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IES CINCO VILLAS TEMA 1 2º ESO Página 1

SOLUCIONES MINIMOS 2º ESO TEMA 1 DIVISIBILIDAD Y NUMEROS ENTEROS

Ejercicio nº 1.- Responde a las preguntas y justifica tu respuesta: a)))) ¿El número 14 es divisor de 56? Explica por qué. b)))) ¿El número 310 es múltiplo de 31? Explica por qué . Solución: a) Sí, 14 es divisor de 56 porque 56 : 14 = 4. b) Sí, 310 es múltiplo de 31 porque 31 · 10 = 310. Ejercicio nº 2.- Calcula todos los divisores de los siguientes númer os: a)))) Divisores de 45. b)))) Divisores de 96. Solución: a) Divisores de 45 ==== 1, 3, 5, 9, 15, 45 b) Divisores de 96 ==== 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 Ejercicio nº 3.- Escribe los múltiplos de 5 comprendidos entre 45 y 90. Solución: 50 − 55 − 60 − 65 − 70 − 75 − 80 − 85 Ejercicio nº 4.- ¿Qué le tiene que ocurrir a un número para ser múlt iplo de tres? Escribe cuatro números, mayores que 100, que sean múltiplos de tre s. Solución: Que la suma de sus cifras sea múltiplo de tres. Por ejemplo: 132, 243, 345, 468.


Ejercicio nº 5.- Descompón en factores primos los siguientes números : a)))) 24

b)))) 16

c)))) 248

Solución:

= ⋅ = = ⋅3 4 3

a) 24 2 b) 16 2 c) 248 2

12 2 8 2 124 2

6 2 4 2 62 2

3 3 2 2 31 31

1 1 1

24 2 3 16 2 248 2 31

Ejercicio nº 6.- Calcula mentalmente: a)))) mín.c.m. ((((10, 15, 30))))

b)))) mín.c.m. ((((6, 8))))

c)))) máx.c.d. ((((8, 10))))

d)))) máx.c.d. ((((15, 20))))

Solución: a) mín.c.m. (10, 15, 30) = 30

b) mín.c.m. (6, 8) = 24

c) máx.c.d. (8, 10) = 2

d) máx.c.d. (15, 20) = 5

Ejercicio nº 7.- Calcula: a)))) mín.c.m. ((((30, 60, 90))))

b)))) máx.c.d. ((((8, 16, 24))))

Solución:

( )2 2 2

2

a) 30 2 3 5

60 2 3 5 mín.c.m. 30, 60, 90 2 3 5 180

90 2 3 5

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅


( )3

4 3

3

b) 8 2

16 2 máx.c.d. 8, 16, 24 2 8

24 2 3

=

= = == ⋅

Ejercicio nº 8.- En un albergue coinciden tres grupos de excursión d e 40, 56 y 72 personas cada grupo. El camarero quiere organizar el comedor de forma qu e en cada mesa haya igual número de comensales y se reúna el mayor número de persona s posible sin mezclar los grupos. ¿Cuántos comensales sentará en cada mesa? Solución:

( )3

3 3

3 2

40 2 5

56 2 7 máx.c.d. 40, 56, 72 2 8 comensales en cada mesa

72 2 3

= ⋅

= ⋅ = == ⋅

Ejercicio nº 9.- Un cine tiene un número de asientos comprendido ent re 200 y 250. Sabemos que el número de entradas vendidas para completar el aforo es múltiplo de 4, de 6 y de 10. ¿Cuántos asientos tiene el cine? Solución:

( )2

2

4 2

6 2 3 mín.c.m. 4, 6,10 2 3 5 60

10 2 5

== ⋅ = ⋅ ⋅ == ⋅

Buscamos un múltiplo común a 4, 6 y 10 (el mínimo es 60) comprendido entre 200 y 250: 60 · 3 = 180 60 · 4 ==== 240 60 · 5 = 300 El cine tiene 240 asientos. Ejercicio nº 10.- Sitúa cada número (entero o natural) en el conjunto que le corresponda:

5 7 10

6 4 9

3 5 7

−−−−

− −− −− −− −

− −− −− −− −


Solución:

Ejercicio nº 11.- Resuelve las siguientes operaciones con números ent eros: a)))) 10 −−−− 6 ++++ 2 −−−− 7 −−−− 1 ++++ 8 b)))) 15 −−−− 14 ++++ 7 −−−− 5 −−−− 8 ++++ 4 Solución: a) 10 − 6 + 2 − 7 −−−− 1 + 8 = 10 + 2 + 8 − 6 − 7 − 1 = 6 b) 15 − 14 + 7 − 5 − 8 + 4 = 15 + 7 + 4 − 14 − 5 − 8 = 26 − 27 = −1 Ejercicio nº 12.- Calcula los siguientes productos y divisiones de nú meros enteros: a)))) (+(+(+(+10)))) · (−(−(−(−5)))) · (−(−(−(−2))))

b)))) (−(−(−(−3)))) · (+(+(+(+6)))) · (+(+(+(+3))))

c)))) (+(+(+(+56)))) : (−(−(−(−8))))

d)))) (−(−(−(−91)))) : (−(−(−(−7))))


Solución: a) (+10) · (−5) · (−2) = 100

b) (−3) · (+6) · (+3) = −54

c) (+56) : (−8) = −7

d) (−91) : (−7) = 13

Ejercicio nº 13.- Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: a)))) (−(−(−(−7)))) · [(+(+(+(+3)))) ++++ (+(+(+(+4)))) −−−− ((((2 ++++ 5 −−−− 1))))] b)))) (−(−(−(−7)))) · (+(+(+(+1)))) −−−− [(−(−(−(−5)))) ++++ (−(−(−(−2)))) −−−− (−(−(−(−3))))] · (−(−(−(−2)))) Solución: a) (−7) · [(+3) + (+4) − (2 + 5 − 1)] = (−7) · (7 − 6) = (−7) · 1 = −7 b) (−7) · (+1) − [(−5) + (−2) − (−3)] · (−2) = (−7) · (+1) − (−4) · (−2) = (−7) − (+8) = −15 Ejercicio nº 14.- Ramón ha pagado 4 euros por un refresco y una hambu rguesa, y Marta ha pagado 5 euros por dos refrescos y una hamburguesa. ¿Cuánto vale un refresco? ¿Y una hamburguesa? Solución:

5 euros 2 refrescos y 1 hamburguesa

4 euros 1 refresco y 1 hamburguesa

1 euro 1 refresco

→− →

→

Refresco = 1 euro 4 − 1 = 3 euros una hamburguesa Ejercicio nº 15.- A las 8 de la mañana el termómetro marcaba −−−−5 °°°°C; a las 12 del mediodía, la temperatura había subido 8 °°°°C y, ahora, a las 12 de la noche, ha vuelto a bajar 5 °°°°C. ¿Qué temperatura marca ahora el termómetro? Solución: −5 + 8 = 3 °C a las 12 h

3 − 5 = −2 °C

A las 12 de la noche el termómetro marca −2 °C.

Ejercicio nº 1.- Responde a las preguntas y justifica tu respuesta: a)))) ¿Cuál de estos números es múltiplo de 3? Explica por qué.

20 15 49 13


b)))) ¿Cuál de estos números es divisor de 48? Explica por qué.

20 11 16 9 Solución: a) 20 15 49 13

15, porque 15 = 5 · 3 b) 20 11 16 9

16, porque 48 : 16 = 3 Ejercicio nº 2.- Calcula todos los divisores de los siguientes númer os: a)))) Divisores de 46. b)))) Divisores de 58. Solución: a) Divisores de 46 = 1, 2, 23, 46 b) Divisores de 58 = 1, 2, 29, 58 Ejercicio nº 3.- Escribe los diez primeros múltiplos de 15. Solución: 15 − 30 − 45 − 60 − 75 − 90 − 105 − 120 − 135 − 150 Ejercicio nº 4.- Observa estos números y responde a las preguntas:

356 411 814 645 390 624 −−−− ¿Cuáles son múltiplos de dos? −−−− ¿Cuáles son múltiplos de tres? −−−− ¿Cuáles son múltiplos de cinco? −−−− ¿Cuáles son múltiplos a la vez de dos y de cinco? Solución: − Son múltiplos de dos: 356 − 814 − 390 − 624. − Son múltiplos de tres: 411 − 645 − 390 − 624. − Son múltiplos de cinco: 390 − 645. − Son múltiplos a la vez de dos y de cinco: 390. Ejercicio nº 5.- Descompón en factores primos los siguientes números : a)))) 18

b)))) 50

c)))) 504


Solución:

= ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅

2 2

3 2

a) 18 2 b) 50 2 c) 504 2

9 3 25 5 252 2

3 3 5 5 126 2

1 1 63 3

21 318 2 3 50 2 57 7

1

504 2 3 7


b)))) mín.c.m. ((((6, 9))))

c)))) máx.c.d. ((((8, 16, 24))))

d)))) máx.c.d. ((((8, 12))))

Solución: a) mín.c.m. (6, 12, 24) = 24

b) mín.c.m. (6, 9) = 18

c) máx.c.d. (8, 16, 24) = 8

d) máx.c.d. (8, 12) = 4


b)))) máx.c.d. ((((60, 72, 84))))

Solución:

( )2

3 3 2

2 2

a)12 2 3

24 2 3 mín.c.m. 12, 24, 36 2 3 72

36 2 3

= ⋅

= ⋅ = ⋅ == ⋅

( )2

3 2 2

2

b) 60 2 3 5

72 2 3 máx.c.d. 60, 72, 84 2 3 12

84 2 3 7

= ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ == ⋅ ⋅

Ejercicio nº 8.- Un electricista tiene tres rollos de cable de 96, 1 20 y 144 metros de longitud. Desea cortarlos en trozos iguales de la mayor longitud po sible, sin que quede ningún trozo sobrante. ¿Qué longitud deberá tener cada trozo?


Solución:

( )5

3 3

4 2

96 2 3

120 2 3 5 máx.c.d. 96, 120,144 2 3 24 metros cada trozo

144 2 3

= ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ == ⋅

Ejercicio nº 9.- El autobús de la línea A pasa por cierta parada cada 12 minutos, el de la l ínea B pasa cada 18 minutos y el de la línea C, cada 24 minutos. Si todos coinciden a las 10 de l a mañana, ¿a qué hora vuelven a coincidir? Solución:

( )2

2 3 2

3

12 2 3

18 2 3 mín.c.m. 12, 18, 24 2 3 72 minutos 1 h 12 m

24 2 3

= ⋅

= ⋅ = ⋅ = == ⋅

Los autobuses coinciden cada 72 minutos = 1 h 12 min. 10 h + 1 h 12 min = 11 h 12 min Los autobuses volverán a coincidir a las 11 h 12 min. Ejercicio nº 10.- Sitúa cada número (entero o natural) en el conjunto que le corresponda: −−−−2 4 6 −−−−3 −−−−1 7 2 −−−−4 −−−−5

Solución:


Ejercicio nº 11.- Resuelve las siguientes operaciones con números ent eros: a)))) 11 −−−− 7 −−−− 9 ++++ 3 ++++ 7 ++++ 5 b)))) 15 −−−− 5 −−−− 7 ++++ 3 −−−− 8 Solución: a) 11 − 7 − 9 + 3 + 7 + 5 = 11 + 3 + 7 + 5 − 7 − 9 = 10 b) 15 − 5 − 7 + 3 − 8 = 15 + 3 − 5 − 7 − 8 = 18 − 20 = −2 Ejercicio nº 12.- Calcula los siguientes productos y divisiones de nú meros enteros: a)))) (+(+(+(+7)))) · (−(−(−(−2)))) · (+(+(+(+4))))

b)))) (+(+(+(+5)))) · (−(−(−(−2)))) · (−(−(−(−11))))

c)))) (−(−(−(−600)))) : (−(−(−(−30))))

d)))) (−(−(−(−72)))) : (+(+(+(+6))))

Solución: a) (+7) · (−2) · (+4) = −56

b) (+5) · (−2) · (−11) = 110

c) (−600) : (−30) = 20

d) (−72) : (+6) = −12 Ejercicio nº 13.- Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: a)))) (−(−(−(−3)))) · [(+(+(+(+3)))) ++++ (+(+(+(+5)))) −−−− ((((5 ++++ 4 −−−− 2))))] b)))) (−(−(−(−6)))) · (+(+(+(+2)))) −−−− [(−(−(−(−4)))) ++++ (−(−(−(−3)))) −−−− (−(−(−(−3))))] · (−(−(−(−2))))


Solución: a) (−3) · [(+3) + (+5) − (5 + 4 − 2)] = (−3) · (8 − 7) = (−3) · 1 = −3 b) (−6) · (+2) − [(−4) + (−3) − (−3)] · (−2) = (−6) · (+2) − (−4) · (−2) = −12 − 8 = −20 Ejercicio nº 14.- Un comerciante compra 225 sacos de café de 45 kg ca da saco y los envasa en bolsas de 250 g. ¿Cuánto ingresará si vende la mercancía a 2 euros la bolsa? Solución: 225 · 45 = 10 125 kg

10 125 · 1000 = 10 125 000 g

10 125 000 : 250 = 40 500 bolsas de café

Ingresará 40 500 · 2 = 81 000 euros. Ejercicio nº 15.- Anaximandro, filósofo y matemático griego, nació en el año 611 a. C. y murió en el año 547 a. C. ¿Qué edad tenía al morir? Solución: 611 − 547 = 64 años Ejercicio nº 1.- Responde a las preguntas y justifica tu respuesta: a)))) ¿Cuál o cuáles de estos números son múltiplos de 12? Explica por qué.

96 58 84 99 b)))) ¿Cuál o cuáles de estos números son divisores de 96? Explica por qué.

14 12 16 18 Solución: a) 96 58 84 99

96 y 84, porque 96 = 12 · 8 y 84 = 12 · 7 b) 14 12 16 18

12 y 16, porque 96 : 12 = 8 y 96 : 16 = 6 Ejercicio nº 2.- Calcula todos los divisores de los siguientes númer os: a)))) Divisores de 40. b)))) Divisores de 56. Solución: a) Divisores de 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b) Divisores de 56 = 1, 2, 4, 14, 28, 56


Ejercicio nº 3.- Escribe cinco múltiplos consecutivos de 16 comprend idos entre 75 y 150. Solución: 80 − 96 − 112 − 128 − 144 Ejercicio nº 4.- Observa estos números y responde a las preguntas:

248 790 633 711 147 508 −−−− ¿Cuáles son múltiplos de dos? −−−− ¿Cuáles son múltiplos de tres? −−−− ¿Cuáles son múltiplos de cinco? −−−− ¿Cuáles son múltiplos a la vez de dos y de cinco? Solución: −−−− Son múltiplos de dos: 248 − 790 − 508. − Son múltiplos de tres: 633 − 711 − 147. − Son múltiplos de cinco: 790. − Son múltiplos a la vez de dos y de cinco: 790. Ejercicio nº 5.- Descompón en factores primos los siguientes números : a)))) 54

b)))) 26

c)))) 888

Solución:

= ⋅

= ⋅= ⋅ ⋅

3

3

a) 54 2 b) 26 2 c) 888 2

27 3 13 13 444 2

9 3 1 222 2

3 3 26 2 13 111 3

1 37 37

154 2 3

888 2 3 37


b)))) mín.c.m. ((((6, 8))))

c)))) máx.c.d. ((((8, 12, 16))))

d)))) máx.c.d. ((((10, 15))))


Solución: a) mín.c.m. (5, 10, 15) = 30

b) mín.c.m. (6, 8) = 24

c) máx.c.d. (8, 12, 16) = 4

d) máx.c.d. (10, 15) = 5


b)))) máx.c.d. ((((48, 72, 84))))

Solución:

( )2

3 3 2

2 2

a) 20 2 5

24 2 3 mín.c.m. 20, 24, 36 2 3 5 360

36 2 3

= ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ == ⋅

( )4

3 2 2

2

b) 48 2 3

72 2 3 máx.c.d. 48, 72, 84 2 3 12

84 2 3 7

= ⋅

= ⋅ = ⋅ == ⋅ ⋅

Ejercicio nº 8.- Un granjero ha recogido de sus gallinas 24 huevos m orenos y 36 huevos blancos. Quiere envasarlos en cajas con la mayor capacidad posible y con el mismo número de huevos (sin mezclar los blancos con los morenos). ¿Cuántos huevos debe poner en cada caja? Solución:

( )3

2

2 2

24 2 3máx.c.d. 24, 36 2 3 12 huevos en cada caja

36 2 3

= ⋅ = ⋅ == ⋅

Ejercicio nº 9.- Silvia visita a su abuela cada 8 días y su hermano Alberto, cada 14 días. Hoy han coincidido en la visita. ¿Cuándo volverán a coincid ir? ¿Cuántas visitas habrá hecho cada uno a su abuela? Solución:

( )3

38 2mín.c.m. 8, 14 2 7 56 días

14 2 7

== ⋅ =

= ⋅

Volverán a coincidir dentro de 56 días. En ese tiempo, Silvia hará a su abuela 56 : 8 = 7 visitas. Y Alberto le hará 56 : 14 = 4 visitas.


Ejercicio nº 10.- Sitúa cada número (entero o natural) en el conjunto que le corresponda: −−−−3 5 8 −−−−4 −−−−2 7 −−−−1 3 −−−−5

Solución:

Ejercicio nº 11.- Resuelve las siguientes operaciones con números ent eros: a)))) 12 −−−− 9 ++++ 3 −−−− 6 ++++ 7 ++++ 4 b)))) 5 −−−− 10 ++++ 8 −−−− 9 ++++ 3 Solución: a) 12 − 9 + 3 − 6 + 7 + 4 = 12 + 3 + 7 + 4 − 9 − 6 = 11 b) 5 − 10 + 8 − 9 + 3 = 5 + 8 + 3 − 10 − 9 = 16 − 19 = −3


Ejercicio nº 12.- Calcula los siguientes productos y divisiones de nú meros enteros: a)))) (+(+(+(+6)))) · (−(−(−(−2)))) · (+(+(+(+8))))

b)))) (−(−(−(−5)))) · (+(+(+(+10)))) · (−(−(−(−2))))

c)))) (−(−(−(−160)))) : (−(−(−(−40))))

d)))) (+(+(+(+200)))) : (+(+(+(+5))))

Solución: a) (+6) · (−2) · (+8) = −96

b) (−5) · (+10) · (−2) = 100

c) (−160) : (−40) = 4

d) (+200) : (+5) = 40

Ejercicio nº 13.- Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: a)))) (−(−(−(−6)))) · [(+(+(+(+5)))) ++++ (+(+(+(+3)))) −−−− ((((3 ++++ 5 −−−− 1))))] b)))) (−(−(−(−3)))) · (+(+(+(+2)))) −−−− [(−(−(−(−4)))) ++++ (−(−(−(−4)))) −−−− (−(−(−(−5))))] · (−(−(−(−4)))) Solución: a) (−6) · [(+5) + (+3) − (3 + 5 − 1)] = (−6) · (8 − 7) = (−6) · 1 = −6 b) (−3) · (+2) − [(−4) + (−4) − (−5)] · (−4) = (−3) · (+2) − (−3) · (−4) = (−6) − 12 = −18 Ejercicio nº 14.- Por ocho horas de trabajo un obrero recibe 120 euro s. ¿Cuánto ganará por 40 horas de trabajo? Solución: 120 : 8 = 15 euros por hora

15 · 40 = 600 euros

Ganará 600 euros por 40 horas.

Ejercicio nº 15.-


Armando tiene 15 euros, pero debe 7 a su hermana. S u abuelo le da 8 euros de paga, y se gasta 13 euros en una cinta de música. ¿Cuánto l e queda? Solución: 15 − 7 + 8 − 13 = 15 + 8 − 7 − 13 = 23 − 20 = 3 euros.

Le quedan 3 euros. Ejercicio nº 1.- Responde a las preguntas y justifica tu respuesta: a)))) ¿El número 64 es múltiplo de 4? Explica por qué. b)))) ¿El número 6 es divisor de 42? Explica por qué. Solución: a) Sí, 64 es múltiplo de 4 porque 16 · 4 = 64. b) Sí, 6 es divisor de 42 porque 42 : 6 = 7. Ejercicio nº 2.- Calcula todos los divisores de los siguientes númer os: a)))) Divisores de 54. b)))) Divisores de 99. Solución: a) Divisores de 54 = 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 b) Divisores de 99 = 1, 3, 9, 11, 33, 99 Ejercicio nº 3.- Escribe los múltiplos de 8 comprendidos entre 100 y 160. Solución: 104 − 112 − 120 − 128 − 136 − 144 − 152 Ejercicio nº 4.- Observa estos números y responde a las preguntas:


180 255 303 565 468 804

−−−− ¿Cuáles son múltiplos de dos? −−−− ¿Cuáles son múltiplos de tres? −−−− ¿Cuáles son múltiplos de cinco? −−−− ¿Cuáles son múltiplos a la vez de dos y de cinco? Solución: − Son múltiplos de dos: 180 − 468 − 804. − Son múltiplos de tres: 180 − 255 − 303 − 468 − 804. − Son múltiplos de cinco: 180 − 255 − 565. − Son múltiplos a la vez de dos y de cinco: 180. Ejercicio nº 5.- Descompón en factores primos los siguientes números : a)))) 12

b)))) 36

c)))) 450

Solución:

= ⋅= ⋅

= ⋅ ⋅

2

2 2

2 2

a) 12 2 b) 36 2 c) 450 2

6 2 18 2 225 3

3 3 9 3 75 3

1 3 3 25 5

1 5 512 2 3136 2 3

450 2 3 5


b)))) mín.c.m. ((((5, 7))))

c)))) máx.c.d. ((((6, 10, 12))))

d)))) máx.c.d. ((((8, 12))))

Solución: a) mín.c.m. (4, 8, 16) = 16

b) mín.c.m. (5, 7) = 35


c) máx.c.d. (6, 10, 12) = 2

d) máx.c.d. (8, 12) = 4


b)))) máx.c.d. ((((30, 45, 75))))

Solución:

( )2

2 2

2

a) 20 2 5

30 2 3 5 mín.c.m. 20, 30, 50 2 3 5 300

50 2 5

= ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ == ⋅

( )2

2

b) 30 2 3 5

45 3 5 máx.c.d. 30, 45, 75 3 5 15

75 3 5

= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ == ⋅

Ejercicio nº 8.- El dependiente de una papelería tiene que organizar , en botes, 36 bolígrafos rojos, 60 bolígrafos azules y 48 bolígrafos negros. Todos los botes han de ser iguales y con el mayor número de bolígrafos, sin mezclar los colores . ¿Cuántos pondrá en cada bote? Solución:

( )2 2

2 2

4

36 2 3

60 2 3 5 máx.c.d. 36, 60, 48 2 3 12 bolígrafos en cada bote

48 2 3

= ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ == ⋅

Ejercicio nº 9.- Un cometa es visible desde la Tierra cada 24 años y otro, cada 36 años. El último año que fueron visibles conjuntamente fue en 1944. ¿En qué año volverán a coincidir? Solución:

( )3

3 2

2 2

24 2 3mín.c.m. 24, 36 2 3 72 años

36 2 3

= ⋅ = ⋅ == ⋅

Los cometas coinciden cada 72 años, y 1944 + 72 = 2016. Los cometas volverán a coincidir en el año 2016.



Solución:

Ejercicio nº 11.- Resuelve las siguientes operaciones con números ent eros: a)))) 3 −−−− 6 −−−− 2 ++++ 5 ++++ 2 ++++ 6 b)))) 1 ++++ 3 −−−− 14 ++++ 5 −−−− 8 ++++ 10 Solución: a) 3 − 6 − 2 + 5 + 2 + 6 = 3 + 5 + 2 + 6 − 6 − 2 = 8


b) 1 + 3 − 14 + 5 − 8 + 10 = 1 + 3 + 5 + 10 − 14 − 8 = 19 − 22 = −3 Ejercicio nº 12.- Calcula los siguientes productos y divisiones de nú meros enteros: a)))) (+(+(+(+5)))) · (−(−(−(−4)))) · (+(+(+(+3))))

b)))) (+(+(+(+5)))) · (−(−(−(−4)))) · (−(−(−(−2))))

c)))) (−(−(−(−500 )))) : (+(+(+(+10))))

d)))) (+(+(+(+150)))) : (−(−(−(−30))))

Solución: a) (+5) · (−4) · (+3) = −60

b) (+5) · (−4) · (−2) = 40

c) (−500 ) : (+10) = −50

d) (+150) : (−30) = −5

Ejercicio nº 13.- Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: a)))) (−(−(−(−6)))) · [(+(+(+(+2)))) ++++ (+(+(+(+3)))) −−−− ((((6 ++++ 3 −−−− 2))))] b)))) (−(−(−(−5)))) · (+(+(+(+3)))) −−−− [(−(−(−(−2)))) ++++ (−(−(−(−5)))) −−−− (−(−(−(−8))))] · (−(−(−(−3)))) Solución: a) (−6) · [(+2) + (+3) − (6 + 3 − 2)] = (−6) · (5 − 7) = (−6) · (−2) = 12 b) (−5) · (+3) − [(−2) + (−5) − (−8)] · (−3) = (−5) · (+3) − (1) · (−3) = −15 + 3 = −12 Ejercicio nº 14.- En un edificio de 6 plantas hay tres viviendas por planta y en cada vivienda hay 9 ventanas. Si cada ventana tiene tres cristales, ¿cu ántos cristales son necesarios para acristalar todas las ventanas del edificio? Solución: 6 · 3 = 18 viviendas

18 · 9 = 162 ventanas

162 · 3 = 486 cristales

Se necesitan 486 cristales.


Ejercicio nº 15.- Las temperaturas máxima y mínima de ayer fueron ++++20 °°°°C y −−−−3 °°°°C. ¿Cuál fue la máxima diferencia de temperaturas de ayer? Solución: 20 + 3 = 23 °C fue la máxima diferencia de temperaturas. Ejercicio nº 1.- Responde a las preguntas y justifica tu respuesta: a)))) ¿El número 6 es divisor de 30? Explica por qué. b)))) ¿El número 155 es múltiplo de 31? Explica por qué . Solución: a) Sí, porque 30 : 6 = 5. b) Sí, porque 155 = 31 · 5. Ejercicio nº 2.- Calcula todos los divisores de los siguientes númer os: a)))) Divisores de 34. b)))) Divisores de 82. Solución: a) Divisores de 34 = 1, 2, 17, 34 b) Divisores de 82 = 1, 2, 41, 82 Ejercicio nº 3.- Escribe los diez primeros múltiplos del número 12. Solución: 12 − 24 − 36 − 48 − 60 − 72 − 84 − 96 − 108 − 120 Ejercicio nº 4.-


¿Qué le tiene que ocurrir a un número para ser múlt iplo de seis? Escribe cuatro números, mayores que 100, que sean múltiplos de sei s. Solución: Ha de ser múltiplo de 2 y de 3 a la vez, es decir, que termine en cero o en cifra par y que la suma de sus cifras sea múltiplo de tres. Por ejemplo: 276 − 372 − 516 − 738. Ejercicio nº 5.- Descompón en factores primos los siguientes números : a)))) 22

b)))) 30

c)))) 644

Solución:

= ⋅= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅2

a) 22 2 b) 30 2 c) 644 2

11 11 15 3 322 2

1 5 5 161 7

22 2 11 1 23 23

30 2 3 5 1

644 2 7 23


b)))) mín.c.m. ((((10, 15))))

c)))) máx.c.d. ((((12, 16))))

d)))) máx.c.d. ((((9, 18))))

Solución: a) mín.c.m. (3, 6, 9) = 18

b) mín.c.m. (10, 15) = 30

c) máx.c.d. (12, 16) = 4

d) máx.c.d. (9, 18) = 9



b)))) máx.c.d. ((((32, 40, 48))))

Solución:

( )4 4 2

2

a) 15 3 5

16 2 mín.c.m. 15, 16,18 2 3 5 720

18 2 3

= ⋅ = = ⋅ ⋅ == ⋅

( )5

3 3

4

32 2b)

40 2 5 máx.c.d. 32, 40, 48 2 8

48 2 3

=

= ⋅ = == ⋅

Ejercicio nº 8.- Un carpintero dispone de tres listones de madera de 30, 45 y 60 cm de longitud, respectivamente. Desea dividirlos en trozos iguales y de la mayor longitud posible sin desperdiciar nada. ¿Qué longitud debe tener cada tr ozo? Solución:

( )2

2

30 2 3 5

45 3 5 máx.c.d. 30, 45, 60 3 5 15 cm cada trozo

60 2 3 5

= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ == ⋅ ⋅

Ejercicio nº 9.- Una rana corre dando saltos de 30 cm, perseguida po r un gato que da saltos de 45 cm. ¿Cada cuántos centímetros coinciden las huellas del gato y las de la rana? Solución:

( ) 2

2

30 2 3 5mín.c.m. 30, 45 2 3 5 90 cm

45 3 5

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅

Las huellas coinciden cada 90 cm. Ejercicio nº 10.- Sitúa cada número (entero o natural) en el conjunto que le corresponda: −−−−4 6 9


−−−−5 −−−−3 8 −−−−2 4 −−−−6

Solución:

Ejercicio nº 11.- Resuelve las siguientes operaciones con números ent eros: a)))) 12 ++++ 7 −−−− 3 −−−− 6 ++++ 8 −−−− 9 b)))) 13 −−−− 7 −−−− 9 −−−− 4 ++++ 6 Solución: a) 12 + 7 − 3 − 6 + 8 − 9 = 12 + 7 + 8 − 3 − 6 − 9 = 9 b) 13 − 7 − 9 − 4 + 6 = 13 + 6 − 7 − 9 − 4 = 19 − 20 = −1 Ejercicio nº 12.- Calcula los siguientes productos y divisiones de nú meros enteros:


a)))) (−(−(−(−7)))) · (−(−(−(−3)))) · (−(−(−(−2))))

b)))) (+(+(+(+4)))) · (−(−(−(−9)))) · (−(−(−(−10))))

c)))) (+(+(+(+300)))) : (−(−(−(−12))))

d)))) (−(−(−(−88)))) : (−(−(−(−11))))

Solución: a) (−7) · (−3) · (−2) = −42

b) (+4) · (−9) · (−10) = 360

c) (+300) : (−12) = −25

d) (−88) : (−11) = 8

Ejercicio nº 13.- Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: a)))) (−(−(−(−2)))) · [(+(+(+(+6)))) ++++ (+(+(+(+4)))) −−−− ((((3 ++++ 7 −−−− 1))))] b)))) (−(−(−(−2)))) · (+(+(+(+7)))) −−−− [(−(−(−(−2)))) ++++ (−(−(−(−8)))) −−−− (−(−(−(−4))))] · (−(−(−(−3)))) Solución: a) (−2) · [(+6) + (+4) − (3 + 7 − 1)] = (−2) · (10 − 9) = (−2) · 1 = −2 b) (−2) · (+7) − [(−2) + (−8) − (−4)] · (−3) = (−2) · (+7) − (−6) · (−3) = (−14) − 18 = −32 Ejercicio nº 14.- Un comerciante recibe un pedido de 225 cajas que co ntienen, cada una, seis bolsas de 5 kg de naranjas. Después de una semana ha vendido dos de cada tres bolsas. ¿Cuántos kilos de naranjas le quedan? Solución: 6 · 5 = 30 kg cada caja

225 · 30 = 6 750 kg

6 750 : 3 = 2 250 kg

Le quedan 2 250 kg de naranjas.

Ejercicio nº 15.- Un avión que vuela a 5 400 metros de altura, debe descender 500 metros par a evitar una tormenta. Desde esa altura detecta en su vertical a un submarino que está sumergido a


70 metros de profundidad y que, a su vez, asciende 25 metros. ¿Qué distancia separa el avión del submarino después del movimiento de ambos ? Solución: 5 400 − 500 = 4 900 m

70 − 25 = 45 m

4 900 + 45 = 4 945 m separan el avión y el submarino.

Ejercicio nº 1.- Responde a las preguntas y justifica tu respuesta: a)))) ¿El número 6 es divisor de 30? Explica por qué. b)))) ¿El número 155 es múltiplo de 31? Explica por qué . Solución: a) Sí, porque 30 : 6 = 5. b) Sí, porque 155 = 31 · 5. Ejercicio nº 2.- Calcula todos los divisores de los siguientes númer os: a)))) Divisores de 40. b)))) Divisores de 56. Solución: a) Divisores de 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b) Divisores de 56 = 1, 2, 4, 14, 28, 56 Ejercicio nº 3.- Escribe los múltiplos de 8 comprendidos entre 100 y 160. Solución: 104 − 112 − 120 − 128 − 136 − 144 − 152 Ejercicio nº 4.-


¿Qué le tiene que ocurrir a un número para ser múlt iplo de tres? Escribe cuatro números, mayores que 100, que sean múltiplos de tre s. Solución: Que la suma de sus cifras sea múltiplo de tres. Por ejemplo: 132, 243, 345, 468. Ejercicio nº 5.- Descompón en factores primos los siguientes números : a)))) 54

b)))) 26

c)))) 888

Solución:

= ⋅

= ⋅= ⋅ ⋅

3

3

a) 54 2 b) 26 2 c) 888 2

27 3 13 13 444 2

9 3 1 222 2

3 3 26 2 13 111 3

1 37 37

154 2 3

888 2 3 37


b)))) mín.c.m. ((((6, 8))))

c)))) máx.c.d. ((((8, 12, 16))))

d)))) máx.c.d. ((((10, 15))))

Solución: a) mín.c.m. (5, 10, 15) = 30

b) mín.c.m. (6, 8) = 24

c) máx.c.d. (8, 12, 16) = 4

d) máx.c.d. (10, 15) = 5

Ejercicio nº 7.-


Calcula: a)))) mín.c.m. ((((20, 30, 50))))

b)))) máx.c.d. ((((30, 45, 75))))

Solución:

( )2

2 2

2

a) 20 2 5

30 2 3 5 mín.c.m. 20, 30, 50 2 3 5 300

50 2 5

= ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ == ⋅

( )2

2

b) 30 2 3 5

45 3 5 máx.c.d. 30, 45, 75 3 5 15

75 3 5

= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ == ⋅

Ejercicio nº 8.- Un electricista tiene tres rollos de cable de 96, 1 20 y 144 metros de longitud. Desea cortarlos en trozos iguales de la mayor longitud po sible, sin que quede ningún trozo sobrante. ¿Qué longitud deberá tener cada trozo? Solución:

( )5

3 3

4 2

96 2 3

120 2 3 5 máx.c.d. 96, 120,144 2 3 24 metros cada trozo

144 2 3

= ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ == ⋅

Ejercicio nº 9.- Un cine tiene un número de asientos comprendido ent re 200 y 250. Sabemos que el número de entradas vendidas para completar el aforo es múltiplo de 4, de 6 y de 10. ¿Cuántos asientos tiene el cine? Solución:

( )2

2

4 2

6 2 3 mín.c.m. 4, 6,10 2 3 5 60

10 2 5

== ⋅ = ⋅ ⋅ == ⋅

Buscamos un múltiplo común a 4, 6 y 10 (el mínimo es 60) comprendido entre 200 y 250: 60 · 3 = 180 60 · 4 ==== 240 60 · 5 = 300 El cine tiene 240 asientos.



Solución:

Ejercicio nº 11.- Resuelve las siguientes operaciones con números ent eros: a)))) 3 −−−− 6 −−−− 2 ++++ 5 ++++ 2 ++++ 6 b)))) 1 ++++ 3 −−−− 14 ++++ 5 −−−− 8 ++++ 10 Solución: a) 3 − 6 − 2 + 5 + 2 + 6 = 3 + 5 + 2 + 6 − 6 − 2 = 8 b) 1 + 3 − 14 + 5 − 8 + 10 = 1 + 3 + 5 + 10 − 14 − 8 = 19 − 22 = −3


Ejercicio nº 12.- Calcula los siguientes productos y divisiones de nú meros enteros: a)))) (−(−(−(−7)))) · (−(−(−(−3)))) · (−(−(−(−2))))

b)))) (+(+(+(+4)))) · (−(−(−(−9)))) · (−(−(−(−10))))

c)))) (+(+(+(+300)))) : (−(−(−(−12))))

d)))) (−(−(−(−88)))) : (−(−(−(−11))))

Solución: a) (−7) · (−3) · (−2) = −42

b) (+4) · (−9) · (−10) = 360

c) (+300) : (−12) = −25

d) (−88) : (−11) = 8

Ejercicio nº 13.- Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: a)))) (−(−(−(−2)))) · [(+(+(+(+6)))) ++++ (+(+(+(+4)))) −−−− ((((3 ++++ 7 −−−− 1))))] b)))) (−(−(−(−2)))) · (+(+(+(+7)))) −−−− [(−(−(−(−2)))) ++++ (−(−(−(−8)))) −−−− (−(−(−(−4))))] · (−(−(−(−3)))) Solución: a) (−2) · [(+6) + (+4) − (3 + 7 − 1)] = (−2) · (10 − 9) = (−2) · 1 = −2 b) (−2) · (+7) − [(−2) + (−8) − (−4)] · (−3) = (−2) · (+7) − (−6) · (−3) = (−14) − 18 = −32 Ejercicio nº 14.- Ramón ha pagado 4 euros por un refresco y una hambu rguesa, y Marta ha pagado 5 euros por dos refrescos y una hamburguesa. ¿Cuánto vale un refresco? ¿Y una hamburguesa? Solución:

5 euros 2 refrescos y 1 hamburguesa

4 euros 1 refresco y 1 hamburguesa

1 euro 1 refresco

→− →

→

Refresco = 1 euro 4 − 1 = 3 euros una hamburguesa


Ejercicio nº 15.- Las temperaturas máxima y mínima de ayer fueron ++++20 °°°°C y −−−−3 °°°°C. ¿Cuál fue la máxima diferencia de temperaturas de ayer? Solución: 20 + 3 = 23 °C fue la máxima diferencia de temperaturas.

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