Sobre l'esfera i el cilindre

01 ARQUIMEDES PLEC (1-7)qxt01 PLEC_001-006qxt 201010 1712 Paacutegina 1

FUNDACIOacute BERNAT METGEESCRIPTORS GRECS

TEXT I TRADUCCIOacute

ARQUIMEDES

SOBRE LrsquoESFERAI EL CILINDRE

BARCELONA


Lrsquoedicioacute drsquoaquesta obra ha comptat amb el suportde la Institucioacute de les Lletres Catalanes

Primera edicioacute octubre del 2010

copy de la introduccioacute la revisioacute del text grec la traduccioacute les notes i les figuresRamon Masiagrave Fornos 2010

copy drsquoaquesta edicioacute Editorial Alpha 2010copy Institut Camboacute 2010Reservats tots els drets

ISBN 978-84-9859-155-2 Tela

DIPOgraveSIT LEGAL B 39544-2010

wwwinstitutcamboorg


ARQUIMEDES


INTRODUCCIOacute TEXT REVISAT TRADUCCIOacute NOTES I FIGURES DE

RAMON MASIAgrave FORNOS

BARCELONA

FUNDACIOacute BERNAT METGE

2010


Aquest volum ha estat sotmegraves ales revisions de consuetud en lespublicacions de la FBM


Al Toni i al Ferran i eacutes clara la Teresa


02 ARQUIMEDES INTRODUCCIO (8-40)qxt03 HERODOT IV 201010 1716 Paacutegina 8

INTRODUCCIOacute

Il faudrait drsquoabord eacutetudier sur des figuresgeacuteomeacutetriques le cocircne le cube le cylindre la sphegravere

Quand on saurait rendre ces choses dans leurs formeset leurs plans on saurait peindre

Paul CEacuteZANNE

Una reconstruccioacute parcial de la figura drsquoArquimedes sorgi-da drsquoun interegraves merament arqueologravegic per la prehistograveria delsmegravetodes infinitesimals i lligada a una visioacute laquoromagraventicaraquo de lahistograveria de les matemagravetiques va consolidar durant la primerameitat del segle XX una imatge estereotipada drsquoun personatgemiacutetic i de la recepcioacute de la seva obra Segons aquesta visioacute Ar-quimedes hauria estat oblidat en lrsquoAntiguitat tardana i en lrsquoE-dat Mitjana i fins al desenvolupament dels nous megravetodes ma-temagravetics del segle XVII la seva obra no hauria estat compresaEn paraules de Bernard Vitrac1 laquoa lrsquoincompreacutehension du sol-dat romain devant les diagrammes geacuteomeacutetriques traceacutes agrave mecircmele sable sur lesquels meacuteditait Archimegravede avant drsquoecirctre assassineacuteaurait donc succeacutedeacute lrsquoindiffeacuterence historiqueraquo Les investiga-cions dutes a terme a partir de la segona meitat del segle pas-sat han canviat forccedila aquesta imatge incompleta i han matisatla presumpta indiferegravencia antiga pel nostre autor

1 Bernard VITRAC laquoArchimegravede et la tradition archimeacutedienneraquo en MBLAY amp R HALLEUX (eds) La science classique Dictionnaire critique PariacutesFlammarion 1998 416-431


10 INTRODUCCIOacute

En lrsquoedicioacute de les obres drsquoArquimedes que iniciem ambaquest volum dedicat a Sobre lrsquoesfera i el cilindre recolliremtotes les obres conservades del matemagravetic siracusagrave juntamentamb els comentaris drsquoEutoci que en les principals edicionsmodernes sempre les acompanyen Voldriacuteem aixiacute contribuira posar fi a altres indiferegravencies no dels antics sinoacute dels nos-tres coetanis i traslladar al catalagrave un llegat que ha perviscutdurant meacutes de dos mil anys mercegraves a la voluntat de copistesdesconeguts papes lletraferits i bibliotecaris curosos i tambeacutecal dir-ho a la qualitat i la resistegravencia drsquounes pells comercia-litzades un dia a PegravergamLa biografia drsquoArquimedes ja ha estat esbossada en el vo-

lum dedicat al Megravetode en aquesta mateixa colmiddotleccioacute Aquestvolum conteacute tambeacute un comentari sobre les seves principalsobres aixiacute com una extensa nota sobre el denominat megravetodedrsquoexhaustioacute emprat per Arquimedes i altres explicacions com-plementagraveries sobre les tegravecniques matemagravetiques usades perlrsquoautor Eacutes per aixograve que centrarem la introduccioacute en els as-pectes textuals per beacute que no oblidarem aquelles quumlestionstegravecniques i de vocabulari que en faciliten la lectura

Tambeacute hem redactat una nota preliminar per a cadascundels dos llibres que conformen lrsquoobra amb la intencioacute drsquoofe-rir el pla impliacutecit de les obres especialment del llibre primeri una guia de lectura que faciliti la comprensioacute drsquoun text as-pre i de vegades difiacutecil tambeacute en la nostra traduccioacuteFinalment oferim una breu bibliografia que complementa

la que acompanya el volum dedicat al Megravetode i que conteacuteentre altres alguns estudis que se centren en aspectes relacio-nats amb lrsquoobra que ara editem

LES OBRES DrsquoARQUIMEDES

Srsquohan conservat les seguumlents obres atribuiumldes a Arquimedes(les acompanyem de lrsquoabreviatura amb quegrave ens hi referirem)Sobre lrsquoesfera i el cilindre (dos llibres EC I i II) Sobre les liacute-nies espirals (LE) Sobre els conoides i els esferoides (CE) So-


INTRODUCCIOacute 11

bre la mesura del cercle (MC) Arenarius o Psammiteacutes2 (AR)Sobre lrsquoequilibri de figures planes (dos llibres EP I i II) Laquadratura de la paragravebola (QP) Sobre els cossos flotants (dosllibres CF I i II) Megravetode (ME) Stomachion3 (ST) El proble-ma dels bous (PB)Totes les edicions modernes i de fet tots els manuscrits prin-

cipals llevat drsquoun sempre han acompanyat les obres drsquoArqui-medes amb els comentaris drsquoEutoci drsquoAscaloacute (s VI) que soacuten elsseguumlents Comentari a Sobre lrsquoesfera i el cilindre I i II (Eut ECI i II) Comentari a La mesura del cercle (Eut MC) Comenta-ri a Sobre lrsquoequilibri de les figures planes I i II (Eut EP I i II)La temagravetica drsquoaquestes obres eacutes ben variada i en el volum

sobre el Megravetode (Introduccioacute capiacutetol I) srsquoesbossa el contin-gut drsquoalgunes de les meacutes importants que van des de la recer-ca drsquoagraverees i volums de figures curviliacutenies fins al recompte dela sorra que cabria a lrsquounivers (Arenarius) passant per lrsquoestudidels principis de lrsquoestagravetica de fluids (Sobre els cossos flotants)o dels centres de gravetat (Sobre lrsquoequilibri de figures planes)i fins i tot jeux drsquoesprit com soacuten El problema dels bous i elStomachion (tot i que aquest darrerament ha estat interpre-tat com un dels primers problemes complicats de combinatograve-ria que es documenten)4Algunes drsquoaquestes obres srsquoatribueixen a Arquimedes per-

quegrave contenen una carta que prologa el text o perquegrave aparei-xen presumiblement citades en algun drsquoaquests progravelegs eacutes elcas de Sobre lrsquoesfera i el cilindre Sobre les liacutenies espirals So-bre els conoides i els esferoides Arenarius La quadratura dela paragravebola i el Megravetode Lrsquoatribucioacute de la resta es basa en re-feregravencies antigues a treballs drsquoArquimedes que coincideixenamb els continguts de les obres conservades El dialecte dograveric

2 Eacutes a dir El problema de la sorra3 El terme στομάχιον lligat a στόμαχος es refereix sembla a un mal de

panxa o de gola (potser provocat per la complexitat del tema tractat a lrsquoobra)perograve el seu significat en aquest context eacutes poc clar Lrsquoobra tambeacute eacutes conegu-da en llatiacute com el loculus Archimedius4 Vegeu Reviel NETZ amp William NOEL The Archimedes Codex How a

Medieval Prayer Book Is Revealing the True Genius of Antiquityrsquos GreatestScientist Filadegravelfia Da Capo Press 2009 233-260


12 INTRODUCCIOacute

tambeacute ha ajudat a lrsquoatribucioacute de les obres per beacute que no si-gui gaire diferent de la κοινή διάλεκτος es troben restes de dograve-ric en gairebeacute totes les obres enumerades molt poques en lescomentades per Eutoci (la qual cosa que fa pensar que el co-mentari i la traduccioacute entre dialectes van ser coetagravenies) i soacutenespecialment remarcables en Sobre les liacutenies espirals Arenari-us Sobre els conoides i els esferoides Sobre lrsquoequilibri de figu-res planes La quadratura de la paragravebola i Sobre els cossos flo-tantsAltres obres ara perdudes han estat atribuiumldes a Ar-

quimedes per diversos autors especialment en la tradicioacute agraverabperograve tambeacute en lrsquohebraica Segons Netz5 eacutes difiacutecil establir la ve-racitat del que ens han transmegraves aquestes tradicions Semblaque quatre dels tretze treballs atribuiumlts a Arquimedes en lesfonts agraverabs no tenen cap relacioacute amb Arquimedes cinc pro-venen de Sobre lrsquoesfera i el cilindre Sobre la mesura del cer-cle Sobre els cossos flotants I i Stomachion i les quatre res-tants tenen alguna relacioacute amb obres perdudes drsquoArquimedesi serien La construccioacute drsquoun heptagravegon regular Sobre els cer-cles tangents El llibre dels lemes i El llibre de les assumpcionsHi ha a meacutes fonts antigues que mencionen diverses obres

de les quals no conservem restes en cap llengua Heiberg lesenumera com a laquofragmentsraquoSegons Netz haurien pogut existir documentades drsquoalguna

manera trenta-una obres atribuiumlbles a Arquimedes perograve no-meacutes per a deu hi ha evidegravencies suficients Sobre lrsquoesfera i el ci-lindre I i II Sobre les liacutenies espirals Sobre els conoides i els es-feroides Arenarius Sobre lrsquoequilibri de figures planes Laquadratura de la paragravebola Megravetode Sobre els cossos flotants Ii II Hi ha tres obres meacutes que si beacute no plantegen dubtes se-riosos sobre lrsquoautoria no eacutes plausible que hagin sortit de lesseves mans en lrsquoestat en quegrave nosaltres les hem rebut es trac-ta de Sobre la mesura del cercle El problema dels bous i Sto-machion

5 Reviel NETZ The Works of Archimedes The two books On the sphe-re and the cylinder CUP Cambridge 2004 12


INTRODUCCIOacute 13

La cronologia de les obres

La fixacioacute cronologravegica de les obres planteja dues quumlestionsiquestquin eacutes lrsquoordre en quegrave es van concebre els resultats de lesobres iquestquin eacutes lrsquoordre en quegrave van ser redactades i enviadesEl primer problema eacutes gairebeacute impossible de desentrellar

perquegrave hauriacuteem de partir de molts apriorismes sobre el megraveto-de de treball drsquoArquimedes i fins i tot de la naturalesa delseu pensament Tampoc no estagrave resolta lrsquoaltra cronologia perbeacute que hi ha un cert acord en un esquema bagravesic hi ha obresperograve que encara estan sotmeses a discussioacute Evidentment elrerefons drsquoaquestes discussions estagrave meacutes lligat al tema de laconcepcioacute de les obres que al fet concret de lrsquoenviament i peraixograve semblen irresolublesEls continguts dels progravelegs epistolars de les obres contenen

informacioacute creuada que permet deduir una primera ordenacioacutede meacutes a menys antic La quadratura de la paragravebola Sobrelrsquoesfera i el cilindre Sobre les liacutenies espirals Sobre els conoidesi els esferoides A meacutes Sobre la mesura del cercle seria ante-rior a lrsquoArenarius Drsquoaltra banda la coheregravencia interna de lesobres fa aparentment necessari que Sobre els conoides i els es-feroides sigui meacutes antiga que Sobre els cossos flotants i queSobre lrsquoequilibri de figures planes I precedeixi La quadraturade la paragravebola que al seu torn seria anterior a Sobre lrsquoequili-bri de figures planes II perquegrave els escrits posteriors utilitzensense citar-los expliacutecitament resultats dels anteriors Queda-rien per situar en lrsquoesquema general el Megravetode i Sobre la me-sura del cercle Per la temagravetica de lrsquoobra Heiberg6 havia sug-gerit i la major part dels editors i estudiosos li han donatsuport que el Megravetode caldria datar-lo entre les primeres beacuteque seria posterior a La quadratura de la paragravebola mentreque Sobre la mesura del cercle entre les uacuteltimes Itard i Mu-gler van proposar en canvi una datacioacute tardana per al Megraveto-

6 Vegeu els seus Prolegomena a Archimedis opera omnia cum commen-tariis Eutocii Stuttgart Teubner 1910-1915


05 ARQUIMEDES NOT PREL (46-63)qxt02 N PRELIMINAR 201010 1718 Paacutegina 46

ARCHIMEDIS

DE SPHAERA ET CYLINDROLIBRI II



LIBER PRIMVS



1 Bernard VITRAC laquoPromenade dans les preacutefaces des textes matheacutema-tiques grecs anciensraquo en P RADELET-DE-GRAVE Liber amicorum JeanDhombres Turnhout Brepols 2008 519-556

NOTIacuteCIA PRELIMINAR

El denominat llibre primer de Sobre lrsquoesfera i el cilindre consta drsquoun prograve-leg en forma de carta drsquoArquimedes a Dositeu drsquouna introduccioacute formadaper les definicions i per les assumpcions i drsquouna segraverie de resultats matemagrave-tics les proposicions acompanyats de les demostracions respectives El con-junt estagrave perfectament estructurat amb la finalitat de demostrar les propietatsenunciades en el prograveleg laquoen primer lloc que la superfiacutecie de tota esfera eacutes elquagravedruple del cercle magravexim dels seus cercles despreacutes que igual a la superfiacute-cie de tot segment drsquoesfera hi ha un cercle el radi del qual eacutes igual a la rec-ta traccedilada des del vegravertex del segment fins a la circumferegravencia del cercle queeacutes base del segment i a meacutes drsquoaquests que de tota esfera el cilindre que teacuteuna base igual al cercle magravexim dels cercles en lrsquoesfera i una altura igual al diagrave-metre de lrsquoesfera eacutes ell mateix una hemiogravelia de lrsquoesfera i la seva superfiacutecieuna hemiogravelia de la superfiacutecie de lrsquoesferaraquoEl prograveleg eacutes una peccedila bastant habitual en aquest tipus drsquoobres durant el pe-

riacuteode helmiddotleniacutestic (no tant en el periacuteode imperial dels periacuteodes anteriors no ensabem res perquegrave no ens ha arribat cap obra ni cap fragment prou llarg) Eacutesun text breu on es presenten les aportacions que lrsquoautor desenvoluparagrave al llargde lrsquoobra sersquon pondera la importagravencia i srsquoexpliquen les motivacions que lrsquohanportat a fer-les puacutebliques Es tracta drsquoun text drsquoestil radicalment diferent a laresta de lrsquoobra perquegrave la seva funcioacute estagrave lligada a quumlestions metamatemagraveti-ques i contextuals1


52 NOTIacuteCIA PRELIMINAR

Les definicions i les assumpcions

Lrsquoobra progravepiament dita comenccedila amb la introduccioacute on es presenten les de-finicions i les assumpcions (o postulats com srsquoanomenen habitualment) Enaquest cas les definicions en essegravencia precisen el significat exacte que tindragravela nocioacute de concavitat al llarg de tot el llibre (i meacutes concretament les nocionsde liacutenia cogravencava sobre un mateix costat i de superfiacutecie cogravencava sobre un ma-teix costat) Tambeacute es defineixen el sector sogravelid i el rombe sogravelid que soacuten fi-gures construiumldes a partir drsquouna combinacioacute drsquoesferes i de cons Les assump-cions en canvi soacuten propietats bagravesiques que lrsquoautor considera absolutamentevidents i que per tant no requereixen cap tipus de demostracioacute En aquestcas de les cinc assumpcions quatre fan referegravencia a com es poden ordenar demenor a major certes liacutenies cogravencaves i tambeacute certes superfiacutecies cogravencaves Lacinquena assumpcioacute coneguda tradicionalment com el postulat drsquoArquimedes(o drsquoArquimedes-Eudox) afirma bagravesicament que donades dues magnitudsdesiguals del mateix tipus (liacutenies superfiacutecies o volums) si restem la meacutes peti-ta de la meacutes gran la magnitud resultant eacutes del mateix tipus que les originals i encap cas no pot ser una quantitat infinitesimal (usant la terminologia actual) eacutesa dir ha de ser una quantitat prou gran del mateix ordre que les originalsAbans drsquoavanccedilar potser caldria explicar al lector no especialitzat les defi-

nicions i les assumpcions drsquouna manera intuiumltiva En primer lloc la quumlestioacutede la concavitat Pensem en una badia delimitada per dos caps segons la de-finicioacute arquimediana la badia seragrave cogravencava si des de qualsevol lloc de la badiaes pot observar tota la badia de cap a cap Si des drsquoalgun lloc de la badia no esveu alguna zona de la mateixa badia aleshores la badia no eacutes cogravencava Aquestsdiagrames ho ilmiddotlustren (fig 1)La badia 1 eacutes cogravencava mentre que la badia 2 no ho eacutes (hem unit amb una

liacutenia recta discontiacutenua els caps que delimiten les badies) En la badia 2 si enssituem en el punt A no veurem el punt B En el cas de la badia 1 en canvides de qualsevol lloc de la badia podem veure qualsevol altre punt de la ma-teixa badia Eacutes fagravecil intuir que aixograve nomeacutes passa quan la curvatura de la ba-dia gira sempre cap al mateix costat2 com passa en la badia 1 En canvi en labadia 2 la curvatura canvia drsquoun costat a lrsquoaltre diverses vegades per aixograve noeacutes cogravencava La idea de concavitat a meacutes es pot estendre naturalment a ob-jectes de lrsquoespai (en lloc de liacutenies corbes hi hauragrave superfiacutecies corbes i en llocde rectes que uneixen els extrems de les liacutenies hi hauragrave una superfiacutecie planaque conteacute la vora de les superfiacutecies)

2 Dit drsquouna altra manera si circuleacutessim en cotxe per la liacutenia drsquoaquestabadia i aneacutessim de cap a cap les rodes nomeacutes girarien cap a un dels costatso estarien rectes mai cap a lrsquoaltre


NOTIacuteCIA PRELIMINAR 53

iquestQuina pot ser perograve la utilitat de la definicioacute de concavitat Un dels ob-jectius de la matemagravetica grega eacutes mesurar objectes o meacutes genegravericament com-parar la mesura de diversos objectes Aixiacute donades dues liacutenies (o dues su-perfiacutecies o dos objectes sogravelids o tridimensionals) un dels primers objectiusmatemagravetics eacutes el drsquoesbrinar quina eacutes meacutes gran Si les liacutenies soacuten rectes el pro-blema es redueix bagravesicament a superposar-les i veure quina excedeix lrsquoaltraSi es tracta de superfiacutecies o volums amb costats i cares rectiliacutenies i planes elprocediment tambeacute eacutes senzill i srsquoexplica en els Elements drsquoEuclides Aquestsistema de comparacioacute no eacutes possible perograve amb liacutenies corbes3 (potser hau-riacuteem drsquoestirar les liacutenies proceacutes teogravericament inextricable per als grecs) ni ambsuperfiacutecies i volums de contorns ondulats Eacutes per aixograve que els matemagraveticsgrecs srsquoaproximen a aquest problema per altres vies Lrsquouacutes de la concavitat nrsquoeacutesuna de les meacutes productives i la base del procediment la trobem en les as-sumpcions de la nostra obra si tenim dues liacutenies (o superfiacutecies) cogravencaves ambels mateixos extrems que compleixen una determinada condicioacute aleshoreses pot afirmar que una eacutes meacutes gran que lrsquoaltra La condicioacute essencialment eacutesaquesta (en el text arquimediagrave perograve eacutes meacutes completa) les dues liacutenies han deser cogravencaves sobre el mateix costat (eacutes a dir bagravesicament la seva curvatura eacutesla mateixa) i una drsquoelles ha de trobar-se dintre de lrsquoaltra un cop tancada peraquesta i per la recta que uneix els seus extrems En aquest cas i nomeacutes en

3 Les liacutenies poligonals o en ziga-zaga tambeacute les considerarem com hofeien els grecs corbes

cap

cap

badia1

badia 2

A

FIGURA 1



aquest cas Arquimedes assumeix que la corba de dintre eacutes meacutes petita que lacorba de fora sense necessitat de cap demostracioacute precisament perquegrave Ar-quimedes situa aquesta propietat entre les assumpcions sabem que Arquime-des la considera absolutament evident Una cosa semblant assumeix amb lessuperfiacutecies cogravencaves sobre el mateix costatPodem ilmiddotlustrar-ho amb quatre exemples (fig 2)

En el cas 1 la corba A eacutes dintre de la corba B un cop tancada per la liacuteniade traccedil discontinu que uneix els seus extrems com hem dit abans i totes duessoacuten cogravencaves sobre el mateix costat (la seva curvatura eacutes la mateixa) segonsArquimedes podem afirmar doncs sense cap altra consideracioacute que la cor-ba A eacutes meacutes petita (meacutes curta potser diriacuteem nosaltres) que la corba B En elcas 2 en canvi la corba A eacutes dintre de la corba B perograve la corba A i la cor-

Cas1 Cas2

Cas3 Cas4

A

B

A

B

A B

A

B

FIGURA 2



ba B no soacuten cogravencaves sobre el mateix costat (de fet la curvatura de la corbaA varia mentre que la corba B teacute sempre la mateixa curvatura) Per tant enaquest cas i a partir de les assumpcions drsquoArquimedes no podem establirdrsquoantuvi quina de les dues seragrave la meacutes gran en principi aquestes corbes que-den excloses de la investigacioacute drsquoArquimedes En el cas 3 la corba poligonalA i la corba B tambeacute soacuten cogravencaves sobre el mateix costat i la corba A eacutes din-tre de la corba B per tant la corba A eacutes menor que la corba B En canvi enel cas 4 la corba poligonal A no eacutes dintre de la corba B ni tampoc no soacutencogravencaves sobre el mateix costat Per tant no podrem dir res sobre quina deles dues eacutes meacutes gran

Els recursos tegravecnics i la seva aplicacioacute en la demostracioacute

Amb la definicioacute de concavitat i amb las propietats drsquoordenacioacute de menora major que trobem en les assumpcions i que acabem de comentar ja podemendinsar-nos en les proposicions de lrsquoobra drsquoArquimedes perquegrave la metodo-logia bagravesica de treball eacutes la comparacioacute de magnituds cogravencaves com les delscasos 1 i 3 Ara beacute soacuten indispensables les subtileses del postulat drsquoArquime-des (assumpcioacute 5) perquegrave lrsquoestructura deductiva no tingui escletxes i tambeacutealtres recursos tegravecnics recollits gairebeacute tots en els Elements drsquoEuclides (benconeguts per tots els matemagravetics de lrsquoegravepoca) la demostracioacute per doble reduc-cioacute a lrsquoabsurd el mal anomenat megravetode drsquoexhaustioacute la manipulacioacute de raonsusant la teoria de proporcions etc Tots aquests recursos (llevat potser delpostulat drsquoArquimedes) perograve no soacuten una aportacioacute drsquoArquimedes i els dei-xarem de banda en aquesta nota nomeacutes pretenem explicar les aportacions delrsquoobra i donar clariacutecies per entendre el seu entrellat logravegic que probablementeacutes el vessant meacutes interessant per a qualsevol lector especialista o noLa comparacioacute de dues liacuteniessuperfiacutecies cogravencaves de les mateixes caracte-

riacutestiques ens permet ordenar-les perograve iquestcom ens pot ajudar aquest fet a me-surar-les efectivament En els casos 1 i 3 de la ilmiddotlustracioacute anterior perexemple si coneixem la longitud de la liacutenia discontiacutenua i de la corba B no-meacutes podem afirmar que la corba A eacutes meacutes gran que la liacutenia i meacutes petita quela corba B perograve seguim sense conegraveixer-ne la mesura exacta La resposta drsquoAr-quimedes seragrave la drsquoencaixar la corba (o superfiacutecie) que vol mesurar entre unasegraverie decreixent de corbes (o superfiacutecies) meacutes grans i una segraverie creixent decorbes (o superfiacutecies) meacutes petites totes de tipus poligonal com en el diagra-ma de la pagravegina seguumlent (fig 3)Les corbes A1 A2 i A3 soacuten meacutes petites (pel que acabem de veure) que la

corba semicircular de longitud desconeguda mentre que les corbes B1 B2 i B3

soacuten meacutes grans que la corba semicircular A meacutes la longitud drsquoA3 eacutes meacutes pro-pera a la de la corba semicircular que la longitud drsquoA2 i aquesta que la drsquoA1



El mateix passa amb les corbes del tipus B respecte de la corba semicircularSi aconseguim posar meacutes corbes poligonals del tipus A entre A3 i la corba se-micircular cada cop meacutes properes a aquesta corba i a meacutes posar meacutes corbesdel tipus B entre B3 i la corba semicircular i coneixem el valor de les cor-bes A i B estarem molt a prop de saber la longitud de la corba semicircularArribats en aquest punt un matemagravetic actual faria el seguumlent si sabem cal-

cular la longitud de totes les corbes A i de totes les corbes B i a meacutes els liacute-mits drsquoaquests valors en un i altre cas coincideixen aleshores proclamaremque la longitud de la corba desconeguda eacutes precisament el valor drsquoaquest liacute-mit La matemagravetica grega perograve no tenia cap desenvolupament teograveric que re-colliacutes aquesta idea de liacutemit La seva aproximacioacute era molt diferent primer detot el valor de la longitud de la corba desconeguda havia drsquointuir-se drsquoalgu-na manera4 i nomeacutes aixiacute podien aplicar el megravetode de la doble reduccioacute a lrsquoab-surd5 per demostrar que efectivament aquest valor corresponia al valor de la

4 Per megravetodes indirectes per intuiumlcioacute per megravetodes meacutes o menys pragravec-tics etc En el cas drsquoArquimedes es pensa que se servia del seu megravetode me-cagravenic Normalment la tegravecnica usada en la descoberta del valor exacte no erapublicada

5 El megravetode demostratiu de doble reduccioacute a lrsquoabsurd aplicat per Arqui-medes parteix drsquoaquest fet bagravesic si tenim dues quantitats del mateix tipus X

FIGURA 3



longitud de la corba Evidentment en aquesta doble reduccioacute a lrsquoabsurd lescorbes poligonals encaixades faran un paper essencialAixiacute doncs tenim un megravetode de demostracioacute impecable (la doble reduc-

cioacute a lrsquoabsurd) i un mecanisme de comparacioacute de longituds i agraverees basat en laconcavitat (i eacutes clar tambeacute disposem de tots els conceptes i tegravecniques queapareixen en els Elements) Nomeacutes ens falta engranar-los amb lrsquoobjectiu ma-temagravetic del llibre Tal com es declara al prograveleg lrsquoobjectiu eacutes la mesura de lasuperfiacutecie i del volum drsquouna esfera6 (i subsidiagraveriament la mesura de la su-perfiacutecie drsquoun segment drsquoesfera i del volum drsquoun sector drsquoesfera eacutes a dir el cagravel-cul de la superfiacutecie i del volum drsquouna porcioacute drsquouna esfera escapccedilada) Una ve-gada establert lrsquoobjectiu de lrsquoobra tots els passos que srsquoaniran seguint estaranorientats al seu assoliment per beacute que mai srsquoexplicaragrave la logravegica interna quecondueix tortuosament cap a aquest fi Eacutes aixograve el que procurarem fer a con-tinuacioacute explicitar el fil argumental Ara beacute cal subratllar que el seguumlentapartat eacutes meacutes aviat una guia de lectura de lrsquoobra i no preteacuten pas revelar elsmecanismes del pensament drsquoArquimedes

i Y nomeacutes es poden donar tres possibilitats excloents Soacuten aquestes X eacutes ma-jor que Y X eacutes menor que Y i finalment X eacutes igual a Y Si aconseguim de-mostrar que les dues primeres (drsquoaquiacute el terme doble) no soacuten possibles (ni Xeacutes meacutes gran que Y ni X meacutes petit que Y) aleshores haurem drsquoassumir (i pertant quedaragrave demostrat) que inevitablement X eacutes igual a Y

6 Cal tenir en compte que els problemes de mesura (el cagravelcul de longi-tuds drsquoagraverees i de volums aixiacute com el cagravelcul drsquoangles) van enfocar-se drsquounamanera diferent de lrsquoactual (en quegrave lrsquoobjectiu eacutes trobar una foacutermula de cagravel-cul) Per als matemagravetics grecs es tracta de cercar un objecte la mesura del qualconeguem i de manera que lrsquoobjecte estudiat sigui mesurable amb aquest Perexemple quan volen calcular lrsquoagraverea drsquouna figura plana amb costats rectilinisels matemagravetics grecs busquen un quadrat que tingui la mateixa agraverea Un coptrobat el quadrat consideren resolt el problema En el cas de lrsquoobra que ensocupa Arquimedes acaba trobant equivalegravencies entre les superfiacutecies i els vo-lums de diverses figures de liacutemits corbats (essencialment la de lrsquoesfera i lesde cert cercle de cert con i de cert cilindre) des drsquoun punt de vista modernaquesta solucioacute no seria satisfactograveria o si meacutes no completa A meacutes eacutes evi-dent que la solucioacute proposada per Arquimedes no inclou cap figura de cos-tats rectilinis entre les equivalents a les mesures de lrsquoesfera I eacutes que la rela-cioacute entre objectes rectilinis i objectes curvilinis eacutes un dels grans problemes demesura per als grecs (eacutes potser el gran problema de mesura per als grecs) ical dir que en el tractament drsquoaquest problema no van assolir un desenvo-lupament teograveric comparable al del tractament drsquoobjectes de costats uacutenicamentrectilinis (resolt completament en els Elements)



El pla de lrsquoobra

La mesura de la superfiacutecie i el volum de lrsquoesfera estagrave iacutentimament relacio-nada amb la mesura de la longitud de la circumferegravencia i lrsquoagraverea del cercle sen-zillament perquegrave lrsquoesfera es genera a partir de la rotacioacute drsquoun semicercle alvoltant del diagravemetre (segons llegim a Elements XI def 14) Arquimedes enla seva obra La mesura del cercle utilitza el megravetode drsquoencaixar el cercle en-tre poliacutegons inscrits i poliacutegons circumscrits de manera que augmentant elnombre de costats aconsegueix una aproximacioacute de la longitud de la cir-cumferegravencia (i tambeacute de lrsquoagraverea del cercle) tan precisa com vol Aixograve eacutes aixiacuteperquegrave el cercle i els poliacutegons inscrits i circumscrits tenen la mateixa curva-tura i per tant la longitud de la circumferegravencia eacutes com a magravexim el periacuteme-tre del poliacutegon circumscrit i com a miacutenim el periacutemetre del poliacutegon inscrit (iel mateix argument val per a lrsquoagraverea) En la figura 4 observem un cercle ambun poliacutegon regular de dotze costats inscrit i un altre de semblant de circums-crit Intuiumltivament no eacutes difiacutecil concloure que lrsquoaugment en el nombre delscostats dels poliacutegons causaragrave lrsquoapropament progressiu dels poliacutegons aixiacute ge-nerats a la figura circular Drsquoaquesta manera el seu periacutemetre i la seva agravereadelimitaran per exceacutes i per defecte i amb la precisioacute que vulguem el valor dela longitud de la circumferegravencia i de lrsquoagraverea del cercle

FIGURA 4

Aquesta mateixa idea pot estendrersquos al cas de lrsquoesfera i eacutes el que fa Arqui-medes en el llibre primer de Sobre lrsquoesfera i el cilindre seguint molt de propla definicioacute euclidiana drsquoesfera que hem mencionat abans a partir de la rota-cioacute de tot el cercle al voltant drsquoun dels seus diagravemetres es genera una esfera



Aixiacute si considerem la figura 4 i la fem girar tota (la circumferegravencia i els dospoliacutegons) al voltant del diagravemetre vertical del cercle obtindrem tres objectescom en la figura de la proposicioacute 34 (fig 5)

Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5

Es tracta drsquouna esfera encaixada entre dues figures totes tres essencialmentamb la mateixa curvatura (amb la mateixa concavitat) Sembla evident doncsque la superfiacutecie de lrsquoesfera queda delimitada per la superfiacutecie de la figura ex-terna i per la superfiacutecie de la figura interna una eacutes meacutes gran i lrsquoaltra meacutes pe-tita Per raons encara meacutes evidents el volum de la figura externa eacutes meacutes granque el de lrsquoesfera perquegrave la conteacute i el volum de la figura interna eacutes meacutes pe-tit perquegrave hi estagrave continguda La situacioacute eacutes doncs semblant a la dels poliacute-gons inscrit i circumscrit al cercle com meacutes costats tinguin els poliacutegons cir-cumscrit i inscrit al cercle meacutes properes seran les superfiacutecies de les figuresresultants a la superfiacutecie de lrsquoesfera i els seus volums al volum de lrsquoesfera Endefinitiva nomeacutes falta trobar la superfiacutecie (i el volum) drsquoaquestes figures i acontinuacioacute demostrar pel megravetode de doble reduccioacute a lrsquoabsurd que la su-perfiacutecie (el volum) de lrsquoesfera eacutes un valor concret7 entre els valors de les super-fiacutecies (els volums) drsquoaquestes figures inscrites i circumscrites respectivament

7 Recordem que la doble reduccioacute a lrsquoabsurd no serveix per a trobar elvalor de la superfiacutecie i del volum de lrsquoesfera sinoacute nomeacutes per a demostrar queaquests valors soacuten correctes El valor concret srsquoha de trobar per altres mit-jans que com eacutes habitual no apareixen en lrsquoobra



Pragravecticament tot el llibre primer de Sobre lrsquoesfera i el cilindre es concentra enaquestes dues tasques A meacutes les dues es fan simultagraveniament En farem unbreu esboacutes sense entrar en els detalls tegravecnicsLa figura inscrita (i tambeacute la circumscrita) en lrsquoesfera estagrave formada per di-

versos blocs (fig 6) el de dalt i el de baix soacuten cons mentre que la resta soacutentroncs de con (eacutes a dir cons escapccedilats per la punta) Lrsquoestrategravegia meacutes evidentper al cagravelcul de la seva superfiacutecie i del seu volum hauria estat el cagravelcul de lasuperfiacutecie i del volum de cadascun drsquoaquests blocs perograve Arquimedes no hofa aixiacute Aquesta estrategravegia no li hauria permegraves calcular el volum a partir de lasuperfiacutecie de la figura8 quumlestioacute que teacute una importagravencia crucial en el desenvo-lupament de lrsquoobraArquimedes prefereix calcular el volum descomponent la figura en altres

formes derivades del con9 En qualsevol cas nomeacutes es tracta drsquouna descom-posicioacute de la figura completa en peces meacutes petites de manera que la seva re-unioacute seragrave igual al total10 Fent-ho aixiacute aconsegueix calcular el volum de totala figura a partir de la seva superfiacutecie i del seu apotema

8 El volum de la figura es calcula a partir drsquoaquesta superfiacutecie i del va-lor de lrsquoapotema definit com el segment que uneix el centre amb el punt mit-jagrave de qualsevol dels costats

9 Vegeu les ilmiddotlustracions de les proposicions 17-20 A meacutes eacutes en aquestpunt preciacutes que necessita la figura que ha denominat rombe sogravelid en les defi-nicions dos cons units per una mateixa base amb el mateix eix i vegravertexs encostats oposats de la base

10 Aquesta eacutes una de les formes meacutes habituals de calcular la mesura drsquounobjecte dividir-lo en diverses parts la mesura de les quals sabem calcular

apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6



Ategraves que la superfiacutecie i el volum de la figura depenen com acabem de veu-re de formes derivades del con el primer que li cal fer eacutes conegraveixer les ca-racteriacutestiques drsquoaquestes formes Eacutes per aixograve que les proposicions 7-20 se cen-tren en la superfiacutecie i el volum del con i tambeacute en la de certes formesderivades del con (les drsquoaquestes uacuteltimes malgrat que soacuten figures certamentestrambogravetiques soacuten senzilles de calcular a partir de les anteriors) Entre lesproposicions susdites nrsquohi ha algunes ben poques que no es refereixen alcon sinoacute al cilindre concretament a la seva superfiacutecie11 Aixograve eacutes aixiacute perquegraveArquimedes en el porisma posterior a la proposicioacute 34 decidiragrave expressar lasuperfiacutecie i el volum de lrsquoesfera en relacioacute amb la superfiacutecie i el volum drsquouncert cilindre12 Per tant li cal estudiar la superfiacutecie del cilindreLa investigacioacute de la mesura de cons i cilindres es fa usant recursos equi-

valents als que ja hem comentat la concavitat i la doble reduccioacute a lrsquoabsurdEn tots dos casos cons i cilindres Arquimedes tambeacute els encaixa entre figu-res conegudes (piragravemides i prismes) que srsquohi inscriuen i que srsquohi circumscri-uen totes amb la mateixa curvatura Drsquoaquesta manera pot usar la doble re-duccioacute a lrsquoabsurd per a determinar-ne13 la superfiacutecie i en el cas del con tambeacuteel volumEn definitiva si llegim el llibre de nou ara ja podem entendre quin objec-

tiu persegueix en cada moment i per quegrave la redaccioacute no podia ser diferentProposicions 0-6 proposicions introductograveries que sovint es recolzen en el

postulat drsquoArquimedes per construir els elements bagravesics que srsquousaran drsquounamanera constant en les proposicions seguumlents Es tracta de preparar lrsquoeinaprincipal de cagravelcul drsquoagraverees i volums en aquest llibre Essencialment es pro-porcionen els recursos tegravecnics per poder encaixar tan a prop com vulguemuna figura curviliacutenia entre figures poligonalsProposicions 7-22 proposicions preparatograveries on es mesuren cons i cilin-

dres tal com srsquoha explicat abans A meacutes a meacutes la proposicioacute 21 eacutes clau pera poder comparar posteriorment la superfiacutecie drsquouna esfera amb la drsquoun cercleProposicions 23-34 nucli central de lrsquoobra (tot i que no arriba a la cin-

quena part de la seva extensioacute) Aquiacute es construeixen les figures inscrita i cir-

11 La relacioacute entre el volum del cilindre i el del con ja lrsquohavia establertEudox tal com recorda el mateix Arquimedes en el prograveleg i ja hem dit queArquimedes estudia el volum del con Per aixograve no li cal investigar el volumdel cilindre

12 Tot i que anteriorment ja les havia expressat en relacioacute amb la su-perfiacutecie de cert cercle i el volum de cert con i per tant ja havia resolt el pro-blema de la mesura de lrsquoesfera com a miacutenim des de la perspectiva grega

13 Tornem a recordar una vegada meacutes que la doble reduccioacute a lrsquoabsurdno li permet trobar els valors drsquoagraverees i volums sinoacute nomeacutes demostrar que lrsquoagrave-rea (o el volum) eacutes igual a un cert valor conegut



cumscrita a lrsquoesfera abans esmentades i srsquoassoleix lrsquoobjectiu de demostrarcom srsquohavia proposat al prograveleg que laquoel cilindre que teacute una base igual al cer-cle magravexim dels cercles en lrsquoesfera i una altura igual al diagravemetre de lrsquoesfera eacutesell mateix una hemiogravelia de lrsquoesfera i la seva superfiacutecie una hemiogravelia de la su-perfiacutecie de lrsquoesferaraquo La relativa brevetat drsquoaquesta part (llevat de les proposi-cions 33 i 34 on srsquoaplica la feixuga doble reduccioacute a lrsquoabsurd) es deu al fetque la feina tegravecnica meacutes important ja srsquoha fet abans i ara nomeacutes cal engranartotes les peces eacutes clar amb la periacutecia i especialment amb la intuiumlcioacute habitualsen ArquimedesUna vegada assolit lrsquoobjectiu principal el llibre teacute una coda en forma de

deu proposicions (proposicions 35-44) on mitjanccedilant unes manipulacionsequivalents a les del nucli central de lrsquoobra es demostren uns resultats sem-blants perograve aplicats a determinades porcions drsquouna esfera essencialment la su-perfiacutecie i el volum drsquoun segment drsquoesfera (eacutes a dir una porcioacute drsquouna esfera es-capccedilada per on vulguem) Drsquoaquests resultats nomeacutes el primer havia estatdeclarat expliacutecitament en el prograveleg laquoigual a la superfiacutecie de tot segment drsquoes-fera hi ha un cercle el radi del qual eacutes igual a la recta traccedilada des del vegravertexdel segment fins a la circumferegravencia del cercle que eacutes base del segmentraquo

Per acabar

La lectura drsquouna obra drsquoinvestigacioacute matemagravetica com la que aquiacute presen-tem no eacutes una tasca fagravecil En primer lloc perquegrave es tracta drsquoun gegravenere litera-ri especiacutefic amb recursos propis del gegravenere desconeguts per als llecs (en aixogravesrsquoassembla a altres gegraveneres literaris antics com la poesia i el teatre) en tot casla mateixa lectura va revelant a poc a poc les entranyes del gegravenere En segonlloc perquegrave requereix uns coneixements sogravelids sobre la mategraveria tot i quetampoc excepcionals (sens dubte un domini suficient dels Elements drsquoEucli-des ni que nomeacutes sigui de forma intuiumltiva) Finalment cal tenir una nocioacutemiacutenima de cap a on es dirigeix lrsquoobra i de quins recursos es disposa per a se-guir aquest camiacute eacutes a dir tenir una idea clara de com ha estat planificada en-cara que lrsquoautor mai no ho hagi explicitat Aixograve eacutes clar nomeacutes es pot obte-nir despreacutes drsquouna primera lectura meacutes o menys superficial en una segonalectura es podragrave prestar meacutes atencioacute als detalls de les demostracions sense obli-dar mai lrsquoesquema general Drsquoaquesta manera encara que perdem algun de-tall mai no perdrem el nucli bagravesic de lrsquoobra en canvi perdent de vista la pla-nificacioacute global la lectura pot arribar a ser molt decebedora Eacutes per aixograve queen aquesta nota introductograveria hem procurat explicitar el pla del llibre meacutesque no pas endinsar-nos en la frondositat dels detalls que srsquohi escampen da-vant dels quals deixem gairebeacute indefens el lector Advertit com estagrave podragraveendinsar-se en aquest bosc atapeiumlt amb el perill drsquouna esgarrinxada o potser



drsquoalgun maldecap Si no ho vol pot arrecerar-se a certa distagravencia per fruir delrsquointeressantiacutessim prograveleg per aturar-se en cadascuna de les definicions i as-sumpcions (perquegrave vol gaudir de lrsquoextraordinagraveria subtilesa grega per captar lespoques nocions que permeten engegar la potentiacutessima maquinagraveria matemagraveti-ca) o beacute per llegir els enunciats de les proposicions i pensar-hi mentre con-templa els diagrames


ΒΙΒΛΙΟΝ Aacute

Ἀρχιμήδης Δοσιθέῳ χαίρειν

Πρότερον μὲν ἀπέσταλκά σοι τῶν ὑφrsquo ἡμῶν τεθεωρημένωνγράψας μετὰ ἀποδείξεως ὅτι πᾶν τμῆμα τὸ περιεχόμενονὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ἐπίτριτόν ἐστιτριγώνου τοῦ βάσιν τὴν αὐτὴν ἔχοντος τῷ τμήματι καὶ ὕψοςἴσον ὕστερον δὲ ἡμῖν ὑποπεσόντων θεωρημάτων ἀξίωνλόγου πεπραγματεύμεθα περὶ τὰς ἀποδείξεις αὐτῶν ἔστιν δὲτάδε πρῶτον μέν ὅτι πάσης σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια τετρα-πλασία ἐστὶν τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν αὐτῇ ἔπειτα δέ ὅτι

1 χαίρειν BCDE εὐπράτειν G || 5 τριγώνου τοῦ βάσιν τὴν αὐτὴνC trigoni habentis basem eandem B ταύτην τὴν βάσιν D τριγώνουτοῦ ἔχοντος βάσιν τὴν αὐτὴν || 9 τῶν ἐν αὐτῇ BCG om D

5

06 ARQUIMEDES LLIBRE I (064-160)qxt 201010 1723 Paacutegina 64

LLIBRE I

Arquimedes a Dositeu1 salut

De les propietats que hem investigat trsquohe enviat anterior-ment aquesta que vam descriure acompanyant-la drsquouna de-mostracioacute que tot segment compregraves per una recta i una sec-cioacute de con recte2 eacutes quatre terccedilos drsquoun triangle que teacute lamateixa base que el segment i una altura igual3 Despreacutes perogravecom que sersquons van acudir4 alguns teoremes dignes de mencioacutehem treballat en la seva demostracioacute I soacuten aquests en primerlloc que la superfiacutecie de tota esfera eacutes el quagravedruple del cerclemagravexim dels seus cercles5 despreacutes que igual a la superfiacutecie de

1 Dositeu probablement era un investigador del cercle drsquoAlexandriaperograve poca cosa meacutes en sabem llevat que era el destinari drsquoalgunes obres drsquoAr-quimedes (Sobre lrsquoesfera i el cilindre I i II Sobre els conoides i els esferoidesSobre les liacutenies espirals i La quadratura de la paragravebola) Sembla que com acientiacutefic no formava part del cercle que Arquimedes considerava el meacutes ele-vat Segons Reviel Netz (vegeu laquoThe first jewish scientistraquo Scripta ClassicaIsraelica 1998 27-33) Dositeu podria haver estat el primer cientiacutefic jueu co-negut

2 Arquimedes anomena la paragravebola ὀρθογωνίου κώνου τομῆς eacutes a dir sec-cioacute drsquoun con recte seguint lrsquoantiga denominacioacute de Menecme (segle IV) Lestraduccions llatines medievals tambeacute tradueixen koni rectanguli sectione Ladenominacioacute actual deriva del terme encunyat probablement per Apolmiddotloni alsegle III παραβολή

3 QP 17 244 El terme grec eacutes ὑποπίπτω literalment lsquocaure a sobrersquo en aquest con-

text lsquoem van acudirrsquo cosa que implica la passivitat del matemagravetic en la intu-iumlcioacute de les idees que sorgeixen de la seva ment

5 EC I 33


παντὸς τμήματος σφαίρας τῇ ἐπιφανείᾳ ἴσος ἐστὶ κύκλος οὗἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ εὐθείᾳ τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦτμήματος ἀγομένῃ ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου ὅς ἐστιβάσις τοῦ τμήματος πρὸς δὲ τούτοις ὅτι πάσης σφαίρας ὁκύλινδρος ὁ βάσιν μεν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐντῇ σφαίρᾳ ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας αὐτός τεἡμιόλιός ἐστιν τῆς σφαίρας καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ τῆς ἐπι-φανείας τῆς σφαίρας

Ταῦτα δὲ τὰ συμπτώματα τῇ φύσει προυπῆρχεν περὶ τὰεἰρημένα σχήματα ἠγνοεῖτο δὲ ὑπὸ τῶν πρό ἡμῶν περὶ γεω-μετρίαν ἀνεστραμμένων οὐδενὸς αὐτῶν ἐπινενοηκότος ὅτιτούτων τῶν σχημάτων ἐστὶν συμμετρία διόπερ οὐκ ἂνὀκνήσαιμι ἀντιπαραβαλεῖν αὐτὰ πρός τε τὰ τοῖς ἄλλοις γε-ωμέτραις τεθεωρημένα καὶ πρὸς τὰ δόξαντα πολὺ ὑπερέχειντῶν ὑπὸ Εὐδόξου περὶ τὰ στερεὰ θεωρηθέντων ὅτι πασα πυ-ραμὶς τρίτον ἐστὶ μέρος πρίσματος τοῦ βάσιν ἔχοντος τὴναὐτὴν τῇ πυραμίδι καὶ ὕψος ἴσον καὶ ὅτι πας κῶνος τρίτον

65 ΒΙΒΛΙΟΝ Aacute

5

10

15

12-13 οὐκ ἂν ὀκνήσαιμι C non sum veritus B ὁκνησαιμι D om G


LLIBRE I 65

tot segment drsquoesfera hi ha un cercle el radi del qual eacutes iguala la recta traccedilada des del vegravertex del segment fins a la circum-feregravencia del cercle que eacutes base del segment6 i a meacutes drsquoaquestsque de tota esfera el cilindre7 que teacute una base igual al cerclemagravexim dels cercles en lrsquoesfera i una altura igual al diagravemetre delrsquoesfera eacutes ell mateix una hemiogravelia de lrsquoesfera i la seva su-perfiacutecie una hemiogravelia de la superfiacutecie de lrsquoesfera8

Aquestes propietats referents a les figures esmentades pre-existien en la natura perograve eren desconegudes per als qui srsquohanocupat de la geometria abans que nosaltres i cap drsquoells no ha-via arribat a concebre que la commensurabilitat9 era progravepiadrsquoaquestes figures I precisament per aixograve jo no dubtaria aequiparar-les amb les investigades per la resta dels geogravemetresi tambeacute amb les meacutes destacades de les investigades per Eu-dox10 sobre els sogravelids que tota piragravemide eacutes una tercera partdrsquoun prisma que teacute la mateixa base que la piragravemide i una al-tura igual i que tot con eacutes una tercera part del cilindre que teacute

6 EC I 42 437 Els editors han intentat traduir lrsquoexpressioacute laquode tota esfera el cilindreraquo

(que tambeacute es troba a la introduccioacute del segon llibre) drsquouna manera meacutes en-tenedora perograve el resultat normalment no reflecteix el text original Nosaltresho hem deixat tal com eacutes encara que no aventurem cap interpretacioacute iquestPo-dria ser que laquoel cilindre drsquouna esferaraquo fos una forma arcaica de denominaraquesta figura (de la mateixa manera que abans usa un arcaisme per a referir-se a la paragravebola No ens convenccedil lrsquoopcioacute de fer de laquotota esferaraquo un genitiuabsolut

8 EC I 349 Aquest eacutes el tema bagravesic drsquoaquest llibre i de la majoria de les obres

drsquoArquimedes (i un dels temes bagravesics de la geometria grega) la recerca drsquoob-jectes commensurables eacutes a dir drsquoobjectes que tenen una mesura comuna Entermes moderns (encara que no del tot adequats) el quocient de la mesura(longituds agraverees volums) drsquoaquests objectes ha de ser un nombre racional

10 Eudox va ser un gran matemagravetic actiu durant la primera meitat delsegle IV Hi ha resultats del Elements drsquoEuclides que soacuten atribuiumlts a Eudoxespecialment pel que fa a la teoria de la proporcioacute (llibre V dels Elements)tot i que no ens ha restat res del seu treball i tampoc no sabem res de la sevavida com de la major part dels matemagravetics grecs De fet la citacioacute drsquoArqui-medes eacutes una de les fonts meacutes fiables i el resultat de quegrave es parla es troba aEl XII 7


μέρος ἐστὶν τοῦ κυλίνδρου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὴν αὐτὴν τῷκώνῳ καὶ ὕψος ἴσον καὶ γὰρ τούτων προυπαρχόντων φυ-σικῶς περὶ ταῦτα τὰ σχήματα πολλῶν πρό Εὐδόξου γεγε-νημένων ἀξίων λόγου γεωμετρῶν συνέβαινεν ὑπὸ πάντωνἀγνοεῖσθαι μηδrsquo ὑφrsquo ἑνὸς κατανοηθῆναι

Ἐξέσται δὲ περὶ τούτων ἐπισκέψασθαι τοῖς δυνησομένοιςὤφειλε μὲν οὖν Κόνωνος ἔτι ζῶντος ἐκδίδοσθαι ταῦτα τῆνονγὰρ ὑπολαμβάνομεν που μάλιστα ἄν δύνασθαι κατανοῆσαιταῦτα καὶ τὴν ἁρμόζουσαν ὑπὲρ αὐτῶν ἀπόφασιν ποιήσα-σθαι δοκιμάζοντες δὲ καλῶς ἔχειν μεταδιδόναι τοῖς οἰκείοιςτῶν μαθημάτων ἀποστέλλομεν σοι τὰς ἀποδείξεις ἀναγρά-ψαντες ὑπὲρ ὧν ἐξέσται τοῖς περὶ τὰ μαθήματα ἀναστρε-φομένοις ἐπισκέψασθαι

Ἐρρωμένως

Ἀξιώματα καὶ λαμβανόμενα

Γράφονται πρῶτον τά τε ἀξιώματα καὶ τὰ λαμβανόμεναεἰς τὰς ἀποδείξεις αὐτῶν


2 τούτων BCG που τῶν D || 12 περὶ CEGH etiam B τε D || 16 τάτε ἀξιώματα BCGH τώ τε ἀξιωμα D τό τε ἀξιωμα E

5

10

15


LLIBRE I 66

la mateixa base que el con i una altura igual11 I en efecte beacuteque les propietats sobre aquestes figures preexistien natural-ment i han estat molts els geogravemetres dignes de mencioacute abansdrsquoEudox succeiumla que tothom les desconeixia i que ni tan solsno havien estat mai considerades detingudament per ninguacute

I als qui en tinguin la capacitat els seragrave possible examinar-les Certament srsquohaurien drsquohaver lliurat en vida de Conoacute12 jaque suposem que eacutes ell qui meacutes podria entendre-les i fer-neun judici afinat perograve admetent que eacutes bo fer-ne partiacutecips elsfamiliaritzats amb les matemagravetiques trsquoenviem les demostra-cions que vaig anotar per escrit i que podran examinar els quisrsquoocupen de les matemagravetiques

Que estiguis bo

DEFINICIONS I ASSUMPCIONS13

Redactem primer les definicions i les assumpcions14 per ales demostracions de les propietats

11 El XII 1012 Conoacute eacutes un matemagravetic i astrogravenom nascut a Samos i mort abans que

Arquimedes (c 212 aC) segons aquest i altres testimonis del mateix Arqui-medes Fou sembla un dels matemagravetics meacutes respectats per Arquimedes Noen sabem gaire meacutes fora drsquoalgunes breus citacions (a les Cograveniques drsquoApol-loni introduccioacute al llibre IV a la introduccioacute als Miralls ustograverics de Diacuteocles ial poema 66 de Catul)

13 Eacutes molt probable que el text tal com va sortir de les mans drsquoArqui-medes no contingueacutes ni lrsquoenumeracioacute de les proposicions ni els tiacutetols que devegades van apareixent en passatges concrets La majoria soacuten afegitons pos-teriors i no totes les edicions tenen les mateixes divisions Nosaltres segui-rem de prop lrsquoedicioacute de Heiberg excepte en alguns petits detalls Lrsquoenumera-cioacute de les definicions i assumpcions eacutes de lrsquoedicioacute de Torelli i no apareix alsmanuscrits

14 Pel que fa al significat dels termes definicions i assumpcions vegeu laNotiacutecia preliminar


[1] Εἰσίτινες ἐν ἐπιπέδῳ καμπύλαι γραμμαὶ πεπερασμέναιαἳ τῶν τὰ πέρατα ἐπιζευγνυουσῶν αὐτῶν εὐθειῶν ἤτοι ὅλαιἐπὶ τὰ αὐτά εἰσιν ἢ οὐδὲν ἔχουσιν ἐπὶ τὰ ἕτερα

[2] Ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὴ κοίλην καλῶ τὴν τοιαύτην γραμμήν ἐνᾗ ἐὰν δύο σημείων λαμβανομένων ὁποιωνοῦν αἱ μεταξὺ τῶνσημείων εὐθεῖαι ἤτοι πασαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ πίπτουσιν τῆς γραμ-μῆς ἢ τινὲς μὲν ἐπὶ τὰ αὐτά τινὲς δὲ κατrsquo αὐτῆς ἐπὶ τὰ ἕτε-ρα δὲ μηδεμία

[3] Ὁμοίως δὴ καὶ ἐπιφάνειαί τινές εἰσιν πεπερασμέναιαὐταὶ μὲν οὐκ ἐν ἐπιπέδῳ τὰ δὲ πέρατα ἔχουσαι ἐν ἐπιπέδῳαἵ τοῦ ἐπιπέδου ἐν ᾧ τὰ πέρατα ἔχουσιν ἤτοι ὅλαι ἐπὶ τὰαὐτὰ ἔσονται ἢ οὐδὲν ἔχουσιν ἐπὶ τὰ ἕτερα

[4] Ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὴ κοίλας καλῶ τὰς τοιαύτας ἐπιφανείαςἐν αἷς ἂν δύο σημείων λαμβανομένων αἵ μεταξὺ τῶν σημείωνεὐθεῖαι ἤτοι πασαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ πίπτουσιν τῆς ἐπιφανείας ἢτινὲς μὲν ἐπὶ τὰ αὐτά τινὲς δὲ κατrsquo αὐτῆς ἐπὶ τὰ ἕτερα δὲμηδεμία

[5] Τομέα δὲ στερεὸν καλῶ ἐπειδὰν σφαῖραν κῶνος τέμνῃκορυφὴν ἔχων πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς σφαίρας τὸ ἐμπεριεχόμε-νον σχῆμα ὑπό τε τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου καὶ τῆς ἐπιφα-νείας τῆς σφαίρας ἐντὸς τοῦ κώνου

[6] Ῥόμβον δὲ καλῶ στερεόν ἐπειδὰν δύο κῶνοι τὴναὐτὴν βάσιν ἔχοντες τὰς κορυφὰς ἔχωσιν ἐφrsquo ἑκάτερα τοῦἐπιπέδου τῆς βάσεως ὅπως οἱ ἄξονες αὐτῶν ἐπrsquo εὐθείας ὦσικείμενοι τὸ ἐξ ἀμφοῖν τοῖν κώνοιν συγκείμενον στερεὸνσχῆμα


5

10

15

20

25

11 αἵ Heiberg et all καὶ codd ἔχουσιν D habent B ἔχουσαιCEGH || 19 τῷ κέντρῳ C τὸ κέντρον DEGH


LLIBRE I 67

1 Hi ha en el pla determinades liacutenies corbes limitades15

que o beacute soacuten totes sobre el mateix costat16 de les rectes17 queuneixen els seus liacutemits o beacute no tenen res sobre lrsquoaltre costat

2 Anomeno doncs cogravencava sobre el mateix costat aquellaliacutenia en la qual si prenem dos punts qualssevol les rectes en-tre aquests punts o beacute cauen totes sobre el mateix costat dela liacutenia o beacute unes sobre el mateix costat i les altres per la ma-teixa liacutenia i cap sobre lrsquoaltre costat

3 Drsquouna manera semblant doncs tambeacute hi ha superfiacutecieslimitades que tot i no estar situades en un pla perograve tenint elsseus liacutemits en un pla o beacute soacuten totes sobre el mateix costat delpla en el qual tenen els liacutemits o beacute no tenen res sobre lrsquoaltrecostat

4 Anomeno doncs cogravencaves sobre el mateix costat aque-lles superfiacutecies en les quals si prenem dos punts qualssevolles rectes entre aquests punts o beacute cauen totes sobre el ma-teix costat de la superfiacutecie o beacute unes sobre el mateix costat iles altres per la mateixa recta i cap sobre lrsquoaltre costat

5 I quan un con talla una esfera tenint el vegravertex en el cen-tre de lrsquoesfera anomeno sector sogravelid la figura compresa per lasuperfiacutecie del con i la superfiacutecie de lrsquoesfera dins del con

6 I quan dos cons que tenen la mateixa base tinguin elsvegravertexs sobre cadascun dels costats del pla de la base de ma-nera que els seus eixos estiguin tirats sobre una recta anome-nareacute rombe sogravelid la figura sogravelida recomposta a partir drsquoamb-doacutes cons

15 Segons el comentari drsquoEutoci tambeacute srsquoinclouen entre les corbes les liacute-nies tipus ziga-zaga El terme limitada exclou tambeacute les liacutenies tancades (cir-cumferegravencies per exemple) perquegrave tampoc no tenen liacutemits Per tant les cor-bes han de ser limitades i obertes

16 La nocioacute de laquosobre el mateix costatraquo no srsquoexplica enlloc Apareix perprimer cop en El I post 5 i la forma completa eacutes ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη que eacutes laque Euclides usa habitualment

17 Usem el terme recta i no segment tot i que no es correspon a la no-cioacute moderna de recta Vegeu la Notiacutecia preliminar


7 ἑτέρας Barrow Heiberg et al altera B ἑτέρας ἐπιφάνειας cettcodd

Λαμβάνω δὲ ταῦταmiddot[1] Τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν γραμμῶν ἐλαχίστην εἴναι

τὴν εὐθεῖαν[2] Τῶν δὲ ἄλλων γραμμῶν ἐὰν ἐν ἐπιπέδῳ οὖσαι τὰ αὐτὰ

πέρατα ἔχωσιν ἀνίσους εἴναι τὰς τοιαύτας ἐπειδὰν ὦσινἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι καὶ ἤτοι ὅλη περιλαμβάνηταιἡ ἑτέρα αὐτῶν ὑπὸ τῆς ἑτέρας καὶ τῆς εὐθείας τῆς τὰ αὐτὰπέρατα ἐχούσης αὐτῇ ἢ τινὰ μὲν περιλαμβάνηται τινὰ δὲκοινὰ ἔχῃ καὶ ἐλάσσονα εἶναι τὴν περιλαμβανομένην

[3] Ομοίως δὲ καὶ τῶν ἐπιφανειῶν τῶν τὰ αὐτὰ πέραταἐχουσῶν ἐὰν ἐν ἐπιπέδῳ τὰ πέρατα ἔχωσιν ἐλάσσονα εἶναιτὴν ἐπίπεδον


5

10


LLIBRE I 68

I assumeixo aixograve1 La menor18 de les liacutenies que tenen els mateixos liacutemits eacutes

la recta19

2 I de les altres liacutenies si trobant-se en un pla tenen elsmateixos liacutemits dues liacutenies20 soacuten desiguals quan ambdues soacutencogravencaves sobre el mateix costat i o beacute una drsquoaquestes estagrave totacontinguda per lrsquoaltra i per la recta que teacute els mateixos liacutemitsque aquesta o beacute una part estagrave continguda i lrsquoaltra la teacute encomuacute i la meacutes petita eacutes la continguda

3 I drsquouna manera semblant la meacutes petita de les superfiacuteciesque tenen els mateixos liacutemits si tenen els liacutemits en un platambeacute eacutes la superfiacutecie plana21

18 El terme ἐλαχίστην lsquomenorrsquo eacutes un hagravepax en aquesta obra Arquime-des usa sempre el comparatiu mai meacutes el superlatiu (com es pot veure enlrsquoassumpcioacute 3 on srsquoexpressa una propietat equivalent per als plans) Algunestraduccions no sembla que srsquoadonin drsquoaquest fet Podriacuteem dir que eacutes un re-curs estiliacutestic per destacar la importagravencia de la propietat que srsquoenuncia la me-nor de les liacutenies que comparteixen els extrems eacutes la recta

19 A diferegravencia drsquoaltres traduccions no considerem que la recta sigui elsubjecte Si fos aixiacute podria semblar errograveniament que es tracta drsquouna defini-cioacute de recta En aquest punt seguim el criteri de Michel Federspiel laquoSur lesemplois et les sens de lrsquoadverve ἀεί dans les matheacutematiques grecquesraquo EacutetudesClassiques 4 2004 289-311

20 A lrsquooriginal no hi surt pas dues El fet es deriva de la forma que te-nen aquest tipus de construccions en la matemagravetica grega Els punts 1 i 2 for-men una estructura unitagraveria comparable a altres que apareixen en Euclides(vg El III 7 8 15) Aquestes estructures presenten la forma seguumlent (vegeuFEDERSPIEL laquoSur les emploisraquo cit)

1 ltsuperlatiu+genitiugt eacutes ltobjectegt2 de les altres si en prenem dues la menor (o la major) compleix

ltpropietatgtCal el punt 1 perquegrave a la recta no se li pot aplicar el punt 221 Moltes edicions tradueixen pla i no superfiacutecie plana El text eacutes clar

perquegrave hi apareix lrsquoarticle femeniacute A meacutes Arquimedes diferencia entre la su-perfiacutecie plana i el pla aquest darrer amb article neutre De fet Euclides (Eldef I 7) usa ἐπίπεδος ἐπιφάνεια (en femeniacute) en la definicioacute de pla perograve en laresta del text sempre empra lrsquoarticle neutre Arquimedes en canvi se serveixaltres vegades de lrsquoarticle femeniacute amb pla (cosa que indica que es refereix auna superfiacutecie plana) perograve majoritagraveriament usa el neutre De les poques ocur-regravencies en femeniacute podem aventurar que Arquimedes escriu laquosuperfiacutecie planaraquoquan la vora drsquoaquesta superfiacutecie la imagina irregular (eacutes a dir no formada perrectes) No sembla que aquest matiacutes tingui cap consequumlegravencia pragravectica


[4] Τῶν δὲ ἄλλων ἐπιφανειῶν καὶ τὰ αὐτὰ πέραταἐχουσῶν ἐὰν ἐν ἐπιπέδῳ τὰ πέρατα ᾖ ἀνίσους εἶναι τὰς τοι-αύτας ἐπειδὰν ὦσιν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι καὶ ἤτοιὅλη περιλαμβάνηται ὑπὸ τῆς ἑτέρας ἡ ἑτέρα ἐπιφάνεια καὶτῆς ἐπιπέδου τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης αὐτῇ ἢ τινὰ μὲνπεριλαμβάνηται τινὰ δὲ κοινὰ ἔχῃ καὶ ἐλάσσονα εἶναι τὴνπεριλαμβανομένην

[5] Ἔτι δὲ τῶν ἀνίσων γραμμῶν καὶ τῶν ἀνίσων ἐπιφα-νειῶν καὶ τῶν ἀνίσων στερεῶν τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάσσονοςὑπερέχειν τοιούτῳ ὃ συντιθέμενον αὐτὸ ἑαυτῷ δυνατόνἐστιν ὑπερέχειν παντὸς τοῦ προτεθέντος τῶν πρὸς ἄλληλα λε-γομένων

[0]

Τούτων δὲ ὑποκειμένων ἐὰν εἰς κύκλον πολύγωνον ἐγ-γραφῇ φανερόν ὅτι ἡ περίμετρος τοῦ ἐγγραφέντος πο-λυγώνου ἐλάσσων ἐστὶν τῆς τοῦ κύκλου περιφερείαςmiddot ἑκάστηγὰρ τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐλάσσων ἐστὶ τῆς τοῦκύκλου περιφερείας τῆς ὑπὸ τῆς αὐτῆς ἀποτεμνομένης


5

10

15

1 καὶ CDEGH om B || 4 ἡ add Heiberg


LLIBRE I 69

4 I de les altres superfiacutecies que tambeacute tenen els mateixosliacutemits si els liacutemits soacuten en un pla dues superfiacutecies22 soacuten desi-guals quan ambdues soacuten cogravencaves sobre el mateix costat i obeacute una superfiacutecie estagrave tota continguda per lrsquoaltra i per la su-perfiacutecie plana que teacute els mateixos liacutemits que aquesta o beacute unapart estagrave continguda i lrsquoaltra la teacute en comuacute i la meacutes petita eacutescontinguda

5 I a meacutes la meacutes gran de dues liacutenies desiguals (i de duessuperfiacutecies desiguals i de dos sogravelids desiguals) supera la meacutespetita en una quantitat tal que afegida a ella mateixa eacutes pos-sible superar tota quantitat proposada de les que diem quelrsquouna respecte de lrsquoaltra lttenen relacioacutegt23

024

I suposant el mateix si inscrivim un poliacutegon en un cercleeacutes clar que el periacutemetre del poliacutegon inscrit eacutes meacutes petit que lacircumferegravencia del cercle ja que cadascun dels costats del po-liacutegon eacutes meacutes petit25 que la circumferegravencia del cercle retallatper aquest

22 Vegeu n 2023 Aquesta assumpcioacute eacutes lrsquoanomenada propietat drsquoarquimedianitat i en

essegravencia afirma que la diferegravencia entre dues quantitats homogegravenies qualssevoldiferents ha de ser del mateix tipus que les quantitats implicades dit drsquouna al-tra manera que aquesta diferegravencia no pot ser una quantitat infinitesimalAquesta propietat doacutena una bona mesura de la maduresa a quegrave havien arribatles matemagravetiques gregues per beacute que no srsquousen quantitats infinitesimals (lle-vat del Megravetode) aixograve no es deu pas al fet que el concepte hagueacutes passat des-apercebut sinoacute meacutes aviat al fet que no srsquohavia aconseguit un desenvolupamentteograveric i tegravecnic prou sogravelid que permeteacutes la manipulacioacute drsquoinfinitesimals

24 Gairebeacute cap edicioacute no indica aquest resultat com una proposicioacute per-quegrave eacutes gairebeacute evident Ara ategraves que no correspon a les definicions i as-sumpcions i eacutes diferent de la seguumlent proposicioacute hem optat per segregar-latot atorgant-li el nuacutemero 0 per evitar haver de numerar les altres proposicionsde nou

25 Assumpcioacute 1


[αacute]

Ἐὰν περὶ κύκλον πολύγωνον περιγραφῇ ἡ τοῦ περιγρα-φέντος πολυγώνου περίμετρος μείζων ἐστὶν τῆς περιμέτρουτοῦ κύκλου

Περὶ γὰρ κύκλον πολύγωνον περιγεγράφθω τὸ ὑποκείμε-νον λέγω ὅτι ἡ περίμετρος τοῦ πολυγώνου μείζων ἐστὶν τῆςπεριμέτρου τοῦ κύκλου

Ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ ΒΑΛ μείζων ἐστὶ τῆς ΒΛ περι-φερείας διὰ τὸ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαν περιλαμβάνειν τὴνπεριφέρειαν ὁμοίως δὲ καὶ συναμφότερος μὲν ἡ ΔΓ ΓΒ τῆςΔΒ συναμφότερος δὲ ἡ ΛΚ ΚΘ τῆς ΛΘ συναμφότερος δὲἡ ΖΗΘ τῆς ΖΘ ἔτι δὲ συναμφότερος ἡ ΔΕ ΕΖ τῆς ΔΖ ὅληἄρα ἡ περίμετρος τοῦ πολυγώνου μείζων ἐστὶ τῆς περιφε-ρείας τοῦ κύκλου

70 ΒΙΒΛΙΟΝ Aacute αacute

5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1

Si circumscrivim un poliacutegon al voltant drsquoun cercle el periacute-metre del poliacutegon circumscrit eacutes meacutes gran que el periacutemetredel cercle26

En efecte hem circumscrit un poliacutegon el proposat al vol-tant drsquoun cercle Jo dic que el periacutemetre del poliacutegon eacutes meacutesgran que el periacutemetre del cercle

En efecte ategraves que ΒΑΛ conjuntament eacutes meacutes gran que lacircumferegravencia ΒΛ pel fet que tenen els mateixos liacutemits i queltΒΑΛgt conteacute la circumferegravencia27 i drsquouna manera semblanttambeacute ΔΓ i ΓΒ conjuntament eacutes meacutes gran que ΔΒ mentreque ΛΚ i ΚΘ conjuntament meacutes gran que ΛΘ i ΖΗΘ con-juntament meacutes gran que ΖΘ i a meacutes ΔΕ i ΕΖ conjuntamentque ΔΖ aleshores tot el periacutemetre del poliacutegon eacutes meacutes gran quela circumferegravencia del cercle

26 Curiosa expressioacute que substitueix lrsquohabitual circumferegravencia del cercleEl terme periacutemetre lrsquousa exclusivament llevat drsquoaquest cas per a designar elperiacutemetre de poliacutegons tancats

27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]

Δύο μεγεθῶν ἀνίσων δοθέντων δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν δύοεὐθείας ἀνίσους ὥστε τὴν μείζονα εὐθεῖαν πρὸς τὴν ἐλάσσο-να λόγον ἔχειν ἐλάσσονα ἢ τὸ μεῖζον μέγεθος πρὸς τὸ ἔλασ-σον

Ἔστω δύο μεγέθη ἄνισα τὰ ΑΒ Δ καὶ ἔστω μειζον τὸΑΒ λέγω ὅτι δυνατόν ἐστι δύο εὐθείας ἀνίσους εὑρεῖντὸ εἰρημένον ἐπίταγμα ποιούσας

Κείσθω [διὰ τὸ βacute τοῦ αacute τῶν Εὐκλείδου] τῷ Δ ἴσον τὸ ΒΓκαὶ κείσθω τις εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΖΗmiddot τὸ δὴ ΓΑ ἑαυτῷ ἐπισυν-τιθέμενον ὑπερέξει τοῦ Δ πεπολλαπλασιάσθω οὖν καὶ ἔστωτὸ ΑΘ καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΘ τοῦ ΑΓ τοσαυταπλάσιοςἔστω ἡ ΖΗ τῆς ΗΕmiddot ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΘΑ πρὸς ΑΓ οὕτως ἡΖΗ πρὸς ΗΕ καὶ ἀνάπαλίν ἐστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ οὕτωςτὸ ΑΓ πρὸς ΑΘ καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστιν τὸ ΑΘ τοῦ Δ τουτέστιτοῦ ΓΒ τὸ ἄρα ΓΑ πρὸς τὸ ΑΘ λόγον ἐλάσσονα ἔχει ἤπερτὸ ΓΑ πρὸς ΓΒ ἀλλ᾽ ὡς τὸ ΓΑ πρὸς ΑΘ οὕτως ἡ ΕΗ πρὸςΗΖ ἡ ΕΗ ἄρα πρὸς ΗΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΑπρὸς ΓΒ καὶ συνθέντι ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόγονἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ [διὰ λῆμμα] ἴσον δὲ τὸ ΒΓ τῷ Δmiddotἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸςτὸ Δ

71 ΒΙΒΛΙΟΝ Aacute βacute

3 ἢ τὸ μεῖζον BDEGH ἤτοι μείζων C || 5 ἔστω BC ὥστε DEGH μεῖ-ζον DEGH μείζων C τὸ C τὰ DEGH || 8 κείσθω διὰ τὸ β᾽ τοῦ α᾽τῶν Εὐκλείδου codd Heiberg et al secl Netz || 11 ἡ G τὸ CDEGH ||16 ἀλλ᾽ ὡς τὸ ΓΑ πρὸς ΑΘ οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ ἡ ΕΗ ἄρα πρὸςΗΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΑ πρὸς ΓΒ C om BDEGH ἄραcodd secl Heiberg

5

10

15

20


01 APOLLODOR PLEC (1-7)qxt01 PLEC_001-006qxt 141010 0814 Paacutegina 2

212 RESULTATS DrsquoEUCLIDES

El XII 12 Οἱ ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροιπρὸς ἀλλήλους ἐν τριπλασίονιλόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι δια-μέτρων

Els cons i els cilindres sem-blants soacuten lrsquoun amb lrsquoaltre enuna raoacute triple dels diagravemetresen les bases

El XII 13 Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇπαραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίονἐπιπέδοις ἔσται ὡς ὁ κύλινδροςπρὸς τὸν κύλινδρον οὕτως ὁἄξων πρὸς τὸν ἄξονα

Si tallem un cilindre amb unpla que eacutes paralmiddotlel als plansoposats com el cilindre res-pecte del cilindre aixiacute seragravelrsquoeix respecte de lrsquoeix

El XII 14 Οἱ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντες κῶνοικαὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλουςεἰσὶν ὡς τὰ ὕψη

Els cons i els cilindres quesoacuten sobre bases iguals soacutenlrsquoun amb lrsquoaltre com les altu-res

El XII 15 Τῶν ἴσων κώνων καὶ κυλίνδρωνἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖςὕψεσιν καὶ ὧν κώνων καὶ κυλίν-δρων ἀντι πεπόνθασιν αἱ βάσειςτοῖς ὕψεσιν ἴσοι εἰσὶν ἐκεῖνοι

Les bases dels cons i dels ci-lindres iguals soacuten inversa-ment proporcionals a les al-tures i els cons i els cilindresles bases dels quals soacuten in-versament proporcionals ales altures soacuten iguals

09 ARQUIMEDES RESULTATS (202-212)qxt03 HERODOT IV 201010 1729 Paacutegina 212

IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45

Llibre primerNotiacutecia preliminar 51Text i traduccioacute 64

Llibre segonNotiacutecia preliminar 163Text i traduccioacute 168

Resultats drsquoEuclides emprats en Sobre lrsquoesferai el cilindre 203

10 ARQUIMEDES INDEX (213-214)qxt19 Index general (146-) 201010 1729 Paacutegina 213


FUNDACIOacute BERNAT METGEESCRIPTORS GRECS

TEXT I TRADUCCIOacute

ARQUIMEDES


BARCELONA






ISBN 978-84-9859-155-2 Tela


wwwinstitutcamboorg


ARQUIMEDES




BARCELONA


2010







INTRODUCCIOacute



Paul CEacuteZANNE




10 INTRODUCCIOacute








INTRODUCCIOacute 11









12 INTRODUCCIOacute







INTRODUCCIOacute 13








ARCHIMEDIS




LIBER PRIMVS


















cap

cap

badia1

badia 2

A

FIGURA 1





Cas1 Cas2

Cas3 Cas4

A

B

A

B

A B

A

B

FIGURA 2















FIGURA 3











FIGURA 4





Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5











apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45










ISBN 978-84-9859-155-2 Tela


wwwinstitutcamboorg


ARQUIMEDES




BARCELONA


2010







INTRODUCCIOacute



Paul CEacuteZANNE




10 INTRODUCCIOacute








INTRODUCCIOacute 11









12 INTRODUCCIOacute







INTRODUCCIOacute 13








ARCHIMEDIS




LIBER PRIMVS


















cap

cap

badia1

badia 2

A

FIGURA 1





Cas1 Cas2

Cas3 Cas4

A

B

A

B

A B

A

B

FIGURA 2















FIGURA 3











FIGURA 4





Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5











apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






ARQUIMEDES




BARCELONA


2010







INTRODUCCIOacute



Paul CEacuteZANNE




10 INTRODUCCIOacute








INTRODUCCIOacute 11









12 INTRODUCCIOacute







INTRODUCCIOacute 13








ARCHIMEDIS




LIBER PRIMVS


















cap

cap

badia1

badia 2

A

FIGURA 1





Cas1 Cas2

Cas3 Cas4

A

B

A

B

A B

A

B

FIGURA 2















FIGURA 3











FIGURA 4





Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5











apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45











INTRODUCCIOacute



Paul CEacuteZANNE




10 INTRODUCCIOacute








INTRODUCCIOacute 11









12 INTRODUCCIOacute







INTRODUCCIOacute 13








ARCHIMEDIS




LIBER PRIMVS


















cap

cap

badia1

badia 2

A

FIGURA 1





Cas1 Cas2

Cas3 Cas4

A

B

A

B

A B

A

B

FIGURA 2















FIGURA 3











FIGURA 4





Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5











apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






10 INTRODUCCIOacute








INTRODUCCIOacute 11









12 INTRODUCCIOacute







INTRODUCCIOacute 13








ARCHIMEDIS




LIBER PRIMVS


















cap

cap

badia1

badia 2

A

FIGURA 1





Cas1 Cas2

Cas3 Cas4

A

B

A

B

A B

A

B

FIGURA 2















FIGURA 3











FIGURA 4





Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5











apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






INTRODUCCIOacute 11









12 INTRODUCCIOacute







INTRODUCCIOacute 13








ARCHIMEDIS




LIBER PRIMVS


















cap

cap

badia1

badia 2

A

FIGURA 1





Cas1 Cas2

Cas3 Cas4

A

B

A

B

A B

A

B

FIGURA 2















FIGURA 3











FIGURA 4





Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5











apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






12 INTRODUCCIOacute







INTRODUCCIOacute 13








ARCHIMEDIS




LIBER PRIMVS


















cap

cap

badia1

badia 2

A

FIGURA 1





Cas1 Cas2

Cas3 Cas4

A

B

A

B

A B

A

B

FIGURA 2















FIGURA 3











FIGURA 4





Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5











apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






INTRODUCCIOacute 13








ARCHIMEDIS




LIBER PRIMVS


















cap

cap

badia1

badia 2

A

FIGURA 1





Cas1 Cas2

Cas3 Cas4

A

B

A

B

A B

A

B

FIGURA 2















FIGURA 3











FIGURA 4





Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5











apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45







ARCHIMEDIS




LIBER PRIMVS


















cap

cap

badia1

badia 2

A

FIGURA 1





Cas1 Cas2

Cas3 Cas4

A

B

A

B

A B

A

B

FIGURA 2















FIGURA 3











FIGURA 4





Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5











apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45







LIBER PRIMVS


















cap

cap

badia1

badia 2

A

FIGURA 1





Cas1 Cas2

Cas3 Cas4

A

B

A

B

A B

A

B

FIGURA 2















FIGURA 3











FIGURA 4





Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5











apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






















cap

cap

badia1

badia 2

A

FIGURA 1





Cas1 Cas2

Cas3 Cas4

A

B

A

B

A B

A

B

FIGURA 2















FIGURA 3











FIGURA 4





Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5











apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45









Cas1 Cas2

Cas3 Cas4

A

B

A

B

A B

A

B

FIGURA 2















FIGURA 3











FIGURA 4





Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5











apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45



















FIGURA 3











FIGURA 4





Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5











apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45















FIGURA 4





Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5











apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45








Β

ΓΑ

Δ

FIGURA 5











apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45













apotema

con

con

troncdecon

troncdecon

troncdecon

troncdecon

FIGURA 6
















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45




















Per acabar










5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45













5


LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






LLIBRE I







5 EC I 33





5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45









5

10

15



LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






LLIBRE I 65
















5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45













5

10

15


LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






LLIBRE I 66



Que estiguis bo















5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45













5

10

15

20

25



LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






LLIBRE I 67


















5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45












5

10


LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






LLIBRE I 68


la recta19












[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45








[0]



5

10

15



LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






LLIBRE I 69



024





25 Assumpcioacute 1


[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






[αacute]





5

10

Α

Λ

Κ

Θ

ΗΖΕ

Δ

Γ

Β


LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






LLIBRE I 1 70

1





27 Assumpcioacute 2

Α

Κ

Η

Λ

ΘΖ

Ε

Δ

Γ

Β


[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






[βacute]






5

10

15

20













IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45

















IacuteNDEX

Introduccioacute 9

Bibliografia 41

Sigla 45






Sobre l'esfera i el cilindre

Documents

Transcript of Sobre l'esfera i el cilindre