Solucionario Algebra Cepru 2011 p.o.

SOLUCIONARIO Boletín Académico

CICLO DE PRIMERA OPORTUNIDAD 2011 CEPRU – UNSAAC

Prof.: William Mostacero MontoyaProf.: Elio Necochea Aybar

1

Av. Collasuyo O – 17 (detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018

2

01. Calcular el valor de “mn” si el polinomio:

es de grado absoluto 20 y el grado relativo con respecto a “x” es 8.

02. Sea:

; si

los G.A. de y son 8 y 4 respectivamente. Hallar el coeficiente de

.

03. Sea: , además

; . Hallar “mn”.


3

04. Si: , .

Hallar .

05. Si el monomio:

posee , entonces el , es:

06. Señalar el coeficiente del monomio:

si es de noveno grado y de octavo grado respecto a “y”.

07. Si y .

Hallar .

08. En el siguiente polinomio:

el grado relativo con respecto a “x” vale 12, siendo el grado absoluto del polinomio 18. Hallar el grado relativo con respecto a “y”.

09. Si ; ;

, entonces es:

10. Calcular “ ” si el polinomio:

, es de grado 10 y la diferencia de los grados relativos a “x” e “y” es 4.

11. En el polinomio:

Se verifica que y que el menor exponente de “y” es 5. Calcular el grado absoluto del polinomio.

12. Si la expresión es de grado 18 y los grado relativos a x, y,

z son 3 números consecutivos (en ese orden). Calcular “ ”.

13. Si .

Hallar .

14. Si , determinar “m”, además

.

15. Si se sabe que . Hallar

16. Hallar el valor de “a” con la condición

, si .

17. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

I.- Si , entonces P es un polinomio.

II.- Si , entonces Q es un polinomio.

III.-Si , entonces R es un polinomio.

18. Si el ; ;

con m, n, p , r ; , indicar el valor de verdad de

las siguientes proposiciones:

I.-

II.-

III.-

19. Hallar el grado absoluto del monomio:

20. Si la expresión:


4

, se reduce a un término. Hallar el coeficiente de dicho término.

21. Señale el grado de:

22. Indicar el grado del polinomio

, 35 factores.

23. Hallar “n” si el grado absoluto del polinomio es 272.

24. Si el término independiente y el coeficiente principal del polinomio son iguales. Hallar el grado del polinomio:


5

, con .

25. ¿Qué valor debe tomar “n” para que el

monomio sea de quinto grado?

26. Al efectuar el desarrollo de

, resulta:

27. Marcar verdadero (V) y falso (F) según corresponda en cada una de las siguientes igualdades en el orden que aparecen:

I.-

II.-

III.-

IV.-

V.-

28. Si se cumple que , ,

hallar el valor de .

29. Si: ; , calcular

30. Al efectuar:

se obtiene:

31. Si: y , hallar: .

32. Si: , calcular:

33. La suma de dos números es 6, la suma

de sus cuadrados 30, calcular:

34. Si: y , entonces

, es igual a:

35. Si la diferencia de dos números es “n” y

su producto es , la diferencia de los cubos de dichos números es:

36. Reducir:

37. Calcular:

38. Reducir:

39. Si: , hallar:

40. Reducir:

41. Simplificar:

42. Calcular el valor de “ ” en la

división exacta:

43. Determinar “m” y “n” si la división es exacta:

44. Si el residuo de la división:

es .


6

Hallar “a”.

45. Si la división: es

exacta, hallar .

46. En la división: el residuo es 4. Hallar la suma de los coeficientes del dividendo.

47. Si la división: es exacta, calcular:

48. Al dividir:

entre ; el coeficiente del término de 4to grado es:

49. Calcular “m” si la división:

es exacta.


7

50. Determinar el cociente de dividir:

51. Determinar “ ” en la división exacta:

52. Mostrar el cociente de:

53. Hallar “m” sabiendo que:

entre es exacto.

54. Hallar “ ”, si al dividir:

el resto es

55. El residuo de dividir:

56. En el esquema de la división por el método de Ruffini:

Calcular:

57. Si la división tiene como residuo , halle el valor de “m”.

58. Calcule “ ” si la división:

, es exacta.

59. En la división:

Los coeficientes disminuyen de uno a uno. Hallar “ ” si el resto es 5.

60. Determine “m” y “n” si la división es

exacta entre

61. Hallar la suma de coeficientes del cociente de la división:

entre

62. Factorizar el polinomio:

e indique uno de los factores primos.

63. ¿Cuántos factores algebraicos posee el

polinomio ?

64. Factorice el polinomio

e indicar la suma de sus factores primos.

65. La suma de los coeficientes de uno de los factores primos del polinomio:

, es:

66. Factorizar:

67. Al factorizar uno de sus factores es:

68. Factorizar:


8

69. Hallar uno de los factores primos resultantes al factorizar:

70. Factorizar:

71. Uno de los factores de:

es:

72. Al factorizar:

El número de factores primos es:

73. Luego de factorizar:

, indique un factor primo.

74. Hallar la suma de los términos independientes, luego de factorizar:

75. Indicar un factor primo de:


9

76. Luego de factorizar: , indicar un factor primo.

77. Al factorizar el polinomio

, uno de sus factores primos es:

78. Indique la suma de los términos lineales de los factores primos de:

79. Factorizar:

80. Factorizar:

81. Al factorizar uno de sus factores es:

82. Hallar la suma de coeficientes de un

factor de:

83. El polinomio en su forma factorizada está dada por

siendo .

Hallar:

84. Factoriza:

85. El número de factores primos de:

, es:

86. Los términos y admiten un factor común en la forma

. Calcular el valor de .

87. Al factorizar, multiplicar lo términos no

literales de:

88. Factorizar:

e indicar la suma de sus factores primos.

89. Factorizar:

, indicar cuántos factores tiene:

90. Factorizar:

, dar la suma de los términos independientes de sus factores.

91. Al factorizar: , uno de sus factores es:

92. Factorizar e indicar la suma de sus

factores de

93. Luego de factorizar: , indicar el número de factores primos.

94. Luego de factorizar: , indicar un factor.


, indicar un factor primo.

96. Indique la suma de coeficientes de un factor:

97. Luego de factorizar: , calcular la suma de los términos independientes de los factores primos.


10


, dar la suma de todos los factores primos.

99. Factorizar: y dar como respuesta la suma de los valores que pueden tomar “x”.

100. Al factorizar:

, uno de los factores es:

101. Cuántos factores tiene:

102. Cuántos factores primos tiene:

103. Factorizar e indicar el número de factores primos de:

104. Factorizar:


11

105. Factorizar:

106. Factorizar:

107. Si: , la suma de sus factores primos es:

108. Hallar la suma de los divisores binomios de

109. La suma de los factores primos del

polinomio , es:

110. La suma de los divisores binomios

del polinomio es:

111. Hallar el valor de “k” en:

si la suma de sus raíces es 2.

112. Hallar el valor de “k” en:

, si el producto de sus raíces es 7.

113. Si es una raíz de la ecuación

.

114. Si el producto de las raíces de una ecuación cuadrática:

, es igual a 2/3. ¿Cuál es el valor de “n”?

115. Dada la ecuación de primer grado

, ¿cuál o cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I.- Si y , entonces la ecuación es compatible determinada.

II.- Si y , entonces la ecuación es compatible indeterminada.

III.-Si y , entonces la ecuación es compatible indeterminada.

IV.- Si y , la ecuación es consistente.

116. Si: , calcular:

117. Resolver:

118. Resolver: y dé como respuesta la suma de sus raíces.

119. Resolver:

120. Hallar su raíz de:

121. Resolver la ecuación:

122. Si las raíces de la ecuación:

son iguales, el valor de “m” es:

123. Resolver:

124. Si: , calcular



127. Hallar el valor de “x” en la ecuación:


12


129. Hallar el conjunto solución de:

130. Resolver la siguiente ecuación:

131. Calcular el valor de “x” si la expresión E es igual a 1.

132. Encuentre la suma de todos los

valores que asume “x” en:

133. Si:

entonces


13

134. El menor entero “x” que verifica

135. Resolver:

136. Resolver:

137. Resolver:

138. Si y son las raíces de la

ecuación , calcula el valor de:

139. La diferencia de las raíces de:

es 1. Hallar:

140. Una de las raíces de la ecuación

es , hallar la otra raíz de la ecuación.

141. Determinar el valor de “k” en la

ecuación para que sus raíces sean iguales.

142. Si la suma de las raíces de la siguiente ecuación cuadrática:

es 2, calcular “m”.

143. Indicar la menor raíz de la ecuación

144. Encontrar la ecuación cuadrática en

“x” de raíces y tales que:

y .

145. Dada la ecuación de primer grado

, cuál o cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas:

I.- Si y , entonces la ecuación es compatible determinada.

II.- Si y , entonces la ecuación es compatible indeterminada.

III.-Si y , entonces la ecuación es compatible indeterminada.

IV.- Si y , la ecuación es inconsistente.

146. Sea la ecuación:

, se puede afirmar:

147. ¿Cuál es el valor que satisface la

ecuación ?


149. Calcular el valor de si la ecuación

es incompatible.

150. Si la ecuación ,

admite como raíces a y tal que

, hallar “m”.

151. Resolver la ecuación: , su conjunto solución es:

152. Al resolver el conjunto

solución es de la forma . Hallar “”

153. Al resolver , el

conjunto solución es de la forma , hallar “ ”


14

154. Resolver la ecuación: , dar como respuesta la suma de sus raíces.

155. Resolver:

156. Al resolver la ecuación

, el valor entero de “x” que la satisface es:

157. Resolver:

158. Resolver:

159. Resolver:

160. Resolver:

161. En las siguientes proposiciones:

I.- La ecuación tiene raíces reales diferentes.

II.- La ecuación tiene raíces complejas.


15

III.-4 y son las raíces de la ecuación

cuadrática Indicar el valor de verdad (V) o falsedad (F)

162. Hallar el valor de “m” para que la

ecuación , sea incompatible.

163. Hallar los valores de “k” para que la

ecuación: tenga por solución valores reales e iguales.

164. Dada la ecuación: , si la suma de los cuadrados de sus raíces es 40. El valor de “m” es:

165. Resolver la siguiente inecuación



cuadrática: 168. Resolver la siguiente inecuación:

169. Hallar el conjunto solución, si:

170. Resolver la inecuación

, el conjunto solución es:

171. Resolver:

172. El conjunto solución de la ecuación:

, es:

173. Hallar el producto de los valores de “n” si la suma de los cuadrados de las

raíces de: es 2.

174. Resolver:

175. Resolver:

176. Resolver:

177. El conjunto solución de la inecuación:

178. El conjunto solución de la inecuación:

179. Cual es el mayor entero negativo que verifica la siguiente relación:

180. Cuantos valores enteros de “x” satisfacen la siguiente relación:

181. Resolver la inecuación:

182. Resolver:

183. Hallar todos los valores de “x” para que la inecuación; tenga solución única:

184. Si: y son las raíces de una ecuación cuadrática, entonces de las siguientes proposiciones cual o cuales son verdaderas:

I.-

II.-


16

III.-

IV.-

V.-

185. Hallar la diferencia de la raíces de

la ecuación:

186. Determinar el mayor valor entero de “x” en:

187. Resolver:

188. Hallar el menor valor entero de “x”

que satisface:

189. Dada la ecuación cuadrática

, ¿Cuál o cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas?


17

I.- Si entonces las raíces son reales y diferentes.

II.- Si entonces las raíces son imaginarias.

III.-Si entonces las raíces son reales e iguales.

190. Si: y son raíces. Hallar el

valor de la ecuación , calcular:

191. Si: , hallar la raíz si es única.

192. Hallar “k” para que la suma de las

raíces de: , sea 7.

193. Resolver:

194. Si la ecuación cuadrática:

es incompatible, entonces el valor de “ ” es:

195. En las siguientes proposiciones, la ecuación:

I.- tiene raíces reales diferentes.

II.- tiene raíces reales complejas.

III.- tiene raíces simétricas.Indicar el valor de verdad (V) o falsedad (F)

196. En la ecuación: , hallar el valor de “m” si cumple:

197. Hallar el valor de “n” para que las raíces de la ecuación sean iguales, si:

198. ¿Cuántos valores enteros satisfacen

la inecuación: ?

199. La suma de los números enteros que satisfacen a la inecuación:

, es:

200. Al resolver la ecuación , el valor de “x”, es:

201. Cuales son las raíces de la

ecuación:

202. Resolver la siguiente inecuación:

203. La solución de: es:


205. Al resolver la inecuación

, el conjunto solución en el sistema de los números reales es:


tiene por solución el intervalo:

207. Para que valor de “a” la ecuación:

, es incompatible.

208. Resolver:

209. Hallar “n” para que las raíces de la

ecuación: sean simétricas.


18

210. Hallar el valor de “ ” en la

ecuación , si ambas raíces valen cero.

211. Resolver:

212. El conjunto solución de la

inecuación es:


214. El conjunto solución de:

es:




cuadrática:


x

y

x

y

oo

x

y

o x

y

o

I II

III IV

x

y

o

I

x

y

o

II

19


219. Si la suma de las inversas de las

raíces de la ecuación: es 2, el valor de “k” es:

220. Al remover la inecuación

el conjunto solución es:

221. El conjunto solución de la

inecuación: , es:

222. Resolver:


224. Si: , sabiendo que la diferencia de raíces es uno. Hallar “A”.

225. Hallar “n” para que las raíces de la

ecuación , sean simétricas.

226. Hallar “n” en ; sabiendo que la suma de los cubos de sus raíces es 2.

227. Resolver:

228. Hallar el intervalo solución en:

229. El conjunto solución de la siguiente

inecuación: , es:

230. Dadas las siguientes gráficas, indicar, cuál o cuales son funciones reales.

231. Hallar el rango de la función

,

232. Dado el conjunto de pares ordenados:

calcular los valores de “a” y “b” para que f sea una función.

233. Halle el dominio de

234. Dada la función real de una

variable real: , el dominio de f es:

235. De las siguientes gráficas:


x

y

o

III

x

y

o

IV

x

y

o

20

236. El dominio de la función f, definida

por:

237. Halle el dominio de:


21

238. Sea f el conjunto de pares

ordenados tal que , hallar el dominio de f.

239. Dada la función real ,

, hallar su rango.

240. Hallar el rango de la función:

,

241. Si , hallar

242. Sea la función real:

, el dominio de f es:

243. Al determinar el rango de la

función: , resulta:244. Encontrar el dominio de la función:

245. El dominio menos en rango de

, es:

246. Hallar , si f es una función:

247. Si f es una función de variable real

tal que: . Hallar el valor de

, donde: .

248. El rango de la función g tal que:

, es:

SOL. 01

Nos piden: SOL. 02


22

Nos piden: SOL. 03

Nos piden: SOL. 04

SOL. 05

Por dato:


23

SOL. 06

Nos piden el coeficiente:

SOL. 07

Reemplazando: en

Nos piden hallar:

SOL. 08

Nos piden halla:

SOL. 09

Piden:

SOL. 10

Nos piden:

SOL. 11Por dato:

SOL. 12

; ;

Nos piden:

SOL. 13

Piden:

SOL. 14


24

SOL. 15

Reemplazando:

SOL. 16


nnn =a

25

SOL. 17Haciendo el análisis respectivo a cada una

de las proposiciones tenemos:



SOL. 19

SOL. 20Tienen que ser términos semejantes:

Piden:

SOL. 21Utilizamos grados resultantes de las operaciones algebraicas con grados.

SOL. 22

SOL. 23

SOL. 24

;

SOL. 25Por propiedad tenemos:

SOL. 26




26

SOL. 28

;

SOL. 29

;

SOL. 30Aplicando propiedad distributiva


27

SOL. 31

; ;

SOL. 32

Reemplazando en:

SOL. 33

; ;

En “Q”:

SOL. 34Recordemos:

Reemplazando:

SOL. 35

;

SOL. 36Por Legendre en el numerador y denominador.

SOL. 37

Legendre

SOL. 38

Reemplazando:

SOL. 39


28

Reemplazando en “E” tenemos:

SOL. 40

SOL. 41Factorizando:

Legendre


29

SOL. 42Por Horner:

por ser exacta.

Nos piden:

SOL. 43Utilizamos Horner:

por ser exacta.

SOL. 44

Por dato:

SOL. 45Por ser exacta:

Exacta:

Nos piden:

SOL. 46Por Horner:

Por dato:

Nos piden la suma de los coeficientes

SOL. 47


30

Por Horner:

Exacta

Nos piden:

SOL. 48Por Ruffini:


31

Nos piden el coeficiente del término de cuarto grado

SOL. 49Por Ruffini:

Exacta

SOL. 50Por Horner:

Nos piden el cociente:


Exacta

Nos piden:

SOL. 52Por Ruffini:

Nos piden el cociente:

SOL. 53Por Horner:

Exacta



32

Nos piden:

SOL. 55Por Ruffini:

Nos piden el residuo:

SOL. 56

Ordenando lo que piden:

; ;


33

SOL. 57Por Ruffini:

Por dato:


Exacta

Nos piden:

SOL. 59Por Ruffini:

; ;

Nos piden:

SOL. 60Por Horner:

Exacta

SOL. 61

Haciendo un cambio de variable:

Utilizamos Ruffini:

pero:

Nos piden la suma de coeficientes del cociente:

SOL. 62Agrupando convenientemente:

Nos piden un factor:

SOL. 63

Factor común:


34

Factores algebraicos:

SOL. 64

Aplicando divisores binomios:

Nos piden la suma de los factores primos:

SOL. 65


35

Agrupando:

Nos piden la suma de coeficientes de uno

de sus factores:

SOL. 66

Factor común:

SOL. 67

Recordando: Debe ser de la forma:


SOL. 68

Aplicando divisores binomios:

SOL. 69

Aplicando diferencia de cuadrados.

SOL. 70Aplicando aspa doble:


71.1Por aspa simple:


SOL. 72Agrupando de dos en dos:


36

Nos piden el número de factores primos:

SOL. 73

Por agrupaciones:

Nos piden un factor primo:

SOL. 74Por aspa simple:


37

Nos piden la suma de los términos independientes.

SOL. 75Por divisores binomios:


SOL. 76Por divisores:


SOL. 77Por divisores binomios y completando con ceros:



No existen términos lineales (cero)

SOL. 79Empleando aspa dobles:

SOL. 80

Debe ser:

Sumas y restas especiales:


Nos piden uno de sus factores:


38

SOL. 82Esta expresión es Argand

Nos piden la suma de coeficientes de un factor:

SOL. 83Completando con ceros y por divisores binomios:

Recordando por dato:

; ; ;


2falta:12x

39

Nos piden:

SOL. 84

SOL. 85

Agrupando convenientemente:

Nos piden el número de factores primos:

SOL. 86El factor común:

; ;

Nos piden: SOL. 87Por aspa doble:

El producto de los términos no literales:

SOL. 88Aplicando divisores binomios:


SOL. 89Por divisores binomios.


40

SOL. 90 Por aspa doble:

Nos piden la suma de los términos independientes de sus factores primos:


2falta:3x

41

SOL. 91 Debe ser y por aspa doble especial




SOL. 93Por agrupaciones convenientes:

El número de factores primos es:

SOL. 94Aplicando diferencia de cuadrados:


SOL. 95Haciendo cambio de variables:


SOL. 96Aplicando aspa doble:

Nos piden la suma de coeficientes de uno

de los factores primos:


Nos piden la suma de los términos independientes de los factores primos:



42

Nos piden la suma de todos los factores primos:

SOL. 99


4falta: 15x

43

Nos piden la suma de los valores de “x”

SOL. 100Por aspa doble y completando con ceros:

Nos piden uno de los factores:

SOL. 101Por diferencia de cuadrados:

El número de factores es:

SOL. 102Aplicando aspa doble especial:


SOL. 104Aplicando aspa simple:

SOL. 105Aplicando aspa doble y ordenando.

SOL. 106Por aspa doble especial.

SOL. 107Aplicando divisores binomios


44

Nos piden:

SOL. 108Por diferencia de cuadrados.

Nos piden:

SOL. 109


45

Aspa doble y completando con ceros.

Nos piden:

SOL. 110Por divisores binomios.

Nos piden:

SOL. 111

Recordando:

SOL. 112

Recordando:

SOL. 113

; piden hallar “m” falta la pregunta.

Reemplazando el valor de

SOL. 114

SOL. 115Despejando “x” y analizando.

I) V II) F III) V IV) F

Nos piden las verdaderas

SOL. 116

Recuerda:

Nos piden:

SOL. 117

SOL. 118


46

SOL. 119

SOL. 120

no cumple


47

SOL. 121

SOL. 122

Raíces iguales:

Igualando cada factor a cero, se tiene:

SOL. 123

; multiplicamos en aspa

SOL. 124

elevamos al cuadrado ambos miembros

SOL. 125

SOL. 126

SOL. 127

SOL. 128

SOL. 129

SOL. 130


48

SOL. 131

Trabajando de afuera hacia adentro.

SOL. 132

Nos piden la suma de los valores de “x”

SOL. 133

Si:


2/3 1

1/2 + 2

++

5 + 1

++

1 + 02/3

49

Análogamente para “y”

Entonces:

SOL. 134

El menor entero:

SOL. 135

SOL. 136

SOL. 137

SOL. 138Del problema:

Reemplazando en:

SOL. 139

Recuerda:

Nos piden:

SOL. 140

; reemplazando en la ecuación

En la ecuación:

Nos piden la otra raíz de la ecuación:


50

SOL. 141

Nos piden los valores de “k”:

SOL. 142


51

SOL. 143

Por Baskara:

(mayor raíz)

(menor raíz)

Nos piden la menor raíz:

SOL. 144La ecuación:

Reemplazando:

SOL. 145

I.- (F) II.- (F) III.-(V) IV.-(V)

Nos preguntan por las verdaderas:

SOL. 146

Reemplazando en la ecuación no admite solución; es imposible.

SOL. 147

Recordando:

; factorizando

SOL. 148

…. no cumple

…. si cumple

Nos piden el conjunto solución:

SOL. 149Si es incompatible, se cumple que:


52

Nos piden:

2 12 3 12

SOL. 150

1 2

1 1 3x x 8

SOL. 151

…. si cumple


3 11

2/3 + ++

1/3

+ 13/44/3

1/6 5/4

53

…. si cumple

SOL. 152

Recordando:

;

x 11

Nos piden:

SOL. 153

2x 2/3

Nos piden:

2 1a b

3 2

SOL. 154

…. si cumple

22x 5 3x ; x 1 …. no cumple

SOL. 155

…. no cumple

22x 7 x 5 ; x 4 …. no cumple

SOL. 156

…. si cumple

22x 3 x 2 ; x 1/3 …. si cumple

Nos piden el valor entero

SOL. 157

;5x 2 3x 4 ; 2x 2

SOL. 158

x 2 3 5x x 2 3 5x

6x 1 5 4x

1 5x x

6 4


54

SOL. 159

x 4

SOL. 160

…. no cumple

…. no cumple

SOL. 161

I.- La ecuación tiene raíces reales diferentes.


5/2 4

4 + ++

7

+ ++

-4

1/3 + 2

55

Analizamos la discriminante:

Tiene raíces reales y diferentes. (verdadero)

II.- La ecuación tiene raíces complejas.

Analizamos la discriminante:

Las raíces son complejas y conjugadas. (verdadero)

III.-4 y son las raíces de la ecuación

cuadrática Factorizando:

Las raíces son: (verdadero)

SOL. 162Recordemos:

es incompatible si:

SOL. 163Se cumple:

SOL. 164De la ecuación:

…(1)

…(2)Elevamos al cuadrado la primera ecuación

SOL. 165

SOL. 166

ó

SOL. 167

SOL. 168

Por simple inspección:

SOL. 169

Propiedad:


2 + 3

56

SOL. 170

SOL. 171


1 + ++

2

-5/2 2

57

SOL. 172

Propiedad:

SOL. 173De la ecuación:

…(1)

…(2)Elevamos al cuadrado la primera ecuación.

Nos piden:

SOL. 174

Multiplicamos por 60

SOL. 175

Propiedad:

SOL. 176

SOL. 177

SOL. 178Multiplicando por 18

SOL. 179

Multiplicamos por 60


5 8

7 + ++

5

58

Nos piden el mayor entero negativo.

SOL. 180

Nos piden los valores enteros de “x”:

SOL. 181


+ ++

3/2

1 + ++

3

5 8

4 +

59

SOL. 182

Factorizando

SOL. 183Observación:

La inecuación: presenta solución única.

SOL. 184

I.- (F)

II.- (V)

III.- (F)

IV.- (V)

V.- (V)

Nos piden las verdaderas:

SOL. 185

Nos piden:

SOL. 186

Nos piden el valor mayor entero:

SOL. 187

Propiedad:

SOL. 188


8 14 4x 14 4x 26

4x 6 4x 12

3x x 3

2

3x 3;

2

x 2; 1; 0 ;1

1

x 3 x 5 0

x 3 x 5

x y x y x y 0

x 3 x 5 x 3 x 5 0

2x 8 2 0

x 4

x ;4

242 x x 110 2 242 x x x x 110

2 2x x 42 0 x x 110 0

11 + 67 10

60

Nos piden el menor valor:

SOL. 189I. (V)II. (V)

III. (F)

SOL. 190

Piden:

SOL. 191


2 2x x 42 0 x x 110 0

x 6 x 7 0 x 11 x 10 0

x 11; 7 6;10

11

VVF

2x 5x 3 0

1 2x x 5

1 2x x 3

1 2

1 2

x x

x x

53

1/3 + ++

4

2 +

++ 20 6

+

61

Raíz única:

SOL. 192

SOL. 193

SOL. 194

…(I)

…(II)

Nos piden el valor de Observando la primera ecuación tenemos:

SOL. 195

I.- Como:

Raíces reales y diferentes(verdadero)

II.- Como: Raíces conjugadas e imaginarias(verdadero)

III.- Raíces simétricas(verdadero)

SOL. 196

SOL. 197Raíces iguales:

SOL. 198

Valores enteros: 0, 1, 2, 3Nos piden el número de valores enteros:

SOL. 199

Nos piden:


2kx 2kx 5 0 0

22k 4 k 5 0 24k 20k 0

4k(k 5) 0

k 5

25x 10x 5 0 25(x 2x 1) 0

2(x 1) 0

CS 1

1 2x x 7

12k 17

2k

12k 1 14k

1 2k

k12

m.c.m 10

5x 5a 60 2a 2x 7a

3x 60 10a

10a 60x

3

x

10 a 63

5 a b 18 0

a b 18

4 a b 0

a b 0

a b

a b 18

21 4 1 6 25 0

21 4 1 2 7 0

2x 6 0 x 6

VVV

1 2

1 2

x x 5x x 12

m 536 12

m15

0

28 4 1 n 0 64 4n

n 16

2x 5 4x 3 2x 5 4x 3 0

6x 2 2x 8 0

3x 1 x 4 0

3x 1 x 4 0

1P.C. ; 4

3

4

2x 3x 6 6 2x x 3x 6 6 x 0

2 2x 2x x 4x 12 0 x x 2 x 6 x 2 0

P.C. 2;0;2;6

62

SOL. 200

El valor de “x” es:

SOL. 201Aplicando aspa simple:

Nos piden las raíces:

SOL. 202


valores enteros 1 3 4 5 11

x 8 3x

3x 0 x 8 3x x 8 3x

x 0 2x 8 4x 8

se descarta

x 0 x 4 x 2

2

2 2x 3mx 2m 0x 2mx m

x 2m x m 0

x 2m ; x m

2m ; m

2x 1 5x 8

1 + 2

3 + 7

-4 2

63

SOL. 203

SOL. 204

SOL. 205

SOL. 206

SOL. 207

SOL. 208

SOL. 209

Para que las raíces sean simétricas.

SOL. 210

…(I)

…(II)

Como , entonces en (I)

Nos piden:

SOL. 211


3x 9

3x 9

x 3

x 3;

2x 3 1

2x 3 1 2x 3 1

2x 4 2x 2

x 2 x 1

x ;1 2;

2x 10x 21 0 x 7 x 3 0

x ;3 7;

2x 1 5 x

II

I

5 x 0 5 x 2x 1 5 x

x 5 (I) x 4 3x 6 (II)

x 5 (I) x 4 x 2 (II)

x 4;2

22 2x 10x 21 0

22x 10x 21 0

2x 3 x 7 0

x 3;7

3x 10ax b2x b 1

4

3x 10ax b 8x 4b 1

5x 10ax 3b 1 5 10a x 3b 1

5 10a 0

10a 5

a12

2x 4 5 x

5 x 0 2x 4 5 x 2x 4 5 x

x 5 3x 1 x 9

1x 5 x x 9

3

C.S.

1; 9

3

25x 2 n 1

n 1x 3x

2 25nx 5x 2n 2 nx x 3nx 3x 2 22nx 8x nx x 2n 2

22n 8 x n 1 x 2n 2

2n 8 0

n 4

2a 3b 1 0

2a 3b 1

a b 3 0

a b 3

a b 3 2 b 3 3b 1

5b 6 1

b 1 ; a 2

a b 2 1 1

2x 4 4 2x

4 +

20

64

SOL. 212

SOL. 213


2 22x 4 4 2x

2 22x 4 4 2x 0

2 2x 4 4 2x x 4 4 2x 0

2 2x 2x x 2x 8 0 x x 2 x 4 x 2 0

2x x 2 x 4 0

x 4;0 2

24x 12x 9 0

22x 3 0

x 32

21 x 2x 0

1 + ++

1/2

2 4

1 + ++

2

2 +

++ 11 3

+

-2 4/3

65

SOL. 214

I.- II.-

SOL. 215

SOL. 216

I.- II.-

ó

SOL. 217

SOL. 218

SOL. 219

SOL. 220

SOL. 221

Este trinomio es positivo para todo “x”

SOL. 222


22x x 1 02x 1x 1

1P.C. ; 1

2

x

11;

2

II

I

4 x x 3x 8

4 2x 0 2x 8

2x 4 2x 8

x 2 x 4

x 4;

57x 63 100x 20

43x 43

x 1

II

I

2x 4 3x 6 5x 10

x 2 2x 16

x 2 2x 16

x 88; x 8

2x 3x 2 0 x 2 x 1 0

P.C. 1,2

x 1;2

28 x 2

0x 1 x 1x 1

8 x x 1 2 x 10

x 1 x 1

28 x x 2x 20

x 1 x 1

2x x 60

x 1 x 1

2x x 60

x 1 x 1

x 3 x 2

0x 1 x 1

P.C. 2; 1;1;3

x 2; 1 1;3

1 2

1 12

x x

b

a

c

a

22

2k

k 1

x 3 2x 1

x 3 2x 1 x 3 2x 1

x 2 3x 4

4x 2 x

3

x

4;3

2x 2x 5 0

C.S.

66

SOL. 223

SOL. 224OJO: en vez de “B” debe ser “8”


25x 25x

50x 0 x 0

2x 4 2 x 4 15 0

x 4 5 x 4 3 0

x 4 5 x 4 3 x 4 5 x 4 5

1 2x 9 ; x 1

C.S. 1;9

2Ax A B x 5A 2 0

1 2x x 1

1A

2A 8 4 A 5A 2 A

2A 2 216A 64 20A 8A A 220A 8A 64 0

2 + ++

3

1/2 22/13

-2 + ++

2

67

SOL. 225

Para que las raíces sean simétricas.

SOL. 226

Hallando la suma de raíces tenemos:

SOL. 227

SOL. 228

I.- II.-

SOL. 229

El trinomio es positivo

SOL. 230Analizando las gráficas tenemos que son

funciones reales:

SOL. 231

SOL. 232

;

Nos piden los valores de “a” y “b”:

SOL. 233


25A 2A 16 05A 8A 2

A 2

25x 2 n 1

n 1x 3x

2 25nx 5x 2n 2 nx x 3nx 3x 2 22nx 8x nx x 2n 2

22n 8 x n 1 x 2n 2

2n 8 0 n 4

2x nx 1 0

2 21 2x x n

2 2 21 1 2 2x 2x x x n 2 2 21 2x x n 2

1 23 3x x 2

2 21 2 1 1 2 2x x x x x x 2

2n n 2 1 2

2n n 3 2

2 2n n 3 2 2 3 n 2

4x 80

x 3

P.C. 2;3

x 2;3

II

I

4 x 2 2 x 1 x 3x 13 2 6 6

8x 16 6x 6 x x 3x 1

13x 22 2x 1 22

x13

1x

2

x

1 22;

2 13

24x 7x 10 0 x

C.S.

II ; IV

f x 2x 6 ; x 2;10 2 x 10

4 2x 20

2 2x 6 14

f x 2;14

a 2b 7a b 2

3b 9

b 3 a 1

1; 3

2y 4 x 24 x 0

2x 4 0 x 2 x 2 0

P.C. 2;2

-2 + ++

7

68

SOL. 234

SOL. 235Son inyectivas: III y IV

SOL. 236

SOL. 237


x 2;2

2

xf x

x 5x 14

2x 5x 14 0

x 7 x 2 0

P.C. 2;7

x ; 2 7;

7f x

x 2

x 2 0

x 2

x 2;

-2 + ++

2

-2 + ++

7

1 2 3

1

2

3

69

SOL. 238

SOL. 239

SOL. 240

Pero:

SOL. 241

SOL. 242

SOL. 243

SOL. 244

SOL. 245

Nos piden:

SOL. 246


7f x

x 2

x

2

xf x

x 1

2x 1 0 x

2f x x 1 3 x 2

20 x 9 21 x 1 10 f x 1;10

2f x x 4x 7

2f x x 4x 4 3

2f x x 2 3

2 x 3

0 x 2 1

20 x 2 1

23 x 2 3 4 f x 3,4

2f x 4 x 24 x 0

2x 4 0 x 2 x 2 0

x 2;2

2

xf x

x 5x 14

2x 5x 14 0

x 7 x 2 0

P.C. 2;7

x ; 2 7;

f x y 3 24 12x

Ranf 3;

2

1f x

2x 5x 3

22x 5x 3 0

2x 1x 3

2x 1 x 3 0

x 1

3;2

Domf

Ranf 0;

Domf Ranf 0;

70

Si f es función:

Nos piden:

SOL. 247

Luego:


a 4

f 5,3 1,b 1 4 b,7 4,0 1,1

b 1 1

b 2

f 5,3 1,1 6,7 4,0

Domf 5,1,6,4

Ranf 3,1,7,0

Domf Ranf 4,5,6

2f x 3 x 1

2f x x 3 1

2f a 2 a 1 1 f 2 0

f a 2 f 2E

a 2

71

SOL. 248

Factorizando el numerador por divisores binomios

;

Como:

Como:


2a 1 1E

a 2

2 a a 2a 2aE

a 2

a 2

E a

3 2

2x 4x x 6

g xx 5x 6

1 4 1 6

1 1 5 6

1 5 6 0

x 1 x 3 x 2

x 1 x 3

g x

x 2

x 3 x 2x 2x 3

g x x 1 y x 1

x 2 y 3

x 3 y 4

y 3, 4

72


Solucionario Algebra Cepru 2011 p.o.

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