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Sobre la continuidad de la division en anillosde operadores diferenciales

Antonio Rojas Leon

Trabajo de investigacion presentado en el programa de doctorado Algebra,Analisis Matematico, Geometrıa y Topologıa

TUTOR: Luis Narvaez Macarro

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Introduccion

El anillo de operadores diferenciales en n variables, ya sea con coeficientesanalıticos o polinomiales, admite teoremas de division [1] similares a los ex-istentes para polinomios en varias variables. Dotando a este anillo de unatopologıa canonica localmente convexa que se puede definir mediante unafamilia de pseudonormas [5], la cuestion es comprobar si los cocientes y elresto de la division dependen de manera continua del divisor. Es decir, si labiyeccion que el teorema de division establece entre el anillo de operadoresdiferenciales y la suma directa de ciertos subespacios (aquellos en que losdivisores y el resto se encuentran, segun el teorema de division) es de he-cho un homeomorfismo. Una primera prueba de este hecho para el caso decoeficientes analıticos aparece en [5]. En [4] se da una prueba relativamentedirecta adaptando el metodo utilizado en [3] para la division de series depotencias convergentes.

El grueso de este trabajo consiste en adaptar la prueba dada allı para op-eradores diferenciales con coeficientes analıticos al caso en que los coeficientesson polinomicos, y ademas extender el resultado al caso vectorial. Se obtieneası una acotacion de los cocientes y el resto que permite deducir, a la vezque la existencia y unicidad de estos (teorema de division), su dependenciacontinua con respecto al dividendo.

Sin embargo, el hecho de que los coeficientes sean polinomicos, y portanto contengan solo un numero finito de monomios, permite aplicar en estecaso un argumento inductivo que simplifica la prueba de la continuidad. Enparticular, se puede prescindir del argumento analıtico de la convergencia deoperadores con norma menor que 1 entre espacios de Banach. El resultado esuna acotacion menos fina que la obtenida por el metodo anterior, pero queaun implica la continuidad. Por otra parte, aquı es necesario utilizar comorequisito previo el teorema de division (que en el caso anterior se obtenıa

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como una consecuencia directa del argumento analıtico).En la primera seccion se introducen los anillos de operadores diferenciales

con coeficientes polinomicos y analıticos. Tambien se definen las pseudonor-mas (normas en el caso de coeficientes polinomiales) que dotan a estos anil-los de una topologıa localmente convexa, y se recuerdan el concepto de or-den monomial y el teorema de division, que utilizaremos mas adelante. Laspseudonormas definidas dependen de unos parametros que pueden ser libre-mente elegidos dentro de un cierto rango que determinaremos y comprobare-mos que es no vacıo.

En la segunda seccion se da la prueba inductiva de la continuidad de ladivision en el caso polinomial. Para este metodo es fundamental el hechode que los coeficientes sean finitos (es decir, polinomios en contraposicion aseries de potencias), y por tanto no es generalizable al caso de coeficientesanalıticos. Sin embargo, notamos que las acotaciones que se realizan en amboscasos son, a grandes rasgos, similares. Donde esta la diferencia es en comose aplican estas acotaciones para probar la continuidad. En este caso se dauna prueba directa, mientras que en la siguiente seccion la aproximacion esindirecta, probando primero una cierta acotacion para la funcion ”inversa”dela division, y comprobando que esta operacion es inversible. Esto implicaautomaticamente la existencia y la continuidad de la division, mediante unargumento puramente analıtico.

Ası pues, en las secciones tercera y cuarta desarrollamos este metodo. Enla cuarta seccion se recuerda el resultado para coeficientes analıticos, dado en[4], extendiendolo al caso vectorial, mientras que en la tercera se introducenlos cambios necesarios para adaptar la prueba al caso de operadores concoeficientes polinomiales. La principal modificacion se introduce en la eleccionde los parametros, ya que la norma en este caso esta definida de manera queel monomio de mayor grado sea el que lleve el peso del polinomio. Para quelas acotaciones funcionen, es necesario elegir un orden monomial en el que elexponente de las ∂’s sea el primero en ser comparado, antes que el exponentede las x’s. Esto se debe a la presencia del factor |β|! en la definicion de las(pseudo)normas. Sin embargo, aun sin suponer esta condicion en el ordenmonomial la acotacion obtenida es suficiente para probar la continuidad,como veremos, aunque la acotacion obtenida es menos precisa.

La ultima seccion esta dedicada a una aplicacion importante del resultadoprincipal: la fiel planitud de la extension del anillo de operadores diferencialescon coeficientes polinomiales por su completado, es decir, el anillo de oper-adores diferenciales de orden infinito definidos en todo Cn. La continuidad

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de la division permite dar una prueba corta de este resultado, adaptando laprueba dada en [5] para el anillo de operadores diferenciales con coeficientesanalıticos.

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1. Preliminares

Los anillos Wn y Dn

Denotaremos Wn el anillo de operadores diferenciales sobre el anillo depolinomios C[x1, . . . , xn]. Wn se define como el cociente de la C-algebra libregenerada por los elementos x1 . . . , xn, ∂1, . . . , ∂n por el ideal bilatero generadopor todos los elementos del tipo xixj − xjxi y ∂i∂j − ∂j∂i para todos i, j =1, . . . , n, y ∂ixj − xj∂i − δij para todos i, j = 1, . . . , n (δij denota la funcionδ de Kronecker).

Definimos tambienOn como el anillo de funciones analıticas en un entornodel origen en Cn, es decir, funciones definidas en un entorno de 0 y quetienen un desarrollo en serie de potencias convergente en ese entorno, f(x) =∑

α∈Nn aαxα, donde xα significa xα11 · . . . · xαn

n si α = (α1, . . . , αn). Podemosformar el anillo Dn de operadores diferenciales de orden finito con coeficientesen On, que es el cociente del algebra libre generada por ∂1, . . . , ∂n sobre On

entre el ideal generado por los elementos del tipo ∂i∂j−∂j∂i para 0 ≤ i, j ≤ ny ∂if − f∂i − ∂f

∂xipara todos f ∈ On e i = 1, . . . , n.

Ordenes monomiales. Exponentes.

Sea < un buen orden en Nn. Diremos que < es un orden monomial sipara todos α, β, γ ∈ Nn, α < β implica que α + γ < β + γ. Si < es un ordenmonomial en Nn, para todo q ∈ N podemos definir un orden en el conjuntoNn×{1, . . . , q}, que denotaremos de la misma manera, de la siguiente forma:

(α, i) < (β, j) ⇐⇒

α < βoα = β e i < j

y diremos que < es un orden monomial en Nn×{1, . . . , q}. Esta claro que <es un buen orden, y que es aditivo en el siguiente sentido: dados α, β, γ ∈ Nn

e i, j ∈ {1, . . . , q}, se verifica que

α < β =⇒ α + (γ, i) < β + (γ, i)(α, i) < (β, j) =⇒ γ + (α, i) < γ + (β, j)

donde sumar un elemento de Nn a un elemento de Nn × {1, . . . , q} significasumarselo a la primera componente. Utilizaremos esta notacion frecuente-mente en lo sucesivo.

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Fijamos un orden monomial < en N2n × {1, . . . , q}. Dado un elementoA ∈Wq

n, se puede expresar de manera unica como suma A =∑

αβi aαβixα∂βei

donde la suma se extiende para α, β ∈ Nn e i = 1, . . . , q, y {e1, . . . , en}denota la base canonica de Wq

n, es decir, ei tiene 1 en la componente i-esimay 0 en las restantes componentes. Definimos N (A) como el conjunto de los(α, β, i) ∈ N2n × {1, . . . , q} tales que aαβi 6= 0. Es un subconjunto finito deN2n×{1, . . . , q}. Analogamente se define N (A) para A ∈ Dq

n, aunque en estecaso ya no es un conjunto finito en general.

Para A ∈ Wqn o Dq

n definimos en primer lugar k = max{|β| : aαβi 6=0 para algunos α, i}, y σ(A) =

∑|β|=k

∑αi aαβi

xα∂βei (el sımbolo de A). Sedefine el exponente de A con respecto al orden < como el maximo del conjun-to finito N (σ(A)), en el caso del algebra de Weyl (bien definido por ser unconjunto finito), y como el mınimo del mismo conjunto en el caso de coefi-cientes analıticos (bien definido por ser < un buen orden). El exponente de Ase denota exp(A). El monomio principal de A es el monomio cuyo exponentees el exponente de A.

Para obtener mejores acotaciones, impondremos a veces cierta restriccionen el orden monomial utilizado. Diremos que un orden monomial en N2n

verifica la condicion (?) si, con las notaciones anteriores, siempre que (α, β) <(α′, β′), se verifica que (0, β) < (0, β′), y esta ultima desigualdad implica que|β| < |β′|. Podemos suponer para simplificar que el orden mira primero lacomponente β, como un orden graduado, y en caso de igualdad compara lacomponente α. Un orden de este tipo verifica automaticamente la condicion(?).

Teorema de division en Wqn

Fijemos un orden monomial < en N2n × {1, . . . , q} teniendo en cuentalas restricciones anteriores. Sean M1, . . . , Mr ∈Wq

n. Definimos los conjuntos

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siguientes:∆1 = exp(M1) + N2n

∆2 = (exp(M2) + N2n) \∆1

...

∆r = (exp(Mr) + N2n) \ (∆1 ∪ . . . ∪∆r−1)

∆ = (N2n × {1, . . . , q}) \ (∆1 ∪ . . . ∪∆r)

Por costruccion, ∆1, . . . , ∆r, ∆ constituyen una particion del conjuntoN2n × {1, . . . , q}, que sera la particion asociada a los elementos M1, . . . , Mr

y al orden monomial <. El teorema de division es el siguiente [1]:

Teorema 1 Para todo A ∈ Wqn, existen unicos Q1, . . . , Qr,∈ Wn, R ∈ Wq

n

verificando las siguientes condiciones:

1. A =∑r

j=1 QjMj + R

2. N (Qj) + exp(Mj) ⊂ ∆j ∀i = j, . . . , r

3. N (R) ⊂ ∆

Los elementos Qj y R hallados en el teorema se llaman cociente i− esimoy resto, respectivamente, de la division de A entre M1, . . . , Mr. Utilizaremoseste teorema en la primera prueba de la continuidad de la division, peroel teorema se obtendra mas adelante como corolario de la segunda pruebade la continuidad. Como corolario de la continuidad para operadores concoeficientes analıticos obtendremos un resultado analogo para Dn.

Podemos considerar Qj y R como aplicaciones que asignan a cada ele-mento de Wq

n el cociente j-esimo y el resto, respectivamente, de su divisionentre M1, . . . , Mn. En ese caso, Qj y R son aplicaciones C-lineales, como sededuce de la unicidad en el teorema.

Topologıas en Wqn y en Dq

n

Nuestro objetivo es demostrar la dependencia continua de los cocientes yel resto de la division respecto al dividendo. Para ello, necesitamos dotar aWq

n

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de cierta topologıa. En [5] se define una topologıa natural localmente convexametrizable sobre las secciones D∞

Cn(U) del haz de los operadores diferencialesde orden infinito sobre cada abierto U ⊂ Cn, para la cual D∞

Cn(U) es elcompletado de los operadores lineales de orden finito sobre U , DCn(U).

En particular, si U ⊂ Cn es el policilindro abierto centrado en el origen depolirradio σ = (σ1, . . . , σn), 0 < σ ≤ +∞, la topologıa natural sobre DCn(U)viene dada por la familia de seminormas |−|Lρ , donde ρ es un polirradio finitomenor o igual que σ componente a componente y L es un polirradio finitoarbitrario, definidas de la siguiente forma:

|P |Lρ =∑

β

|aβ|ρ|β|!Lβ =∑

αβ

|aαβ| · |β|!ραLβ

donde P =∑

β aβ∂β =∑

αβ aαβxα∂β.En lo que sigue utilizaremos, como en [4] una subfamilia cofinal se las

pseudonormas anteriores, parametrizadas por s, t reales positivos. Fijaremosunos parametros λ, µ ∈ Nn verificando ciertas condiciones que determinare-mos mas adelante, y definimos |P |st = |P |t−µ

sλ con sλ = (sλ1 , . . . , s

λn). Explıcita-

mente|P |st =

∑

αβ

|aαβ| · |β|!sλαt−µβ

Esta familia de pseudonormas determina una filtracion de Dn. En con-creto, dado s > 0 definimos Dn(s) como el C-subespacio vectorial de Dn

formado por los A tales que |A|st < ∞ (es independiente de t). El subespacioDn(s) no es, en general, un subanillo de Dn. Es claro que si s′ < s entoncesDn(s) ⊂ Dn(s′), y que Dn es la union de Dn(s) cuando s recorre el interva-lo (0, +∞). El espacio Dn con la topologıa dada es el lımite inductivo paras → 0 de los subespacios Dn(s) dotados de las normas | − |st. Es respecto deesta topologıa que intentaremos probar la continuidad de la division. Paraello, basta encontrar una acotacion de las normas de los cocientes y el restocon respecto a la norma del divisor. Esto implica la continuidad con respectoa la topologıa lımite.

Mas concretamente, la topologıa sobre Dn(s0) viene dada por la familiade normas | − |s0t para t−µ À 0. Esto se puede conseguir de dos formas:bien manteniendo µ fijo y haciendo t tender a cero, o bien manteniendo tfijo (para cada s, es decir, t = t(s)) y haciendo µ arbitrariamente grande.Estudiaremos los dos casos y veremos que resultados obtenemos en cada unode ellos. Veremos que la division respeta la filtracion; es decir es decir, que

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para s, t suficientemente pequenos, si el dividendo esta en Dn(s), entoncestambien lo estan los cocientes y el resto, y sus normas st se pueden acotarpor la norma st del dividendo multiplicada por una constante. El mismoresultado servira para probar la continuidad en un policilindro abierto Ude polirradio sλ

0 . En este abierto la topologıa viene dada por la familia deseminormas | − |st para 0 < s < s0 y t−µ À 0, lo cual puede conseguirse delas dos formas indicadas anteriormente.

Todo lo dicho anteriormente se generaliza de forma natural al caso vec-torial Dq

n con la filtracion Dqn(s) = Dn(s)q. Para P =

∑Piei, siendo los ei

los elementos de la base canonica de Dqn, las pseudonormas que definen la

topologıa son:

|P |st =∑

αβi

|aαβi| · |β|!sλα−ν(i−1)t−µβ

siendo P =∑

αβi aαβixα∂βei, donde ν es un parametro adicional que, como

veremos mas adelante, puede tomarse igual a 1. Estas pseudonormas inducenla topologıa producto en Dq

n si en cada factor Dn consideramos la topologıadefinida anteriormente.

Consideramos ahora el caso del algebra de Weyl Wqn. Aquı la topologıa

considerada es la inducida por la de DCn(Cn)q, que viene dada por la siguientefamilia de normas:

|∑

αβi

aαβixα∂βei|st =

∑

αβi

|aαβi| · |β|!s−λα−ν(i−1)t−µβ

para 0 < s ¿ 1 y t−µ À 0, lo cual puede lograrse de las dos maneras indicadasanteriormente. La norma st definida en este caso es distinta de la norma stanterior si consideramos P como un elemento de Dq

n. En las secciones 2 y 3,|− |st denotara esta ultima, y en la seccion 4 |− |st denotara la pseudonormadefinida en el caso de Dq

n.

Eleccion de los pesos

La topologıa definida enWqn o en Dq

n por las normas anteriores no dependede la eleccion de λ, µ, ν. Por tanto tenemos libertad para elegir los valoresque mas nos convengan. Empecemos por el caso polinomial. Sea c · xαj∂βjeij

el monomio principal de Mj, y denotemos M ′j = Mj − c · xαj∂βjeij . Para

simplificar consideramos primero el caso q = 1, podemos eliminar entoncesla variable i y el parametro ν.

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Lema 1 Existen λ, µ ∈ Nn verificando las siguientes condiciones:

1. λαj + µβj > λα + µβ para todo (α, β) ∈ N (M ′j).

2. Si el orden monomial verifica la condicion (?), µβj ≥ µβ para todo(α, β) ∈ N (M ′

j).

Ademas, µ puede elegirse arbitrariamente grande componente a compo-nente manteniendo λ fijo de manera que se verifiquen las condiciones ante-riores.

Demostracion: Definimos el conjunto finito M⊂ N2n como

M =⋃j

(N (Mj) ∪ {(0, β) : (α, β) ∈ N (Mj)})

Todo orden monomial en un subconjunto finito de N2n viene inducidopor el orden habitual de N mediante una aplicacion lineal η : N2n → N,que podemos identificar con un vector η ∈ N2n haciendo ηi = η(ei) ([2],ex.15.12). Sea entonces (σ, ρ) ∈ Nn×Nn = N2n un vector que defina el ordenmonomial considerado en el conjunto finito M. Fijemos p ∈ N y sean λ = σy µ = (p) + ρ, donde (p) ∈ N2n es el vector que tiene todas sus componentesiguales a p. Entonces,

λα + µβ = σα + ρβ + p|β|

Tomemos p > max{σα+ρβ : (α, β) ∈M}. Veamos que el maximo de λα+µβpara (α, β) ∈ N (Mj) se alcanza precisamente en el exponente de Mj.

Si λα+µβ es maximo, (α, β) debe estar en σ(Mj). Si no, existirıa (α′, β′) ∈N (Mj) con |β′| > |β|. Entonces, λα + µβ = σα + ρβ + p|β| ≤ σα + ρβ +p(|β′| − 1) < p + p|β′| − p = p|β′| < σα′ + ρβ′ + p|β′| = λα′ + µβ′. Por tanto,max{λα+µβ : (α, β) ∈ N (Mj)} = max{σα+ρβ+p|β| : (α, β) ∈ N (σ(Mj))}.En este conjunto, |β| es constante y (σ, ρ) definen el orden monomial, portanto el maximo se alcanza en el mayor elemento de N (σ(Mj)) respecto delorden monomial, que es precisamente el monomio inicial de Mj.

Comprobamos ahora que se verifica (2) bajo la hipotesis adicional (?).Vemos primero que, si µβ es maximo, entonces β ∈ π2(N (σ(Mj))). Si no,existirıa (α′, β′) ∈ N (Mj) con |β′| > |β|, y entonces µβ = p|β| + ρβ <p|β|+p ≤ p|β′| < p|β′|+ρβ′ = µβ′. Sea (α, β) en el sımbolo de Mi. Entonces,

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(αj, βj) ≥ (α, β) ⇒ (0, βj) ≥ (0, β). Como (0, βj) y (0, β) estan en M y eneste conjunto (σ, ρ) definen el orden monomial, se deduce que ρβj ≥ ρβ, dedonde µβj ≥ µβ, y queda ası comprobada la propiedad (2).

Esta claro que aumentando p arbitrariamente podemos hacer cada com-ponente de µ tan grande como queramos sin cambiar λ.

El resultado general es el siguiente:

Lema 2 Existen λ, µ ∈ Nn, ν ∈ N verificando las siguientes condiciones:

1. λαj + µβj + νij > λα + µβ + νi para todo (α, β, i) ∈ N (M ′j)

2. Si el orden monomial verifica la condicion (?), µβj ≥ µβ para todo(α, β, i) ∈ N (M ′

j)

Ademas, podemos suponer sin perdida de generalidad que ν = 1, y pode-mos tomar µ con arbitrariamente grande componente a componente sin cam-biar λ de manera que se verifiquen las condiciones anteriores.

Demostracion: Se basa en el resultado anterior. Sea Mj =∑

iαβ ajiαβ(xα∂β)i,

y definimos Mj =∑

iαβ ajiαβxα∂β ∈Wn. Sea (αj, βj) el exponente de Mj con

respecto al orden monomial considerado al principio en N2n. Sea (αj, βj, ij)el exponente de Mj, veamos que αj = αj y que βj = βj. De lo contrario,tendrıamos que (αj, βj) < (αj, βj). Sea i tal que (αj, βj, i) ∈ N (Mj). En-tonces, por definicion de exponente, tenemos que (αj, βj, i) ≤ (αj, βj, ij), locual implica que (αj, βj) ≤ (αj, βj), y llegamos a una contradiccion.

Aplicamos ahora el lema probado anteriormente. Tenemos ası que existenλ, µ ∈ Nn tales que

1. λαj + µβj > λα + µβ para todo (α, β) ∈ N (M ′j)

2. Si se verifica (?), µβj ≥ µβ para todo (α, β) ∈ N (M ′j)

Definimos λ = qλ, µ = qµ y ν = 1. Veamos que entonces se cumplenlas condiciones. Sea (α, β, i) ∈ N (Mj), entonces (α, β) ∈ N (Mj), por tantoλαj + µβj ≥ λα + µβ por construccion. Distinguimos dos casos:

Si (α, β) < (αj, βj), entonces λαj + µβj > λα + µβ. Pero tanto λ como µson multiplos de q, por tanto λαj + µβj ≥ λα + µβ + q, y λαj + µβj + ij ≥λαj + µβj ≥ λα + µβ + q ≥ λα + µβ + i.

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Si (α, β) = (αj, βj), entonces necesariamente i < ij, de donde λαj +µβj +ij > λαj +µβj +i = λα+µβ+i. En cualquier caso, obtenemos la desigualdadbuscada.

Por otra parte, (α, β, i) ≤ (αj, βj, ij) implica que (α, β) ≤ (αj, βj), dedonde µβ ≤ µβj, y por tanto µβ = qµβ ≤ qµβj = µβj, probando ası lasegunda condicion bajo la hipotesis adicional (?).

Por el lema anterior podemos elegir las componentes de µ arbitrariamentegrande, y por tanto lo mismo es cierto para µ.

Pasamos ahora al caso analıtico. El resultado que necesitamos es el sigu-iente:

Lema 3 Existen λ, µ ∈ Nn, ν ∈ N verificando las siguientes condiciones:

1. λj < µj para todo j = 1, . . . , n.

2. λαj − µβj − νij < λα− µβ − νi para todo (α, β, i) ∈ N (M ′j).

3. Si el orden monomial verifica la condicion (?), µβj ≥ µβ para todo(α, β, i) ∈ N (M ′

j).

Ademas, podemos suponer sin perdida de generalidad que ν = 1 y podemostomar µ arbitrariamente grande componente a componente manteniendo λfijo y de forma que se verifiquen las condiciones anteriores.

Demostracion: Supondremos q = 1 para eliminar la variable i, como hici-mos antes. La generalizacion al caso q 6= 1 es similar. Denotemos π1, π2 :N2n = Nn × Nn −→ Nn las proyecciones canonicas. Para cada j = 1, . . . , ry para cada β ∈ π2(N (Mj)) sea Mj

β el conjunto de (α, β) en N (Mj) con αminimal en A = {α : (α, β) ∈ N (Mj)} respecto del orden parcial. Entonces,Mj

β es finito, de hecho esta formado por los elementos (α1, β), . . . , (αs, β),donde {α1, . . . , αs} es un sistema de generadores minimal del ideal A + Nn

de Nn. Por tanto, tambien es finito el conjunto M =⋃

j

⋃β(Mj

β ∪ {(0, β)}).Sea (σ, ρ) ∈ Nn × Nn = N2n un vector que defina el orden monomial

considerado en el conjunto finito M. Fijemos p ∈ N y sean λ = σ y µ =(p)− ρ. Entonces,

λα− µβ = σα + ρβ − p|β|Tomemos p > max{σα + µβ : (α, β) ∈ M}. Veamos que el mınimo deλα − µβ para (α, β) ∈ N (Mj) se alcanza precisamente en el exponente de

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Mj. En primer lugar, vemos que si λα−µβ es mınimo, entonces (α, β) ∈M.De lo contrario, existirıan (α′, β) ∈ N (Mj), γ ∈ Nn\{0} tales que α = α′+γ,de donde λα− µβ = σγ + (λα′ − µβ) > λα′ − µβ.

Ademas, (α, β) debe estar en el N (σ(Mj)). Si no, existirıa (α′, β′) ∈N (Mj)∩M con |β′| > |β|. Entonces, λα−µβ = σα+ρβ−p|β| ≥ σα+ρβ−p(|β′|−1) > p−p|β′| > σα′+ρβ′−p|β′| = λα′−µβ′. Por tanto, mın{λα−µβ :(α, β) ∈ N (Mj)} = mın{σα + ρβ − p|β| : (α, β) ∈ N (σ(Mi)) ∩M}. En esteconjunto, |β| es constante y (σ, ρ) definen el orden monomial, por tanto elmınimo se alcanza en el menor elemento de N (σ(Mj)) respecto del ordenmonomial, que es precisamente el monomio inicial de Mj.

Tomando p suficientemente grande, podemos hacer que se cumpla lacondicion (1) y que µ sea componente a componente tan grande como quer-amos con respecto a λ. Solo queda ver que se verifica (3) bajo la hipotesis adi-cional (?). Vemos primero que, si µβ es maximo, entonces β ∈ π2(N (σ(Mj))).Si no, existirıa (α′, β′) ∈ N (Mj) ∩ M con |β′| > |β|, y entonces µβ =p|β| − ρβ < p|β| ≤ p|β′| − p < p|β′| − σα′ − ρβ′ < p|β′| − ρβ′ = µβ′. Sea(α, β) ∈ N (σ(Mj)). Entonces, (αj, βj) ≤ (α, β) ⇒ (0, βj) ≤ (0, β). Como(0, βj) y (0, β) estan en M y en este conjunto (σ, ρ) definen el orden mono-mial, se deduce que ρβj ≤ ρβ, de donde µβj ≥ µβ, y queda ası comprobadala propiedad (3).

Hemos visto que podemos tomar ν = 1, y esto es lo que haremos a partirde ahora.

Nota: Supongamos que tenemos varias familias finitas de vectores de op-eradores (ya sea en el caso polinomial o en el caso de coeficientes analıticos),en general de distintas longitudes, y queremos considerar la simultaneamentela division por todas ellas. Entonces, es posible elegir unos λ y µ verifican-do las condiciones de los lemas anteriores que sean validos para todas lasfamilias a la vez. En efecto, basta considerar los λ y µ que se obtendrıanpara la familia union de todas las familias consideradas (completando todascon ceros hasta alcanzar la longitud de la mayor de ellas), ya que el ordenmonomial es el mismo en todos los casos; y el orden en N2n × {1, . . . , q′} talcomo se ha definido antes es la restriccion del orden en N2n×{1, . . . , q} paraq′ < q.

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2. Primera prueba de la continuidad de la di-

vision con coeficientes polinomiales

En esta seccion daremos una prueba inductiva de la continuidad de la di-vision de operadores diferenciales con coeficientes polinomiales. Esta pruebaes mas simple que la que daremos posteriormente, pero el resultado obtenidoes mas debil (aunque todavıa mas fuerte que la continuidad) y ademas tiene ladesventaja de no ser generalizable al caso de coeficientes analıticos. Ademas,esta prueba requiere el teorema de division, que es se obtiene como corolariocon el otro metodo de prueba.

Asumimos pues el teorema de division, sean entonces Qj : Wqn → Wn y

R : Wqn → Wq

n las aplicaciones cociente j-esimo y resto de la division de Aentre M1, . . . , Mr, que son elementos prefijados de Wq

n.Como un monomio enWq

n entenderemos un elemento deWqn tal que todas

sus componentes excepto una son nulas, y la unica componente no nula esun monomio de Wn. Denotaremos

(cxα∂β)j = (0, . . . , 0, cxα∂β, 0, . . . , 0)

donde el monomio ocupa el lugar j-esimo y c es un escalar.Fijamos un orden monomial < en N2n×{1, . . . , q}, y sea {∆1, . . . , ∆r, ∆}

la particion de N2n × {1, . . . , q} asociada a M1, . . . , Mr y a este orden.Supondremos en una primera aproximacion que los monomios principales

de los Mi tienen coeficiente 1, y al final deduciremos el caso general a partirde este caso particular.

En los tres teoremas siguientes supondremos que el orden monomial ver-ifica la condicion (?).

Teorema 2 Dada una constante C > 0, existe un s0 > 0 tal que, para0 < t < s < s0 y para todo A ∈Wq

n se tiene que |Qj(A)|st ≤ C|A|st.

Demostracion: Por recurrencia sobre el exponente de A. El caso en que Aes un escalar es trivial. Supongamoslo probado para todo A que tenga expo-nente menor que (α, β, i) (con respecto al orden considerado anteriormente)y tomemos A con exponente (α, β, i).

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Como la division es una operacion C-lineal, podemos suponer que el co-eficiente de xα∂βei es igual a 1. Sea entonces A = xα∂βei + A′. Por hipotesisde induccion tenemos que |Qj(A

′)|st ≤ C|A′|st. Por la linealidad de Qj, bastaentonces probar que |Qj(x

α∂βei)|st ≤ C|xα∂βei|st = Cs−λα−(i−1)t−µβ.Si (α, β, i) esta en ∆, entonces todos los cocientes son nulos y la desigual-

dad se verifica trivialmente. Supongamos que (α, β, i) esta en algun ∆k, parak = 1, . . . , r. Entonces, i = ik (porque la tercera coordenada de todo elementode ∆k es ik), y

xα∂βeik =

=[xα−αk∂β−βkxαk∂βk −∑

0<γ≤αk,β−βk

(β−βk)!(β−βk−γ)!

(αk

γ

)xα−γ∂β−γ

]eik =

= xα−αk∂β−βkMk − xα−αk∂β−βkM ′k −

∑0<γ≤αk,β−βk


(αk

γ

)xα−γ∂β−γeik

Aplicando ahora el operador cociente, obtenemos

Qj(xα∂βeik) = Qj(x

α−αk∂β−βkMk)−Qj(xα−αk∂β−βkM ′

k)−−∑

0<γ≤αk,β−βk


(αk

γ

)Qj(x

α−γ∂β−γeik)

de donde

|Qj(xα∂βeik)|st ≤ |Qj(x

α−αk∂β−βkMk)|st + |Qj(xα−αk∂β−βkM ′

k)|st++

∑0<γ≤αk,β−βk


(αk

γ

)|Qj(xα−γ∂β−γeik)|st

Analizaremos por separado cada uno de los tres sumandos, veamos elprimero. Como (α−αk, β−βk)+(αk, βk, ik) = (α, β, ik) ∈ ∆k, xα−αk∂β−βkMk

es una division del polinomio xα−αk∂β−βkMk entre M1, . . . , Mr, por tanto

Qj(xα−αk∂β−βkMk) =

{xα−αk∂β−βk si k = j

0 si k 6= j

En cualquiera de los dos casos tenemos la desigualdad

|Qj(xα−αk∂β−βkMk)|st ≤ |xα−αk∂β−βk |st

y entonces

15

|Qj(xα−αk∂β−βkMk)||xα∂βeik

| ≤ |xα−αk∂β−βk ||xα∂βeik

| = |β−βk|!s−λ(α−αk)t−µ(β−βk)

|β|!s−λα−(ik−1)t−µβ =

= |β−βk|!|β|! sλαk+(ik−1)tµβk ≤ sλαk+ik−1tµβk < sλαktµβk ≤ sλαk+µβk ≤ s < C

3

donde en los ultimos pasos hemos supuesto que t < s < mın{C3, 1}.

Por tanto, obtenemos que |Qj(xα−αk∂β−βkMk)|st ≤ C

3|xα∂βeik |st donde s

y t estan sujetos a las condiciones descritas arriba.Consideramos ahora el segundo sumando.Sea M ′

k =∑

(γ,δ,i)<(αk,βk,ik)

cγδixγ∂δei. Entonces

|xα−αk∂β−βkM ′k| = |∑γδi cγδix

α−αk∂β−βkxγ∂δei|= |∑γδi cγδix

α−αk∑

ε≤β−βk,γ(β−βk)!

(β−βk−ε)!

(γε

)xγ−ε∂β−βk−ε∂δ| =

= |∑γδi

∑ε cγδi

(β−βk)!(β−βk−ε)!

(γε

)xα−αk+γ−ε∂β+δ−βk−ε| ≤

≤ ∑γδiε |cγδi| (β−βk)!

(β−βk−ε)!

(γε

)|β + δ − βk − ε|!s−λ(α−αk+γ−ε)−(i−1)t−µ(β+δ−βk−ε)

Dividiendo ahora por la norma de xα∂βeik , tenemos

|xα−αk∂β−βkM ′k|

|xα∂βeik| ≤

≤∑

γδiε |cγδi| (β−βk)!

(β−βk−ε)!(γε)|β−βk+δ−ε|!s−λ(α−αk+γ−ε)−(i−1)t−µ(β−βk+δ−ε)

|β|!s−λα−(ik−1)t−µβ =

∑γδiε |cγδi| (β−βk)!

(β−βk−ε)!|β|!(

γε

)|β − βk + δ − ε|!sλ(αk+ε−γ)+(ik−i)tµ(βk+ε−δ)

El exponente de Mk esta en el sımbolo por definicion, por tanto |δ| ≤ |βk|,y la ultima expresion es menor o igual que

∑γδiε |cγδi| |β−βk|!

|β−βk−ε|!|β−ε|!|β|!

(γε

)sλ(αk+ε−γ)+(ik−i)tµ(βk+ε−δ) =

∑γδiε |cγδi|

(|β−βk||ε|

)(|β||ε|

)−1(γε

)sλ(αk+ε−γ)+(ik−i)tµ(βk+ε−δ) ≤

≤ ∑γδiε |cγδi|

(γε

)sλ(αk+ε−γ)+(ik−i)tµ(βk+ε−δ)

Impondremos ahora la condicion t < s. Entonces, como µδ ≤ µβj por lacondicion (?) sobre el orden, tenemos que la expresion anterior es menor oigual que

16

∑γδiε |cγδi|

(γε

)sλ(αk+ε−γ)+(ik−i)sµ(βk+ε−δ) =

=∑

γδiε |cγδi|(

γε

)s(λαk+µβk+ik)−(λα+µβ+i)s(λ+µ)ε

El exponente de la primera s es positivo, porque se eligieron λ y µ pre-cisamente para eso. Por tanto, suponiendo que s es menor que 1, esta sumaqueda menor que

s∑

γδiε |cγδi|(

γε

)s(λ+µ)ε ≤ s

∑γδiε |cγδi|

(γε

) ≤≤ s

∑γδi |cγδi|

∑ε≤γ

(γε

)= s

∑γδi |cγδi|2|γ|

Ası que definiendo K1 = max∑

γδi |cγδi|2|γ|, y tomando s < 13K1

, obten-emos la acotacion buscada,

|xα−αk∂β−βkM ′k| ≤

1

3|xα∂βeik |

Ahora solo hay que comprobar que xα−αk∂β−βkM ′k tiene exponente estric-

tamente menor que (α, β, ik) y aplicar la hipotesis de induccion.Los monomios de xα−αk∂β−βk son del tipo cxα−αk+γ−ε∂β−βk+δ−εei, donde

cxγ∂δei es un monomio de M ′k. Entonces, tenemos que (γ, δ, i) < (αk, βk, ik) y

(α−αk+γ−ε, β−βk+δ−ε, i) ≤ (α−αk+γ, β−βk+δ, i). Si (γ, δ) < (αk, βk),entonces (α − αk + γ, β − βk + δ, i) = (α − αk, β − βk) + (γ, δ, i) < (α −αk, β − βk) + (αk, βk, ik) = (α, β, ik), que es lo que querıamos comprobar. Si(γ, δ) = (αk, βk), entonces necesariamente i < ik, y (α−αk+γ, β−βk+δ, i) =(α, β, i) < (α, β, ik). Por tanto podemos aplicar la hipotesis de induccion, yobtenemos

|Qj(xα−αk∂β−βkM ′

k)| ≤ C|xα−αk∂β−βkM ′k| ≤

C

3|xα∂βeik |

Queda por comprobar el tercer sumando,

∑

0<γ≤αk,β−βk

(β − βk)!

(β − βk − γ)!

(αk

γ

)|Qj(x

α−γ∂β−δeik)|

Tal y como ocurre en el caso anterior, (α − γ, β − γ, ik) < (α, β, i), porqueel orden considerado da preferencia a las dos primeras coordenadas sobre latercera. Por tanto aplicando la hipotesis de induccion obtenemos

|Qj(xα−γ∂β−γeik)| ≤ C|xα−γ∂β−γeik | = Cs−λ(α−γ)−(ik−1)t−µ(β−γ)|β − γ|!

17

y por tanto ∑γ

(β−βk)!

(β−βk−γ)!(αkγ )|Qj(x

α−γ∂β−γeik)|

|xα∂βeik| ≤

≤ C∑

γ(β−βk)!

(β−βk−γ)!

(αk

γ

) |β−γ|!|β|! sλαtµβ

Suponiendo t < s < 1, se verifica que sλαtµβ ≤ sλα+µβ ≤ s, y entonces

C∑

γ(β−βk)!

(β−βk−γ)!

(αk

γ

) |β−γ|!|β|! sλαtµβ ≤ C · s∑

γ(β−βk)!

(β−βk−γ)!

(αk

γ

) (β−γ)!β!

=

= C · s∑γ

(β−βk

γ

)(αk

γ

)(βγ

)−1 ≤

≤ s∑

0<γ≤αk,β−βk

(αk

γ

) ≤ s∑

0≤γ≤αk

(αk

γ

)= 2|αk|s

Donde hemos utilizado el siguiente resultado, que usaremos tambien masadelante:

Lema 4 Sean α, β ∈ Nn con α ≤ β. Entonces, β!α!≤ |β|!

|α|! .

Demostracion: Veremos que |β|!β!≥ |α|!

αBasta probarlo para β = α + ei y

seguir por induccion. En este caso,

|β|!β!

=(|α|+ 1)!

(α + ei)!=

(|α|+ 1)|α|!(αi + 1)α!

≥ |α|!α!

de donde β!α!≤ |β|!

|α|! .

De esta forma, si definimos la constante K2 como maxk |αk| , y s0 =mın{C

3, 1

3·2K2, 1

3K1}, e imponemos 0 < t < s = u < s0, obtenemos la acotacion

|Qj(xα∂βeik)|st ≤ C|xα∂βeik |st

Teorema 3 En las mismas condiciones que el teorema anterior, se tiene que|R(A)|st ≤ |A|st para todo A ∈Wq

n.

Demostracion: Por recurrencia sobre el exponente del monomio princi-pal de A. Igual que en el caso del cociente, basta probarlo para el monomioprincipal. Si este exponente esta en ∆, entonces el resto correspondiente es

18

el propio monomio, por tanto la desigualdad es trivial en este caso. Si no,debe pertenecer a algun ∆k, y tenemos la descomposicion

xα∂βeik = xα−αk∂β−βkMk − xα−αk∂β−βkM ′k−

−∑γ


(αk

γ

)xα−γ∂β−γeik

y aplicando el operador resto,

R(xα∂βeik) = R(xα−αk∂β−βkMk)−R(xα−αk∂β−βkM ′k)−

−∑γ


(αk

γ

)R(xα−γ∂β−γeik) =

= −R(xα−αk∂β−βkM ′k)−

∑γ


(αk

γ

)R(xα−γ∂β−γeik)

por tanto, aplicando la hipotesis de induccion,

|R(xα∂βeik)| ≤ |R(xα−αk∂β−βkM ′k)|+

∑γ


(αk

γ

)|R(xα−γ∂β−γeik)| ≤

≤ |xα−αk∂β−βkM ′k|+

∑γ


(αk

γ

)|xα−γ∂β−γeik |

y estos dos sumandos pueden acotarse, como hemos visto anteriormente,por una constante arbitrariamente pequena multiplicada por la norma dexα∂βeik , imponiendo la condicion t < s.

Ahora solo queda generalizar el resultado para el caso en el que el monomioprincipal no tiene coeficiente 1, y obtenemos el siguiente teorema:

Teorema 4 Sean M1, . . . , Mr ∈ Wqn. Fijada una constante C > 0, existe

una constante s0 > 0 tal que, si 0 < t < s < s0, entonces para todo A ∈Wqn

se tienen las acotaciones

|Qj(A)|st ≤ C|A|st ∀j = 1, . . . , r

|R(A)|st ≤ |A|stsiendo Qj(A), R(A) los cocientes j-esimo y el resto respectivamente de ladivision de A entre M1, . . . ,Mr.

Demostracion: Para cada i = 1, . . . , r, sea Mj = ajxα∂βei + M ′

j, siendo

ajxα∂βej el monomio inicial. Sea M j = a−1

j Mj. Entonces, el monomio inicial

de M j tiene coeficiente 1, y por tanto los M j estan en las condiciones de los

19

teoremas anteriores. Sean Qj(A) y R(A) el cociente j-esimo y el resto de la

division de A entre M1, . . . , M r. Se definen ademas a = maxj |a−1j | y C = C

a.

Entonces,

A =∑

j

Qj(A)M j + R(A) =∑

j

(a−1j Qj(A))Mj + R(A)

Y, por los resultados anteriores, existe un s0 tal que, para 0 < t < s = u < s0,

|Qj(A)|st ≤ C|A|st y |R(A)|st ≤ |A|stTeniendo en cuenta que N (c−1

j Qj(A)) = N (Qj(A)) y que la particion de

N2n × {1, . . . , q} asociada a los M j es la misma que la asociada a los Mj,resulta que a−1

j Qj(A), R(A) verifican las condiciones de la division de A por

M1, . . . , Mr. Por la unicidad de la division, se deduce que Qj(A) = a−1j Qj(A)

y que R(A) = R(A). Por tanto,

|Qj(A)|st = |a−1j Qj(A)|st ≤ a|Qj(A)|st ≤ aC|A|st = C|A|st|R(A)|st = |R(A)|st ≤ |A|st

para 0 < t < s = u < s0, terminando ası la demostracion.

Veamos ahora que pasa si no suponemos que el orden verifica la condicion(?). En ese caso no podemos hacer t arbitrariamente pequeno manteniendos fijo, como veremos mas adelante con un ejemplo, ası que para obtenerla continuidad tenemos que hacer µ variable y arbitrariamente grande. Porello, denotaremos ahora |A|stµ lo que denotabamos |A|st cuando estabamosconsiderando µ fijo.

Teorema 5 Dada una constante C > 0, existe un s0 > 0 tal que, para todaconstante positiva K y para todo 0 < s < s0 y todo |µ| > K en las condicionesdel lema 2, se tiene que |Qj(A)|ssµ ≤ C|A|ssµ para todo A ∈Wq

n.

Demostracion: Es igual que la del teorema 2. La unica modificacion seproduce en el momento en que se utiliza el resultado derivado de la hipotesis(?). En este caso la acotacion seguirıa ası (estamos tomando t = s):

∑γδiε |cγδi|

(γε

)sλ(αk+ε−γ)+(ik−i)tµ(βk+ε−δ) =

=∑

γδiε |cγδi|(

γε

)sλ(αk+ε−γ)+(ik−i)+µ(βk+ε−δ)

20

Y a partir de aquı seguirıamos exactamente igual.

El resultado correspondiente para el resto es el siguiente:

Teorema 6 En las mismas condiciones que el teorema anterior, se tiene que|R(A)|ssµ ≤ |A|ssµ para todo A ∈Wq

n.

La prueba requiere la misma modificacion que en el caso anterior.

3. Segunda prueba de la continuidad de la

division con coeficientes polinomiales

Fijemos r elementos M1, . . . ,Mr del Wn-modulo (a izquierda) Wqn y un

orden monomial < en N2n×{1, . . . , q}. Queremos comprobar la dependenciacontinua de los cocientes y el resto de la division de un elemento A ∈ Wq

n

entre M1, . . . , Mr con respecto a A.Para cada i = 1 . . . n, sea Ti : Wq

n → Wqn el operador C-lineal definido

por Tixα∂βej = xα∂β+eiej. Dado A =

∑cγδx

γ∂δ ∈ Wn, denotaremos Ao aloperador

∑cγδx

γT δ : Wqn →Wq

n, y A′ = A− Ao, considerando que A operasobre Wq

n por multiplicacion a la izquierda. Se {∆1, . . . , ∆r, ∆} la particionde N2n × {1, . . . , q} determinada por M1, . . . , Mr y el orden <.

Definimos los siguientes conjuntos:

L = {A ∈Wrn : (αj, βj, ij) +N (Aj) ⊂ ∆j ∀j = 1, . . . , r}

J = {B ∈Wqn : N (B) ⊂ ∆}

donde hemos utilizado la notacion de las secciones anteriores.Nuestro objetivo es probar que la aplicacion u : L ⊕ J → Wq

n defini-

da por u(A,B) =r∑

j=1

AjMj + B es un isomorfismo bicontinuo. Para ello,

descomponemos u en la suma u = v + w1 + w2, donde

v(A, B) =∑

Aojx

αj∂βjeij + B

w1(A, B) =∑

A′jx

αj∂βjeij

w2(A, B) =∑

AjM′j

21

Veamos en primer lugar que la aplicacion v es un isomorfismo. DadoP =

∑aγδix

γ∂δei ∈Wqn , se tiene una descomposicion unica

P =∑

j

∑

(γ,δ,i)∈∆j

aγδixγ∂δei +

∑

(γ,δ,i)∈∆

aγδixγ∂δei

ya que {∆1, . . . , ∆r, ∆} forman una particion de N2n × {1, . . . , q}. Sea

v(P ) = ((∑

(γ,δ,i)∈∆j

aγδixγ−αj∂δ−βj)j=1,...,r,

∑

(γ,δ,i)∈∆

aγδixγ∂δei).

Es evidente que v es la aplicacion inversa de v, por tanto v es isomorfismo.De esta forma, podemos definir una topologıa en L ⊕ J trasladando la

topologıa de Wqn mediante la aplicacion v, y ası v es un isomorfismo bi-

continuo. La topologıa en L ⊕ J vendra dada por la familia de normas|(A, B)|st = |v(A, B)|st para s, t, u > 0.

Sea E ∈ Wqn, y (A,B) = v−1(E) ∈ L ⊕ J , siendo Aj =

∑γδ aj

γδxγ∂δ.

Entonces, E =∑

jγδ ajγδx

αj+γ∂βj+δeij + B. Aplicando | − |st, y teniendo en

cuenta que (αj, βj, ij) +N (Aj) ⊂ ∆j, N (B) ⊂ ∆ y que los conjuntos ∆j, ∆son disjuntos dos a dos, se tiene que:

|E|st =∑

j

∣∣∣∑γδ ajγδx

αj+γ∂βj+δeij

∣∣∣st

+ |B|st ≥

≥ ∑j


αj+γ∂βj+δeij

∣∣∣st

=

=∑

jγδ |ajγδ||βj + δ|!s−λ(αj+γ)−(ij−1)t−µ(βj+δ)

(1)

Como antes, supondremos en primer lugar que el orden monomial verificala condicion (?).

Proposicion 1 Existe una constante C1 > 0 tal que |(w1v−1)E|st ≤ C1s|E|st

para 0 < t < s < 1 y para todo E ∈Wqn.

Demostracion: Con la notacion anterior,

|(w1v−1)E|st = |w1(A,B)|st = |

∑j

A′jx

αj∂βjeij |st = |∑

jγδ

ajγδx

γ(∂δ−T δ)xαj∂βjeij |st

22

Veamos cuanto vale cada sumando de esta ultima suma:

∂δxαj∂βj =∑

ε≤δ,αj

(αj

ε

)δ!

(δ−ε)!xαj−ε∂βj+δ−ε =

= T δxαj∂βj +∑

0<ε≤δ,αj

(αj

ε

)δ!

(δ−ε)!xαj−ε∂βj+δ−ε

Por tanto,

|(w1v−1)E|st = |∑jγδ aj

γδxγ∑

0<ε≤αj ,δ

(αj

ε

)δ!

(δ−ε)!xαj−ε∂βj+δ−εeij |st ≤

≤ ∑jγδ

∑0<ε≤αj ,δ |aj

γδ|(

αj

ε

)δ!

(δ−ε)!|βj + δ − ε|!s−λ(αj+γ−ε)−(ij−1)t−µ(βj+δ−ε) ≤

≤ ∑j

∑0<ε≤αj

∑δ≥ε

∑γ |aj

γδ|2|αj | δ!(δ−ε)!

|βj + δ − ε|!s−λ(αj+γ−ε)−(ij−1)t−µ(βj+δ−ε)

teniendo en cuenta que(

αj

ε

)=

∏k

(αk

jεk

) ≤ ∏k 2αk

j = 2|αj |. Entonces, de (2) seobtiene que

|(w1v−1)E|st|E|st ≤

≤

∑j

∑0<ε≤αj

∑δ≥ε

∑γ|aj

γδ|2|αj | δ!

(δ − ε)!|βj + δ − ε|!s−λ(αj+γ−ε)−(ij−1)t−µ(βj+δ−ε)

∑jγδ|aj

γδ||βj + δ|!s−λ(αj+γ)−(ij−1)t−µ(βj+δ)=

=∑jε

∑δ≥ε

∑γ|aj

γδ|2|αj | δ!

(δ − ε)!|βj + δ − ε|!s−λ(αj+γ−ε)−(ij−1)t−µ(βj+δ−ε)

∑γδ|aj

γδ||βj + δ|!s−λ(αj+γ)−(ij−1)t−µ(βj+δ)≤

≤∑jε

∑δ≥ε

∑γ|aj

γδ|2|αj | δ!

(δ − ε)!|βj + δ − ε|!s−λ(αj+γ−ε)t−µ(βj+δ−ε)

∑γδ|aj

γδ||βj + δ|!s−λ(αj+γ)t−µ(βj+δ)≤

≤∑jε

∑γδ|aj

γδ|2|αj | δ!

(δ − ε)!|βj + δ − ε|!s−λ(αj+γ−ε)t−µ(βj+δ−ε)

∑γδ|aj

γδ||βj + δ|!s−λ(αj+γ)t−µ(βj+δ)

Aplicamos ahora el lema anterior con α = δ − ε, β = δ y tenemos que

δ!

(δ − ε)!≤ |δ|!|δ − ε|! = |ε|!

(|δ||ε|

)≤ |ε|!

(|βj + δ||ε|

)=

|βj + δ|!|βj + δ − ε|!

23

Sustituyendo arriba,


∑jε

∑γδ|aj

γδ|2|αj ||βj + δ|!s−λ(αj+γ−ε)t−µ(βj+δ−ε)

∑γδ|aj

γδ||βj + δ|!s−λ(αj+γ)t−µ(βj+δ)=

=∑jε

2|αj |sλεtµε ≤∑jε

2|αj |s(λ+µ)ε para t ≤ s

Como ε > 0 y λ+µ tiene todas sus componentes positivas, el exponente des en cada sumando es mayor que uno. Suponiendo s < 1, podemos entoncesacotar esta suma por C1s, donde C1 =

∑j 2|αj |#{ε ∈ Nn : 0 < ε ≤ αj}. Por

tanto, tenemos una acotacion

|(w1v−1)E|st ≤ C1s|E|st (2)

para 0 < t < s < 1.

Proposicion 2 Existen una constante C2 > 0, y s0 > 0 tales que |(w2v−1)E|st ≤

C2s|E|st para 0 < t < s < s0 y para todo E ∈Wqn.

Demostracion: Siguiendo con la misma notacion,

|(w2v−1)E|st = |w2(A,B)|st = |∑j AjM

′j|st =

= |∑j(∑

γδ ajγδx

γ∂δ)(∑

αβi cjαβix

α∂β)ei|st = |∑jαβγδi ajγδc

jαβix

γ∂δxα∂βei|st =

= |∑jαβγδi ajγδc

jαβix

γ(∑

ε≤α,δ

(αε

)δ!

(δ−ε)!xα−ε∂δ−ε)∂βei|st =

= |∑jαβγδεi ajγδc

jαβi

(αε

)δ!

(δ−ε)!xγ+α−ε∂β+δ−ε)ei|st ≤

≤ ∑jαβγδεi |aj

γδ||cjαβi|

(αε

)δ!

(δ−ε)!|β + δ − ε|!s−λ(γ+α−ε)−(i−1)t−µ(β+δ−ε) ≤

≤ ∑jαβεi |cj

αβi|(

αε

) ∑γδ |aj

γδ| δ!(δ−ε)!

|β + δ − ε|!s−λ(α+γ−ε)−(i−1)t−µ(β+δ−ε)

24

donde ε y δ estan sujetos a las restricciones 0 ≤ ε ≤ α, δ ≥ ε. Usando (2),obtenemos


≤

∑jαβεi

|cjαβi|

(α

ε

) ∑γδ≥ε

|ajγδ|

δ!

(δ − ε)!|β + δ − ε|!s−λ(α+γ−ε)−(i−1)t−µ(β+δ−ε)

∑jγδ|aj


≤∑

αβεi

∑j|cj

αβi|(

α

ε

) ∑γδ|aj

γδ|δ!


∑jγδ|aj


≤∑

jαβεi

|cjαβi|

(α

ε

)∑

γδ|aj

γδ|δ!


∑γδ|aj

γδ||βj + δ|!s−λ(αj+γ)−(ij−1)t−µ(βj+δ)

donde se ha utilizado el hecho de que∑

xn∑yn≤ ∑

xn

ynsiempre que xn, yn > 0.

Ahora, utilizando el lema 3 con β = δ, α = δ− ε, y el hecho de que |β| ≤ |βj|para todo (α, β) ∈ N (Mj), deducimos que

δ!

(δ − ε)!≤ |δ|!|δ − ε|! = |ε|!

(|δ||ε|

)≤ |ε|!

(|β + δ||ε|

)=

|β + δ|!|β + δ − ε|! ≤

|βj + δ|!|β + δ − ε|!

25

y sustituyendo arriba:

|(w2v−1)E|st ≤

∑

jαβεi

|cjαβi|

(α

ε

)∑γδ|aj

γδ||βj + δ|!s−λ(α+γ−ε)−(i−1)t−µ(β+δ−ε)

∑γδ|aj

γδ||βj + δ|!s−λ(αj+γ)−(ij−1)t−µ(βj+δ)=

=∑

jαβεi

|cjαβi|

(α

ε

)s−λ(α−αj−ε)−(i−ij)t−µ(β−βj−ε) ≤

≤ ∑jαβεi |cj

αβi|2|α|s−λ(α−αj−ε)−(i−ij)t−µ(β−βj−ε) =

=∑

jαβεi

|cjαβi|2|α|s−λ(α−αj−ε)−(i−ij)tµ(βj−β)tµε ≤

≤ ∑jαβεi |cj

αβi|2|α|s−λ(α−αj−ε)−(i−ij)sµ(βj−β)sµε =

=∑

jαβεi

|cjαβi|2|α|s(λ+µ)εs(λαj+µβj+ij)−(λα+µβ+i)

para t < s, ya que µ(βj−β) ≥ 0 para todo β ∈ π2(N (M ′j)). Ademas,(λαj+

µβj + ij)− (λα + µβ + i) es mayor que uno, por ser un entero positivo. Portanto, para s < 1, esta ultima suma es menor o igual que

s∑

jαβεi

|cjαβi|2|α|s(λ+µ)ε ≤ s(

∑ε

s(λ+µ)ε)∑

jαβi

|cjαβi|2|α| = C ′

2s∑

ε

s(λ+µ)ε

Veamos que esta serie es convergente para s suficientemente pequeno.

Lema 5 La serie∑

ε s(λ+µ)ε converge y esta uniformemente acotada paras < 1/2.

Demostracion: Teniendo en cuenta que µj, λj ≥ 1 para todo j = 1, . . . , n,se tiene que:

∑ε s(λ+µ)ε =

∑ε

∏j s(λj+µj)εj =

∏j

∑εj

s(λj+µj)εj ≤

≤ ∏j

∑εj

sεj =(

11−s

)n ≤ 2n

26

Tomando C2 = 2nC ′2, se deduce inmediatamente

|(w2v−1)E|st|E|st ≤ C2s (3)

para 0 < t < s = u < 12.

Ejemplo: Veamos con un ejemplo que la condicion (1) que se impone sobreel orden monomial es necesaria. Tomamos n = 2, q = 1, y consideramos elorden lexicografico sobre N4. Sean:

M1 = ∂1 + ∂2

M2 = ∂1 + x1∂2

Se comprueba que (α1, β1) = (0, 0, 1, 0), (α2, β2) = (1, 0, 0, 1),M ′1 = ∂2,M

′2 =

∂1. Sea E = ∂1 = v(1, 0, 0). Entonces, (w2v−1)E = w2(1, 0, 0) = ∂2, y se tiene

que|(w2v

−1)E|st|E|st =

t−µ2

t−µ1= tµ1−µ2

Tomemos ahora E = x1∂2 = v(0, 1, 0), en este caso (w2v−1)E = ∂1, y

|(w2v−1)E|st|E|st =

t−µ1

sλ1t−µ2= s−λ1tµ2−µ1

Fijando s > 0, esta claro que no podemos acotar estas dos cantidades si-multaneamente cuando t se hace arbitrariamente pequeno.

Teorema 7 La aplicacion u : L ⊕ J → Wqn es un isomorfismo bicontinuo

compatible con la filtracion. Existen constantes s0 > 0, C > 0 tales que paratodo E = u(A,B) ∈Wq

n se tiene que

∑j

|Aj|st|Mj|st + |B|st ≤ C|E|st

para 0 < t < s = u < s0.

Demostracion: Por (3) y (4), existen s0 > 0 y C1, C2 > 0 tales que

|((w1 + w2)v−1)E|st ≤ |(w1v

−1)E|st + |(w2v−1)E|st ≤ (C1 + C2)s|E|st

27

Tomando s < mın{s0,1

C1+C2}, la aplicacion (w1 + w2)v

−1 tiene norma stu

menor que uno. El submodulo (Wqn)d = {∑αβi aαβix

α∂βei : aαβi = 0 para |α|+|β| > d} es invariante para la aplicacion (w1 + w2)v

−1, porque esta noaumenta el grado de los monomios. Ademas, por ser un C-espacio vecto-rial de dimension finita, es completo para la norma st. Entonces, la serie∑

(−(w1 + w2)v−1)n, que tiene norma st menor que 1, converge a una apli-

cacion continua de cada (Wqn)d en sı mismo. Por tanto, la serie define una

aplicacion de Wn en sı mismo, que resulta ser un automorfismo bicontin-uo, ya que tiene a (Id + (w1 + w2)v

−1) por inversa. De aquı se deduce queu = (Id + (w1 + w2)v

−1)v es un isomorfismo bicontinuo de L ⊕ J en Wqn,

porque v lo es. Si C ′ es la norma de la aplicacion inversa, se tiene que

|(A,B)|st = |v(A,B)|st =∑

j

|Aojx

αj∂βjeij |st + |B|st ≤ C ′|E|st

para todo E = v(A, B) ∈Wqn.

Lema 6 Para cada j = 1, . . . , r, existe Cj > 0 tal que |Mj|st ≤ |xαj∂βjeij |stpara 0 < t < s < 1.

Demostracion: Teniendo en cuenta que |β| ≤ |βj| y que µβ ≤ µβj, tenemos

|Mj|st|xαj∂βjeij |st

=∑

αβi

|cjαβi|

|β|!|βj|!s

λαj−λα+(ij−i)tµβj−µβ ≤

∑

αβi

|cjαβi|s(λαj+µβj+ij)−(λα+µβ+i) ≤

∑

αβi

|cjαβi| = Cj

para s < 1, siendo Cj =∑

αβi |cjαβi|.

En particular, tenemos que

|Aj|st|Mj|st ≤ Cj|Aj|st|xαj∂βjeij |st =

= Cj

∑γδ |aj

γδ||δ|!|βj|!s−λ(αj+γ)−(ij−1)t−µ(βj+δ) =

= Cj

∑γδ |aj

γδ||δ + βj|!(|δ+βj ||βj |

)−1s−λ(αj+γ)−(ij−1)t−µ(βj+δ) ≤

≤ Cj

∑γδ |aj

γδ||δ + βj|!s−λ(αj+γ)−(ij−1)t−µ(βj+δ) = Cj|Aojx

αj∂βjeij |st

28

Aplicando este resultado a la desigualdad anterior, obtenemos

∑j

|Aj|st|Mj|st + |B|st ≤∑

j

Cj|Aojx

αj∂βjeij |st + |B|st ≤ C|E|st

siendo C = C ′ maxj{Cj, 1}. De esta forma obtenemos el resultado buscado.

El hecho de que u sea biyectiva implica el teorema de division, es decir,que los cocientes y el resto de la division de E entre M1, . . . , Mn existen yson unicos. Notemos ademas que el resultado obtenido es mas fuerte que lasimple continuidad de los cocientes y el resto con respecto el divisor. Paraprobar la continuidad habrıa sido suficiente encontrar constantes Cj tales que|Aj|st ≤ Cj|E|st para s, t suficientemente pequenos. Pero el resultado implicaademas que esta constante se puede hacer arbitrariamente pequena cuando sy t tienden a cero, ya que en ese caso la norma de Mj se hace arbitrariamentegrande.

Veamos ahora las modificaciones necesarias en caso de que el orden mono-mial no verifique la condicion (?). La proposicion 1 no requiere ningun cambioen la prueba, ya que en ella no se utiliza esta condicion. En la prueba de laproposicion 2, en el momento en que se hace uso de que t < s simplementetenemos que hacer t = s, y continuar exactamente igual. La convergenciade la serie no se ve afectada por el hecho de que µ sea variable, siempreque todas sus componentes sean positivas, como puede verse facilmente enla prueba. El resultado que obtenemos finalmente es el siguiente:

Teorema 8 La aplicacion u : L ⊕ J → Wqn es un isomorfismo bicontinuo

compatible con la filtracion. Existen constantes s0 > 0, C > 0 tales que paratodo K > 0 y todo E = u(A,B) ∈Wq

n se tiene que

∑j

|Aj|ssµ|Mj|ssµ + |B|ssµ ≤ C|E|ssµ

para 0 < s < s0 y |µ| > K en las condiciones del lema 2.

Demostracion: Solo la prueba del lema 6 requiere modificacion. En este

29

caso,|Mj|ssµ

|xαj∂βjeij |ssµ=

∑

αβi

|cjαβi|

|β|!|βj|!s

λαj−λα+(ij−i)+(µβj−µβ) ≤

≤∑

αβi

|cjαβi|s(λαj+µβj+ij)−(λα+µβ+i) ≤

∑

αβi

|cjαβi| = Cj

4. Continuidad de la division con coeficientes

analıticos

Intentaremos ahora obtener un resultado semejante, con metodos simi-lares, para la division en elDn-moduloDq

n, dondeDn es el anillo de operadoresdiferenciales con coeficientes en On, el anillo de funciones holomorfas en unentorno del origen en Cn. Fijemos por tanto M1, . . . ,Mr ∈ Dq

n y un ordenmonomial < en N2n×{1, . . . , q} verificando las condiciones impuestas al prin-cipio (hasta que se indique lo contrario, supondremos que el orden verificala condicion (?)). El desarrollo de la demostracion sera analogo al del casopolinomial, teniendo en cuenta en este caso la cuestion de la convergencia.

Para cada i = 1 . . . n, sea Tj : Dqn → Dq

n el operador definido porTjx

α∂βei = xα∂β+ejei. Dado A =∑

cγδxγ∂δ ∈ Dn, denotaremos Ao al oper-

ador∑

cγδxγT δ : Dn → Dn, y A′ = A − Ao, tal como hicimos en la seccion

anterior. Sea igualmente {∆1, . . . , ∆r, ∆} la particion de N2n × {1, . . . , q}determinada por M1, . . . , Mr.

Los conjuntos L y J vienen definidos ahora como

L = {A ∈ Drn : (αj, βj) +N (Aj) ⊂ ∆j ∀j = 1, . . . , r}

J = {B ∈ Dqn : N (B) ⊂ ∆}

Nuestro objetivo es probar que la aplicacion u : L ⊕ J → Dqn definida

por u(A,B) =r∑

j=1

AjMj + B es un isomorfismo bicontinuo compatible con la

filtracion Dn(s) definida en la seccion 1. Para ello, descomponemos u en lasuma u = v + w1 + w2, donde

30

v(A, B) =∑

Aojx

αj∂βjeij + B

w1(A, B) =∑

A′jx

αj∂βjeij

w2(A, B) =∑

AjM′j

Al igual que en el caso polinomial, vemos que la aplicacion C-lineal v esun isomorfismo, y trasladamos a L⊕ J la topologıa de Dq

n mediante ella.

Sea E ∈ Dqn, y (A,B) = v−1(E) ∈ L ⊕ J , siendo Aj =

∑γδ aj

γδxγ∂δ.

Entonces, E =∑

jγδ ajγδx

αj+γ∂βj+δeij + B. Aplicando | − |st, y teniendo en

cuenta que (αj, βj)+N (Aj) ⊂ ∆j, N (B) ⊂ ∆ y que los conjuntos ∆j, ∆ sondisjuntos dos a dos, se tiene que:

|E|st =∑

j


αj+γ∂βj+δeij

∣∣∣st

+ |B|st ≥

≥ ∑jγδ |aj

γδ||βj + δ|!sλ(αj+γ)−(ij−1)t−µ(βj+δ)

(4)

Proposicion 3 Existe una constante C1 > 0 tal que |(w1v−1)E|st ≤ C1s|E|st

para 0 < t < s < 1 y para todo E ∈ Dqn.

Demostracion: Tenemos que

|(w1v−1)E|st = |w1(A,B)|st = |

∑j

A′jx

αj∂βjeij |st = |∑

jγδ

ajγδx

γ(∂δ−T δ)xαj∂βjeij |st

Desarrollando igual que en el caso polinomial, tenemos que

|(w1v−1)E|st = |∑jγδ aj

γδxγ∑

0<ε≤αj ,δ

(αj

ε

)δ!

(δ−ε)!xαj−ε∂βj+δ−εeij |st ≤

≤ ∑jγδ

∑0<ε≤αj ,δ |aj

γδ|(

αj

ε

)δ!

(δ−ε)!|βj + δ − ε|!sλ(αj+γ−ε)−(ij−1)t−µ(βj+δ−ε) ≤

≤ ∑j

∑0<ε≤αj

∑δ≥ε

∑γ |aj

γδ|2|αj | δ!(δ−ε)!

|βj + δ − ε|!sλ(αj+γ−ε)−(ij−1)t−µ(βj+δ−ε)

31

Y por tanto


≤

∑j

∑0<ε≤αj

∑δ≥ε

∑γ|aj

γδ|2|αj | δ!

(δ − ε)!|βj + δ − ε|!sλ(αj+γ−ε)−(ij−1)t−µ(βj+δ−ε)

∑jγδ|aj

γδ||βj + δ|!sλ(αj+γ)−(ij−1)t−µ(βj+δ)=

=∑jε

∑δ≥ε

∑γ|aj

γδ|2|αj | δ!

(δ − ε)!|βj + δ − ε|!sλ(αj+γ−ε)−(ij−1)t−µ(βj+δ−ε)

∑γδ|aj

γδ||βj + δ|!sλ(αj+γ)−(ij−1)t−µ(βj+δ)≤

≤∑jε

∑δ≥ε

∑γ|aj

γδ|2|αj | δ!

(δ − ε)!|βj + δ − ε|!sλ(αj+γ−ε)t−µ(βj+δ−ε)

∑γδ|aj

γδ||βj + δ|!sλ(αj+γ)t−µ(βj+δ)≤

≤∑jε

∑γδ|aj

γδ|2|αj | δ!

(δ − ε)!|βj + δ − ε|!sλ(αj+γ−ε)t−µ(βj+δ−ε)

∑γδ|aj

γδ||βj + δ|!sλ(αj+γ)t−µ(βj+δ)

Usando ahora queδ!

(δ − ε)!≤ |βi + δ|!|βi + δ − ε|!

Obtenemos


∑jε

∑γδ|aj

γδ|2|αj ||βj + δ|!sλ(αj+γ−ε)t−µ(βj+δ−ε)

∑γδ|aj

γδ||βj + δ|!sλ(αj+γ)t−µ(βj+δ)=

=∑jε

2|αj |s−λεtµε ≤∑jε

2|αj |s(µ−λ)ε para t ≤ s

Para cada j, hay solo un numero finito de ε ≤ αj, ası que la ultima suma esfinita. Ademas, como ε > 0 y µ − λ tiene todas sus componentes positivas,el exponente de s en cada sumando es mayor que uno. Suponiendo s < 1,

32

podemos entonces acotar esta suma por C1s, donde C1 =∑

i 2|αi|#{ε ∈ Nn :

0 < ε ≤ αi}. Obtenemos ası la acotacion

|(w1v−1)E|st ≤ C1s|E|st (5)

para 0 < t < s < 1.

Proposicion 4 Existe una constante C2 > 0, y s0 > 0 tales que |(w2v−1)E|st ≤

C2s|E|st para 0 < t < s < s0 y para todo E ∈ Dqn.

Demostracion: Tenemos que

|(w2v−1)E|st = |w2(A,B)|st = |∑j AjM

′j|st =

= |∑j(∑

γδ ajγδx

γ∂δ)(∑

αβi cjαβix

α∂βei)|st = |∑jαβγδi ajγδc

jαβix

γ∂δxα∂βei|st =

= |∑jαβγδi ajγδc

jαβix

γ(∑

ε≤α,δ

(αε

)δ!

(δ−ε)!xα−ε∂δ−ε)∂βei|st =

= |∑jαβγδεi ajγδc

jαβi

(αε

)δ!

(δ−ε)!xγ+α−ε∂β+δ−εei|st ≤

≤ ∑jαβγδεi |aj

γδ||cjαβi|

(αε

)δ!

(δ−ε)!|β + δ − ε|!sλ(γ+α−ε)−(i−1)t−µ(β+δ−ε) ≤

≤ ∑jαβεi |cj

αβi|(

αε

) ∑γδ |aj

γδ| δ!(δ−ε)!

|β + δ − ε|!sλ(α+γ−ε)−(i−1)t−µ(β+δ−ε)

donde ε y δ estan sujetos a las restricciones 0 ≤ ε ≤ α, δ ≥ ε. Usando (2),

33

obtenemos


≤

∑jαβεi

|cjαβi|

(α

ε

) ∑γδ≥ε

|ajγδ|

δ!

(δ − ε)!|β + δ − ε|!sλ(α+γ−ε)−(i−1)t−µ(β+δ−ε)

∑jγδ|aj


≤∑

αβεi

∑j|cj

αβi|(

α

ε

) ∑γδ|aj

γδ|δ!


∑jγδ|aj


≤∑

jαβεi

|cjαβi|

(α

ε

)∑

γδ|aj

γδ|δ!


∑γδ|aj

γδ||βj + δ|!sλ(αj+γ)−(ij−1)t−µ(βj+δ)

Ahora, utilizando que δ!(δ−ε)!

≤ |δ|!|δ−ε|! ≤ |βi+δ|!

|β+δ−ε|! , obtenemos que

|(w2v−1)E|st ≤

∑

jαβεi

|cjαβi|

(α

ε

) ∑γδ|aj

γδ||βj + δ|!sλ(α+γ−ε)−(i−1)t−µ(β+δ−ε)

∑γδ|aj

γδ||βj + δ|!sλ(αj+γ)−(ij−1)t−µ(βj+δ)=

=∑

jαβεi

|cjαβi|

(α

ε

)sλ(α−αj−ε)−(i−ij)t−µ(β−βj−ε) ≤

≤ ∑jαβεi |cj

αβi|2|α|sλ(α−αj−ε)−(i−ij)t−µ(β−βj−ε)

Para cada β que aparezca en esta suma como parte de un exponente deM ′

j, sea (αjβ, β, ijβ) ∈ N (M ′j) tal que λαjβ = mın{λα : (α, β, i) ∈ N (M ′

j)}.

34

Entonces,∑

jαβεi

|cjαβi|2|α|sλ(α−αj−ε)−(i−ij)t−µ(β−βj−ε) =

=∑

jαβεi

|cjαβi|2|α|s−λεtµεsλ(α−αjβ)sλ(αjβ−αj)t−µ(β−βj)s−(i−ij) ≤

≤∑

jαβεi

|cjαβi|2|α|s(µ−λ)εsλ(α−αjβ)sλ(αjβ−αj)−µ(β−βj)s−(i−ij) =

=∑

jαβεi

|cjαβi|2|α|s(µ−λ)εsλ(α−αjβ)s(λαjβ−µβ−i)−(λαj−µβj−ij)

para t < s = u, ya que µ(βj−β) ≥ 0 para todo β ∈ π2(N (M ′j)). Ademas,(λαjβ−

µβ − i)− (λαj − µβj − ij) es mayor que uno, por ser un entero positivo. Portanto, para s < 1, esta ultima suma es menor o igual que

s∑

jαβεi

|cjαβi|2|α|s(µ−λ)εsλ(α−αjβ) ≤ s(

∑εi

s(µ−λ)ε)∑

jβ

(∑

α

|cjαβi|2|α|sλ(α−αjβ))

Veamos que estas dos series son convergentes para s suficientemente pequeno.

Lema 7 Dados j, β, existen sjβ > 0 y Cjβ > 0 tales que la serie∑α |cj

αβ|2|α|sλ(α−αjβ) converge y esta acotada por Cjβ para 0 < s < sjβ.

Demostracion: La serie∑

α |cjαβ|xα define una funcion analıtica F (x) en un

entorno del punto 0 ∈ Cn. Por tanto, la funcion f(s) = F (2sλ1 , . . . , 2sλn) esanalıtica en un entorno de 0 ∈ C. Su desarrollo en serie de potencias en el 0es precisamente

∑α |cj

αβ|2|α|sλα. Sea r su radio de convergencia, y tomemossjβ < mın{1, r}. f es analıtica en el disco |s| ≤ sjβ.

Como λα ≥ λαjβ para todo α, en esta serie no hay terminos en los queaparezca s elevado a una potencia menor que λαjβ. Por tanto, f(s) tieneun cero de orden al menos λαjβ en s = 0, y en consecuencia la funciong(s) = f(s)/sλαjβ es analıtica en el disco |s| ≤ sjβ. En particular, esta acotadaen el intervalo real [0, sjβ]. Esto es lo que queremos probar, ya que el desarrolloen serie de potencias de g en un entorno de 0 es

∑α |cj

αβ|2|α|sλ(α−αjβ).

Lema 8 La serie∑

ε s(µ−λ)ε converge y esta uniformemente acotada paras < 1/2.

35

Demostracion: Teniendo en cuenta que µj > λj para todo j = 1, . . . , n, setiene que:

∑ε s(µ−λ)ε =

∑ε

∏j s(µj−λj)εj =

∏j

∑εj

s(µj−λj)εj ≤

≤ ∏j

∑εj

sεj =(

11−s

)n ≤ 2n

Tomando s0 = mın{12, mınjβ sjβ} y C2 = 2n

∑jβ Cjβ, de los dos lemas

anteriores se deduce inmediatamente

|(w2v−1)E|st|E|st ≤ C2s (6)

para 0 < t < s < s0.Una vez realizados los calculos anteriores, estamos en condiciones de enun-

ciar el resultado:

Teorema 9 La aplicacion u : L ⊕ J → Dqn es un isomorfismo bicontinuo

compatible con la filtracion. Existen constantes s0 > 0, C > 0 tales que paratodo E = u(A,B) ∈ Dq

n se tiene que∑

j

|Aj|st|Mj|st + |B|st ≤ C|E|st

para 0 < t < s < s0.

Demostracion: Por (3) y (4), existen s0 > 0 y C1, C2 > 0 tales que

|((w1 + w2)v−1)E|st ≤ |(w1v

−1)E|st + |(w2v−1)E|st ≤ (C1 + C2)s|E|st

Tomando s < mın{s0,1

C1+C2}, la aplicacion (w1 + w2)v

−1 tiene norma st

menor que uno. Entonces, la serie∑

(−(w1 + w2)v−1)n converge a una apli-

cacion continua de cada Dn(s)qd en sı mismo, ya que la aplicacion no aumenta

el grado en ∂ y Dn(s)d es un espacio de Banach con la norma st. Por tanto,la serie define una aplicacion de Dn(s)q en sı mismo, que resulta ser un au-tomorfismo bicontinuo, ya que tiene a (Id + (w1 + w2)v

−1) por inversa. Deaquı se deduce que u = (Id + (w1 + w2)v

−1)v es un isomorfismo bicontinuode L(s)⊕ J(s) en Dn(s)q, porque v lo es. Si C ′ es la norma de la aplicacioninversa, se tiene que

|(A,B)|st = |v(A,B)|st =∑

j

|Aojx

αj∂βj |st + |B|st ≤ C ′|E|st

36

para todo E = v(A,B) ∈ Dn(s)q. Para probar la segunda parte del teorema,bastara encontrar constantes Cj tales que |Aj|st|Mj|st ≤ Cj|Ao

jxαj∂βj |st. Una

vez probada la existencia de estas constantes, se finaliza la prueba exacta-mente igual que en el caso polinomial.

Lema 9 Para cada j = 1, . . . , r, existe Cj > 0 tal que |Mj|st ≤ |xαj∂βjeij |st

para 0 < t < s < s0.

Demostracion: Teniendo en cuenta que |β| ≤ |βj| y que µβ ≤ µβj, tenemos

|Mj |st

|xαj ∂βj eij|st

=∑

αβi |cjαβi| |β|!|βj |!s

λα−λαj+(ij−i)tµβj−µβ ≤

≤ ∑αβi |cj

αβi|s(λα−µβ−i)−(λαj−µβj−ij)

Razonando de forma analoga a la prueba del lema 4, se comprueba que laserie

∑α |cj

αβi|sλα define una funcion analıtica en un entorno del 0, y que enel origen tiene un cero de orden al menos µβ + i+(λαj−µβj− ij), por tantola serie anterior es continua y acotada en un entorno del origen, de donde sededuce la existencia de las constantes Cj

Vemos que, de la misma forma que en el caso polinomial, este teoremaimplica la existencia y unicidad de los cocientes y el resto de la division deE entre M1, . . . ,Mr, sujetos a las restricciones de pertenecer a L y J , respec-tivamente. Vemos que en este caso tambien hemos obtenido un resultadomas fuerte que la simple dependencia continua de los cocientes y el resto conrespecto al divisor.

Supongamos ahora que el orden monomial no verifica la condicion (?).Al igual que en el caso polinomial, la demostracion de la proposicion 3 norequiere modificacion, pero sı la de la proposicion 4, que hay que cambiarexactamente de la misma forma que en el caso polinomial. El resultado finales el siguiente:

Teorema 10 La aplicacion u : L ⊕ J → Dqn es un isomorfismo bicontinuo

compatible con la filtracion. Existen constantes s0 > 0, C > 0 tales que paratodo K > 0 y todo E = u(A,B) ∈ Dq

n se tiene que∑

j

|Aj|ssµ|Mj|ssµ + |B|ssµ ≤ C|E|ssµ

para 0 < s < s0 y |µ| > K en las condiciones del lema 3.

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Solamente la prueba del lema requiere ser modificada, simplemente susti-tuyendo el uso de la desigualdad t < s por el de la igualdad t = s como eshabitual.

5. Aplicacion: Fiel planitud de la extension

Wn ⊂W∞n

Consideramos ahora el anilloW∞n formado por las series A =

∑αβ aαβxα∂β

para las que

|A|st =∑

αβ

|aαβ||β|!s−λαt−µβ

es finito para todos los valores positivos de s y de t (o equivalentemente, paratodos los valores positivos de s y t menores que unos ciertos s0 y t0 positivosfijos). En otras palabras, W∞

n es el anillo de las secciones de D∞Cn definidas

en todo Cn.Si A es un elemento de W∞

n , entonces para cada β ∈ Nn, fβ(x) =∑α aαβxα es una funcion entera en Cn. En efecto,

∑α |aαβ|s−λα es finito para

todo s positivo, por tanto la funcion f esta definida en todo C. De hecho,W∞

n contiene al anillo de operadores diferenciales (finitos) con coeficientesenteros en Cn.

El anillo W∞n es completo: si la sucecion {An} en W∞

n es de Cauchy,cada sucesion de coeficientes es de Cauchy en C, y por tanto converge a unelemento aαβ. Sea A =

∑αβ aαβxα∂β. La sucesion |A|st es tambien de Cauchy

en R, por tanto converge a un elemento λ ∈ R, y es claro que |A|st = λ. Porconsiguiente A esta en W∞

n , y en consecuencia W∞n es completo. Es mas, Wn

es denso en W∞n , y por tanto W∞

n es el completado de Wn con respecto a latopologıa definida por la familia de normas | − |st.

Sea M un Wn-modulo finitamente generado. Entonces existe un homo-morfismo sobreyectivo f : Wd

n −→ M para algun d ∈ N. Sea {g1, . . . , ge} unabase de division del submodulo ker f ⊂Wd

n. Tenemos entonces una sucesionexacta

Wen −→Wd

n −→ M −→ 0

donde g : Wen → Wd

n esta definida por g(a1, . . . , ae) = a1g1 + . . . + aege.Esta sucesion es topologicamente escindida: existe un homomorfismo (de C-espacios vectoriales) f : M →Wd

n tal que f ◦f ◦f = f . Esta aplicacion asigna

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a cada m = f(A) ∈ M el resto de la division de A entre g1, . . . , ge. Como elnucleo de f esta generado precisamente por estos polinomios, esta definicionno depende del elemento A ∈ Wd

n elegido tal que f(A) = m. Gracias a estaaplicacion, podemos definir en M una topologıa localmente convexa, dadapor la familia de normas |m|st = |f(m)|st para s, t positivos.

Por otro lado, tenemos tambien la aplicacion C-lineal g : Wdn →We

n dadapor los cocientes de la division de un elemento de Wd

n entre g1, . . . , gn, queverifica g ◦ g = 1We

n. Las aplicaciones f y g son continuas, como hemos visto

anteriormente, y por tanto la sucesion es topologicamente escindida.Si la sucesion es topologicamente escindida, la sucesion de los completados

es exacta. Pero el completado de un Wn-modulo finitamente generado conrespecto a la topologıa definida anteriormente es simplemente el productoW∞

n ⊗Wn M . Por tanto, deducimos que la sucesion

W∞n ⊗Wn We

n −→W∞n ⊗Wn Wd

n −→W∞n ⊗Wn M −→ 0

es exacta. Pero para cada r, W∞n ⊗Wn Wr

n = W∞rn , ası que esta sucesion es

la misma queW∞e

n −→W∞dn −→W∞

n ⊗Wn M −→ 0

En particular, dada una sucecion exacta 0 → Wd1n → Wd2

n → Wd3n → 0,

la sucesion de completados

0 −→W∞d1n −→W∞d2

n −→W∞d3n −→ 0

es exacta.Queremos probar que el Wn-modulo W∞

n es plano. Para ello, sea 0 →M1 → M2 → M3 → 0 una sucesion exacta de Wn-modulos de tipo finito, yconsideramos para cada i una presentacion de Mi

Wein −→Wd1

n −→ Mi −→ 0

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de manera que el diagrama siguiente sea exacto en filas y columnas:

0 0 0

↑ ↑ ↑0 −→ M1 −→ M2 −→ M3 −→ 0

↑ ↑ ↑0 −→ Wd1

n −→ Wd2n −→ Wd3

n −→ 0

↑ ↑ ↑0 −→ We1

n −→ We2n −→ We3

n −→ 0

Tensorizando con W∞n obtenemos el diagrama conmutativo

0 0 0

↑ ↑ ↑0 −→ W∞

n ⊗Wn M1 −→ W∞n ⊗Wn M2 −→ W∞

n ⊗Wn M3 −→ 0

↑ ↑ ↑0 −→ W∞d1

n −→ W∞d2n −→ W∞d3

n −→ 0

↑ ↑ ↑0 −→ W∞e1

n −→ W∞e2n −→ W∞e3

n −→ 0

Por lo visto anteriormente, las columnas y las dos filas inferiores de estediagrama son exactas. Por consiguiente tambien debe ser exacta la fila supe-rior, de donde deducimos que W∞

n es plano con respecto a Wn.Ademas es fielmente plano, ya que dado un Wn-modulo de tipo finito M ,

el producto W∞n ⊗Wn M es el completado de M con respecto a la topologıa

definida en M al principio de esta seccion. Por tanto, existe una inmersionM → W∞

n ⊗Wn M , y en particular W∞n ⊗Wn M es distinto de cero si M es

distinto de cero.

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Referencias

[1] F. Castro-Jimenez. Calculs effectifs pour les ideaux d’operateurs differen-tiels. In J.M. Aroca, T. Sanchez-Giralda, and J.L. Vicente, editors,Geometrie algebrique et applications III. Geometrie reelle. Systemesdifferentiels et theorie de Hodge, volume 24 of Travaux en cours, pages1–20, Paris, 1987. Hermann.

[2] D. Eisenbud. Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geome-try, volume 150 of Graduate Texts in Mathematics. Springer Verlag, NewYork, 1995.

[3] H. Hauser and G. Muller. A rank theorem for analytic maps betweenpower series spaces. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 80:95–115,1994.

[4] H. Hauser and L. Narvaez-Macarro. Continuous division of dif-ferential operators. Ann. Inst. Fourier, 2001. to appear(http://www.us.es/da/prepubli/hau nar.pdf).

[5] Z. Mebkhout and L. Narvaez-Macarro. Le theoreme de continuite de ladivision dans les anneaux d’operateurs differentiels. J. reine u. angew.Math., 503:193–236, 1998.

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