UntitledII
TERCERA F.OICION: .~ bril 19&7
Relmpres1Ón de la
El método de plantear y resol ver los p roblemas ,
a s ! como la diagr-ama ción y dispos i ción del li­
bro s on de propledad d·eJ • a u tor.
Todo~ l os DERECHOS RESERVADOS en c umpl i ~iento
del Oeoreto-Ley Hº 194)7, queda .hecho e l depó­
s.Lto, en la Biblioi e·ca Naci on1Jl, con el Nº 04!1 ,
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P~OLO GO
Al p;:hli::~-!· este JtO:ro, ha. f"in.: rn ! ir:téneión, cont.r:.­
buir Ft d~sp~r~a.r pl ! nts.rés y 1~ :.:1:·1 ; iin del oat.u¿i_i:!"".tt:;
~o-r al es~uiio de la :;f:;OJ:~ t?~{a .J...r..l:.J {t ... ::~. O~~o .aá.7a!--tlr
d~ a,tii.,~~a::o q_ut? (13téJ ~r;ibJ'. jo no t:..cnt: }?i"a te!l~i6n. g.Jrn:::-'l
dét ser un 1:.. h""o d~dá·:!~i co o tle ~.ns.-~fit-.;iz11 ts.órice..
Cc1Jt;;id~:-o q,.~ e] libro e!~ C!f.IT. L~:,.:i:ar.n as eait·.fntc­
ill.én Ld ildácti_ ce, pcr el 1 a t. e p-e~:r.i ti ext.:.~!H:?r, eri c,..¿:'i a .~
pítttlo .. ~l "hH!l~:J ~c.:n .. 12....,!i.S_y delilos """~~rlo:;. r .. H3.ra des!n~Js r1
sol 11::,: !:::~ pr,:-Clenie3 d ~- catle gl"'t:po. ?&r t i~ula?"m~.._.,ta m~
L#: e ~-... Ol"Ze,.do ~ar~"l qH1:t -~" p;t<>.bleit:1.u 1~;.essn re:H•!!!l :.o.s -:1.r.
foTDa : J a.l'a y ~r.n ci.~la 7 ds m.an-Qrs :¡ u;. !tO ee .:1n <Jst.01·hadt)!.
por c.par~cio:ic:;. l:+T'1. t;;;.tioa.o e-ngc•r-r,:; L~ :J.
Al ,fi:ic.l de e<,é.[,. c " i:,ítiü.o '.lni:'luyri pi·obl e=.a s re31Jel,;os 1
:1,~ ·-los propuestos €t?'! el te:<to da lvs !"1e1·n.a.I!C1P De La Bc!'"­
bol ' a, por f"on s id9l'"ai-1os , da JlH\;to:r g rado dz rfi ( i cul t-a.d 4'
lü~'> Oe lehme.nn. Es .lndudábl.e qye ·,s to p~roi t irá ¡J es-:u­
di."J."ltl' adqui.rtr -ri-ayo;r dest~a~~ para. reeo::-,ar ot.roa 'tip~~
de. p.:-.:~le::.::u-:- que s o µ~.¡-die--ran praaer, LE..:r en el den~'--rolltJ del cu~so d: ~oom~ t r.!a Ar-Afí t ics.
F-in~wen:ic . Jti !lgradac i.)üect~ !I to:Í!l.s I os µi:,r,mr ;¡s, q 1
nen ana •;aliona s a11gBr e u cÜ-1 s hi~1.itrcr:. 1)0Si óle 1.u. ~~f:11 iz1- 1 • r -
~ión de esta ºf~n. n~ aep,~~a.1,a ~~ joven ee~udiant e , a
t u de:1eo cls ad~t:iri:r .~ayor d<>;¡¡~Fº en s! tnna y a la ac.F.>J
tación :i::q de t.u :urrt.g ~a:e,g.,0al es°í1e n o-de,:;;to ttaba .. j o.
El &.utor
CHARLES H. LEHMANN
del Texto ele F.J.Oe La Borbolla K
TERCERA E 01 C I ON
' R. FIGU EROA G.
Aal(.,:v, .. á ic4 r.,edl<,A.
Ouiln n.o t~n.ga gana~ d~ AaeP--<-~, encon
:tAa.-,& '-= d ¿.;c1d.pa<1 ,
1 NOIC:E GENER AL
1. Sistema11 de Coordenadas
1.1 Segme~to ~octiJ{r,eo Di~i&ido 1,2 S18tcoa Coorden.ado Lineal
1.3 S.t:,itt,mas de Coordem,das ,;n el plano PKOBLEH/\5 t!ESUi:I. TOS. Cz,upo l.
1. 1 Di&tll!lc ia !!ntre dos puntos
1.5 División de un .;¡eg::;en;.o en una :>azón dadu. PROBLEHAS RESUELTOS. Crupo 2 .
1. 6 Pencli ente de una recta. 1.7 Ar.g"1a POtre dos rectas.
PROBLEM:\S RESUELTOS, Crup o 3.
1.8 Demostracjones de teorema s geométricos por el ti~todo analítico,
PROBLEHAS ijESUELTOS. Cr upo 4.
2. Gráfi c a de una Ecua ció n
2, 1 Gráfica ele \!na i,.c,uación. I:-rcerceptos EY.ton,;ión • Asíntotas.
2. 7
Ecuacion'.?9 ra.ct<:>rillab ea PROBLE14AS )RESUELTOS, Cru,¡,o 7,
2.6 Ecullción ae un Lugar Goom/trico . PR08L(KAS RESUELTOS, Crup¡ 8,
3. L s Lí n e a Recta
3, 1 Formas de la ecuaci6n de una 1Ínc~ recta. PR-OBL[IIAS SlfSUfLTOS. GrUP¡O ?.
J . 2 Forma Generrtl de l/l ocuao.i6n óc Unll racta. ). 3 Posicione~ relativas de ctroa rectas.
Pll 08l Et:AS RESUELTOS. Gr~o 10 ,
3. 4 Forma Normlll de l a e cuac¡6n de una T'tlct.a..
V
87
'.l. 5 R>JCIUeci:fo a la foz·:i:a Normal PHO!l.LE~~S RESUELTOS. Crupo 11.
3.é Aplica.clon'e!l· ..:e la forn:r:. :,oroal.
Pll06LENAS 11!:SUH rOS. Grup<> 12,
3. 7 :_rea de un t'rihl:.r:ul~ .. J.e ,ami11& de r~ctac.
PROBLEM,s RE~UElTOS. Crupo 13 Pf<'H1LfHAS fltSUl:i ros. Crupo H
f'ilOfllEWIS AOlCIONALU
' d •
4 . .L• Circ1r-nfere~da
4• 1 Def1nic_lón y Ecuaci~'lC ~ •. P?09t-E1t.,s R[StlE:l TOS. C.:rupo 15.
4.2 Fo.r:n1i General de l&. ecuación d~ una Cir.:n;lll,~Tencia
PROBLEMAS RESUELTOS. Crupo 16,
.;;,.$ Eje 'ª U.cal. PIWlllEHAS R(SUEL TOS, Grupo 17
L. 6 Ta11~ent,, a Jllf. Circunférenc:ta,
l'ROBLtM\S E!CSL"tl r,·s. Crupo !S
! .• 7 Teor9mnG 'i Pro bleTa.S C.i:: •11 gert:~ ge!>rr:St.t!~vs
~el~tivos a la c_rsu~ ~lt,nc~3.
:·. ;
nROSLEMAS AOlCIONALCS, (l,,xto: r. Oc• la Sorh,>1!,)
1
:'-r~!:la.c1lt ·l~ Ej<. r-: Cc .... r-d-.:. .. -dc3.
PROBL.ttAS RESUFL10S. C~'fº 20,
t:-i't.c.cié~ tl~ i.;e:1: Coc1·de.r.c..'J!>f;. 1
sci­ s9
ción :::e coo1•den .. uas.
PROBLEHAS RSUEL TOS . Grupo U
6. la Parábola
6. 1 O,;finiclón
6.~! Ec;.i.;~d., f.e lu pa.ábol:1 con v"rtice l''.'.l el -:-r5.een
PRC!3LEll~S HESU[LíCIS, Crupo ?J
6.) E~t.6.CiÓ:, éc la p;;:.:-áool ~ con ,1ér,. :.ca "n {h, :.,:) ..
6. 4 3c ,acién Ger.~ral do i..t111 Pa1·!bolo..
PHORLEil~S PFSUEL TOS. Cro¡,o 2'+
6. ~ Ec·H,~:é n de l ll. tang':>nt.c a en,. ¡,a.:-á~lc
PRDULEMAS RESUELTOS. Crupo 25
1. La Elipse
·7. 1 Ditfi11ició:i > ? • 2 EcunniÓ.n do la Alip ~c. P,<OULFll1\S RESl.lEL TOS. Crupo 27
7.) 3:-c·.ieaión de l" él lp3J con véi·tic" c:i (b, Id .
7.~ 3~~ación r,en~ral, dJ ~~ elirne P:rn·\LEHi\S P.CSUfl ros. Gru~o 28
7,:, r:eu.1ci6'1 de le t1m1; ,rnte 1 una ffl ip11c.
:,. 1
f.>:10:JLEi•W, llllICIO/lALES, 1
8. La Hipérbola
PROaLEHAS RFSUELTOS. c~~po JO
188
H.,( A a!,,tota;; deo u:,;a hir,ér bo 111
.:,.. 5 E ... pé:~:. tt 1; ... t.~~·!-.-nr!"', 8.,6 H!.;Jér:x>;.e.s eor.j:.>t:P-daz
PROSLWAS rESUEETUS. Crupo 31
s. 7 S&~1md~ t::'!Ouaci&:n o.t"dlnar ia :;.e U!l .... h!pérO:... .. e. 'RU~!..EIMS RESUELTOS. l,rupo 32
f,9 i:;C':U'd) i Ón ,., :.;i. t.o.rHTi:?t:t~ a 1.HHI bip~.rlio1 J,t .
P~()13LEMAS RE%U H)S , ".;,:upe H
PA03l~M~S AO!CIO~!lfS (Te~to : F, o~ La B~rbolla)
9 .. 1 Intr"-d!l:.:ciÓt! . 4. 2 Zr-c.~afo t-~~c ién _pcr 5Q~O:l6n.
9.3 Tlpos de C6n.ie~~. 9.4 Inv~riant~u .
PROOU:'.tlo\S RESUELTOS. Crupo }4
9 , 5 Oefir.:lc i ÓL zn,e1<al. de la cónic a .
PROCIL EMAS RfSUEl TOS. Cr· upo 35
9. 6· 1 an~en~ a la cónica g en~ra! . PRO~LEHAS RESUELTOS. Gr upo 36
1 O. 1 .5 i i, t e :nn. de c::>ordena::.11 s p e J. :iy: s .
:-1. 2 Pa.r~Ja de ~co.,.de!ladat pan: ..in p ".lD~.,;, .
.; ?~, ~e coo~cezadas po2~res r. ~e~tar~rtü.are~ ~
·, l~ •1ers e..
Pfl{18l. Ei'<AS ll~Sl/!:1. ros . 1 Grl,upo 37
7~a~ito de ccrv~~ en zo=r~ ~~añ~s pcl*re s PROBLEMAS ~ESU8..TOS. crtp~ 35
1
10 . 5 l:, ~ercccc _one~ d6 e~.L:va. 2 ffr~ ao:,r i~?l.?.d1 a poltt.res .
.. ~. 6 r,( 3:t?:t.n::ia --ir.~l"e d.oa ¡,1.a:to
PílOJI E~ AS MCS UlL TOS, Grupo 3 ~
·; "'. '"! E=~nc::,.6n d~ u.:aa :oc~s er: co~r ~en ado.~ pc lar~'-4
10.' .:: - •uav.:1!l ."~ :ir.i !x:-·.1~::c~e:1cis s-~ t:cer -;. . ;ol.1.::~s
~). 9· r:r.~ .10.r:ién ge'1~I'"cl e.le la=- cén .i ,~as en noor d .. ·.,ol er?.s ríi0!3LfHAS AHUELHJS. Gr upo 40
295 296 ;¡_9'¡
l. l SECIIEllTO RECT ! ll tlEO DIRICIOO
?-:,:· la g¡¡ome Lr ía elemental sabell!os que ls. porción de una
1 1~~~ r ect a coopre~di d~ e~tre dos pu~tos A y E se l ls.as ~ ~g­
Q~nio. Per o e~ ella nos~ hacía la distinci6n en~rc los &cg­
c e::tos }3 y BA, porque noa inte::-aa<ibo. solamente la longitud
a~: ae~ ~cto . E.~ e: est~:iio de la Geo~etrí~ klal!tica es nec! s~:-io ::,-;n tlld erar ~a!l to la longitud co:co el :,é ;o: °tido. Cua:nc:o
;,os :·e.f'iraa:os a J.a longitud de un segmento, l o con3icieraremos cono une eAntidac ~clatlua . Cuanjo n~a ::-efirazos tAnto e la
:.ct.¿¡:_:;u:i co=o el :;ct.tido ,ie u~ ·segao~to de. ra~-:a, l e ll=ere­
mo,1 ¿"?'"ento Cltú.n.iad.o. Entonc~s. entend(!)mOG por n gsento o­
r ientado s:¡uel c· :;;o sell.~ido po3it1vo 21e . sido &legido. In eer,­
tid~ pos'tivo se lnd!ca u3ual ~ente c olocando ~na flooh~ en :.J g:'.~ l uga r d &l seg:i en.to .
Figura 1
.S.:i!. la r ec ~ L ~3t' orisntad:. c:nao l o i c dics. 1;:. !lecl:c • lo·
cual significa q~o cual1uie::- longi tui oedidn de izquierSa a
de re cha s::>b!'e 111 re ut a se consid.¡¡re. en ~ent1do pos1 t i ve. D<& o;
~os entcr.ce~ q~~ al segag~to I'§' as positivo, en t~~to ~ua s i
E••fe::to Jrr es 1. -;1g 11 t ivc. :n con~ido d e un sog:ia:1to aer~ indl ­
calc por el orden s n q ue oo escriben l.:is· oxtreno-s del s~g:n,¡11-
t o. Por tnnto, ten$~Os la relación: n = -3.t
4
Consld~re=o& la poeictón ac un tercer pu..~to C, eobro el ec3- nento orlent,•do, cor. relnción !l. loe pun.toi.: A y B.
A .e
tsne;c;oa: J!. = AC + CB
Ail. ·= Tc; ~ :§e
+ Afi'. = Tc. + 'BB
~
(1)
P,n tanto, p1u•a lais trea, pooicionet1 ilu~traduo, es v,l.lida. la xis~a roleci6n Gntre loo see~entos. Esta relaci6n puede escrt bi '!'se on la torua, a4s conveniente:
Xc'+ci3+Bi,:o
· l, 2 SISTEMA COllROENAOO LHIEAL
COb3idereQOS ur.a rcc~a !'X c~ya d.ireec1Ón positiva 68 ie 1zquie~d!l ~ ücreeh~, y se~· O un p~t.o !ijo ~obre ~sta línon,
Pa o ¡¡ Pi p X' --- -x
Í 1'2) (O} ('T) (x,) ü:)
Jieurs. 5
Si f, es w, ¡,unto ñe ,;•x rdt1.a<lo a lr, d&reeh~ de o. ls lone1.
tud OA pue.ic ccnoid;,1·=00 c,.,no u:iirl'-d de :.ougi tud En .. onee:i t•l r,u.1-to P, situo.;lo um1h1á., n · la dc~·ed1:i. ha O, contiHe -.. ve .. et>~ la :.u1id.a ::dop-ti1ó:"! !l- l .. :,g:.Lttd .Y ó.'t'¿¡~,~n nite c1 p·.'i...nto •.
c.c:~.1t.t:.1>.t:.·•Vuie l 1u'{noro p::r."'tJ.v~ Y'. }41:álog:.ui<!n;;b r.1 P~ e~ ~1 •;U!!to ;:•tt.~do -r,. la i:1..:,u •. :>rda ao O, eni.r>!'ce:r, dl.I'<,moll que 1,l
,=t"-;o F~ e,· ,~.,;,t.r..r.t.:. ~ .D1-~ (1. 12.-.."a.t-ü.~ ;¡;_¡_.
!.., ~ú <:1,-t , b1-1.:10~ .t.nn~t,.11:!.dc il-1\ ·t;c,!t:.cr;a pcr m~d..l.'o del cucl ~6
,)8 l:.. d!t'I ·;ui, d(l2,"",l¡lO.OJt1J<CÍl1 c,l\;.r:ÍVO<)tl enf,,,3 ¡,1i11'1,v~ do UJ.ll.i
5
recta y los ndmeros reales, Tal esque11a ,;e llaoa un ¿,:-ó~a
eoo,,d¿¡-¡ado ·l.úu.af:.
Coc refsreceta a la figura 5. la recta l'X r,~ ll¡¡,¡¡¡a ~;e y sl ·punto ·o es el Mlg= dol sist!)ma coordenado lilleal. U .PUllto P con su coordenada. (x) es la ~cpre~enteci6n geométrice o gr~fics. del DÚll~ro real JC, y la coordenada (x) es la 11..t,,,.ic•
h&niaci6n anclltica del punto P. Juntos se es~ribe: P(x).
foorema 1. En un s:it1te!lla coordenado lir.cal, 1s. longitud del oea~ento diri~ido que une dos puntos dadcs ae cb­
tieno, en ~ag:útud y signo, restando la eoordenada del ori•
¡¡on de la coordenada d-sl éxtre110. Dcn:ostruci611:
En efoc~o, sea la rec.a orientada l'X
O P1 l'2 X' ~~~~~-..~~~~~o-~~~~-a--~~~~-4,,,¡ (O)
Según la relac1.6n ( ·¡) d,;l ar.tí culo 1 .1, tenelllo&:
OP1 .. l5"iP2 = éW2
de dunde: F;F;, = X.a - x 1
En a~bos ea.sos, la longitud del segaento óirigido se ob.le•
ne reatando la coordenada. del punoo il:J.icial de le coordeoaóc del pun.~ Cinal. S1 1·9pre~er,tamou por d la d1.otanci..t ,to ai.,d gida entre P, y
Pa. &acribiremos:
o bien:
La estructuro del siste~a de coordenc.daa an el plano
consiste en un par dA rectas orientadas porpendicularea, 11! ma.do 19 ejes coord11nado1I. La 1·ecta hol:'1:i:on~al es el eje X, la
6
}'..as cu11t¡•o partea en que el plano
qucd~ diviciido por lo~ ejoD ooor- y
deaados 60 llaoan ,~~ Y se II(-,t) I(+, t} doeig~an p~r I. lI, III y IV ~n se~tido contr=io 111 de las 11ane­ cilles del reloj. (Figura 6)
ll --- - -,- P(x,y)
Un p"!lllto 3e indica dnndo au senti­ do y diotencia re3pecto a los ejes uoordenadoa. El ner~ento orientado oi~ru> se ropr~s~nta por x y oc 11~
na at4ci4a del p~nto P. ll segnen- to orientado OB•ii:P se reprooenta por~ y se llama o~denada de P. i~
III(-,-) !V(+,-)
Fi¡ura 6
t1s dos c~ntidadee ae deno~!3an cooA.dc.n.ada~ del punto P y se
repre&ente por {x,y). Si un punto est, a la derecha del eje Y, su 11bsciea es posi­ tin,, si est.t a lit izquierd11. o.el eje !, st: nbscise. es nee;att v~. Si el p~~~o est, arriba del eje X, au ordene.da e, posit1
va, si está ab~jo dol eje X, su orden~de es negativa.
[.EJERCICIOS. Crupo l
9. ~allar la tliG~~ncia entre los puntoo cuy&u coordonade.e son, (-5) y (6); (3) y (-?); 1-8) y (-12).
Scl,,ci6n, Por el teore11a 1 se tie:ne:
Pa.-ra loe puntos ?1(-5) y P1(6): rl(Pi,P:)=lx1 -xd.,l6-(-5)le11 Si P1(3) y Pa(-7) d(F1,!'2)=lx1-x:l=l(-7)-JI- -101=10
P1(-8) y ?~(-12) .,. d(Pi.P2)=lxz-x1 '=I (-12)-(-8)1=1-41-(
5. Le dlstanci~ ontre doo pw,tos 8$ 9. Si uno de los punto~ ea (-2), hallar ~l o,ro punto. (Do~ casos.)
Soluc.:611. Suponecmon quo P 1 (-2l y P 2 (x1 )
Fntonces, !IÍ d(P 1 ,P3 )=9 - 1Xz-(-:t} f•9
S ú,J "'"'~ d.c Coo~denacia 1
~ lx1+2l=9 .... x,T2=9 6 X2T2;- 9 ..-.. x,~7 6 Xz•-11
7
Por tonto, los p•ir,tos buscedcs son: P,(7) ó Pi(-11)
6. En ur: s.!.st.ua eoo:rier • .:d= 11:teal, ?i(xi) '/ .? 2 (x 2 ) son los
p1.!11 tos oxtl'ono.s do.dos de un gcgnento dirigido. Demo3trar que la eCOl'dtto3da {x) ie un pa:-ito P qu• di vio.e a J- 1p 2 en :!.a raz6r. r- (P,?):(Pl',); u:
x _ x, + rx, 4 • - 1+r , rr-1
Dc1>.o.ái.r.ar:i.ór.. Er, efecto, por el teor~;a. se tie:.e:
?1P • x-x, :, PP, = x~-x • Lu!lgo, oi r ; hl + r,, x-x, :'~2 X2•X
de dond<i: X _ x 1 + rx, 4 1 1+r ' xr-
7. Lll.Cieodo r~1 eJ lo f6 ·•41.a obtanida e, e: cjerciclo 6, d~ 11:os~!'a.r qu~ la coor-it<nll.da del punto ned.!.o de un aag1e;to r•ctilír,~o 03 h. t>c<l.io e ri. tmé t:I ca de ::.ae coordenad:,! de lon p~~.os cx;r~==3.
tJcMOdi.1t,,ci6n.. En efo1cto , si r.rl, en la fór:iiula ant1Jrior
se t.iena : X = x1n1 "'x¡;.x!
Halla~ les pun~cs de trisección y el FU~to ~edio del seg 1:11J11t,o dirigido cJyoa extrexoo son loo )>1,t.tos (-?) y (-19).
Sotucl/.o,
Se~n P:(-7) , P,(-19) y los pur.tos de Lri$ecciún ?(x,) 'I Q(x,)
(-7)
? H
( l( ')
Si ? r Q <i!.,:.con al sei;,iento P 1P 0 '.!n -:.reo pu·tea i¡ulllei, =­ t.or,o,,s , P!:' • l - x,-(- 7 ) - 1 d d d r,-z 2 -1':/-:<J ;¡ , e e:: e: x,•-11
, e:; pJ:1to c~d.io Ue Wi ... x,;: -1ltl-19) ~ -15
:-1 IIP p:n:.c - - Jlo de ¡-;p; x ~ - 7219 -1J
?o 1' lo t,.n to: ~ ( -11 ) , Q ( - 1 5) y M ( -1J)
8
'.:l. 1/n extremo il:' 1m s-egnento diri¡;ido ::.s el pu:,to (-8) ,' su
pu:i.t,:i medio .,,., (3) . Hall.ar la coorclenatl.a af:11 otro ,01<treu.o
$i>luc-Ur. . Sei,n P1(-8) , M(}) ;¡ Pz('X"~)
Según la ~órmula del ejoreici~ 7: J ; -82Xg
de dor,de: :. ?,(1.i)
10. Los ertre~os de un segmento dirig~do son l os ptllltos P1(4} y P~ (-2). Hallar la r.ni6u (.P"';F): (PP i) en que "'1 punto ?(7) divide ¿ esté oegmento.
Sotuci&n, entonoas por el teorema 1:
re~, de donde: r~-3
ll. Un cuadrado , tle l _ado igual a 2a, tiene su centro ~n el o­ rigen y sus l ados .son paralelos a los ejes coordenado$ , ITalla,r l as cot>:rdenada.s de aus cuatro .v,htic,e,s.
Sotui;Un, E'r, la interpre tt<oi6n grái'ica dol p-i•ob:l.e,aa pode- mos o-hs-erv,u, quo~
Alil lifcl leje Y. luego, J,n abecis-a de A y J es a, (derecha del eje Y) y la de E y O e~ -a (iÑqui e rda ciel eje Y) ~ I IBDI [eje X, luego, li;. orcl-enacla de A y a es a (ci,bre el ej& .X:) ,¡ la de C y D es -n (d.,btijo del eje X) .
Por tanto, las coordenadas de lo$ 4 -v-&r,ices del ci:Rdrado son:
y
A
D
12. Tre<: V'ár-':.ice$ de- un re-ctángulo son l()s puntos (2, -1 }, (7,-1) Y (7,3). ~allar el cuarto vértice y ou nrea,
foluci.6n, S-ee.n A(2, - 1), B(?,-1), C(7,J) y D(x,y)
Por el Teorema AB ~ 7-2 = 5
5c = 7-x 5=7-x , d.t donde,: x=2
- X
Ali D e e y-(-1) ; y+1 ···r----
Si iñ=BO ... 4=yt-1 . de donde: ;;r~3 1
Por lo que: D(.2, .3) 1
a.{AJ3CD) [ÁBJxfBcf X = " 51e4 ;- 20 u 2
A 13 .,r
13. Los vórtices de un triángulo rectángulo son A(l,-2) , B{l,-2) Y C(4,2). Determinar les longitudes de los cate­ tos, el área del~ y la longitud de la hipotenusa.
S.olu.ci&tr.., Por el 'l'eore.1n:t 1, se tiene:
lilif ; lxa- • x_~ 1 14-1 I y "' 3 9
IJ:fül - l;1c - .Yal 12-(-2)1 ; 4 ----- - ..
Entonc~s~ a(AABC) = iJABjxjr,cJ 6 u..2 o X
Por Fit6.~orae; IA'cl 1 =liaJ 2 +1 ac1 2= 9+1b 11.°"'cl : 5 A B
14. Bn el triáng\llo rectángulo del ejercicio 13, déterminar primero los puntos medios de ios catetos y, después, al punto rned.io de la hip.otenusa ••
S. o l.u.c i.611,
Si M(x,y) es punto m~dio de AB ; j( 1+4) : -i = i<-2-2) ~-2
_ {x~-21(4+4) 4 N(x,y) es punto medio de Be+ 1, ) y ; 2 '?-2 o
P(x,y) es punto nedio de AC • 2 2 {
x = 1(H4) : 2
OA abscisa de P = a AP ordenada de P = b
punto P(a, b) .
yt--·_7: P(a,b)
OA = abscina de~~ & OE : or denada ~e a = 1-BI = S
Por Pitá go':'a.s : 1.Gf'= lfü¡ªJ. Jo§/2 ~ (6F"- ra>2=100
; . !!(.!i.,31=10
17. Lo¡¡ v.Sr tic<>a de un cuadriláter o 3(7. 3), C(9, 8J y D{J,8).
A(6, 0} y .&(0.. - 8).
Como CM 1 1 eje Y, la. abscisa. de C y­ e• es xc:1. tiil(.,(J-(-1) 1=4 + (Aii-j:2
Si el A!BC es equiJ.átero, entonces:
IACl=(Afijc4 En el AAMC: IA"c:J 2 =liMJ 2 +(MCl 2
+ (4) 2 c(2) 2 +(icJ 2 +JMCl .. (MC'le2,/J iuego, la.e ordenadas de los vért1C$8 e y o• son: 1+2,IJ y 1-2/3 •
:. 0(1,1+2,IJ) y c•(1.1-21J)
11
C'
lj. De~ostrar que los punt os A(-5.0), B{0,2) y C(0,-2) son los vét"t.ices do un tJl.i~!o is6$cel,e.s y ea}.c111ar su -'rea
,....e .. • : ~ ...
JI51 .. (9-(-5) J=5 , (oBJ=(2-0(c2 y!ocl=lo-(-2)J .. 2 En el AAOB: IIBlª=JKóJ 2t(o'Bl 2
=(5) 2 t(2)~=29 + IAB)s~ Rn e1. AAOC: IAC p .. l.@ l 2~ loé! .t
~(5) 2 +(2) 2229 + tACJ~ Por lo tanto, ·el A.ABO ea is6sc-eles.
a(Al,J3C) "'i~B'c lxfoll e j<(4~{5) = 10 v.l.
20 , Deiaostrar qua los punt.oa 0(0,0), !(3.~), B(8,4} Y c(,,O)
son los vértices de un rombo. y caJ.cular sn área.
D~mo4t4aei6n. Easta:rá deQOStrar que !IUil=IABlstCBJ;JOCJ
En efecto: IABl=l 8-3(;5 IOCl=l 5-0l=5
Las proyacciones de A y B sobre el eje X son: A' (3,0) y B' (8,0). EntoM-es: lói•f~l3-ok3- y lc'B•J .. ls-51=3 Luego: IOAl 2=(J}2 i(4)ª=25 + !OA(a5
ICBj2=0) 1 +(1.)h25 + ICB1=5 Por lo t.anto, el cuadri1ltero OABC es 1111 rombo. a(OABC) = IOC lxlAA'I r (5)(4) = 20 u2
12 (j.e.vaei.A.la Anal!t i.ca JJ t<m a
l. 4 DrSTAtlCIA EHTRE OOS l>IJNiOS !Ul)OS
TeoreRl ct 2. La dilltancia e11trE dos puntos .1' 1 (x;,y 1
) y
d(P1,P2 ) = /(x,-x:a.P + Cyi-y~ )2
Déll!04t,iaci.&,u
En efecto , por P1?a tracemos lus .perpendicularas P1-A y PaD a ruibos
ejes coordenados, y sea E su pun­ to de intersección. Lae coordens­ a~s de los pies de las perpendicu
lares a los eje~ coordenados son: A(x1,Q) , B(O,yi), C(xa ,O) , D{O,y,) Pz
Luego, por el teorema 1, se tiena· P1E=C!<=X1-X2 .• EP~=-ruJ=y1-12 - ·
y
B
En el 6P1BP2, por él teorema de P.1.·&f~ar~ª -.. ~o lSé 'tiene:
JPiP:1 2 = IF°;EI~ + IEP1f 2 , (e donde:
d(Pi.Pt} ,,. /(xl-.i:.2P+{y1~Y2P
l. 5 O!VlS.IOH DE Utf SECMENTO Et/ UNA RA!ON O/i.OA
Téore...a ). Si p (x \ p ( 1 1,yi,2_ i >l.,a,.y~} ·so.n los extrélllOi! de un. seg~ento P1P2, las co~rdenan.a~ íx,y) de un
punto p que divide a est.e $egmsnto en la rá~6n ~=P2P:PP2 x ., x¡+rx 2 h±!:Y~
l+r • r; ·~ , rJ-1 1Jcm.9~l11.a cUm:
En efecto, por los punto& P,.P Y P. traz:-r:¡os paralele e a los ej ei. coor ñ~naaos, que se i~terceptan en lo; puntos Q Y R, tal co~o se indica en la i'ig.ura adjunta. t:.F 1QP : APRP:
E:.toi,c:cs: ¡;-; "-~ (a) 1 ' L----~ ... .R ,- 2
Entonces, por e.l te:orema 1 se tiene:
~! ., r + x-X1 ,.. r
i+r . ri'-1
~ ~= de dondet Yl + ?J't r#-1 ; r. + r y ,: Hr . RP y-y2
:En el caso p,articular en que r"1 tenemos el siguiente
Corolario, Lea cooraenadas del punto m~io de un segmento di­
rigido de extrel!los P 1 ÚCi,Y1 ) y P 2 (x~,y2 ) sen:
" = Yi + Y• ' 2
Ob~rvaciones. (1) Les razones de las rórmulas deX teoreoa 3 deben ser consid,erados con su signo, ya
que est"a~os tratando con ssgmentca r~ctilíneos dirigidos. (2) Al usar las fórmulas del teorema 3, debe cuidarse de que
le sustitu<;:i6n de las coordenada• sea correcta . Por esta raz~n freou4ntemente es preferi ~le no eusti tuir en e etas f'Órnuláa sino ss·cribir directamente los valores de las rj!
zona~, tal como se da en {G). (3) Si el pwt'to de división P B"a. externo al segmento dirigido
P 1P1, 1a ra~6n r ·es nega.U,ra~
1 E,)ERCICIOS. CrupG 21·
l. Ha.Llar el perímetro del cuadril.átero cuyos v6rtices son A(-3,-1), B(0,3), C(3,4) J D(4,-1).
Sotuci.fm. Por la fórmula deI t.110rf!'1Da 2:
!Altl = /(0+3) 2 +(3+1} 2 = 19*16 = 5
1:ac1 = /0-0}2+(4.3)2 = 19+1 = /'TU
!cDI /(4.3)2 +<-1-4) 2 = /1+25 = 126
e
pé.rímetro ~ 12 + ,l'fU + /i6 = 20,26
X
2. D~ros~rar que los p~nto$ A(-2.-1), 8(2,2) los verticea de u~ trilL~gul-0 is6s~elús,
Y C(5,-2) sor.
iJll.i;! o,l,l,ta_c idn • En efi;,:~to, las longi T.Utlen
1 - t;::--:c-:--::,-,.--t-riát.g-ulo son: AB/ ~ ,/(2+2)2+(2+1)2 = 116+9 = 5
de lo~ lados dsl
lact = IC5-21•+<-2-2J2 = 19+16 = 5 /(5,+2)2+(-2+1)': /49+1 " :;/2 ~r:,~-....!......+--,- Y.
Sie~io lli'il=!BC! , el óABG os isóscele~.
e 3, D-ezostrar que len P:ltltoa A(2,-,!), B(-8, i) ( )
los é t · ~ 'I C 5, 3 son v r ices de u11 /J rectánQ"Jllo, · v h•J.'1•:r
... ,? ~ c.. St:. área. Ve~c~t4aci6~. ~n efecto, las loneit~des
/IR¡ ~ l(-8-2)2+( 4n)• = ~ ~ de cada laca son:
tiic/ = lcs-2) 2 +0+2)2 ~ ,r-;¡ IEG/ = lé.5+S}2+(3.4)2 = /Pro Aho':; ~ien, fAB/'= 136' /Xc¡•,. .3_.\....,_---~~~-,...~-Í......;,.);
Y 1a~1 : 110 = 136+34 = IA6J2t/BCIª Se c:,mple el Ct!OreJl1a do Pi t, ·1_ ago~as, por lo que ºl 'A3C ""-"61Jlo e.n A. a(A~BC) _ 1 ¡ -¡ _ 1 ·· '· oe rett-
. - 2 AB x/AC( = ,(/i36)(1}¡) = 34 ui
:+. D t anos re, que lo.~ trss puntos - son aolinsale~, e¡¡ deci~ ~ A(1~, 1), B(-J,-2) y C(2,-1)
·• GU- est<ai.r. sotre un~ nisma r~ •• De.f!/OM ·,i , ~c,<1
. M1c~ n' S&gun la i:-e1aC':.6n ( 1) del t' ar 1eulo 1.1 pa
ra oualquier po-sición do l . • - C sohr; una !{nea os p~n~os A, By
rcctn, se deb~ ve:r·r1 _ _ • - · 1 car <:?Ut;:
ÍA3/ = (AC( t /C3f En t1fecto, pcr- la .f'ón,ula
c!e d.is~a.ncies,
/ABf = l<-J-12)2+{-2-1)~ = /225+9 ~ 3~26 f Ac/ "1(2-12)' +(- 1-1)2 - ¡~ -
_ - 100.¡.4 ~ 2./26
/OBI ~_!(it~Z+(-H2)2 = h5+1 -: -.'26 Co~o /AB/~l4Cj+je§j, los tres pw:~o~ ~on
- coli.neale s,
15
5. Demostrar- qu-e los puntos .A(O, 1 ) •. B(J. 5), C(?,2) y D{4,-2)
~OJl lo~ vértice& de un cuadrado.
~o,¡;vuzei6n.. l!astará probar que las 1ongi tode11 ele los 1~
dos son igualas y las diagonales tllllbién.
IABJ 1rsc1
IDA! = l(-0-4}ª+{1+2) 2 ~ 5
I/\Cf = l(7-D} 2 +(2-1)Z /50 tDBI = ICJ-4) 2 +(5+2) 2 = /so D
Por l o tllllto, el cuadrilátero A.BCD os un cuadrado.
Los vértice.s de un triángulo SOi!: A.(3,8), 8(2,-1} y C(6,-1)
Si D es el punto medio del lado BC, aal.cu1ar la l.ongi tud da la oedia»a AD.
Sol#ei6n . Sea D(x,y) el punto aedi.o de BC.
Entonces: x = ;<2+6) = 4 y" Í(-1-1) 0 -1 • D(4,-1)
Luego, IAiif = /(4-3}1+(-1-8)ª 2 182
7. n~mostrar que loe cuat~o puntos A(1,1), B(J,5), 0(11,6) y D(9,2) son los vértices de on pa.r!llelograJ110.
Eh. efecto:
fABI = /(3~1) 2+(5-fr2 = /20
1001 = /(11-9) 2 ~(6-2} 1 "12a
fiicl /(11-J>'+(6-5) 2 = m 1.rn1 1<9-1>2 +<2-n 2 ; m
e
Luego, f:ni!=l!iél Y IBCl=liilf, Con lo cua.l queda demostrado que el coadrilÁtero ABCD es un paralelograao.
16
S. C.s.1.c'llar d árec del tdán1;ulo cuyos v,rtices son los pu~
tos A(O,O). B(1,2) 1 C(J,-4). (Sugest1ón. Use la fóroula del 3emlJ)t'rÍoctro).
Scluri§rr. ?orla fór..,ula de di9ta.cc:1ila obt.eneoo:,:
/se/- a = 2,;ro , IA°c l• o ; 5, /4B/- e "'IJ
:u~go, p ~ i(~t2/lUt5) ; p-a a j(v'5t.5-2.ITO)
:;,-:: - ~c.r1+urtr-:) : ¡,- r. "';c5+.2rro-0J
Er.t.onces, ai a(~AilC) - lp(p-a)(p-h)(p-c) , se ~iene:
o. c1,AEcJ Q t1c0+2,m+ s> c0+5-2mi c21"io-J.0- 5) c2m+s-/s)
• Vc,o.15-,0><10+1Dl3) ,. V10oci0-1)(0+1) .\ .. • •. eÍllAEC) = 5 u 1
~. Uno do los extreooe da ~n soglllento rectilíneo de londltue
5 es ol pun~o A(J,-2). Si la abscisa del otro ~xtreao es 6, hnll1tr &~ ordenada. (Doe solucion~a.)
.i.g,luci6n. Si A!J,-2), B(6,y)_ y IIB/ .. 5 , e.o tieno:
l(6-J) 2+(y+2) 2 r 5 + 9+(y!~)i=25
-. (y+2)~~,6 ..... yt2=4 6 y+2=-L
- Y"'2 ó y•-6
10. Dsterl!!inar la ecuac:!.6n o.l¡¡ebraice qu.e expresa. el h"cho
de que el puuto P(x,y) equ:l.lliat.a d~ los puat.os A(-3.5) y B(?,-9).
S,; {,.,_.-_,,..,.. Si ? equtcií~ta de A y ll enwr•ces:
IAfll = IBPI - l(:x+JP+(.r-5F = l(x-7F+{yt9P
+- x~+6x+9+yt.10y+25 = x 2-14.~+49+y 1+18y+81 -. Sx-7:,-2, .. 0
Ln ec~ñclón reaul~te cÓ l a ~eiiatria ie l~I.
l l. Ildlo.r lov µ1.ntos de t1•isecci6n y el punto tiedio del ºº.! !llcnto n•1yoc extrel!os son Pi(-::1,J) y "'2(6,-3).
S oluci~.,. Eean r y Q los ?:J:1to11 de tr:'..ancc1ón y l{ '>l
r(~;2) = ~ + 1·,,._., - 1 +
"3
- . M(-2+6 .1:.1) - !{(2,0) Mes punto zeóio de P1~i v 2 • 2
Q ?,
. Q(,i, -1)
12. P ( 2 4) ,~ Pt(S,-4) rle 11n segmento eon t • ~ Loi ptmto-s extremos . . d eta ca""e:ito en dos
P(. ·) que a< vi e a e .. -Rallt.r el. pun t o x, JI -
pnrtes tales qi:.c (P,P): (P?i)a-2,
S0lu.c;i/J11:
-y
+ x=-4 P(-4, 12)
. d . se¡¡monto es el (7, 8) Y Uno Ü" los pur. tos ox.i:.1·e11100 e un 13 . ~io ~~A<o oc (4,)). 3alla.r e1 otro eiCT.reno. su pun" --~-
Solución. uea~ t ' • " p (7 8) H(4,3) ~- P,(>ez,y¡)
P-p ·> 4 "_21(7+,c,) + X2"'1 Si M bisaca al aegniento l •
>; J(s+y2 ) + Yt~-2
.·. P2 (1 , -2)
e en~o oon lo5 puntos P1(7,4) y ~4 Lo11 or.tr(Ol!OS de un 'al f!:lll - - ) ua el punto • Pz(-1,-4), Mellar~~ raz6n (P1P):(PPz en q
P( 1,-2 ) divi~e al segmento . S0luci61t:
x-11:1 - 1.;1... , do dondr,: r=J Si~j~ + r·xrx- -1-1
15 .. • 1 son (2. 5) ~os ~odios de los lados de un trio.ngu 0
Los pun. rd •dee de los 3 v8rtices . ( 4,l!) y {,,1). Uallar lav coo en~
19
B
(4)
ol:,tenoitos:
l IS. Lo¡¡ ,,~,. t.·i ce ª" , e ( 7 - -) - e - Uf! tri ~eu J o eoii A ( - 1 ~) B ( ~ • 5) " , , - 1 • Si !J -ls ,,¡ _ ' • ;, ,
J;U!JvO llt'-'dio dtc>l l d - to ~e~o del la~o §c d a O A3 Y~ os el pun
- • e10oct.-,u· q l , - 1rei:. to i5'! e>1 la ,d tf.d . ' i;" a ... oníitud del seg-
ne la. lo12g1 tud del la<io AC . .Soluc i6r,. '""'i D
,> tle pi.nto i.od!o de - 3 1 A3,
ot:t~Z:Ch · D' - ~) • 1~· 2 ....., ~(l,4)
E ~llnto l'lsdio do lfü .. i;'. (l:!:2 ~ 1 . _ •• z • 2-J - E(5.2)
Luego, lt>:;/~ /("-1J2L(2 •)Z = ., T -~ ~ ..-20 .. 2""5
/Rj~ /Pi1Jrt(-1.3p ~ /a,j"" - ~ 1Jividien1o: /DE 1 _ 20 . - 4 ~
;Xc¡ - ~, ue dor.d•: /DE/
l.J • !:n el 'ri.' . • aneulo reot!n.,ulo d ll . e, "' ' e· ere! .1 - punto med!o de I~ ~ipo•e " 0 0 J , deD03trar qu•
"' r,u:1a eq"..lidist ..... !Jt,x:o,.¡_ ,ac.it,,. • .,:i a da los vértices.
• ~ efecto, Sl. H ei;; pur.t ontoncea, M (~ ~)
1 7 • O llledfo tle Be,
2 , 2 . ++ H(-2•2)
/MAi 1(2+3/2) 2+(-2- 7/2) 2 = l /1?0
lf«!I /(s+JnP~c3. 7/2P = ~ IT'iO
19
Vemos que {iiBf=IHAl=IMél. por lo qua. el punto M equidista de los troe vérticee.
18. Demo,trer que los se¡uentoe que unen lo& punteo medio1 de los lados sucesivos del cuadrilátero del ejercicio 1 tor­ man un paralAlograJ110.
De.aodu«1.ci6n. Tene~os A(-3,-1), 3(0,3), G(J,4), n(,,-1)
Si K, H,P y a son los pu~ os nedios e do los lo.dos .!el cundrilétero, on- ~D
.... ~, •<-l. ,i. •<H>. •<H> , < , R{i,-1) • Demostraremos que : ~ IMiil~iRi>I y l!iil.l•lfiPJ. En efecto: A R
1 irn 1 /e 1 ~ lp + ( 1 - 1 ) • ,, l m I iP 1 ª /i'"'c 1 ... _-1.,...)-.-~ -( 1~ .. - ,-)-ª: ~ 22 2 2 22 2 2
IMfll lci • ~)~+c - 1-1>2 . ,111, IÑPI• /c~-i> 2 +(~-~) 2 = ,111
Hemos de~ostrado que liiil~IIB>' y liii'tf:fH'PI, por lo truito •l cuadrilátero ~NPR es un pa~alelogramo ,
1,. Loe vértices de un triángulo son !(2,-1), B(-4,7) y C(8.0) Hallar, Far~ cada une de las medianas, el punto do trise~ ci6n más cercano al punto medio del lado correspondlonte, Demostrar que eEt.e punto es el misJDo , dra cada una de las oedianas y, por lo tanto, que las eedilUlas concurren en un punto. Es ~e punto se llama l.cvtic.f.A t llo del triángulo.
llN11odt1Lae,6n, En efecto, sean M,
N y P 101 puntos aadios de los lados dol trián~ula y C su baricen~ro. Para ls Hd1$1\a AH:
MC 1 x-2 _ 1 r ; GA • 2 • 2-x - 2 de donde: x•2 , y·~
B X
Pura. la modiana D:
r ~ fil! = 1 • ...!:.Í. - l y y?i/:2 = J , de donde: x~.2. y .. 2 GB 2 -4-x - 2 -y ~
Pera la aediana CP :
r = ~ = 1 • ~ "' ~ Y ~ = ~ , de donde: x•2 , y-2
Queda de~ostrado que el ptlllto G{2. 2) en el mis~o para oada una de las sedianas.
20. En el triángulo cuyos virticea son A(x 1 ,y1 ), B(x2 ,y 2
) y C(x 3 ,y 1 ), deaoatrar que las c~ordenadas del baricentro son:
cx1+32+x,.11+~,+i,)
De•96t..l.aei6n, En efecto, sean O(x,y) las coordenadas del
bricentro. Si Hes punto •odio de ic + M(x12x,.~) Por Ceometrre ele•ental snbeaoa gue las 11edianas de un triángulo ne cor tan en un ~iGeo punto eituarlo a 2/3 del vért.ice y a 1/J de le baiJe de cada media.na.
Luego , para la •adiana 3H, se tiene:
r "~ " 2,/3 : 2 + X-l(2 ., 2 VM 17J" X\!X>
- X
Conprobaci6n pera el ejercicio 19:
X: j(2-4t8) "2 y• 1(-1+7t0) 2
:. 0(2,2)
o
1. Calcular ln dis.ancie entre los pur.toa ~(E,n) ~
., -m-n./J ntnl;J) .. t-r, -y-.
1,fa, /cB.:p - 0)2+(!!.±p - n)' "~ /(-n/;-::i)h(i:/J-d1
~ IOn 1 12mn/3+ir. 2 ) + ()m 2-?rtn,0+r:.') E~ /4111 2 +1..n 2
:. !Kili : /:s2+n•
21
2. A(3, 1) ? B{-1 ,-1 ) sor:. vértiaei: de n trlá::i¡ulc equildtero. Calc:,ulc.r el tercer vértice y 91 lado del triángulo.
Soluciln. Se~~ C(x,y) las coord~na¿as del tercer ,é~t!ce.
Pn~a un triángulo oquilf-ero se debe
nr.:.fi car: IAC 1 • IEC l• I AB j
s1 /ACl•J.BCI .. /(~-.3)'t(y-1) 2 "' /(x+1)' -1-(y+1) 2
dE" :::on:l.e: 2x+y-2e0 + y=2-2x ( 1)
IBC!=!ABI + l(x+1lª+Cy+1)2 ~ /(3+1) 2 +(1+1) 2
ci'- donde: x 2 +y 2 ·12xt2y:1E,,.O (2)
y
su.tituye~éo (1) en (2), obtene¡¡¡os: x1-2x-2=0.,. x~l i ,IJ o ble~: x1=1+,/J ó x1~1-,IJ , en (1): y1=-~./j ó Y2=2.f!
,•, C(1+/J,-2fj) 6 G{i-/J,2./J)
3. A(-5,-2} y d{4,-5) aon des vártice~ ac ur. tri{ngulo. El terco.r ,·értice C(x,y) ea hl c:n: l~l-4/3 Y liicl~51'. DQ'tc1·m.:n2r C.
Sotuciln. S~ IAC)•4>', + l(x+5} 2T{y+2) 2= 4.13
Elevendo al c:.10.drs.do ootenemos: x2 +y~+i0x+4y-51"'0 (1)
s. liicl-512 ~ l(x-5) 1 +(yf5) 2 = 5,/2 + x2fl 2 -8xt10y-9~0 (2) Ho3ts.ndo (1)-(2} se tiene: Jx-y-7=0 • y=Jx-7 (J)
.A:!. i:,u.;tltu.!.r (,) en {::) y el111¡>lh:ar rc:rnlt,~:
x 2-~x-J10 ~ x 1:J ó x2--1 yi=2 6 y-2 2 -10
c(~.2) 6 -c--,-10}
i.. Calcular .,¡ cirC'ur.c:>ntro 0 1 y e: radio do Ia cLrc...niercn­
c'a circ"!.!loer~ta al t:iángul.o ac vé=ticc~ A(12,2),B(-J,5)
y 0(8,A). 5,..f,,cil-:! - E;. cilccnean•1·0 CA ~
~r~ánll!lo ~= h~llc en la i~terc~cci6n
0~ 1s~ r.iodi,;;t.•1.<!~!I de los lndoi> y
o:}'lidis~a t9 le,; ;.1·i;ss vértices. F.n~m,e.:.c, ei f(ií¡; 1 ~ lO'ÍÍ · •e tidns:
/(::,:.1~) 2T(y-2)l : /(x7Jjlf(;{•5)i
de done:.,;: 5x-y- 19;0 (1)
El I Q'íal e I c'é 1 + ,.:"(;Z+;} il + ( y- ; )2 = /~?-x---e"")""l-+{""y---8"")"'1
Je don5": 11x+JrJ.'ir.O • f2) f!eMlvi;,,·,o (1}-¡ (2) "bt~ne!::~11: x~~, :,=1 ••• 0'(4,1)
P.adlo J,., la c.:.rctu1J>,ronoia: r'-]6"i'il•IC&+J)2+(~ = 165
5. G(2,J} e~ e: uaricer.tro de un éri.&!.6~lo ASC. C,(!,6) y
e; 1 (3, -1) t:r. le" l:,9.!"icer;t.ros da doe tr.i.<Í.n¡u:ton i'o:ne.dos
uni<>r.d:> G :o!'.! lo6 ,,,í,..iices A, B,ll. iJeterclniu· •stos 7érti-
c~s . .;&li.:c,6.,, S""" .\(x 1 ,¡r:), S(ii:2 .y,) Y C~x.,i~>
Par:l ::l t,A]J(l: X¡IT.¿fX3-'3(,;>)-6
Ytiy,•y ,~J0) - 9 En <;l t.,.'il3Cr : x 1 fx 2 t:;:=J(4}~1'2
( 1)
(2}
+ X¡ •x2 ;í0 {J)
7,•;,+J•J(6)•1 8 • y,+y,=15 14) S11~•.1tuy13ndo (J) y {.0 .:-t1 (í) y (2)
resul~•, x,--t , :,,=-6 .. ·• C(-4,,-6)
a
A
~~ •] ~ACG: ~1~x3f2=3(3)=9 + x,~11 ; y,+y,+J-3(-l)~J 4 y,=D .'. 1,(11.01. "'n (3) y (4): x,=-1 , :ra~15 :. Bí-1,15)
2J
Se denonlna p,:,ndiente o coeficiente ~g1Jlar de uaa rec­
ta a la iar:gent .. de s,, ángulo do incliniCi~n. Se tl4mcta
por~. de tsl 2odo q~9: » Tg«
Ot>s .. rvaciones,
(1) r1 interv lo cia ~ariación del ér.gulo de inclint<C16n de una
recta esta dada por: O<a<1aoº Según esto la ;endiectc puede temor todos 103 valores reales.
(2) Si a es .,,gcrio, la p~ndien.t.e es
positivn r.omo para la recta ~1 de le t'iJura (Tga 1>0} (3) Sj a ~s op,usc, ~cmo psrs 11 , la p~odiente ea ~egativa.
(Tga 2 <0)
(4) Cuando a~~oº, la r~ndiante no está definida, y~ que
Tg90º= c•1yo sig:,.ifi,:edo no os uo n..:i::aro.
Tcore11a 4, Si ?1(x,,y .} )' ?,(x,,ya) sen dos p¡¡i;tos d:d'eren­ teij cualeRquiera de una récta, la pendiente d~
la recta es: m,,'ll"h xh.
X1 - X:i • l l
o~moóutuc,6~. En efecto, proyect~mos
F1 y Po »cbre el oje X de tal mol: ~ue A1(x1,0) y A1(x~.o). Po:- P2 tre.,~~o• ,;na pa:alela al eJ e .I que int.e:-c<>p,ta a
P,A1 en B, entonce5 B(x,.y 1 ). Luego, r.or el Teoreoa 1:
.(zii"X1•x1 y !11',=y,-ya
P:n el ll.P 1BP 1 : Tga • ~ + m " L.l:Z! P2B x1•Xz
y
24
Teore~• 5, Un án.g11lo eepeei!icado 6 far•ado por do&. re~ta oetá dáda por la !6nu.üa
'!'¡0 " tl ;l~i}, , 111,!Ja ~ -1
en dondt p, 1 eg l& ¡,endinte i;dc'i.al 'i mt ·u la pendiim­
te final co7respondiente al 4agulo e. Deao4~,u+.S11.. !'1)r ~o,H,t.da sl~•eJi.ta.l ·eabau, g11e tod·3
á,tgulo nte:t'io~ a un trih~lo •• JI t igual a l"'l Jll:l!4 da low Úg'\lllJ• 11} J te!;'ioTe$ A~ ~d,~centee. )ffltoni>a'a ea el .l~~ <l!" ¡_.0,1
O 98&.t &. a1t ª••<l-1 ..l.pltee.11élo tan.gu~ se tifUH 1
T.ill- ª T&~~ i 'l'¡ta.i H T~¡Tgth mt • ¡¡i, , • P,e:.o e 1 c!l'tta.~ y ma"taoa, l¡¡e~1 TgO." , 11
1 .:91 , 1111 • '-t ,.. ,
Ccyrolarlo 1, t,a eoadieió11 nu:&euia. y rntriciente pera que
,loe re,ou.• seu JJ0..1t.ahta.J> "4 que ~us pendien t,,ss
e..an -1 g1,1a,.les. ea.to e.s. •:t L I I ILt - illc1 "' 111-.
~ ~teet~, doe r8ot&d aDn par!l.l.ol&~ ou,aodo·Q¡ úigL\lo Ior~•do
po.L' ella• ,u, oº 6 180°, en t.oo~es si en la lf1ttüa dtol t.aol'el!ls
~ bacemoa1 & .. o0 tsnira1lo11: 1111 - 1t1 = O '* Jll.1 "IIJ 1-
éorolnh 2. 1:,s eonilo16n neetcarla ¡ 11ufii::teot.e pars: que dos reetia-1 $e&n trl6Jt.fJe1llilc."'twi.&..s 1m tre si, F;-!f
qua el p~du0-t;o <loa .sus p•11di.st1tA>• ""' i.g12al a •11 .ato e111
· L.1.I. loa ..... li ~-ss • • 1
En ,r.~1;.ci. si doe n.ch11 son J>ér~d.tmd•ill·e• e.l ifu¡11lo com­ ~r•nd;l.do sa\r-o ell4i~ •~ 90º~ 1111~ees p~a qu41" fg9 no ast& a.f:1.ni.<l,. en le fdntula, <te1 tecrnlllA 5. •a tle~ Cttlllpl.il' qua:
1+~2.mz. e ......... · 1
1 E3ERCICIOS. Grupo 3 1
~ Los v~rtices de un triángulo son l~s puntos A(2,-2),
3{-1,4) y C(4,5). Calcular la pendiente de cada uno d~ sus la<io:1~
Soiu;ión , Por el t.eorena 4, 60 tiono: y
e Pe::idien-::.e de Afl: m1 4-t§) ~ -2
Pondiente ele §ü, 1'11 ff,r 1 ~ = s' Pendiente de AC: lll • =~-1 - - 2
25
r,. Del!!ostrar i,or medio de pendiante11 que los punto.a A(9,2),.
B(11,6), C{3 , 5) y D(1,1} aon v6rtices d~ un paraldlog,
i>,,_,.,o,5:t,.ae-i.611, En afecto, probarecos que AiiJIDé, cll!!'JA 6-2 5-1
mA!l : 11-9 º 2 ; "'ne = 3::T = 2
Si mAB = mDC + iñ / IDC 6- 5 1 2-1 1
mOB = 11-.3 "' 8 ; "'oA = N = 8 Si .i08 = m0A + CB I ID,\
?orlo ·t~nto, el cuadrilátero ABCD ea un par!\l~log~amo.
7. Une recte. de pendiente 3 p.aaa. por el punto (3; 2). Le.. ab$­ ciaa d~ otro punto da la recta ea 4. Rallar su ordenada.
_Sr,l'.uc U>n,
Por definición:
~?
26
• i:1 • -2' <!• donde: X".( - . i:t· -, + ¡.,=-t
,. ?ree v,rti~e~ da un panslelo¡ramo son 4(-1.4), B(1,.1J y
C(6,1), Si la ordonud8 del ouaPto vlrtice ea 6. eu!l &e au ordenada!
Jgtuc{l!• See al vlrtica D(x,6)
(:011:0 BA I ICD •
do dende: x•4 B
10, llf.llar loe lnguloa 1utorj.oreu del triángulo cu:,oa v~:Li­ o~a son loa puntos A(-2,l}, B{J,,} 7 C(S,-2), Coaprobar los reeul tadoa.
~l!J$id~. Primeramente oll"i~fitamoa
la :i1noci6n podtiva (unUdo antiho• rario) del ,ngulo de cada •'rtice. En &egui1a dep1cn~moa por,
~1•:r,!' ••••cA 'ma•aA8
"1 . *i. •3 m- • H2 ¿ .T-3
~~ '·1 i . ;n. l'g.\ -~ &1--•1
B
e
5;,./,..iw.1; .t.r. Coc-td.er..:,á.rH
11. !)e:30:t:rar r;ue oa J:L~tos .,(1, 1) , :(5,J). C(E,O) • (4,-Z)
son ,,~t·t1ces de un paralolo,::rono, '! hallar su Úof\:lo nb­
t1,so. Er efecto, desostrereaos ql!'! ITJ IGC :r DA 1a. y
.1.::..1 1 _ 0+2 _ 1 mA.B = 5-1 = 2 ªne - 8-4 - 2 B
Si 111A:I • m0:: + A!Í 11 fic
1:1 :lli~.1; JA 1-! e
Si CID.A. mcB + D
Pa:ra dsts~~1nar el én¡ulo obtuso B. designe~os por ~1ªnAB Y
a 2 =~c~, e:1tonce3, por el ~eore~& 5 se tiene:
~ " _ o.-:a¡ - -1 • 1/2 : -3 • m(fB)•i:({D}=10S0 26' .go - 1+~1.~2 - 1 + 1/2
12. Dexostrar que los puntoa A(1,1), 3(5,J) y C(6,-4} aon ver tice; de un tr!áns.lo is6scelea y ~allar o;da ur.o de loe
án¡:ulos 1g-1ale s. pemo1t4aciJn . BocLar~ prob~r que IICl•I.BCI
En efecto: jACI= /(6-1)2 +(-4-1) 2 • /50
fBCI= l(6-5Pt (-4-3) 2 • /50 Luego, el AABC es is6sceles,
;n~qAB ~ ~ = Í ; lltªªCB = ~ - -7
i,,..tor.cos:: '?gil
3
13, Ha.ll&r los &n6ulo8 del cuadrilát~ro cuyos v6rt1c~a son lcr Jl'lr.;oa A(2,5), 8(7,J), C(6,1), D(O,O). Comprob«r be.
!'et _1 tsdos. Sclu.u6n. La ortent .. ció:i pnsitiva del úgul:, é.e cad ..
v6rr.1 oo ee tne11 tra. "'" la i'ir,;1,ra. 1-0 1 J-1 5-3 ~
m1=moc - "(;:o : b : a.,~mC.:l "'"'¡:"6 e 2 : lil1~mBA " ""'f7i:. 5
s,;cOA: Í . L~eg,, por el ~ao~•ma 5 se ti•~·:
29
, • -l.J75
TgB • m2••1 ~ T+a~.~, • 1-4/S º 12 + B•85º14•
X
Collprobaci6n 1
Oos ~ect,e se oor~an !oreando un án¡ulo de 135º ~ b' lic que la recia final tlen, un• pendiente • ·ª. 18!1•
la peodicnte de la recta io1c1 l de .J, aa.cular • 111 •
i..~luei&r.. Tenemos: 9•135º v J •1••J I ~oP el Teor~~a S:
15. roo rectas se cortlJll torm.ando un án o Lnicial pase por los p , P( fUlo de 4S • La recta
un.os -2 , 1):, ~(9 ~} f1nal pasa por el p::nto IO, 9) • • Y la recta c!sa es -2 Rallar 1• d 1 por el punto A cuy~ eb9
• -~ or en~d& de A,
.fo Cuc, 4a. Ses A (-2. )')
.:'e;id::.ente je p:¡ 1, 11 1
P~nil~nte de aBt D2
7. 1 f. -~. rf 1> 1::.J. e 9•Y -2-3 ,
Si :'€45º : 4!j•Cl 1 1 +o, i , l!I~
.. l • (9-y )! S • 6/11
55+S4-6y de don~e: :r••B
Hallar el áre4 u1l tr1iin B(J,3) y r.(6,-1) ¡ulo cuyos v6rti:ea IOD A(1,~3),
eaple8Jldo •l teno 1el {agulo BAC. :l:.!l!~. Seao1 m z =1t ,U! y l:11•111 • ~l+J 1
AO ~· 5
E:,toaces: ,:i{ilABC)" Í IAC I lr!ils.,nA (1) ·---~
IACI· /(6-1) 2 +<-1+.:l}i "ff9 :~
lnl i· /c3-1)'tl3+3l 2 - um ºf-!. ____ _
Suat.i tuyendo en ( 1) ae ti ene: :
s{M,l:IC) • ~(/29)(2.t10)(~) = 13 u 2
A
X
17, Por nedio de pendientes de=u,sureee que loe tr~s p~c~cs A(6,-2), B(2,1) y C(-2,4) son co~iueales.
Dv,0AL1gci6n, BaGtarA probar qua las p~nd1et1tes ds lo~ ?~n,oa to:itados dos• dos son •¡r~ala~.
En efecto:
m ~ 4.,,1; .1 BC ~ l.
Por lo tan to, los ;,lll'lto II A, B y C son ool!.netles.
19. üoa rech paoa 1>0r los puntos A(-2,-J}, D{4,1). Si un punto do aoaci1>!!. 10 porteaeoo a la recta, ci.;.ál es :m o--
:,
19, !!elle le. eccaci6r: :itbe sati fa~r cualquier punto P(x, y)
q'.Jtl ¡,ertenezcit. a la. recta. qua ps.H por loa pu"'"ºª A(2,- l)
7 B(7,J). ioiuqi6n, Si P(x,y), 1(2,·1) y B(7,J) pet-te~ec•n ~ ~a
~iaca recta, ontonees: H1 ,,+1 mAB ~ ~AP ..... 7~ • 'i'=2, de donde, 4x-5y-1J:O
21. Ce~cstra~ que la raot~ que pliSa por los pun~es A(-2.J) y B ( l., 1) ";;; r,orpend:l. cular " la recta que pau. p~r loe :¡:,i;.,­
tos C(-1,1) y 0(3,7), 1lc•<>tl11.,;ci61t. Sea L 1 la recte. que pa3.-. por A y B,
. 7.1 1 Si L2 e9 la recta que pasa ~:r C ;1 D • 11, "' 3+1 = 2
Luego. 111. 1 .111 1 -= C-JH~} " -1
Por tanto. ~or el corolario Z dal teore11a 5: L1~Lz.
22. Una re eta t 1 pasa por lo.g punto• (J,2) y ( • 4.-6) y otra recta t.~ p~M por el p1u,to (.?.1) y 41 pu.n.o A cuya ord§
nada es -6, /!~lle.r la abeaisa de A, sabiendo qué L1 ti!
perpaodicular a L~.
Sotuc~~q. Saa A(x,-6) -"t.-2 8
Pend1ent,e d-e L1: l!I-!" =:a=1 • "'1 • d 1, :6:1 ~ Pe11a!-e.1!,t& e a: 11,.0 7+'1; 'i+7
S.1 L1.J..t, -+ 1t1.m2"•1 +-+ (~)(~} " -1 , de donde1 x•~
23. J)Qmo~trar que loa tres pu.ntos A(2,5), B(S,•1) y C(-2,1) son lo~ v,rticsa de un triángulo rectánElllo, y bel.lar eu_e án g;,iloe ·a¡¡udoa .
ucaa4~~asi6a, !n ef~ato, ~endi&nt~
Pen.dümta :le nP-, 111> • ~ " -1
Como 11;~.m, 9 •1 • cl .. diA Lueg·~. el 6.A'BC ee reot&ngulo e!l P ..
hnclhn~ ti" ~: 11 1 ,. J~é •! TgC e U•lll1 ,. t+1/S 'a~
~ 1-1/5 " + C • •rcTg(1.5) • ,~19•
T¡¡ll • .. J~, .. !::.~L : • 1/!i+l ª ~ • 8•ara'l'g(2/3) a. 33º41 1
TI"mt.li1 1 t 1 / 5 .,
s
2,. Domostrar quo los cuatro pl.ll'lt<>s A(2,4), B(?,3). c{6,-2} T 0{1,-1) son v,rtj,cee ds UJl cuadre.dQ y qua sus diagon~ le3 aon perpendioúl&r&s y ee dividen autumente en par~s iguales,
31
Üe..r/to~i#u¡ci 6n. 1'r9bare.nos prilllsra:mente que le.s lo .. l'lg:i tu­
cica de los 4 laaoa son < gual e a .
En efecto, liBI= /(7.2)2+.(J-4) 2 = .126
lül = 1(6-7)2+(-z-.:l-)2 126
JC'ñ l ; /(1 - 6) 2 +(-1+2)~ 126 IDAI = /(2- 1)Z+(~+1)l = 126
Ahorá demostraremos que sus ledos
son perpendiculares. En efecto~
mmy = 1-b = -5
e
Como tl)}A. mÁB : -1 y ºJro. mw"--1 + DA .i...IB y ÍÍC J. cjj
Por lo tanto, el cued:ilátero ABCD o.:i ,m cuadrado.
Finalmente, las pendian-:es de las diagon,ües oon:
m AC = ~ = -~ ' ~D3 = ~ = j Vemos que m!C'ºDB~-1 , ento~oes: ACJ..DB.
Si Mes pm:rt.o cedio de io + M(2; 6.~)-++ M(4,1 )
Si M' es p,mto oedi.o de fili + M'[1t1,~> ++ M1 {4,1)
Como M=M 1 , las diagona1es ¡;e biseeen mu1;1.1at1ente.
B
2 5. Demostrar o_oe los 4 pun.tos -~ (2', 2), B{5, 6), C (9. 9) y D( 6. 5) son vértices aa un rombo y que &ua diagonele~ son per9en diculsres.
iJe,ro4J.,r;ac.iótt. Eu efe e to, por 111 fdrmu.la de- di stnraciaa
se demueetra ~ne:
l Ali 1 "'¡ne¡~ l lilll ~ 1 AD{ =:5
, 0 ,iB= t~ e Í ; moc= t:i "' j - - 9- 6 - ..2 • Cl - 5-2 - 2 ·ac- T-3 - 4 • .-1.n- b-Z - 1¡
Luego: AB!JDG y 3é!IAD, Por t=to el
e
cuadrilátero ABCD as un. ro~bo. ....,o'*"--'~~"-'~~"-..._x
ºA.e~:=~ ; 1 ; m0B 2 ~-= -1 , enb:rnce~: !CJ.ÍIB
l. & OEHOSTílACTOH oc TE:OREHAS CEOMETRIC:05 POR H Hl TODO -~NA­ llTICO.
j EJERCICIOS. Cru¡:,o lt 1
J. Lttc dia.1;nr.alc3 de tm paralelogTiu,¡o ª" ::!i viden outu,ioecte ~n partes iguale~.
D~•o,!,:/~aci/", 1a pos~cl6n náa oe~-
cilla, con r~l~c16~ a los cJen coordc- Y nado e, pare tu. parr 1 elograoo cualquiera
ea el d-e la fi&4.c..1~n adj 1ln!.2:. iDpe.a:a.aoo
por oalgnn lon vértii;i..s A.(c.,O) y
C(b,c). Co~o CB os p~rnlclo e igual a
OA, entcncee, la orden,.Ja do B es i¡;ual a !a ordenad11 de e ;¡ wa ab&e1ea ~3- a u­
nidades ~ayor ~ue l~ abscisa de C; lueio, E(~•b,c).
?ar:, o.leooatre.r que las dia;;cnales se bloecar. au•.11a:u1r: '9, b._.l!
ta:.i detentir.4::- q~c loe pon~º" medj_oa de dichan di1tgon'llti2 coinctdcn. Eu erecto:
F=to 111,dio de :cra: H'ª1b,j). Pm'!;o :,odio ue .~: M'(~,j)
Co1no H,,1'/ 1 , qu,,(\a denost:-itdo el ,;oore,Q~.
3. tac di,;gona.1.os d!I ur. ro:!ioo son perpo,idicularen entre si y so eortan on nu pl!r!t.o modio.
VUlódi,,,ac 16n. Ca efect:>, aea el ¡,aralelo1;:-1U10 o~c. cL­
;,110 coordenada t!e s.i3 11htic~3 i:,c
deter11i~an como en el ejercicio 1. y e (b. e) Pendie.:ita de éTif:
~.(a,O) Cono el ro~bo e" un pnrnlelograso de ladoe igua..leo, en el
AODC se ticno, por Pitñ1roras: 1~/2=/oélt-lODIª + 0
2,_a•-bi
!l2.i:,2 (1) •• lt:1.112 = b'-:..' • - 1 Sue-:.i ti.yendo en
atb !i) . ?un.to medio de AC: M' (1;2 ,!) Punto cadio de ºª: •Hz' 2
,..e 1 11• diagon,.loo co~~id., •• :o Vemos qns ·os pun~os ~edjoa 'staa ~• cor'!;an en s~ punto medio. cual del!lu9atra qu'e "
,., l. Punteo ~•dios d• do~ l~ !J. segmento de recta que Wle o dos cu&leaquiera de un tr~ángulo es ?&rslolo al te~eer
lado O tgu&J. ~ au ml~ad,
DC594i54ei6n. Sea el t.OhB
Pendie.n.to J~ OB: m1 = {
B(l.:,c}
5, d un tr16ngulo reetáng~ El punto m~fo de la hipotenusa e lo equidista de. loa tres várt1ceet.
De<>?:<12c¿6n • nQb~os probar que: /KOl•JKBl=[IIAI
En ereeto, design~mos los vSrtieea
A(a,o} ~ B(2b,O). 81 M 0 ~ punto med.J.o do 0B • M(b,O) Luego: fMOJ•IO-l>J•b : Jifüf .. l2b-,b-l"b
A(a,c)
Jiil ..,l(a-b)'+c• ~ ¡,.1_2ao+b1te2 {1)_.¿t;, _ _¡,,...~i-,..,-~';:::-7, Fe::~: l]Jt¡ 2 •f CRlx liffil 0
Entonces: n2~a(2b-n)~2ab-a2
SiHl~ituyendo an (1): JM.Bf '"/cª-:2a.b+b2 : 2ab-"-1 ~ b Por lo tanto, k ~qu1d1sts de los tras vértice&.
6. Loe énguloa opuestos a loe lndos iguales de un triángulo
is6sceles son iguala&,
U#AOhLA.aci6n. ~ebemos pro'\>ar quo o=B
!n erecto, designemos loe vértices A(2a,O} y B(a,b). Pendiente de OE: ~1 = Tga = ~ (1)
Pendiente de AB: lllz 5 Tg8 = ~ = _ _g a-..:a a Pero: Smrr-8 + TgS • ?g(s-9} ~ -Tg6
Entonces: 'IgS -(- .2) = 2 (2) a a
De {1} y (2) se doduee que: Tgo = TgB + 028
8. Si las diagonaloo do un paro.lelogra~o son iguales, la f! gl!ra es un roctkgu.lo.
DVIIOhl.A.oc i6n. Sea ol paral11lograD1o cuyos v,h· tJ.oes oc i!I
dican en la figure.
[éBJ • l(atb} 2 +c2 y IM°:I • /(a-b) 1 +ci y¡ Si ló'3l=IACI+ /(o+b) 2 +c• • /(a-h) 2+c 2
de donde: ab = O Cono aiO + b=O . Si esto ocurre, en- ....,,
0 /1,1:.;...~~~..:..4-~,,. x
ter.ces las coordenadas de C y a scr!n: C(O,c) y B(a , c), ee decir, loo ladoo del paralelogramo B<lrán
paralelos y ccinc11er.tes con los ojea coordenados.
Por tanto, ln fig~ra resultante es un reot..ngulo.
~- ~es eedianas correspondientes a ~oa lados iguales de un
t.riángulo io6acelei! oon iguales.
~rdcl6n. Sea el óOAB cuyos vértices se indican en la figura,
Debemos probar que: i<IT!l=IANI :'.n efocto: 1~ es p,.mto medio de AB .. M(Jl!l, b)
;e
(2)
35
11. Los dos segmentos que so obtionen uniendo nos vérti~ea o­
pues~os do un p~ral.ologrs~o cor. loa puntoo ~edios ne doc
lados opuestos son iguales y p~raleloo.
lJ.e.lflO 6i1t-aS i 611., Sea el pare.lelogrago OABC cuyos v,rticea
so dan en la figure. .
Punto 11edio de AB: M(2a;b.í) y
Punto medio d.e OC: 11(} , ~)
IMél le~ - b>2+<~ e)•
f, /4a2+b 2 +c 2 -4eb "' /(a - !i•+(~)¡ ~ ~ /4a 2 -'-b 2 ~c 2 -4ab
IM°cl = 1m¡ Osnoetra rellloe ahorP. que: MC 11 Aii En efecto. pendiente de ~C: ~ 1 ~ c-c/2 e
b 2atb = t:,;.
t/2 - a - D-2& Si D1=m: + iicl 1n:
17. Sl eegaento que une los pun~o1 ~ed1oa de los ladoo no P! ralalos do un trapecio os paralelo a las b1.1oos e igual 1t
su se11is~a.
DR.•o ~t,:,ac i.6n.. Sita ::1 tr11,peoio OABC cuyos lados paralelos ~1den a y h unijodes,
y ouyas coordenad1.1r, ¡e eua v,rtic, s ~ indican en la figur~. Las coordenadas do loa puato3 aedioa de los lados OC y
AB oon: ff(.!< S) v JJ('!iibtc S) 2'2 • 2 '2
Venos que le ordecada do N y N son
J6
{.!1. d) "(a+b+c d) Mi '2 y" ~·i Vemos que las ordenadas de M y N son iguales, por lo que la fond1ente de MN es cero, o sea qua HN ea paralelo al eje X, esto aei MÑI 161] /EB F . . 1 .. ¡,¡,¡ ¡ atbtc e a.+b 1.na oen.e; ,.,. ,. -
2 - - 1 = 2
!3. 81 segmento que une loa pun~ós neaio~ de las diagonales
de u.n trapecio es lg111ü a la m.i tad de la i!lfe?anaia. de las longitudes .;ie los lao.loa paralelos.
v~mo~~~~ei6n. Se~ el trapecio OJSG, cuyas coordene.da.s de
sus vértices se inrli.can en la fig,.1r,;..
1-¡ ~-b . Jebepos probar que: ~N ~ ~
En eree,;o:
Las coordenada.a de los puntos medios de las diagonales son:
~(b¿c,!) y N(ª~c.1)
Entonces: ¡m;,¡ ~ rª;º _ b;c1 ~ ~
14. La suma cle loa cuadr~aoa de los lados ce un paralelograno
cualquiera es i~ual a la suma de . los cuadrados de aua d.i! gocalP.s,
se ind l~an en la figura. En+.oncee: I fil J-= 1 cii / "a y
loe 1 = / AB 1-= /b2 +c 2
7
- /OAl 2 +JAiiJ2+fCBfª+jóef '= - 0 J,:;: ____ .;;,,1. ___ l(
~ a 2 +b~+c 1 +a2 +b 2 tc• • 2(aªthz+c2) A(a,O)
IAC /-= l(a-b)2tc'
+ IOiifl+/iIT:Iª = {a+b)Ztc2 +(a-b} 1 +c2 ~ 2(a~+b2tc2)
Cor:1par1Utdo con l.a i·guald?,d ao terio:r , ese de\!,uce que 1
loitl 2 +IIlli•+lfüll 1 +/0GI' ~ IOF.i l 2 +1AC] 2
37
15• los s~gmectos cue uner; los pu.~tos n~~ios de cada dos la-
t · · u ~,.•.;¡.drilátero se biseca11 entra si. dos or,ues os a& n v
D=o,1,.t,.acil.,,.. Sea. ol cuadrilátero OABC, cuyas coordena-
das ce su:;vértices 3e imiici.r. en
la fi61.ra. !}abemos proba:- que los 'I segm~::¡¡03 RS y PQ .,~ coi·tan en un
misso p:Jnto,
En ef~cto, las coordenad~s da los puntos mgcios de los laáo5 del CU!
drils .. ;ir:, son:
· a +· b+d) o(º r¡ R(ª b) ?(2'2 : · 2'2 • 2 '2 •
º(c+e d+f) ., 2 ' ·2
- ,,catete b+dtf) Si ~~ ~s 9:1nto o:ie:dio de PQ + ·• 2 • 2
'f' (a+c+f>,h+d2+rl Si 1" 1 es ~unto inedio cl.t'.? RS ~ ' 2
Como M"M, , los se1;nar.tos PQ y E &e bisecar, an tre si.
' ul • !a base a~ un trapecio isÓscel~s son igu~ 18. Los a.~g os ~e l.ss.
fJe.,o.6t1t.,1ci6n.. S<ia el tnapeeio i.s6sceles OABC, cuyos 1"--
dos paralelas nider- a f b unidad'.:_'.:.
Sea el vértice A(a,0). Como CBf IOA, y en·tonoes la ordenada de C e11 la rtl§
aie de B.
OA:6iit5EiEi, + a.:x1fbtx 1
(a-b ) Por 1~ tar.:.to: C ~,e
&-b + Xi= 2
a+!:, .. r.~= 2
a'b y B(+,c)
oc: e = 2,e
Pend.:.~r.:.te de AB : lt~ Tge _e_~ 2c _ X2-II. b-a -
De ( 1) y (2) 6C dedcce q_ue: Tgo = -Tg6 = n ; a
D
(1)
J6
{.!1. d) "(an+c j) M 2 '2 y" ~'2
Vemos que las ordenadas de M y N son iguales, por lo que la fond1ente de MN es cero, o sea qua HN ea paralelo al eje X, esto aei MNllóIJ/EB F . . 1 .. ¡1m ¡ a+b+c e a.+b 1.na oen,e; ,.,., ,. -
2 - - 1 = 2
!3. 81 segmento que une loa pun~ós neaio~ de las diagonales
de u.n trapecio es lg111ü a la m.i tad de la elfe?anaia. de las longitudes .;ie los lao.loa paralelos.
íYe.,110~.l11.a.ei6n. Se:.i. el t.i-a¡,ecio OJSG, cuyas coordenadas de
sus vértices se inélican en la fig,.1r,;..
1-¡ ~-b . Jebepos probar que: ~N ~ ~
En eree,;o:
Las coordenada.a de los puntos medios de las diagonales son:
~(~ 1) N(a+c &¡ · 2 ., 1 2 '2
Entonces: ¡m;,¡ ~ rª;º - b;c1 ~ ~
14. La suma cie loa cuadr~aoa de los lados ce un paralelograno
cualquiera es i~ual a la suma de . los cuadrados de aua d.i! gooalP.s ,
se ind loan en la figura. En+.oncee: I fil J-= 1 CB / "a y
loe 1 = / AB 1-= /b2 +c 2
7
0 ~-~----_;;,,,,_ __ l(
~ a 2 +b~+c 1 +a2 +b 2 +c2 • 2(aªthz+c2) A(a,O)
J.dem,b: IOOI~ /(e+b}2+c 2 IAC/-= l(a-b)2+c'
+ IOiifl+/iIT:Iª = {a+b)Ztc2 +(a-b} 1 +c2 ~ 2(a~+b2tc2)
Cor:1par1Utdo con l.a i·guald?,d ao terio:r , ese de\!,uce que 1
loitl 2 +IIlli•+lfüll 1 +/0GI' ~ IOF.i l 2 +1AC] 2
37
~ug une".· los pu.~tos n~~ios de cada dos la-15. los s"-gmer.tos " . ,. - ~,.•.;¡.drilátero se biseca11 entra si. dos opuestos de un v
D=o,1,.t,.acil.,,.. Sea. ol cuadrilátero OABC, cuyas coordena-
das éie su:;vértices 3e imiici.r. en
la fi61.ra. !}abemos proba:- que los 'I segm~::¡¡o3 RS y PQ .,~ coi·tan en un misso p:Jnto,
En ef~cto, las coordenad~s da los puntos mgcios de los laáo5 del CU!
drils .. ;ir:, son:
. (a+z btd) o(2. f) R(ª b) ? T•T : · 2•2 • 2•2 '
º(e+e d+f) ., 2 ' ·2
- ,,catete b+dtf) Si ~r ~s 9:1nto o:ie:dio de PQ + ·• 2 • 2
'f' (a+c+f>,h+d2+rl Si M' es ~1,1nto medio cl.t'.? RS ~ ' 2
Como M"M, , los se_gnar.tos PQ y RS &e bisecar, an tre si.
' ul • '-ª b•se d= un 't:t<a))_ ec.io isÓscel<:<s son igu~ 18. Los a.~g os ~e ~ -~ l.ss.
·6 S<>n ·el t=an~e1·0 Ls¡¡'sceles OABC, cuyos la-Demru,i:11.,1c,. "· ~- ~ ,,v
dos paralelas nider- ar b unidad'.:_'.:.
Sea el vértice A(a,0). Como CBf IOA, y en·tonoes la ordenada de C e11 la rtl§
aie de B.
- - - e.-b " OE=O(J+DE + X 2= -2- + V
(a-b ) Por 1~ tar.:.to: C ~,e
&-b + Xi= 2
a+!:, .. r.~= 2
a'b y B(+,c)
oc, e 2,e Pe~d!~ntC! de El Tgt! ,._ = c. ... b X¡
Pend.:.~r.:.te de AB : lt~ Tge _e_~ ..k .. b-a X2-á
De ( 1) y (2) 6C dedcce q_ue: Tgo = -Tg6 = n ; a
G(x¡,c)
2c (2) - a-h -tg-(11- e) Tgl3
19. -:Ooe pu1•toe :¡¡,;dios de das lado" bp=.tastos de cuelq1er cue.­
drilá ~e::eo y 1.o s :,unt,oa :nodioa d~ la& d.i.aginia :..as so>' -.rar-
01 ees de un p~.:.""t;.l9-1cgri1.wo.
ti~l1 -de sus vé!'ti.c.es B& indica. en
1~ ficu:-s..
puntos :nO"dioo u~ !ott l~dca :: las
üíag~nal~s del c&ad~il~~cro, son!
y
Hf'
f - 2 = .!? Sr. a :e
23. te. su:r,i. d~ 1:>s e11adradoa. de las di:.tancia$ dn cualquier
punto de un pleno a dos v,rtiDes op.ueewe de .::Jalgui":
rcc~áneulc e~ igual al"- s~~a d~ l-03 cuadrados de s~s d.J.s ter eit:..s r. los <")t..""'os de-a v-,.;rticcs ..
!l.c.f!l.rJ-:j~tr...ri.f!!i6r1.. Sr?ts. ~l ~e{.!tfugulo A8CD y ? :in punto ·::?t:.al-
Por h. :1"6:::mu1n. ria Ci1:;tac.ciae: y
jOPJ = /xa+(y-h)2; H!?I ~ ~T~+yz D(¡,;,b),(11',,-.,.:..~._,:¡;,
... pw¡ z+ ¡:ar¡ 2 = "''+C;--bP+(,c-e.P+y• : 2.,•+2y'1-sz+h'-2(~x+by)
IJ..!'i 1 ~ /x2 +y2 ; jcliJ ~ /(x-.. )Z+(j-b)~ A
~ IAPl 2 +IEP!~- x 2 +y•+x.2 - 2ax+a 2 ~y 2 -2b¡r+b-2
= 2x 2 +2y 2 tu, 2 Tb2 -2{1<Xtby)
39
Jnp¡i+tfilil" ., jAPl .. +ICPl 2
2:,, S1 O,.lt,B y C 600 los ,,értices &ueea.ivoa de-un parn.lelogr.§
mo, y D y N los puntos ~édios de los la.dos AO y sé, ros­ p.ectivanent'i', l(>e segmentos DB ¡¡ ~ tM seean a la di&go­
nal iic. fJ,..11ttui.-1.acion, La figura m-uestra el. _paral~logramo -OIBC
Junto con las CO(>rden.adao de su.a
vérticec; . y B(a+b,c)
E punto medio dé cá + E(ª+~h_ e)
D punto Elédio do 0A ... n<!,o> Denostrareiooa que l>B brisea-a a X
la d.ia~onal AC. En e.feci.o, /.l~ ·F(x.~·) l¡1s coord.enaéla~ de ll.ll p1,1nto P&AC. r-, X
2a+b
P{2a;b,j) i PA e 2 +
-f.% e 2 + y =i y F:·:l ;,. i + X • 2atb ---y- ~= 2 + 2 . p(2a+b ~}
~e 2
Como e.nbos puntos ooin.cfden, e,ntonees P es punto dc¡, ir;I.Gee­
ción de la diagonal ie. Análogamente se demuestra que Q es puot. de triseéción de CA.
iO 41
l.3 ·n~ercepclQ~ea oon loa [Jes Coordenados,
~ a) Con el e je l. Se obtiene haciendo y•O on la eeuaci6n
Gráfica de una Ecuación , Lugares Geométricos
l. l OOS PROBLEMAS f'OHOAltENTALES DE LA Cf:OMtTRIA ANAUHCA
I, Dada \lila eouaeió~ interpretarla goométricaQonte, ·~ decir, co¡¡otruir la gr&Cioa eorreapondiente.
TI . Dalia ~na fig,,ra geoaétrica, o la condición que do• ben cumplir loa pll.l'llos de la •lema, determinar su ec,aci6n,
2,? f'R lMEII ¡.ROBLEM.t. FllNOAMENTAL. CRAl'ICA ~ UH,. E:CUAC 1011
!n la diaeu1ión'7 el tra1ndo de la gr&tioa de una ecu~­ c16n da doe Tariables x • y, de la forma
f(x,y) , O
intervienen loa •i~e~tec p.aaoar 1, Intercepoiooea con los e¡a, ooorden~doa 2. Si•etr!a con re,pecto a loa ejes ooordenadoo y con el
orica11. ~- net•r•1nao1Ón de la extena!6n de la curva. 4. Detel'llinac!Ón de la• acuaeionea de laa aaíntotae ver­
tical.ea, bo:ri~ontalea u oblicuas que la cu~va puede t.eoar.
s. talNlac16n de an n~aero suficiente de puntoe p•ra ob­ ttn•~ ~• 1r'1ica adecuada.
6. ?rallado de la cana.
• de la eurva y reaolrlendo la ecuaci6n ~osultan~e f(x,O)•O.
Por ejemplo, dada la ecuac16n E(x,y)1x2+yz-2x-2y-14=0, hallar los ioterceptos con el eje X.
Solución . Para y=O ae tiene ~(x,0):x2 -2x-14•0 + (x-7)(xt2)=0 ++ X1=7 ó x,·-2
Por ~an~o. los puntos sobre el eje X donde la ordenada eu ce-
ro son: P~(?,O) y Pz(-2,0)
b) Con el eJ& X. Se obttene haciendo en la ecu~ción xcO y reaolviendo la ecuaci6n r(O,y)~O
Por ejemplo, ballar les intercepciones de 1~ curva de ecua­ ción y2 -2x-8y~12e0 con el eje Y.
Solución. Para x=O + f(O , y) :y 2 - 8y+12•0 + {y-2)(y-6)=0 ++ Y1•2 6 y,=6
Por tanto, loo puntos sobre el eje Y donde la absciaa es cero son: Pi(0 ,2 ) y P~(0,6)
al Sitnetría con respecto ;¡l i,je X. Si la ecuación de una curva no se a -
tara cuando la va.riable y es rec~Dla;ado por -y, euto es, r(x,y}=f(x,-y), la curva es s1aétr1ca con respec- to al eje X. •
Por 6jemplo, sea la ecuación f(x.y):4.xt+31•.12 Háciendo y:-y se tiene r(x,-y) : 4X1 +3(- y) 1•4x 1 +Jy2 x12 Como f(x,-y}•f(x,y). la curva as simétrica reapacto al eje X.
b) Si•ctrfa con respecto al cJe Y, Si la ecuación de
una curva no se altera cuando la variable x es reen• pla11add. por -x, es~.o es, t'(x,y)~t(-x,y), la curva c­ ainétric.a con respecto al eje Y.
4 .•
t'f.J<r 1-•,,e:!J.~1 .. ,> ;.:;ee.. la :::cue.'!iÓ!t r(x,7):9x1 -4:,¡ 1 -..J6
L3.-cic~do x- .. x ~~ tlftr.:e f{--x~:¡):9(-x)$-4y'2:9x 2 -4:1 !-. 3~
ComtJ .:( .. x,y) - i'(x1y)> l b c:trt 1· t:s Oilié'"",-~ea r<:Jsp~r.:t:; a.:._ ñJ~ t ..
cu1·vc !lO -ee alter~ al re-t:1~ple.~ar le.s variable~ x por .. x
~sto os, f(x , yi • f(-x,-y} la cu~va . , iH .. 8"111':,.-
P~i· '51~eoplo , e ea la r.eu&dÓn i'(x,l):8x l-y~O
P.scie !'!do ic=-x ~ ·¡ - -y se t ~er,e f(-'>",-y):8(-x)'-{-y)•-Sx,+,i =O
í ' ( - x, - :;) :e,. •- y"'O Co~Q f( x,yi-f(-~,-y}, la curvA e~ slmét r ic1 rcs~soto ~l or~­ gc:n.
Mod~ante es t e pa5o se cte .er~i n1
e.1 iri t ervalo o lvs ~n te-r :v~las de ,,a.ri 1.H1-i6r. pa~a l os cuqlss J. ós v alcn;• r. s d9 x e y aon
~~ales .. E.sth infor~~~i6t ~s úvil por la~ sigu~e~tes r~~
t 1 i l!E'lla.r t•l c,0:11.i.do dé h eoi:ac!é~ ... ~~f.y'-2x-16:,+1)-~
Soh1ci61•. Dc-b~aos de!p~j.qr ,-f(;t)
01·dcn11.,ici.o l;, llcuaoi6n ts ticr~: Ly~-l&y+(~f 2 -.2x~l,'3}cD
1 _ e ~ /64-d:io·-2-.:-13) ,,, s ± l."7x::ax_:!-E_
+ 3;y .... -4x~+ax+ 12:.0 4-+ ::t 2 -2x-:i~o ++ (.x-1) 2 ~4 ...... -2~x-11.,2
..... -1~x~.3 Por lo ta.nto, el dominio = [-1, 3]
(2) Hallar el rango de la ecuaci6o! y 2 -9x'-18x-8y-2=0
Soluc.i6n. Debemos despejar Jl=g(y)
Oredenando ia ecuación se tiene: 9x'+18x-{y~-8y-2 )c0
• X~ -9 t / $1t§(y2 -8y-2) • 1 ! /y2-8yf7
+ 3x ++ ;y2 -8yt7~0 ++ {y-4)~~9 ++ Y-4~3 6 y-4~-3 ++ y?-7 6 y,1
Luego, el rango de la ecuaci6n e1S: <-.,,1] o [7, + ... >
Los ínter-v~los ir.fln::.'tos 'indican que la curvs se extiende in.definidal!l'<lnte a lo largo del eje Y.
2, 6 A:.!ntotas. Si para una curva dada, eld-i,te une. recta tal=
que, a medida que un punto de la cu-rva ne a­ leja indefinidamente del origen, la distancia de ese pun to a la recta decrece continuamente y tiende a cero, di­
cha recta so l l ama ~!ntota de la curva. Existen tres c l ases do asíntota$:
a) Asíntotas Horizontales. Son rectas paralel as o coin~iden­
tes con el eje X, y tienen por e- cuaaión : r=k
Para determinar las asíntotas horizonte.les se ordena la c­ cuaci6n f(x.y)=O en potencias decre ... .1.entes de x y se igaa­
la a cero ~l coeficlente de mayor potencia de x.
Ejemplo , Ballar las asíntotas hor12ontal-G-S de la ecuación x 2y 2 -y2 -4x2 +2x-4=0.
Soluci6n. Ordenamos la ecuación en potencias deereoient~s de x: (y2 -4)x2 +2J1-{y 2 +4)~0
La potencia más alta de ;x ea x 1, y su coeficiente es y 2 - 4. Entonces: y 2 - 4"'0 ++ r-2 6 yc-2 ., :ron las asíntotas bori¡!;OJ!, te.les de la curva dada.
b) 'on rec.~n patul.el& o coir~ide~t-s
11tl ej ti\ ":. y 1e--.dc por o.' sci. '!l
p;Jemplo. llallal' J.aa 4.r.íntotAn ·,"rtioalee ee la curva de
e~u:,.:ü.5r:.: x 2 .v 2-y~-1.x2 +2x- ·1 =0
Soluci6n. Ordr=-m'!lo ln ecuad!n er.:. potc:1cie.s dcc.r cie:itea
de y~ (x2.-1)y 2 -(.:.X"-2x+1;-íl
1,a povencia ,tia alttt de y ea y 1 , y Stl 001:1!.i.ciente e~ x 2 -1,
L-~"º' x2 -1-0...,. x~t ó x=-1 , ~nr. las asínto~ao vcrticnJ.eo
de la curv& aad~. • • e) A~!ntotas O~llcua~. Son re.e L!i.ft ,pie ne son piu•e.l lll.1 e. nin
gtl.!lo de los ej g.s cool"der sdos y ti ener.
yea:xfk • ¡¡¡[O
Para deter~-n~r la9 u.~;ntota~ oclic~as, B& r&empls~e el v~ lor yeJJx+I:: ,m la .. cttu.oi6n dadn; ce ordena l.a !Hl'.1aci6n re­
s~l te.nts s, ~ot~acl~s decrecion~ec de x, luego, se irizala
a ce~o las dos pot~nciaa oás ~1 Aq de x.
Ej<,01r,lo. Iiall"r la1:1 a1J.Ín ,at,,, nbl1cua¡¡ de J.a curvA füi ,,_
~u3clÓa A'-xy~+2y~=O.
Sol.ció~. su~tituyendo y~ux+k en la ecuación dada: x 3-x(D3fk} 2 t2yZzQ
,.¡.,, <!o:ide: ( 1-m• )x 1 -2:r..az.:;r~+2y1 =0
t 11.~ pote:.:ciu.s itle :1l.tae Ce A 0011 x 3 y x 1 •
uego, EegÚ!l,la regl~. 1-~'=0-+ ~=±1 -2::;k=O + k~O
Por tanto, le.a ae!ntota6 obl.icu,1t1 aon: y•:!x
~JERC1CIOS, C!"'u;,o 6
Sol.u.c.i.6n, Sea r(x ,y},xy-'-y-J"O I) Ir.terccpcicr.e ••
a) Ce>n el eje X: Si y~O ., 0-2(0)-J=O
b) Con el ~je Y: .. -J=O r h
• ~,: •O ~y interoac~ióc
II) SimotrÍ'I.: ::. x~o .. -2;¡-.3.,:-, ~ y-.3/2 :. P(O,-J/2)
a) Co:i el 1 e.e X• f(x,-y):x{-y)-2(-yJ·-xyt2:,-3-0 •J'(x,-v)/.f(>c·) .
• ·•Y • · !.o 03 d::!Jtric.2 b} Con el ~je I : ~( ) - -x, Y , (-x)y-2y- J•. xy-2y- .J=O
+ f(-x,y)} t(x,y)
:u l .E'xtar.11ión.
X a 1:i...1 ¡ + ycP.-{O} ,', Rc.r.go <-°',C> IJ<O,+o,>
IV) .4síntotnti.
a) AcÍL,o:~s hOri• t, ' .on a.es: YX-2Y-3•0 + y~o e3 une A.?.
(x-2)y- 3~o ~ x 2 ~ b} .l.s.ínto•,.:,,s Ve r~i ~aies:
V) Tabla de ·,alorea.
&f: ·1,: '{_; i':B
l
fo!Jt.<'.<.ón. 3~,;, r{x,y) ,c,:;;-J~-1(-0
a) Ce~ el e;e ¡, Sl y=O ~ o-o-x=O • x=O t) Con el ej•l !: $l x=: • C-31-:l-O - ;¡=0
•• L11 c,urva r/\s& por .,:,_ ~rie;an
1I ) Sim11tri o.. a) coe d ;;je X: .. (.-:,-~·):x(-:,)- :3(-y) -x~-x:r+'.)y-x=O
"!>) -Con el eJ9 Y: .(-x,)'/: ;-:"'Y-J;r-(-x)->-xy-3;,+x~C + f(-x,;.) F f(x,:,r) ••• No e:i sio1H.r:.=a
e} Con e'- ~r'l.g:;,:. t( - ,:,-:,~:'-x)'-:r)-J(-)1)-(-,.;)~x-;1-J,+x='.l .,. :f{··X, -Y) f, f{.:<, y) :. }fo eii ei:,,6tric.:a
r:1) ,xto+r.sión-
'I - i ·• xc.F'.-\:3) x- 3
x - _1¡ + y~R-{1} y-1
;. iJominio
f
lV) Asín-te L,,s. a) lts!ntco; 11 iloriiont.al.,s. (,-')x-3-;='.) ·> y-1 ea unA A-"·
b) Asir.toU.fl v.,rticale~. {x-3br-x=O + x;;:} a¡; una A.V .
•) ~c~la de valoreu.
;, . i1 ¡,,i X., 1, le (!'.ll"'II. S'> Aittia¡¡
de ellcioa e~ ~a rec~a y~i Sl x<3, la otJr·1:1 ¡¡~ extlei:; ,le dob:ijo do la r.;cta ¡;,=1
'J
--- ----' ._ --- 1'-_
I • Tri ~er •"cc:.cn~s.
ll.
..l Con el J " o X. f(x, -;r) :-xy-2..l-2yt2~0 ... 1·(x,-:,l ., t( . ) ,. x,7 ª
b) Con f>1 • 9,oY.í'(-Jty)• _,2 ' , ·XY7 x-2y+2-0
A(1,0)
B(C,1)
• f{x,-:,) f ~ix,r) No •• si11,t r .u:11.
t'(-x, -y) :xyt2x-r2y+2=0 e) Con ol orig~n. r{-x,-y) I t(x 1J· ...
' •• • 0 oa oi•étrica III • ~xten,dÓ!l.
IV.
y 2x-2 ~ ~ • xcR-{2)
f.3Í11tot11s.
it) Asíntot&a " norizont6 les, (y-2} b) AsÍn'to~~
3 V x-2y+2c0 + ~ 2 0
-~ 9t>t.i cale 11. • ' - = + ::~2 V T bl ~~-2)y-2x~2c0 • x-2-"0 • -
~ . ~
¡ 9. x~+lxy+y 2 +2x-2y·1=0
[oCuc.,.6n. S(IQ f(x,y) ,xit2xy+y2 ~2x-2y-l=O
I. 1nterseccíonea.
a) Con el eJc l . Sj 1~0 + :< 2+2x-1c0 +¡ x=-12.12 l:t) Con el eje 'í. Si x0 0 + y 2 -2y-1=0 •-• y=Hfl
II. Sime"'ría.
a) Con el oj~ X. f{x,-y):x1 -2x:y+y1 +2xt2y-1;0
~ f(x, y) 1- f(x,y) ••. No r.s siz6T.r1c ..
b) Con el eje Y. f(-x,y):x 2-2xyty2 -2x-2y-1ff0
.,. f(-x,y} f f(x,y} .•. tlo es sinhrica
e) Con el orígen. t ,-y):x~+2,cy+y2 -2x+2y-1=0
... f(-x,-y) ~ f(x,y) .•. 0
No eo aimchrica
L I. füctensión.
e} Dominio de lo ecuaci&i. y 2 +2{x-1)ytx2 +2x-1o0
•y= -(x-1)i /<x-1) 2-(x2 +2x-1) & (1-x)!l2-4x + :l; - 2 4 .>O +-. x,1/2 ••• Dominio • <-oo, i/2J
b) Rácgo de lá ecuación. x 2 l2(y:1)xty~-2y-1=0
... :< ~ -(y+1)! ,/(y+1l2-(¡,1 -2y-i) = -(y+1)2 l4y 2
+ 3x ++ 4)1i2::.D ..... ;v~-1/2 ;, Rango- .. [-1/2,4.,>
Il/ · ;\eíntotns. Cnrio :tos eoe!'i~1entes de r2 a 1 • 800
const;:,n
tes, le. cur•,a óe eeue.ci6n dada no tifmo a~í~ totao horizout~les y vertic~leo. / -
V. Tabl~ de VP.loraa VI. 7razado dn la Gráfica
Y = (1-x}i ~ \ yA
11.
l.
io. 3+:r'-~) :.-o
T ~e!"s.c~~o:i~o.
, a) Con .. 1 eje x. 3i Y"O + X 1t/.-0 + x- 1/-4 b) Coi: c:2 e_'c 'í.. !',i x~Cr - yj-4y.a.4,:C1 .. ·¡=2
t. ( 31::7,, O]
l. S1netr.ée..
1\) Ccn e: eje X. f(x,-::} :.x:3 +y 2+4y=C .. f(x,-:,) I f(;.,y) f.o en s .. .Jttr1c~
t,) Con ~1 eje 1. f(-x,y) :-x 3 •y2 -Ly+4=) + f(-x,y) J r f(x, y) No l(>I! r.ii:ót.ri ~e.
e) Con sl cr1gon, r(-x,-y):-x,ty't4y+L-0 • -"(-x,-:r) f f(ic,y) ••• !lo es :;i~átr!.~a
·r:. Ex':ensió,.. .
a) !lodr.io de le. ec·~acl.ón . y=i'(x) (y-2) 2 ~x• + y=.2!xM + :iy .- -x>O - x<O ••• Domin1 o <-:o, O]
b) F_ango de la ecuacióx: . X"-t'(y}
x = l/ly-¡1-4 + JJ-y, x es renl. ~an~o ?
Iií. Aaío ~ota~.
Co~o ~o• cacf~ciectec ~- las variatlcs x' ~ y: son con§
tantcs, 18 curva no tiene asíntotaa horizontales ni veK
tlcdae.
V, !~bla de V~oco5. VI. T'r .. zc.d~ e.e l~ gd!'ica
y - 2±x,/:X
50
12.
.I)
rr.
y 3-x2 +3.yc,?+2'x+3y;o0
Sotucion, La acuaoión podemos tr.~ñai~:rm&r.la del si• guiente .modo:
(y~~ 3:,z tJy+i}. (x.2 ,24+1) ªº ... i(x. y): (y+i Jl=(x-1 )2
·rnterseccion¡t,-s.
a) Con ·el eja ,, ,,.._ . Si :,::O .. (:;;;.1} ¿;;t +<+ x-·J=:1 ó x-1=-1
++ .. ~2 6 X-'Ü ' ~\2,0) '/ 0(0,0) .. b) Con el ajo 1. ~i x..-0 + (;¡r+1} S., -¡ + ;r::O .. :J(O,Oi
S:!.me-tda. f
a} Ck,n el aje X. f(:,i;, • y): (•:,+1P=íx•1-) 2
"'f(x, -~,) ,- 'f.(-it,y) ,', ilo es sit1étrice. b} Con e'.l. &Je Y, i'(•x,y):(y+1'),::(G:{-1)2
+ f(.:i.,¡r) /, t(J!.,y) · .'. !lo es sim~·l;:i-ica
e) Con él o;rigl')n., f(~.i::,-yh(- y+1)ª=(sx-1) 2
i'~.<,•y) F f(x,y) • Ro es simétrica
UI. EX>tenaión. a) Dol!!inio !ie la eeuaciÓrL. ;11=.f'(x)
y'l-1 "' 3/fiZ-"Zr ... lly,-'h~.i. ,•, Dominio ·= R
b.) •Ran¡o d:c;,· la. ecuaci6n. x=.f{y)
x-1 .. /(:,n)~ .. ilx •·+ :rH>.,D,.... y,<•1 ' hl.lgó=[··1,+«>,
r..r. Asintot.aá, c,uii'e lcie co . ..ii':l.c.:i.entea de x 2 " y1 son o~n~t.aQ
~ 1 J _ ,-~ y 1 -1 cr. 58 o. ,-a 1 , µs
X •
.51
/. L,ii c~~va P,;l·Sa p:-:, t"" ~.:.. ·origcm ,
II ~ Simctr.{11..
a) :}on •el e::;e X. ::'(x,-y}:-x2 y+t:r-x=.O
+ f' :x, -y) f :.'(x, y) No c·a s.lo10tdnE,
b) Don al aje Y. ~(-x,y):x'y-ly+x•O
e) Go:1: >;?l (;r::.géir. f( - x~ -y.) : .. x~y+4y+x = R 2}'- ,ty-~=O, ..._,,
+ f'(- x,-y} ~ f(x-'yJ !. Si e-0 s~u)étri<:n
rrr . Ezt':ll1:1 t 6-:i. ~
e) llomí~i.c rl-a 1.t;L eGU,'1:;i:i.6-n. · y=f'(>:) -,. :r
b) R.~ngo de l.;, ec:uaciór~. x~f:(y) + yx 2 -x-ky~6
·<-+ ':;)C . . '. R:,w¡go : R - {O}
rl . .(',¡~Íil.1,o va 3.
a) Adntc>tn.s F.o.:-i zontaltes: yxt-x- ~.y=O ... :,;~o V) .1s~ntot~u Vcr't.i.cslíts ... (.~: 7.-4.)y-.x-o + x; 2 - 'f,=O +. x-=::2
V. ':'abls. ,le V 11.J ore.s
'j - X . - x:Z~,1,
¡~ __ ;. . . '-
X·/ ·r -] J [-3 : I -1 / /,.. 1 ! 1 315 j-J/ 5 I "-
1
¡, ¡, 1
52
I. Tn"ter saccione:s-
a) Con el tije x. Si ro -,., -1!:0 ;. No hay in.~urGocción
b) Oon e1 eje Y. Si xoO + -2y-1=0 -,. y=-1/2 .'. A(0,-1/2)
Il. Sioetrfa.
f(x,-y). / f(r.,y) llo ee sioétr:;.c¡¡.
h) Ccn el eje Y. f(··x,y) :x2 ytxy-2y-1=0
f(-x,y) ! f(x,y) No ea si~ét~ica
e) Con el c,rigen, f{-x,-y) :-x•y-xyt2y-1=0
·> f(-x,-y) f, ~{x.y) .:. 'uo "11 s:i.mJtl'ic!l.
1 a) :Jm,;inia de la ec:oia-ción, :r=r·(x) + Y ~ (x-2){:,+1)
-+ ;;y ~ #2 , x;,l-1 :. Dominio ; R-{2, -1}
b} Rango de la e;,cua.cí.Ón, x~t(y) + yx:2 -yx-(2yt1)=0
.. ,,, y!:. 1'9:r2 44'l. + 3 _ ...... 9yz+•,.-~o,. ,,,.,o !Je dO!l,;8 : X 2-y ~ "'• ~ t"
_.. ::,,>O ó Y$-4/9 Rango· = -<-cc,:4{9]u<G,+n::..,_
IV. Asíntotas.
a) Asíntotat Eo~izottP..l~s. y;c2 -yx-.2y~1=0 + y:O
::,) !s.Í:ntc,tar; Ver"..; ce.les. (x' -x-.2):/-·l=O + x ª-.i--.2:0
_,_ l(=- i 6 X"2
1 _)' !L y t.x-2Hx+t1
3 -2 -3
1
5)
.J.•lud6,¡;, Sea f(x.yJ ::>( 2 -xy+5y;0
I. Intcrsecoióner, .
cl:-;,«ndiE<u t.e, Ja curvit pa:ia por .,¡ or•-
II. Si111.e-crí:,_.
a) Con el ej e X. f(:,.. , -y) : x 2 +){y-5y"O
f(x.-y) f f(x,y)
!>} Con al e;je Y. r( -x.y) :xz+Jcy+5y=O
!fo e,; 3.1.:éi'.rica.
e) Con ol origen. f(-x,-y):x'-;,.:y-5"¡=0
!II. Extenaión. f(-x,-y) f f(x,y) No. es 5irnétriert
a} Do~inlo de la at,uación. y=f(x) ... .'. flOlllil).iO " R- { 5}
h) ri<Ulgo (le 1:,, ecuación . x=f r y}
Ilf .. ~sír, ~otas . :. .Rango = <-... oJ 11 (.20, ~~>
V.
a) Aa;ntota,; !!ori,t,o:rtt·al-,s. 'lo tiene
b) Asíntotas Vei,tioalos, (5-li)ytic'=O , 5-x=O + x-5 e) As:Íl1to'tas Oblicu:,,,, y-=:i,;,.:tlt ( l)
Su:d,i tuy"'ndo en 1.a eci:ac.ión dada y . orij-tn<>ndo téniir.os
'H' tiolle : (í-ia}x 2 t(.5m-k)x+5k=O yf . \ , \__
+ 1-a=O ·• :.~1 y 5n-k;Q -> k=$ '
Luagó. an (1): y~x+5
Tabla d-o- Valo~ec 2 0
,
-~--·_ 6
Soluú.fr.. Sea f(x,y) :x2 y-x 2 -!;:qt/_y<J
I) Jnt,r.:l"$t:l'.!Cicne!l. C~tto la ecuaci6r_ ca!'ece U.a t.é1~m:.no in-
OepU-ndivnte, la curva pase ?Or el origen.
I I) Sitte-trÍA. al Con el eje X. f (x,-y):-;, 2y-x'-+4x:;- 4y:O Ufo<,.$ s.:.r...)
b) Con •l ejo Y •. f(-x,y):x 2 y-x2+txyT47- 0 -> 'r(-x,y) f. f (x,y) :. Jfo ,;:; sl~, J~r.i.c:a
e) Cnn el origen. f(-x,-y):-x 1 y-x'-4xy-4y=O ' f(-x, .. }') = f(xt~· ) .. \ }lo es sirn.át,.ric.,
I II} Ex-:ensi.6n. a} Dominto de 1~ e~uación . yef(x) • ) y =.
(x-2)?. + :iy,~x#2 :. !Joüni.o = R-{ 2 }
h) l{;¡{'lg-<> de la e~'1r.r.ién. x=f(y) .. (y-1)x2-~.yx+t.y=O
+ Jo: i= 2y± /4y~·-(y-1 ){4y) ~ 2 y± ;;v/:",/
:> :lx -.. y;i.O .-_ Rar.go = [Ci ,f.,,
II!. ;¡-;;;fr,totRs.
a), tsír,tots.s t!ei-:-izóntale~ . (y-1)x 2 -4yx+!,y=ü + y=1
b) ft-ij:í:ntote.s Ve..r.ti~ales, (.x-2) 1 y-x 2 "'0 ... · x-2=0 ... -x~2
T,,_:,1~ el.o 1.i-c.l o!"e.s VL 'I're.z!id \"l de l a er-(fj.ca
-y yl 6 1-2
9/ 4 1Í4 1 1 1
a) :oti e :. eje ·x .. f> .i. ~-={) -~ ... {:( 2 ::::0 ·~ ;i•O
-~ ) Con ;,: aj" ~- Si x=:) -. -,'.;¡ 2 -él + 'J"'O
55
/ . ¡i;J. o.t:l .gell es·"nn p~n'":,c c_ue . pé::"tnuP.:\3 a. la g1·áflca ..
!L. St.rr ~~rí~ . Do rs,() t,odos l o.i..~ L-ér:ninos ce ~e cG~:::tclÓn cl.-~,ifl.
~o:t de Jr~rlo par. ln c~:f·ie. 1::<.l r:,i.n;étriva l" se
pectd dd ! os ~jes X e Y, y ~ l origec.
III. li.:J(i..e:1!l1Ón.~
. ' eCUi'!Cl.0!! • ±2x
• Do1!! lni:::
yz>4 ~ y~2 9 ·y<- 2. · •. : .. flan.ge,-~ <-<·~-> -2~.l.1<2~~~;,
IV . ,iefn ta t as, • (y.2 - 4 );,: '·- 4:t:,:~{J-
y2-·,4.=::0 ' \*f .y~2 .ó y ~-2
e,) P.dntc,:t.<is Ve1'j;ica.lo-~ . ,(-x'-4}y2 -;.X:'"º
_J'J t ..,_ ! ~- -~ ' 1 .
• 211, x ª -xy•+2y~..--O
Solucdu,. Soa ;·(x,y):x'-xy2 t2y 2 .-0
I. Int.ersecc1on-:,s.
8 ) Co-n el ojo X. Si y=O + x 3=0 • x=O
b} r.on el <'.ie Y, Si x~o + 2y'=v .. y:{}
II. Stmevría. Cvno la va~iab:a y ed de grado par, la cu~ve s~ sicétrica ~6lo coj el ~je X~
III. .Éxtenai6r,. -0.) Dominio de ls 11c1;a,;:iÓn, J-,,.f(x) ~ y = :':x J-x
'x-2 Dom, = <-"', D]U<2, to>>
-,¡. Así'n-t;otas.
a)
b)
e)
AS-Íri~cts.$ Ror.i.zoiüaleo. No tiena.
Asíntotas Ver·~iealoa. (.2-x)y 2 +x 3 ~o + 2-x~o ·• x:::-2
Asíntotas Obliet:an. y=::nx+:C {1)
Sustjt~yaa46 ~n la ecuación da~a y orden~nño términos
se tiene: (1-,L2 )x'+2(m 2-rnk)x2-(k2-/.xk:¡x+2k·LO
cEntoi:ees: 1-n,'=O...,. m1 =1. 6 n 2Q-1
o 2 -mk:O - k ,-=1 ó ·k.i=-1
Luego, en ( 1), la,; aeínt,otas oblicuas ci.e la curva son L, :y:x+1 , 1, :y:-x-1
'f. 1 /
tx J X x-2
1 / i/ y'
2. 7 CCUACIONES íACTORIZA8LES
Son aqu.ellas eeuaciones que ptHHlen escribirse en forma del producto de dos o más factores variables igi.oala~os
a e.ero. Est-o es:
Si F{x.y) : u.v.z, y si F(x,_y)=O, entonces: u f(x.y) O
v "' r(x.y) = o
z = f(x;y) = O
La gráfica QO F(x,y)=O constará de las trá~ioas rlo las ecuaeibnea obtenidas al igualar a cero cada uno de los factores .
!EJERCICIOS, Grupo 1¡
Ec c~da uno de los ejercicios del 1-10, factorizar la ecua­ o16n oo'rrespond1ente y trazar su gráfica.
, l. x 1 -4yz=o
Solusi6n. Soa F(x,y)
Jt-.2y=O
xz-4y1.
(1)
(.2)
(1) ~.
-~ .,.
I 4. x 2 +2xy+yi=l
Solación. Sea F(x,y},:(xty}Z-1=0 + (x+ytí)(.x+;t-1)=0
Tab~a de Valores y Grlficaa . { 1)
~ ~
Sea F(x,y)=6xltxy-2y 2 +7x+?~-j=O 3x 2y -1
2xX-y.><, 3n l.oaces F{x, y)= ( Jx+Zy-1} (2x-y+ J)
{ .3x+2v-1 "0
( 1)
(1) (2)
fffl Effiffi 6. ~•+y'+~!Y4X.l'~-~~-4y:O
Solu.tJ,:,5a, Sea F{x,y)=x~+y•+x•y+xy2 -4.>t-4y
y
·> F{x,y) = (x+y}(x 2 -xy+.,'Jtxy(-x+y}-4(x+y) (x+y )(x2 ty~-.o
St F(x,y)eO + {
GTIDJ ~
r' 7. ,.3_><":--xy.-yz~o
Sol,ic.J..6n. Sea F'{x: ~') =x •-x2 y-xyty •::x2 (x-y )-y (ir-~;)
'-'(x-")(xZ-y)
Si F(x,y)=O +[x-y=O x 2 -y=O (2)
Tabla de 'l'11lore11 y GrÁficas
(1)
2 y 2 -4xª+4xy 2 -y''=O
(1)
Sea F