Soluci on de Schwarzschild corregida por medio de ...
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Solucion de Schwarzschild corregida pormedio de Asymptotic Safety
Esta disertacion se presenta para el grado de
Fısico
Diego Alejandro Rodrıguez Torres
Universidad de los Andes
Facultad de Ciencias
Departamento de Fısica
Bogota D.C. Colombia
2019
1
Solucion de Schwarzschild corregida pormedio de Asymptotic Safety
Esta disertacion se presenta para el grado de
Fısico
Diego Alejandro Rodrıguez Torres
Universidad de los Andes
Facultad de Ciencias
Departamento de Fısica
Director
Pedro Bargueno. Ph.D
Bogota D.C. Colombia
2019
Contents
1 Introduccion 6
2 Introduccion a la Relatividad General 8
2.1 Gravedad en Fısica Clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Principio de equivalencia de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Ecuaciones de Campo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Solucion de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Teorıa de Renormalizacion y Asymptotic Safety 21
3.1 Teorıa de Renormalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 La idea de Kadanoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Ecuacion del grupo de Renormalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Aproximacion de Einstein-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Solucion de Schwarzschild corregida 33
4.1 Aproximacion semi-clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Interpretacion fısica de la escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Correcciones a la metrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.1 Horizonte de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.2 Potencial gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 Conclusiones 38
3
Abstract
One of the main problems of modern physics is to find a consistent theory that can
provide a quantum description for gravity; however, this theory has not been formulated
to this day. In this work we will study the Asymptotic Safety model in General Rela-
tivity, which is an alternative to understand the quantum gravity paradigm, but which
is not intended as a theory of everything . Throughout the document the physical and
mathematical requirements necessary to develop the ideas of Asymptotic Safety will be
explained and finally the new results will be applied to the Schwarzschild black hole
solution.
Resumen
Uno de los principales problemas de la fısica moderna consiste en encontrar una teorıa
consistente que pueda brindar una descripcion cuantica para la gravedad; sin embargo,
dicha teorıa no ha sido formulada hasta el dıa de hoy.En este trabajo se estudiara el modelo
de Asymptotic Safety en Relatividad General, el cual es una alternativa para tratar de
entender el paradigma de la gravedad cuantica, pero que no pretende ser una teorıa del
todo. A lo largo del documento se explicaran los requerimientos fısicos y matematicos
necesarios para poder desarrollar las ideas de Asymptotic Safety y por ultimo se aplicaran
los nuevos resultados a la solucion de agujero negro de Schwarzschild.
1 Introduccion
Hasta el dıa de hoy, poco mas de cien anos tras su formulacion, la Relatividad General,
ha sido una de las teorıas mas importantes desarrolladas por el hombre, ya que esta nos
brindo una nueva e innovadora imagen del universo a gran escala. La Mecanica Cuantica,
otro valioso logro de la ciencia en el siglo XX, nos permite estudiar la fısica a un nivel mi-
croscopico, lo que ha sido de gran beneficio para la humanidad en terminos tecnologicos.
En el siglo pasado fue de gran interes para los fısicos dar una explicacion u origen cuantico
a los fenomenos de la naturaleza, de este modo surgio el famoso Modelo estandar de la
fısica de partıculas, el cual es capaz de dar una descripcion cuantica de las interacciones
nucleares (fuerte y debil) y la electrodinamica, pero no incluye la interaccion gravitato-
ria. Es por ello que una de las grandes inquietudes que ha desafiado a la fısica durante
decadas es encontrar una teorıa cuantica para el campo gravitacional, sin embargo, dicha
teorıa aun no existe de forma completa. A pesar de ello, existen algunos resultados par-
ciales que nos permiten ver algunos efectos cuanticos del espacio-tiempo, tales como la
radiacion de Hawking [19], y muchos otros modelos que buscan resolver el paradigma de
la gravedad cuantica. En particular, el modelo propuesto por Weinberg [20], conocido
como Asymptotic Safety, sera el principal interes de este trabajo.
El modelo de Asymptotic Safety es uno de los modelos propuestos con el fin de encon-
trar una descripcion cuantica de la gravedad, en palabras simples, es un metodo por el
cual una Teorıa cuantica de campos queda bien definida para cualquier escala de energıa,
sin necesidad de que la teorıa sea renormalizable por metodos perturbativos. Puesto que
los metodos tradicionales de renormalizacion no funcionan con el campo gravitatorio, ya
que se requiere de un numero infinito de parametros en los terminos perturbativos para
eliminar las divergencias, el escenario de Asymptotic Safety propone que la gravedad debe
renormalizarse por metodos no perturbativos [12]. El requisito principal de Asymptotic
6
Safety es la existencia de un punto crıtico o punto fijo en el cual se puede controlar la
dependencia en la escala de las constantes fundamentales de la teorıa, lo que eliminarıa
divergencias de tipo matematico en las cantidades fısicas [12]. En el caso de la Relativi-
dad General, las constantes corresponden a la constante gravitacional de Newton y la
constante cosmologica.
En este trabajo estudiamos los metodos de Asymptotic Safety con el objetivo de aplicar
sus principales resultados a la Relatividad General, en particular a la famosa solucion
de Schwarzschild, para encontrar como depende esta de la escala y cuales de sus carac-
terısticas se ven mejoradas en relacion a las caracterısticas de la solucion clasica. Con esto
en mente, el trabajo esta organizado de la siguiente manera: En el primer capıtulo se da
una breve introduccion a los postulados basicos de la Relatividad General, las ecuaciones
de campo con su respectiva deduccion, se finaliza deduciendo la solucion de Schwarzschild
y se mencionan algunas de sus caracterısticas. En el segundo capıtulo se introducen los
ingredientes basicos y necesarios del modelo de Asymptotic Safety y teorıa de renormal-
izacion, tales como la accion efectiva promedio y la ecuacion de renormalizacion,la cual
nos ayuda a obtener una funcion que contenga la dependencia en escala de la constante
gravitacional. Finalmente en el tercer capıtulo se aplican las correcciones en la escala
encontradas en el segundo capıtulo a la solucion de Schwarzschild, y se analizan las car-
acterısticas de la nueva solucion, en particular se estudia como cambia la singularidad de
la solucion clasica de Schwarzschild despues de aplicarle la renormalizacion.
7
2 Introduccion a la Relatividad General
El objetivo de este capıtulo es brindar una breve introduccion a la relatividad general,
se mencionaran algunos de sus principios fısicos y matematicos mas basicos que seran
fundamentales a lo largo de este trabajo.
2.1 Gravedad en Fısica Clasica
La Mecanica Newtoniana fue por mucho tiempo la teorıa usada para describir la dinamica
de las partıculas en un campo gravitacional y del campo gravitacional en si, esta teorıa
se puede resumir en las siguientes ecuaciones:
m~x = ~Fg = −m~∇φ (1)
Donde φ corresponde al potencial gravitacional. Para obtener la segunda ecuacion, que
describe la dinamica del potencial gravitacional, es necesario dar algunas definiciones.
Para empezar, existe un campo gravitacional ~g asociado al potencial φ, en fısica clasica,
el campo gravitacional corresponde a un campo vectorial que indica como una masa
puntual afecta el espacio que lo rodea. Para una masa puntual m, el campo gravitacional
esta dado por:
~g =Gm
r2r
La relacion entre ~g y φ esta dada por:
~g = −~∇φ
Es exactamente la misma relacion que hay entre el campo electrico y el potencial electrico.
Notemos que:
~∇ · ~g = −∇2φ
Ademas, por el teorema de Stokes se tiene que:
8
∫V
~∇ · ~gdV =
∫S
~g · ~dS
vamos a desarrollar el termino de la izquierda:∫S
~g · dS =Gm
r2
∫S
r · ~dS =Gm
r2
∫S
r · rdS =Gm
r2
∫S
dS = 4πGm
Podemos escribir la masa en terminos de la densidad, ası:
m =
∫V
ρdV
Por lo tanto:
4πG
∫V
ρdV =
∫V
~∇ · ~gdV = −∫V
∇2φdV
Finalemnte:
∇2φ = −4πGρ (2)
La ecuacion (2) corresponde a la ecuacion de Poisson para el campo gravitacional.
Se puede decir que en las ecuaciones (1) y (2) esta simplificada la teorıa clasica de la
gravedad, sin embargo, justo despues de postular la Relatividad Especial, Albert Einstein
quiso formular una teorıa relativista de la gravedad, por lo cual se dio cuenta que estas
ecuaciones presentaban algunos problemas. Para empezar, la ecuacion de Poisson (2) no es
invariante ante transformaciones de Lorentz debido a que no posee derivadas temporales,
ademas , segun esta ecuacion la interaccion gravitacional se propaga instantaneamente
sin importar la distancia, lo cual claramente no es compatible con los postulados de la
Relatividad Especial. Otro detalle menos obvio tiene que ver con la universalidad de la
gravedad, es decir la gravedad se acopla a todas las formas de materia [16]. Debido a que
la gravedad se acopla a la masa y ademas la masa en sı es una forma de energıa gravita-
cional, esto implica que la gravedad se acopla a sı misma. Por lo dicho anteriormente, las
ecuaciones que describan la gravedad deben ser no lineales.
9
2.2 Principio de equivalencia de Einstein
Muchas de las ideas mas brillantes de Einstein, que mas tarde se convertirıan en principios
fısicos importantes se pueden llegar a entender por medio de los famosos Gedankenexper-
imente o experimentos mentales que el mismo se planteaba. En esta seccion se discutira
de manera informal el Principio de equivalencia de Einstein con la ayuda de experimentos
mentales.
En primer lugar, en la ecuacion (1) tenemos dos tipos de fuerza completamente dis-
tintas, al lado izquierdo de la ecuacion tenemos la Segunda ley de Newton, que dice que
la sumatoria de fuerzas ejercidas sobre un objeto es igual a su masa inercial mi por la
aceleracion . Al lado derecho tenemos la ley de gravitacion universal, la cual afirma que la
fuerza producida por un campo gravitatorio es proporcional al campo ~g, o al gradiente de
su respectivo potencial ~φ por la masa gravitacional mg. No obstante, en la ecuacion (1)
no hemos hecho distincion alguna entre mi y mg, esto es debido a que experimentalmente
se ha mostrado con bastante precision que mi = mg, a pesar de ello, son conceptos fısicos
completamente distintos y su igualdad no es algo obvio.
La masa inercial mi, es una cantidad que esta asociada a la resistencia que ejerce un
cuerpo al cambio de velocidad o a la aceleracion. Por otro lado, la masa gravitacional mg
es la masa a la cual se acopla el campo gravitatorio, para aclarar el concepto de masa
gravitacional haremos uso de la Ley de gravitacion universal:
~Fg = −Gm1m2
r2r
Esta ecuacion describe la atraccion gravitacional entre dos cuerpos con masas m1 y m2,
estas dos masas , corresponden a masas gravitacionales, dicho de otro modo , de estas
cantidades depende que tan fuerte es la atraccion gravitacional entre dos objetos masivos,
se puede decir que la masa gravitacional es una especie de analogo gravitacional de la
carga electrica, ası como la fuerza generada por un campo electrico es de la forma:
~Fe = −q ~E = −q~∇φe
10
La fuerza generada por un campo gravitacional es :
~Fg = −mg~g = −mg~∇φ
La igualdad entre masa inercial y masa gravitacional nos invita a reflexionar sobre
la naturaleza de la gravedad y de la inercia (aceleracion). Suponga que en un ascensor
se encuentra una persona con una pelota en su mano, el cable del ascensor es cortado,
de manera que ahora el ascensor se encuentra en caıda libre, sin embargo, la persona
adentro esta cayendo con la misma aceleracion que el ascensor, por lo que en su marco
de referencia, no notara que este en caıda libre; cuando suelta la pelota, vera que esta se
encuentra flotando, ya que de igual forma la pelota cae con la misma aceleracion que el
ascensor. Lo que paso en esta situacion es que el efecto de la gravedad fue eliminado al
cambiar a un marco de referencia en caıda libre (acelerado), en consecuencia , la persona y
la pelota se encuentran en un estado de ingravidez. La sensacion de ingravidez generada
dentro del ascensor , es exactamente la misma que siente un astronauta estando en el
espacio exterior, ya que allı no hay gravedad.
Ahora, consideremos el caso contrario, pensemos en la misma persona con la pelota
en las manos, pero esta vez se encuentra fuera del planeta Tierra, lejos de cualquier
campo gravitacional. La persona y la pelota se encuentran flotando dentro del ascensor,
de repente , algun astronauta que se encuentra cerca al ascensor, aplica una fuerza al
ascensor hacia arriba, de manera que este gana aceleracion y se empieza a mover hacia
arriba. Como la persona y la pelota se encuentran quietas, estan proximas a chocar
contra el suelo del ascensor, de la misma manera que si estuvieran inmersos en un campo
gravitacional. En otros terminos, hemos recreado los efectos de un campo gravitacional
al aplicar una aceleracion sobre el ascensor.
De estos experimentos mentales podemos concluir lo siguiente:
• Localmente los efectos de la aceleracion y los efectos de la gravedad son indistin-
guibles.
11
• Localmente se puede eliminar el efecto de la gravedad al cambiar a un marco de
referencia en caıda libre.
En un campo gravitacional no uniforme, no es posible eliminar el efecto de la gravedad
al cambiar a un marco de referencia acelerado, puesto que por ejemplo, en el campo
gravitacional terrestre, si dejamos caer dos pelotas desde un punto lo suficientemente
alto, las pelotas tienden a acercarse entre ellas, ya que el campo gravitatorio las atraera
hacia el centro. Es por esto que estas dos conclusiones son validas solo localmente, esto
es. en escalas donde el campo gravitacional es constante.
Todo lo discutido en esta seccion se puede resumir enunciando de manera informal el
Principio de equivalenica de Einstein (PEE):
En una region lo suficientemente pequena del espacio-tiempo, ningun
experimento puede determinar sı estamos en un campo gravitacional
o en un marco de referencia acelerado
2.3 Ecuaciones de Campo de Einstein
Como vimos en la seccion anterior, las ecuaciones de la Mecanica Clasica no son conve-
nientes para describir una teorıa relativista de la gravedad, en la siguiente seccion se hara
una deduccion de las ecuaciones que describen de una manera mas adecuada el campo
gravitacional, estas son las Ecuaciones de Campo de Einstein. Para obtenerlas haremos
uso del famoso Principio de mınima accion, pero para poder usarlo correctamente, primero
vamos a encontrar heurısticamente alguna accion para el campo gravitatorio.
La cantidad principal en Relatividad General es la metrica o tensor metrico gµν , ya
que ella nos brindara informacion geometrica y fısica sobre como la gravedad afectara
nuestro espacio, ası que no es absurdo suponer que nuestra accion dependa de la metrica
de alguna forma. Debemos exigir que en algun punto se recupere la ecuacion de Poisson
(2), es decir que la accion debe depender de terminos que contengan primeras y segundas
12
derivadas de la metrica. Ası que la accion debe tener la siguiente forma:
SEH = κ
∫L (gµν ,∇gµν ,∇2gµν)dV (3)
En (3) κ es alguna constante que sera util para ajustar las respectivas unidades, en la
literatura se encuentra el valor de κ = c3
16πG, con c la velocidad de la luz en el vacıo, que
de aquı en adelante tomara el valor de c = 1 por simplicidad. L es alguna funcion escalar
que depende de la metrica y algunas de sus derivadas, el termino dV es el elemento de
volumen espacio-temporal, que en un sistema de coordenadas arbitrario toma la forma
dV =√−gdx0dx1dx2dx3 , con g = det gµν . El escalar mas simple que se puede formar
a partir de la metrica y algunas de sus derivadas es el escalar de Ricci R, ademas , este
tiene unidades de 1[L2]
, lo cual nos ayudara a que la accion tenga unidades correctas de
[E][t].
Resumiendo lo anterior en una ecuacion, obtenemos lo siguiente:
SEH =1
16πG
∫ √−gRd4x (4)
La ecuacion de arriba es la famosa accion de Einstein-Hilbert, y es la accion principal en
Relatividad General.
Vamos a aplicar variaciones a la accion de Einstein-Hilbert (4), y con ello usar el
Principio de mınima accion (δSEH = 0) para encontrar las ecuaciones de movimiento que
describe nuestro sistema.
δSEH =1
16πGδ
∫d4x√−gR
=
1
16πG
∫d4xδ
(√−ggµνRµν
)=
1
16πG
∫d4x(√−ggµνδRµν +
√−gRµνδgµν +Rδ(
√−g)
)=
1
16πG(δS1 + δS2 + δS3) = 0
Donde:
δS1 =
∫d4x√−ggµνδRµν
δS2 =
∫d4x√−gRµνδg
µν
δS3 =
∫d4xRδ(
√−g)
13
Vamos a desarrollar cada termino individualmente. Para empezar, vamos a estudiar δS3,
usaremos el hecho de que toda matriz cuadrada M , con det(M) 6= 0, vale que:
ln(det(M)) = Tr(lnM)
∂ ln det(M)
∂det(M)=∂ TrlnM∂det(M)
δ(det(M))
det(M)= Tr
M−1δM
En nuestro caso tenemos: det(M) = g,M = gµν M
−1 = gµν y TrM = gµνgµν .
δg
g= gµνδgµν
Por lo tanto:
δg = ggµνδgµν = −ggµνδgµν
Podemos usar la anterior relacion para calcular el termino δ(√−g):
δ(√−g) =
1
2√−g
δ(−g) =1
2√−g
ggµνδgµν
⇒ δ(√−g) = −1
2
√−ggµνδgµν
Y por lo tanto:
δS3 =
∫d4xRδ(
√−g) = −1
2
∫d4x√−gRgµν (5)
Para encontrar el termino δS1 es necesario encontrar la variacion del tensor de Ricci.
Para ello vamos a escribir el tensor de Ricci como la contraccion del primer y tercer ındice
del tensor de Riemann, ası obtendremos una expresion en terminos de los Sımbolos de
Christoffel y sus derivadas, posterior a ello calcularemos las variaciones del tensor de Ricci
en terminos de las variaciones de los Sımbolos de Christoffel:
Rµν = Rαµαν = ∂αΓαµν − ∂νΓαµα + ΓααγΓ
γµν − ΓγανΓ
µαγ
⇒ δRµν = ∂αδΓαµν − ∂νδΓαµα + ΓαµνδΓ
ααγ + ΓααγδΓ
αµν − ΓγµαδΓ
ανγ − ΓανγδΓ
γµα
14
Recordemos que los sımbolos de Christoffel no transforman como un tensor, sin embargo,
el termino δΓαµν es una diferencia entre dos Christoffel, lo cual sı es un tensor, por lo que
podemos proceder a calcular su derivada covariante:
∇α(δΓαµν) = ∂αδΓαµν + ΓααγδΓ
γµν − ΓγµαδΓ
αγν − ΓγναδΓ
αγµ
∇ν(δΓαµα) = ∂αδΓ
αµν + ΓγνµδΓ
ααγ
Sı restamos las dos expresiones de arriba recuperamos exactamente los mismos terminos
que contiene δRµν , por lo tanto:
δRµν = ∇α(δΓαµν)−∇ν(δΓαµα) (6)
La ecuacion (6) se conoce como La identidad de Palatini, y nos sera de utilidad para
realizar el calculo de δS1.
δS1 =
∫d4x√−ggµνδRµν =
∫d4x√−g∇α(gµνδΓαµν)−∇ν(g
µνδΓαµα)
=∫d4x√−g∇α(gµνδΓαµν)−∇α(gµαδΓνµν)
=
∫d4x√−g∇α(gµνδΓαµν − gµαδΓνµν) =∫
∇αCα√−gd4x
En el termino gµνδΓαµν − gµαδΓνµν los ındices µ y ν se repiten, por lo tanto podemos
definir el siguiente tensor Cα = gµνδΓαµν−gµαδΓνµν . La ultima integral corresponde a una
integral de volumen, que e puede transformar en una integral de superficie por medio del
teorema de la divergencia. Este termino se cancela ya que en una integral de superficie
las variaciones se anulan [17].Por lo tanto δS1 = 0.
Reuniendo todos los resultados previos obtenemos que:
δSEH = δS2 + δS3 = 0
⇒∫d4x√−gδgµν
Rµν −
1
2Rgµν
= 0
⇒ 1√−g
δSEHδgµν
= Rµν −1
2Rgµν = 0
15
Finalmente obtenemos el siguiente resultado, que corresponde a las famosas ecuaciones
de Campo de Einstein en el vacıo:
Rµν −1
2Rgµν = 0 (7)
Sı queremos encontrar una ecuacion mas general incluyendo la presencia de cualquier
fuente material, simplemente debemos modificar la accion incluyendo un lagrangiano LM
que corresponda a la parte material, y realizamos el mismo proceso de antes:
S = SEH + SM
δS = 0⇒ 1√−g
δSEHδgµν
+1√−g
δSMδgµν
=1
16πG
Rµν −
1
2Rgµν
+
1√−g
δSMδgµν
= 0
Definimos el Tensor de energıa momento como sigue:
Tµν = − 2√−g
δSMδgµν
(8)
Y finalmente, llegamos al siguiente resultado que corresponde a las ecuaciones de campo
de Einstein en presencia de materia:
Rµν −1
2Rgµν = 8πGTµν (9)
2.4 Solucion de Schwarzschild
La solucion de Schwarszchild es la primera solucion exacta no trivial (espacio-tiempo
plano) de las ecuaciones de campo en el vacıo, esta describe el campo gravitacional gen-
erado por un objeto masivo, estatico, con simetrıa esferica y asintoticamente plano. En
esta seccion trataremos de llegar paso a paso a la solucion de Schwarszchild.
Para empezar, sı multiplicamos la ecuacion (7) por la metrica gµν , obtendremos el
escalar de Ricci y la traza de la metrica:
R− 2R = 0⇒ R = 0
16
Por lo tanto, las ecuaciones que debemos resolver son:
Rµν = 0 (10)
Nuestro solucion debe ser estatica y debe tener simetrıa esferica, por ello podemos pro-
poner que la solucion sea un elemento de lınea de la siguiente forma:
ds2 = −A(r)dt2 +B(r)dr2 + r2dΩ2 (11)
Al ser estatica, las funciones que curvan la metrica A(r) y B(r) no pueden tener depen-
dencia temporal, solo pueden tener dependencia radial. El termino dΩ2 = dθ2+sin2 (θ)dφ2
es el elemento de lınea de la esfera. Teniendo en cuenta que las funciones A(r) y B(r)
solo tienen dependencia radial, vamos a calcular las diferentes componentes del tensor de
Ricci para la metrica (11).
Rtt = −A′B′
4B2+A′
rB− A′2
4AB+A′′
2B
Rtt =A′′
2B+A′
rB− A′
4B
(A′
A+B′
B
)(12)
Similarmente, se simplifican las otras componentes y se obtiene:
Rrr = −A′′
2A+
B′
rB′+A′
4A
(A′
A+B′
B
)(13)
Rθθ = 1− 1
B− r
2B
(A′
A− B′
B
)(14)
Rφφ = sin2 θRθθ (15)
Todas las componentes restantes son nulas. Se puede llegar a la siguiete relacion entre
(12) y (13):
Rtt
A+Rrr
B=
A′′
2BA+
A′
rBA− A′′
2AB+
B′
rBB′−
A′
4BA
(A′
A+B′
B
)− A′
4BA
(A′
A+B′
B
)=
A′
rBA+
B′
rBB
17
Las diferentes componentes del tensor de Ricci deben satisfacer (10), por lo tanto:
Rtt
A+Rrr
B= 0
A′
A+B′
B= 0 (16)
Ahora, solucionamos la ecuacion diferencial separable (45):∫A′
A+
∫B′
B=
∫0
lnA+ lnB = cte
ln(AB) = cte
Luego, usando el hecho de que la solucion debe ser asintoticamente plana, tenemos la
siguiente condicion de frontera, si r ⇒ ∞, A y B tienden a 1 para aproximar. Luego, el
valor de la constante tiene que ser 0. Ası obtenemos:
ln(AB) = 0
Y por lo tanto:
AB = 1 (17)
Usando la relacion (14) junto con (17) podemos obtener el siguiente resultado:
Rθθ = 1− 1
B− r
2B
(−B
′
B− B′
B
)= 1− 1
B+rB′
B2
= Rθθ = 1− 1
B− r
(1
B
)′
Rθθ = 1− A− rA′ (18)
18
Vamos a resolver esta ecuacion diferencial para A(r).
Rθθ = 0
1− A− rA′ = 0
1 = A+ rA′
1 = (rA)′∫dr =
∫d(rA)
r + cte = Ar
A(r) = 1 +C
r
Donde C es una constante de integracion, que podemos encontrar usando el hecho de que
la solucion debe ser asintoticamente plana, es decir, si nos alejamos mucho de la fuente,
la metrica debe comportarse como la de un espacio-tiempo plano, para ello usamos la
aproximacion de campo debil [17, 18] gtt ≈ 1 + 2φ, por ende , C = −2Gm.
A(r) = 1− 2Gm
r(19)
Insertando esto en (11) y conociendo la relacion (17), finalmente llegamos a la famosa
solucion de Schwarzschild:
ds2 = −(
1− 2Gm
r
)dt2 +
(1− 2Gm
r
)−1dr2 + r2dΩ2 (20)
El elemento de lınea (20), tiene a simple vista dos irregularidades en los puntos r = 2Gm
y r = 0. Para analizar sı estas singularidades son de origen fısico o simplemente dependen
de una mala eleccion de coordenadas, necesitamos verificar los invariantes que se puedan
obtener a partir de la metrica, ya que ellos no dependen de las coordenadas. Anteriormente
vimos que para esta solucion, el escalar de Ricci R = 0, lo cual no nos dice nada, de modo
que necesitamos construir otro escalar. El escalar que es de utilidad en este caso, se
conoce como el escalar de Kretschmann, que no es mas que el cuadrado de el tensor de
Ricci:
K = RabcdRabcd (21)
19
Para la metrica de Schwarzschild el escalar de Kretschmann tiene un valor de [18]:
K =48G2m2
r6(22)
Podemos observar que para r = 2Gm el escalar no presenta ninguna divergencia, por
lo tanto este punto no representa una verdadera singularidad en el espacio - tiempo, y
que la singularidad aparente se debe a un problema de coordenadas. De hecho, el radio rs
es conocido como el radio de Schwarzschild y tiene propiedades fısicas de mucha impor-
tancia. En contraste, el escalar (22) presenta una divergencia en r = 0. En la literatura
[18], encontramos que una de las condiciones para que algun punto sea considerado una
singularidad es que en dicho punto la curvatura tienda a infinito, es decir, que alguno
de los escalares construidos a partir del tensor de Riemann presenta divergencias. En
conclusion el punto r = 0 es una singularidad fısica del espacio-tiempo de Schwarzschild.
20
3 Teorıa de Renormalizacion y Asymptotic Safety
La Relatividad General (RG), ha sido una de las teorıas mas importantes desarrolladas
por el hombre, ya que esta nos brindo una nueva e innovadora forma de entender la
gravedad lo que nos condujo a tener una imagen mas amplia del universo a gran escala.
Lamentablemente, la RG no presenta la descripcion final de la gravedad, debido a que,
como vimos en el anterior capıtulo, la existencia de singularidades en las soluciones de las
ECE indican que la teorıa no esta completa, ademas , la RG proporciona una descripcion
clasica (no cuantica) de la gravedad. Para poder incorporar la gravedad en el Modelo
Estandar es necesario desarrollar una teorıa cuantica para el campo gravitacional, sin
embargo , al aplicar los metodos perturbativos de renormalizacion, de igual forma que con
las otras interacciones fundamentales, aparecen divergencias que no pueden ser eliminadas.
Esto quiere decir que no se puede llegar a describir la gravedad como una Teorıa Cuantica
de Campos (TCC) por medio de metodos perturbativos, esto no implica que la gravedad no
sea cuantizable, significa que posiblemente una teorıa cuantica de la gravedad provenga de
metodos NO perturbativos. Una de los modelos propuestos para brindar una descripcion
cuantica de la gravedad y que recupere en algun punto a la RG es Asymptotic Safety (AS),
este modelo propone que una teorıa es renormalizable por metodos no perturbativos, y
se pueden eliminar las divergencias fısicas al asumir que las constantes fundamentales de
la teorıa corren con la escala . El objetivo de este capıtulo es brindar las herramientas
basicas para entender el modelo de AS.
3.1 Teorıa de Renormalizacion
Intuitivamente podemos afirmar que la escala de longitud a la cual observamos los fenomenos
naturales determina la manera en la que los entendemos, es decir, construimos las teorıas
fısicas en base a observables convenientes respecto a dicha escala, e ignoramos lo que
21
ocurre a escalas mas pequenas. Por ejemplo, sabemos que el agua esta constituida por
una enorme cantidad de moleculas interactuando entre ellas, sin embargo, esta infor-
macion es irrelevante si queremos estudiar las propiedades de la corriente que fluye por
un rıo, ya que simplemente basta con modelar la corriente como un fluido continuo y usar
las herramientas matematicas de la mecanica de fluidos. En terminos generales, la fısica
de fenomenos a una escala muy pequena no interfiere con la fısica de fenomenos a escala
muy grande, por lo tanto cada fenomeno puede ser tratados independientemente, como el
caso de la fısica que describe las interacciones de dos moleculas de agua es la misma para
un vaso de agua y para el agua del mar [2].
No obstante, debido a que la forma en la que observamos el mundo es mas cercana a
lo macroscopico, en general las teorıas fısicas tienen complicaciones al tratar de describir
el mundo a escalas de longitud muy pequenas (o de manera equivalente a altas energıas ).
Las teorıas fısicas funcionan de manera efectiva hasta cierta escala de longitud especıfica,
la escala para la cual una teorıa fısica deja de ser precisa se denomina escala de corte
(cutoff scale), en el caso de la RG la escala de corte corresponde a la escala de Planck
(10−35m) . El grupo de Renormalizacion [3] es una herramienta matematica que nos
permite manipular la escala a la cual describimos un sistema fısico, cambiando los grados
de libertad del sistema por unos nuevos grados re-escalados , lo que crea un sistema
diferente al original pero que contiene la misma fısica del sistema. Por medio de este
formalismo es posible tener acceso a la fısica de altas energıas (distancias cortas).
3.2 La idea de Kadanoff
En esta seccion se ilustraran las ideas discutidas en la seccion anterior sobre el grupo de
Renormalizacion por medio de la idea desarrollada por Kadanoff [7] para resolver sistemas
magneticos usando transformaciones en la escala. Kadanoff desarrollo su idea en el famoso
Modelo de Ising en dos dimensiones, que consiste en una red bidimensional de atomos
con dos grados de libertad de espın (+1,−1), existe interaccion espın-espın a primeros
22
vecinos, y la escala de corte corresponde a la distancia d entre dos espines de la red.
El Modelo de Ising es de crucial importancia en la Fısica Estadıstica y en la Fısica de
Materia Condensada, por lo cual ha sido ampliamente estudiado por la comunidad fısica,
de manera que ya ha sido encontrada una solucion analıtica exacta por Onsager(1944) [6].
En esta seccion no se pretende brindar detalles sobre la solucion exacta, en lugar a ello
se mencionaran las ideas principales usadas por Kadanoff para resolver el problema por
medio de transformaciones de escala y el grupo de Renormalizacion, y con ello entender
la utilidad del mismo en la fısica.
La idea de Kadanoff consiste en formar bloques de espın, en donde el bloque formado
tendra un nuevo super-espın de acuerdo a una regla de mayorıa, esto es, sı por ejemplo
formamos un bloque 3 × 3 tendremos en total 9 espines, si de ellos al menos 5 tienen
espın +1 (−1), entonces el super-espın del bloque sera +1 (−1). Al hacer esto en toda
la red se obtendra una nueva imagen del sistema, en terminos de nuevas variables re-
escaladas o renormalizadas tales como la distancia d entre espines vecinos, que habra sido
incrementada, y las interacciones entre espines, que ahora se transformara en interacciones
entre primeros super-espines, lo cual nos mostrara informacion nueva del sistema, ya que
las interacciones entre super-espines vecinos tienen en cuenta interacciones nuevas de los
viejos espines tales como interacciones a segundos y terceros vecinos, lo cual nos dara una
mejor perspectiva del sistema original, ya que este solo incluıa interacciones a primeros
vecinos.
Al inicio de la seccion se menciono que los fenomenos fısicos que ocurren a escalas
de longitud significativamente diferentes pueden ser estudiados independientemente, sin
embargo, parte del trabajo de Kadanoff demostro que cerca a un punto crıtico existen
fluctuaciones en el sistema que afectan todas las escalas de longitud, por ejemplo un punto
crıtico puede ser la temperatura a la cual el agua cambia de fase lıquida a fase solida, o
en el Modelo de Ising, cuando el sistema tiene una transicion de fase ferromagnetica o
23
paramagnetica. Es por ello que la utilidad del metodo de Renormalizacion se hace mas
fuerte cerca a los puntos crıticos, en el caso de este trabajo, vamos a aplicar estas ideas a
la RG, por lo que un ejemplo de punto crıtico podrıa corresponder a una singularidad en
un agujero negro.
3.3 Ecuacion del grupo de Renormalizacion
Kadanoff aplico las ideas de la Renormalizacion a modelos en donde se realizaban cambios
discretos en la escala de corte, mas adelante se logro implementar esta idea para cambios
continuos en la escala, por medio de la Teorıa Cuantica de Campos.En el caso de trans-
formaciones discretas, la informacion fısica de un sistema macroscopico constituido por
muchos cuerpos la podemos encontrar en la funcion de particion canonica, definida de la
siguiente forma:
Z =N∑i=1
e−βEi (23)
Donde β = 1kBT
, i son los microestados del sistema y Ei es la energıa total del sistema.
La fısica del sistema esta determinado por la funcion de particion, ya que a partir de las
derivadas de (23) se pueden obtener cantidades importantes relacionadas con fluctuaciones
termodinamicas, tales como la energıa libre, entropıa, entre otras. Ahora bien, en lo que
concierne a transformaciones continuas en la escala en sistemas conformados por muchas
partıculas, las magnitudes fısicas estan representadas mediante el concepto de campo, y
la Teorıa Cuantica de Campos ha desarrollado un analogo a la funcion de particion (23)
que nos permita calcular las observables fısicas, denominado funcional generador [4]:
Z[J ] = eW [J ] =
∫Dφe−S[φ]+J ·φ (24)
En este caso, por simplicidad φ(x) representa un campo escalar que depende de la posicion
x (se puede generalizar para otro tipo de campo), S[φ] corresponde a la accion desnuda,
J(x) es la fuente del campo, W [J ] es un funcional que representa la energıa del sistema.
24
En (24) se uso la siguiente notacion:∫Dφ =
∏i
∫dφi
La productoria se realiza sobre los diferentes campos que haya presentes en nuestro sis-
tema. Y el producto interno:
J · φ =
∫J(x)φ(x)d4x
Ası como la funcion de particion contiene informacion sobre fluctuaciones termodinamicas,
en la funcion generatriz (24) tenemos fluctuaciones cuanticas del sistema, y podemos
calcular cantidades de interes a partir de sus derivadas, tales como:
δW [J(x)]
δJ(x)=δ lnZ[J(x)]
δJ(x)=
∫Dφe−S[φ]+J ·φφ(x)∫Dφe−S[φ]+J ·φ
= φprom
Donde φprom es el promedio de los campos sobre todas las fluctuaciones cuanticas. Es
el analogo a la magnetizacion en un sistema de espınes. En terminos de φprom, podemos
tomar la transformada de Legendre de W [J ] para definir la siguiente cantidad:
Γ[φprom] = −W [J ] + J · φprom (25)
La funcion (25) es conocida como Accion Efectiva Cuantica (AEC) , es una version de la
accion clasica S que contiene correcciones cuanticas, y sera utilizada en este trabajo .
Para poder aplicar la teorıa presentada hasta ahora a la gravedad en el marco de AS ,
debemos incluir dependencia en la escala, de manera que se puedan encontrar fluctuaciones
a una longitudes de escala bajas (altas energıas) y en longitudes de escala grandes (bajas
energıas). Por este motivo, debemos usar la Accion Efectiva Promedio (AEP) Γk[φprom],
que se define como una version dependiente de la escala k de la AEC (25) . En una teorıa
especıfica, la AEP se debe escribir de la siguiente forma:
Γk[φprom] =∞∑α=1
uα(k)Pα(φprom)
25
Donde Pα(φprom) son los invariantes de la teorıa y uα(k) son los acoples o constantes
fundamentales que asumimos dependen de la escala. Podemos determinar como varıan las
constantes fundamentales de la teorıa respecto a la escala por medio de la Ecuacion exacta
del grupo de Renormalizacion (EEGR).En esta seccion mostraremos brevemente uno de
los caminos para obtener dicha ecuacion y nombraremos algunas de sus caracterısticas.
Para empezar, vamos a definir la AEP de manera analoga a (25), por lo que primero
definimos el funcional generador Zk[J ] y el funcional de energıa Wk[J ] dependientes de
escala:
Zk[J ] = eWk[J ] =
∫Dφe−S[φ]+J ·φ−Rk (26)
Notese que la unica diferencia entre (26) y (24) es el termino Rk. Este termino se conoce
como el regulador IR(infra rojo), se encarga de tomar en cuenta las contribuciones de una
escala mayor a k, mientras que suprime las contribuciones de escala menores a k, ademas
la dependencia en escala de la AEP esta determinada por este factor.
Rk =1
2φ ·Rk · φ
La funcion Rk debe satisfacer las siguientes condiciones:
• limp2/k2→0
Rk > 0, para que en el lımite IR no hayan divergencias.
• limk2/p2→0
Rk = 0. De este modo, se elimina la dependencia en la escala k de la ecuacion
(26) y recuperamos la accion efectiva cuantica.
• limk→∞
Rk =∞.
Si no tuvieramos en cuenta el regulador Rk en la ecuacion (26), no tendrıamos depen-
dencia en la escala y tendrıamos simplemente la funcion generadora (24). Analogo a (25)
vamos a definir la AEP como la trasformada de Legendre de Wk[J ].
Γk[φ] = −Wk[J ] + J · φ− 1
2φ ·Rk · φ (27)
26
Notemos que la AEP Γk[φ] esta definida casi igual que la AE Γ[φ], la unica novedad es el
termino Rk. Al tomar derivadas respecto a k de la ecuacion (27) obtenemos:
∂kΓk[φ] = −∂kWk[J ]− ∂WK
∂J∂kJ + ∂k(J · φ)− 1
2φ · ∂kRk · φ
Tomando ∂Wk
∂J= φ obtenemos:
∂kΓk[φ] = −∂kWk[J ]− 1
2φ · ∂kRk · φ (28)
Desarrollemos el primer termino:
∂Wk[J ]
∂k=∂ lnZk∂k
=1
Zk
∂ZK∂k
=1
Zk
∫Dφ(−1
2φ · ∂kRk · φ
)e−S[φ]+J ·φ−
12φ·Rk·φ
Por lo tanto:
∂Wk[J ]
∂k= −1
2〈φ · ∂kRk · φ〉 (29)
Ademas notemos que al tomar segundas derivadas respecto a φ en (27):
∂2Γk∂φ∂φ
= Γ(2)k =
∂J
∂φ−Rk
A partir de la relacion ∂Wk
∂J= φ podemos encontrar que:
∂J
∂φ=
(∂Wk
∂Ja∂Jb
)−1Ademas, en la literatura [4] podemos encontrar la siguiente relacion:
(∂Wk
∂Ja∂Jb
)= 〈φaφb〉 − 〈φa〉 〈φb〉
Por lo tanto:
∂J
∂φ=
(∂Wk
∂Ja∂Jb
)−1= Γ
(2)k +Rk (30)
Sı reemplazamos en (28) las relaciones (29), (30) :
∂kΓk[φ] =1
2〈φ · ∂kRk · φ〉 −
1
2φ · ∂kRk · φ =
1
2∂kRk[〈φ · φ〉 − φ · φ] =
1
2∂kRk
(∂Wk
∂Ja∂Jb
)27
=⇒ ∂kΓk[φ] =1
2
[Γ(2)k +Rk
]−1· ∂kRk
Nuestro producto interno denota una integral sobre todo el espacio de posiciones
(momentos), por lo tanto, podemos escribirlo en terminos de la traza sobre el espacio de
momentos [5], que ademas incluye sumatorias sobre todos los campos:
Tr =
∫d4p
(2π)4
Finalmente llegamos a:
∂kΓk[φ] =1
2Tr
[(Γ(2)k +Rk
)−1∂kRk
](31)
La ecuacion (31) es la previamente mencionada EEGR. Γ(2)k es la matriz de segundas
derivadas parciales o matriz Hessiana de la accion efectiva promedio respecto a los distintos
campos φi que esten presentes en la teorıa:(Γ(2)k
)ij
=δ2Γkδφiδφj
(32)
Una solucion de la EEGR (31) debe recuperar la fısica de bajas energıas y de altas
energıas, es decir , si tomamos una escala k −→∞ (lımite UV) , Γk[φ] = S[φ], donde S[φ]
es la accion desnuda o microscopica, pero sı por el contrario sı tomamos k −→ 0 (lımite
IR) ,Γk = Γ[φ], donde Γ[φ] es la AEC (25), que como ya se habıa mencionado, contiene
fluctuaciones cuanticas a bajas energıas.
3.4 Aproximacion de Einstein-Hilbert
El proposito de este trabajo es poder encontrar correcciones de tipo cuantico a la teorıa de
la RG por medio de un analisis no perturbativo, ya que los estudios realizados por medio
de la expansion perturbativa presentan divergencias y otros problemas. Las herramientas
principales para realizar la renormalizacion no perturbativa son la EEGR (31) y la AEP
(27), que han sido desarrollados a lo largo del capıtulo. Por lo tanto, si queremos aplicar
estos metodos a la RG, para empezar debemos definir la AEP para la RG e introducirla
28
a la EEGR. No obstante, esta ecuacion es una ecuacion integro-diferencial no lineal, por
lo cual encontrar soluciones exactas es una tarea casi imposible. Sin embargo, es posible
usar cierto tipo de aproximacion en la AEP de la cual podamos obtener informacion fısica
relevante. La aproximacion mas simple y la mas usada a lo largo de la literatura consiste en
truncar la accion gravitacional a la Aproximacion de Einstein-Hilbert, agregando algunos
terminos que nos ayuden a mantener la invarianza Gauge. La Aproximacion de Eintein-
Hilbert es la siguiente:
Γk[gµν , hµν , C, C
]=
1
16πGk
∫√gd4x[2Λk −R] + Sgf [gµν , hµν ] + Sgh
[C, C
](33)
Se puede ver facilmente que el primer termino de (33) es similar la accion clasica de
Einstein- Hilbert con constante cosmologica estudiada en el primer capıtulo, la diferencia
esta en que las constantes fundamentales no estan escritas de la forma usual, ya que vamos
a considerar que la constante gravitacional G y la constante cosmologica Λ son funciones
Gk y Λk respectivamente, dependientes de la escala k.
En la seccion anterior definıamos la AEP respecto a un campo escalar, en el caso de la
RG la variable dinamica que jugara el papel de este campo es el espacio-tiempo dado por
la metrica gµν , que es un campo tensorial. Esta metrica se descompone de la siguiente
manera:
gµν = gµν + hµν (34)
Donde el termino gµν denota una metrica clasica de background y hµν es una metrica que
incluye fluctuaciones cuanticas. Esta expansion es conocida en Teorıa Cuantica de Cam-
pos como Background Field Method [4, 8], un metodo que nos asegura que al renormalizar
una teorıa se mantenga la invarianza ante transformaciones gauge. El campo clasico gµν
se debe mantener fijo, mientras que el campo cuantico hµν sera la variable de integracion
en el funcional generatriz (26). Es importante notar que la descomposicion de la metrica
(34) no implica un tratamiento perturbativo, ya que no estamos asumiendo que hµν sea
un parametro pequeno.
Ademas de descomponer la metrica en dos campos, el procedimiento de Background
29
Field Method tambien requiere que se sumen dos terminos nuevos a la accion: Sgf y Sgh.
El primer termino Sgf (gauge fixing) depende unicamente de la metrica y es cuadratico
en el campo de fluctuaciones hµν y contiene algunas de sus derivadas. El termino Sgh
es la accion correspondiente a los campos ghost de Faddeev–Popov [4, 9]: Cµ y Cµ,
estos campos no representan cantidades fısicas reales, se introducen en la accion para
eliminar del funcional integral posibles terminos que no tengan sentido fısico. Las dos
contribuciones Sgf y Sgh se escogen independientes de la escala.
Ahora que ya tenemos una aproximacion adecuada para la AEP gravitacional, el
siguiente paso es introducirla en la ecuacion (31). Ya que Sgf y Sgh no dependen de la
escala, debemos extraer la dependencia en la escala de la parte puramente gravitacional,
es decir, el enfoque debe estar en resolver la ecuacion (31) para encontrar las funciones que
determinan como varıan los acoples fundamentalesG y Λ respecto a la escala. Este proceso
fue desarrollado por primera vez en [1], tambien podemos encontrar en ?? un algoritmo
detallado para resolver la EEGR, a continuacion se resumiran los puntos fundamentales
de este procedimiento.
Al tomar la derivada respecto a k en (33) obtenemos lo siguiente:
∂kΓk[gµν ] =1
16π
∫√gd4x
[2∂k
(Λk
Gk
)−R∂k
(1
Gk
)](35)
En la expresion anterior encontramos las ecuaciones diferenciales que definen la evolucion
de los acoples Gk y Λk, por lo tanto, al calcular el lado derecho de la ecuacion (31) solo
debemos tener en cuenta aquellos coeficientes que acompanen a∫d4x√g y
∫d4x√gR.
Para obtener el lado derecho de la ecuacion (31) el primer paso es expandir Γ(2)k a segundo
orden en el campo de fluctuacion hµν , y se espera obtener una expresion de la siguiente
forma: (Γ(2)k
)ij= Ki(∇)δij1 + Mij(R,D) (36)
En donde ∇ = gµνDµDν es el operador laplaciano y 1 es la matriz identidad. El primer
termino K(∇2) es una matriz diagonal que representa los terminos que contienen segundas
30
derivadas de los campos, mientras que Mij(R,D) contiene factores proporcionales al tensor
de curvatura. Despues de esto se calculan los terminos Γ(2)k + Rgrav
k y Γ(2)k + Rgh
k . Dado
que tenemos dos campos, la metrica hµν y el ghost Cµ tendremos dos reguladores IR, que
como ya se habıa mencionado, su funcion es distinguir entre modos k de momento alto y
modos de momento bajo. Tanto Γ(2)k +Rgrav
k como Γ(2)k +Rgh
k tendran la siguiente forma :
Rk ≈ k2f
(p2
k2
)(37)
La funcion f(p2
k2
)debe cumplir que f(0) = 1 y f(∞) = 0. Dicha funcion puede ser la
siguiente:
f(x) =x
ex − 1
Despues de tener estos terminos, se calculan las trazas usando la tecnica Heat Kernel
Expansion, desarrollada en [11]. De igual manera el resultado de las trazas sera propor-
cional a∫d4x√g y
∫d4x√gR, ası que el paso final es igualar los terminos proporcionales
a cada uno de estos terminos en ambos lados de la ecuacion.
Realizando todos estos pasos, el resultado final que se obtiene en terminos de los
acoples adimensionales gk = Gkkd−2, λ = Λkk
−2 (en nuestro caso d=4) es:
k∂kgk = (d− 2 + ηn(gk, λk))gk (38)
Con:
ηn(gk, λk) =gkB1(λ)
1− gkB2(λ)
ηn es conocida como la dimension anomala de la constante de Newton, y se define como:
ηn = k∂ ln (Gk)
∂k(39)
B1 y B2 son funciones de la constante adimensional λ dadas por [1]:
B1(λ) =1
3(4π)1−d/2
d(d+ 1)Φ1
d/2−1(−2λ)− 6d(d− 1)Φ2d/2(−2λ)− 4dΦ1
d/2−1(0)− 24Φ0d/2
B2(λ) = −1
6(4π)1−d/2
d(d+ 1)Θ1
d/2−1(−2λ)− 6d(d− 1)Θ2d/2(−2λ)
31
Y las funciones Φ y Θ tienen la siguiente forma:
Φpn(z) =
1
Γ(n+ 1)
1
(1 + z)p(40)
Θpn(z) =
1
Γ(n+ 2)
1
(1 + z)p(41)
En donde Γ(n) es la conocida funcion Gamma. Es claro que la ecuacion (38) con todas
las especificaciones de arriba difıcilmente se puede solucionar de manera analıtica, es
por ello que, en el siguiente capıtulo usaremos aproximaciones fısicas que nos permitan
solucionarla y encontrar expresiones exactas para Gk.
32
4 Solucion de Schwarzschild corregida
4.1 Aproximacion semi-clasica
En el capıtulo anterior encontramos la ecuacion diferencial que gobierna la dependencia en
la escala de la constante gravitacional Gk, sin embargo, la ecuacion resulta problematica si
queremos encontrar expresiones analıticas. En esta seccion vamos a solucionar la ecuacion
diferencial nombrada anteriormente haciendo uso de la aproximacion semi-clasica, todos
los resultados que se muestren en este capıtulo fueron previamente discutidos por Koch
[12]. En primer lugar la aproximacion consiste en hacer una expansion de la dimension
anomala (39) en gk:
ηn(gk, λk) =gkB1(λ)
1− gkB2(λ)= gkB1(λk)
(1 + gkB2(λk) + g2kB
22(λk) + g3kB
32(λk) + . . .
)Y tomar en cuenta unicamente la primera contribucion de gkB1, e ignorar los terminos
de orden mayor. En la segunda parte de la expansion evaluamos la funcion B1 en un valor
para la constante cosmologica λ = 0. De manera que la dimension anomala aproximada
se puede escribir de la siguiente forma:
ηn(gk) = −(d− 2)ωdgk (42)
Donde ωd es una constante que depende unicamente de la dimension d y que resulta de
evaluar la funcion B1(λ = 0).
ωd =(4π)1−d/2
3(d− 2)
(6d(d− 1) + 24)Φ2
d/2(0)− d(d− 3)Φ1d/2−1(0)
(43)
Ahora, a partir de la definicion de dimension anomala (39) podemos deducir la sigu-
iente expresion:
η = k∂ ln (Gk)
∂k=
k
Gk
∂Gk
∂k
⇒ k∂kGk = η(gk)Gk (44)
33
De modo que, usando la aproximacion (42), gk = Gkkd−2 y la relacion (44), la ecuacion
diferencial que debemos resolver es la siguiente:
dGk
dk= −(d− 2)ωdG
2kk
d−3 (45)
Sujeta a la condicion inicial G(k = 0) = G0, con G0 la constante gravitacional, la solucion
de (45) es:
GK =G0
1 +G0ωdkd−2(46)
Para d = 4 usando las funciones (40) y (41) calculamos ω4 con la ecuacion (43):
ω4 =11
6π(47)
Finalmente podemos escribir una expresion que determina como corre la constante grav-
itacional respecto a la escala k y en d = 4. Notemos que ω4 es positivo, lo que implica
que a medida que la escala k aumenta, Gk disminuye.
Gk =G0
1 + 116πG0k2
(48)
4.2 Interpretacion fısica de la escala
Para poder implementar los resultados obtenidos en un problema fısico real, debemos
especificar y dar una interpretacion fısica a la escala k en terminos de cantidades rele-
vantes, distancias o invariantes de nuestro problema en especıfico. Para efectos de este
trabajo, queremos aplicar los resultados en el marco de la RG y encontrar correcciones
que provengan gracias a tener en cuenta dependencia en la escala, ası que el contexto
fısico en el que haremos nuestro analisis, es una solucion a las ECE, en particular la
solucion de Schwarzschild estudiada en el primer capıtulo. Los parametros principales
en una solucion de las ECE estan relacionados con la masa m , la constante G0 , la
geometrıa del espacio-tiempo (invariantes de curvatura),las coordenadas sel sistema, es
decir k = k(m,G0, R, x), con R el escalar de Ricci. Una condicion importante que debe
cumplir la escala k tiene que ver con la relacion inversa que existe entre la posicion y el
34
momento, por ejemplo, sabemos que los fenomenos importantes de la fısica de partıculas
ocurren a distancias muy pequenas, pero a la vez estos fenomenos liberan altas cantidades
de energıa, por eso, es de esperarse que sucesos con valores grandes en k ocurran a distan-
cias muy cortas. Ahora bien, en el caso de Schwarzschild podemos descartar que la escala
dependa de el escalar de Ricci R, ya que en el espacio tiempo de Schwarzschild R = 0 y
por lo tanto no generarıa ninguna correccion. Buscando satisfacer todas las condiciones
mencionadas anteriormente, en varios trabajos [12, 13, 14] se ha ajustado la escala de la
siguiente forma:
k(r) =ξ
d(P (r))(49)
Con ξ un valor constante muy cerca a la unidad, d(P (r)) es la de distancia radial propia
de una partıcula de prueba al punto P en el espacio-tiempo, y se puede definir de la
siguiente manera:
d(r) =
∫1√|f(r)|
dr (50)
Donde f(r) es la parte radial de la metrica de Schwarzschild (20). Hay que tener en cuenta
que dentro del horizonte de eventos la funcion f(r) cambia de signo. Ası que debemos
calcularla en los casos r > 2G0m y r < 2G0m.
En el caso r > 2G0m, es decir, afuera del horizonte de eventos f(r) =(1− 2G0m
r
), y
al desarrollar la integral (50) obtenemos:
d(r > 2G0m) = πG0m+ 2G0m ln (
√r
2G0m
√r
2G0m− 1) +
√r(r − 2G0m) (51)
Y adentro del horizonte de eventos , r < 2G0m , f(r) = −(1− 2G0mr
)
d(r < 2G0m) = 2G0m arctan
(r
2G0m− r
)−√r(2G0m− r) (52)
Es claro que no podemos tener dos funciones d(r), ası como no podemos tener dos escalas.
Para construir la funcion d(r) que sea valida tanto afuera como adentro de el horizonte de
eventos, para ello calculamos por aparte d(r ∞) y d(r 0), luego usamos el hecho de
que la funcion d(r) que las contenga a ambas debe obedecer tambien su comportamiento
asintotico. Cerca a la singularidad en r 2G0m :
35
d(r 2G0m) ≈ 2
3
1√2G0m
r3/2 (53)
Y a distancias grandes en r 2G0m, el logaritmo en (51) tiende a 0 para r muy
grande :
d(r 2G0m) ≈ r (54)
Una posible funcion que satisface el comportamiento en los dos lımites (53) y (54) es la
siguiente [12]:
d(r) =
√2r3
2r + 9G0m(55)
Es facil comprobar que la funcion (55) obedece los lımites (53) y (54). Finalmente,
obtenemos la definicion deseada para la escala k en terminos de un parametro relevante
en el espacio-tiempo de Schwarzschild, la distancia radial.
k(r) = ξ
√9G0m+ 2r
2r3(56)
Teniendo en cuenta la nueva definicion de la escala k podemos escribir la funcion (48)
como una funcion de la escala r y no de k:
G(r) =2G0r
3
2r3 + ξG0(2r + 9G0m)(57)
Con la nueva constante ξ = 116πξ2
4.3 Correcciones a la metrica de Schwarzschild
En esta seccion finalmente vamos a escribir la metrica de Schwarzschild incluyendo las
correcciones de escala provenientes del grupo de renormalizacion. Para corregir la metrica
de Schwarzschild basta con reescribir la funcion radial f(r) (19), salvo que actualizamos
el valor de la constante gravitacional por su nueva version dependiente de la escala r dada
por (57). Al realizar este procedimiento, obtenemos una nueva funcion f(r):
f(r) = 1− 4G0mr2
2r3 + ξG0(2r + 9G0m)(58)
36
Y la metrica de Schwarzschild corregida estara dada por:
ds2 = −f(r)dt2 + f(r)−1dr2 + r2dΩ2 (59)
La solucion corregida tiene dos caracterısticas importantes descritas a continuacion:
4.3.1 Horizonte de eventos
En el primer capıtulo , al estudiar las propiedades de la solucion clasica de Schwarzschild,
encontramos que existe una singularidad en r = 0 ya que el escalar de Kretschmann
(22) presentaba una divergencia en ese punto. Sı calculamos de nuevo el escalar de
Kretschmann para la metrica corregida obtenemos el siguiente valor:
K = RabcdRabcd = 2(
4
3)3ξ2 (60)
El escalar de Kretschmann para esta metrica no depende de ninguna coordenada y
tiene un valor constante. Este resultado es muy importante, puesto que logramos corregir
la singularidad en r = 0 de la metrica clasica.
4.3.2 Potencial gravitacional
En la literatura se pueden encontrar correcciones cuanticas al potencial gravitacional re-
alizadas por medio de expansiones perturbativas [15].Al escribir el potencial gravitacional
en terminos de la constante gravitacional dependiente de la escala:
V (r) = −G(r)mM
r
Y al comparar el resultado con el obtenido en [15], se encuentra que el resultado es el
mismo tomando el valor de la constante ξ = 11815π
.
37
5 Conclusiones
El objetivo principal de este trabajo consiste en encontrar posibles correcciones cuanticas
a resultados de la Relatividad General sin necesidad de acudir a teorıas de unificacion
o teorıas que requieran la existencia de nuevos grados de libertad fısicos. El modelo
que se uso con este fin es el modelo de Asymptotic Safety, que pretende eliminar las
divergencias matematicas de la Relatividad General al asumir una dependencia en la
escala de los acoples fundamentales de la teorıa, en nuestro caso estos acoples corresponden
a la constante de gravitacion y a la constante cosmologica. A lo largo del trabajo se
desarrollaron las principales herramientas matematicas que nos permitieran descifrar la
dependencia en escala de la constante gravitacional, para finalmente aplicar este resultado
a la conocida solucion de Schwarzschild.
Al aplicar las correcciones de escala en la constante gravitacional se encontro que al
escribir el potencial gravitacional corregido, el resultado es muy similar al que se ha desar-
rollado en otros trabajos [15] por distintos metodos, lo cual confirma que a pesar de haber
usado algunas aproximaciones, el metodo si conduce a resultados con sentido fısico. Por
otro lado al aplicar los procedimientos de escala a la solucion de Schwarzschild, se obtuvo
una solucion renormalizada, que no presenta divergencias fısicas en r = 0, es decir que la
divergencia fue suprimida por medio de el proceso de renormalizacion. Las singularidades,
normalmente son interpretadas en Relatividad General como problemas y carencias de la
teorıa, por lo que, eliminar una divergencia puede comprenderse como arreglar o corregir
fallos en la teorıa. Podemos entonces deducir que el modelo de Asymptotic Safety es
capaz de encontrar correcciones a la Relatividad General.
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