Soale Amar.accportal.com.Razaghi

زمونآ آمادگی: موضوع آمار سواالت : عنوان

com.ccportalA.www پایگاه اطالع رسانی حسابداری ایران: امتیاز صاحب

١

غ ص . از یک ریشه مشتق شده اندstateوstatisticeکلمه - 1

غ ص . تحلیل نمونه است,موضوع آمارتوصیفی - 2

.بین جامعه ونمونه تفاوت وجود داشته است,از ابتدای پیدایش ,در فنون آماری - 3

غ ص

آمار پارامتریکبر پایه ی فرض نرمال بودن مشاهدات استوار است - 4

غ ص

. موضوع آمار ناپارامتریک عمدتا تحلیل مقیاسهای فاصله ای و نسبی است - 5

غ ص

غ ص .جمع آوری داده ها اولین گام در هر تحقیق علمی است - 6

غ ص .به تعداد محدودی از افراد جامعه ی آماری اطالق می شود,نمونه - 7

غ ص . شماری جامعه آماری حاصل می شودآمار شاخصی است که با سر - 8

غ ص . تر استدقت آماره از آماره بیش - 9

غ ص .روش اختصاص تصادفی مربوط به فرضیه های همبستگی است -10



٢

سواالت چهار گزینه ای

زاد از توزیع است؟چه نوع آماری آ -11

پارامتریک)توصیفی ج) الف

ناپارامتریک)استنباطی د) ب

کدام یک از این مقیاسها دارای صفر قرار دادی است؟ -12

اسمی ) جنسبی ) الف

رتبه ای)فاصله ای د) ب

ژگیهای بهتری برای اندازه گیری برخوردار است؟ کدام مقیاس ذیل از وی -13

اسمی) ج نسبی ) الف

رتبه ای) د فاصله ای ) ب

اگر برای بررسی فرضیه ای از تمام مشاهدات جامعه استفاده شود آن را چه می نامند؟ -14

پارامتریک ) ج توصیفی )الف

همبستگی) د استنباطی )ب

دارای چه نوع مقیاسی است؟,در یک شرکت وزن محصوالت تولید شده -15

فاصله ای) ج رتبه ای )الف

نسبی) د اسمی ) ب



٣

. برای بررسی اثر بخشی یک دوره آموزش مدیریت از یک گروه گواه ویک گروه آزمایش استفاده شده است -16

ضیه های این نوع تحقیق را چه می نامند؟فر

گروهی همبسته)گروه های جور شده ج) الف

توصیفی) د گروه های مستقل ) ب

دارد؟این متغیرها از این لحاظ که تاثیرات آنها از میان می رود با متغیرهای تعدیل کننده تفاوت کدامیک از -17

پاسخ) ج مستقل ) الف

کنترل) د وابسته ) ب

اولین مرحله در تحقیق علمی کدام است؟ -18

هدفگذاری)جمع آوری ج) الف

تحلیل یافته) د فرضیه سازی ) ب

پارامترها به کمک کدام یک از موارد زیر قابل محاسبه هستند؟ -19

جامعه ونمونه )جامعه ج) الف

به شرایط تحقیق بستگی به دارد) نمونه د) ب

یف صفت مشخصه است؟کدام یک از این گزینه ها تعر -20

از فردی به فرد دیگر تغییر می کند) الف

.صفت مشترک بین کلیه افراد جامعه است) ب



٤

.عناصر جامعه از همدیگر استمتمایز کننده ) ج

.عنصرمشترک جوامع آماری مختلف است) د

مسائل

.برای فرضیه های تک متغیره وچند متغیره دو مثال بزنید -21

.از فرضیه های همبستگی و تجربی دو مثال بزنیدبرای هر یک -22

.برای هر یک از فرضیه های گروههای جور شده ومستقل دو مثال بنویسید -23

.برای هر یک از مقیاسها دو مثال بنویسید -24

.تحقیق علمی را تشریح کنیدمراحل -25

پاسخنامه ی سواالت

ص )5 ص )4 غ ) 3 غ )2ص )1

غ )10ص )9 غ )8 ص )7غ )6

د )15 الف ) 14 الف ) 13 ب )12 د )11

ب )20 الف )19 ج )18د )17 ب )16

تمرین

حاصل هر یک از عبارت ذیل Z= - 1 , 1 , 5 , 2 و x = 5 , 4 , -3 , 1با توجه به این مقادیر -26

.را تعیین کنید



٥

2)ب) i x Σ)(izΣ)(الفixΣ

2 3

) Σ ( ) xiΣ)( zj د) ixΣ(2)ج j=1 i=1

.ثابت کنید این رابطه برقرار است -27

i z Σ + i y Σ+ i xΣ )= i z + i y + i x(

.صحت این رابطه را نشان دهید -28

10 10 20 + i xΣ 3 = ) 2+ ix3 (Σ

1=i 1 =i

.ثابت کنید این رابطه برقرار است -29

N N N Nb2 +ixΣ b2 - 2

ixΣ = 2)b - i x ( Σ 1=i 1=i 1=i

هزار کیلومتری را با سرعت 3کیلومتر درساعت وفاصله 900هزار کیلومتری راباسرعت4یک هواپیما فاصله -30

سرعت متوسط این ،کیلومتر در ساعت طی می کند800هزار کیلومتری را با سرعت 5کیلومتر درساعت وفاصله 600

.هواپیما را محاسبه کنید

لویت گذاری ومقیاس ا.لویت اتومبیل پیکان را از نظر سرعت نسبت به رنو تعیین کرده اند وا,سه نفر کارشناس -31

متوسط اولویت اتومبیل پیکان . تعیین کرده است ½و نفر سوم 2نفر دوم ,3 را نفر اول اولویت پیکان است 9 تااز

به رنواز نظر سرعت چقدر است؟



٦

:مد هر یک از این دو گروه را تعیین کنید -32

3 , 5 , 7 , 8 , 9 , 10 , 5 , 8 ,5: گروه الف

100, 150 , 110 , 100 , 150, 110: گروه ب

: وسوم این مشاهدات را تعیین کنیددوم،چارک اول -33

60 , 80 , 70 ,80 ,75 , 70 , 100, 60 , 50 , 90 ,80

تفاوت میانگین پیراسته ووینزوری چیست؟ -34

از میانگین هندسی استفاده می شود؟،چرا در حالتی که مشاهدات به صورت نسبت تعریف شوند -35

ا نیمه واریانس در چیست؟تفاوت واریانس ب -36

. موارد کاربرد انحراف چارکی را بیان کنید -37

: این مشاهدات نشان دهنده وزن محصوالت تولید شده در یک کارخانه طی یک روز است -38

140 , 135 ,125 ,140, 135 ,140, 130, 120, 150 ,100= i x

0انحراف چارکی را محاسبه نمایید)الف

.یار را محاسبه وبا انحراف چارکی مقایسه کنیدانحراف مع) ب

: میزان مهارت مدیران یک سازمان در بر نامه ریزی به این صورت است -39

45 ،40 , 50 , 65 , 60 , 85 , 80= i x



٧

.نیمه واریانس را محاسبه کنید)الف

.انحراف متوسط از میانگین را محاسبه کنید) ب

غ ص . میانه استمهم ترین پارامتر مرکزی -40

غ ص . همه ی توزیعهای آماری دارای مد هستند -41

غ ص . میانه همان چارک دوم است -42

.شاخصهای برای اندازه گیری تغییرات مشاهدات جامعه هستند,ترهای پراکندگی پارام -43

غ ص

. انحراف چارکی شاخص مناسبی برای اندازه گیری پراکندگی توزیعهای نا متقارن است -44

غ ص

. نیمه واریانس شاخصی برای اندازه گیری تغییرات مطلوب نسبت به میانگین است -45

غ ص

غ ص . مربع اندازه گیری مشاهدات است،واحد واریانس -46

غ ص . همیشه نیم دامنه از دامنه ی تغییرات بزرگتر است -47

غ ص . استHµ ≥ xµ≥Ģµهمیشه -48

غ ص . انحراف معیار همان ریسک است،در مفهوم مالی -49



٨

yµ مساوی 1y , 2y , ..... , ky و میانگین xµ برابر 1x , 2x.,...., Nx اگر میانگین -50

کدام است؟ixΣ درآن صورت مقدار xµa=yµ داشته باشیم yiΣ

xµ.N ) ج N )الف Ka

yµ.N ) د a. N)ب

کدام است؟xµ - ix(Σ (مقدار, باشد xµ مساوی 1x , 2x, ... ,Nxاگر میانگین -51

N) ج xµ. N) الف

یک) د صفر )ب

را از نمرات او حذف کنیم معدل ایـن دانـشجو کـدام 16 است اگر نمره ی 13معدل یک دانشجو در هفت واحد -52

است؟

تغییر نمی کند) ج 5/12)الف

بستگی دارد16به ضریب ) د 10) ب

) ــ 2X+ 3 (,...,) ــ NX+ 3 (باشد میانگین 1x , 2x , ... , Nx میانگین xµ اگر -53

2 2 )3 +1X کدام است؟ ) ــ

2 ــ x µ 1 +3) ج-x µ +3)الف

2



٩

x µ 1 ) د x µ+ 3)ب

2

عیار مشاهدات چه وضعی پیش می اید؟اگر ازهر یک از مشاهدات سه واحد کم کنیم در انحراف م -54

واحد کاست می شود9)ثابت می ماند ج)الف

هیچکدام) واحد کاسته می شود د3) ب

... , 1x , 2 x باشد انحراف معیار16 برابر 1x, 2x, ...,Nxواریانس مقادیر اگر -55 4 4

Nx کدام است؟ 4

16) ج 4) الف

1) د 2) ب

ix Σ ,400=2=60 اگر -56ix Σ10 و =Nباشد ضریب پراکندگی کدام است؟

70/0) ج 40/0) الف

62/0) د 33/0) ب

را در نظر بگیرید مد کدام است؟2 ,2, 2 , 5 , 5 , 5 , 7 ,7 , 7 , 9, 9 , 9مشاهدات -57

صفر است) ج 2, 5 , 7 ,9)الف

67/8) د مد ندارد ) ب

م است؟ بوده است میانگین این نسبت ها کدا5 , 4 , 6 نسبت قیمت برنج به ذرت طی سه سال - 58



١٠

86/4) ج 5) الف

95/10) د 93/4) ب

کدام است؟ zµ ،باشد x- y= Z وyµ=22 وxµ =10 اگر-59

12) ج 32) الف

6) د 16) ب

شده است مقدار انحـراف چـارکی چقـدر 100 و 70 , 60دوم وسوم یک جامعه ی آماری به ترتیب ,چارک اول -60

است؟

20) ج 40) الف

15) د 30)ب

کدامیک از این پارامتر ها بیشتر تحت تاثیر انحرافات بزرگ است؟ -61

انحراف چارکی) ج انحراف متوسط از میانگین ) الف

نیم دامنه) د واریانس ) ب

مطلوب باشد نیمـه واریـانس کـدام اگر انحراف باالی میانگین نا . رید را در نظر بگی 1 , 3 , 5 , 7مشاهدات -62

است؟

5) ج 4) الف

صفر) د 3) ب



١١

مد خانوار شهری در چهار سال متوالی معلوم شد قیمت نفـت سـفید ررسی پرسشنامه های طرح هزینه ودرآ با ب -64

هـزار ریـال در نظـر 20 اگر خانواری بـرای هـر سـال . ریال در لیتر است 5/2 1/2 8/1 6/1یک خانوار به ترتیب

وخت ساالنه این خانوار بر حسب ریال در لیتر چقدر است ؟بگیرد متوسط مصرف س

25/2) ج 75/1) الف

94/1) د 5/2) ب

N همواره حاصل این، میانه باشد aنکه به شرط آ a – jx | Σ |داشتن با فرض در اختیار -65

1=j عبارت است ؟

"حداکثر"و " حداقل "مقداری بین) ج"حداکثر ") الف

نا مشخص) د" حداقل") ب

.حاصل این عبارت را با استفده از خواص زیگما بنویسید -66

5 3 Σ 4) ج Σ) (xi+yi+zi) الف

1i = 1i = 4 5 xi) دxi (Σ-2(4) ب

yi Σ

i =1 i =1

. حاصل این عبارات را محاسبه کنید . رادر نظر بگیرید y = -3، 2، 4 ، -1 و x = 3 ، -2 ، 1 ، -1مقادیر -67



١٢

3 4 yi ) ) د xi (Σ-3) (الف

2- 4yi + 4) Σ i =1 i =1

3 3

yi) هـ Σ (xiyi )) ب3 Σ

1i= 1i=

2 4 3

)3 Σ( yi) و xiyj Σ Σ) ج j=1 1i= 1i=

xi ∑ ، 10=yi ∑ ، 4-= xi yi ∑ ، 40=xi=10اگر -68yi=10 و ∑ 2

باشد ، حاصل این عبارات را تعیین ∑ 2

.کنید

xi ∑) ( xi (2) الف ∑) 2(xi - yi) ج ) ∑ 2

∑) 2(yi -2) د ) ∑ xi ∑) ( xi yi (3) ب

1368 دو برابر و در سال 1366 نسبت به 1367 در , سه برابر 1365 نسبت به 1366 سود شرکتی در سال - 69

نسبت به 1368 چهار برابر شده است حسابدار شرکت معتقد است که سود شرکت در پایان سال 1367نسبت به

چرا؟ آیا این ادعا درست است ؟, برابر شده 27 , 1365

مقدار کار چهار کارگر در کارخانه ی اجر سازی در روزهای مختلف اندازه گیری شده است کار گر اولی یک متر - 70

دقیقه 4 دقیقه و چهارمی در 3 دقیقه سومی در 2 دقیقه دومی در 30/2خشت را به طور متوسط در ) عدد16(مربع

اماده میکند اگر این چهار کارگر با هم کار کنند بطور متوسط یک متر مربع خشت را در چه مدتی اماده می کنند؟



١٣

ه است در این جدول امد1361 نوع کاال ی مختلف در سال 15 شاخص قیمت -71

شاخص قیمت 120 130 135 137 140

تعداد 2 5 3 4 1

متوسط شاخص قیمت را محاسبه کنید؟

وزن یک کاالی خاص بر حسب کیلوگرم است بیان کننده5 , 5, 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 25 مشاهدات -72

ضمن محاسبه انحراف متوسط از میانگین و واریا نس نقاط قوت و ضعف آنها را ذکر کنید ؟

میلیون نفر بوده است متوسط میزان رشد جمعیت را 60 ، 53 ، 50 ، 45سال به ترتیب 4 جمعیت کشور طی -73

.دمحاسبه کنی

باشد ؛ صحت این روابط b = 1 و ix ،5 ،1 ،3 ،2 - = iz ،4 =a= 2، 5، 3، 6 اگر -74 4

. را بررسی نمایید

xµb = bx µ) جzµ + xµ = x+zµ) الف

∑ ) 0=(zi-µz) د a + xµ = x+zµ) ب

) . را در نظر بگیرید 74اطالعات مساله . ( باشد ، صحت این روابط را بررسی کنید b – xi =yi اگر -75

2) بb - xµ = yµ) الف xσ = 2

yσ

: استهزینه ی ماهانه یک خانواده تهرانی به این صورت بدست آمده -76



١٤

10 8 ,15 , 20, 9 ,16 , 17 , 25 , 18 ,30 , 15 ,5/14:هزینه برحسب صد هزارریال

میانگین و واریانس را محاسبه کنید؟) الف

باشد محاسبه کنید % LN% = 25میانگین پیراسته و وینز وری در صورتی که ) ب

ه هزینه مهد کودک فرزند خود را که فراموش نموده است ک76فرض کنید خانوده ی مورد نظر در مساله -77

هزار ریال بوده است گزارش کند اثراین هزینه بر میانگین و واریانس مشاهدات اولیه چیست؟ توضیح 60ماهانه

.دهید

ب وج با همدیگر تلفیق کند تا یک محصول ,تولید کننده ای ناچار است که سه نوع مواد اولیه را با عنوان الف -78

هزار و ج هزار ریال است هر واحد از این محصول 2ب , هزار 4ت هر کیلو ماده اولیه ی الف ساخته گردد قیم

مجموعا به یک کیلو ماده ی اولیه نیاز دارد

درصد 20 درصد از نوع ب و 50,درصد از نوع الف30قیمت محصول را در صورتی که مواد اولیه ی مورد نیاز آن ) الف

.ه کنیداز نوع ج فراهم شده باشد محاسب

قیمت محصول را در صورتی که مواد اولیه الف وب و ج به نسبت یکسان ترکیب شده باشد محاسبه کنید ) ب

مقاومت شکست برای دو نوع بطری بر حسب پوند بر اینچ مربع به این صورت اندازه گیری شده است -79

260 , 240 , 230 , 265 , 210 , 270: نوع اول

190 ,228 ,305 ,240, 265 ,260, 240, 265 , 240: م نوع دو

.پارامترهای مرکزی را محاسبه کنید ) الف



١٥

انحراف چارکی هر دو جامعه را با یکدیگر مقایسه کنید کدام یک از کیفیت بهتری برخوردار است ؟) ب

:با توجه به مساله قبل به سواالت زیر پاسخ دهید -80

میانگین هر دو نوع بطری را با یکدیگر مقایسه کنید کدام نوع بهتر است؟انحراف متوسط از ) الف

انحراف معیار هر دو نوع بطری را با یکدیگر مقایسه کنید کدام نوع بهتر است؟) ب

. ضریب پراکندگی مقاومت شکست را برای دو نوع بطری مقایسه نمایید)ج

پاسخنامه

غ)45 ص ) 44 ص) 43 ص ) 42 غ ) 41 غ )40

ب) 51 الف ) 50 ص ) 49 غ ) 48 غ )47 ص )46

ب) 57 ب ) 56 د ) 55 الف ) 54 ج ) 53 د )52

ب) 64د ) 63 ج ) 62 ب )61 ج ) 60 ج )59 ب ) 58

: هفته به این شرح است30در )به میلیون ریال ( خسارات ناشی از آتش سوزی -81

00/11 50/10 20/10 00/9 20/8 10/7

50/11 60/10 30/10 00/9 40/8 20/7

60/11 70/10 40/10 70/9 60/8 80/7

00/12 80/10 40/10 80/9 70/8 00/7

10/12 00/11 50/10 00/10 90/8 10/8



١٦

)بقه بندی کنیدبا تقریب یک دهم ط(جدول توزیع فراوانی نسبی و تجمعی را تهیه نمایید

روز بدین شرح است40تعداد اتومبیلهای بیمه شده توسط یک شرکت بیمه در -82

8 7 8 3 6 5 4 2

6 5 8 7 9 7 1 4

7 6 10 4 3 6 3 9

9 11 8 10 6 9 2 5

4 5 8 6 5 7 6 7

)دادها از نوع ناپیوسته هستند(جدول توزیع فراوانی نسبی و تجمعی را تهیه نمایید

چرا مشاهدات از نوع ناپیوسته را با حدود طبقات دسته بندی نمی کنیم؟ -83

دی وجود دارد؟چرا؟آیا روشی به عنوان بهترین روش طبقه بن -84

دانشجوی رشته ی تربیت بدنی 40متر را برای 25دویدن زیگزاگ در مسافت ) زمان بر حسب ثانیه( این داده ها -85

:نشان می دهد

1/9 6/9 6/9 0/9 5/10 7/9 6/9 3/10

5/9 4/8 9/9 5/9 5/9 7/8 4/9 6/9

3/9 5/9 8/9 7/8 6/9 8/9 6/9 5/9

2/10 8/9 2/9 0/9 3/9 5/9 4/9 4/9



١٧

2/9 6/9 0/9 5/9 8/9 4/10 0/10 5/9

جدول فراوانی داده ها را بسازید)سی صدم ثانیه( طبقات با استفاده از فاصله ی) الف

.نمودار های مناسب را تهیه فرمایید) ب

یکی از صاحبنظران مدیریت با بررسی رفتار مدیران سطوح عالی اهمیت نسبی انواع گوناگون ارتباطات را دست -86

:آورده است نتایج این بررسی در جدول زیر نشان داده شده است

مالقاتبدون سخ به تلفنپا بازدید

برنامه ریزی

قبلی

مالقاتهای کارهای جاری

برنامه ریزی

شده

نوع ارتباط

اهمیت نسبی 59% 22% 10% 6% 3%

نمودار پاره تو را تهیه نمایید ) الف

.نمودار میله ای را تهیه نمایید)ب

یسید نمودارهای وصفی را با نمودارهای کمی مقایسه کرده تفاوت آنها را بنو -87

چه تفاوتی میان منحنی فراوانی تجمعی و پلی گن فراوانی تجمعی وجود دارد؟ -88

صوتی وارقامی تقسیم می ,احساسی , دسته ی تصویری 4انسانها را به لحاظ ارتباطات به ,درمدیریت -89

:ول آمده استکارکنان یک سازمان از این لحاظ مورد بررسی قرار گرفته اند که حاصل تحقیق در این جدکنند

گروه ارتباطی ارقامی صوتی احساسی تصویری



١٨

تعداد کارکنان 100 150 300 50

نمودار دایره ای را تهیه نمایید) نمودار پاره تو را تهیه نمایید ب) الف

غ ص مشاهدات جامعه اماری درهرحالت بهتر است بندی طبقه-90

غ ص . روشهای توصیف داده ها صرفا به روشهای هندسی منحصر می شود -91

غ ص نمودار بافت نگار یک نمودار کمی است -92

غ ص . مودار وصفی استنمودارپاره تو یک ن -93

غ ص .سازمان دهی محاسبات موجب افزایش دقت محاسبات می شود -94

.رابطه ی استورجس دقیق ترین رابطه ی ریاضی برای تعیین تعداد طبقات است -95

غ ص

غ ص .برای رسم پلی گن فراوانی تجمعی از متوسط طبقات استفاده می شود -96

غ ص . نمودار شاخه وبرگ یکی از نمودارهای تحلیل اکتشافی داده هاست -97

غ ص . است20 وحداکثر5تعداد طبقات مناسب برای مشاهدات جامعه حداقل -98

غ ص . فاصله و تعداد طبقات نسبت به هم رابطه ی معکوس دارند -99

کدامیک از نمودار ها برای تحلیل اکتشافی مشاهدات استفاده می شود؟ -100

پاره تو)بافت نگار ج)الف



١٩

جعبه ای) ددایره ای )ب

کدامیک از این نمودار ها برای تحلیل مشاهدات کمی استفاده می شود؟ -101

پاره تو ) شاخه و برگ ج) الف

ستونی )دایره ای د) ب

ش مشاهداتی با مقیاس رتبه ای مناسب است؟ کدامیک از این نمودار ها برای نمای -102

بافت نگار) دایره ای ج) الف

جعبه ای ) چندضلعی د) ب

کدامیک از این نمودارها برای نمایش مشاهداتی با مقیاس نسبی مناسب است؟-103

جعبه ای ) جبافت نگار ) الف

هر سه مورد) چند ضلعی د) ب

را بر اساس کدام اندازه مدرج می کنند؟xمحور , در رسم نمودارهای بافت نگار-104

متوسط طبقات )فراوانی های نسبی ج)الف

فراوانی های تجمعی) دکرانه های طبقات )ب

را بر اساس کدام اندازه مدرج میکنند ؟xمحور ,در رسم نمودار تجمعی -105

حد پایین طبقات) متوسط طبقات ج) الف

مورد الف و ب)کرانه های طبقات د)ب



٢٠

ر طبقه یکسان تلقی می شود؟در کدامیک از این نمودارها ارزش مشاهدات ه -106

پلی گن فراوانی تجمعی)منحنی فراوانی تجمعی ج)الف

هرسه مورد)بافت نگار د)ب

باشدتعداد طبقات جدول طبقه بندی 25 وفاصله طبقات 200و400اگر حداکثر وحداقل مشاهدات به ترتیب -107

کدام است ؟داد ه ها

5) ج16) الف

25) د8)ب

دو طبقه از یک جدول طبقه بندی باشد فاصله طبقات کدام است؟99- 90 و89- 80اگر -108

5/9) ج9) الف

اطالت برای اظهار نظر کافی نیست) د 10)ب

اندازه ی طول طبقه کدام است ؟108با توجه به سوال -109

یک واحد بیشتراز عرض طبقه)مساوی با عرض طبقه ج)الف

مساوی با فاصله ی طبقات)یک واحد کمتر از عرض طبقه د)ب

در بازار بورس و اوراق بهادار تهران در فرودین ماه به این شرح بدست آمده شرکت 60ر سهم برای قیمت ه -110

: ریال است10ست و داده ها بر حسب

1000 1245 1900 1875 2012 2200 1975 2100 1200 800



٢١

1200 1375 1650 1450 2010 2080 867 950 1100 750

2100 1485 1370 1320 1975 800 950 960 1090 900

2050 1500 1580 1210 1600 967 955 2020 1110 950

1800 1650 1780 1225 1650 910 985 2010 950 920

1920 1590 1850 1785 1400 1012 2100 2011 870 1000

داده هارا طبقه بندی کنید ) الف

نمودارهای بافت نگار چندضلعی و فراوانی تجمعی را رسم کنید) ب

تعداد کارکنان یک سازمان بر حسب معاونت به این شرح است -111

معاونت فرهنگی طرح وبرنامه مالی اداری

تعداد کارکنان 250 200 200 350

نمودار های مناسب را برای نمایش این مشاهدات تهیه کنید) الف

.در صورت امکان پارامتر های مرکزی وپراکندگی را محاسبه کنید) ب

راجعه کرده اند بر حسب دقیقه به این راننده برای زدن بنزین به پمپ بنزین کارگر شمالی م40زمان انتظار -112

:شرح بدست آمده است

40/0 10/2 10/0 00/3 70/0 50/0 60/0 30/1

20/1 20/2 30/0 80/2 80/0 50/1 00/1 20/1



٢٢

00/0 70/2 60/0 40/2 60/1 40/1 00/3 00/2

00/3 60/2 70/0 50/2 70/1 80/0 00/0 50/2

40/2 50/2 90/0 10/2 90/0 20/0 10/1 40/0

. دسته بندی کنید 50/0را با استفاده از فاصله ی طبقاتی داده ها) الف

.نمودار بافت نگار را با استفاده از فراوانی نسبی تهیه کنید)ب

.ار تجمعی را با استفاده از فراوانی نسبی تهیه کنیدنمود)ج

علوم انسانی دانشگاه تربیت مدرس برای اندازه گیری عملکرددانشکده -113

کارکنان دبیر خانه ی خود از زمان سنجی استفاده کرده است مدت زمان ثبت یک نامه در اندیکاتور اندازه گیری

:ح است شده و نتایج ان بر حسب دقیقه به این شر

60/4 20/3 00/2 20/3 80/4 70/3 80/4 00/5 80/0 00/1

70/4 10/3 20/2 80/0 90/0 90/3 70/4 70/1 20/2 50/1

70/4 70/3 10/2 90/0 70/0 80/2 10/3 90/1 30/2 00/2

90/4 90/3 70/2 70/1 70/1 60/4 20/1 50/3 40/3 20/2

30/4 20/4 80/2 80/1 90/1 70/4 00/5 70/3 20/4 00/3

. طبقه بندی کنید1/0داده ها را با تقریب ) الف

آیا می توان پذیرفت که زمان ثبت نامه ها از یک توزیع متقارن برخوردار است؟)ب



٢٣

نمودار فراوانی تجمعی را با استفاده از دو روش پلی گن فراوانی تجمعی و منحنی تهیه نماییدو نقاط قوت و ضعف )ج

.دو روش را ذکر کنید

تولید کننده ای عمر مفید یک فیلم عکاسی حساس را بررسی کرده است داده های حاصل بر حسب روز به -114

:این شرح است

160 151 142 121 120 126 135 140 127 125

121 137 141 131 130 127 122 124 125 140

127 125 124 126 121 140 134 128 127 121

137 131 131 124 121 143 132 150 147 141

نگار خصوصیات این داده ها را ذکر کنیدبا استفاده از رسم یک بافت

شرکت ایران خودرو به این صورت ) ریال 10به (سه نوع طرح طبقه بندی برای دسته بندی حقوق ساعتی -115

:پیشنهاد شده است

1طرح 3طرح 3طرح

)500-0(

1000 -600

1500 -1100

]550 -0[

1000 -551

1500 -1001

)500-0(

1000 -500

1500 -1000



٢٤

2000 -160

2000 >

2000 -1501

2000≥

2000 -1500

2500 -2000

.نظر خود را بنویسید,این طرح ها رو مورد نقد وبررسی قرار داده

:این مشاهدات نشان دهنده میزان کیلومتر طی شده به ازای هر گالن بنزین برای یک ماشین خاص است -116

38 19 30 43 21

35 26 26 25 24

37 21 43 23 23

37 25 25 36 24

24 39 37 38 39

24 31 25 49 45

23 26 24 31

25 19 22 37

24 37 43 28

.آن را تحلیل نمایید,نمودار شاخه وبرگ را رسم کرده ) الف

.نمودار جعبه ای را رسم کرده آن را تحلیل نمایید) ب

.نمودار بافت نگار را تهیه وآنرا با نمودار شاخه وبرگ مقایسه کنید) ج



٢٥

. وزارتخانه اندازه گیری کرده است کمک آن سبکهای رهبری را در یک شنامه ای تهیه کرده وبه سپر,محققی -117

.این جدول نشان دهنده ی تعداد مدیرانی است که از یک سبک خاص پیروی می کنند

تفویضی مشارکتی تشویقی دستوریS4 s3 s2 s1

سبک

)نفر( فراوانی 1000 1500 1500 1000

.به کار بگیریدنمودار مناسب را برای نمایش داده ها ی جدول

:مقادیر بر حسب دقیقه به دست آمده است. این مشاهدات نشان دهنده زمان انتظار زنان برای تلفن زدن است -118

0 0 0 15 13 8 0 0

12 4 27 0 20 0 16 18

0 15 0 25 0 16 10 5

9 18 22 15 4 23 8 9

11 0 6 0 15 5 21 18

22 10 0 20 0 14 14 18

16 9 12 8 0 0 19 8

14 14 23 0 13

.نمودار شاخه وبرگ این داد ه ها را تهیه کنید و انرا تحلیل نمایید)الف



٢٦

.مقایسه کنید,نمودار جعبه ای زمان انتظار مردان وزنان را تهیه کرده )ب

: روز به این شرح به دست امده است100 اصفهان در تعداد تصادفات منجر به فوت در دو شهر تهران و -119

6 5 4 3 2 1 0

تعداد تصادفات

تهران فراوانی شهر 25 15 12 13 15 15 5

هراصفهانشفراوانی 20 25 15 14 16 8 2

.تحلیل نمایید,نمودار جعبه ای دو شهر را با هم دیگر مقایسه کرده

:درصد ظرفیت اشغال شده انبار بر حسب گروههای کاال در این جدول امده است -120

A B C D E F گروه کاال

درصد 35/0 25/0 20/0 10/0 08/0 02/0

.نمودار پاره تو را تهیه کنید)الف

.با نمودار پاره تو مقایسه کنید,نمودار میله ای و دایره ای را تهیه کرده )ب

پاسخنامه

غ)94 ص )93 ص )92 غ ) 91 غ )90

ص) 99 ص ) 98 ص )97 ص )96 غ )95



٢٧

ب)104 د )103 الف )102 الف )101 د )100

د)109 ب )108 ب ) 107 ج )106 د )105

: میله آهنی برحسب سانتی متر مطابق این جدول توزیع شده است50اندازه طول -121

حدود طبقات فراوانی1 4 7 15 11 10 2

45/2 -35/2 55/2 -45/2 65/2-55/2 75/2 -65/2 85/2 -75/2 95/2 -85/2 05/3 -95/2

50=N

.پارامترهای مرکزی را محاسبه کنید)الف

.پارامترهای پراکنده را محاسبه نمایید)ب

:این جدول نشان دهنده ی میانگین وواریانس سه جامعه است -122

180 120 100 Ni

8 7 5 iµ

10 16 14 2iσ

.میانگین کل را محاسبه نمایید)الف



٢٨

.واریانس کل را محاسبه نمایید)ب

.پارامترهای مرکزی و پراکندگی مناسب را محاسبه نمایید:این جدول توزیع فراوانی را در نظر بگیرید -123

فراوانی حدود طبقات

15 120-100

30 140-120

25 160-140

40 180-160

50 200-180

40 200 ≥

ند امتیازات را بر روی منحنی نرمال برده ادر یک سیستم پرداخت دستمزد -124

ا میانگین و انحراف معیار امتیازات کارکنان را محاسبه وسپس طبق این جدول عمل کردند برای این کار ابتد

امتیاز اندارد دامنه است

x σ2+x µ ≥ x عالی

xσ2+xµ<x ≤xσ+xµ خوب

xσ+xµ<x≤xµ متوسط

σx≤ X <µ x-xµ بد

σx-xµ<x بسیاربد



٢٩

نفری هر یک از این امتیازات تقریبا به چند کارمند تعلق خواهد گرفت؟1000در این سازمان

.اهمیت خواص جبری میانگین و واریانس را بیان نمایید -125

. از کشیدگی وپارامترهای تعیین انحراف از قرینگی را بنویسیدتفاوت پارامتر های تعیین انحراف -126

.ضریب کشیدگی گشتاور وضریب چولگی پیرسون را تعریف کنید -127

.نفر از کارکنان دانشگاه را نشان می دهد200این جدول توزیع ساعت اضافه کاری سالیانه -128

فراوانی حدودطبقات

20 100 - 50

30 150-100

40 200-150

50 250-200

25 300-250

35 350-300

N=200

. را محاسبه وتحلیل کنید2و1ضریب چولگی پیرسون شماره ی )الف

.گی گشتاوری را محاسبه وتحلیل کنیدضریب کشید)ب

:مشاهدات مربوط به سروصدای ترافیک برحسب دسی بل به این صورت بدست آمده است -129

9/67 7/65 8/62 1/63 0/61 2/60 4/59 7/56 9/55 0/52



٣٠

2/68 2/66 0/64 6/62 4/61 3/60 3/59 8/56 9/55 4/54

9/68 8/66 6/64 7/62 7/61 5/60 5/59 2/57 2/56 5/54

4/69 0/67 8/64 1/63 8/61 6/60 8/59 6/57 4/56 7/55

1/77 1/67 9/64 6/63 0/62 8/60 0/60 9/58 4/56 8/55

مشاهدات را طبقه بندی کنید )الف

.پارامترهای مرکزی را محاسبه نمایید)ب

.پارامترهای پراکندگی را محاسبه کنید)ج

. به سواالت زیر پاسخ دهید129با توجه به مساله ی -130

.قضیه ی چی بی شف را به کمک مشاهدات بررسی کنید)الف

.پارامترهای کشیدگی را محاسبه کنید)ب

. گشتاوری را محاسبه نماییدضریب چولگی)ج

سواالت دو گزینه ای

. واقعی هستند) پارامترهای ( پارامترهای مرکزی داده های طبقه بندی شده همان مقادیر -131

غ ص

ــدار وار -132 ــشه مق ــت همی ــستقیم اس ــه روش غیرم ــانس ب ــدار واری ــا مق ــساوی ب ــستقیم م ــا روش م ــانس ب . ی

غ ص



٣١

غ ص . توسط طبقات انتخاب می شود میانگین اختیاری لزوما از ستون م-133

غ ص . درصد است 75 مساوی با x σ2 ± xµداده ها در دامنه پراکندگی -134

. تــــوزیع نرمال ، تــــوزیعی است که میـــانگین ، میانه و مد آن با هم مساوی باشد -135

غ ص

غ ص. میانگین حسابی هم یک گشتاور است -136

غ ص. ضریب چولگی ، نشان دهنده نوع تمایل داده هاست -137

غ ص . وبتر از ضریب چولگی مثبت است ضریب چولگی منفی همیشه مطل-138

غ ص . ی گیرد ه لزوما با حدود واقعی طبقات انجام م محاسبه میان-139

. پارامترهای تعیین انحراف از کشیدگی ، مقدار پراکندگی توزیع آماری را با توزیع نرمـال مقایـسه مـی کننـد -140

غ ص

گزینه ای سواالت چهار

میانه این جدول کدام است ؟ -141

10- 8 8- 6 6- 4 4- 2 C-L

10 5 10 5 Fi

6) ج4) الف



٣٢

7) د5) ب

چارک اول این داده ها کدام است ؟ -142

139-130 129-120 119-110 C-L

70 20 10 Fi

127) ج129) الف

132 /70) د130) ب

مد این جدول کدام است ؟ -143

3 2 1 0 1- 2- xi

30 15 15 10 20 10 Fi

5/2) ج0) الف

2) د 3) ب

کدام است ؟ 13 میانه جدول سوال -144

1) ج2/1) الف

5/1) د0) ب

باشد ؛ نیم دامنه کدام است ؟ Q3= 180 و Q1 ،140 =Md= 100 فرض کنید -145

60) ج 40) الف

80) د30) ب



٣٣

باشد ؛ ضریب چولگی پیرسون کدام است ؟ 144 و واریانس xµ ، 6/43 =oM=37 فرض کنید -146

045/0) ج95/0) الف

-045/0) د-55/0) ب

باشد ؛ ضریب چولگی کدام است ؟ 90 و صدک نودم 10، دهک اول 50 فرض کنید میانه -147

5/2) ج0) الف

2) د3) ب

میانه این جدول کدام است ؟ -148

50-40 40-30 30-20 20-10 C-L

40/0 30/0 20/0 10/0 Fi

0/39) ج7/34) الف

67/36) د2/40) ب

کدام است ؟ 18 مد جدول سوال -149

42) ج40) الف

45) د39) ب

باشد ؛ ضریب چولگی کدام است ؟ Q3= 55/271 و Q1 ،246 =Md= 55/223 فرض کنید -150

065/0) ج60/0) الف



٣٤

089/0) د551/0) ب

کشیدگی گشتاوری و صدکی توزیع نرمال کدام است ؟ -151

263/0 و263/0) ج263/0 و3) الف

3 و 263/0) د3 و 3) ب

در یک توزیع متمایل به چپ ، کدام یک از این گزینه ها صحیح است ؟ -152

xµ < Md < Mo) جMd < Mo xµ > ) الف

Md < Mo < xµ) دMo <xµ < Md) ب

با توجه به این اطالعات میانگین کل کدام است ؟ -153

150 50 100 Ni

30 50 20 iµ

50) ج100) الف

33/33) د30)ب

واریانس کل داده های این جدول کدام است ؟ -154

700 200 100 Ni

100 90 80 iµ

2500 2500 1600 i 2σ



٣٥

2410) ج2200) الف

3/2233) د2454) ب

است و توزیع جامعه از چولگی معقولی برخـوردار اسـت؛ 50 و 30 میانگین و میانه یک جامعه آماری به ترتیب -155

مد کدام است ؟

25) ج 90) الف

مد ندارد) د40) ب

باشد ، کدام عبارت درباره پراکندگی این جامعه صادق است؟ -71/0 اگر ضریب توزیعی -156

. پراکندگی جامعه نسبت به توزیع نرمال بیشتر و تفاوت آن فاحش است ) الف

. ر و تفاوت آن فاحش است پراکندگی جامعه نسبت به توزیع نرمال کمت) ب

.پراکندگی جامعه نسبت به توزیع نرمال بیشتر و تفاوت آن اندک است ) ج

.پراکندگی جامعه نسبت به توزیع نرمال کمتر و تفاوت آن اندک است ) د

N ، 3250 =i=50 اگر -157 2x∑ ، 7 =xµ 3= 96 و)xµ - i (x∑ باشد ؛ ضریب چولگی جامعه کدام است ؟

درصد 96/1) رصد ج د3) الف

درصد 3/2) درصد د6) ب

باشد ؛ ضریب کشیدگی کدام است ؟ 4 و انحراف معیار جامعه برابر ∑xµ - i (x(4= 7680 ، و N=10 اگر -158



٣٦

4) ج 1) الف

0) د3) ب

و مجموع فراوانیهای ماقبـل 10 و فراوانی طبقه میانه دار I=5اگر . است 5/32 مشاهده 40 میانه توزیع آماری -159

باشد ، حدود کرانه طبقه میانه دار کدام است ؟ 14طبقه میانه دار

40-30) ج 5/34 -5/29) الف

39-35) د39-29) ب

باشد ، کدام عبارت درباره جامعه مورد مطالعه صحیح است ؟ -66/0 اگر ضریب چولگی توزیع آماری -160

. نرمال است ) الف

. با جامعه نرمال تفاوت فاحش دارد ) ب

. صری دارد با جامعه نرمال تفاوت مخت) ج

. با اطالعات داده شده نمی توان قضاوت کرد ) د

مسائل

هـدف مـدیریت . مدیریت یک سازمان برنامه ای را برای مشارکت کارکنان در تصمیم گیریها فراهم کرده است -161

اد شـکایت پس از اجرای ایـن برنامـه ، مـدیر عمـومی تعـد . بهبود کیفیت زندگی کاری با استفاده از این برنامه است

: نتایج حاصل عبارتند از . ماه ثبت کرده است 24رسیده از کارکنان را طی

3 14 10 30 35 17



٣٧

7 6 8 14 28 21 18 35 11 19 57 45 14 12 23 17 61 32

. توزیع فراوانی را تهیه کرده ، نمودار بافت نگار را رسم کنید ) الف

زندگی کاری موفقیت امیز بـوده اسـت ؛ پارامترهـای مناسـب را محاسـبه آیا می توان گفت برنامه بهبود کیفیت ) ب

. نمایید

.درصدهای توزیع نرمال را در این مثال بررسی کنید ) ج

فاصله گاراژها بر حسب کیلومتر به این شرح اسـت . گاراژ وجود دارد 200 کیلومتر ، 100 در جاده ای به طول -162

:

صله از ابتدای جاده تا گاراژاف 7 26 28 37 40 46 60 78 86 92

تعداد گاراژ 10 15 5 20 5 25 15 30 10 65

: برای احداث پمپ بنزین در این جاده این طرحها وجود دارد

. احداث شود ) کیلومتری 50( پمپ بنزین در وسط جاده . 1طرح

. پمپ بنزین در محل میانگین فاصله گاراژها احداث شود . 2طرح

. بنزین در محل میانه فاصله گاراژها احداث شود پمپ. 3طرح

حاصل جمع قدر مطلق انحرافات را برای هر یک از طرحها محاسبه کرده ، بنویسید که ضمن مقایـسه بـه چـه نکتـه

. مفیدی می رسید



٣٨

: این جدول طبقه بندی را در نظر بگیرید -163

60< x

≤50

50< x

≤40

40< x

≤30

30< x

≤20

20< x

≤10

10< x ≤0 0< x

≤10-

C-L

2 4 9 16 12 8 3 Fi

. میانگین ، میانه و مد را محاسبه کنید ) الف

. واریانس را با استفاده از روش مستقیم و غیر مستقیم محاسبه کرده ، مقایسه کنید ) ب

. نمودارهای مناسب را برای توصیف داده ها به کار گیرید ) ج

: است 1374 این جدول طبقه بندی نشان دهنده مبالغ بیمه اخذ شده از تعدادی شرکت در خرداد ماه -164

.جدول توزیع فراوانی نسبی بسازید) الف

. نگار و نمودار تجمعی را ترسیم کنیدنمودار بافت ) ب

نتایج حاصل از پارامترهای تعیـین انحـراف از قرینگـی را بـا ) ج

. تحلیل نمودار بافت نگار مقایسه کنید

. ضریب کشیدگی چندکی را محاسبه کرده ، تحلیل نمایید ) د

خانوار در روستای 100 این جدول نشان دهنده جمعیت -165

: هفت چشمه است

)ل ریا10به ( مبالغ بیمه فراوانی

1 1150-1000

3 1300-1150

6 1450-1300

4 1600-1450

8 1750-1600

9 1900-1750

3 2050-1900

2 2200-2050



٣٩

جمعیت خانواده ها 1 2 3 4 5 6 7

تعداد خانواده ها 10 12 13 20 25 15 5

. نمودار مناسب را برای توصیف توزیع به کار ببرید ) الف

. میانگین ، مد و میانه را محاسبه کنید ) ب

. انحراف متوسط از میانگین و واریانس را محاسبه کنید ) ج

رپرست خانواده ها را شمارش نکرده است ؛ محاسبه کنید تاثیر این اشـتباه فرض کنید مامور سرشماری اشتباها س ) د

. بر میانگین و پراکندگی جمعیت چیست

مدت زمانی که بازدید کنندگان یک غرفه کتاب صرف کرده اند بـه -166

: طبقه بندی شده است این شرح

. نمودار مناسب برای توصیف داده ها را به کار بگیرید ) الف

کدام یک از پارامترهای مرکزی یا پراکندگی را برای توصیف مناسـب ) ب

. می دانید ؟ محاسبه کنید

. کدام یک از پارامترهای چولگی را مناسب می دانید ؟ محاسبه کنید ) ج

های کشیدگی را مناسب می دانید ؟ محاسبه کنید کدام یک از پارامتر ) د

.

C-L فراوانی

30 2<

40 3-2

40 5-4

90 7-6

70 9-8

50 11-10

50 13-12

30 15-14



٤٠

: این داده ها نشان دهنده سن افراد مراجعه کننده به یک درمانگاه ویژه در یک روز بخصوص است -167

40 43 66 75 85

67 56 56 80 88

75 53 65 83 89

48 44 52 83 87

. بسازید .... و 59-50 ، 49-40یک توزیع فراوانی با طبقات ) الف

. میانگین و واریانس توزیع فراوانی را محاسبه نمایید ) ب

. میانگین و واریانس داده های طبقه بندی نشده را محاسبه کنید ) ج

. نتایج بند ب و ج را با یکدیگر مقایسه و تحلیل نمایید ) د

به این شرح به دست آمده 1374اه شرکت در بازار بورس و اوراق بهادار تهران طی فروردین م 60 قیمت سهام -168

) : ریال است 10داده ها بر حسب ( است

داده هـــا را ) الــف

. طبقه بندی کنید

ــای ) ب پارامترهـــ

مرکزی را محاسـبه

. کنید

. پارامترهای پراکندگی را محاسبه نمایید ) ج

1000 1245 1900 1875 2012 2200 1975 2100 1200 800

1200 1375 1650 1450 2010 2080 867 950 1100 750

2100 1485 1370 1320 1975 800 950 960 1090 900

2050 1500 1580 1210 1600 967 955 2020 1110 950

1800 1650 1780 1225 1650 910 985 2010 950 920

1920 1590 1850 1785 1400 1012 2100 2011 870 1000



٤١

. ر پاسخ دهید به سواالت زی168 با توجه به سوال -169

. ضریب چولگی گشتاوری را محاسبه و با ضرایب چولگی چندکی مقایسه کنید ) الف

. ضریب کشیدگی گشتاوری و چندکی را محاسبه و تحلیل نمایید ) ب

. صحت درصدهای توزیع نرمال را بررسی کنید ) ج

داده ها بر حسب کیلومتر اسـت ( تایر است این داده ها مربوط به عمر الستیکهای تولید شده در کارخانه ایران -170

: (

نمودار بافـت ) الف

نگار را تهیه نماییـد

.

ــودار ) ب ــک نمـ یـ

شاخه و برگ تهیـه

. کنید به طوری که شاخه ها از صفر شروع شود

. مقایسه کنید پارامترهای مرکزی را با استفاده از نمودارهای بند الف و ب محاسبه و) ج

آیا درصدهای قضیه چی بی شف در این مثال مصداق دارد ؟ چرا ؟ ) د

: این جدول طبقه بندی میزان پرداخت ماهیانه به مدیران را در بخش عمومی و خصوصی نشان می دهد -171

900 800 2100 1740 1400 910 1050 970 850 1000

950 870 2050 1780 1550 1000 1115 2100 1750 1100

960 810 2120 1570 1450 1010 1200 2200 1900 1050

940 820 1750 1600 1480 1750 1700 875 1920 2000

910 880 1800 1800 1600 1890 1800 978 1400 2100

990 890 2070 1470 1660 1900 1850 1000 900 2150



٤٢

نمـــودار چنـــد ) الـــف

. ضلعی دو جامعه را ترسیم و با یکدیگر مقایسه نمایید؛ بنویسید چه نتایجی حاصل می شود

. جامعه را با یکدیگر مقایسه و تحلیل نمایید ضریب چولگی گشتاوری دو) ب

. ضریب کشیدگی دو جامعه را محاسبه و تحلیل نمایید ) ج

پاسخنامه سواالت

غ) 134 غ) 133 ص) 132 غ) 131

غ) 138 ص) 137 ص ) 136 ص) 135

ج) 142 ج ) 141 ص) 140 ص ) 139

) هزار ریال 10به ( درآمد فراوانی بخش عمومی فراوانی بخش خصوصی

10 30 60-50

8 34 70-60

12 37 80-70

15 50 90-80

30 40 100-90

45 45 110-100

50 30 120-110

60 20 130-120

40 10 140-130

30 4 150-140



٤٣

ب) 146 د) 145 ج) 144 ب) 143

ج) 150 ج) 149 د) 148 ج) 147

ب) 154 ب) 153 ج ) 152 الف ) 151

د) 158 الف) 157 الف ) 156 الف) 155

ب) 160 الف) 159

تمرین

. فضای نمونه پرتاب همزمان سه سکه را مشخص کنید -172

. فضای نمونه پرتاب همزمان یک سکه و یک تاس را مشخص کنید -173

: 2 در تمرین -174

. هستند آیا پیامدهای مقدماتی هم شانس ) الف

آیا فضای نمونه نامحدود است ؟ ) ب

: در پرتاب یک تاس ، این پیشامدها را تعیین کنید -175

) . A( ظاهر شود 3پیشامدها انکه عدد بزرگتر از ) الف

) . B( قابل قسمت باشد 3پیشامدها آنکه عدد ظاهر شده بر ) ب

. )C(پیشامد آنکه عدد ظاهر شده فرد یا عدد اول باشد ) ج

. به سواالت زیر پاسخ دهید 175 با توجه به سوال -176



٤٤

)D( باشد 7پیشامد آنکه عدد ظاهر شده مضربی از ) د

) . E( باشد 5پیشامد آنکه عدد ظاهر دشه هم زوج و هم کوچکتر از ) هـ

: سکه ای را سه بار پرتاب می کنیم و تعداد شیرهای ظاهر شده را مالحظه می کنیم -177

فضای نمونه این آزمایش را بنویسید ؛)الف

آیا هر یک از پیامدهای مقدماتی فوق دارای شانس مساوی هستند ؟ ) ب

احتمـال اینکـه « به طور تصادفی از یک یاز چندین متصدی ماشین فرز در یک کارخانه سوال مـی شـود کـه -178

30بـه نظـر مـن « : ی خود جواب می دهـد و او بر اساس تجربیات قبل » ماشین فرز امروز خراب شود چقدر است ؟

این احتمال عینی است یا ذهنی ؟ چرا ؟ . » درصد

. باشد S تابع احتمال روی P را در نظر بگیرید و فرض کنید e1, e2, e3, e4 = ( S( فضای نمونه -179

. را پیدا کنید e1(P( باشد ، P)e4= (9/1 و P)e2(P ، 6/1) =e3= (3/1اگر ) الف

. را پیدا کنید e2(P( و P)e1( باشد P)e4(P) = e3= (4/1 و P)e2(P 2) =e1(اگر) ب

. را پیدا کنید e1(P( باشد ، P)e2= (3/1 و P){e2,e4}= (P ، 2/1){e2,e3}= (3/2اگر ) ج

6د مثال احتمال آمدن عد ( تاسی سالم بوده به نحوی که احتمال آمدن هر شماره ای با عدد آن متناسب است -180

. است C= }عدد فرد{، B=}عدد اول{ ، A= }عدد زوج{فرض کنید که ) . است3دو برابر عدد

. احتمال آمدن هر عدد را مشخص کنید ) الف

. را پیدا کنید A(P ، )B(P ، )C(P) (ب



٤٥

رادیـو، (اتی وسـیله تبلیغـ 4 متن تهیه شـده را بـایکی از 5 اگر دایره بازاریابی و فروش شرکتی بخواهد یکی از -181

آگهی کند ، این کار به چند طریق میسر است ؟ ) تلویزیون ، مجله ، روزنامه

رقمـی 6 حرف فارسی و یک شـماره 2 اگر شرکت بیمه ای بخواهد برای بیمه شدگان کدی انتخاب کند که از -182

تشکیل شده باشد ، به چند بیمه شده می تواند کد بدهد ؟

هزار کوچکتر باشد ؛ با این قید به چند نفر می توان کـد 250ید که شماره کد نباید از ، فرض کن 2 در تمرین -183

داد ؟

مهره است ، بیرون آورد ؟ 6 مهره را از ظرفی که حاوی 2 به چند طریق می توان -184

با جایگذاری ) الف

بدون جایگذاری ) ب

کنار هم قرار داد ؟ کتاب مختلف را در قفسه ای در6 به چند طریق می توان -185

. را پیدا کرده ، بنویسید e و a ، b ، c ، d حرف 5 حرفی از 3 تعداد جایگشتهای -186

شمع به رنگهای مختلف را در اطراف یک سینی گرد قرار داد ؟ 5 به چند طریق مختلف می توان -187

حرفی مختلف می توان نوشت ؟ 5چند کلمه » دینار « با حروف کلمه -188

حرفی می توان نوشت ؟ 10چند کلمه » ابوعلی سینا « با حروف اسم -189

عدد آنها را انتخاب کرد ؟ 2 مارک تجاری مختلف 6 به چند طریق می توان از بین -190

عدد آنها را انتخاب کرد ؟ 2 مارک تجاری مختلف دست کم 6 به چند طریق می توان از بین -191



٤٦

کاال انتخاب کـرد بـه 4 عدد آنها معیوب است به چند طریق می توان 3 در یک کارتن کاالی موجود 9 از بین -192

تای آنها معیوب باشد ؟2 تای آنها سالم و 2طوری که

نفره وی ک اتاق یک نفره جای داد ؟ 2 نفره ، دو اتاق 4 نفر را در یک اتاق 9 به چند طریق می توان -193

. دلیل این اشتباه را توضیح دهید . هی وجود دارد در هر یک ا زاین عبارات اشتبا-194

. است 90/0 و احتمال آنکه در محل کار خود حاضر شود 04/0احتمال آنکه کارمندی غیبت کند ) الف

و احتمال آنکـه هـم 65/0 ، احتمال آنکه پرداخت شود 20/0احتمال آنکه حساب مشکوک الوصولی سوخت شود ) ب

. است 08/0سوخت و هم پرداخت شود

، 4/1 تیر یا بیشتر به هدف بخورد به ترتیب برابر اسـت بـا 5، 4، 3، 2، 1، 0 تیر شلیک شده 8احتمال آنکه از بین ) ج

16/3 ،32/5 ،

64/7 ،128/23.

( و P)A(P ، )B( در نظر بگیریـد و P)A∩B= ( 4/1 و P)A∪B(P ، 2/1)=Ac= ( 2/1 را با B و A دو پیشامد -195

A∩Bc(P کنید را پیدا .

: باشد ، احتماالت زیر را پیدا کنید A∩Bc(P( = 13/0 و P)A(P ، 32/0 =)B(=45/0 با فرض اینکه -196

Ac∩B(P( ) ج A∪B[(P( c[) بA∪B(P( ) الف

. به سواالت زیر پاسخ دهید 196 با توجه به سوال -197

Ac∩Bc(P( ) وAc∪Bc(P( ) هـ Ac∪B(P( ) د



٤٧

دو برابـر احتمـال Aاگر احتمال انتخـاب شـدن فـرد . چهار نفر داوطلب پست معاونت اداری سازمانی هستند -198

شدن داشته باشند و احتمال انتخاب شدن فرد تقریبا شانس برابری برای انتخاب C و B باشد و Bانتخاب شدن فرد

C دو برابر فرد D باشد ، احتماالت زیر را پیدا کنید :

. انتخاب شود Cاحتال اینکه فرد ) الف

. انتخاب نشود Aاحتمال اینکه فرد ) ب

. انتخاب شود C یا B یا Aاحتمال اینکه فرد ) ج

دانشجویان آن دانشگاه خارج از خوابگاه دانـشجویی زنـدگی 3/1. شده است دانشگاهی در یکی از استانها واقع -199

دانشجویان یا اهل آن استان نیستند یا در خوابگاه دانشجویی زنـدگی 4/3 دانشجویان اهل آن استانند و 9/5. می کنند

آن استان نباشـد و در احتمال اینکه دانشجویی که به صورت تصادفی از این دانشگاه انتخاب می شود اهل . می کنند

خوابگاه زندگی کند چقدر است ؟

هر پمپ بنزینـی در معـرض دو نـوع نقـص . بازرسی قصد دارد قابلیت اطمینان دو پمپ بنزین را مقایسه کند -200

روی دهـد ، پمـپ بنـزین ) بـا هـر دو ( هنگامی که یکی از این دو نقـص . قرار دارد ؛ نقص فنی پمپ و نشت بنزین

:داده های زیر وضعیت دو پمپ بنزین را به این صورت نشان می دهد . شود تعطیل می

احتمال هر دو احتمال نشت بنزین احتمال نقص فنی پمپ بنزین

1 07/0 10/0 0

2 09/0 12/0 06/0



٤٨

کدام یک از این دو پمپ بنزین دارای قابلیت اطمینان کمتری هستند ؟

میلیون ریال در سال درآمد داشته باشند ، احتمـال اینکـه دو اتومبیـل 50ز فرض کنید اگر خانواده ای بیش ا -201

درصـد 2/5 میلیون ریـال اسـت و 50 درصد خانواده ها درآمد سالیانه شان بیش از 6. درصد است 5/7داشته باشند

میلیون ریال باشـد 50دو اتومبیل دارند ؛ احتمال اینکه خانواده ای دو اتومبیل داشته و درآمدش نیز در سال بیش از

، چقدر است ؟

( باشد ؛ احتماالت P )B/C = ( 21/5 و P)A(P ، 6/1)=B(P ، 3/1) =C(P ، 7/1 ) =A∩C=(14/3 اگــــــر -202

A/C( P ، )C/A(P ، )B∩C(P، )C/B(P را حساب کنید .

را در نظر بگیرید ؛ P)(B/A =85/0 و P)A(P ، 80/0 =)B(P ، )A(P=)B/A(= 65/0 و B و A دو پیشامد -203

آیا این احتماالت با هم همخوانی دارند ؟ چرا ؟

مطلـوب . B(P(= 2/0 و P)A(= 6/0 پیشـــامدهای مستقــلی باشند به طـوری کـه B و A فـــرض کــنید -204

. A∪Bc(P( است محاسبه

: ی دانشگاه تهران گرفته ایم فرض کنید این اطالعات را اخیرا از آموزش دانشکده زبانهای خارج-205

رشته

دانشجوی سال

زبان انگلیسی

زبان روسی

زبان آلمانی

40 185 200 اول

30 120 180 دوم



٤٩

35 85 120 سوم

20 90 105 چهارم

کنیم ، هر یـک نفر است ، اگر بر حسب تصادف دانشجویی را انتخاب 1210می دانیم تعداد دانشجویان این دانشکده

از این احتماالت چقدر است ؟

. احتمال اینکه دانشجوی زبان روسی نباشد ) الف

. احتمال اینکه دانشجوی زبان آلمانی نباشد ) ب

به سواالت زیر پاسخ دهید 205 با توجه به سوال -206

. احتمال اینکه هم دانشجوی سال دوم و هم زبان روسی باشد ) ج

رشته زبان انگلیسی بودن مستقل از دانشجوی سال اول بودن است ؟ آیا دانشجوی) هـ

یکی از آنها سالم ، یکی دیگر دو شیره و دیگری نیز ناسالم اسـت ؛ بـه طـوری . سکه است 3 جعبه ای محتوی -207

درختی آن نمودار . سکه ای را به طور تصادفی انتخاب و پرتاب می کنیم . است 3/1که احتمال شیرآمدن سکه ناسالم

را رسم کرده ، مشخص نمایید احتمال آنکه شیر ظاهر شود ، چقدر است ؟

دانشجو به طور تصادفی یکی پس از دیگری انتخاب می شـود ؛ 3. دختر شرکت دارند 5 پسر و 10 در کالسی -208

. هر یک از این احتماالت را محاسبه کنید

. دختر باشد احتمال اینکه دو دانشجوی اول پسر و سومی) الف



٥٠

. احتمال اینکه اولی و سومی دختر باشد ) ب

.احتمال اینکه اولی و سومی همجنس و دومی از جنس مخالف باشد ) ج

بـه Xاحتمال وقـوع پیـشامد . 20/0و 45/0، 35/0 به ترتیب برابر است با C و A ،B پیشامد 3 احتمال وقوع -209

: موارد ذیل را پیدا کنید . P(X/C)=65/0 و P(X/A) ، 3/0=P(X/B)=8/0: شرط وقوع هر یک عبارت است از

P (A/X)) الف

P (B/X)) ب

P (C/X)) ج

درصد از بازیهای تیم روی چمن مصنوعی انجام می شـود 40 پزشک یک تیم فوتبال می داند که در زمستان ، -210

. درصد بیشتر از چمن طبیعی اسـت 50او همچنین می داند که خطر مصدوم شدن یک بازیکن در چمن مصنوعی .

: باشد ، هر یک از احتماالت زیر را محاسبه کنید 42/0اگر احتمال مصدوم شدن یک بازیکن در چمن مصنوعی

. احتمال اینکه بازیکنی مصدوم شود ) الف

. اگر بازیکنی مصدوم شده باشد ، احتمال آنکه روی چمن مصنوعی مصدوم شده باشد ) ب

پزشک تیم عالقمند به بررسی رابطه بین مصدوم شدن و نوع بازیکن نیز هـست . قبل را در نظر بگیرید تمرین -211

: سال جمع آوری و در این جدول خالصه کرده است 3اطالعاتش را در طول .

نوع بازیکن

شرح

خط حمله

خط دفاعی

خط میانی

دروازه بان



٥١

8 24 56 45 تعداد بازیکنان

3 11 38 32 دومین تعداد مص

اگر بازیکن مصدومی را بر حسب تصادف انتخاب کنیم ، احتال اینکه وی به ترتیب بازیکن خط حملـه ، خـط دفـاع ،

خط میانی ، یا دروازه بان باشد ، چقدر است ؟

بـه مهره ای را به صورت تصادفی از ظرف خارج می کنـیم و . مهره سفید است 7 مهره قرمز و 5 ظرفی حاوی -212

مهره به رنگ دیگر در داخل ظرف می اندازیم و سپس مهره دومی را از ظرف به صـورت تـصادفی بیـرون 2جای آن

: می آوریم ، هر یک از این احتماالت را محاسبه کنید

. احتمال اینکه هر دو مهره همرنگ باشند ) الف

. ال اینکه هر دو مهره سفید باشند ، در صورتی که بدانیم هر دو همرنگ هستند احتم) ب


. در نظریه احتمال ، به مجموعه پیامدهای ممکن یک آزمایش ، فعالیت می گویند -213

غ ص

. با کسب اطالعات جدید و با استفاده از قضیه بیز می توان احتماالت پیشین را به احتماالت پسین تبدیل کرد -214

غ ص

غ ص . احتمال ذهنی چیزی بیش از حدسی زیرکانه نیست -215



٥٢

در هنگام استفاده از فراوانی نسبی به عنوان احتمال ، هر چه تعداد آزمایشها بیشتر شود احتمال کم اهمیت تر -216

غ ص. می گردد

غ ص . دو پیشامد لزوما یا مستقلند یا ناسازگار-217

غ ص. قضیه بیز ، فرمولی برای تجدید نظر در احتماالت پیشین است -218

. آزمایش است 100 استفاده از فراوانی نسبی به عنوان احتمال نیازمند به حداکثر -219

غ ص

غ ص. دو پیشامد لزوما یا سازگارند یا ناسازگار-220

اگر وقوع یک پیشامد بر احتمال وقوع پیشامد دیگر هیچ تاثیری نداشته باشد ، این دو پیشامد را از نظر آمـاری -221

غ ص. مستقل می گوییم

222- P(A∪B) یعنی احتمال وقوع هم پیشامد A و هم پیشامد B . غ ص

غ ص . P(A)=P(A/B) مستقلند ، اگر B و A دو پیشامد -223

. P(B)×P(A) برابـر اسـت بـا B و هـم A مستقل باشند ، آنگاه احتمـال وقـوع هـم B و A اگر دو پیشامد -224

غ ص

غ ص. تعداد عضوهای فضای نمونه نامحدود ، لزوما نامتناهی نیست -225

غ ص . کوچکتر از یک است ک پیشامد همواره احتمال وقوع ی-226

غ ص . در ترکیب ، نحوه آرایش اشیا مهم است -227



٥٣

غ ص . !( n –1 ) شی برابر است با n تعداد جایگشتهای دوری -228

Pn شی را با nشی از r تعداد ترکیب های -229r غ ص . نشان می دهیم

غ ص . برقرار است P(A∩B)≥ P(A∪B) همواره رابطه -230

غ ص . برقرار است P(A∪B) ≤ P(A) + P(B) همواره رابطه -231

غ ص .است برقرار P(A)+P(Ac)=1 همواره رابطه -232

. به پشامدهایی که نمی توانند همزمان رخ دهند ، پیشامدهای مستقل می گویند -233

غ ص

. است ، این احتمال عینی است 04/0ن برف شما معتقدید فردا احتمال بارید-234

غ ص

. می گوییم A به شرط B ، احتمال شرطی B را با علم به وقوع پیشامد A احتمال -235

غ ص

حال در پرتاب مجدد آن انتظـار داریـم احتمـال شـیرآمدن . سکه ای را قبال پرتاب کرده ایم ، خط آمده است -236

غ ص . باالتر رود

. در احتمال شرطی ، فضای نمونه کل آزمایش به فضای نمونه کوچکتری تقلیل می یابد -237

غ ص



٥٤

د بیشتر از میانگین آن جامعـه بـا شـد احتمال آنکه مقداری که به صورت تصادفی از جامعه ای انتخاب می شو -238

چقدر است ؟

1) ج 25/0) الف

67/0) د 5/0) ب

فرض کنید دو تاس به همراه سکه ای پرتاب می شود و از شما خواسته می شود درخت احتمـال آنهـا را رسـم -239

ید ؛ این درخت چند شاخه خواهد داشت ؟کن

14) ج 38) الف

74) د 72) ب

باشد ، احتمال اجتماع این دو پیـشامد P ( A∩B ) = 2/0 و P (A) = 4/0 دو پیشامد مستقل و B و A اگر -240

چقدر است ؟

8/0) ج 6/0 ) الف

9/0) د 7/0) ب

باشد ، کدام یک از موارد صحیح نیست ؟P(BC) = 5/0 و P(A) = 4/0 دو پیشامد ناسازگار و B و A اگر -241

P ( AC∪B ) = 6/0) ج P ( A∩B ) = 9/0) الف

P(AC∩BC) = 0) د P(AC) = 6/0) ب



٥٥

درصد به وسیله ماشـین شـماره دو تولیـد 40 درصد محصوالت کارخانه ای به وسیله ماشین شماره یک و 60 -242

ک کـاال از اگـر یـ . محـصوالت ماشـین شـماره دو معیوبنـد 01/0 محصوالت ماشین شماره یـک و 20/0. می شوند

محصوالت کارخانه انتخاب شود ، احتمال سالم بودن آن چقدر است ؟

996/0) ج 016/0) الف

984/0) د 012/0) ب

نکه به وسیله ماشین شماره دو تولیـد شـده ، اگر بدانیم کاالی انتخابی معیوب است ، احتمال ای 242 در سوال -243

باشد چقدر است ؟

70/0) ج 20/0) الف

45/0) د 25/0) ب

را انتخـاب و بازسـازی مامور کنترل کیفی کارخانه ای از بین دو انبار به طور تصادفی یک انبار و سپس کاالیی -244

واحـد 100 واحد آن ها معیوب است و انبار شماره دو دارای 3 واحد کاالست که 30انبار شماره یک دارای . می کند

احتمال معیوب بودن کاالی انتخابی چقدر است ؟. واحد آنها معیوب است10کاالست که

70/0) ج 20/0) الف

0025/0) د 25/0) ب



٥٦

است ، اگر اجزا به صورت سری قرار 20/0 سیستمی داری دو جزء است که احتمال کار نکردن هر کدام از آنها -245

گرفته باشند و مستقل از هم کار کنند ، احتمال کار کردن سیستم چقدر است ؟

40/0) ج 96/0) الف

64/0) د 04/0) ب

اگر اجزا به صورت موازی قرار گرفته باشند ، احتمال کار کـردن سیـستم چقـدر . را در نظر بگیرید 245 سوال -246

است ؟

40/0 ) ج 96/0) الف

64/0) د 04/0) ب

رقمی ساخت ؟6 ، شماره تلفن 9 به چند طریق می توان با اعداد صفر تا -247

40/0) ج 106) الف

64/0) د 96) ب

چقدر است ؟P(A∪B) باشد ، P(A/B)= 3/1 و P(A) ، 5/1 =P(B)= 3/1 اگر-248

15/6) ج 15/8) الف

15/9) د 15/7) ب



٥٧

فرزنـد دارد ، دو 3واده ای کـه احتمال اینکه خان . فرض کنید احتمال داشتن فرزند پسر و دختر مساوی باشد -249

پسر داشته باشد ، چقدر است ؟

8/1) ج 8/2) الف

8/4) د 8/3) ب

در سوال پیش ، احتمال اینکه حداقل یک فرزند پسر داشته باشد ، چقدر است ؟-250

8/7) ج 8/5) الف

1) د 8/6) ب

کتاب ریاضی را در یک قفسه قرار داد ؟2 کتاب آمار و 3 به چند طریق می توان -251

24) ج 120) الف

96) د 12) ب

کتـاب را 5 در سوال پیش ، اگر قرار باشد کتابهای آمار پهلوی هم قرار گیرند ، به چند طریـق مـی تـوان ایـن -252

کنار هم قرار داد ؟

36) ج 12) الف

48) د 24) ب



٥٨

، اگر قرار باشد کتاب های آمار پهلوی هم و کتاب های ریاضی نیز پهلوی هم قـرار گیرنـد ، بـه 252 در سوال -253

چند طریق می توان آنها را کنار هم قرار داد ؟

36) ج 12) الف

48) د 24) ب

کتاب را به عنوان کتاب سال برگزید ؟3 کتاب ، 12 به چند طریق می توان از -254

1320) ج 36) الف

220) د 72) ب

تـاب ک2ستند ، یـک کتـاب آمـار و تای آن آمار و بقیـه ریاضـی هـ 5 کتاب که 12 به چند طریق می توان از -255

رگزید ؟ریاضی را به عنوان کتاب سال ب

110) ج 220) الف

105) د 205) ب

ر تـصادفی انتخـاب شـود ، دانشجو بـه طـو 3اگر . دانشجوی پسر وجود دارد 10 دانشجو دختر و 5 در کالسی -256

احتمال اینکه هر سه پسر باشند ، چقدر است ؟

8/3) ج 27/8) الف

16/5) د 91/24) ب



٥٩

پرچم مختلف را برافراشت ؟10 به چند طریق می توان دور یک میدان ، -257

10!-1) ج 10) !الف

9 !-1) د 9) !ب

سوال جواب دهد ، به چند طریـق 12 سوال بعد به 15 سوال ، و از 3 سال اول به 5 دانشجویی موظف است از -258

می توان به سواالت جواب دهد ؟

4550) ج 5054) الف

5450) د 5540) ب

مهره ای ار به طور تصادفی از ظرف خـارج مـی کنـیم ، اگـر . مهره سفید است 7 مهره قرمز و 5 ظرفی حاوی -259

مهره سـفید دیگـر بـه داخـل ظـرف مـی 2 همراه آن قرمز بود به همراه آن یک مهره قرمز دیگر ، و اگر سفید بود به

احتمال آنکه مهره دوم قرمز باشد چقدر است ؟ . اندازیم و سپس مهره دوم را بر حسب تصادف خارج می کنیم

37 ) ج 125) الف 312 161

7 ) د 5 )ب 24 32

در سوال پیش ، اگر بدانیم مهره خارج شده در بار اول سفید بوده است ، احتمال آنکـه مهـره دوم قرمـز باشـد -260

چقدر است ؟

12/9) ج 14/9) الف



٦٠

14/5) د 12/5) ب

مهره چقدر است ؟ 2، احتمال همرنگ نبودن 260 در سوال -261

125 ) ج 45) الف 104 161

187 ) د 59 )ب

24 32

اسـباب 3 بچه تقسیم کرد به شرط آنکه بـه کـوچکترین بچـه 4 اسباب بازی را بین 9 به چند طریق می توان -262

اسباب بازی برسد ؟2 هر کدام از بچه های دیگر بازی و به

5670 ) ج 7560) الف

7650 ) د 5760) ب

مسائل

ـ 2 داوطلـب بـرای پـست مـدیریت اداری ، و 5 داوطلب برای پست مدیریت مـالی ، 4 -263 رای ریاسـت داوطلـب ب

. سازمانی وجود دارند

بدهد ؟ ) برای هر پست یک نفر ( یک رای دهنده به چند طریق می تواند رای خود را به این سه نفر ) الف

یک رای دهنده به چند طریق می تواند رای دهد ، هر گاه از حق رای ندادن خود به هر یک از ایـن داوطلـب هـا ) ب

استفاده کند ؟

ساخت ؟ » برنامه ریزی « شت مختلف می توان با کلمه چند جایگ-264



٦١

غذای ماهی و یـک غـذای میگـو 4 غذای مرغ ، 3 نفر شام را با هم صرف کنند ، به چند طریق می توان 8 اگر -265

سفارش دهند ؟

دلیـل بـه . کلیدی است که معمـوال در جیـب خـود داریـد 6 دو قفل بر در وجود دارد و کلیدهای آنها در بین -266

شتابزدگی یکی از آنها را گم کرده اید ، احتمال اینکه هنوز هم بتوانید در را باز کنید چقدر است ؟

: احتمال اینکه . بار پرتاب می کنیم 3 تاسی را -267

هر بار عدد بزرگتری نسبت به بار پیش بیاید چقدر است ؟ ) الف

ست ؟ هر بار یک واحد به شماره تاس اضافه شود چقدر ا) ب

نفـر از کنـار هـم 5 نفـر از 2 نفر می توانند برای سوار شدن به اتوبـوس صـف ببندنـد ؟ اگـر 5 به چند طریق -268

ایستادن ابا کنند ، به چند طریق صف بندی میسر است ؟

بعالوه فرض . فرض کنید عالقه مند به تکمیل پروژه ای هستیم که ممکن است به علت اعتصاب به تاخیر افتد -269

و احتمـال 85/0 ، احتمال اینکه اگر اعتصابی نباشد کار بموقع انجام شود 60/0کنید احتمال اینکه اعتصابی رخ دهد

احتماال ینکه کار بموقع انجام شود چقدر است ؟ . باشد 35/0اینکه اگر اعتصابی باشد کار بموقع انجام شود

شرکت سهام خود را عرضه کرده انـد ، افـزایش 10ن درصد سهام صنعتی خاص ، که درآ 80 در طول یک ماه -270

اگر سهامداری سهام دو شرکت را خریده باشد ، احتمال اینکه هر دو افزایش یافته باشد ، چقدر است ؟ . یافته است



٦٢

درصد و احتمال اینکـه هزینـه هـای ایـن شـیوه از 60 احتمال اینکه شیوه جدید بازاریابی موفقیت آمیز باشد -271

احتمـال اینکـه . درصد اسـت 30احتمال تحقق هر دو هدف . درصد است 50بودجه بندی شده ، تجاوز نکند میزان

دست کم به یکی از این اهداف برسیم ، چقدر است ؟

چقدر است ؟ P(A∪B) باشد ، P(Ac) ، 50= %P(B) ، 60 = %P(A/B)% = 70 اگر -272

ر آن اعداد ، احتمالهای از کار افتادن اتـصالهای مختلفـی را کـه از هـم د. این مدار الکتریکی را در نظر بگیرید -273

احتمال اینکه جریان برق برقرار باشد، چقدر است ؟ . مستقلند ، نشان می دهد

در مدار ذیل ، اگر اعداد نشان دهنده احتمال کار کردن هر جز باشد و کارکرد هر جز مستقل از دیگری باشد ، -274

ری جریان در مدار چقدر است ؟ احتمال برقرا

چنانچـه نمـره . شخصی در آزمونی شرکت می کند و یکی از نمرات الف ، ب ، ج ، د و هـ را دریافت می کنـد -275

چنانچه نمره او هـ باشد حق شـرکت مجـدد در . الف بگیرد ، برنده اعالم می شود و دیگر در آزمون شرکت نمی کند

فـرض . این دو حال آنقدر در آزمون شرکت می کند که یکی از دو نمره فوق را دریافت کنـد آزمون را ندارد ؛ در غیر



٦٣

P1 ، P2، P3 ،P4کنید که نتیجه آزمونها مستقل از یکدیگر و احتمال گرفتن نمره های الف ، ب، ج، د و هـ به ترتیـب

احتمال توقف شرکت در آزمون به علت گرفتن نمره الف چقدر است ؟ . باشد P5و

دفتر انتشارات بابت تـاخیر در انجـام دادن کارهـا بایـد . دستگاه چاپ است 3 دفتر انتشارات دانشگاهی دارای -276

. داده های این جدول نشان دهنده سوابق کاری این دستگاههاست . جریمه ای را پرداخت کند

دستگاه چاپ

iشماره

نسبت قراردادهای

iمربوط به دستگاه شماره

ای تاخیرنسبت زمانه

در تحویل بیش از یک ماه

1 20/0 2/0

2 30/0 5/0

3 50/0 3/0

باشـد 2احتمال اینکه تاخیر ناشـی از دسـتگاه شـماره . تکثیر جزوه یک دانشکده بیش از یک ماه تاخیر داشته است

چقدر است ؟

. کارشناس تـشکیالت حـضور دارنـد 4 کارشناس بهبود روشها و 12، در کمیته کارشناسی تشکیالت و روشها -277

. کارشناس به طور تصادفی انتخاب شوند ، هر یک از احتماالت زیر را محاسبه کنید 3اگر

.احتمال اینکه کلیه آنها کارشناس بهبود روشها باشند ) الف

. احتمال اینکه یکی از آنها کارشناس تشکیالت باشد ) ب



٦٤

احتمـال اینکـه در ایـن مـدت . است 2/1 و 5/3 سال آینده به ترتیب 20تمال زنده بودن یک زن و شوهر در اح -278

دست کم یکی از آنها زنده بماند ، چقدر است ؟

با قراردادن ایـن کارتهـا بـه . روی آنها نوشته شده است 6 تا 1 کارت وجود دارد که شماره های 6 فرض کنید -279

شماره ای به کمک آنها ساخته شده اسـت ، هـر یـک از . رقمی ساخته می شود 6 شماره های ترتیب های مختلف ،

: این احتماالت را محاسبه کنید

. احتمال اینکه زوج باشد ) الف

. هزار باشد 300احتمال اینکه بزرگتر از ) ب

. هزار باشد 200 هزار یا کوچکتر از 300احتماال ینکه بزرکتر از ) ج

. قابل قسمت باشد 3ال اینکه بر احتم) د

شیشه گذاشته اسـت و 2 الماس و یک شیشه ، و در ظرف دیگر یک الماس و 2 یک فروشنده الماس در ظرفی -280

روشن است اگـر فرزنـد بـر حـسب . برای اینکه به فرزند خود پاداش دهد به او می گوید یکی از دو ظرف را برگزیند

امـا پـدر بـه فرزنـد خـود مـی گویـد قبـل از . است 2/1 الماس 2ال به دست آوردن تصادف ظرفی را برگزیند ، احتم

ظرف ، قطعه ای را بردارد و ببیند آیا آن قطعه واقعا الماس است یا نـه و سـپس 2برگزیدن ظرف می تواند از یکی از

س بود همـان ظـرف و اگـر فرزند چنین فکر می کند که یک قطعه را از ظرفی برمی دارم ، اگر الما. ظرف را برگزیند

الماس را به دست آورده باشد چقدر است ؟ 2احتمال اینکه فرزند هر . شیشه بود ظرف دیگر را برمی دارم



٦٥

اسـت و احتمـال Pاحتمال قبول شدن او در امتحان اول . امتحان شرکت می کند 4 شخصی پشت سرهم در -281

P/2 و Pه اینکه وی در امتحان قبلی قبول یا رد شود ، به ترتیـب قبول شدن او در هر یک از امتحانات بعدی ، بسته ب

شـانس وی بـرای انیکـه . امتحان قبول شود ، واجد شرایط شناخته می شـود 3در صورتی که وی حداقل در . است

واجد شرایط شناخته شود ، چقدر است ؟

اکن ، نقص در تجهیزات ، بی احتیاطی یا انفجار در یک کارگاه ساختمانی ممکن است در نتیجه الکتریسیته س -282

مهندسان ساختمان که مخاطرات موجود در هر مورد را تحلیل کرده اند ، پی برده اند که چنـین . خرابکاری رخ دهد

40 درصد در نتیجه نقص در تجهیـزات ، 20 درصد در نتیجه الکتریسیته ساکن ، 25انفجاری ممکن است با احتمال

احتمالهای پیشین این چهار علت به ترتیـب . درصد در نتیجه خرابکاری رخ دهد 15حتیاطی و درصد در نتیجه بی ا

: اگر انفجاری صورت گرفته باشد ، هر یک از این احتماالت را محاسبه کنید . بوده اند % 15، % 25، % 40، % 20

. محتملترین علت انفجار ) الف

. احتمال اینکه علت ، بی احتیاطی باشد ) ب


ص)220 ص)219 ص)218 غ) 217 غ) 216 ص)215 ص)214 غ) 213

ص)228 غ) 227 غ) 226 غ) 225 ص)224 ص)223 غ) 222 ص)221

غ) 236 غ) 235 غ) 234 غ) 233 ص)232 ص)231 غ) 230 غ) 229



٦٦

ب) 244 د) 243 د) 242 د) 241 ب) 240 ب) 239 ب) 238 ص)237

ج) 252 ج) 251 ب) 250 ب) 249 ب) 248 ج) 247 الف)246 د) 245

د) 260 ج) 259 ب) 258 ب) 257 ب) 256 د) 255 د) 254 ب) 253

الف)262 الف)261

تمرین

آیا احتماالت ذیل یم تواننـد تـابع احتمـال . را بگیرد 5 و 4، 3، 2 بتواند مقادیر X فرض کنید متغیر تصادفی -283

؟ این متغیر تصادفی باشند ؟ چرا

5 4 3 2 x

85/0 10/0- 0 25/0 P(X=x)

آیا این تابع می تواند به عنوان تابع احتمال یک متغیر تصادفی به کار رود ؟ چرا ؟ -284

5 ،4 ،3 ،2 ،1=X 1 و+X = )x(f 20

. را چنان تعیین کنید که بتوان آن را به عنوان تابع احتمال به کار برد K در این تابع -285

5 ،4 ،3 ،2 ،1 ،0 = X و f(x)=Kx2



٦٧

. را به صورت تصادفی انتخـاب مـی کنـیم تا 3 عدد آنها معیوب است 4 کاالست و 12 از جعبه ای که محتوی -286

. را پیدا کنید X تعداد کاالی معیوب خارج شده باشد ، تابع احتمال Xاگر

روز یکی از منـاطق شـهری اسـت ، جمـع آوری 60 شرکت بیمه این اطالعات را که مربوط به تعداد تصادفات -287

: کرده است

تعداد تصادفات تعداد روزها

15 0

25 1

10 2

6 3

4 4

جمع 60

. تابع احتمال و تابع توزیع تعداد تصادفات را پیدا کنید ) الف

تـصادف رخ داده 4 روز را بر حسب تصادف انتخاب کنیم ، احتمال اینکه در این روز کمتر از 60اگر روزی از این ) ب

باشد ، چقدر است ؟

: این توزیع احتمال مفروض است -288

10 8 6 4 2 x

10/0 25/0 30/0 25/0 10/0 f(x)



٦٨

: این مقادیر را محاسبه کنید

E(x)) الف

E(-3x + 7)) ب

E [(-3x + 7)2 [) ج

V(x)) د

V(-4x-3)) هـ

: کارگر است 50 این جدول احتمال تعداد غیبت های روزانه کارگاهی را نشان می دهد که دارای -289

تعداد غیبت ها 0 1 2 3 4 5 6

احتمال 15/0 20/0 30/0 18/0 10/0 05/0 02/0

.میانگین و واریانس تعداد غیبتهای روزانه را پید ا کنید ) الف

نفر غیبت کنند چقدر است ؟ 2احتمال اینکه در روزی بیشتر از ) ب

ل ریا 900تولید هر تقویم . تولید کننده تقویمی مایل است برای تعداد تیراژ خود در سال آینده تصمیم بگیرد -290

هر تقویمی که درطول سال به فروش نرسد از آن به عنـوان . ریال فروخته می شود 1250هزینه دربردارد و به بهای

این تولید کننده ، با استفاده از اطالعـات سـالهای قبـل ، تـابع . کاغذ باطله استفاده می شود که ارزش چندانی ندارد

: احتمال ذیل را برای فروش خود تهیه کرده است



٦٩

تعداد فروش 25, 000 40, 000 55, 000 70, 000

احتمال 10/0 30/0 45/0 15/0

چه سطحی از تولید کـل . هزار واحدی را تولید کند 70 یا 55، 40، 25این تولید کننده تصمیم دارد یکی از سطوح

سود مورد انتظار را به حداکثر می رساند ؟

چنانچه این شرکت بابـت هـر کارخانـه . ال آتش سوزی بیمه می کند هزار کارخانه را در قب 2 شرکت بیمه ای -291

اگر احتمال آتش سـوزی . میلیون ریال بپردازد ، به نقطه سر به سر می رسد 50ای که دچار آتش سوزی شود مبلغ

آتـش باشد ، با این فرض که هر کارخانه فقط یک بار ممکن اسـت دچـار 06/0کارخانه ای در مدت بیمه نامه ، برابر

: سوزی شود ، این موارد را محاسبه کنید

مبلغ بیمه باید چقدر باشد ؟ ) الف

باشد ، امید ریاضی سود شرکت با همان مبلـغ تعیـین شـده در 04/0اگر احتمال آتش سوزی در این مساله برابر ) ب

بند الف چقدر خواهد بود ؟

تـابع احتمـال تعـداد . تایی به بازار عرضـه مـی کنـد 10 تولید کننده ای کاالی تولیدی خود را در بسته های -292

) : کاالی معیوب وجود دارد 3در یک بسته حداکثر ( کاالهای معیوب یک بسته به این صورت است

تعداد کاالهای معیوب 0 1 2 3

احتمال 75/0 15/0 07/0 03/0



٧٠

هر بسته پیشنهاد می کند ؛ به این ترتیب که هزارریالی را برای 26 هزار ریالی و 25 قیمت مختلف 2این تولید کننده

هزار ریالی استفاده کند چیزی در قبال ارائه کاالی معیوب دریافت نمی کند ، ولی اگر از نـرخ 25اگر مشتری از نرخ

شما بـه عنـوان خریـدار . هزار ریال دریافت می کند 2 هزار ریالی استفاده کند ، در ازای ارائه هر کاالی معیوب ، 26

.ام پیشنهاد را قبول می کنید کد

: این توزیع احتمال توام را در نظر بگیرید -293

: این موارد را محاسبه کنید

P(X=2)) الف

P(X=6)) ب

P(X>Y) + P(Y>X)) ج

P(Z= X+Y)) د

شـرکت دارای سـود خالـصی بـیش از یـک 3 شرکت بزرگ مربوط به صنعتی خاص ، تنهـا 10 فرض کنید از -294

اگـر متغیـر . شرکت بر حسب تصادف انتخاب شده اسـت 2رکت ش 10از این . میلیارد و پانصد میلیون ریال بوده اند

3 0 1- y x

0 40/0 10/0 2

15/0 20/0 15/0 4



٧١

نـشان دهنـده Y میلیون ریـال و 500 نشان دهنده تعداد شرکت هایی که سودی بیش از یک میلیارد و Xتصادفی

:تعداد شرکتهایی باشد که سودی کمتر یا مساوی این مبلغ داشته اند ، هر یک از این موارد را محاسبه کنید

Y , Xحتمال توام تابع ا) الف

. میلیون ریال داشته باشند 500احتمال اینکه دو شرکت انتخاب شده ، سودی بیشتر از یک میلیارد و ) ب

میلیون ریال انتخاب شده انـد ، احتمـال اینکـه 500 شرکت با سود بیشتر از یک میلیارد و 2اگر بدانیم کمتر از ) ج

.مبلغ انتخاب شده باشد دقیقا یک شرکت با سود کمتر یا مساوی این

میلیون ریال بیشتر از تعداد شرکتهای بـا سـود 500احتمال اینکه تعداد شرکتهای با سود بیش از یک میلیارد و ) د

.کمتر یا مساوی این مبلغ باشد

Xتابع متغیر تصادفی ) هـ

اگر از آزمایش ذیل دو نمونه گرفته شود کدام یک آزمایش برنولی است ؟-295

. کاالهـا را بـدون جـایگزینی انتخـاب مـی کنـیم . کاالی سـالم وجـود دارد 27 کاالی ناسالم و 3 در جعبه ای )الف

.موفقیت را خارج شدن کاالی سالم در نظر می گیریم

موفقیت را خارج شدن پـیچ غیـر . عدد آنها استاندارد نیستند 453 پیچ تولید شده در یک هفته ، 1324از بین ) ب

.در نظر می گیریم استاندارد

موفقیت را . است 15/0 دستگاه است ، احتمال خراب شدن هر دستگاه 20در یک کارگاه جوراب بافی که دارای ) ج

.خراب شدن دستگاه در نظر می گیریم



٧٢

هـزار نفـر بـه 280برآورد شـده اسـت کـه . نماینده انتخاب کنند 5یک میلیون نفر می خواهند فردی را از بین ) د

.موفقیت را انتخاب فردی در نظر می گیریم که به این نماینده رای دهد . ینده سوم رای می دهند نما

. را در نظر گرفته ، این موارد را پیدا کنید p = 0/2 و n = 7 توزیعی دو جمله ای با -296

P ( X ≥ 4 )) د P ( X = 5 )) الف

P ( 2 < X ≤ 5 )) هـ P ( X > 2 )) ب

P ( 2≤ X ≤ 5 )) و P ( X < 8 )) ج

مشتری وارد فروشـگاهی 7اگر . است 7/0 احتمال اینکه مشتری ای که وارد فروشگاهی می شود چیزی بخرد -297

: شده باشند ، این احتماالت را محاسبه کنید

.رید کنند همه مشتریان خ) الف

. مشتری خرید کند 4حداقل ) ب

: مشتری وارد فروشگاه شده باشند ، این موارد را محاسبه کنید 20 ، فرض کنید 297 در تمرین -298

. مشتری خرید کند 10) الف

. مشتری خرید کند 15 مشتری و حداکثر 5حداقل ) ج

. مشتری خرید کند 15حداکثر ) ب

مشتری چند نفر خرید کنند ؟20دارید از این انتظار ) د

، امید ریاضی و واریانس تعداد مشتریان خرید کرده ، چقدر است ؟297 در تمرین -299



٧٣

: اگر احتمالهای داشتن فرزند پسر و دختر مساوی باشد ، این احتماالت را حساب کنید -300

.چهارمین فرزند خانواده ای اولین پسر آنها باشد ) الف

.هفتمین فرزند خانواده ای دومین دختر آنها باشد ) ب

.دهمین فرزند خانواده ای چهارمین یا پنجمین پسر آنها باشد ) ج

احتمال اینکه در حین عبـور از . است 35/0 احتمال اینکه فردی از چراغ قرمز عبور کند و پلیس متوجه نشود -301

چهارمین چراغ قرمز جریمه شود ، چقدر است ؟

احتمال اینکـه حـسابرسی داخلـی متوجـه هـر حـساب . تا از حسابهای دریافتی شرکتی دارای اشتباه است 5 -302

.این احتماالت را محاسبه کنید . است 55/0اشتباه شود

.احتمال اینکه چهارمین حساب اشتباه ، دومین حسابی باشد که حسابرس داخلی متوجه آن شده است ) الف

.چهارمین حساب اشتباه ، اولین حسابی باشد که حسابرس داخلی متوجه آن شده است احتمال اینکه ) ب

. اسـت 67/0 احتمال مطلع شدن هر ابر مشتری از آگهی مربوط به یک شرکت که از تلویزیون پخش می شود -303

احتمال اینکه در سومین آگهی شرکت ، مشتری مطلع شود، چقدر است؟

و 4/0 ، 5/0قه در پیش دارد و احتمال برد ، باخت ، و مساوی در هر بازی به ترتیـب مساب 5 فرض کنید تیمی -304

مسابقه دو برد ، دو مساوی و یک باخت داشته باشد ، چقدر است ؟ 5احتمال اینکه در این . است 1/0



٧٤

می کند قبـل از دو از افرادی که این سازمان استخدام 32/0 بنا به اطالعات گذشته مدیریت انسانی سازمانی ، -305

رد 16/0. در سازمان باقی می مانند ، ولـی از کـار خـود ناراضـی هـستند 27/0. سال کار سازمان را ترک می کنند

احتمال اینکه . باقی می مانند و از کار خود کامال راضی هستند 25/0سازمان باقی می مانند و نسبتا راضی هستند و

نفر سازمان را ترک کنند ، یک نفر باقی بماند و ناراضی باشد 2دام کرده است نفری که شرکت جدیدا استخ 7از بین

نفر نیز باقی بمانند و کامال راضی باشند ، چقدر است ؟ 2 نفر باقی بمانند و نسبتا راضی باشند و 2،

قـرار اسـت بـه . نفر قادر به انجام دادن آن هستند 3 نفری که متقاضی استخدام در کاری هستند ، 12 از بین -306

: این احتماالت را محاسبه کنید . نفر انتخاب شوند 2صورت تصادفی

. هیچ کدام قادر به انجام کار نباشند ) الف

. تنها یک نفر قادر به انجام کار باشد ) ب

.هر دو قادر به انجام کار باشند ) ج

تایی انتخـاب شـده اسـت ، احتمـال اینکـه 2نمونه ای . عدد آنها خراب است 3 کاالست که 10 ظرفی شامل -307

حداکثر یک واحد آن خراب باشد ، چقدر است ؟

نـشان Xتابع احتمال را در یک نمونه دو تایی به گونـه ای بنویـسید کـه . مرد است 7 زن و 2 انجمنی شامل -308

. را محاسبه کنیدX) میانگین ( امید ریاضی . دهنده زنان انتخاب شده باشد



٧٥

نفـر آنهـا از 90 مشتری یک شرکت انجام گرفته ، مشخص شده است کـه 120 تحقیقاتی که اخیرا درباره طی -309

نفـر 5 مـشتری برحـسب تـصادف 120اگـر از ایـن . کیفیت تولیدات و خدمات بعد از فروش شرکت راضی هـستند

ت ؟ نفر از تولیدات و خدمات شرکت راضی باشند ، چقدر اس4انتخاب شوند ، احتمال اینکه

. را حساب کنید ≤P(X (2 وP(X=0) ، P(x≤3) را رد نظر گرفته λ=2 توزیع پواسونی با -310

اتومبیل در 5/2 تعداد اتومبیلهای سواری ای که به رستورانی مراجعه می کنند دارای توزیع پواسون با میانگین -311

. دقیقه هستند ، این احتماالت را حساب کنید 10هر

. قیقه اول بیش از یک اتومبیل مراجعه کند د10در ) الف

. اتومبیل مراجعه کند 6 اتومبیل و کمتر یا مساوی 3 دقیقه بیش از 20در ) ب

. دقیقه اول اتومبیلی مراجعه نکند 5در ) ج

اگـر . از مسافرین قطار بلیت خود را بـاز پـس مـی دهنـد 025/0 طبق تجارب گذشته مشخص شده است که -312

. نفر بلیت گرفته باشند ، این احتماالت را محاسبه کنید 250امروز

. نفر بلیت خود را باز پس دهند 5) الف

. نفر بلیت خود را باز پس دهند 3کمتر یا مساوی ) ب

را محاسبه و نمـودار احتمـال X ، P(X=x) = 0, 1, 2, 3, 4 را در نظر بگیرید و برای λ=1 توزیع پواسونی با -313

آیا این نمودار چولگی دارد ؟ . کنید آن را رسم



٧٦

را محاسـبه و X ، P(X=x)=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 را در نظـر بگیریـد و بـرای λ=4 توزیع پواسونی با -314

آیا این نمودار چولگی دارد ؟ . نمودار احتمال آن را رسم کنید

ی می گیرید ؟ چه نتیجه ا5 و 4 از مقایسه نمودارهای احتمال دو تمرین -315


غ ص. تابع احتمال و تابع توزیع را می توان به صورت مترادف به کار برد -316

امید ریاضی همان میانگین موزون است که احتماالت در آن نقش وزنها یا ضرایب را در میـانگین مـوزون ایفـا -317

غ ص . می کنند

. تابع احتمال توام به بررسی رفتار همزمان دو یا چند متغیر تصادفی می پردازد -318

غ ص

. است X همان توزیع احتمال Xیه ای در توزیع احتمال توام ، احتماالت حاش-319

غ ص

. شود می تـوان گفـت کـه رابطـه مـستقیمی بـین دو متغیـر تـصادفی وجـود دارد -21 اگر مقدار کوواریانس -320

غ ص

. ، صفر باشد ، این دو متغیر لزوما مستقلند Y و X اگر کوواریانس دو متغیر تصادفی -321

غ ص

. مستقل باشند ، کوواریانس آنها لزوما صفر است Y و X متغیر تصادفی اگر دو-322



٧٧

غ ص

. E(XY)= E(X)×E(Y) مستقل باشند ، آنگاه Y و X اگر دو متغیر تصادفی -323

غ ص

.V(X-Y)=V(X)+V(Y) مستقل باشند ، آنگاه Y و X اگر دو متغیر تصادفی -324

غ ص

غ ص . یع هندسی است نام دیگر توزیع دو جمله ای منفی ، توز-325

. مقدار یک متغیر تصادفی را معموال می توان قبل از وقوع آن تعیین کرد -326

غ ص

. همواره می توان توزیع دو جمله ای را با توزیعهای دیگر تقریب زد -327

غ ص

غ ص . است npتوزیع دو جمله ای برابر با ) میانگین ( امید ریاضی -328

ــر -329 ــه ای براب ــع دو جمل ــت در توزی ــال موفقی ــی احتم ــارن اســت 5/0 وقت ــال آن متق ــودار احتم ــد ، نم . باش

غ ص

. باشد ، نمودار احتمال آن چولـه بـه راسـت اسـت 5/0 وقتی احتمال موفقیت در توزیع دو جمله ای بزرگتر از -330

غ ص

غ ص. توزیع دو جمله ای حالت خاصی از توزیع چند جمله ای است -331



٧٨

. تفاده می شود توزیع فوق هندسی برای نمونه گیریهای بدون جایگذاری اس-332

غ ص

باشد ، می توان از توزیع دو جملها ی بـرای تقریـب توزیـع هندسـی n < 0/05N اگر در توزیع فوق هندسی -333

غ ص . استفاده کرد

و واریانس آن با هم برابر اسـت ، توزیـع پواسـون ) امید ریاضی ( از بین توزیع های رایج ، توزیعی که میانگین -334

غ ص. است

، به مراتب بیشتر از کاربرد آن برای تقریب توزیع دو جمله ای است کاربرد توزیع پواسون برای تعداد مراجعات -335

غ ص.

، دو پـارامتر الزم بـرای بیـان توزیـع دو جملـه ای ) P(و احتمال موفقیت در هر آزمـایش ) n( تعداد آزمایشها -336

غ ص . هستند

. در یک آزمایش است )P( تنها پارامتر توزیع هندسی ، احتمال موفقیت -337

غ ص

نفر در هر دقیقه با توزیع پواسون باشد، با اطمینان می تـوان 5 کنندگان به اداره ای اگر متوسط تعداد مراجعه -338

ــر ــه در هـــ ــت کـــ ــه 2گفـــ ــوند 10 دقیقـــ ــی شـــ ــن اداره وارد مـــ ــه ایـــ ــده بـــ ــه کننـــ . مراجعـــ

غ ص

غ ص . P/1زیع هندسی برابر است با واریانس تو-339



٧٩

340- F(x)=P(X≤x) را تابع توزیع متغیر تصادفی X غ ص . می گوییم

سواالت چهار گزینه ای

موارد صحیح است ؟ هزار ریال باشد ، آنگاه کدام یک از این 20 اگر امید ریاضی سود روزانه فروشگاهی -341

. هزار ریال سود می برد 20فردا ) الف

. هزار ریال است 20سود فردای این فروشگاه کمتر از ) ب

. هزار ریال است 20سود فردای این فروشگاه حداقل ) ج

هیچ کدام ) د

در کدام یک از این موارد توزیع پواسون تقریب خوبی برای توزیع دو جمله ای است ؟-342

n , 98/0=P=200) جn , 32/0=P=40 ) الف

n , 03/0=P=20) دn , 68/0=P=40) ب

باشد ، نمودار احتمال آن چه شکلی خواهد داشت؟P=25/0 اگر در توزیع دو جمله ای -343

چوله به راست ) جمتقارن ) الف

. بستگی دارد nبه ) چوله به چپ د) ب

در کدام یک از این موارد می توان از توزیع دو جمله ای برای تقریب توزیع فوق هندسی استفاده کرد ؟ -344

. کوچک باشد n بزرگ و N) ج. هر دو بزرگ باشند N و K) الف

. هر دو کوچک باشند N و K) د. کوچک باشد N بزرگ ولی K) ب



٨٠

نشان دهنده 7! ) 4/0) (6/0( ، مقدار P=4/0 در یک توزیع دو جمله ای خاص با -345 ! 4×!3

احتمال کدام یک از این حاالت است ؟

آزمایش 7 موفقیت یا بیشتر در 3) آزمایش ج7 موفقیت در 4دقیقا ) الف

آزمایش 7 موفقیت یا کمتر در 4) آزمایش د7 موفقیت در 3دقیقا ) ب

کاالی خریداری شده از این کارخانه یـک کـاال 4احتمال اینکه از . ارخانه ای سالم است از محصوالت ک 80/0 -346

سالم باشد ، چقدر است ؟

16 ) ج 12 ) الف 625 625

5 ) د 24 ) ب 625 16

تـایی از محـصوالت ایـن ماشـین 2نمونه . واحد آنها معیوب است 3 محصول تولیدی به وسیله ماشینی 10 از -347

م نباشد ، چقدر است ؟ احتمال اینکه هیچ کدام سال. انتخاب شده است

7 ) ج 3 ) الف 45 45

صفر ) د 21 )ب 45

. سرکـشی در روز اسـت 3د سرکشیهای اضطراری به یک خط تولیـد دارای توزیـع پوانـسون بـا متوسـط تعدا -348

احتمال اینکه در یک روز هیچ سرکشی اس صورت نگرفته باشد ، چقدر است ؟



٨١

e 2 -3) ج e -3) الف

e 3/1 -3) د e3 -3) ب

به طور متوسط با توزیع پواسون در هر دقیقه دو اتومبیل برای زدن بنزین بدون سرب به پمپ بنزینی مراجعـه -349

یقه دو اتومبیل مراجعه کنند ، چقدر است ؟احتمال اینکه در پنج دق. می کنند

e 4 -4) ج e 50 -10) الف

e 10 -10) دe2 -5) ب

احتمـال . به طور متوسط با توزیع پواسون در هر ساعت دوازده اتومبیل برای زدن بنـزین مراجعـه مـی کننـد -350

اتومبیل مراجعه کنند ، چقدر است ؟ 3 دقیقه 15اینکه در

e 5/4 -3) جe -3) الف

e 12 -3) دe -12) ب

احتمال اینکه سومین پرتابی کـه بـه هـدف مـی . است 80/0 احتمال اینکه هر پرتاب بازیکنی به هدف بخورد -351

ت ؟ خورد ، پنجمین پرتاب وی باشد ، چقدر اس

231/0) ج 132/0) الف

123/0) د 321/0) ب



٨٢

با اصابت یک موشک ، جنگنده سقوط کند ، چقدر اسـت . است 30/0 احتمال اصابت موشکی به یک جنگنده -352

؟

055/0) ج 005/0) الف

050/0) د 072/0) ب

کدام است ؟ ) از راست به چپ ( میانگین و واریانس توزیع پواسون به ترتیب -353

λ ، λ) ج λ , λ) الف 2/1

λ/1 , λ) د √λ , λ) ب2/1

صحیح است ؟Y و X باشد ، کدام عبارت درباره رابطه Cov(X,Y)=0 اگر -354

. دو متغیر مستقلند ) رابطه ای وجود ندارد ج) الف

یا رابطه غیر خطی یا استقالل وجود دارد ) د. رابطه غیر خطی وجود دارد ) ب

مستقل باشند ، آنگاه کدام عبارت صحیح است ؟ Y و X و E(X)=2 ، E(Y)=1 اگر -355

Cov(X,Y)) ج E(XY)=2) الف

. هر سه صحیح است ) د E(X+Y)=3) ب

تقیم باشد ، آنگـاه کـدام مـورد صـحیح مستقل نباشند و رابطه آنهامسY و X و =6V(Y) و =4V(X) اگر-356

است ؟

< V(X+Y) 10) ج=V(X+Y) 10) الف



٨٣

هیچ کدام ) د > V(X+Y) 10)ب

باشد ، آنگاه کدام عبارت صحیح است؟ =6/1V(X+Y)و =V(Y) 6و =V(X) 2/1 اگر-357

=Cov(X,Y) -6/1) ج =Cov(X,Y) 3/1) الف

=Cov(X,Y) -4/1) د =Cov(X,Y) 2/1) ب

: این تابع احتمال توام را در نظر بگیرید -358

کدام است ؟ Yاحتماالت حاشیه ای

) ج) الـــــــــــف

هیچ کدام ) د) ب

با کدام یک از این موارد برابر است ؟ P(Y>X) در سوال قبل ، -359

3/2) د 2/1) ج3/1) ب 6/1) الف

10 0 y x

3/1 6/1 2-

6/1 3/1 2

10 0 y

3/1 6/1 f(y)

10 0 y

3/1 6/1 f(y)

10 0 y

3/1 6/1 f(y)



٨٤

با کدام یک از این موارد برابر است ؟ P(Y= 10 / X=2) ، 359 در سوال -360

1) د2/1) ج3/1) ب 6/1) الف

با کدام یک از این موارد برابر است ؟ E(XY)، 359 در سوال -361

-3/10) د 10) جصفر) ب 10/3) الف

، کوواریانس با کدام یک از این موارد برابر است ؟ 359 در سوال -362

صفر) د-3/10) ج3/10) ب 10/3) الف

، کدام یک از این روابط صادق است ؟ 359ال در سو-363

E(X+Y) = E(XY)) جE(X+Y) = E(X)) الف

-E(Y) E(X+Y) = E(X)) دE(X+Y) = E(Y)) ب

کدام است ؟ ) چپاز راست به ( به ترتیب Y و واریانس X، واریانس 359 در سوال -364

5, 4) ج5 , 0) الف

25, 4) د25 , 0) ب

است ؟ با کدام یک از این موارد برابر V(X-Y)، 359 در سوال -365

77) ج29) الف 3

107) د21) ب



٨٥

3 مسائل

جـایزه دوم 9 میلیـون ریـال ، 5 یک قرعه کشی با یک میلیون امتیاز قابل کسب دارای یک جایزه اول به مبلغ -366

جایزه چهارم هر یک به مبلـغ 900 هزار ریال و 25 جایزه سوم هر یک به مبلغ 90 هزار ریال ، 250هر یک به مبلغ

. ریال خرید ، یک امتیاز به خریدار تعلق گیرد ، این موارد را محاسبه کنید 15ی هر اگر در ازا. ریال است 2500

امید ریاضی سود هر امتیاز از نظر خریدار ) الف

. امید ریاضی سود فروشگاه مجری این قرعه کشی . درصد از امتیازها کسب شده باشند 80فرض کنید تنها ) ب

ربه می داند که تعداد کیکهای شکالتی ای کـه ممکـن اسـت در روزی معـین مدیر یک شیرینی پزی بنا به تج -367

ضـمنا . اسـت x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 به ازای P(X=x)= 6/1بفروشد ، متغیری تصادفی است که دارای توزیع احتمال

ضـرری می داند که هر کیکی که می فروشد هزار ریال سود دارد و هر کیکی که فروش نمی رود در اثر فاسـد شـدن

با فرض اینکه هر کیک را فقط همان روزی که پخته می شود می توان فروخت ، سود . ریال خواهد داشت 400برابر

. مورد انتظار شیرینی پز را برای هر یک از این روزها تعیین کنید

. کیک بپزد5) ج. کیک بپزد 4) ب. کیک بپزد3) الف

. تعداد فروش کت و شلوار فروشگاه لباسی در هر روز ، همراه با احتمال آن ، در این جدول آورده شده است -368

تعداد فروش 1 2 3 4 5 6 7 8

احتمال 10/0 15/0 16/0 20/0 19/0 08/0 07/0 05/0



٨٦

این فروشگاه به طو متوسط در هر روز چند کت و شلوار می فروشد ؟ ) الف

یانس تعداد فروش چقدر است ؟ وار) ب

اگـر . فردی به صورت تصادفی به تمام سواالت پاسخ می دهـد . گزینه ای است 3 سوال 4 امتحانی مشتمل بر -369

X تعداد جوابهای درست باشد ، این موارد را محاسبه کنید .

Xتابع احتمال ) الف

Xامید ریاضی و واریانس ) ب

Y عوض کند ، در این صورت امید ریاضـی و واریـانس X 5/22 =Y+ 10 طبق تبدیل اگر معلمی مقیاس نمره را ) ج

. را با دو روش حساب کنید

را در هـر Zمیانگین و انحـراف معیـار . باشد σ و انحراف معیار µ متغیری تصادفی با میانگین X فرض کنید -370

. یک از این حاالت حساب کنید

x3 =Z -2) الف

x = Z -2) ب 4 µ- x = Z) ج

σ

آیا این تابع می تواند معرف یک تابع احتمال باشد ؟ چرا ؟ -371



٨٧

8 ,6 ,4 ,3 = x , 3- x = )x(f 8

شـلیک 6ایـن احتمـاالت را در . اسـت 5/1ک به هدف بزند فرض کنید احتمال اینکه یک ناوجنگی در هر شلی -372

. این ناو محاسبه کنید

. بار به هدف بزند 2دقیقا ) الف

. بار به هدف بزند 2حداقل ) ب

. بار به هدف بزند 2حداکثر ) ج

یـابی و مـالی مدیر اداری ، تـدارکات ، پرسـنلی ، تولیـد ، بازار 6 شورای مدیران شرکتی مرکب از مدیر عامل و -373

فرض کنیـد موضـوعی . نفر درباره آن تصمیم گرفته می شود 7هر موضوعی که طرح شود با اکثرین آرای این . است

چقـدر . به موضوع مذکور رای مثبت مـی دهنـد 4/0در این شورا طرح می شود و هر یک از اعضا مستقال با احتمال

احتمال دارد که موضوع تصویب شود ؟

، فرض کنید مدیر عامل ، طالب تصویب این موضوع اسـت و از قبـل بـا مـدیر 373 به داده های سوال با توجه -374

در این صورت احتمال تـصویب . مالی صحبت کرده و مطمئن شده است که او هم به این موضوع رای مثبت می دهد

موضوع چقدر است ؟

ول ، مـردود ، عـدم اظهـارنظر یـا اظهـارنظر اظهارنظر حسابرسان راجع به حسابهای شرکتی ممکـن اسـت قبـ -375

نظرها به ترتیب قبول ، مردود ، عدم اظهـارنظر و اظهـارنظر 25/0 و 40/0، 15/0، 20/0در سال پیش . مشروط باشد



٨٨

شرکت به صورت تصادفی انتخاب شده اند ، هر یـک از ایـن احتمـاالت چقـدر 6اگر فرض کنیم . مشروط بوده است

است ؟

. شرکت قبول شده باشد 2اینکه حسابهای احتمال ) الف

. شرکت نیز مردود شده باشد 2 شرکت قبول و 2احتمال اینکه حسابهای ) ب

شرکت مردود ، یک شرکت مشروط شده و راجـع بـه حـسابهای یـک 2 شرکت قبول ، 2احتمال اینکه حسابهای ) ج

. شرکت اظهارنظری نشده باشد

: به این صورت است Y و X تصادفی توزیع احتمال توام دو متغیر-376

. را حساب کنید E(Y) و E(X)) الف

. را حساب کنید E(XY)) ب

. را پیدا کرده ، راجع به ارتباط این دو متغیر توضیح دهید Cov(X,Y)) ج

غلـط اسـت کـه بـه صـورت تـصادفی در 50 صفحه دارد ، دارای 500ی که فرض کنید نسخه دستنویس کتاب -377

:هر یک از این احتماالت را محاسبه کنید . سراسر کتاب پخش هستند

40 20 y x

2/0 4/0 3

1/0 2/0 5

0 1/0 7



٨٩

. غلط یا بیشتر باشد 2 صفحه دارد ، دارای 30فصلی از کتاب که ) الف

. غلط یا بیشتر باشد 2 صفحه دارد ، دارای 50فصلی از کتاب که ) ب

. صفحه انتخابی غلط نداشته باشد یک ) ج

نفر را به صورت تصادفی انتخاب کنیم 5اگر . تکنسین روی پروژه ای کار می کنند 9 مهندس و 5 فرض کنید -378

، احتمال اینکه دقیقا دو مهندس انتخاب شود چقدر است ؟

این موارد را در صورتی . ند درصد کارگران ساعتی طالب رسمی شدن هست 40 فرض کنید که در مزرعه بزرگی -379

: نفر از این کارگران انتخاب شوند ، محاسبه کنید 10که

. احتمال اینکه آنها طالب رسمی شدن باشند ) الف

. میانگین و واریانس تعداد افرادی که طالب رسمی شدن هستند ) ب

ار مهره به طور تصادف بیـرون آورده اگر چه . مهره سبز وجود دارد 2 مهره قرمز و 3 مهره سفید ، 5 در ظرفی -380

مهره قرمز و حداقل یک مهره سفید بیرون بیاید ، چقدر است ؟ 2شود ، احتمال اینکه

هنگام تهیه یک فیلم سینمایی ، احتال اینکه بازیگری نقش خود رار در هر دور فیلمبرداری درست بـازی کنـد -381

داری برای اولین بار نقش خود را درست بازی کند ، چقدر است ؟ احتال اینکه در چهارمین دور فیلمبر. است 35/0

فرض کنید احتال اینکه یک اظهار نامه مالیاتی به طور صحیح پر شود ، فقط شامل خطاهایی بـه نفـع مالیـات -382

10/0 ، 20/0 ، 60/0دهنده ، فقط شامل خطاهایی به نفع دولت ، و یا شامل خطاهایی از هر دو نوع باشد ، به ترتیب

تا از چنین اظهارنامه هایی که بر حسب تصادف برای حـسابرسی انتخـاب شـده 12احتمال اینکه بین . است 10/0و



٩٠

تا شامل فقط خطاهایی بـه نفـع 2 تا فقط شامل خطاهایی به نفع مالیات دهنده ، 4 تا صحیح پر شده باشند ، 5اند ،

قدر است ؟ دولت و یکی شامل خطاهایی از هر دو نوع باشد ، چ

زمـان مـورد . فرض کنید برای ساختن عمارتی جدید ، دو مرحله متوالی نقشه بردرای و بنا کـردن الزم اسـت -383

، دو متغیر تـصادفی مـستقل بـا ایـن توزیعهـای (C) و بنا کردن (S)نیاز بر حسب سال ، برای تکمیل نقشه بردرای

: احتمال هستند

... ,3 , 2 ,1 =S , 1- S)2/0)(8/0) = (s(P

... ,4 , 3 ,2 =C , 1- C)5/0)(5/0) = (C(P

سـال T = 4اگر انجام کار سـاختمان بـیش از . T = S + Cعبارت است از ) T(بدیهی است که کل زمان ساختن

حتمال جریمه شدن پیمانکار چقدر است ؟ا. طول بکشد ، پیمانکار جریمه می شود

یخچال جدید که فروشنده سالم بودن آنها را تضمین می کند ، سـفارش مـی 3 مدیر یک مجموعه آپارتمانی ، -384

احتمـال معیـوب بـودن هـر . طبق ضمانتنامه ، در صورت معیوب بودن یخچال فروشنده باید آن را تعمیر کند . دهد

. درصد است 20یخچال

.را پیدا کرده ، در جدولی بنویسید ) X(توزیع احتمال تعداد یخچالهای معیوب ) الف

. چقدر است Xمیانگین و واریانس ) ب

25( به اضافه هزینه متغیر بـرای هـر یخچـال ) هزار ریال 50( فرض کنید هزینه تعمیر ، شامل کارمزدی ثابت ) ج

:باشد ؛ یعنی ) هزار ریال



٩١

0 , X = 0

50000 + 25000 X , X > 0 C ( X ) =

.متوسط هزینه تعمیر را پیدا کنید

3 هزار نفر به طـور متوسـط 100ر کرده است ، از هر طبق آمار سالیانه ای که اداره راهنمایی و رانندگی منتش -385

. هزار نفر جمعیت محاسبه کنید 200این احتماالت را در شهری با . نفر در اثر حوادث رانندگی کشته می شوند

نفر کشته شوند 5) الف

. نفر کشته شوند 3کمتر از ) ب

). را در نظر بگیرید 8 و 4خود ( نفر کشته شوند 8 تا 4بین


ص) 322 غ) 321 غ) 320 ص) 319 ص) 318 ص) 317 غ) 316

ص) 329 ص) 328 غ) 327 غ) 326 غ) 325 ص) 324 ص) 323

ص) 336 ص) 335 ص) 334 ص) 333 ص) 332 ص) 331 غ) 330

ج) 343 د) 342 د) 341 ص) 340 غ) 339 غ) 338 ص) 337

ج ) 350 الف) 349 الف) 348 الف) 347 ج) 346 ب) 345 ج) 344

ج ) 357 ج) 356 د) 355 د) 354 الف) 353 ب) 352 د) 351



٩٢

د) 364 ب) 363 ج) 362 د) 361 ب) 360 د) 359 ج) 358

د) 365

: به این صورت باشد X اگر تابع چگالی متغیر تصادفی -386

6 x ( 1 – x ) , 0 < x < 1 f(x) =

0 در غیر این صورت ،

.این موارد را محاسبه کنید

p(X=1/3) ( جp(x>1/3)) الف

P(1/3<X<1/2)) دP(1/3<X<3/4) )ب

: به این صورت باشد X اگر تابع توزیع متغیر تصادفی -387

X>2 ، x2/4 - 1

f(x) = 0 در غیر این صورت ،


P(X > 5)) الف

P( 1< X < 1/5)) ب

: به این صورت است X تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی -388

2>X ، K



٩٣

x √ f(x) = 0 در غیر این صورت ،


P(x<2) ) ج Kمقدار ) الف

تابع توزیع این متغیر تصادفی ) ب

. با این تابع چگالی احتمال را پیدا کنید X میانگین و واریانس متغیر تصادفی -389

6 x ( 1 – x ) , 0 < x < 1 f(x) =


) . به انتگرال گیری جز به جز نیاز است ( با این تابع چگالی احتمال را پیدا کنید X میانگبن متغیر تصادفی -390

2 e -2X , x > 0 f(x) =


X اگر تابع چگالی متغیر تصادفی -391

- Kx , -2< x < 0 Kx , 0≤ x < 4 f(x) =



Xتابع توزیع ) ج Kمقدار ) الف

P( -1<x<2/5)) دXامید ریاضی ) ب



٩٤

: این توزیع یکنواخت را در نظر بگیرید -392

β< x < α , 1 β-α f(x) =


. باشد ، این مقادیر را محاسبه کنید E(X) = 2 و α = -10اگر

را انتخاب کند-5 و 4 مقداری بین Xاحتمال اینکه متغیر تصادفی ) جβمقدار) الف

. را انتخاب کند -5 مقداری بزرگتراز Xاحتمال اینکه ) د V(X)) ب

. میلیون ریال است120 میلیون ریال و واریانس 40 سود مورد انتظار شرکت دارای توزیع یکنواخت با میانگین -393

میلیون ریال باشد ، چقدر است؟25/4احتمال اینکه سود آن بیشتر از

:کنواخت را در نظر بگیرید این چگالی احتمال ی-394

1 , -2< x < 4 6 f(x) = 0 در غیر این صورت ،

. تابع چگالی را رسم کنید نمودار) الف

. تابع توزیع را پیدا کنید ) ب

. نمودار تابع توزیع را رسم کنید ) ج

. ساعت است 5/1 مدت تعمیر ماشینی بر اساس توزیع نمایی با میانگین -395

احتمال اینکه مدت تعمیر کمتر از یک ساعت طول بکشد ، چقد راست ؟ ) الف



٩٥

ساعت طول بکشد ، چقدر است ؟ 2 تا 1یر بین احتمال اینکه مدت تعم) ب

احتمال . عدد با توزیع پواسون است 2 سطری 500 تعداد اشتباهات یک حروفچین در حروفچینی یک متن -396

سطر اول اشتباهی نباشد ، چقدر است ؟ 100اینکه در

احتمال . بانکی مراجعه می کند مشتری با توزیع پواسون به گیشه پرداخت5/1 دقیقه 5/0 به طور متوسط هر -397

دقیقه وارد شود ، چقدر است ؟ 2اینکه اولین مشتری بعد از


غ ص. مساحت زیر منحنی تابع چگالی احتمال برابر یک است -398

. بزرگتر از صفر است احتمال اینکه متغیر تصادفی پیوسته ای دقیقا مقدار مشخصی را بگیرد ،-399

غ ص

. برقرار است P( X < x ) = P( X ≤ x) رابطه X همواره برای هر متغیر پیوسته ای همچون -400

غ ص

را انتخاب کند ، ) b ) a ≤ b و a مقداری بین X در توابع پیوسته ، احتمال اینکه متغیر -401 b

غ ص . ∫f(X)dx aبرابر است با

. برقرار است P( a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a) تابع توزیع باشد ، همواره رابطه F(X) اگر -402

غ ص

∞+



٩٦

.∫-∞ X .f(X)dx برابر است با Xمتغیر تصادفی پیوسته ) امید ریاضی ( میانگین -403

غ ص

با چگالی یکنواخت مقدار خود را در Xوسته فاصله ای باشند که متغیر پیβ و α اگر -404

.β+ α برابر است با Xمتغیر ) امید ریاضی (آن فاصله انتخاب کند ، آنگاه میانگین 2

غ ص

دارای توزیع پواسون باشد ، زمان بین موفقیت های متوالی دارای توزیع ) ورودیها ( اگر تعداد موفقیتها -405

غ ص . یکنواخت است

: ابع چگالی احتمال توزیع نمایی به این صورت است ت-406

λe -λX X>0

f(x) = 0این صورت ، در غیر

غ ص

. 1 2 پارامتر توزیع نمایی باشد ، واریانس توزیع نمایی برابر است باλ اگر -407 λ

غ ص

این تابع می تواند تابع چگالی احتمال باشد ؟K به ازای چه مقدار -408

Kx2 , 0 < x < 4 f(x) =



٩٧


3 ) ج 1 ) الف 4 64

1 ) د 3 ) ب 16 16

اختیار کند ، احتمال اینکه f(x) = e –x تنها مقادیر غیر منفی را با تابع چگالی احتمال X اگر متغیر پیوسته -409

X را بگیرد ، برابر است با 3 تا 1 مقدار بین :

1353/0) ج 2325/0) الف

4650/0) د 3181/0) ب

با این تابع چگالی چقدر است ؟X میانگین متغیر تصادفی -410

1 < x < 1- , 2 2 3 f(x) =


3 ) ج 3 ) الف 4 4

1 ) د 1 ) ب 4 4

چقدر است ؟ 13 در سوال X واریانس متغیر تصادفی -411

9 ) ج 1 )الف



٩٨

16 4

4 ) د 3 )ب 16 9

با کدام یک از این موارد برابر است ؟ F(8) باشد ، F(-2)=0/17 و P(-2≤X≤8)=0/71 اگر -412

77/0) ج 88/0) الف

45/0) د 54/0) ب

کدام یک از این مقادیر همواره در یک چگالی احتمال نادرست است ؟ -413

F(0)=1 , F(5)=0/5) جF(0)=0/5 , F(5)=1) الف

F(0)=0 , F(5)=0/25) دF(0)=1 , F(5)=1) ب

با کدام یک از این Xواریانس متغیر تصادفی . مفروض است λ=3 با توزیع نمایی با پارامتر X متغیر تصادفی -414

موارد برابر است ؟

3/1) ج 3) الف

9/1 ) د9) ب

امید ریاضی تعداد . دقیقه یک مشتری به اتو بانکی مراجعه می کند 5 به طور متوسط با توزیع نمایی هر -415

رابر است ؟ افرادی که در هر دقیقه مراجعه می کنند با کدام یک از این موارد ب

12) ج5) الف



٩٩

9 ) د 1 )ب 5 12

با کدام یک از این موارد برابر است ؟ ، واراینس تعداد افرادی که در هر دقیقه مراجعه می کنند415 در سوال -416

9 ) ج 1 )الف 15 12

9 ) د 1 )ب 25 144

: با این چگالی یکنواخت را در نظر بگیرید X متغیر تصادفی -417

β < x <α , 1 7 f(x) =


با کدام یک از این موارد برابرند ؟ β و α باشد ، 100 برابر X اگر امید ریاضی متغیر تصادفی -418

β , 97 = α= 103) جβ , 93 = α= 107) الف

β , 5/96 = α= 5/103) د β , 5/93 = α= 5/107)ب

مسائل


9 < x <0 , k √x f(x) =




١٠٠


Xامید ریاضی ) جkمقدار ) الف

X < 1 ( P >4) ( ب

: به این صورت است X تابع توزیع متغیر تصادفی -420

15 < x <5 , 1 10 f(x) = 0 در غیر این صورت ،


X ≤ 0(P ≥ 10) ( الف

Xامید ریاضی و واریانس ) ب

:ی را به چگالی مثلثی معروف است در نظر بگیرید این تابع چگال-421

x < 2 < 1 , C ( x-1)

15 <x < 5 , 1 ) =x(f 10


. را پیدا کنید Cمقدار ) الف

X ≤ 1(P ≥ 3( مقدار ) ب

. را پیدا کنید Xتابع توزیع ) ج



١٠١

. را پیدا کنید Xمیانگین و واریانس ) د

. نمودار چگالی و تابع توزیع را در شکلی واحد رسم کنید ) هـ

. این چگالی یکنواخت را در نظر بگیرید و امید ریاضی و واریانس را حساب کنید -422

2 < x <2- , 1 4 f(x) =


: این چگالی نمایی را در نظر بگیرید -423

0 >x , 2/x– e 1 2 f(x) =


چقدر است ؟ Xمیانگین و واریانس ) ج. را به دست آورید Xتابع توزیع ) الف

را اختیار کند چقدر است ؟ 3 و 1 مقداری بین Xاحتمال اینکه ) ب 2 2

هر ماه ( خرابی در ماه است 3که تعداد خرابیهای ماشینی دارای توزیع پواسون با میانگین مشخص شده است -424

) . روز در نظر بگیرید 30را

متوسط بین دو خرابی چند روز است ؟ ) الف

روز اول پس از سرویس ، ماشین خراب شود چقدر است ؟ 10احتمال اینکه در ) ب



١٠٢

این احتمـاالت را محاسـبه . هزار کیلومتر است 75مبیل دارای توزیع نمایی با متوسط عمر مفید نوعی تایر اتو -425

: کنید

. هزار کیلومتر بتوان با آن طی کرد 60 تا 20بین ) الف

. هزار کیلومتر بتوان با آن طی کرد 50حداکثر ) ب

دفی است که چگالی آن بـه ایـن تعداد دقایقی که ممکن است پروازی زودتر یا دیرتر انجام شود ، متغیری تصا -426

: صورت است

6< x <6-, ) 2 x– 36 ( 1 288 f(x) = 0 در غیر این صورت ،

ایـن . سـت رابطه ، مقادیر منفی ، معرف زود انجـام شـدن پـرواز و مقـادیر مثبـت ، معـرف تـاخیر در پـرواز ا در این

: از این پروازها محاسبه کنید یاحتماالت را در مورد یک

.مدتی از یک تا سه دقیقه زود انجام شود) ج. دقیقه زود انجام شود 2حداقل ) الف

. دقیقه دیر صورت گیرد 5دقیقا ) د. ه دیر انجام شود حداقل یک دقیق) ب

. سـال اسـت 3 تخمین زده می شود که میانگین زمان منتهی به خرابی یک المپ تلویزیون طبق توزیع نمایی -427

ارت خواهـد برای چند درصد از بیمه نامـه هـا خـس . شرکتی این المپها را در طول اولین سال استفاده بیمه می کند

پرداخت ؟



١٠٣

P( X> x یکی از این خاصیت ها جالب و منحصر به فرد توزیع نمایی خاصیت بی حافظه بودن است ؛ یعنـی -428

+ S/X>x) = P( X>S) مثال اگر المپی دارای توزیع نمایی برای زمان منتهی به خرابـی آن باشـد و در زمـان ، x

صورت عمر باقیمانده نیز دارای همان توزیع نمایی اسـت کـه المـپ در ببینیم هنوز در حال کار کردن است ، در این

هزار ساعت باشد و ایـن 10با این توضیح اگر عمر ترانزیستوری دارای توزیع نمایی با میانگین . زمان صفر داشته است

چقدر است ؟ هزار ساعت خراب شود ، 15 هزار ساعت کار کرده باشد ، احتمال اینکه بعد از 10ترانزیستور قبال


ص) 403 ص) 402 ص) 401 ص) 400 غ) 399 ص) 398

ب) 409 ج) 408 ص) 407 ص) 406 غ) 405 ص) 404

ب) 415 د) 414 ج) 413 الف) 412 ب) 411 د) 410

د) 417 ب) 416

تمرین

. اده از جدول پیدا کنید متغیر تصادفی نرمال استاندارد باشد ، این احتماالت را با استفZ اگر -429

P( Z ≤ 2/06)) الف

P( Z >- 0/25)) ب

P( -1/15< Z ≤ 0/59)) ج



١٠٤

. ، به سواالت زیر پاسخ دهید 429 با توجه به سوال -430

P(-1/96 ≤ Z ≤ 1/96)) الف

P( 2 ≤Z ≤ 4/25)) ب

. است ؛ هر یک از این احتماالت را پیدا کنید X∼N(15,3) فرض کنید -431

P( X < 12/5)) الف

P( X ≤ 18)) ب

P(12/5 ≤ X< 18)) ج

0014/0 سـانتیمتر و واریـانس 2/11 دستگاه تراشی در هفته گذشته نوعی پیستون را با میانگین قطر خارجی -432

: محاسبه کنید قطر خارجی چند درصد از پیستونها . با توزیع نرمال ، تراش داده است

. است 2352/11کمتر از ) الف

. است 2352/11بیشتر از ) ب

. است 2349/11 و 2352/11بین ) ج

: سـال اسـت ؛ یعنـی 12 سـال و انحـراف معیـار 35 سن کارگران کارخانه ای دارای توزیع نرمال با میـانگین -433

X∼N(35,12) . سـال سـن دارنـد ، چنـد 55اگر خط مشی شرکت بازنشسته کردن تمام افرادی باشد که بیش از

رگران بازنشسته می شوند ؟ درصد از کا



١٠٥

مدیریت پرسنلی شرکتی برای تعداد یاز متقاضیان استخدام آزمونی برگزار کرده است که حداقل نمـره قبـولی -434

محاسبه کنید چنـد . است 15 با انحراف معیار 63مشخص شده است که میانگین نمرات متقاضیان . است 75در آن

. درصد از متقاضیان پذیرفته می شوند

اسـتاندارد فنـی . اسـت 1/0 سانتی متر و انحراف معیار 7 قطر یک بلبرینگ ، متغیر تصادفی نرمال با میانگین -435

اگـر قطـر . ریـال سـود دارد 1250 و تولید یک بلبرینگ اسـتاندارد X ≤ 91/6 ≥ 09/7قطر این کاال عبارت است از

ریال زیان دارد و در صورتی کـه قطـر آن بـیش 1050است و باشد غیرقابل استفاده 91/6بلبرینگ تولیدی کمتر از

ریال می توان آن را به بلبرینگی تبدیل کرد کـه 200 باشد با انجام دادن کار اضافی و صرف هزینه ای معادل 09/7از

. سود مورد انتظار تولید هر بلبرینگ را حساب کنید . استاندارد باشد

. را پیدا کنید Z در هر یک از این موارد مقدار -436

P( Z≥z) = 0/0485) الف

P( Z≥z) = 0/8508) ب

P( |Z| ≥z) = 0/8740) ج

، روابط ذیل برقرار است ؟ Xبه ازای چه مقدار . باشد X∼N(35,12) فرض کنید -437

P( X≥x) = 0/2514) الف

P( X≥x) = 0/5450) ب



١٠٦

دقیقـه و 48ماشـین دارای توزیـع نرمـال بـا میـانگین زمان الزم برای تعمیر سیستم نیروی محرکه یک نـوع -438

تعمیر کار به راننده آن می گوید که زمان تعمیر حداکثر یک ساعت طـول مـی کـشد ، محاسـبه . است 25واریانس

: کنید

احتمال غلط بودن این ادعا چقدر است ؟ ) الف

خص کند ، آن مدت چقدر خواهد بود ؟ درصد اطمینان بخواهد مدت تعمیری را مش98اگر این تعمیر کار با ) ب

ثانیـه 35 ثانیه بـا انحـراف معیـار 110 زمان الزم برای انجام دادن کارهای بانکی یک مشتری به طور متوسط -439

: است که به صورت نرمال توزیع شده است ، محاسبه کنید

رف میـانگین زمـان مراجعـه قـرار مـی درصد از مراجعه کنندگان به این بانک در چه دامنه ای در دو ط 85کار )الف

گیرد ؟

درصد از افرادی که بیشترین زمان را به خود اختصاص می دهد ، حداقل چقدر طول می کشد ؟ 5کار ) ب

: روز جمع آوری و در این جدول خالصه شده است 500 اطالعات مربوط به توزیع تعداد فروش شرکتی در -440

روز تعداد فروش

24≤ 38

29-25 52

34-30 165

39-35 150

44-40 60



١٠٧

45 ≥ 35

. با استفاده از صفحه احتمال نرمال ، مشخص کنید آیا این توزیع می تواند نرمال باشد

گرمی که بر حسب گرم گرد شده اند و به طور تصادفی از میان تولیدات یـک 100 کره 30 مقادیر واقعی وزن -441

، 101، 100، 106، 102، 107، 98، 97، 106، 104، 96، 98: بدین قـرار اسـت هفته یک شرکت انتخاب شده اند ،

آیا توزیع . 107، 94، 106، 103، 105، 102، 100، 99، 99، 107، 105، 97، 95، 101، 100، 104، 106، 98، 97

وزن کره های نرمال است ؟

. سابرسی می کند قبـول مـی شـوند درصد از شرکت هایی که یک سازمان آنها را ح 30 فرض کنید حسابهای -442

شرکت را به صورت تصادفی برگـزینیم ، احتمـال قبـول 50اگر از شرکتهایی که این سازمان حسابرسی کرده است ،

: شدن حسابها را در این موارد محاسبه کنید

شرکت 45 تا 25بین ) الف

شرکت 40حداکثر ) ب

شرکت 35دقیقا ) ج

اگـر . می گیرند » ب« درصد از دانشجویـــانش در درس خاصی نمره 45افته است که استادی به تجـربه دری -443

: را برای ایـن تعـداد محاسـبه کنیـد » ب « نفر این درس را با او گرفته باشند ، احتال گرفتن نمره 25در ترم جاری

نفر 10دقیقا ) نفر ، ج20 تا 8بین ) نفر ، ب10حداقل ) الف



١٠٨

درصد از کل بینندگان تلویزیون وقت خود را به دیدن برنامه خاصـی 70یونی ادعا می کند که یک شبکه تلویز -444

بیننده ، حـداقل 400به فرض درست بودن این ادعا ، احتمال آنکه از بین . در شبهای سه شنبه اختصاص می دهند

نفر از آنان برنامه را تماشا کرده باشند ، چقدر است ؟ 150

. مشتری با توزیع پواسون به قسمت پرداخت فروشگاهی مراجعـه مـی کنـد 5/0ط در هر دقیقه به طور متوس -445

مشتری در طی نیم ساعت مراجعه کنند ، چقدر است ؟ 20احتمال اینکه بیش از

کـشتی در 75/1 تعداد کشتیهایی که به اسکله ای جهت تخلیه بار می رسند ، دارای توزیع پواسون با میانگین -446

. احتماالت زیر را برای رسیدن به کشتی در یک هفته محاسبه کنید . شبانه روز است هر

. کشتی برسد 11 تا 4بین ) الف

. کشتی برسد 8حداقل ) ب

دقیقه 5 بعدازظهر ، دوره اوج کاری ، به طور متوسط در هر 7 تا 4 در خالل ساعت -447

6 1 تا 5احتمال اینکه بین ساعت . ند یک ماشین جهت تعمیر به تعمیرگاهی مراجعه می ک 4

ماشین به این تعمیرگاه مراجعه کند ، چقدر است ؟ 12بیش از

کیلـوگرم و واریـانس 75یری تصادفی با میانگین گونی سیب زمینی را که وزن هر گونی ، متغ 65 می خواهیم -448

اگر بار کامیون بـیش . تن است 5ظرفیت این کامیون . حمل کنیم » ب«به شهر » الف « است با کامیون از شهر 15

احتمال جریمه شدن راننده این کامیون چقدر است ؟ . از ظرفیت باشد ، راننده جریمه می شود



١٠٩

شهر دیگر وجـود دارد کـه میـانگین زمـان 9بین این دو شهر . ازدهم تردد می کند اتوبوسی بین شهر اول و ی -449

. همراه با انحراف معیار آن در این جدول آمده است ) به ساعت ( حرکت بین آنها

انحراف میانگین محدوده سفر انحراف معیار میانگین محدوده سفر

2-1 1 20/0 7-6 2 15/0

3-2 5/1 30/0 8-7 3 40/0

4-3 2 25/0 9-8 2/1 15/0

5-4 75/0 1/0 10-9 8/0 10/0

6-5 5/1 20/0 11-10 6/1 30/0

. میانگین و واریانس کل سفر را حساب کنید ) الف

درصد احتمال مدت زمانی را اعالم کند که اتوبوس به مقصد مـی رسـد ، آن 90اگر شرکت مسافربری بخواهد با ) ب

زمان چند ساعت خواهد بود ؟


. و میـانگین توزیـع X در توزیع نرمال عبارت است از سطح زیر منحنی بـین X برای نقطه ای مانند Z مقدار -450

غ ص

غ ص . گیرد در توزیع نرمال ، میانگین همواره بین میانه و مد قرار می-451

. دنباله های راست و چپ توزیع نرمال تا بی نهایـت امتـداد داشـته ، هرگـز محـور افقـی را قطـع نمـی کنـد -452

غ ص



١١٠

غ ص . است 954/0 برابر با σ - µ و σ + µ سطح محصور بین -453

غ ص . حنی نرمال کشیده تر می شود هر چقدر واریانس افزایش یابد ، من-454

اگر نمودار پس از رسم در صفحه احتمال نرمال ، انحرافهای منظمی از خط نرمال داشت ، توزیع داده ها نرمال -455

غ ص . است

. باشـد ، مـی تـوان بـا توزیـع نرمـال تقریـب زد nq > 5 , np > 5 توزیـع دو جملـه ای را در صـورتی کـه -456

غ ص

.ن با توزیع نرمال تقریب زد باشد ، می تواλ < 5 توزیع پواسون را در صورتی که -457

غ ص

100 سطح زیر منحنی نرمال بین میانگین و میانگین بعالوه یک انحراف معیار برای تـوزیعی کـه میـانگین آن -458

. است 10است بیشتر از توزیعی است که میانگین آن

غ ص

کدامند ؟) به راست از چپ ( میانگین و واریانس توزیع نرمال استاندارد به ترتیب -459

)1 ، 1) ( ج ) 0 ، 1) ( الف

) 0 ، 0) ( د ) 1 ، 0) ( ب

کدام است ؟2Z≥ (P. ( است = 4772/0 متغیر استاندارد و Z فرض کنید -460

9772/0) ج 0228/0) الف



١١١

5228/0) د 4772/0) ب

کدام است ؟ X(P≥ 50( باشد ، 50رای توزیع نرمال با میانگین داX اگر متغیر تصادفی -461

3 ) صفر ج) الف 4

1) د 1 ) ب 2

باشـد ، 3 ، صـفر و Zو اندازه این دو برحسب متغیر اسـتاندارد . 19 و 13نفر از جامعه نرمالی ، اگر اندازه دو -462

کدامند؟ ) به ترتیب از چپ به راست ( میانگین و انحراف معیار

)13, 2) ( ج ) 6, 3) (الف

)2, 19( ) د ) 19, 3) ( ب

کدام است ؟ P(-1≤Z≤0/5) باشد ،P( 0≤Z≤1)= 0/3414 و P( 0≤Z≤0/5)= 0/1915 اگر -463

5328/0) ج 1498/0) الف

8502/0) د 4672/0) ب

P(X≥5) =0/9772و 25یــــانگین نیز دارای توزیـع نــــــرمال بـــــا م X و P(Z≤-2)=0/0228 اگر -464

کدام است ؟ Xباشد ، انحراف معیار

10) ج صفر ) الف

15) د 5) ب



١١٢

با توزیع نرمال تقریب زد ؟ دو پارامتر توزیع دو جمله ای باشند ، کدام یک از این موارد را می توانp و n اگر -465

P=0/45 ، n=15) جP=0/3 ، n=5) الف

الف و ج) دP=0/4 ، n=10) ب

مشروط بر آنکه تقریب مجـاز – را رد توزیعی دو جملها ی با توزیع نرمال تقریب بزنیم P(X>9) اگر بخواهیم -466

ام یک از این موارد را ، با تصحیح پیوستگی ، باید حساب کنیم ؟ کد–باشد

P(X≥9/5) ) جP(X≥8/5)) الف

P(X≤8/5)) دP(X≤9/5)) ب

و ∝=13 قلم کاال باشد که وزن هر قلم کاال دارای توزیع یکنواخت با پارامترهای 10 اگر محمولهای متشکل از -467

25 =β تن باشد ، کدام یک از عبارتهای ذیل در مورد محموله صحیح است ؟

، و توزیع یکنواخت2σ ، 120 =µ =190) الف

، و توزیع نرمال2σ ، 120 =µ =190) ب

، و توزیع نرمال2σ ، 190 =µ =120) ج

، و توزیع نامشخص 2σ ، 190 =µ =120) د

را در نظر بگیرید ؛ پارامترهای تقریب نرمال آن کدام است ؟ λ=36 توزیع پواسونی با -468

µ , 6 =σ=36) جµ , 36 =σ=36) الف

µ , 6 =σ=6) دµ , 36 =σ=6) ب



١١٣

برای رسم نمودار احتمال در صفحه احتمال نرمال برای داده های طبقه بندی شده ، از کدام یک از موارد ذیل -469

استفاده می شود ؟

محور افقی حدود طبقات ، محور عمودی فراوانی نسبی ) الف

راوانی نسبی ، محور عمودی حدود طبقات محور افقی ف) ب

محور افقی حدود باالی طبقات ، محور عمودی فراوانی تجمعی یا نسبی ) ج

محور افقی حدود باالی طبقات ، محور عمودی فراوانی نسبی تجمعی ) د

مسائل

توزیع نمـرات نرمـال ( باشد 14 و 70 فرض کنید میانگین و انحراف معیــــــار نمرات نهایی درسی به ترتیب -470

، بـه » ج« درصد نمـره 40، به » ب« درصد نمره 20، به » الف« درصد افراد کالس نمره 10اگر بخواهیم به ) . است

بدهیم ، حداقل نمره بـرای قـرار گـرفتن در هـر یـک از گروههـای » هـ« درصد نمره 10، و به » د« درصد نمره 20

مذکور چقدر است؟

فرض کنید که هر یک از مشتریان کامال مـستقل از . لب هزار مشتری با هم رقابت می کنند دو سینما برای ج -471

هر سالن سینما باید چند صندلی داشته باشد تا احتمال جـواب کـردن . دیگران یکی از دو سینما را انتخای می کند

مشتری به دلیل کمبود صندلی ، کمتر از یک درصد باشد ؟

دقیقـه و 50رای رفتن از منزل تا محل کار صرف می کند دارای توزیع نرمال با میانگین وقتی را که شخصی ب -472

. دقیقه است 14انحراف معیار



١١٤

احتمال اینکه این شخص فردا بیش از یک ساعت از وقتش را برای این کار صرف کند، چقدر است ؟ ) الف

درصد کاهش دهد ، برای رفتن از منزل بـه محـل 3اگر این شخص بخواهد ریسک دیر رسیدن به محل کار را به ) ب

کار باید حداقل چند دقیقه از وقت خود را تخصیص دهد ؟

تکرار شده باشد، چقدر است ؟ 5 با رقم 1050 هزار رقم تصادفی ، حداکثر 12 احتمال اینکه از بین -473

لیت های مـسیر بحرانـی پـروژه ای در ایـن و انحراف معیار زمان انجام دادن فعا ) میانگین ( زمان مورد انتظار -474

) : واحد زمان هفته است ( جدول آورده شده است

واریانس میانگین فعالیت واریانس میانگین فعالیت

1 3 2/1 6 3 0/1

2 2 8/0 7 2/4 1/2

3 8/1 5/0 8 1 3/0

4 5 0/2 9 5/0 2/0

5 3 5/1

چقدر است ؟ هفته26 تا 20احتمال تکمیل پروژه بین ) الف

هفته چقدر است ؟ 22احتمال تکمیل پروژه طی حداکثر ) ب

، به سواالت زیر پاسخ دهید ؟474 با توجه به سوال -475

اگر بخواهیم با کارفرمای پروژه قراردادی منعقد کنیم ، چند هفته برای تکمیل آن در نظر بگیریم به طـوری کـه ) الف

ه بیشتر از آن مدت طول نخواهد کشید ؟ درصد احتمال مطمئن باشیم پروژ95با



١١٥

5 هفتـه ، مبلـغ 20کارفرمای پروژه گفته است عالوه بر مبلغ قرارداد ، به شرط تکمیل پروزه در زمـانی کمتـر از ) ب

هفته ، مبلغ یک میلیون ریال به عنوان پـاداش خواهـد پرداخـت 30 تا 20میلیون ریال و به شرط تکمیل پروژه بین

امید ریاضی دریافـت پـاداش . میلیون ریال خسارت خواهد گرفت 10 هفته طول بکشد مبلغ 30از ف ولی اگر بیش

برای شرکت بابت زمان تکمیل پروژه چقدر است ؟

کیلـوگرم 45وزن هر گوسفند به طور متوسط . گوسفند را بدون توزین آنها ، یکجا می خرد 470 کشتارگاهی -476

تن باشد ، چقدر است ؟ 22 گوسفند بیش از 470 اینکه وزن این احتمال. است 4با انحراف معیار

احتمال . شکایت است 5 تعداد شکایات جنایی که ماهانه به دادگاهی می رسد دارای توزیع پواسون با میانگین -477

تفاده از تقریـب نرمـال اسـ ( شکایت جنایی به این دادگاه برسد ، چقدر اسـت ؟ 17اینکه در طی فصل پاییز بیش از

) کنید

: خانوار انتخاب شده از شهری در این جدول آورده شده است1200 توزیع درآمد ماهانه -478

فراوانی

طبقات

)ارقام به ده هزار ریال(

100 15-10

250 20-15

230 25-20

220 30-25

140 35-30



١١٦

80 40-35

55 45-40

70 50-45

33 55-50

22 60-55

صفحه احتمال نرمال ، تعیین کنید آیا توزیع درآمد این شهر می تواند نرمال باشد ؟ با استفاده از

. را پیدا کنید σ باشد ، P( X≤22+σ)=0/9772 باشد ، اگر ∽ N( 20,σ) X فرض کنید-479

ز دو تولیـدات رو . درصد از تولیدات شب کارخانه ای معیوب است 8 درصد از تولیدات روز و 5 به طور متوسط -480

احتمال اینکـه مـامور کنتـرل . تولیدات روز و شب در یک جا و به صورت مخلوط نگهداری می شود . برابر شب است

کاالی معیوب شود ، چقدر است ؟ 12 تا 8 کاال و آزمایش آنها متوجه وجود 150کیفیت پس از انتخاب


غ) 454 غ) 453 ص) 452 غ) 451 غ) 450

الف) 459 غ) 458 غ) 457 ص) 456 غ) 455

ج) 464 ج) 463 ج ) 462 ب) 461 الف) 460

د) 469 ج) 468 ج) 467 ج) 466 ج) 465



١١٧

و F(1)می خواهیم تابع توزیع مربوط به آن را پیدا کنـیم و مقـدار . ابن جدول تابع احتمال را رد نظر بگیرید -481

F(3) را به دست آوریم .

10 5 3 0 2- x

20/0 30/0 25/0 15/0 10/0 P(X=x)

: روز به این شرح است 120 تعداد تلویزیونهای فروخته شده فروشگاهی در -482

تعداد تلویزیونهای فروخته شده تعداد روزها

18 2

27 3

30 4

15 5

18 6

12 7

جمع 120

. تابع احتمال را تعیین کنید ) الف

. تابع توزیع را تعیین کنید ) ب

تمال اینکه در یک روز کمتر و یا مساوی پنج تلویزیون فروخته شود ، چقدر است ؟ اح) ج

تقاضاهای ماهاانه همراه با احتماالت مربـوط در ایـن جـدول آورده . شرکتی تولید کننده آبگرمکن گازی است -483

. امید ریاضی تعداد تقاضا را پیدا کرده ، آن را تعبیر کنید . شده است



١١٨

x) تقاضا ( -2 0 3 5 10

f(x)) احتمال( 10/0 15/0 25/0 30/0 20/0

: باشد ، این مقادیر را محاسبه کنید E(X2)=8 و E(X)= 5/2 اگر -484

V(-2x+3)) جV(X)) بV(3)) الف

تـا از ایـن بلبرینـگ هـا را 3دفی به طور تصا . تای آنها معیوب است 2 بلبرینگ وجود دارد که 8 در جعبه ای -485

تـابع احتمـال ) را تعداد بلبرینگ های معیوب فرض مـی کنـیم Y را تعداد بلبرینگهای سالم و X( بیرون آورده ایم

. توام آنها را پیدا کنیم

نـیم ، اگر کاالیی را بدون جایگزینی انتخـاب ک . تای آنها نامرغوب است 5 کاال وجود دارد که 20 در جعبه ای -486

.آیا این آزمایش ، آزمایش برنولی محسوب می شود

احتمال دادن پاسـخ درسـت بـه . پاسخ دهد ) غلط –صحیح ( سوال دو گزینه ای 5 دانشجویی می خواهد به -487

. سوال پاسخ درست بدهد ، چقدر است 2احتمال اینکه دقیقا به . است 7/0هر سوال

17اگـر . ان پودرهای شوینده ، مصرف کننـده مـارک تجـاری مـا هـستند از مصرف کنندگ 20/0 فرض کنید -488

. مصرف کننده انتخاب شوند ، هر یک از احتماالت را محاسبه کنید

. مصرف کننده مشتری ما باشند 3) الف

. مصرف کننده مشتری ما باشند 4حداقل ) ب

. مصرف کننده مشتری ما باشند 5 و حداکثر 2حداقل ) ج



١١٩

اگر احتمال اینکه در هشتمین دزدی خـود بـرای . است 6/0ال انیکه دزدی در حین دزدی دستگیر شود احتم -489

.چهارمین با دستگیر شود ، چقدر است

احتمـال انیکـه شـشمین . متوجه آن می شـود 80/0 اگر کاالیی معیوب باشد مامور کنترل کیفیت با احتمال -490

. شد که وی متوجه آن شده است ، چقدر است کاالی معیوب ، پنجمین کاالی معیوبی با

نفر را بر حسب تـصادف انتخـاب کنـیم ، 6اگر . نفر واجد شرایط هستند 70متقاضی شغلی ، تنها 200 از بین -491

. نفر آنها واجد شرایط باشند را محاسبه کنید 3احتمال اینکه

150اگر امـروز . فنها را اشتباه وصل یم کند درصد از تل 3 بر اساس تجربه مشخص شده است که یک تلفنچی -492

: تلفن وصل کرده باشد ، این موارد را محاسبه کنید

. میانگین تلفنهایی که اشتباه وصل شده باشد ( امید ریاضی ) الف

. شماره را اشتباه وصل کرده باشد 3احتمال اینکه ) ب

. اشد احتمال اینکه بیش از یک شماره را اشتباه وصل کرده ب) ج

مشتری در هر دقیقه هـستند 2 تعداد مشتریانی که به بانکی مراجعه می کنند دارای توزیع پواسون با میانگین -493

. ؛ احتماالت زیر را محاسبه کنید

. در یک دقیقه اول هیچ مشتری ای مراجعه نکند ) الف

. مشتری مراجعه کند 3 ثانیه اول کمتر از 105در ) ب

. یقه اول یک مشتری مراجعه کند دق5/1در ) ج



١٢٠

: این تابع چگالی مفروض است -494

4 <x < 1 , 1 4 f(x) =

0ر این صورت ، در غی

.امید ریاضی و واریانس این تابع را پیدا کنید


5 <x < 0 , x2 2 f(x) = 0 در غیر این صورت ،

. موارد زیر را محاسبه کنید

، گشتاور مرتبه اول نسبت به صفر E(x)) الف

، گشتاور مرتبه دوم نسبت به صفر E(x2)) ب

. ، به سواالت زیر پاسخ دهید 495 با توجه به سوال -496

گشتاور مرتبه سوم نسبت به صفر ،E(x3)) الف

، گشتاور مرتبه چهارم نسبت به صفرE(x4)) ب

. توزیع نرمال چیست ؟ و خصوصیات آن را توضیح دهید -497

را 43 تا 24 مقداری بین X را درنظر بگیرید ، احتمال اینکه متغیر تصادفی σ =9 و µ= 30 توزیع نرمالی با -498

بگیرد ، چقدر است ؟



١٢١

گـرم آبلیمـو را داخـل هـر شیـشه 330 دستگاه پرکننده شیشه های آبلیمو طوری تنظیم شده است که فقـط -499

گـرم و انحـراف 330بریزد ، با وجود این میزان آبلیمویی که وارد هر شیشه می شود دارای توزیع نرمال بـا میـانگین

: احتماالت زیر را محاسبه کنید . گرم است 5معیار

. گرم آبلیمو داشته باشد 328 تا 322بین شیشه ای ) الف

. گرم آبلیمو داشته باشد 335شیشه ای بیش از ) ب

انتظار مـی رود چنـد شیـشه . شیشه را به صورت تصادفی وزن می کند 70دایره کنترل کیفیت ، میزان آبلیموی ) ج

. گرم آبلیمو داشته باشد 325بیش از

20 دقیقـه و انحـراف معیـار 50برچسب زنی دارای توزیع نرمال با میـانگین زمان الزم برای عمیر یک ماشین -500

دقیقه طول بکشد ، بـه علـت 85ا گر تعمیر این ماشین بیش از . هزار ریال است 5هزینه هر بار تعیمر . دقیقه است

هر بار خرابـی ایـن هزار ریال به بار می آید ؛ محاسبه کنید امید ریاضی هزینه 100توقف خط تولید ، ضرری معادل

. دستگاه چقدر است



١٢٢

Soale Amar.accportal.com.Razaghi

Documents

Transcript of Soale Amar.accportal.com.Razaghi