FERROMAGNETISMO (cont.) feB13

• Red de neuronas (lección aparte).

• Soluciones -matricial y combinatorial- en dimensiónuno.

• Otras soluciones exactas. Solución de Onsager..

• Teorema de Peierls: existencia de cambio de fase endimensión dos.

• Soluciones en aproximación campo medio (lecciónfeC13).

• Teoría de van der Waals; fluidos, condensación (lec-ción feC13).

• Teoría Curie-Weiss del ferromagnetismo (lección feC13).

• Otros métodos aproximados (lección feC13).

1

Solución Ising d=1: método matricial.

El caso d = 1 es muy interesante, a pesar de no presentar cambio de fase,puesto que tiene solución exacta y permite estudiar la naturaleza de métodospara tratar problemas más complejos.

Veamos el método matricial, introducido por Kramers & Wannier (1941) yusado por Onsager (1944) para resolver el caso d = 2.

Sea cadena linea con N espines, interacciones entre vp’s, campo magnéticoexterno H.

La energía de cada configuración es

H (σ) = −JXhiji

σiσj −HNXi=1

σi, σ = σi = ±1; i = 1, . . . , N

Hay condiciones periódicas en los límites de la cadena, luego:

de modo que:

H (σ) = −JNXi=1

σiσi+1 − 12H

NXi=1

(σi + σi+1)

= −NXi=1

∙Jσiσi+1 +

1

2H (σi + σi+1)

¸

2

y se tiene:

Z (H, T ) =Xσe−βH(σ)

=Xσ1=±1

· · ·X

σN=±1exp

(β

NXi=1

∙Jσiσi+1 +

1

2H (σi + σi+1)

¸).

Si definimos la matriz P de elementos[1]:

hσi |P|σi+1i = exp½β

∙Jσiσi+1 +

1

2H (σi + σi+1)

¸¾,

P =

µeβ(J+H) e−βJ

e−βJ eβ(J−H)

¶,

se sigue[1]:

Z (H, T ) =Xσ1=±1

­σ1¯PN¯σ1®= traza

¡PN¢= λN+ + λN− ,

donde λ± son los valores propios de la matriz P.[2] Estos vp’s tienen lapropiedad[2] de que λ+ > λ− > 0, luego sólo el mayor es relevante en ellímite-T, ee,

1

NlnZ (H, T ) =

1

Nln¡λN+ + λN−

¢=1

Nln

µλN+

λN+ + λN−λN+

¶= lnλ+ +

1

Nln

"1 +

µλ−λ+

¶N#→

N→∞lnλ+

3

En definitiva:

1

NlnZ (H, T ) →

N→∞J

kT+ ln

∙cosh (βH) +

qe−4βJ +senh2 (βH)

¸,

de donde se siguen las propiedades del sist:

• e. libre de Helmholtz por espín:

a (H, T ) = −kT limN→∞

1

NlnZ (H, T )

= −J − kT ln

∙cosh (βH) +

qe−4βJ +senh2 (βH)

¸

• e. libre en ausencia de campo:

a (0, T ) = −J − kT ln¡1 + e−2βJ

¢= −kT ln [2 cosh (βJ)]

• calor específico:

c0V = −Tµ∂2a

∂T 2

¶N,V

= k (βJ)2 sech2 (βJ) ,

que se comporta:

4

ee, nunca singularmente (como se esperaría en cambio de fase), sino qtiene pico ancho para kT/J ∼ 1, lo q indica transición gradual desdeorden completo cuando T = 0 hacia desorden completo a altas T ’s.:

• magnetización por espín::

m (H, T ) = −µ∂a

∂H¶T

=1

λ+senh (βH)

=senh (βH)

cosh (βH) +qe−4βJ +senh2 (βH)

que se comporta:

5

lo que contrasta con el caso en el q hay transición a un estado ferro-magnético, para el que

m (H = 0, T ) 6= 0,

ee, hay magnetización espontánea.

6

Otras soluciones exactas.

Una serie de modelos con motivación física tienen solución ex-acta; citamos algunos física y matemáticamente interesantes.

• El método matricial pudo ser generalizado por Onsager –con graningenio– para d = 2, H = 0, vp’s. Es conveniente/necesario estudiaresta solución. Parte de la bibliografía relevante es:

— C.J. Thompson, Mathematical Statistical Mechanics, PrincetonUniv. Press, 1970.

— C. Itzykson & J.M. Drouffe, Statistical Field Theory, vol. 1, Cam-bridge Monographs on Mathematical Physics, 1990.

— C.J. Thompson, ‘Algebraic Derivation of the Partition Function ofa Two-dimensional Ising Model’, Journal of Mathematical Physics6, 1392-1395 (1965)

— T.D. Schultz, D.C. Mattis & E.H. Lieb, ‘Two-dimensional IsingModel as a Soluble Problem of Many Fermions’, Review of ModernPhysics 36, 856-871 (1964)

— T.T. Wu, ‘Theory of Toeplitz Determinats and the Spin Corre-lations of the Two-dimensional Ising Model, I’, Physical Review149, 380-401 (1966)

— McKoy & Wu, The Two-dimensional Ising Model, Harward Univ.Press 1973.

— L.P. Kadanoff, ‘Spin-spin Correlations in the Two-dimensionalIsing Model’, Il Nuovo Cimento XLIVB, 276-304 (1966)

— R.P. Feymann, Statistical Mechanics, Benjamin (1981), p.127.

7

• La solución de Onsager oculta que se trata simplemente de un prob-lema combinatorial, aunque no trivial, como hemos puesto en evi-dencia anteriormente. Ising resolvió combinatorialmente el caso d = 1,H = 0, vp’s. Problema: desarrollar/estudiar esta solución.

• Modelo unidimensional de Heisenberg para espín infinito

— M.E. Fisher, ‘Magnetism in One-dimensional Systems - the Heisen-berg Models for Infinite Spin’, American Journal of Physics 343(1963)

Hamiltoniano:

H = −2JNXi=1

si si−1 − gNXi=1

H · si, |s|→∞

Solución exacta sencilla.

• Cadena unidimensional con espines de dimensión arbitraria

— H.E. Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phe-nomena, Clarendon Press, Oxford 1971, p. 124.

Hamiltoniano: H(D) = −JPhiji s(D)i · s(D)j

Interesante; necesita algo de investigación y es sencillo.

8

• Interacción coulombiana en d = 1

— A. Lenard, ‘Exact Statistical Mechanics of a On-dimensional Sys-tem with Coulomb Forces’, J. Math. Phys. 2, 682 (1961)1.

Sistema unidimensional de planos infinitos cargados moviéndoseperpendicularmente a su dirección. Muy bien explicado.

También interesante por introducir nueva colectividad (presióncte), y usar grafos para calcular la FP y fracciones continuas.

— K.D. Scholte &T.T. Truong, ‘Phase Transition of a One-dimensionalCoulomb System’, Phys. Rev. A22, 2183 (1980)

Planos infinitos cargados en un circuito alternando cargas. Usacolectividad MC, introduce un interesante truco. Muestra ∃ decambio de fase de 2oorden (excepción –largo alcance– del teo-rema de van Hove).

— R.J. Baxter, ‘Statistical Mechanics of a One-dimensional CoulombSystem with a Uniform Charge Background’, Proc. Cambr. Phil.Soc. 69, 779 (1963)

Similar al caso de Lenard. Al incluir sustrato de carga opuesta,es modelo de plasma. Claridad y belleza de la exposición.

1Reimpresiones de éste y de otros de los trabajos citados en esta sección enMathematicalPhysics in One Dimension, E.H. Lieb & D.C. Mattis, Academic Press, New York 1966.

9

• Vidrios de espines unidimensionales

— J. Joffrin, ‘Disordered Systems — Experimental Viewpoint’, Ill-condensed Matter, Les Houches 1978, p. 63, North-Holland.

S. Kirkpatrick et al, ‘Infinite-ranged Models of Spin-glasses’, Phys.Rev. B13, 4384 (1978)

El sist tiene hamiltoniano H = −Phiji Jij si sj con las Jij dis-tribuidas independientemente sobre la red con probabilidad

p (Jij) =1

J√2πexp

"− (Jij − J0)

2

2J2

#

lo que genera competencia ferro-antiferro. Motivado por situaciónen aleaciones magnéticas diluidas. Es muy interesante el uso dela teoría de réplicas. Recomendado.

— D.C. Mattis, ‘Solvable Spin Systems with Random Interactions’,Physics Letters A56, 421 (1976)

— P.W. Anderson, ‘Lectures on Amorphous Systems’, Ill-condensedMatter, Les Houches 1978, p. 159, North-Holland.

• Redes de neuronas

— D.J. Amit, H. Gutfreund & H. Sompolinsky, ‘Spin Glass Modelsof Neural Networks’, Phys. Rev. A32, 1007 (1985)

J.L. van Hemmen, ‘Spin Glass Models of a Neural Network’, Phys.Rev. A34, 3435 (1986)

Todas las neuronas, de intensidad Jij , actúan sobre una dada i.Puede resolverse por completo con técnica de réplicas. Estabili-dad.

10

• Modelo de Ising con energía de intercambio aleatoria

— C. Fau & B. McCoy, ‘One-dimensional Ising Model with RandomExchange Energy’, Phys. Rev. 182, 614 (1969)

— McKoy & Wu, The Two-dimensional Ising Model, Harward Univ.Press 1973, p. 345.

Notar: no es un vidrio de espines; no hay competencia ferro-antiferro. Interesante; quizás éste es más general. Uno de misartículos con Labarta.

En d = 1 :

H = −NXn=1

Jn sn sn+1 −HNXn=1

sn

Resuelto para N finito. Ecuaciones integrales.

En d = 2 :

H = −J1Xjk

sj,k sj.k+1 −Xjk

Jj sj,k sj+1.k

• Modelo de Ising diluido

— Stinchcombe, ‘Phase Transitions and Critical Phenomena’, vol. 7,Academic Press (1983)

— Dotsenko & Dotsenko, Advances in Physics 32, 129 (1983)

— Labarta, Marro & Tejada, J. Phys. C19 (1986) (y otros papersmíos relacionados)

Hamiltoniano:H = −

Xhiji

Jij si sj

con si = 0 en una fracción p de nudos elegidos al azar (site dilu-tion), o Jij = 0 en una fracción p de parejas vp’s (bond dilution).Modela impurezas en sistemas reales y es también muy interesantepor la dependencia de su comportamiento crítico con d, por seruna especie de percolación a T finita, etc.

11

• Gas de Takahashi

— Lieb &Mattis eds.,Mathematical Physics in One Dimension, Aca-demic Press, New York 1966, p.6

— Thompson, Mathematical Statistical Mechanics, Princeton Univ.Press, 1970, p.81

Modelo (gas reticular):

ϕ (r) =

⎧⎨⎩ ∞ |r| < aψ (r − a) 2a > |r| > a0 |r| ≥ 2a

¯¯

Ilustra, en particular, el teorema de van Hove (potenciales de cortoalcance no inducen cambio de fase).

• Modelo esférico de gas

— Lieb &Mattis eds.,Mathematical Physics in One Dimension, Aca-demic Press, New York 1966, p.81

Se divide el sistema en celdas, de modo q cada una tenga 1 ó 0partículas; entre celdas hay un potencial de interacción. Su solu-ción ilustra física interesante.

• Modelo X-Y

— D.D. Betts, Phase Transitions and Critical Phenomena, Domb &Green eds., vol. 6, p. 569

H = −Xij

Jij¡sxi sxj + syi s

yj

¢Interés: sxsy no conmutan. Si parámetro de orden es m =

Pi s

xi ,

no conmuta con H =⇒ estado fundamental no es con todos losespines alineados.

12

• Teorema de Lebowitz & Penrose

— Thompson, Mathematical Statistical Mechanics, Princeton Univ.Press, 1970, p.218

Solución exacta en el límite termodinámico para potencial tipoKac (alcance infinito pero infinitamente débil)

• Modelo de Ising cinético

— R.J. Glauber, ‘Time Dependent Statistics of the Ising Model’,Journal of Mathematical Physics 4, 294 (1963)

— Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenom-ena, Clarendon Press, Oxford 1971, p. 284

Cadena unidimensional exacta. Ecuación maestra; probabilidadesde transición resueltas en Ising unidimensional.Dinámica para solución campo medio. Retardamiento crítico.

— S.P. Heins, ‘Master Equation for Ising Models’, Phys. Rev. A138,587 (1965)

— B. Felderhof, ‘Spin Relaxation of the Ising Chain’, Reports onMathematical Physics 1, 215 (1971)

13

Teorema de Peierls.

Veamos los argumentos de Peierls2 que, aparte de un interés histórico, comose discutió, se han usado con éxito en otros problemas.

Sea red cuadrada con hamiltoniano ferromagnético:

H (σ) = −JXhiji

σiσj −HXi

σi, J > 0

Sea conjunto finito, Ω, de NΩ nudos de la red, descrito por HΩ de la formaanterior, con las sumas restringidas a i, j ∈ Ω. La FPC es:

ZΩ =Xσ1

· · ·XσNΩ

e−βHΩ = e−βNΩaΩ,

donde ZΩ es real positivo y aΩ es la e libre por nudo.

Sabemos que aΩ es función cóncava de H, incluso en el lím-T,3 luego lamagnetización,

m = − ∂a

∂H ,

es no-decreciente y bien definida (salvo quizás en conjunto numerable deptos.).4

Además, implica la definición que

HΩ (H, σi, σj) = HΩ (−H,−σi,−σj) ∀i, j,luego aΩ es simétrica dada T,

aΩ (H) = aΩ (−H) ,y se tiene la antisimetría

m (−H) = −m (H) .2De hecho, las versiones de Griffiths (1964) y Dobrushin (1965), que eliminan algunos

defectos de la prueba original.3Vimos el teorema general. Ver Griffiths en Domb & Green, vol. 1, sec. II, B.4, para

una demostración explícita en el caso de modelos reticulares.4Sabemos (teorema de Yang-Lee) que m es analítica, salvo posiblemente en H = 0,

pero conviene evitar usar este resultado pues el argumento de Peierls es aplicable con másgeneralidad que el T. Yang-Lee.

14

En definitiva, ha de ser:

Figura 1

Ahora bien, dadas esas simetrías, se tiene que el límite (para H ≥ 0):me = lim

H→0+m (H)

siempre ∃ y es no-negativo.5 En Fig. 1 es me = 0, pero lo anterior no excluyela situación en Fig.2, en cuyo caso el sist presentaría el cambio de fase quese observa en la naturaleza. El teorema de Peierls establece que el modelode Ising presenta el comportamiento de Fig. 2 en ciertas condiciones.

Figura 2

5Según esta definición, me sólo depende de a (en el lím-T), luego es independiente delas condiciones en los límites, etc. (ver Griffiths 1966, y tesis de Bortz p.5)

15

Dividimos la prueba en dos partes:

Parte 1: La magn/nudo en sist finito Ω con condición límite especial (qindicaremos ˆ), ee,

mΩ = − ∂aΩ∂H =

1

NΩ

Xi∈Ωhσiii∈Ω ,

donde la 2aigualdad es una def equivalente y h· · · i es el promediocanónico6, en ciertas condiciones, tiene una cota inferior:

mΩ ≥ α ≥ 0, con α independiente de Ω

Parte 2: α es también un límite inferior para me (definida antes)

Parte 1: Sea Ω un cuadrado, y la condición límite especial σi = +1 entodo el contorno del cuadrado,7 como en este ejemplo:

Dada una σ cualquiera, dibujamos líneas q separen espines con dis-tinta orientación, encerrando los negativos. Con las condiciones límiteselegidas, obtendremos polígonos cerrados8 o ‘fronteras’ (físicamente, lainterfase).

¿Qué propiedades tienen estas fronteras?

6hσiiΩ = Tr¡σi e−βHΩ¢ £Tr ¡e−βHΩ¢¤−1

7Los espines del contorno pueden tomarse como parte del sist o no, pero teniendosiempre en cuenta su interacción con los interiores. Tal tipo de condición sería adecuadapara un gas rodeado de vacío o de otras partículas que representaran el contenedor.

8Para evitar ambigüedades será necesario a veces recortar esquinas, como en la figura.

16

¿Qué propiedades tienen estas fronteras?

• Si b = perímetro (nolíneas unidad), contiene ≤ (b/4)2 espines − (casode polígono regular sin ‘’huecos).

• Sea νb en node fronteras distintas con perím b que pueden formarse en Ω(para cualquier σ); las numeramos j = 1, . . . , νb. Se tiene con facilidaduna cota, por ej:

νb ≤ 4NΩ3b−1/b

• Dada una σ, sea

X(j)b =

½1 si la frontera (j, b) está presente en σ0 en otro caso

• El noN− de espines− en cualquier σ con las condiciones límites elegidas,está acotado:

N− ≤X

b=4,6,...

µb

4

¶2 νbXj=1

X(j)b

y, tomando promedios canónicos:

hN−i ≤X

b=4,6,...

µb

4

¶2 νbXj=1

DX(j)b

E

• Sup q podemos determinar la parte dcha aquí y mostrar q es

hN−i ≤ (1− α)NΩ

2, α ≥ 0. (1)

En este caso, puesto q

mΩ =hN+i− hN−i

NΩ

= 1− 2hN−iNΩ

, pues hN+i+ hN−i = NΩ

se tendría

mΩ = 1− 2hN−iNΩ

≥ 1− (1− α) = α,

luego hemos de probar (1).

17

Para demostrar

hN−i ≤ (1− α)NΩ

2, α ≥ 0 :

• Sea C el conjunto de todas las σ en las q aparece una frontera dada,(j, b)

• Sea C∗ la frontera q se obtiene de C invirtiendo (ee, σi → −σi) todoslos espines dentro de esa frontera.9

• Entonces, para H = 0 (el caso en cuestión):

H (C∗) = H (C)− 2bJ,

pues, al hacer C → C∗, el sistema, en los bordes, pierde b parejasdistintas (+−), cada una con energía −Jσiσj = J, y gana b parejasiguales (++), cada una con energía −Jσiσj = J.

• Se sigue que

DX(j)b

E≡

Ptoda σ

X(j)b e−βHP

toda σe−βH

=

PCe−βH(C)P

toda σe−βH

≤pues ‘toda σ’ ≥C∗

PCe−βH(C)P

C∗e−βH(C∗)

=

PCe−βH(C)

e+β2bJPC∗

e−βH(C)=

hay correspondencia uno a uno entre C y C∗e−β2bJ

• En consecuencia:

hN−i ≤X

b=4,6,...

"µb

4

¶2#" νbXj=1

#hDX(j)b

Ei≤

Xb=4,6,...

∙b2

16

¸ ∙4NΩ3

b−1

b

¸ £e−β2bJ

¤

=NΩ

12

Xb=4,6,...

b¡3 e−β2bJ

¢b(a comparar con la expresión de arriba)

9Ee, en la frontera grande del ejemplo se invierte también el espín central +→−.

18

• Ee, para completar la prueba (de la parte 1) ha de tenerse:1

6

Xb=4,6,...

b¡3 e−β2bJ

¢b ≤ 1− α

que siempre es posible para β suficientemente grande (T pequeña)[4],ee, mΩ ≥ α ≥ 0, con α independiente de Ω, QED

Parte 2: α es también un límite inferior para me = limH→0+ m (H) :

• Sup el sistema sometido aH ≥ 0. Se comprueba inmediatamente que[5]mΩ ≥ α implica10 aΩ (H) ≤ aΩ (0)− αH, luego

limΩ→∞

aΩ (H) ≤ limΩ→∞

aΩ (0)− αH.

• Pero sabemos que limΩ→∞ aΩ (H) = a (H) , luego

a (H) ≤ a (0)− αH, H ≥ 0,

que implica me ≥ α,[6] QED

En definitiva, el T. de Peierls establece q el modelo de I bidimensional coninteracciones entre los vp’s ha de prsentar magnetización espontánea no-nula(en ausencia de campo aplicado) a T ’s suficientemente bajas –en consecuen-cia, la e libre (o la presión) tienen una primera derivada discontínua– lo queimplica la ∃ de un cambio de fase en el sentido usual.

Otras implicaciones, aplicaciones y extensiones del T. de Peierls[7]

10La implicación contraria se sigue inmediatamente derivando respecto a H.

19

References[1] Ee, los posibles elementos de matriz son

h+1 |P|+ 1i = eβ(J+H)

h−1 |P|− 1i = eβ(J−H)

h+1 |P|− 1i = h−1 |P|+ 1i = e−βJ

y se tiene:

Z (H, T ) =Xσ1=±1

· · ·X

σN=±1hσ1| P|σ2i hσ2|| z

=1

P|σ3i hσ3|| z =1

· · ·

× · · · |σN−1i hσN−1|| z =1

P|σNi hσN || z =1

P |σ1i

[2] Son las soluciones de la ec secular:

¯eβ(J+H)−λ e−βJ

e−βJ eβ(J−H)−λ¯= 0,

de donde:

λ2 − 2λ eβJ cosh (βH) + 2 senh (βJ) = 0,

cuyas soluciones son

20

λ± = eβJ cosh (βH)±qe2βJ cosh2 (βH)− 2 senh (2βJ)

o, equivalentemente:

λ± = eβJ∙cosh (βH)±

qe−4βJ +senh2 (βH)

¸.

En esta última expresión vemos que, al ser el radicando positivo paratodo H, se tiene λ+ > λ−. En la expresión anterior vemos que, al ser elradicando menor que e2βJ cosh2 (βH), se tiene que las dos soluciones sondefinidas positivas.

[3] En efecto, para formar estos polígonos de b lados, podemos partir deun nudo cualquiera de la red, y podemos seguir en cualquiera de lasdirecciones del espacio, luego hay 4NΩ formas distintas de empezar enuna red cuadrada. Cada uno de los restantes lados puede trazarse, comomucho, en 3 direcciones, pues no puede volverse por el camino recor-rido, luego pueden formarse 4NΩ3

b−1 fronteras con longitud b siguiendoeste método. Puesto que cualquiera de los b vértices del polígono podríahaberse tomado como pto de partida, se sigue νb ≤ 4NΩ3

b−1/b, QED.(Como b ≥ 4, también puede escribirse νb ≤ NΩ3

b−1, pero no es necesariopara el argumento.)

(De hecho, νb es menor de lo indicado, pues el polígono ha de ser cerrado,y la frontera no puede cortarse a sí misma, pero no es necesario afinarmás en la práctica.)

[4] Más explícitamente, la serie a sumar converge para x ≡ 3 exp (−2βJ)¿1, ee, T ¿ 2J (k ln 3)−1 . Cuando se cumple esta condición, puede hacersela suma y se tiene

hN−iNΩ

≤ x4 (2− x2)

6 (1− x2)2.

21

Si, por ej, T suficientemente baja para que x2 = 12, se tiene hN−iN−1

Ω ≤ 14

y, en consecuencia, mΩ ≥ 12.

[5] Consecuencia de que aΩ (H) es función cóncava de H y mΩ es monó-tonamente creciente. De hecho (alternativamanete), notar sucesivamenteque

HΩ (H) = HΩ (0)−HXi∈Ωhσii

HΩ (H) = HΩ (0)−HmΩNΩ

HΩ (H) ≤ HΩ (0)− αNΩH

luego, dado que Xσe−βHΩ = e−βNΩaΩ

se siguee−βNΩaΩ(H) ≥ eβαNΩH e−βNΩaΩ(0)

que implica lo indicado.

[6] En efecto, se tiene de este resultado, en particular:

−a (∆H)− a (0+)

∆H ≥ α

luego

lim∆H→0

∙−a (∆H)− a (0+)

∆H¸= lim

H→0+

µ− ∂a

∂H¶≡ lim

H→0+m (H) ≡ me ≥ α.

22

[7] Otras implicaciones, aplicaciones y extensiones del Teoremade Peierls (TP).

Un cambio de fase –de 2oorden, el caso en cuestión– puede caracteri-zarse también por una sensibilidad especial de las funciones de correlacióna las condiciones límites, aun cuando el sistema sea infinito (ee, la lon-gitud de correlación diverge en el pto crítico); ver teoremas de Landfordy Ruelle (1968). En consecuencia, es interesante comprobar cómo el TPimplica esta sensibilidad. En efecto, hemos visto que la condición σi = +1en los bordes conduce a hσiiΩ ≥ A > 0 para T baja. Pero el mismo ar-gumento puede aplicarse para la condición σi = −1 en los bordes con elresultado de que hσiiΩ ≤ −A para T baja. De estos hechos, puede llegara infereirse tal sensibilidad de hσiσji para Ω→∞.

Por otra parte, notamos que el TP puede extenderse inmediatamente alcaso d = 3. En este caso, hay que colocar cuadrados de área a20, cona0 la distancia entre nudos, para separar parejas de vp’s con distintaorientación, de modo que las fronteras (interfase) son ahora poliedros.Practicamente la única diferencia es que (b/4)2 ha de reemplazarse por(b/6)2/3 . La extensión a d > 3 es trivial.

Más compleja es la extensión al caso de magnetización constante(como conviene a las mezclas binarias) con fases separadas. El formal-ismo adecuado entonces es el canónico (en lugar del macrocanónico quehemos usado hasta ahora).

En la práctica, sólo hay que aplicar las relaciones generales entre los dosformalismos. Por ej, la prob de que mag = mΩ es

ΠmΩ∝Xσ1

· · ·XσN

PmΩe−βHΩ = e−βNΩaΩ(mΩ)

donde

PmΩ=

½1 si

Pi σi = mΩNΩ

0 en otro caso

y aΩ (mΩ) es la e libre a magn fija.

23

Usando métodos similares a los descritos para la ∃ del lím-T, puede en-tonces mostrarse que aΩ (mΩ) → a (m) para Ω → ∞ si mΩ → m, cona (m) convexa y simétrica enm, y que está relacionada con a (H) por unatransformación generalizada de Legendre: a (m) = supH [a (H)−mH]dada T.

El TP permite entonces estudiar la propiedades de aΩ (mΩ) y de su límitea (m) , para mostrar la ∃ de separación de fases, e incluso describir algu-nas de las propiedades de las fases separadas (Minlos & Sinai 1967, 1968).

Por ej, se demuestra, con espines + en los bordes, que los espines − tien-den a agruparse dentro de una gran frontera que, para T ’s suficientementebajas, tiene aproximadamente la forma de un cuadrado.

El sistema resulta entonces homogéneo dentro de esta frontera11 que seinterpreta como la fase líquida, y los mismo es cierto con la fase vapor.En definitiva, la fronteras de Peierls juegan un papel fundamental en esteproblema.12

Extender el TP a sistemas distintos del Ising se reduce generalmentea saber encontrar transformación C→ C∗ que permita encontrar cotasuperior a

DX(j)b

E. Se ha podido estudiar así, por ejemplo, d = 2 con:

espín semientero, s = n/2 : extensión casi trivial. Se concluye (hacer)que cota superior para TC tiende a cero cuando n→∞. (Luego esta ex-tensión no es muy interesante, salvo por mostrar una de las limitacionesdel TP: el modelo tiene transición, pero el TP establece una cota demasi-ado baja para TC .)

espín entero, s = n : se llega a este mismo resultado, pero la de-mostración es más complicada (Lebowitz & Gallavotti 1971). En el casomás sencillo, s = 1 (3 posibles orientaciones), la C→ C∗ que disminuyasiempre la energía configuracional no puede ser una simple inversión, perono es difícil encontarla (Bortz 1971 p.1526).

para el modelo de Heisenberg, con interacción isotrópica Eij =−J si · sj/s2, si los componentes de s no toman valores cuantizados, sesigue una solución equivalente a tomar s → ∞, y (para d = 2 y J > 0–interacción ferromagnética) puede demostrarse que no hay transisión

11en el sentido de que la distribución de prob de pequeñas fronteras que rodeen ‘burbujas’(σi = +1) es independiente de la posición en el sistema.12R.A. Minlos & Ya. G. Sinai, Sov. Phys. Dokl. 12, 688 (1967)

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(Mermin & Wagner 1966).13

Podemos plantear aquí un problema interesante: cuánta anisotropía esnecesaria para que este modelo presente magnetización espontánea:

· argumentos cualitativos de Bortz (1971), basados en el modelo de gotasde Fisher parecen indicar que cualquier anisotropía es suficiente para quepresente transición;

· alternativamente, uno puede estudiar

Eij = −J£szi s

zj + α

¡sxi s

xj + syi s

yj

¢¤Ás2,

que describe desde total anisotropía (Ising con s→∞) para α = 0 hastala isotropía de heisenberg para α = 1. Puedo uno convencerse con facili-dad (Bortz & Griffiths 1972) de que ∃ transición para 0 ≤ α ≤ 0.0298, almenos Este es un buen ejemplo de la versatilidad del TP.

Con la misma técnica se han estudiado, por ej, modelo de Ising anti-ferromagnético (Griffiths, en Domb & Gree II, p. 5-13), modelos no-reticulares y modelos cuánticos, y ciertas propiedades especiales de mod-elos familiares:

por ej: a T ’s suficientemente bajas, todo estado de equilibrio invariantepara Ising con d ≥ 2 e interacciones ferromagn entre vp’s es una combi-nación lineal y convexa de sólo dos estados extremos.

13Uno puede plantearse entonces el interesante problema de determinar cuántaanisotropía es necesaria para que este modelo presente magnetización espontánea. Ar-gumentos cualitativos de Bortz (1971) basados en el modelo de gotas de Fisher parecenindicar que cualquier anisotropía es suficiente para que el modelo presente transición.

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