solucionario coveñas matemax 2

CAPTULO N 1NMEROS REALES

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pg.(51, 52, 53, 54)

NIVEL I

Resolucin 1

Vemos que:*

85

1 6= ,

*

311

0 27= , (Peridico puro)

*

12

0 5= ,

*

13

0 3= , (Peridico puro)

*

815

0 53= , (Peridico mixto) Rpta.: E

B A = 3 8; Rpta.: C

Resolucin 4

Son irracionales: y 7 Hay 2 nmeros irracionales Rpta.: B

Resolucin 7Sea 4 7 13x =Por propiedad: Si a b=

a = b a = bTenemos que:

4x 7 = 13 4x 7 = 134x =13 + 7 4x = 13 + 74x = 20 4x = 6x = 5 x = 32

Luego, tomamos el valor negativo de x

x = 32 Rpta.: D

Resolucin 5

5 2666 5 26 526 5290

, .... ,= =

= =47490

7915

= 5 415 Rpta.: A

Resolucin 6

Si A ; 3= ; B = 2 8;Graficamos los intervalos.

Resolucin 2

IR (V)IN Q (V)

II = (V) VVV Rpta.: C

Resolucin 3

Denso Rpta.: B Resolucin 8

A) =3 3 (verdadero)

B) =4 2 4 2 (verdadero)C) x x= , si x > 0 (verdadero)D) 6 6 0+ = (falso)

Porque: 6 + 6 0E) x x= , si x < 0 (verdadero) Rpta.: D

Resolucin 9

114 2

17 2

114 2

17 2

: =

= =1 7 21 2

12

1

214

= 0,50 Rpta.: B

Resolucin 10I. a5a2 = a10 ........... es falso

ya que: a5a2 = a5+2 = a7 a10II. a a273 3= ........ es falso

ya que: a a a a273273 9 3= =

III. b7b7b7 = b21 ........ es verdaderoya que: b7b7b7 = b7+7+7 = b21

IV. 0 9 0 3, ,= ........ es falso

ya que: 0 99

10310

0 3, ,= =

F F V F Rpta.: D

Resolucin 11

+ = + 125 243 5 33 53 3 b g b g = 83= 2 Rpta.: B

Resolucin 12

A = = =16 64 16 4 433 3 A = 4B = = =6 36 6 6 6 B = 6

Calculamos: (A + B)2 = (4 + 6)2 = 102

(A + B)2 = 100 Rpta.: CResolucin 13

3 12 3 80 4 45 2 27 + 3 4 3 3 16 5 4 9 5 2 9 3 +

3 4 3 3 16 5 4 9 5 2 9 3 + 3 2 3 3 4 5 4 3 5 2 3 3 + 6 3 12 5 12 5 6 3 0 + = Rpta.: E

Resolucin 14

L = + =+

50 218 2

25 2 29 2 2

L = +25 2 29 2 2

L = + = =5 2 23 2 2

6 22

32

12

L = 3 Rpta.: C

= 72

17

= 72 7

77

= 7 72 7

= 72

Rpta.: D

NIVEL II

Resolucin 1I. 3, 15 > 3, 2 es falsoII. 5, 7268 < 5, 7271 es falsoIII. 3,1416 es irracional es falso Relacin correcta: F F F Rpta.: EResolucin 2Por dato: 2r > 7

r < 72 r < 3,5

r: 4; 5; ......... rmax = 4 Rpta.: B

Resolucin 3Graficamos los intervalos dados:

Luego: A B = 2 3; C = ; 3

A B C = b g 2 3 3; ; ={3} Rpta.: D

Resolucin 4Reemplazamos con los valores aproxima-dos al centsimo, obtenemos:

+ 10 13 10e j e j:(3,14 + 3,16) : (3,61 3,16)6,30 : 0,45 = 14,00 Rpta.: C

Resolucin 15

1

7

7 2 7 2 7 12 2 72 14 14

= =

Tenemos que:

1 2 1 2 = e j1 2 2 1 =

2 3 2 3 = e j2 3 3 2 =

Reemplazando en (I) tenemos que:2 1 3 2 + e j e j

2 1 3 2 2 + =

1 2 2 3 2 + = Rpta.: B

Resolucin 72 7 1 26 0x =2 7 1 26x =

Resolucin 5

I. IR ....................... (V)II. 52 IN ................... (F)

ya que: = 5 252 INIII. ( ) =

= . .............. (V)IV. 49 IR ................. (F) Relacin correcta es: V F V F Rpta.: D

Resolucin 6

1 2 2 3 + ........ (I)

como: 1 2 0 2 3 0 < y + 1} R = {(6; 4);(7; 4);(8; 4);(7; 5); (8; 5);(8; 6)}Luego: Dom R = {6; 7; 8}

Ran R = {4; 5; 6} Rpta.: D

Resolucin 18Analizando las altenativas, vemos que nocumple: {(2; 6);(1; 5)}

ya que: 1 A Rpta.: CResolucin 19Tenemos que:

R1 = {(3; 3);(4; 5);(5; 4);(5; 6);(6; 6)}Rpta.: E

Resolucin 21Recuerde: (a; b) = (m; n)

a = m b = n

Luego: 2 1 5 7 3 22xy+ = FHG

IKJ; ;b g

2x + 1 = 7 5 3 22

= y

x = 3 y = 4 x + y = 3 +4 = 7 Rpta.: C

Resolucin 23Tenemos que:R= {(Lima; Per);(Per; x);(Caracas; Z);

(Santiago; Y);(Chile; Santiago)}Recuerde que una relacin R ser simtrica cuando:

(a; b) R (b; a)RLuego: (Lima; Per) R (Per; Lima) R x = Lima (Caracas; Z) R (Z; Caracas)R Z = Caracas (Chile; Santiago)R (Santiago; Chile) R Y = ChileLuego: A= {x; y; Z} A = {Lima; Chile; Caracas} Rpta.: A

Resolucin 22Se tiene: A = {2; 3; 4}Analizaremos cada alternativa:A) {(2; 3);(3; 2);(4; 3)(3; 4);(4; 4)}No es reflexiva ya que le falta: (2; 2) y (3; 3)B) {(2; 3);(2; 2);(3; 3);(4; 4);(4; 3)}Como: (2; 2) R 2 A

(3; 3) R 3 A(4; 4) R 4 A

S es refelexivaAdems: C; D y E no son reflexivas Rpta.: B

Resolucin 25Se tiene:R = {(2; 5);(3; 7);(3; 3);(5; 2)}Definida en: A = {2; 3; 5; 7}Cumple:

Rpta.: CResolucin 26A = {2; 3; 4}En A se define la siguiente relacin:R= {(2; a);(2; 3); (b; 4);(3; c);(3; 2)}y es reflexica (2; a) = (2; 2) a = 2 (b; 4) = (4; 4) b = 4 (3; c) = (3; 3) c = 3Luego: a + b + c = 2 + 4 + 3 a + b + c = 9 Rpta.: DResolucin 27Hallamos los elementos del conjunto A

A={2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}Se sabe que: R={(a; b) / a = 2b} definida en A R = {(4; 2);(6; 3);(8; 4)

Dom R = {4; 6; 8}Ran R = {2; 3; 4} Rpta.: D

Resolucin 28Analizamos cada relacin:*

R1 ={(x; y) / x es hermano de y}Luego: (x; y) R1 (x; z) R1

(x; z) R1 (s cumple)R1 es transitiva.

*R2 = {(x; y)/x es de la misma raza que y}

Luego: (x; y) R2 (y; z) R2 (x; y) R2 (s cumple)R2 es transitiva.

*R3 = {(x; y)/ x es padre de y}

Luego: (x; y) R3 (y; z) R3pero: (x; z) R3 (No cumple)R3 no es transitiva.

Son transitivas: R1 y R2 Rpta.: D

NIVEL II

Resolucin 1Del conjunto: A={2; 3; 4; 5; 6; 7}*

R1 ={(a; b)/a + 2 = b} R1 = {(2; 4);(3; 5);(4; 6);(5; 7)}

Dom R1= {2; 3; 4; 5} n(DomR1) = 4*

R2 = {(a; b)/a+3=b} R2={(2; 5);(3; 6);(4; 7)}

Ran R2 = {5; 6; 7} n(Ran R2)=3Luego: n(Dom R1) + n(Ran R2)= 4 + 3 = 7 Rpta.: C

Resolucin 3Se tiene: A = {2; 3; 4; 7}como:

R= {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(a; 3);(b; a 1);(c; c)}Es reflexiva (2; 2);(3; 3);(4; 4);(7; 7) R

c = 7

Como: (a; 3) (b; a 1) R b = 2 a = 3 a + b + c = 12Luego, la relacin quedara as:R = {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(3; 3);(2; 2);(7; 7)}

como: (2; 3) R (3; 3) R (2; 3) R

como: (2; 4) R (4; 4) R (2; 4) R

Resolucin 2Hallamos los elementos de A

A={5; 7; 9; 11}Se tiene adems que:R={(a; a);(b; b);(c; a);(9; c);(d; d);(c + b 1; 11)}Es reflexiva y simtrica. (5; 5);(7; 7);(9; 9);(11; 11) RLuego, se debe cumplir que: c + b 1= 11

c + b = 12

7 5Adems como:

(a; a); (b; b) ; (d; d) ;(c + b 1; 11) R(9; 9); (5; 5) ; (7; 7) ; (11; 11) R

a = 9 ; b = 5 ; c = 7 a + b + c = 9 + 5 + 7 = 21 Rpta.: A

UVW c = 5

Como: (a; c) (c; a) R (a; a) Rcumple.

Luego: (c; a) (a; c)RPero (c; c) R No es transitiva

Relacin correcta: VVF Rpta.: C

Tenemos que:(2; 2);(3; 3);(4; 4);(5; 5) Ry {2; 3; 4; 5} A R es reflexiva.Adems: (a; b)(b; c)(a; c) R(3; 2)(2; 4)(3; 4)R R es transitiva Rpta.: E

Resolucin 9Se tiene: M = {8; 9; 10}Adems:R = {(c + 5; 2c);(a; 8);(b + 5 ; 9);(c + 3 ; b + 6)}

es reflexiva.Como: (c + 5; 2c)(10; 10) R c + 5 = 10 2c = 10Como: (a; 8)(8; 8) R a = 8

Como: (b + 5; 9)(9; 9)R b + 5 = 9 b = 4 a + b c = 8 + 4 5 = 7 Rpta.: C

Resolucin 10Como:R = {(2; 3);(4; 9);(3; b);(a + b; 9);(9; c + 1)}es simtrica. (2; 3) (3; b) R b = 2 (4; 9) (9; c + 1)R

c + 1 = 4 c = 3Luego, la relacin quedara as:R = {(2; 3);(4; 9);(3; 2);(a + 2; 9);(9; 4)} (9; 9) (a + 2; 9)R

a + 2 = 9 a = 7 a + b + c = 7 + 2 + 3 = 12 Rpta.: C

Resolucin 6

n de relaciones = 2 2 2 = 24 = 16

Rpta.: EResolucin 7I. Si R es una relacin de equivalencia, entonces R es

simtrica ... (Verdadero)II. Dado A={2; 3; 4} en l se pueden definir 512 relaciones

diferentes ... (Verdadero)ya que: # de relaciones = 233 = 29 = 512

III. Dado B = {a; b; c; d} se define RB B tal que R = {(a;c);(b; d);(c; a);(a; a)}Entonces R es transitiva ........ (Falso)

Resolucin 4Se tiene: A ={4; 5; 8; 9}R = {(x; y)/x + y, es nmero par} R = {(4; 4);(4; 8);(8; 8);(8;4);(5; 5);

(5; 9);(9; 5);(9; 9)} n(R) = 8 Rpta.: B

Resolucin 5I. Una relacin R definida en el conjunto A es simtrica

si(x; y) R, entonces (y; x) R ....................... (Verda-dero)

II. Toda relacin de equivalencia es una relacin sim-trica ........... (Verdadero)

III. n(A B) = n(A) n(B) ..... (Verdadero)IV. Toda funcin es una relacin ...........

....................................... (Verdadero) Relacin correcta: VVVV Rpta.: B

Es transitiva Rpta.: A

Resolucin 8Del grfico:

Resolucin 11Como:R = {(4; 4);(a; a);(b; b);(4; 5);(5; c);(5; 6);

(e; e + 2);(6; 4);(d; 5)}es de equivalencia.Como: (6; 4) (4; 5)R

(6; 5)R

Por deduccin: (d; 5) = (6; 5) d = 6

Como: (4; 5) (5; 6)R (4; 6)R

Por deduccin: (e; e + 2) = (4; 6) e = 4

Como: (5; 6) (6;5)R (5; 5)R

Pero hay: (a; a)=(5; 5) a = 5 (b; b) = (6; 6) b = 6

Luego, la relacin quedara as:R = {(4; 4);(5; 5);(6; 6);(4; 5);(5; c);(5; 6);(4; 6);(6; 4);(6; 5)}Notamos que falta: (5; c) = (5; 4)

c = 4

a + b + c + d + e = 5 + 6 +4 + 6 + 4 a + b + c + d + e = 25 Rpta.: E

Resolucin 12Se tiene: R = {(1; 3);(2; 6);(3; 9)}Analizamos las alternativas, vemos que cumple la BR a b ab a b= = +; /b go t4

13 = 1 + 4(3) = 1326 = 2 + 4(6) = 2639 = 3 + 4(9) = 39 Rpta.: B

Resolucin 13

M = {x / 2 x < 2} M = {2; 1; 0; 1}N = {3x 2/ 4 < x < 7 ; x IN } N = {13; 16}Luego: MN = {(2; 13);(2; 16);(1; 13);

(1; 16);(0; 13);(0; 16); (1; 13);(1; 16)}

(2; 5) M N Rpta.: B

Resolucin 14Analizamos cada alternativa:

A) {1; 3} {2; 3; 7} tiene 6 elementosB) {2; 4} {2; 3; 7} tiene 6 elementosC) {1; 2; 3; 4} {4; 6; 8} tiene 12 elementosD) {1; 2; 3; 4} {2; 3; 4; 6; 7; 8}

tiene 24 elementosE) {1; 2; 3; 4} {2} tiene 4 elementos

Rpta.: D

Resolucin 15

S = {6 3x / 5 x < 7 ; x }S = {6 3(5) ; 6 3(6)}S = {9 ; 12}S2 = {(9; 9);(9; 12);(12; 9);(12; 12)}

Rpta.: BResolucin 16Hallamos los elementos de cada conjunto:A = {3x + 4 / 6 < x 1 ; x } A = {11; 8; 5; 2 ; 1; 4; 7}B x x x= < RST

UVW2

26 3/ ;

7 5 3 1B 4; ; 3; ; 2; ; 1; ; 02 2 2 2 =

Hallamos los elememtos de R:

R x y A B y x= = +RSTUVW; /b g

52

R = FHGIKJ

RSTUVW11 3 8

32

5 0; ; ; ; ;b g b g

Rpta.: DResolucin 17Hallamos los elementos de T :

T = {2x2 10 / 3 x < 4 ; x }T = {10; 8; 2; 8}Ahora se sabe que:R = {(x; y) T IN/ y = 4 2x}Hallamos los elementos de la relacin R:R = {(2; 8);(8; 20);(10; 24)} Dom R = {2; 8; 10} Rpta.: EResolucin 18Hallamos los elementos de J :J = {10 x2 / 6 < x 2 ; x }J = {15; 6; 1; 6; 9; 10}Ahora, se sabe que:R = {(x; y) J / y = 30 3x}Hallamos los elementos de la relacin R.R = {(15; 75);(6; 48);(1; 27);(6; 12);

(9; 3);(10; 0)} Ran R = {0; 3; 12; 27; 48; 75}

Rpta.: A

Resolucin 24La ecuacin de la parbola es de la forma:

(x h)2 = 4p(y k) ... ()Donde: vrtice = (h; k)Sea la parbola: y = 2x2 + 4x 1Para hallar el vrtice damos la forma de (), completandocuadrados:

y = 2x2 + 4x 1y = 2(x2 + 2x) 1y = 2[(x + 1)2 1] 1y + 1= 2(x + 1)2 2y + 3 = 2(x + 1)2

(x + 1)2 = 12 (y + 3)

(x (1))2 = 12 (y (3)) (x h)2 = 4p(y k)

Donde: h = 1 k = 3 Vrtice = (1; 3) Rpta.: A

Notamos que:{(1; 1);(5; 2);(9; 0)} no es funcin de A en B.Ya que: 9 A Rpta.: CResolucin 21Sabemos que: f(x) = 4x 1

g(x)= 2x + 13Hallamos: g(7) = 2(7) + 13

g(7) = 1Luego: f(g(7)) = f(1) = 4(1)1 = 5 f(g(7)) = 5 Rpta.: E

Resolucin 22Para graficar: y = 2x + 1Hacemos: x = 0 y = 2(0) + 1

y = 1Obteniendo la coordenada: (0; 1)Hacemos: y = 0 0 = 2x + 1

x = 12

Obteniendo la coordenada: F

HGIKJ

12

0;

Ubicamos dichas coordenadas en el plano cartesiano:

Rpta.: B

Resolucin 23Los valores del rango estn expresadospor los valores que toma y

Tenemos que: h x x( ) = 13

4 ; x 3 6;

y x= 13

4 3 < x 6

Damos forma conveniente a:3 < x 6 < 33 3

63

x

< 13

2x (Restamos: 4)

< 1 43

4 2 4x

5 < y 2 Rango = 5 2; Rpta.: E

Resolucin 19Por dato:{(a; 3b);(a; a + b);(2b; 12)} , es una funcin (a; 3b) = (a; a + b)

3b = a + b 2b = aLuego: (a; 3b) = (2b; 3b) (2b; 3b) = (2b; 12)

3b = 12 b = 4 a = 8

Finalmente: a b = 8 4 = 4 a b = 4 Rpta.: CResolucin 20Hallamos los elementos de los conjuntos:A = {1; 3; 5; 7}B = {0; 1; 2}

Resolucin 25Sea: y = 3x2 12x + 20 (Parbola)Como: 3 > 0 ; la grfica se abrir hacia arriba Las alternativas descartadas.Completamos cuadrados para hallar el vrtice.

y = 3x2 12x + 20y = 3(x2 4x) + 20y 20 = 3[(x 2)2 4]y 20 = 3(x 2)2 12y 8 = 3(x 2)2

(x 2)2 = 13 (y 8)

(x h)2 = 4p(y k)Donde: h = 2 k = 8 Vrtice = (2; 8)Luego, la grfica es:

Rpta.: CResolucin 26Como: f(x) = 3x2 1Hallamos: f(5) = 3(5)2 1 = 3(25) 1

f(5) = 74f(2) = 3(2)2 1 = 3(4) -1 f(2) = 11f 6 3 6 1 3 6 1

2e j e j= = ( )

f 6 17e j =Reemplazamos estos valores hallados en:

f ff5 2

674 11

178517

b g b ge j

+ = + =

f ff5 2

65b g b g

e j+ = Rpta.: A

Resolucin 27Se tiene:

De la grfica, vemos que: f(0) = 9 f(1)= 5 f(2) = 9

Luego:k = f(0)+f(1)+f(2) = (9)+(5)+(9) k = 23 Rpta.: C

Reemplazamos los valores hallados en:

f(2) + (g(4))2 = 23 + 13 2e j f(2) + (g(4))2 = 36 Rpta.: B

Resolucin 28Sea: f(x) = 4x2 2x + 3 f(2) = 4(2)2 2(2) + 3 = 44 + 4 + 3 f(2) = 23Sea: g(x) = x2 3 g 4 4 3 16 32b g = = g 4 13b g =

Resolucin 29El rango viene a ser los valores que toma yAs, tenemos que:

f x xb g = 12

3 x 2 4;

y x= 12

3 2 < x < 4

FHGIKJ < 4m 5 GA(R) = 4m 3Por dato: GA(R) = 25 4m 3 = 25 m = 7 Rpta.: C

Resolucin 11Sea: Q(x) = 3mxm + 6mxm1 + 11mxm2Analizando los exponentes de cada trmino, vemos que:

m > m 1 > m 2 GA(Q) = 6Por dato: G.A(Q) = 6 m = 6El coeficiente de mayor valor ser:

11m = 11(6) = 66 Rpta.: D

Resolucin 12Si: M = a3xa+8 yb-4

N = b2 xb+5 y-a+5

Donde: M y N son trminos semejantes

x a+8 = x b+5

a + 8 = b + 5a b = 3 ........... (I)

y b4 = y a+5b 4= a + 5b + a = 9 ........... (II)

Sumando (II) + (I):b + a = 9 (+)a b = 32a = 6 a = 3

Reemplazando el valor de a=3 en (I) tenemos que:3 b = 3 b = 6

Luego: ab = 36 = 18 Rpta.: B

Resolucin 13 Sea:P(x; y) = 3xa8y6 + 4xa11y5 + 7xa13y20

Analizando los exponentes dex tenemos que:a8 > a 11 > a 13

Resolucin 14 Sea:

Q x y x yaa; b g = 3 62

Q x y x yaa a; b g = 32 62

Q x y x ya

a a; b g = 3

26

2

Por dato: GA(Q) = 9

3

26

29a

a a + =

3 62

9aa

+ =

3a + 6 = 9(a 2)3a + 6 = 9a 1824 = 6a a = 4 Rpta.: B

Resolucin 16 Sea:P(x; y) = 6xm+2 yn+3 + 4xm+1 y2n1

Donde:

*Grado del monomio 6xm+2 yn+3 es:(m + 2) + (n + 3) = m + n + 5

*Grado del monomio 4xm+1 y2n 1 es:(m + 1) + (2n 1) = m + 2n

Como: P(x; y) es homogneo m + n + 5 = m + 2n

n = 5 Rpta.: C

GR(x) = a 8Por dato: GR(x) = 5 a 8= 5 a = 13Luego:P(x; y) = 3x138y6 + 4x1311y5 + 7x1313y20P(x; y) = 3x5y6 + 4x2y5+7y20Donde: Grado del monomio: 3x5y6 es:

5 + 6= 11 Grado del monomio: 4x2y5 es:

2 + 5 = 7 Grado del monomio: 7y20 es:

20

GA(P) = 20 Rpta.: B

Resolucin 15 Reduciendo:

Ex x x

x x

=LNM

OQP

LNM

OQP

5 3 42

3

2 4 53

e j

e j

Ex x x

x x

=5 3 4 2 3

2 4 5 3

Ex x x

x x=

15 4 2 3

8 5 3

Ex x

x=

+

+

15 4 2 3

8 5 3

Ex x

x

x x

x= =

19 2 3

13 3

19 2 3

13 3

= x38 + 3 39 = x2

Grado del monomio =2Rpta.: B

Resolucin 17Reemplazamos los valores de x = 3 e y = 1 en:

xy(2y)xObteniendo: (3)-(-1)(2(1))3 =

=3123 = 38 = 24 Rpta.: B

Resolucin 18Como: a = 2 ; b = 3 ; c = 4 E = (aa + ca ba)a

E = (22 + 42 (3)2 )2E= (4 + 16 9)2 = 112

E = 121 Rpta.: C

Resolucin 19 Sea:P(x) = 4x + 1

P(1) = 4(1) + 1 P(1) = 5 P(2) = 4(2) + 1 P(2) = 9 P(3) = 4(3) + 1 P(3) = 13 P(0) = 4(0) + 1 P(0) = 1

Luego: E P PP P

= ++ =++ =

1 23 0

5 913 1

1414

b g b gb g b g

E = 1 Rpta.: B

Resolucin 20 Sea:P(x5) = 5x + 5

*Si P(1) = P(x5)

1 = x 5 x = 4 P(1) = 5(4) + 5

P(1)

= 25

*Si P(0) = P(x 5)

0 = x 5 x = 5 P(0) = 5(5) + 5

P(0) = 30*

Si P(1) = P(x 5) 1 = x 5 x = 6 P(1) = 5(6) + 5

P(1) = 35*

Si P(2) = P(x 5) 2 = x 5 x = 3 P(2)

= 5(3) + 5P(2) = 20

Luego:R P PP P

= ++ =++ =

1 01 2

25 3035 20

5555

b g b gb g b g

R = 1 Rpta.: BResolucin 21 Sea: P(x) = 2x + 3 P(2) = 2(2)+3 P(2) = 7Luego: P P P2 7b g =Donde: P(7) = 2(7)+ 3

P P P7 17 2b g b g= = P P 2 17b g = Rpta.: D

Resolucin 22 Sea: P(x+1) = x2Hallamos x :

Si P(x+1)

= P(2) x + 1= 2 x = 1 P(2) = (1)2 P(2) = 1Luego: P(P(2)) = P(1)

Hallamos x :

Si P(x+1) = P(1) x + 1= 1 x = 0 P(1) = 02 P(1) = 0

NIVEL II

Resolucin 1 Sea:P(x; y) = (5xn+4y2)5P(x; y) = 55 (xn+4)5 (y2)5P(x; y) = 55 x5(n+4) y10P(x; y)

= 55 x5n + 20 y10

Como el grado del monomio es 40 (5n + 20) + 10 = 40

5n + 30 = 40

n = 2 Rpta.: B

Luego: P P P P P P2 1 0b gc h b g b g= =Hallamos x

Si P(x+1)

= P(0) x + 1 = 0 x = 1 P(0) = (1)2 P(0) = 1Finalmente:

P P P P P P2 1 0 1b gc h b g= = = Rpta.: B

Resolucin 2A = 2mxm+2 y3m+n

B = 3nx3n2 y4m8

Como A y B son trminos semejantes, en-tonces la parte variable tienen los mismosexponentes.As: m + 2 = 3n 2 ........... (I)

3m + n = 4m 8 ......... (II)Sumando: (I) + (II)

m + 2 + 3m + n = 3n 2 + 4m 84m + n + 2 = 3n + 4m 1010 + 2 = 3n n12 = 2n n = 6

Reemplazando: n = 6 en (I):m + 2 = 3(6) 2 m = 14

Reemplazando n=6 y m = 14 en A y B:A = 2(14)x14+2 y3(14)+6

A = 28x16 y48

B = 3(6)x3(6)2 y4(14)8 B = 18x16 y48

Luego: A B = 28x16 y48 18x16 y48 A B = 10x16 y48 Rpta.: B

Resolucin 7Por dato: GA(R) = 3 ........ (I)

Luego: R x yaa= 3 62 3

R x ya a= 3 61

2 3e j

R x ya

a a= 3

2 36

2 3

GA(R)= 32 36

2 3a

a a +

GA(R) = 3 62 3aa

+ ........ (II)

De (I) y (II), tenemos que:3 62 3

3aa

+ =

3a + 6 = 3(2a 3)3a +6 = 6a 9 15 = 3a a = 5

Luego: P = 3x2ay3a1

P = 3x2(5) y3(5)1

P = 3x10 y14

Donde: GA(P) = 10 + 14 GA(P) = 24 Rpta.: CResolucin 8 Sea:

P(x; y) = (5a1xa+2 ya)2P(x; y) = (5a1)2 (xa+2)2 (ya)2P(x; y) = 52(a1) x2(a+2)y2a

Donde: GA(P) = 2(a+2) + 2a = 2a + 4 + 2a

GA(P) = 4a + 4Por dato: GA(P) = 16 4a + 4 = 16

4a = 12 a = 3Reemplazando el valor de: a = 3 El coeficiente del monomio ser:

52(a1) = 52(31) = 52(2) = 54 = 625Rpta.: C

Sumando (I) + (III):3a + b = 11 (+)a + 3b = 94a + 4b = 20

4(a + b) = 20 a + b = 5 Rpta.: BResolucin 4 Si 9xb + 4ax5 = 17x5

Analizando, vemos que para que cumplala igualdad, el exponente de x debe ser 5

b = 5Tambin, los coeficientes deben ser igualesen ambos lados de la igualdad, por lo que:

9 + 4a = 17

4a = 8 a = 2

Luego: 2 2 2 5a b+ = +b g = 9 = 3Rpta.: B

Resolucin 5 Efectuando:A = [(2p 3) (3p + 4q)] [2q(3p + q)p]A = [2p 3 3p 4q] [2q 3p q p]A = [p 4q 3] [q 4p]A = p 4q 3 q + 4p A = 3p 5q 3 Rpta.: BResolucin 6

R x y x x y x x y= + + +3 2 3 2b g b g

R x y x x y x x y= 3 2 3 2R x y x x y x x y= 3 2 3 2R = 3x y 2x x + 3y + 2x + x + y R = 3x + 3y Rpta.: C

UVW

Resolucin 3 Sea:M(x; y) = 10x3a+b ya+3b

Como: GR(x) = 11 3a + b = 11 ........................ (I) Como GA(M) = 20 (3a + b) + (a + 3b) = 20 ...... (II)Reemplazando (I) en (II), tenemos:

(11) + (a + 3b) = 20 a + 3b = 9 ........................... (III)

Resolucin 9 Sea:

P x x xm mb g = 3 234

P x x xmm

b g = 323

4

P x xm

m

b g = +323

4

P x xm m

b g =+9 23

4

P x xm

b g =11

34

P x xm

b g =FHGG

IKJJ

113

14

P x xm

b g =1112

Como el grado de P(x) es 22

1112

22m =

11 22 121 2m =

m = 24 Rpta.: DResolucin 10Reduciendo la expresin:

P xx x

x x

n n

n nb g e j e j

e j=

4 3 4 2

2 4 6

P x x xx x

n n

n nb g =

3 4 8

4 2 6

( )( )

P x x xx x

n n

n nb g =

3 12 8

4 8 6

P x xx

n n

n nb g = + +

3 12 8

4 8 6

P x xx

xn

nn nb g = =

11 1210 8

11 12 10 8( ) ( )

P(x) = x11n1210n + 8P(x) = xn4

Como: P(x)es de cuarto grado, tenemos que:n 4 = 4

n = 8 Rpta.: C

Resolucin 11Reduciendo la expresin:

( ) 3 m 7 n3 n 6 mx yM x; y x y+ =

M(x; y) = x(3+m)(3-n) y(7n)-(6m)M(x; y) =x3+m3+n y7n6+mM(x; y) = xm+n ymn+1

Sabemos que: GR(x) = 5 m + n = 5 ............................... (I)Sabemos que: GA(M) = 7 (m + n) + (m n + 1) = 7 ........ (II)Reemplazando (I) en (II), tenemos que:

5 + (m n + 1) = 7m n = 1 ................................. (III)

Sumando (I) + (III), tenemos que:m + n = 5 (+)m n = 12m = 6 m = 3

Reemplazando m = 3 en: (I), tenemos que:3 + n = 5 n = 2

Luego: 2m + n = 2(3) + 2 2m + n = 8 Rpta.: D

UVW

Resolucin 12 Sea:Q(x; y) = 15x4y3n x4ny6 + 8(x3y2)6nQ(x; y) = 15x4y3n x4ny6 + 8x18n y12n

Como: GR(y) = 24Sabemos que el grado relativo de y es el mayor exponentede y en la expresin.Como:12n > 3n ; n > 0 GR(y) = 12n = 24

n = 2Hallamos el grado relativo de x :Los exponentes de x en la expresin dada son:

4; 4n; 18nReemplazando n = 2, obtenemos:

4; 8; 36

GR(x) = 36 Rpta.: C

Luego: R N R3 1b g =Si: R(x) = 4x + 3 R(1) = 4(1) + 3 = 4 + 3

R(1) = 7

R N 3 7b g = Rpta.: C

Como: A(x) es de tercer grado, tenemos que:2 4

63n + =

2n + 4 = 182n = 14 n = 7

Luego: el coeficiente ser:3(n 1) = 3(7 1) = 3(6)

3(n 1) = 18 Rpta.: C

Grado de Q xb g 5 30= Rpta.: C

Resolucin 17 Si grado de P(x) = 7 grado de P3(x) = 7 3 = 21Si grado de Q(x) = 9 grado de Q2(x) =9 2 = 18Luego: grado de H(x) = P3(x) + Q2(x) ;es el mayor grado de ambos monomios: Grado de H(x) = 21 Rpta.: BResolucin 18Como: F(x) = es un polinomio lineal, serde la forma:

F(x) = ax + b ; a y b constantes F(2) = a(2) + b = 5

2a + b = 5 ......... (I) F(1) = a(1)+ b = 4

a + b = 4 ......... (II)Restamos (I) (II); obteniendo:

2a + b = 5a + b = 4a = 1

Reemplazamos el valor de a = 1 en (II);obteniendo:

1 + b = 4 b = 3Si: F(x) = ax + b = 1x + 3

F(x) = x + 3 F(7) = 7 + 3 F(7) = 10 Rpta.: BResolucin 19Si: N(x) = 2x 5 N(3) = 2(3) 5 = 6 5

N(3) = 1

UVW

0

()

Resolucin 13Reduciendo la expresin:

A x n x xnb g b g= 3 1 2 86

A x n x xnb g b g= 3 1 282

6

A x n x xnb g b g= 3 1 2 46 A x n x nb g b g= +3 1 2 46

A x n xn

b g b g= +

3 12 4

6

Resolucin 14 Sea:P(x) = 3axa+5 + 5axa+6 + 2axa+8

Analizando los exponentes, vemos que:a + 8 > a + 6 > a + 5

GA(P) = a + 8 a + 8 = 17

Por dato: GA(P) = 17 a = 9

Los coeficientes de P(x) son:3a; 5a; 2a

La suma de coeficientes ser:3a + 5a +2a = 10a ; pero: a = 9

10a = 10(9) = 90 Rpta.: E

Resolucin 15 Sea:P(x) = 3x90 27x88 + 3x2 4xP(x) = 3x88(x2 9) + 3x2 4x

P(3) = 3(3)88(32 9) + 3(3)2 4(3)P(3) = 3(3)88(9 9) + 27 12P(3) = 3(3)88(0) + 15

P(3) = 15 Rpta.: C

Resolucin 16 Sea:Q(x) = 5x6 + x4 + x2 + 3x + 6

Donde: el grado de Q(x) = 6Luego: el grado de Q xb g 5 6 5=

Por dato del problema: GR(x) = 10Entonces, tenemos que:

m + 4 = 10 m = 6 Hallamos el grado de cada monomio y el mayor gra-

do ser el grado absoluto del polinomio P(x; y) Hallamos el grado del 1 monomio: (m + 1) + (n 3) = (6 + 1) + n 3

= 7 + n 3 Grado del 1 monomio: n + 4 Hallamos el grado del 2 monomio (m + 3)+(n 4) = (6 + 3)+(n 4)

= 9 + n 4 Grado del 2 monomio: n + 5 Hallamos el grado de 3 monomio: (m + 4) + 2n = (6 + 4) +2n Grado del 3 monomio: 10 + 2n

UVW ()

Resolucin 20Como: R(x) es un polinomio lineal, ser dela forma:

R(x) = ax + b ; a y b constantes R(3) = a(3) + b = 8

3a + b = 8 ......... (I) R(2) = a(2)+ b 6

2a + b = 6 ........ (II)Restamos (II) (I), obteniendo:

2a + b = 6 3a + b = 8

(2a)(3a) = 2 2a + 3a = 2

a = 2

Reemplazando a = -2 en (I):3(2)+b = 86 + b = 8 b = 2

Las constantes sern: a = 2 y b = 2 R(x) = 2x + 2Luego: R(4) = 2(4)+2 R(4) = 10 Rpta.: C

Resolucin 21P(x; y) = 3xm+1 yn3 + 7xm+3 yn4 xm+4 y2nAnalizamos los exponentes de la variable x y vemos que:

m + 4 > m + 3 > m + 1

GR(x) = m + 4

Resolucin 22 Sea:F(3x 1) = 2x + 3P(x) =4x 1

Hallamos x para hallar F(2):Si F(3x 1) = F(2)

Analizamos los grados de cada monomio y vemos que:10 + 2n > n + 5 > n + 4

GA(P)= 10 + 2nPor dato del problema: GA(P) = 16Entonces, tenemos que:

10 + 2n = 162n = 6 n = 3

Reemplazamos: m = 6 n = 3 en:m

n= =6

32

mn

= 2 Rpta.: A

3x 1 = 23x = 3 x = 1

Luego: F(2) = 2(1)+ 3 F(2) = 5Luego: P F P2 5b gc h b g=Si P(x) = 4x 1 P(5)

= 4(5) 1 P(5) = 19 P F 2 19b gc h = Rpta.: B

Resolucin 23 Sea:Q(x) = 2mxm + 4mxm1 + 6mxm2

Analizando los exponentes de x, vemos que:m > m 1 > m 2

Entonces: GA(Q) = m (Dato)Pero: G.A(Q) = 5 m = 5Reemplazando el valor de m en Q(x), tenemos que:

Q(x) = 2(5)x5 + 4(5)x51 + 6(5)x52Q(x) = 10x5 + 20x4 + 30x3

Trmino cbico

El coeficiente del trmino cbico es 30Rpta.: D

2(2) + 1= 7 m 5 = 7 m m = 2

Luego: mn = 22 = 4 mn = 4 Rpta.: BResolucin 27P(x; y) = (6 n)x3 y + mx2 y3 + 5x3y 4x2y3 Factorizando:P(x; y) = (6 n + 5)x3y + (m 4)x2y3Como: P(x; y) es idnticamente nulo: 6 n + 5 = 0 m 4 = 0

n = 11 m = 4Reemplazando estos valores en:

nm = 2 11 22 4 2e j e j

nm =2 32e j Rpta.: B

Resolucin 28P(x) = xa+b + 4xa 7xb + 5

Si P(x) es ordenado y completo de grado 3 a + b = 3 a = 2 b = 1 a2 + b2 = 22 + 12 = 5 Rpta.: CResolucin 292Ax2 + Bx2 Cx + B 8x2 + 5x 4(2A + B)x2 + (C)x + B 8 x2 + 5x + (4)

B = 4 C = 5 C = 5 2A + B = 8

2A + (4) = 82A = 12 A = 6

Luego:A + B + C = 6 +(4) + (5)

A + B + C = 3 Rpta.: B

Reemplazando el valor de m en los exponentes de x,tenemos que:

5m + 2n + 3 =5(3) + 2n + 3 = 18 + 2n4m + 2n + 1 = 4(3) + 2n + 1 = 13 + 2n

3m + 2n = 3(3) + 2n = 9 + 2nDonde: 18 + 2n > 13 + 2n > 9 + 2n

Luego: GR(x) + GR(y) = 43(18 + 2n) + (4m + 5) = 4318 + 2n + 4(3) + 5 = 4318 + 2n + 12 + 5 = 432n = 8 n = 4

Reemplazando m y n en P(x; y); tenemos que:P(x; y) = x26 y7 + x21 y11 + 7x17 y17

GA(P) = 17 + 17 = 34 Rpta.: DResolucin 25P(x; y) = 8x2n+6 3x2n+3 yn+2 + 5y9nPolinomio homogneo es aquel en el que todos sus trmi-nos tienen el mismo grado.Como: P(x; y) es homogneo 2n + 6 = (2n + 3)+(n + 2) = 9 n

2n + 6 = 3n + 5 = 9 n 2n +6 = 3n + 5 n = 1 3n + 5 = 9 n n = 1Los exponentes de y son:*

n + 2 = 1 + 2 = 3*

9 n = 9 1 = 8 GR(y) = 8 Rpta.: B

menor exponentede y

G:R (y)

G:R (x)

Resolucin 24

P(x; y) = x5m+2n+3 y2m+1 + x4m+2n+1y3m+2 + 7x3m+2n y4m+5

*Los exponentes de y son:2m + 1 ; 3m +2 ; 4m + 5

Donde: 2m + 1 < 3m + 2 < 4m + 5

Por dato: 2m + 1 = 72m = 6 m = 3

Resolucin 26

Q(x; y) = 2n 1x + + 6xn+2 yn1 13y7mComo: Q(x; y) es homogneo: n2 + 1= (n + 2) + (n 1) = 7 m

n2 + 1 = 2n +1 = 7 m n2 + 1 = 2n + 1 n = 2 2n + 1 = 7 m

Resolucin 30 Si:

B(x)=x2 + x 1 B(2) = (2)2 + (2) 1

B(2) = 5Luego: A B A2 5b g =

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO(ADICIN Y SUSTRACCIN DE POLINOMIOS). Pg.(143, 144, 145, 146)

NIVEL I

Tambin: Q(x; y) = 3y + x 9Luego:3P(x; y)

+ Q(x; y) = 9x + 3y + 18+ (3y + x 9) = 9x + 3y + 18 3y + x 9

3P(x; y)

+ Q(x; y) = 10x + 9 Rpta.: C

Si: A x xb g = + 12

( ) 5 1A 5 2+=

A(5) = 3

A B 2 3b g = Rpta.: B

Resolucin 1 Sea:P(x; y)

= 3x + y + 6 3P(x; y)

= 3(3x + y + 6)3P(x; y)

= 9x + 3y + 18

Resolucin 2 Si:P(x; y)

= 5x + 3y 3 2P(x; y)

= 2(5x + 3y 3) 2P(x; y)

= 10x + 6y 6Si Q(x; y) = 2y 2x + 5 5Q(x; y) = 5(2y 2x + 5) 5Q(x; y) = 10y 10x + 25Luego:2P(x; y) + 5Q(x; y) = (10x + 6y 6)+(10y 10x + 25)

= 10x + 6y 6 + 10y 10x + 25 2P(x; y) + 5Q(x; y) = 16y + 19 Rpta.: C

Resolucin 3

P(x) Q(x) = (5x2 3x +1) (x2 3) = 5x2 3x + 1 x2 + 3 = 4x2 3x + 4 Rpta.: E

Resolucin 4

P + Q = (4x3 + 2x2 x + 5) + (3x2 + 2x +3)P + Q = 4x3 + 2x2 x + 5 3x2 + 2x + 3P + Q = 4 83 2

4x x x

tr os + +

min

El polinomio resultante tiene 4 trminos Rpta.: B

Resolucin 5

A B = (5x2 + 6x 2) (2x2 + 6x + 1)A B = 5x2 + 6x 2 + 2x2 6x 1A B = 7 32x

s

2 trmino

El polinomio resultante tiene 2 trminos.Rpta.: C

Resolucin 6 Hallamos: (B + C A)

2 4 1 2 3 3 42 2 2x x x x x xB C A

+ + + =e j e j e j

= 2x2 4x + 1 2x x2 3 x2 3x + 4 == 9x + 2 Rpta: D

Resolucin 7 Hallamos: A B + C

( ) ( ) ( )CA B3 3 2 2 34x 2x 1 x 3x 6 x 3x 4 + + + + = = 4x3 2x + 1 x3 + 3x2 6 + x2 3x3 + 4== 4x2 2x 1 Rpta.: C

Resolucin 8

*Sea L el lado del cuadrado

Permetro del cuadrado = 4LComo: L = 3x + 2

Permetro del cuadrado = 4(3x + 2)Permetro del cuadrado = 12x + 8

*Sean a y b los lados del rectngulo

Permetro del rectgulo = 2(a + b)Como: a = 4x 1 b = 5x + 2

Permetro del rectngulo:= 2[(4x 1) + (5x + 2)]=2[4x 1 + 5x + 2]= 2[9x + 1]Permetro del rectngulo = 18x + 2

Resolucin 14R = 3x2{5y +[3x2 + {y (6 + x2)} (x2 + y)]}R = 3x2 {5y +[3x2+{y 6 x2} +x2 y]}R = 3x2 {5y +[3x2 + y 6 x2 + x2 y]}R = 3x2 {5y 3x2 6}R = 3x2 5y + 3x2 + 6 R = 6 5y Rpta.: B

Como: L = 7x + 1 Permetro del cuadrado = 4 (7x + 1)

Permetro del cuadrado = 28x + 4

* Sea el tringulo issceles:

Permetro del hexgono = 6acomo: a = 2x + 1

Permetro del rectngulo = 6(2x + 1)Permetro del

rectngulo = 12x + 6

*Sea L el lado del cuadrado

Permetro del cuadrado = 4LComo: L = 3x 1

Permetro del cuadrado = 4(3x 1)Permetro del

cuadrado = 12x 4Luego:Permetro del

hexgono Permetro delcuadrado = (12x + 6) (12x 4) = 12x + 6 12x + 4 = 10

Excede: en 10 Rpta.: EResolucin 13

*Si el pentgono es regular, entonces sus cinco ladosson iguales.Si el lado del pentgono es L

Permetro del pentgono = 5Lcomo: L = 4x + 3

Permetro del pentgono = 5(4x + 3)Permetro del

pentgono = 20x + 15

*Sean a y b los lados del rectngulo

Permetro del rectngulo = 2(a + b)como: a = 7x + 4 b = 3x + 1

Permetrodelrectngulo

= 2((7x + 4)+(3x + 1)

= 2(10x + 5)Permetrodel

rectngulo = 20x + 10

Luego:

Permetro delpentgono Permetro delcuadrado = (20x + 15)(20x + 10)

= 20x + 15 20x 10 = 5

Excede en 5 Rpta.: D

Permetro deltringulo

= (10x 3)+(10x3)+(7x + 1)

Permetro deltringulo = 27x 5

Luego:Permetro del

cuadrado + permetro del

tringulo = (28x + 4)+(27x 5) = 55x 1

Rpta.: DResolucin 10Sea M la expresin buscada: (5x2 3x +6) + M = 8x2 + 5x 3

M= 8x2 + 5x 3 (5x2 3x + 6)M = 8x2 + 5x 3 5x2 + 3x 6

M = 3x2 + 8x 9 Rpta.: CResolucin 11Sea N la expresin buscada: (16x3 4x2 9) N = 12x3 + 6x 8

(16x3 4x2 9) (12x3 + 6x 8) = N16x3 4x2 9 12x3 6x + 8 = N

N = 4x3 4x2 6x 1 Rpta.: EResolucin 12

*Si el hexgono es regular, entoncessus 6 lados son iguales.Si el lado del hexgono es a

Resolucin 9

*Sea L el lado de cuadrado:

Permetro del cuadrado = 4L

Luego:Permetro del

cuadradopermetro delrectngulo

+ = (12x + 8)+(18x + 2)

= 30x + 10

Rpta.. D

(M 6)x3 + (5 N)x2 3x + 1 = 2 x3 + 3 x2 3x + 1Luego: M 6 = 2 M = 8

5 N = 3 N = 2Entonces: M N = 8 2 M N = 6 Rpta.: B

Resolucin 15

E x x x= + + +3 2 1 2b gE x x x= + +3 2 2 2E = x 3x + 2x 2 2

E = 4 Rpta.: E

Resolucin 16

( ){ }P x 2x y x y z x z= + + + + P x x y x y z x z= + + + + + 2l qP = x + z z

P = x Rpta.: C

Resolucin 17(Ax2 + 5x + 8)+(3x2 + Bx 6)=5x2 + 7x + 2Ax2 + 5x + 8 + 3x2 + Bx 6 = 5x2 + 7x + 2(A + 3)x2 + (5 + B)x + 2 = 5 x2 + 7 x + 2

Luego: A + 3 = 5 A = 25 + B = 7 B = 2

Entonces: A + B = 2 + 2

A + B = 4Rpta.: DResolucin 18(Mx3 + 5x2 +2x + 4) (6x3 +Nx2 + 5x + 3)= 2x3 +3x2 3x + 1Mx3 + 5x2 +2x + 4 6x3 Nx2 5x 3= 2x3 + 3x2 3x + 1

Resolucin 19P + Q R = (x2 + x 3)+(2x2 2x + 1)(3x2 4x + 5)P + Q R = x2 + x 3 + 2x2 2x + 1 3x2 + 4x 5 P + Q R = 3x 7 Rpta.: BResolucin 20(A C)B = ((5x2 x + 4) (2x2 + 5x + 3))(3x2 4x + 1)(A C) B = (5x2 x + 4 2x2 5x 3) 3x2 + 4x 1(A C) B = 3x2 6x + 1 3x2 + 4x 1 (A C) B = 2x Rpta.: B

NIVEL II

Resolucin 1 Si:P(x; y) = 2x2 2x + 3y2 3

2 P(x; y) = 2 (2x2 2x + 3y2 3)2 P(x; y) = 4x2 4x + 6y2 6

Adems: Q(x; y) = 4x 4x2 3y2 + 6Luego:2 P(x; y) + Q(x; y)

= (4x2 4x + 6y2 6) + (4x 4x2 3y2 + 6)

2 P(x; y) + Q(x; y)

= 4x2 4x + 6y2 6 + 4x 4x2 3y2 + 6

2 P(x; y) + Q(x; y) = 3y2 Rpta.: C

Resolucin 2 Sea:

A(x; y) = 8xy2 + 6x2y 3xy + 8Si: B(x; y) = 4xy2 + 2x2y +xy + 5 2B(x; y) = 2(4xy2 + 2x2y + xy + 5)

2B(x; y) = 8xy2 + 4x2y + 2xy + 10Luego:A(x; y) 2B(x; y) = (8xy2 + 6x2y 3xy + 8)

(8xy2 + 4x2y + 2xy + 10)A(x; y) 2B(x; y) = 8xy2 + 6x2y 3xy + 8 8xy2

4x2y 2xy 10 A(x; y) 2B(x; y) = 2x2y 5xy 2 Rpta.: B

Resolucin 3P(x) Q(x) = (4x3 + 2x2 + x + 3) (5x2 4x 4)P(x) Q(x) = 4x3 + 2x2 + x + 3 5x2 + 4x + 4 P(x) Q(x) = 4x3 3x2 + 5x + 7

Rpta.: B

Trmino demayor grado

Trmino demenor grado

Resolucin 4P + Q = (3x3 + 4x2 + 2) + (21x2 + 4x + 1)P + Q = 3x3 + 25x2 + 4x + 3

Luego:Coeficiente deltr o demayor grado

minFHG

IKJ

Coeficiente deltr o demenor grado

minFHG

IKJ = 3 3

= 0

Rpta.: C

Resolucin 9De la figura:

Tambin: AB = CD BC = AD FG = n GE = m

Luego, permetro del rectngulo ABCD es:AB + BC + CD + AD = 32 x

CD + BC + CD + BC = 32x2BC + 2CD = 32x2(BC + CD) = 32xBC + CD = 16x

AD + AB = 16x

Vemos que:DC = AB = 4x + 1QN = PM = 3x + 2BC = AP + MN + QD = 6x + 4

Luego:El permetro de la figura ser:AB + AP + PM + MN + QN + QD + DC + BC= AB + DC + AP + MN + QD + PM + QN + BC

= AB + AB + BC + PM + PM + BC= 2AB + 2BC + 2PM=2(AB + BC + PM)= 2((4x + 1)+ (6x + 4) + (3x + 2))= 2 (13x + 7) = 26x + 14 Permetro = 26x + 14 Rpta.: CResolucin 10Sea la figura:

Vemos que:BC = BF + m BF = BC mCD = ED + n ED = CD n

Luego:

Coeficiente deltr o demayor grado

minFHG

IKJ +

Coeficiente deltr o demenor grado

minFHG

IKJ = (2) + 7

= 5

Rpta.: CResolucin 6P + Q = (5x3 + 2x2 x + 6) + (2x2 + x + 3)P + Q = 5x3 + 2x2 x + 6 2x2 + x + 3P + Q = 5x3 + 9 Polinomio de 2 trminos El polinomio resultante tiene 2 trminos

Rpta.: CResolucin 7A B = (6x4 + 5x3 + 2x2 + x 8)

(5x3 + x + 2x2 + 8)A B = 6x4 + 5x3 + 2x2 + x 8 5x3 x 2x2 8A B = 6x4 16 Polinomio de 2 trminos El polinomio resultante tiene 2 trminos

Rpta.: CResolucin 8Diferencia = (4x3 + 3x 6) (5x3 2x2 + 4x 4)Diferencia = 4x3 + 3x 6 5x3 + 2x2 4x + 4Diferencia = x3 + 2x2 x 2Sea M la expresin pedida: M + diferencia = 2x2 + x - 2

M = (2x2 + x 2) diferenciaM = (2x2 + x 2) (x3 + 2x2 x 2)M = 2x2 + x 2 + x3 2x2 + x + 2M = x3 + 2x

M = x(x2 + 2) Rpta.: B

Trmino demayor grado

Trmino demenor grado

Resolucin 5A B = (5x4 3x3 + 5x + 1) (7x4 + 2x2 6)A B = 5x4 3x3 + 5x + 1 7x4 2x2 + 6A B = 2x4 3x3 2x2 + 5x + 7

Resolucin 11R = [(x)][+(x)] + {(y+z) [+(z)]}R = [x] [x] + {y z [z]}R = x + x + {y z + z }

R = y Rpta.: D

Resolucin 12Q = [3x + (x {2y3})] +{(2x + y) + (x 3)+2(x + y)}Q = [3x + ( x 2y + 3)] +{2x y x 3 + 2 x y}Q = [3x x 2y + 3] + {4x 2y 1}Q = 3x + x + 2y 3 4x 2y 1Q = 4x + 2y 3 4x 2y 1 Q = 4 Rpta.. D

Luego:El permetro de la regin coloreada es:

AD + AB + BF + FG + GE + ED =

= 16x + (BC m) + n + m + (CD n) == 16x + BC m + n + m + CD n == 16x + BC + CD

= 16x + 16x

= 32x Rpta.: B

Resolucin 13 Tenemos que: (Ax2 xy + y2) + (2x2 + Bxy 3y2) (3x2 xy Cy2)= 3x2 + 2xy + y2

Ax2 xy + y2 + 2x2 + Bxy 3y2 3x2 + xy + Cy2= 3x2 + 2xy + y2

Ax2 x2 + Bxy 2y2 + Cy2 = 3x2 + 2xy + y2(A 1)x2 + Bxy + (C 2)y2 = 3x2 + 2xy + y2

Luego: A 1 = 3 A = 4B = 2

C 2 C = 3Entonces:

A + B + C = 4 + 2 + 3 = 9 Rpta.: C

Resolucin 14Tenemos que:[(6x2 + 11x 35) + (3x2 6x)](9x2 + 3x 29) = mx + n[6x2 + 11x 35 + 3x2 6x] 9x2 3x + 29 = mx + n9x2 + 5x 35 9x2 3x + 29 = mx + n

2 x 6 = m x + nEntonces: m = 2 n = 6Luego: m + n = 2+ (6) m + n = 4 Rpta.: B

Resolucin 15 Sea la figura:

Vemos que:El permetro del cuadrado ABCD es:

4(4a) = 16x a = x

El permetro de la regin coloreada es:Permetro deregin coloreada =2(a + 4a)

=2(5a) = 10acomo: a = x

Permetro deregin coloreada = 10x Rpta.: C

Resolucin 16De la figura, podemos observar que:

CD = HG + GF + FNComo: HG = GF = FN CD = 3HG

3x = 3HG HG = x FN = x

Luego: AD = BC = 4x + 3Si: BC = BH + HCComo: BH = HC = FE

Permetro delrectngulo NFED = 6x + 3

Luego: Permetro de laregin coloreada = (6x + 3)+(6x + 3)Permetro de laregin coloreada = 12x + 6

Permetro de laregin coloreada = 6(2x + 1) Rpta.: D

Resolucin 20 Si: A + B = C (ax2 + bx + c) + (6x2 3x + 5) = 9x2 + 2x + 7(a + 6)x2 + (b 3)x + (c + 5)= 9x2 + 2x + 7Entonces: a + 6 = 9 a = 3

b 3 = 2 b = 5c + 5 = 7 c = 2

Luego: a + b + c = 3 + 5 + 2 a + b + c = 10 Rpta.: CResolucin 21 Hallamos: A + B + CA = x3y3 x2y2 + 3x3 + y3B = 2x3y3 + 2x2y2 + x3 y3 (+)C = x3y3 x2y2 + 4x3 A + B + C = 8x3 Rpta.: DResolucin 22Sea la diferencia igual a D D = (4x3 11x + 2) (2x3 x 9)

D = 4x3 11x + 2 2x3 + x + 9D = 2x3 10x + 11

Sea S la cantidad que se debe sumar: D + S = 2x3 + x 5

(2x3 10x + 11) + S = 2x3 + x 5S = 2x3 + x 5 (2x3 10x + 11)S = 2x3 + x 5 2x3 + 10x 11

S = 11x 16 Rpta.: BResolucin 23 Hallamos A + B C :(4x3y2 7x2y3 + 2x2y2) + (2x2y3 5y2x3 6x2y2)

(5x2y2 5x2y3 9x3y2) == 4x3y2 7x2y3 + 2x2y2 + 2x2y3 5y2x3 6x2y2

+5x2y2 + 5x2y3 + 9x3y2 = A + B C = x2y2

Luego: A B C x y xy+ = =2 2 Rpta.: D

UV|W|

BC = 2BH4x + 3 = 2BH

BH x= +4 32

FEx= +4 32

Permetro de laregin coloreada =

Permetro delrectngulo MBHG+

Permetro delrectngulo NFED

Si: Permetro delrectngulo MBHG =24 3

2x

x+ +FHGIKJ

FHG

IKJ

= + +FHGIKJ2

2 4 32

x xb g

Permetro delrectngulo MBHG = 6x + 3

Resolucin 17(A + B)2C = ((3x2 + 6x3 +2x 5) +(x2 4x3 + 5x 7)) 2(x3 x2 + 3x 6)(A + B)2C= (3x2 + 6x3 +2x 5 + x2 4x3 + 5x 7)

2x3 + 2x2 6x + 12(A + B)2C = 2x3 + 4x2 + 7x 12 2x3 + 2x2

6x + 12 (A + B)2C = 6x2 + x Rpta.: DResolucin 18(2P R)+Q = (2(x4 + 3x2 +5x)(2x4 + x2 + x3 3x + 2)) + (x3 13x + 2)(2P R)+ Q = (2x4 + 6x2 + 10x 2x4 x2

x3 + 3x 2) + x3 13x + 2(2P R)+Q = x3 + 5x2 + 13x 2 + x3 13x + 2 (2P R)+ Q = 5x2 Rpta.: C

Resolucin 19

E x y x y x y x y x= + + + +5 2 2 3 1 2b g e j

E x y x y x y x y x= + + + + +5 5 2 2 3 1 2b g

E x y x y y x x= + +5 5 2 2 2 2 2 2b gE x y x y y x x= + +5 5 2 4 4 4 2E = 5x 5y 2x + y 4y + 4x + 4 + 2x E = x 8y + 4 Rpta.: A

Resolucin 24

P + Q + R = (3x2 + 5y2 + 8xy) + (2y2 + 5x2 + xy) + (x2 y2 + xy)

P + Q + R = 9 x2 + 6 y2 + 10 xy

Luego: Suma decoeficientes = 9 + 6 + 10

Suma de coeficientes = 25 Rpta.. B

Coeficientes

Resolucin 25 Hallamos: A + B + CA = 6x2y + 3xy2 12xyB = 4x2y + 2xy2 + 16xy (+)C = x2y 5xy2 + 4xyA + B + C = 3 x2y + 8 xy

Luego: Suma decoeficientes = 3 + 8

Suma de coeficientes = 11 Rpta.: B

Coeficientes

UV|W|

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO(MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS Y PRODUCTOS NOTABLES). Pg.(168, 169, 170, 171)

NIVEL I

Resolucin 12(3x + 2)(2x + 3)(3x + 4)(4x + 3)==2(6x2 + 4x + 9x + 6)(12x2 + 9x + 16x + 12)= 12x2 + 8x + 18x + 12 12x2 9x 16x 12= 26x 25x = x Rpta.: D

Resolucin 2A =(x2 + x + 1)(x2 x + 1)A = ((x2 + 1)+ x)((x2 + 1) x)

Aplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2Obteniendo: A = (x2 + 1)2 - x2

A = ((x2)2 + 2(x2)(1)+ 12) x2A = (x4 + 2x2 + 1) x2

A = x4 + x2 + 1 Rpta.: CResolucin 3 Sea:

B = x2 (3x + 1)(3x + 2)+2(2x + 1)2Aplicamos:

(x + a)(x + b)=x2+(a + b)x + ab(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Obteniendo:B = x2 ((3x)2 + (1 + 2)3x + 12)

+2 ((2x)2 + 2(2x)(1) + 12)B = x2 (9x2 + 9x + 2) + 2(4x2 + 4x + 1)B = x2 9x2 9x 2 + 8x2 + 8x + 2

B = x Rpta.: B

Resolucin 4 Sea:M = (x + y + xy)(x y)x2y + y2(x + 1)M = ((x + y)+ xy)(xy)x2y + xy2 + y2

M = (x + y)(x y)+ xy(x y)x2y + xy2 + y2

Aplicamos: (a + b)(a b)= a2 b2Obteniendo:

M = x2 y2 + x2y xy2 x2y + xy2 + y2 M = x2 Rpta.: C

Resolucin 5* Hallamos A :

A = (2x 1)(3x + 2)A = (2x)(3x) + (2x)(2) + (1)(3x) + (1)(2)

A = 6x2 + x 2* Hallamos B :

B = (4x + 3)(x 2)B = (4x)(x) + (4x)(2) + (3)(x) + (3)(2)B = 4x2 5x 6Luego:(A + B) A = ((6x2 + x 2)+(4x2 5x 6))(6x2 + x 2)(A + B)A = (10x2 4x 8)(6x2 + x 2)(A + B)A = (10x2)(6x2) + (10x2)(x) + (10x2)(2)

+(4x)(6x2) + (4x)(x) + (4x)(2) +(8)(6x2) + (8)(x) + (8)(2)

(A + B)A = 60x4 + 10x3 20x2 24x3 4x2 + 8x 48x2 8x + 16

(A + B)A = 60x4 14x3 72x2 + 16 Rpta.: C

9x2 + 5x 35 9x2 3x + 29 = mx + n2x + (6) = mx + n

Comparando trminos, tenemos que: 2x = mx m = 2 n = 6Luego: m + n = 2 + (6) m + n =4 Rpta.: B

Resolucin 7N = (5x3 + 4x2 + 3x)(x + 2)

N = 5x3(x + 2) + 4x2(x + 2) + 3x(x + 2)N = (5x3)(x) + (5x3)(2) + (4x2)(x) + (4x2)(2)+ (3x)(x) + (3x)(2)N = 5x4 + 10x3 + 4x3 + 8x2 + 3x2 + 6x

N = 5 x4 + 14 x3 + 11 x2 + 6 x

Suma de coeficientes = 5 + 14 + 11 + 6 Suma de coeficientes = 36 Rpta.: C

Coeficientes

Menor coeficienteMayor coeficiente

Resolucin 6* Hallamos: P :

P = ( x + 6)(2x 3)P = (x)(2x) + (x)(3) + (6)(2x) + (6)(3)

P = 2x2 + 9x 18*

Hallamos Q :Q = (3x 1)(x + 4)Q = (3x)(x) + (3x)(4) + (1)(x) + (1)(4)

Q = 3x2 + 11x 4* Hallamos R :

R = (x 2)(x + 8)R = x2 + (2 + 8)x + (2)(8)

R = x2 + 6x 16Luego:P + (Q R) = (2x2 + 9x 18) + ((3x2 + 11x 4)

(x2 + 6x 16))P + (Q R) = 2x2 + 9x 18 + (3x2 + 11x 4

x2 6x + 16)P +(Q R) = 2x2 + 9x 18 + 2x2 + 5x + 12 P+(Q R) = 4x2 + 14x 6

Rpta.: B

Resolucin 8 Sea:P = (6x4 3x3 + 2x2 + 5x)(x2 + 3x 1)P = (6x4)(x2) + (6x4)(3x) + (6x4)(1) +(3x3)(x2) + (3x3)(3x)+(3x3)(1) +(2x2)(x2) + (2x2)(3x) + (2x2)(1) + (5x)(x2) + (5x)(3x) + (5x)(1)P = 6x6 + 18x5 6x4 3x5 9x4 + 3x3 + 2x4 + 6x3 2x2 +

5x3 + 15x2 5xP = 6x6 + 15x5 13x4 + 14x3 + 13x2 5xP = 6x6 + 15 x5 + (13) x4 + 14x3 + 13x2 5x

Resolucin 9 Del enunciado:((2x + 7)(3x 5)+ 3x(x 2)) (9x2 + 3x 29) = mx + n((2x)(3x) + (2x)(5) + (7)(3x) + (7)(5) + 3x2 6x) 9x2 3x + 29 = mx + n(6x2 + 11x 35 + 3x2 6x)9x2 3x + 29

= mx + n

Luego:Mayorcoeficiente

FH IK MenorcoeficienteFH IK = 15 (13) = 15 + 13 = 28

Rpta.: D

Resolucin 10Del enunciado, tenemos que:[(3x + 2)(x 4) (2x 4)(x + 6)]+(8x2 + 25x 16)

= ax2 +bx[(3x2 12x + 2x 8) (2x2 + 12x 4x 24)]+(8x2 + 25x 16) = ax2 + bx[(3x2 10x 8) (2x2 + 8x 24)] + 8x2 + 25x 16 = ax2 +

bx[3x2 10x 8 2x2 8x + 24] + 8x2 + 25x 16

=ax2 + bx

[x2 18x + 16] + 8x2 + 25x 16 = ax2 + bxx2 18x + 16 + 8x2 + 25x 16 = ax2 + bx

9x2 + 7x = ax2 + bx

Por comparacin de trminos, tenemos que: 9x2 = ax2 a = 9 7x = bx b = 7Luego: a + b = 9 + 7 a + b = 16 Rpta.: C

Resolucin 11 Sabemos que:rea del cuadrado = (Lado)2rea del rectngulo = (Lado mayor) (Lado menor)

De la figura: rea del cuadrado = (3x + 2)2

rea del cuadrado = ((3x)2 + 2(3x)(2)+ (2)2)

rea del rectngulo = (3x + 6)(3x 2)rea del rectngulo = ((3x)2 + (6 2)(3x)

+ (6)(2))rea del rectngulo = 9x2 + 12x 12

Luego:readelcuadrado

FHG

IKJ readelrectnguloFHG IKJ = (9x2 + 12x + 4)

(9x2 + 12x 12) = 9x2 + 12x + 4 9x2 12x + 12 = 16 Rpta.: E

Resolucin 12 Sabemos que:

rea del rectngulo = LadomayorFH IK LadomenorFH IK

readel tringulorectngulo =

cateto catetob g b g2

De las figuras, tenemos que:

readelrectngulo (x + 2)(8x + 10)

readelrectngulo= 8x

2 + 10x + 16x + 20

readelrectngulo = 8x

2 + 26x + 20

readel tringulo

rectngulo =+ +4 3 2 5

2x xb gb g

readel tringulorectngulo

28x 20x 6x 152

+ + +=

readel tringulorectngulo =

+ +8 26 152

2x x

Luego:

readelrectngulo

FHG

IKJ

FHGG

IKJJ2

readeltringulorectngulo =(8x2 + 26x + 20)

rea del cuadrado = 9x2 + 12x + 4

+ +FHGIKJ2

8 26 152

2x x

= 8x2 + 26x + 20 8x2 26x 15 = 5 Rpta.: C

Resolucin 13P = (x + 1)2 (x + 2)2 (x + 3)2 + (x + 4)2P = (x2 + 2x + 1) (x2 + 4x + 4) (x2 + 6x + 9) + (x2 + 8x + 16)P = x2 + 2x + 1 x2 4x 4 x2 6x 9 + x2 + 8x + 16

P = 10x 10x + 4 P = 4 Rpta.: B

Resolucin 14 Sea:

Q b ab a b ab= + + + 2 2 22 2 2 2 2e j b gAplicamos: m2 n2 = (m + n)(m n)

(m + n)2 = m2 + n2 + 2mn(m n)2 = m2 + n2 2mn

Obteniendo:

Q b ab a b ab a b ab= + + + + + 2 2 2 22 2 2 2 2e je j

Q b ab a b a b= + + + 2 22 2 2b g b gQ = 2b2 + + + 2 2ab a b a bb gb g

Q b ab a b= + + 2 22 2 2 2

Q = 2b2 + 2ab + (a2 b2)Q = 2b2 + 2ab + a2 b2Q = a2 + 2ab + b2

Q = (a + b)2 Rpta.: BResolucin 15

E = (x + 1)(x 1)(x2 + 1) + 1Aplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2Obteniendo:

E = (x2 12)(x2 + 1) + 1E = (x2 1)(x2 + 1) + 1E = ((x2)2 (1)2) + 1E = (x4 1) + 1= x4 1 + 1

E = x4 Rpta.: DResolucin 16 Aplicamos:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3b2a + b3 A = (z + 1)3

A = z3 + 3z2(1) + 3z(1)2 + (1)3A = z3 + 3z2 + 3z + 1

Aplicamos: (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 B = (z 1)3

Resolucin 19 Sea:

A x x= + 3 3 33 3e je jA x x= +3 3 33 3e je jA x x= +3 3 33 3e j e jA x x= + +3 3 33 3e je j

Aplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2

A x= + FHGIKJ3 3

3 2 2e j e jA = 3 + (x6 3)

A = x6 Rpta.: E

1 1 1 2 1 1 12 2 2

x y x x y y+FHG

IKJ =

FHG

IKJ +

FHG

IKJFHG

IKJ +

FHG

IKJ

1 1 1 2 12

2 2x y x xy y+FHG

IKJ = + + ......... (I)

Pero: x1 + y1 = a

1 1x y

a+ =

Tambin: xy = bReemplazando estos valores en (I), tenemos:

ax b y

22 21 2 1e j = + +

ab x y

22 2

2 1 1 = +

a bb

y xx y

2 2 2

2 22 = +

a bb

y xx y

2 2 2

22 = +

b ga b

by x

b

2 2 2

22 = +

b g

a b x yb

22 2

2 = +

x2 + y2 = b(a2b 2) x2 + y2 = a2b2 2b Rpta.: B

Resolucin 17 Aplicamos:

(a b)3 = a3 b3 3ab(a b)Obteniendo:(x 1)3 x3 + 1 =(x3 13 3(x)(1)(x 1) x3 + 1)

=x3 1 3x(x 1) x3 + 1= 3x(x 1)=3x[(1x)]= 3x(1 x) Rpta.: D

Resolucin 18 Aplicamos:a2 b2 = (a + b)(a b)

Simplificando, obtenemos:

E a a b a ba b a b

= + + b g b gb gb g

2

E = a(a + b)

E = a2 + ab Rpta.: E

B = z3 3(z)2(1) + 3(z)(1)2 (1)3B = z3 3z2 + 3z 1

Luego:B A =(z3 3z2 + 3z 1) (z3 + 3z2 + 3z + 1)B A = z3 3z2 + 3z 1 z3 3z2 3z 1 B A = 6z2 2 Rpta.: D


a2 b2 = (a + b)(a b) E = + 3 2 3 22 2e j e jE = + + + 3 2 3 2 3 2 3 2e j e j e j e jE = + + + +3 2 3 2 3 2 3 2

E = 2 3 2 2

Resolucin 21 Sabemos que:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Si ab = 4 a + b = 3 (3)2 = a2 + 2(4) + b2

9 = a2 + 8 + b2

a2 + b2 = 1 Rpta.: B


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

E = 4 6 E22

4 6= e j E2 = 96 Rpta.: E

Resolucin 23 Sea:

M = FHGIKJ

LNMM

OQPP

3 132

3 3 132

12

( ) ( )23 13 3 3 13M 1

4 2 =

M = 3 13 6 3 13 44

2e j e j

M = + 3 13 18 6 13 44

2e j

M = + 3 13 6 13 224

2e j

Aplicamos: (a b)2 = a2 2ab + b2

M = +FHG

IKJ + 3 2 3 13 13 6 13 22

4

2 2b ge j e j

M = + + 9 6 13 13 6 13 224

e j

M = + 22 6 13 6 13 224

M = 0 Rpta.: A


(a b)2 = a2 2ab + b2 P = (m 3n)2 4n(2n m) + 8

P = (m2 2(m)(3n)+(3n)2)8n2 +4mn + 8P = m2 6mn + 9n2 8n2 + 4mn + 8P = m2 + n2 2mn + 8P = (m n)2 + 8

Pero: m n = 8 P = (8)2 + 8 = 64 + 8 P = 72 Rpta.. C

Resolucin 25

A) (a + b)2 = (a + b)(a + b) ........ (Verdadero)B) a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2) ...(Verdadero)C) a2 + b2 = (a + b)(a + b)

= (a + b)2 ................. (Falso)D) a2 b2 = (a + b)(a b) ......... (Verdadero)E) a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) ...(Verdadero)

Rpta.: C

Resolucin 26 Sabemos que:

A B A B =Luego, aplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2Sea:

Q a b a b a b b= + FHIK FH

IK + 2

Q a b a b a b b= + FHGIKJ FH

IK +e je j 2

Q a b a b b= FHGIKJ FH

IK +2

2 2e j

Q a b a b b= FHIK FH

IK +2 2

Q a b b= FHIK +2

2

Q = a2 b + b Q = a2 Rpta.: BResolucin 27 Sabemos que:

a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)Si a + b = 3 ab = 3 a3 + b3 = (3)(a2 3 + b2)

a3 + b3 = 3(a2 + b2 3) ..... (I)Hallamos: a2 + b2

Sabemos que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2Si a + b= 3 ab = 3 (3)2 = a2 + 2(3) + b2

9 = a2 + b2 + 6a2 + b2 = 3 ..... (II)

Reemplazamos (II) en (I), obteniendo:a3 + b3 = 3(3 3) = 3(0)

a3 + b3 = 0 Rpta.: AResolucin 28 Aplicamos:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

nn

+FHGIKJ =

1 32

n nn n

22

2 1 1 3+ FHGIKJ +

FHG

IKJ =b g

nn

2221 3+ + =

nn

221 1+ =

..... (I)

Aplicamos: (a + b)(a b)= a2 b2

Ex

= 2

12 2 ; pero: x = 5

E =

= =2

5 1

25 1

242e j

E = 12 Rpta.: D

Resolucin 30 Aplicamos:(a + b)2 (a b)2 = 4ab Identidad de Legendre

R n nn

= + 3 36

2 2b g b g

R nn

n

n= =4 3

6126

b gb g

R = 2 Rpta.: B


(a + b)(a2 ab + b2) = a3 + b3(a b)(a2 + ab + b2) = a3 b3

P = (x + 1)(x2 x + 1)(x 1)(x2 + x + 1)P = (x + 1)(x2 x1 + 12) (x 1)(x2 + x1 + 12)

P = (x3 + 13 ) (x3 13)P = x3 + 1 x3 + 1

P = 2 Rpta.: B

Adems: nn

+FHGIKJ =

1 32

nn

+ =1 3 ...... (II)

Aplicamos: a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)

nn

nn

n nn n

33

221 1 1 1+ FHG

IKJ = +

FHG

IKJ +

FHG

IKJ

FHG

IKJ

nn

nn

nn

33

22

1 1 1 1+ = +FHGIKJ + FHG

IKJ

Reemplazamos (I) y (II):n

n3

31 3 1 1 3 0+ = =e jb g b g

nn

331 0+ = Rpta.: B


(a + b)(a b) = a2 b2

Px X

X= + ++

2 2 952

b gb g

Px

x= ++

2 2

2

2 9

5e j

P xx

x

x= ++ =

++

2

2

2

24 9

555

P = 1 Rpta.: C


(a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)Identidad de Legendre

M x xx

= + + 1 1 22 2

2b g b g

Mx

x= + 2 1 2

2 2

2e j

M xx

x

x= + =2 2 2 2

2

2

2

2

M = 2 Rpta.: EResolucin 33

E x xx x

x x

x x= + + =

+ + +

1 11 1

1 11 1

b g b gb gb g b gb g

Ex x

= +2

1 1b gb g


(a + b)2 (a b)2 = 4ab A = ((x + y)+1)2 ((x + y) 1)2

A = 4(x + y)(1) A = 4(x + y) Rpta.: A

Resolucin 35R = (x2 7x + 11)2 (x 2)(x 5)(x 3)(x 4)R = (x2 7x + 11)2 (x2 7x + 10)(x2 7x + 12)Hacemos: a = x2 7x + 11 a 1 = x2 7x + 10 a + 1= x2 7x + 12Reemplazamos estos valores en R

R a a aDiferencia decuadrados

= +b g b gb g2 1 1

R = a2 (a2 12)R = a2 a2 + 1

R = 1 Rpta.: C

S = (x2)(5x2)+(x2)(x)+(x2)(4)+(x)(5x2) +(x)(x) + (x)(4) + (2)(5x2) + (2)(x) +(2)(4)S = 5x4 + x3 4x2 5x3 x2 + 4x + 10x2 + 2x 8

S = 5x4 4x3 + 5x2 + 6x 8Rpta.: B

Resolucin 2A = (x2 + x + 1)(x2 x + 1)A = ((x2 + 1) + x)((x2 + 1)x)

Aplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2 A = (x2 + 1)2 x2Aplicamos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 A = ((x2)2 + 2(x2)(1) + 12) x2

A = x4 + 2x2 + 1 x2 A = x4 + x2 + 1 Rpta.: C

NIVEL II

Resolucin 1Reemplazando los valores en:

S = P(Q + R)S = (x2 x + 2)((3x2 x 1)+(2x2 + 2x 3))S = (x2 x + 2)(5x2 + x 4)

Resolucin 3 Reemplazando los valores en:[2A 3B]2 = [2(8x3y2 + 6x2y2 + 3x2y3)

3(4y2x2 + 5x3y2 + 2x2y3)][2A 3B]2 = [16x3y2 + 12x2y2 + 6x2y3

12x2y2 15x3y2 6x2y3][2A 3B]2 = 16x3y2 15x3y2 [2A 3B]2 = x3y2 Rpta.: A

Resolucin 4Sea M la expresin a agregar. Luego, segn el enuncia-do:

(3x + 2)2 + M = (3x + 5)(3x + 7)Aplicamos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab((3x)2 + 2(3x)(2) + (2)2) + M= (3x)2 + (5 +7)(3x) + 57

(9x2 + 12x + 4) + M = 9x2 + 36x + 35M = 9x2 + 36x + 35 (9x2 + 12x + 4)M = 9x2 + 36x + 35 9x2 12x 4

M = 24x + 31 Rpta.: A

Resolucon 5 Sea N la expresin que se debe restar, se-gn el enunciado tenemos que:

(6x + 5)2 N = (9x + 5)(4x 3)Aplicamos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2((6x)2 + 2(6x)(5) + (5)2) N = 36x2 7x 15(36x2 + 60x + 25) N = 36x2 7x 15(36x2 + 60x + 25) (36x2 7x 15) = N36x2 + 60x + 25 36x2 + 7x + 15 = N N = 67x + 40 Rpta.: B

Resolucin 6

*(x + 2)(3x 3) = (x + 2)[3(x 1)]= 3(x + 2)(x 1)

*(x + 2)(3x 3) = (2 + x)(3x 3)

*(x + 2)(3x 3) = (2 + x)[(3 3x)]= (2 + x)(3 3x)

*(x + 2)(3x 3) (2 + x)(3 3x)

*(x + 2)(3x 3) = 3x2 + 3x 6

Rpta.: D

Resolucin 7 Efectuando:(a + b)x + (b + c)y[(a b)x-(b c)y]2b(x + y)=(a + b)x + (b + c)y (a b)x+(b c)y 2b(x + y)=x((a + b)(a b)) +y ((b + c) + (b c))2b(x + y)=x(a + b a + b) + y(b + c + b c)2b(x + y)=2bx + 2by 2bx 2by = 0 Rpta.: C

Resolucin 8De la figura, podemos ver que:

Sabemos que:

*rea delcuadrado =(Lado)2

*readelrectngulo =(Lado mayor)(Lado menor)

Luego:

reacoloreada =

readelrectnguloABCD

FHGG

IKJJ

rea delcuadradoQRCP

readelrectngulo =6x

2 + 22x + 20

Luego:reacoloreada =

rea delrectngulo

FHG

IKJ rea deltringulo

FHG

IKJ

= 6x2 + 22x + 20(2(x2 + 4x + 4)) =6x2 + 22x + 20 (2x2 + 8x + 8)

=6x2 + 22x + 20 2x2 8x 8

reacoloreada = 4x

2 + 14x + 12 Rpta.: C

B = 6x4 + 9x3 15x2 4x2 6x + 10 B = 6x4 + 9x3 19x2 6x + 10C = 13x3 20x2 11x + 25Luego: S = A B + C S = (6x4 4x3 + x2 + 6x 15)

(6x4 + 9x3 19x2 6x +10) +(13x3 20x2 11x + 25)

S = 6x4 4x3 + x2 + 6x 15 6x4 9x3 + 19x2 + 6x 10 + 13x3 20x2 11x + 25S = 13x3 + 20x2 + 12x 25 + 13x3 20x2

11x + 25 S = x Rpta.: A

Resolucin 9De la figura podemos ver que:El tringulo BAM es rectngulo e issceles, es decir: AB =AM = 2x + 4

readeltringulo=

AB AMb g b g2

= + +2 4 2 42

x xb gb g = +2 4

2

2xb g

= + +4 16 162

2x x = + +4 4 4

2

2x xe j

readeltringulo = 2(x2 + 4x + 4)

readelrectngulo =(AD)(CD)

=(3x + 5)(2x + 4)

readel cuadradoQRCP = ((4x + 3) (3x + 1))2

=(x + 2)2=x2 + 4x + 4

readel rectnguloABCD = (7x + 2)(4x + 3)

= 28x2 + 29x + 6reacoloreada

=(28x2+29x+6)(x2+4x+4) = 28x2 + 29x + 6 x2 4x 4

reacoloreada = 27x

2 + 25x + 2

Rpta.: A

Resolucin 10Sea M la expresin que hay que sumar, segn el enun-ciado tenemos que:{x(x + y) x(x y)}[2(x2 + y2)3(x2 y2)]+M

= 2x3y + 3xy3

{x((x + y)(x y))}[2x2 + 2y2 3x2 +3y2]+M=2x3y+ 3xy3

Resolucin 11A = (2x2 3)(3x2 2x + 5)A = (2x2)(3x2) + (2x2)(2x)+ (2x2)(5)

+ (3)(3x2) + (3)(2x) + (3)(5)A = 6x4 4x3 + 10x2 9x2 + 6x 15 A = 6x4 4x3 + x2 + 6x 15B = (3x2 2)(2x2 + 3x 5)B = (3x2)(2x2) + (3x2)(3x) + (3x2)(5)

+ (2)(2x2) + (2)(3x) + (2)(5)

{x(x + y x y)}[5y2 x2]+M = 2x3y + 3xy3{2xy}[5y2 x2]+M = 2x3y +3xy3

(10xy3 2x3y)+M = 2x3y + 3xy3M = (2x3y + 3xy3) (10xy3 2x3y)M = 2x3y + 3xy3 10xy3 + 2x3y M = 4x3y 7xy3 Rpta.: A

Resolucin 12E = A(B + 1)+B(1 A) CE = AB + A + B BA C

E = A + B CReemplazando los valores dados:E = (3x2 + 5xy 2y2) + (3y2 4xy + 5x2)

(xy + 5y2 + 8x2)E =3x2 + 5xy 2y2 + 3y2 4xy + 5x2 xy

5y2 8x2E = 8x2 + xy + y2 xy 5y2 8x2 E = 4y2 Rpta.: D

Resolucin 13E = (mx + n)(x2 + x + 1)E = (mx)(x2) + (mx)(x) + (mx)(1) + (n)(x2) + (n)(x) + (n)(1)E = mx3 + mx2 + mx + nx2 + nx + nE = mx3 + (m + n)x2 + (m + n)x + nSegn el enunciado:mx3 + (m + n)x2 + (m + n)x + n = 4x3 + Ax2 + Bx + 5Por comparacin de trminos, tenemos que:

m = 4 ; n = 5m + n = A ; m + n = B

A = 4 + 5 ; B = 4 + 5A = 9 ; B = 9

Luego: A + B + m + n = 9 + 9 + 4 + 5 A + B + m + n = 27 Rpta.: B

Resolucin 14R = (ax + b)(x2 x + 1)R = (ax)(x2) + (ax)(x) + (ax)(1) + (b)(x2)

+ (b)(x) + (b)(1)R = ax3 ax2 + ax + bx2 bx + bR = ax3 (a b)x2 + (a b)x + bSegn el enunciado:ax3 (a b)x2+ (a b)x + b =7x3 mx2 + nx + 4

Por comparacin de trminos, tenemos que:a = 7 b = 4

Tambin: m = a b m = 7 4 n = a b n = 7 4

m = 3 n = 3Luego: a + b + m + n = 7 + 4 + 3 + 3 a + b + m + n = 17 Rpta.. C

Resolucin 15

T = + + 3 1 3 1 3 14 4e je je jAplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2

T= + FHGIKJ3 1 3 1

4 2 2e j e j

T = + 3 1 3 1e je jT = 3 12 2e j = 3 1

T = 2 Rpta.: C


(a b)2 = a2 2ab + b2 (x y)2 = x2 2xy + y2

(x y)2 = (x2 + y2) 2(xy)Pero: x2 + y2 = 26 ; xy = 5 (x y)2 = (26) 2(5)

(x y)2 = 26 10 = 16x y = 4

Luego: x y = =2

42

2 Rpta.: E


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y)2 = (x2 + y2)+ 2xySi: x + y = 5 x2 + y2 = 11 (5)2 = (11) + 2xy

25 11 = 2xy14 = 2xyxy = 7

Aplicamos: a3 + b3 =(a + b)(a2 ab + b2) x3 + y3 = (x + y)(x2 xy + y2)

x3 + y3 = (x + y)((x2 + y2) xy)Si: x + y = 5

x2 + y2 =11xy = 7

x3 + y3 = (5)((11) 7) x3 + y3 = 20 Rpta.: D


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y)2 = x2 + y2 + 2(xy)Pero: x + y = 2 xy = 3 (2)2 = x2 + y2 + 2(3)

4 = x2 + y2 + 6

x2 + y2 = 2Aplicamos: a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) x3 + y3 = (x + y)(x2 xy + y2)

x3 + y3 =(x + y)((x2 + y2) xy)Si: x + y = 2

xy = 3x2 + y2 = 2


xx

x xx x

FHGIKJ =

FHG

IKJ +

FHG

IKJ

1 2 1 12

22

b g

xx

xx

FHGIKJ = +

1 1 22

22

Pero: xx

221 7+ =

xx

FHGIKJ = =

1 7 2 52

xx

=1 5

Luego: xx

xx

22

221 1 = FHG

IKJ

Aplicamos: a2 b2 =(a + b)(a b)

xx

xx

xx

221 1 1 FHG

IKJ = +

FHG

IKJ FHG

IKJ

Pero: xx

+ =1 3 x

x =1 5

xx

221 3 5 FHG

IKJ = b g e j

2 21

x 3 5x

= Rpta.: A

Aplicamos: (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2) Identidad de Legendre

Suma dereas = 2(x2 + y2) Rpta.: E

Resolucin 19(x + a)(x 2) = x2 + bx + 6x2 + (a + (2))x + (a)(2) = x2 + bx + 6x2 + (a 2)x + (2a) = x2 + bx + 6(a 2)x + (2a) = b x + 6Por comparacin de trminos, tenemos que:

2a = 5 a = 3a 2 = b

(3) 2 = b b = 5Luego: a b =(3)(5) a b = 2 Rpta.: CResolucin 20

Sabemos que: rea del cuadrado = (Lado)2

Lado del cuadrado 1: x + y rea del cuadrado 1 = (x + y)2 Lado de cuadrado 2: x y rea del cuadrado 2 = (x y)2Suma dereas =

readelcuadrado 1

FHG

IKJ + readelcuadrado 2

FHG

IKJ

Suma de reas = (x + y)2 + (x y)2

x3 + y3 = (2)((2)3)x3 + y3 = 10

Luego: R x yx y

= ++ =

3 3

2 2102

R = 5 Rpta.: D


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y)2 = x2 + y2 + 2(xy)Reemplazando las ecuaciones (1) y (2), tenemos que:

2 6 2 42 2 2e j b g= + +x y

24 = x2 + y2 + 8x2 + y2 = 16 ........ (3)


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

xx

x xx x

+FHGIKJ = +

FHG

IKJ +

FHG

IKJ

1 2 1 12

22

b g

xx

xx

+FHGIKJ = + +

1 1 22

22

Si: xx

+ =1 3 3 1 22 2 2b g = + +x x9 2 12 2 = +x x

xx

221 7+ =

Aplicamos: (a b)2 = a2 2ab + b2(x y)2 = x2 2xy + y2(x y)2 = (x2 + y2) 2(xy)

Reemplazando las ecuaciones (1) ; (2) y (3); tenemos que:(x y)2 = 16 2(4)(x y)2 = 8

x y = 8 Rpta.: E


(a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)(a + b)2 (a b)2 = 4abIdentidades de Legendre

Tx y x y

x x x x

x y

x x= + +

+ =

+FHGIKJ

2 3 2 2 3 2

2 2 2 2 2

2 2 3 2

2 2

2

4e j e je j e j

e j e j

Tx y

xx

x y= + = +2 1 2

1 4 6

2

22

4 6

4

e j

Pero: x4 + y6 = 4

T x y= + = =4 6

242

2 Rpta.: B


(a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)(a + b)2 (a b)2 = 4abIdentidades de Legendre

R x y x yx y x y

x yx y

= + + + = +b g b gb g b g e j

2 2

2 2 2 24

2

Si x2 + y2 = 3xy

R xy

xyxyxy

= =42 3

42

36b g

R = 2/3 Rpta.: D

Resolucin 25R = (x 3)(x + 2)(x 4)(x + 3)R = (x2 +(3 + 2)x + (3)(2))(x2 + (4 + 3)x +(4)(3))R = (x2 x 6)(x2 x 12)R = ((x2 x)-6)((x2 x) 12)De la condicin: x

x+ =2 1

x

x

2 2 1+ =

x2 + 2 = x x2 x = 2Reemplazamos el valor hallado en R, obteniendo:

R = ((2)6)((2)12)R = (8)(14)

R = 112 Rpta.: C

Resolucin 26La expresin se puede escribir de la manera siguiente:

P = +LNMOQP2 2 1 2 1 41

4e j e j

P = FHGIKJ +

LNMM

OQPP2 2 1 2 1 41

2 2 e j e j

P = +FHIK +

LNMM

OQPP2 2 2 2 1 1 2 1 41

2 22

e j

( ) ( )2P 2 3 2 2 2 1 41 = + ( )( ) ( ) ( )22P 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 41 = + +

P = +2 17 12 2 2 1 41 e je j

P = + +LNMOQP2 17 2 17 12 2 12 2 41

2

P = +2 29 2 17 24 41

P = 2 29 2

P = = =29 2 29 2 582 Rpta.: C


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

x x+ = +FH IK12 2

2 2 2e jx2 + 2x x1 + (x1)2 = 2 2 2+x2 + 2 + x2 = 2 2 2+

x2 + x2 = 2 2

x x2 22 2

2 2+ =e j e j(x2)2 + 2(x2)(x2) + (x2)2 = 8x4 + 2 + x4 = 8

x4 + x4 = 6 Rpta.: CResolucin 28 Aplicamos:

a2 b2 = (a + b)(a b)M = (x + 5)(x + 4)(x2 32)(x 2)(x 1)M = (x + 5)(x + 4)(x + 3)(x 3)(x 2)(x 1)M = (x + 5)(x 3)(x + 4)(x 2)(x + 3)(x 1)M = (x2 + 2x 15)(x2 + 2x 8)(x2 + 2x 3)Pero: x2 + 2x = 9M = (9 15)(9 8)(9 3)M = (6)(1)(6) M = 36 Rpta.: C

Luego:

Q x y x yx y x y

= + +

b g b ge j e j

4 4

2 2 2 2 2 22 2

Qx y x y

x y x y=

+ +

b g b ge j e j

2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

Aplicamos: a2 b2 = (a + b)(a b)(a + b)2 (a b)2 = 4ab

2 2 2 2

Q

x y x y x y x y

x y=

+ + + b g b g b g b ge je j

2 2 2 2

2 24 2

Qx y xy

x y=

+2 48

2 2

2 2e j

M a a= + +6 64 1 1 1e je j

M a= FHGIKJ +

6 2 24 1 1e j b g

M a a= + =124 1241 1 M = a3 Rpta.: B

Resolucin 29La expresin dada se puede escribir de la siguiente mane-ra:

E = + + + 2 3 5 2 3 5 2 6e je j e je jAplicamos: (a + b)(a b)= a2 b2

E = + FHGIKJ 2 3 5 2 6

2 2e j e j

E = + + FHIK 2 2 2 3 3 5 2 6

2 2e je jE = + 5 2 6 5 2 6E = 0 Rpta.: B

Resolucin 30

*rea del cuadrado = (Lado)2

rea del cuadrado = (x + y)2

*

readeltringulo =

base alturab g b g2

readeltringulo=

x y2

Segn el enunciado, tenemos que:

x y x y+ = FHGIKJb g

2 82

(x + y)2 = 4xyx2 + 2xy + y2 = 4xyx2 + 2xy + y2 4xy = 0x2 2xy + y2 = 0(x - y)2 = 0

x y = 0 x = y


(a b)(a2 + ab + b2) = a3 b3

M a a a a a= + + + + +1 1 1 1 12 3 64 b ge je je j

M a a a= + + +3 3 3 64 1 1 1 1e je je j

M a a a= + + +3 3 64 1 1 1 1e je je jAplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2

M a a= FHGIKJ + +

3 2 2 64 1 1 1e j b g e j

Qxy x y

xy= +8

8

2 2

2e jb g

Q x yxy

= +2 2

; pero: x = y

Q x xx x

x

x= + =

2 2 2

22

Q = 2 Rpta.: B

Resolucin 32La expresin dada se puede escribir de la siguiente manera:

E = + FHIK

FHG

IKJ2 3 2 3

2 3


E = +FHIK +

FH

IK FH

IK +

FH

IK

FHG

IKJ2 3 2 2 3 2 3 2 3

2 2 3

E = + + + FHGIKJ2 3 2 2 3 2 3 2 3

3

e je j

E = + FHGIKJ4 2 2 3 2 3

3e je j

Aplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2

E = FHGIKJ4 2 2 3

2 23

b g e j

E = 4 2 4 3 3e jE = (4 2)3 E = 8 Rpta.: C

(a + b) + (a b) = 2(a + b )

Resolucin 33 Sabemos que:Permetro del cuadrado = 4(Lado)

Permetrodelcuadrado ABCD = 8(2x +1) = 4(Lado)

8 2 14x Lado+ =b g b g

Lado delcuadrado ABCD = 2(2x + 1)

De la figura, podemos ver que:Lado delcuadrado ABCD = 2

Lado delcuadrado EFGD

FH IK

2(2x +1) = 2 Lado delcuadrado EFGDFH IK2 2 1

2x +b g

= Lado delcuadrado EFGD

Lado delcuadrado EFGD = 2x + 1

Luego:

reacoloreada =

readelcuadradoABCD

FHGG

IKJJ +

readelcuadradoEFGD

FHGG

IKJJ

reacoloreada =

Lado delcuadrado

ABCD

FHG

IKJ

2

+ Lado delcuadrado

EFDG

FHG

IKJ

2

reacoloreada = 2 2 1 2 1

2 2x x+ + +b gc h b g

reacoloreada = 4(2x + 1)2 +(2x +1)2

reacoloreada = 5(2x + 1)2

reacoloreada = 5((2x)2 + 2(2x)(1) + 12)

reacoloreada = 5(4x2 + 4x + 1) Rpta.: C

Resolucin 34 Sea:M = (x + y + z)3 (x + y)3 3(x + y + z)(x + y)zHacemos: a = x + y

M = (a + z)3 a3 3(a + z)(a)zM = (a + z)3 a3 3az(a + z)

Aplicamos:(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3M = (a3 + 3a2z + 3az2 + z3) a3 3az(a + z)M = a3 + 3a2z + 3az2 + z3 a3 3a2z 3az2

M = z3 Rpta.: CResolucin 35

Sabemos que: 2 = 5 3Luego:La expresin dada se puede escribir de lasiguiente manera:

M = + + + +5 3 5 3 5 3 5 3 32 2 4 4 84 b gb ge je jAplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2

M = + + +5 3 5 3 5 3 32 2 2 2 4 4 84 e je je j

M = FHGIKJ + +5 3 5 3 3

2 2 2 2 4 4 84 e j e j e j

M = + +5 3 5 3 34 4 4 4 84 e je j

M = FHGIKJ +5 3 3

4 2 4 2 84 e j e j

M = +5 3 38 8 84

M = =5 584 2 M = 25 Rpta.: E

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO(DIVISIN DE POLINOMIOS Y COCIENTES NOTABLES) Pg.(193, 194, 195, 196)

NIVEL I

Resolucin 1

Sabemos que: D = d q + R .... (I)

Segn los datos :d = (x2 + 1)q = (x + 2)R = (x 3)

Resolucin 8 Aplicamos:a2 b2 = (a + b)(a b)

Mx x x

x x= + + + +

4 6 1

4 7 1

2 2 2

2e j

Mx x x x x x

x x=

+ + + + + + +

4 6 1 4 6 1

4 7 1

2 2

2e je j e je j

Mx x x x

x x= + + + ++ +

4 7 1 4 5 1

4 7 1

2 2

2e je j

M = 4x2 + 5x + 1 Rpta.: E

Residuo = 5x + 14 Rpta.: E

Reemplazando en (I) tenemos que:

D = (x2 + 1)(x + 2) + (x 3)D = x3 + 2x2 + x + 2 + x - 3

D = x3 + 2x2 + 2x 1 Rpta.: BResolucin 2Dividimos entre 4 al dividendo y al divisor

64 36 84

4 14

4 2x x x x + :

16 9 2 14

4 2x x x x + :

Aplicamos el mtodo de Ruffini:

Resolucin 4Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:

cociente: 16x3 + 4x2 8x Rpta.: CResolucin 3Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:

Cociente: x 4Residuo: 8x 4

Luego:

Suma de coeficientesdel residuo = 8 +(4)= 4

Rpta.: D

Cociente = x + 1 Rpta.: A

Cociente = x2 3x 11Residuo = 34x2 + 2x + 12 Rpta.: C

Resolucin 7 Por el teorema delResto: x 1= 0 x = 1Reemplazamos el valor x = 1 en el dividendo:Dividendo = 6x3 5x2 4x + 4Residuo(R) = 6(1)3 5(1)2 4(1) + 4

= 6 5 4 + 4 R = 1 Rpta.: A

Resolucin 5 Por el teorema delResto: x + 3 = 0 x = 3Reemplazamos el valor x = -3, en el dividendoDividendo = x4 2x2 6Residuo(R) = (3)4 2(3)2 6 = 81 2(9) 6 R = 57 Rpta.: DResolucin 6Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:


Resolucin 11Por el teorema del Resto:

x 2= 0 x = 2Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo:Dividendo= x4 2x3 + 4x2 x + 1Residuo(R) = (2)4 2(2)3 + 4(2)2 (2) + 1

= 16 2(8) + 4(4) 2 + 1 R = 15 Rpta.: C

Residuo = 19x (1 + 3k) Por el dato: residuo = 19x 7 19x (1 + 3k) = 19x 7

(1 + 3k) = 71 + 3k = 7

k = 2 Rpta.: D

Resolucin 10La expresin dada se puede escribir de la siguiente mane-ra:

Ex x y x y y

x y= +

3 2 2 34 4e j

E x x y x y yx y

= + 3 2 2 34 4

Ex x y y x y

x y= +

2 2 24b g e j

E x x y y x y x yx y

= + + 2 4b g b gb g

Ex y x y x y

x y= + +

b g b ge j2 4

E = x2 + 4xy + 4y2E = x2 + 2(x)(2y) + (2y)2

E = (x + 2y)2 Rpta.: B

Resolucin 12Por el teorema del Resto:

x 2 = 0 x = 2Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo:Dividendo = 4x5 2x3 + kx 2Como el dividendo es divisible por (x - 2), el residuo debeser cero

Residuo(R) = 4(2)5 2(2)3 + k(2)2 = 0 =4(32) 2(8) + 2k 2 = 0 110 + 2k = 0

110 = 2k k = 55 Rpta.: EResolucin 13Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:

Resolucin 14Por el mtodo de Horner, obtenemos:

Como: 5x3 2x2 + ax b es divisible por x2 + 1Entonces, la divisin es exacta.O sea que:i) a 5 = 0 a = 5ii) b + 2 = 0 b = 2 Rpta.: A

Como: residuo = 0 b a = 0 a = b Rpta.: B

Resolucin 15 Como: x3 ax x + b es divisible por x2 + x aEntonces, la divisin debe ser exacta.O sea, el residuo es igual a cero. Dividendo = x3 (a + 1)x + bAplicando el mtodo de Horner, obtenemos:

Resolucin 16 Sea el cociente notable:

x yx y

n

n

20

5

+Nmero detrminos =

205nn=

20 5 = n2

100 = n2 n = 10 Nmero detrminos =

2010

= 2 Rpta.: A

NIVEL II



Cociente = x2 + 3x + 2 Rpta.. A

Cociente = x2 + 2x + 3 Rpta.:CResolucin 3Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:

Cociente = x3 + x2 + 2x + 2Suma de coeficientesdel cociente = 1 + 1 + 2 + 2

Suma de coeficientesdel cociente = 6 Rpta.. A

Residuo = 4x + 2 Rpta.: B

Residuo: 7x + 15 Rpta.: A

4

Resolucin 17Hallamos el nmero de trminos (n):

n = 311 n = 31

Por dato: k = 14 Como "K" es par, eltrminoser negativoFH IK

Luego: Tk = x yn k k 1 T14 = x31-14 y141 T14 = x17 y13 Rpta.: EResolucin 18Por el teorema del Resto:

x 2= 0 x = 2Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo:Dividendo = 2x4 8x2 + 7x 11Residuo(R) = 2(2)4 8(2)2 + 7(2) 11

= 2(16) 8(4) + 14 11 R = 3 Rpta.: AResolucin 19Por el teorema del Resto:

x 4= 0 x = 4Reemplazamos el valor x = 4 en el dividendo:Dividendo = (x 3)8 + 16Residuo(R) = (4 3)8 + 16 = 18 + 16 R = 17 Rpta.: AResolucin 20Por el teorema del Resto:

x + 1 = 0 x = 1Reemplazamos el valor x = 1 en el dividendo:Dividendo = 4x6 + 2x + aResiduo(R) = 4(1)6 + 2(1) + a = 4 2 + a R = 2 + aPor dato: R = 7 2 + a = 7

a = 5 Rpta.: C



Residuo= (M + 17)x + (N 11)Por dato: Residuo = 2x+ 3 (M + 17)x + (N 11) = 2x + 3Por comparacin de trminos, tenemos:i) M + 17 = 2 M = 15ii) N 11 = 3 N = 14Luego: M + N = (15)+ 14 M + N = 1 Rpta.: B



Cociente = x3 + x2 + 2x + 3Luego:Suma de coeficientesdel cociente = 1 + 1 + 2 + 3

Suma de coeficientesdel cociente = 7 Rpta.: B

Resto= (A 4)x + (B + 12)Por dato: Resto = 3x + 14 (A 4)x + (B + 12) = 3x + 14Por comparacin de trminos, tenemos que:i) A 4 = 3 A = 7ii) B + 12= 14 B = 2Luego: A + B = 7 + 2

A + B = 9 Rpta.: D


Resolucin 9Como la divisin es exacta, entonces

Residuo = 0

Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:

Como residuo = 0i) a + 9 = 0 a = -9ii) b + 9 = 0 b = -9 ab =

=99

1 Rpta.: A

Como la divisin es exacta, residuo = 0 i) m + 8= 0 m= 8

ii) n + 3 = 0 n = 3 mn = (8)(3) = 24 Rpta.. C


Resolucin 11 Por el teorema del Resto:x + 2= 0 x = 2

Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo:Dividendo = x4 + 3x3 + 2x2 + 5x + 4Residuo(R) = (2)4 + 3(2)3 + 2(2)2 + 5(2)+4

= 16 + 3(8)+2(4)10+4 R = 6 Rpta.. D

Como la divisin es exacta, entonces:R = 0

28 + 4a = 0

a = 7 Rpta.: B

Residuo= (a a3)x + (1 a2)Como el residuo es un polinomioidnticamente nulo, tenemos que:


Resolucin 15Por el teorema del Resto, tenemos que:

x2 + 1 = 0 x2 = 1Reemplazamos el valor x2 = 1 en el dividendoDividendo = (x2)2 + 2(x2) + 5Residuo(R) = (1)2 + 2(1) + 5 = 1 2 + 5 R = 4 Rpta.: A

Residuo = 6x + 7

TrminoIndependiente = 7 Rpta.. D


x 2= 0 x = 2Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo:Dividendo = 2x7 4x6 + 2x + 3Residuo(R)= 2(2)7 4(2)6 + 2(2) + 3

=2(128) 4(64) + 4 + 3 R = 7 Rpta.: CResolucin 14Por el teorema del Resto, tenemos que:

2x + n = 0 x = n2

Reemplazando el valor x = n2 en el dividendo:Dividendo = 2x3 + nx2 4x + nResiduo(R) = 2 FHG

IKJ +

FHG

IKJ

FHG

IKJ +

nn

n nn

2 24

2

3 2

= FHGIKJ +

FHG

IKJ + +2 8 4 2

3 2nn

nn n

= + +n n n3 3

4 43

R = 3nPor dato: R = 15 3n = 15 n = 5 Rpta.: A

Trminoindenpendiente

Cociente = 3x2 + 7x + 6Luego: el cociente disminuido en (3x2) 3x2 + 7x + 6 (3x2) = 7x + 6 Rpta.: CResolucin 18Aplicando el teorema del Resto, tenemos que:

x 2= 0 x = 2Reemplazando el valor x = 2 en el dividendo:Dividendo = 3x4 2x3 + ax2 x 2Residuo(R) = 3(2)4 2(2)3 + a(2)2 2 2

= 3(16)2(8) + 4a 4 R = 28 + 4a


x 1 = 0 x = 1Reemplazamos el valor x = 1 en el dividendo:Dividendo = x9 + x8 + x2 + x + 1Residuo(R) = (1)9 + (1)8 + (1)2 + (1) + 1

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1

R = 5 Rpta.: DResolucin 17Aplicando el mtodo de Ruffini:Igualamos el divisor a cero:

x 3 = 0 x = 3

Resolucin 19Aplicamos el mtodo de Horner, obtenemos:

Resolucin 21Por el torema del Resto, tenemos que:

xn + 1 = 0 xn = 1Reemplazamos el valor xn = 1 en el dividendo.Dividendo = x3n + 3xn + 2x4n + 12

= (xn)3 + 3(xn) + 2 (xn)4 + 12Residuo(R) = (1)3 + 3(1) + 2(1)4 + 12

= 1 3 + 2(1) + 12 R = 10 Rpta.: D

Residuo = m 1Como el resto es nulo, entonces:

Residuo = 0 m 1 = 0 m = 1 Rpta.: D


x a = 0 x = aReemplazamos el valor x = a en el dividendo:Dividendo = (b 2a2)x3 + 2a2x + x5 + ax4

+(a ab)x2 + 5 3a3Residuo(R) = (b 2a2)a3 + 2a2a + a5 + aa4

+(a ab)a2 + 5 3a3 = a3b 2a5 + 2a3 + a5 + a5 + a3 a3b + 5 3a3 = 2a5 + 3a3 + 2a5 + 5 3a3

R = 5 Rpta.: D

i) a a3 = 0 a(1 a2) = 0a = 0 1 a2 = 01 = a2 a = 1

ii) 1 a2 = 0 1 = a2 a = 1 a = 1 Rpta.: C


Resolucin 23

Si x yx y

n n+

1 3 4

2 es un cociente notable, se debe cumplir:

n n+ = 11

3 42

2(n + 1) = 3n 42n +2 = 3n 4

n = 6 Rpta.: A

Resolucin 24

Nmero detrminos =

3n+ 82

= 2 11

n

3n + 8 = 2(2n 1)3n + 8 = 4n 2

10 = n

Luego: Nmero detrminos = = 2 1

12 10 1

1n b g

Nmero detrminos = 19 Rpta.: D

Resolucin 25

Nmero detrminos =

=4 53

22

n n

4n 5 = 3n n = 5

Luego: Nmero detrminos = = 4 53

4 5 53

n b g

Nmero detrminos = 5 Rpta.: B

Resolucin 26La expresin dada se puede escribir de la manera siguiente:

( ) ( )5 54 320 154 3 4 3

x yx yx y x y

++ =+ +Aplicamos:

x yx y

x x y x y yn n

n n n n++ = + +

1 2 3 2 1 ...

x yx y

4 5 3 5

4 3e j e j+

+ =(x4)4(x4)3(y3) + (x4)2(y3)2

(x4)(y3)3 + (y3)4

x yx y

20 15

4 3++ = x16 x12y3 + x8y6 x4y9

+ y12

Rpta.: B


Cociente = 2x3 4 x2 + 4x + 1

Menorcoeficiente = 4 Rpta.: B

Cociente = 2x2 + 4x 3

Trmino indenpendiente = 3 Rpta.: E

Menorcoeficiente

Trminoindenpendiente


Residuo = 1 Rpta.: C

Residuo = 2x2 + 2x + 1Rpta.: A

Resolucin 27Hallamos el nmero de trminos(n):

n = 311 n = 31

Segn el enunciado: K = 14Como "K" es par el trminoser negativo

FH IKLuego:Tk =

x yn k k 1

T14 = x3114y141 T14 = x17y13 Rpta.: EResolucin 28Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:

Residuo = 6x2 10x + 7 Rpta.: EResolucin 29Como: P(x) es divisible por q(x)Entonces: Residuo = 0Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:

Como: Residuo = 0i) n + 3 = 0 n = 3ii) m + 2 = 0 m = 2Luego: m + n = (2) + 3 m + n = 1 Rpta.. E

0 0 0


Resolucin 33

FACTORIZACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICASEJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (FACTORIZACIN). Pg.(232, 233, 234)

CAPTULO N 5

Resolucin 3 Sea:M = 50n3 2a + 50an2 2n

Ordenamos la expresin adecuadamentey factorizamos.

M = 50n3 2n + 50an2 2aM = 2n25n2 2n + 2a25n2 2a

M = 2n(25n2 1) + 2a(25n2 1)M = (25n2 1)(2n + 2a)

Resolucin 1Aplicando el mtodo del Aspa, tenemos que:I.

x2 + 5x 14 = (x + 7)(x 2)II.

x2 x 2 = (x 2)(x + 1)III.

x2 + 3x 10 = (x + 5)(x 2) Factor comn = x 2 Rpta.: EResolucin 2 Sea:

P = nx 2ny mx + 2myOrdenando adecuadamente, tenemos:

P = nx mx 2ny + 2myP = nx mx (2yn 2ym)P = x(n m) (2y(n m))P = x(n m) 2y(n m)P = (n m)(x 2y)

P = (x 2y)(n m) Rpta.: A

UV|W|

Doble producto de las ra-ces halladas sera:

2(x2)(2y2) = 4x2y2

NIVEL I

Resolucin 4 Sea:Q = (x + 3)2 (x + 1)2

Aplicamos: a2 b2 = (a + b)(a b)Obteniendo:

Q = ((x+ 3)+(x + 1))((x + 3)(x 1))Q = (x + 3 + x + 1)(x + 3 x 1)Q = (2x + 4)(2)Q = (2(x + 2))2

Q = 4(x + 2) Rpta.: E

M n n a= +5 1 22 2b ge j b gc hDiferenciade cuadrados

M = (5n + 1)(5n 1)2(n + a)M = 2(n + a)(5n + 1)(5n 1)

Uno de los factores ser: 5n + 1Rpta.: B

Resolucin 5 Aplicamos: factorizacin por suma y resta

* x x4 2=* 4 24 2y y= x4 + 4y4 = x x y y

T C P

4 2 2 44 4+ +( . . )

- 4x2y2

x4 + 4y4 = ( ) ( )2 22 2Diferencia de cuadrados

x 2y 2xy+

x4 + 4y4 = ((x2 + 2y2)+2xy)((x2 + 2y2 2xy)x4 + 4y4 = (x2 + 2xy + 2y2)(x2 2xy + 2y2) x4 + 4y4 = (x2 2xy + 2y2)(x2 + 2xy + 2y2) Rpta.: C

+

Resolucin 6 Sea:P = 3x2 3x4 + y2 x2y2

Ordenamos la expresin convenientemente y factorizamosP = 3x2 3x2x2 + y2 x2y2P = 3x2(1 x2) + y2(1 x2)P = 1 32 2 2 x x y

Diferenciade cuadrados

e j e j

Resolucin 8Q(X) = 8x2 6ax 12bx + 9abQ(x) = 2x(4x 3a) 3b(4x 3a)Q(x) = (4x 3a)(2x 3b)

Un factor ser: 4x 3a Rpta.: C

P(x; y) = (1 + x2y2) x yDiferenciade cuadrados

2 4e j

P(x; y) = (1 + x2y2) (x + y2) (x y2) G.A = 4 G.A = 3 G.A = 3

Factor primo demayor grado es: 1 + x2y2 Rpta.: E

Resolucin 13Factorizamos por el mtodo del Aspa

A = (a b)(a b) (a b)cA = (a b)((a b)c)

A = (a b)(a b c) Rpta.: D

Diferencia decuadrados

6x2 7x 3 = 3x +1Factores primos

b gb g2 3x

Suma de factores primos:(3x + 1)+(2x 3) = 5x 2

Suma defactores primos = 5x 2 Rpta.: A

Resolucin 14E = (a2 b2)(a c) + (a2 c2)(a b)

E = (a + b)(a b)(a c) + (a + c)(a c)(a b)E = (a b)(a c)((a + b) + (a + c))E = (a b)(a c)(2a + b + c) Factor primo trinomio = 2a + b + c

Rpta.: C

Resolucin 15

A a ab b ac bcT C P

= + +2 22. .

A = (a b)2 c(a b)



Resolucin 7La expresin dada se puede escribir as:

E = (a4 + a3) (a + a2)Factorizamos:

E = a3(a + 1) a(1 + a)E = (a + 1)(a3 a)E = (a + 1)(a(a2 1))

E = (a + 1)(a(a + 1)(a 1))E = a(a + 1)2 (a 1)

Un factor ser: a 1 Rpta.: D

p = (1 + x)(1 x)(3x2 + y2) P = (3x2 + y2)(1 + x)(1 x) Rpta.: E

Resolucin 9 Sea:M = 3am + 3bm + 3an + 3bnM = 3(am + bm + an + bn)M = 3(m(a + b) + n(a + b))M = 3((a + b)(m + n))M = 3(a + b)(m + n)

Un factor ser: m + n Rpta.: C

Resolucin 10E = ac + ad acd bc bd + bcdE = a(c + d cd) b(c + d cd)E = (c + d cd)(a b)

Un factor ser: a b Rpta.: CResolucin 11

x6 y6 = x yDiferencia decuadrados

3 2 3 2e j e j

x6 y6 = x y x y3 3 3 3+ e je jSuma decubos

Diferenciade cubos

x6 y6 = [(x + y)(x2 xy + y2)][(x y)(x2 + xy + y2)]x6 y6 = (x + y)(x2 xy + y2)(x y)(x2 + xy + y2) Un factor ser: x2 + xy +y2 Rpta.: D

Resolucin 12

P(x; y) = x2 + x4y2 y4 x2y6P(x; y) = (x2 + x4y2) (y4 + x2y6)P(x; y) = x2(1 + x2y2) y4( + x2y2)

Trinomio cuadrado perfecto

Luego:x2 + 2xy + y2 2x 2y 63=(x + y + 7)(x + y 9) Un factor ser: x + y + 7 Rpta.: C

Diferencia de cuadrados

Resolucin 16B = a2b2c2 + ab2c + abc2 + bcB = a2b2c2 + abc2 + ab2c + bcB = abc2(ab + 1)+bc(ab + 1)B = (ab + 1)(abc2 + bc)B = (ab + 1)(bc(ac + 1))B = bc(ac + 1)(ab + 1)

Un factor primobinomio ser ac: + 1 Rpta.: D

Resolucin 17P = 2a6b 4a4b3 + 2a2b5P = 2a2b(a4 2a2b2 + b4)P = 2a2b((a2)2 2(a2)(b2) + (b2)2)

P = 2a2b(a2 b2)2

P = 2a2b((a + b)(a b))2P = 2a2b(a + b)2(a b)2

Un factor primo es: a b Rpta.: CResolucin 18 Empleando aspa doble:

Resolucin 19P(x) = x3 + 3x2 x 3P(x) = x3 x + 3x2 3P(x) = x(x2 1) + 3(x2 1)P(x) = ( )x


2 1

(x +3)

P(x) = (x + 1)(x 1)(x + 3) Rpta.: D

T C P. .

T C P. .


Diferencia

de cuadrados

Resolucin 20Q(x) = ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2)Q(x) = abx2 + aby2 + xya2 + xyb2Q(x) = abx2 + xya2 + aby2 + xyb2Q(x) = ax(bx + ay)+ by(ay + bx)Q(x) = (bx + ay)(ax + by)

Un factor primo es: ax + by Rpta.: ENIVEL II


A2 B2 = (A + B)(A B)P = 4a2b2 (a2 + b2 c2)2P = (2ab)2 (a2 + b2 c2)2P = ((2ab) + (a2 + b2 c2))(2ab (a2 + b2 c2))P = (2ab + a2 + b2 c2 )(2ab a2 b2 + c2)P = (a2 + 2ab + b2 c2)(c2 (a2 (a2 2ab + b2))

P = ((a + b)2 c2)(c2 (a b)2)

P = ((a + b)+c)((a + b)c)(c + (a b))(c (a b))P = (a + b + c)(a + b c)(c + a b)(c a + b) Un factor ser: a + b + c Rpta.: BResolucin 2F = (x4 + x3 + x2 + x + 1)2 x4F x x x x x


= + + + + 4 3 2 2 2 21e j e j

F = [(x4 + x3 + x2 + x + 1)+x2] [(x4 + x3 + x2 + x + 1)x2]F = [x4 + x3 + x2 + x + 1 + x2] [x4 + x3 + x2 + x + 1 x2]F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][x4 + x3 + x + 1]F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][x4 + x + x3 + 1]F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][x(x3 + 1) + (x3 + 1)]F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][(x3 + 1)(x + 1)]

F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1] [(x + 1)(x2 x + 1)(x + 1)]F = (x4 + x3 + 2x2 + x + 1)(x + 1)2(x2 x + 1) Suma de coeficientes = 1 + 1 + 2 + 1 + 1

Suma de coeficientes deuno de los factores es: 6 Rpta.: A

Suma decubos

Q = (x + y)(x2 xy + y2)(x2 + y2)(x2 y2)

Q = (x + y)(x2 xy + y2)(x2 + y2)(x + y)(x y)

Q x y x xy y x y x y= + + + b g e je jb g2 2 2 2 2Factores primos

Nmero de factores primos = 4 Rpta.: C

Resolucin 7Agrupamos convenientemente:

N = x3 + x2y2 + xz + y2zN = x2(x + y2) + z(x + y2)N = (x + y2)(x2 + z)

Un factor es: x + y2 Rpta.: CResolucin 8Agrupamos la expresin convenientemen-te y resolvemos:P = [(4x + 1)(3x + 1)][(12x + 1)(2x + 1)] 36P = [12x2 + 7x + 1][24x2 + 14x + 1] 36P = [(12x2 + 7x) + 1][2(12x2 + 7x) + 1] 36Reemplazamos: 12x2 + 7x = aP = [a + 1][2a + 1] 36P = 2a2 + 3a + 1 36P = 2a2 + 3a 35Aplicamos el mtodo del Aspa:

Suma decubos






P = (2a 7)(a + 5)Pero: a = 12x2 + 7x

P = (2(12x2 + 7x)7)(12x2 + 7x + 5)P = (24x2 + 14x 7)(12x2 + 7x + 5)

Luego: Producto decoeficientes = 12 7 5

Producto decoeficientes = 420 Rpta.: B

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