿Y si el número de 10 cifras acabara en 6? ¿Y si acabara en 3?

7. ¿Cuál es el cuadrado mayor que se puede formar con 50 000 fichas iguales? ¿Cuántas fichas sobran?¿Cuántas fichas más serán necesarias para obtener el cuadrado inmediato superior?

8. Fíjate en el siguiente método para calcular la raíz cuadrada de un número de 4 cifras:

Queremos calcular la raíz cuadrada de 2025.

a) Dividimos el número en 2 grupos de 2 cifras, 20 y 25.

b) Sumamos ambos números, 20 + 25 = 45.

c) El cuadrado de este número es igual al dado, 452 = 2025.

La raíz cuadrada de 2025 es 45.

Comprueba que también se cumple para 3025 y 9801.

¿Es este método correcto?

9. El número 17 tiene una curiosa propiedad. Si lo elevamos al cubo, 173 � 4913, y sumamos sus cifras, 4 � 9 � 1 � 3 � 17, el resultado es el número inicial. Comprueba que ocurre lo mismo con 18.

Encuentra dos números con la misma propiedad en la siguiente decena.

10. Hay un teorema de matemáticas que afirma: “Todo entero positivo es una suma de un máximo de cua-tro cuadrados perfectos”. Por ejemplo: 215 � 142 � 32 � 32 � 12. A veces hace falta usar menos cua-drados: 430 � 152 � 142 � 32.

Escribe los siguientes números como suma de cuadrados: 12, 16, 23, 238 y 239.

16 23

−( )

3 36 925

−( ) =:121 815

−( )

3 4 52 2 3+( )⋅


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

Pági

na

foto

cop

iab

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APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Calcula el resultado de las siguientes potencias.

a) 25 c) (−3)4 e) (−2)7 g) 54

b) 103 d) 70 f) 81 h) (−7)3

2. Expresa las siguientes potencias como producto o cociente de potencias.

a) (3 · 5)4 c) (4 : 9)3 e) [(−3) : 5]7

b) (7 · 2 · 5)6 d) [(−2) · 11]10 f) [(−5) · 3 · (−13)]21

3. Calcula las siguientes operaciones con potencias.

a) (25)2 c) 5 · 54 : 52 e) [23 · (22)2 · (24)3]0

b) ((−2)3)2 · 23 d) (((−1)3)5)4 f) (73)4 : (75)2

4. Expresa como una sola potencia y calcula su valor.

a) (252 : 53) · 52 c) (247 : 67) : 45

b) 43 : (22 · 24) d) (92 : 27)2 : 32

5. Completa la siguiente tabla.

6. Escribe entre qué cuadrados se encuentran los siguientes números e indica cuál es la raíz cuadrada ente-ra y el resto de cada número.

a) 1001 b) 1550 c) 5103

7. Una empresa quiere realizar una mudanza y necesita nueve camiones. Cada camión contiene nuevecajas. Cada caja contiene nueve mesas. ¿Cuántas mesas posee la empresa?

8. Un campo en forma de cuadrado tiene 8100 metros cuadrados de superficie. Calcula cuánto mide su lado.

9. Halla el número cuya raíz cuadrada entera es 35, y el resto, 12.

10. La finca de Luis tiene la forma de la figura. Cada parcela pequeña tiene una superficie de 9 metros cua-drados. ¿Cuántos metros cuadrados tendría que añadir Luis para que su finca tuviera forma de cuadrado?

Raíz cuadrada exacta 200 21

Cuadrados perfectos 121 49 144

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PROPUESTA de EVALUACIÓN


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Pági

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1. a) 25 = 32 c) (−3)4 = 81 e) (−2)7 = −256 g) 54 = 625

b) 103 = 1000 d) 70 = 1 f) 81 = 8 h) (−7)3 = −343

2. a) (3 · 5)4 = 34 · 54 c) (4 : 9)3 = 43 : 93 e) [(−3) : 5]7 = (−3)7 : 57

b) (7 · 2 · 5)6 = 76 · 26 · 56 d) [(−2) · 11]10= (−2)10 · 1110 f) [(−5) · 3 · (−13)]21 = (−5)21 · 321 · (−13)21

3. a) (25)2 = 210 c) 5 · 54 : 52 = 53 e) [23 · (22)2 · (24)3]0 = 20

b) ((−2)3)2 · 23 = 29 d) (((−1)3)5)4 = 160 f) (73)4 : (75)2 = 712 : 710 = 72

4. a) (252 : 53) · 52 = ((52)2 : 53) · 52 = (54 : 53) · 52 = 5 · 52 = 53 = 125

b) 43 : (22 · 24) = (22)3 : 26 = 26 : 26 = 20 = 1

c) (247 : 67) : 45 = 47 : 45 = 42 = 16

d) (92 : 27)2 : 32 = ((32)2 : 33)2 : 32 = (34 : 33)2 : 32 = 32 : 32 = 30 = 1

5.

6. a) 312 < 1001 < 322

b) 392 < 1550 < 402

c) 712 < 5103 < 722

7. 9 · 9 · 9 = 93 = 729

8. El lado mide m.

9. El número es 352 + 12 = 1225 + 12 = 1237.

10. Tendría que añadir 15 parcelas; en total, 15 · 9 = 135 m2.

8100 90=

Raíz cuadrada exacta 11 200 7 21 12

Cuadrados perfectos 121 40 000 49 441 144

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación



Soluciones tema 3

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