Soluciones bajo estado estacionario

Introduccin

Las soluciones analticas en flujo estacionario son las soluciones ms simples de pozos

horizontales. Estas ecuaciones suponen un flujo estacionario, es decir, la presin en

cualquier punto del yacimiento no cambie con el tiempo.

En la prctica, muy pocos yacimientos operan bajo condiciones estacionarias. De hecho, la

mayora de los yacimientos muestran cambios en la presin del yacimiento respecto al

tiempo. A pesar de esto, las soluciones en flujo estacionario son ampliamente usadas

porque:

1. Son fciles de derivar analticamente

2. Es relativamente fcil convertir resultados de estado estacionario a transitorio

pseudoestacionario usando los conceptos de expansin de la frontera de drene

respecto al tiempo y el radio efectivo del pozo y los factores de geometra,

respectivamente.

3. Los resultados matemticos en estado estacionario pueden ser verificados

experimentalmente construyendo modelos fsicos en un laboratorio

Desde el punto de vista de la fsica, la ley de Fourier de la conduccin del calor, la ley de

Ohm de flujo de electricidad y la ley de Darcy de flujo a travs de un medio poroso son

similares:

Ley de Fourier: =

Donde:

q= tasa de transferencia de calor, BTU/hr k= conductividad trmica, BTU/(hr-ft-F) A= seccin transversal, ft2 T= diferencia de temperatura, F x= distancia, ft

Ley de Ohm: =

Donde:

I = corriente, amperes V = voltaje, volts R = resistencia, ohms

Ley de Darcy: =

Donde:

q = gasto, cm3/sec K = permeabilidad, darcy A = rea transversal al flujo = viscosidad, cp p = cada de presin, atmsferas x = distancia, cm

Desde los inicios de la industria petrolera, diferentes ecuaciones de estado estacionario han

sido verificadas empleando modelos elctricos. Por ejemplo, la productividad de pozos

basada en la densidad de disparos fue estimada usando experimentos elctricos anlogos.

Es por esto, que las expresiones analticas de rgimen estacionario ofrecen una ventaja

distintiva, la cual es que pueden ser verificadas con experimentos en laboratorio.

Se pueden encontrar varias soluciones en la literatura para predecir el gasto de un pozo

horizontal, cuando se encuentra en rgimen estacionario.

Borisov

=

200

ln (4 ) + (

) ln(

2

)

Giger:

=

200

() ln

(

1 + 1 (

2

)2

2

)

+ ln(

2)

Giger, Reiss & Jourdan:

=ln(

)

ln

(

1 + 1 (

2

)2

2

)

+ () ln(

2

)

Renard & Dupuy:

=2

00[

1

1() + () ln (

2

)]

=2

para el rea de drene elipsoidal

=

2[0.5 + 0.25 + (

2

)]

0.5

que es igual a la mitad del eje mayor de la elipse drenada

Joshi:

=

200

ln

[ + 2 (

2)

2

2 ]

+ (

) ln(

2

)

= (

2) [0.5 + 0.5 + (

2

)4]

0.5

Las unidades de las ecuaciones anteriores son:

L = longitud del pozo horizontal h = espesor del yacimiento rw = radio del pozo

rev = radio de drene del pozo vertical reh = radio de drene del pozo horizontal 0 = Viscosidad del aceite B0 = factor de volumen del aceite p = cada de presin desde la frontera de drene hasta el pozo Qh = gasto del pozo horizontal

El ndice de productividad se puede obtener dividiendo el gasto entre la cada de presin:

=

Las soluciones anteriores son vlidas y aplicables nicamente para yacimientos isotrpicos,

es decir kh = kv.

Estas ecuaciones pueden ser modificadas para ser obtenidas en unidades de campo. Esto

se hace remplazando en el numerador 2 por 0.007078. Por lo que la ecuacin de Joshi

quedara de la siguiente manera:

=

0.00707800

ln

[ + 2 (

2)

2

2 ]

+ (

) ln(

2

)

Las unidades de la ecuacin anterior son:

Qb = BPD Kh = md H = ft p = psi o = cp B0 = BBL@yacimiento/BBL@estndar L = ft rw = ft

En la siguiente tabla se muestran las relaciones entre

2;

2;

.

Como se observa en la figura, el problema del pozo horizontal en tres dimensiones es

dividido en dos problemas de dos dimensiones.

Las soluciones matemticas de estos problemas de dos dimensiones se suman para calcular

el gasto del pozo horizontal. La comparacin de varias ecuaciones muestran una pequea

diferencia entre varias ecuaciones por el trmino de

ln()

En el denominador de las ecuaciones de flujo. Sin embargo, el efecto de esta pequea

diferencia en los clculos del gasto es regularmente mnima.

Si la longitud del pozo horizontal es significativamente mayor al espesor del yacimiento,

esto es, L>>h, entonces el segundo trmino en el denominador de la ecuacin (Borisov) es

despreciable y la solucin se reduce a:

=

0.00707800

ln (4 )

Usando unidades de campo la ecuacin anterior quedara de la siguiente manera:

=

0.00707800

ln(4

)

De este modo, para un pozo horizontal largo, el radio efectivo del pozo ( =

4), es el

mismo que para una fractura vertical de conductividad infinita penetrado totalmente. De

forma similar, las ecuaciones se reduciran a la ecuacin 3-14 si la longitud del pozo L>>h y

tambin si la longitud del pozo L es menor que la mitad de la longitud del eje mayor del rea

de drene. De esta manera, en un caso limitante, por lo menos para flujo de una fase, la

productividad de un pozo horizontal se aproxima a la de una fractura vertical de

conductividad infinita penetrada completamente.

Para comprender mejor estas ecuaciones y su aplicacin, se muestra un ejemplo:

Un pozo horizontal de 1000 ft de longitud fue perforado en un yacimiento con las siguientes

caractersticas.

Kv = kh = 75 md, o = 0.62 cp

H = 160 ft, Bo = 1.32 BBL@yacimiento/BBL@estndar

= 3.8%, rw = 0.365 ft

Calcular la productividad del pozo horizontal en estado estacionario usando los distintos

mtodos si el rea de drene de un pozo vertical normal es de 40 acres.

Asumimos que el rea de drene es de forma circular, un pozo vertical que drena un rea

de 40 acres el radio ser:

= 40(43560)

= 745

El siguiente paso es calcular el ndice de productividad de un pozo vertical:

=

0.007078

ln(

)

=

0.007078(75)(160)(0.62)(1.34)

ln(745

0.365)= 13[

]

Para un pozo horizontal con 80 acres de rea de drene tenemos que:

= 80(43560)

= 1053

1. Mtodo de Borisov

=

=0.007078

00 [ln (4 ) + (

) ln(

2

)]

=

=0.007078(75)(160)

(0.62)(1.34) [ln (4 1053

1000 ) + (1601000) ln(

1602 0.365)]

= 48.2882[/( )]

2. Mtodo de Giger

=

=

0.00707800

() ln

(

1 + 1 (

2

)2

2

)

+ ln(

2)

=

0.007078(75)(1000)(0.62)(1.34)

(1000160 ) ln

(

1 + 1 (

10002 1053)

2

10002 1053 )

+ ln(160

2 1053)

= 49.7410[/( )]

3. Mtodo de Joshi

=

=

0.00707800

ln

[ + 2 (

2)

2

2 ]

+ (

) ln(

2

)

= (

2) [0.5 + 0.5 + (

2

)4]

0.5

= (1000

2) [0.5 + 0.5 + (

2 1053

1000)4]

0.5

= 1113.9267

=

0.007078(75)(160)(0.62)(1.34)

ln

[ 1114 + 11142 (

10002 )

2

10002 ]

+ (

1601000) ln(

1602 0.365)

= 44.4114[/( )]

Las relaciones de productividades para un pozo horizontal con 80 acres de rea de drene y

un pozo vertical con 40 acres de rea de drene por los distintos mtodos se encuentran a

continuacin:

Mtodo ndice de productividad Jh/Jv

Borisov 48.2882 3.5998

Giger 49.7410 3.7081

Joshi 44.4114 3.3108

Es importante aclarar que la comparacin de ndices de productividad de arriba supone un

pozo vertical sin estimulaciones.

Influencia del espesor del yacimiento en la productividad del pozo

La influencia del espesor del yacimiento en pozos horizontales es muy importante. Para

cualquier longitud de un pozo horizontal, el incremento del rea de contacto en un

yacimiento es mucho mayor en un yacimiento de espesor pequeo que en uno de espesor

grande.

Por ejemplo, supongamos un pozo horizontal de 1000 pies con dos posibles zonas objetivo,

una zona tiene un espesor de 50 pies y la otra de 500 pies. El incremento en el rea de

contacto en un yacimiento con espesor de 50 pies al perforar un pozo horizontal de 1000

pies es cerca de 20 veces mayor que en un pozo vertical. En contraste, en el yacimiento de

500 pies de espesor, el incremento en el rea de contacto al perforar un pozo de 1000 pies

es solo del doble. En consecuencia, se obtendr una mayor ganancia en el rea de contacto

en un yacimiento de espesor pequeo que en uno de espesor grande. Es importante resaltar

que los trminos de espesor grande y espesor pequeo son relativos. Se debe buscar el

incremento del rea de contacto en vez de usar una definicin especfica de yacimientos de

espesor grande y pequeo. Adems tambin es importante recalcar que los yacimientos de

espesor grande tienen ms reservas que los de espesor pequeo.

La influencia del espesor del yacimiento en la productividad de un pozo horizontal puede

ser estimada usando ecuaciones en estado estacionario. La grfica muestra el cambio de

productividad en un pozo horizontal con un rea de drene de 160 acres bajo estado

estacionario. Los resultados suponen que el yacimiento es isotrpico. La curva de arriba es

de un yacimiento de 25 pies de espesor y la de abajo es de un yacimiento de 400 pies de

espesor. Como se aprecia en la grfica, el incremento en la productividad es mucho mayor

en un yacimiento de espesor pequeo que en uno de espesor grande. La grfica muestra

los mismos resultados en trminos de factor de dao.

Influencia de la anisotropa del yacimiento

La influencia de la anisotropa del yacimiento ha sido tratada extensivamente en la

literatura de la industria petrolera. Si se tiene un yacimiento con permeabilidades vertical y

horizontal diferentes, entonces se puede escribir la ecuacin de Laplace que representa el

flujo bajo estado estacionario como:

(2

2) + (

2

2) = 0

Lo anterior puede ser rescrito as:

(2

2) + (

2

2) = 0

Donde:

= /

Y la permeabilidad efectiva del yacimiento se define como:

=

Por lo tanto, la influencia de la anisotropa del yacimiento puede ser tomada en cuenta al

modificar el espesor del yacimiento como:

= /

Anteriormente se explic que las soluciones bajo estado estacionario representan una suma

de dos soluciones matemticas, una que representa el flujo horizontal y la otra representa

el flujo vertical. Por lo tanto, podemos modificar la parte vertical de la ecuacin en estado

estacionario para incluir el efecto de la anisotropa del yacimiento. Esta modificacin se

muestra en las siguientes ecuaciones.

=

0.00707800

ln

[ + 2 (

2)

2

2 ]

+ (

) ln(

2

)

=

0.00707800

ln

[ + 2 (

2)

2

2 ]

+ (

2 ) ln(

2

)

Donde =

Aunque la segunda ecuacin se obtuvo de un manera ms rigurosa que la primera ecuacin,

hay menos de 14% de diferencia en los ndices de productividad calculados con estas dos

ecuaciones cuando L>0.4h. Ms an, estos ndices de productividad muestran menos de

10% de diferencia del ndice de productividad calculado usando una solucin matemtica

de una prueba de presin. En general, la segunda ecuacin da un ndice de productividad

ligeramente mayor que el de la primera ecuacin. Aunque cualquiera de las dos ecuaciones

puede ser usada para clculos, la primera ecuacin se recomienda para obtener un

estimado de produccin conservador.

Renard y Dupuy han presentado una ecuacin para un yacimiento anisotrpico. La ecuacin

est en unidades de campo:

=0.007078

[

1

1() + ( ) ln(

2

]

Donde

= (1 +

2)

=2

Radio efectivo de un pozo horizontal

Se puede calcular el radio efectivo de un pozo horizontal convirtiendo la productividad un

pozo horizontal en el equivalente de un pozo vertical. El radio efectivo del pozo est

definido por:

= exp()

Para calcular el dimetro de un pozo vertical necesario para producir aceite con el mismo

gasto que un pozo horizontal se suponen volmenes de drene iguales e ndices de

productividad iguales. Esto da:

[

2

(

)] =

[

2

(

+ 2 + (

2)

2

2 )

+ () (

2

)

]

Resolviendo la ecuacin para tenemos:

= (

2)

[1 + 1 (2)

2

] (

2)

La ecuacin puede ser usada para calcular el radio efectivo del pozo y as la primera

ecuacin puede ser utilizada para calcular el factor de dao s. Si el yacimiento es

anisotrpico, el radio efectivo del pozo es:

= (

2)

[1 + 1 (2)

2

] (2

)

Van Der Vils et al. Han sugerido una ecuacin para el radio efectivo de un pozo horizontal

perforado en un yacimiento isotrpico. La ecuacin es:

=

4[ (

4

90) (

180)]

= distancia vertical entre el centro del pozo y la altura media del yacimiento

El concepto de radio efectivo del pozo puede ser usado tambin para calcular la relacin de

los ndices de productividad del pozo horizontal y vertical, como se muestra a continuacin:

= (

)

(

)

Para estas condiciones:

>

Y

2< 0.9

Es importante hacer notar que las comparaciones de ndices de productividad anteriores

suponen un pozo vertical sin estimulacin. Debido a que las estimulaciones en pozos

verticales varan de regin a regin, solo se usan pozos verticales sin estimular en las

comparaciones generales. Los incrementos en la productividad calculados de la ecuacin

anterior tendrn que ser ajustados, dependiendo en la experiencia local con los

tratamientos de estimulacin de pozos verticales. Esta ecuacin es vlida solo para

yacimientos que operan por arriba del punto de burbuja. Sin embargo, en un yacimiento

con empuje por gas disuelto la ecuacin da una clara estimacin de las ventajas de la

productividad con pozos horizontales.