OSN 2002(Propinsi)

1. Sebuah segitiga samasisi, sebuah lingkaran dan sebuah persegi memiliki keliling yang sama. Di antara ketiga bangun tersebut, manakah yang memiliki luas terbesar?

2. Segitiga ABC memiliki panjang sisi AB = 10, BC = 7, dan CA = 12. Jika setiap sisi diperpanjang menjadi tiga kali panjang semula, maka segitiga yang terbentuk memiliki luas berapa kali luas ABC ?

3. Garis tengah sebuah setengah lingkaran berimpit dengan alas AB dari ABC. Titik sudut C bergerak sedemikian rupa, sehingga titik tengah sisi AC selalu terletak pada setengah lingkaran. Berupa apakah lengkungan tempat kedudukan titik C ?

4. Kita gambarkan segibanyak beraturan (reguler) R dengan 2002 titik sudut beserta semua diagonalnya. Berapakah banyaknya segitiga yang terbentuk yang semua titik sudutnya adalah titik sudut R, tetapi tidak ada sisinya yang merupakan sisi R ?

5. Diberikan segitiga sama sisi ABC dan sebuah titik P sehingga jarak P ke A dan ke C tidak lebih jauh dari jarak P ke C. Buktikan bahwa PB = PA + PC jika dan hanya jika P terletak pada lingkaran luar ABC.

OSN 2003(Propinsi)

6. Dalam sebuah segitiga ABC siku-siku sama kaki, dibuat persegi PQRS sebagai berikut : Titik P pada sisi AB, titik Q pada sisi AC, sedangkan titik-titik R dan S pada sisi miring BC. Jika luas segitiga ABC adalah x, berapakah luas persegi PQRS ?

7. Titik P terletak di dalam persegi ABCD demikian rupa, sehingga AP : BP : CP = 1 : 2 : 3. Berapakah besar sudut APB ?

8. Sebuah bola dengan jari-jari r ditendang dari B ke A. Bola tersebut menggelinding sebanyak tepat 10 putaran sebelum membentur bidang miring dan berhenti. Berapakah jarak dari B ke A ?

9. Suatu lingkaran mempunyai diameter AB yang panjangnya merupakan bilangan bulat 2-angka. Tali busur CD tegak lurus pada AB dan memotong AB di titik H. Panjang CD sama dengan bilangan yang diperoleh dengan menukar letak kedua angka dari panjang AB. Jika jarak dari H ke pusat lingkaran merupakan bilangan rasional, berapakah panjang AB ?

10. Titik-titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah rusuk AE dan CG pada kubus ABCD.EFGH. Jika panjang rusuk kubus adalah 1 satuan, tentukan luas segi-empat DPFQ.

OSN 2004(Propinsi)

11. Ketika menghitung volume sebuah tabung, Dina melakukan kesalahan. Ia memasukkan diameter alas ke dalam rumus volume tabung, padahal seharusnya jari-jari alas yang dimasukkan. Berapakah rasio hasil perhitungan Dinas terhadap hasil yang seharusnya ?

12. Tiga lingkaran melalui titik pusat koordinat (0, 0). Pusat lingkaran pertama terletak di kuadran I, pusat lingkaran kedua berada di kuadran II dan pusat lingkaran ketiga berada pada kuadran III. Jika P adalah sebuah titik yang berada di dalam ketiga lingkaran tersebut, di kuadran manakah titik ini berada ? 13. Diberikan segitiga ABC dengan perbandingan panjang sisi AC : CB = 3 : 4. Garis bagi sudut luar C memotong perpanjangan BA di P (titik A terletak di antara titik-titik P dan B). Tentukan perbandingan panjang PA : AB.

14. Pada sebuah trapesium dengan tinggi 4, kedua diagonalnya saling tegak lurus. Jika salah satu dari diagonal tersebut panjangnya 5, berapakah luas trapesium tersebut ?

15. Santi dan Tini berlari sepanjang sebuah lintasan yang berbentuk lingkaran. Keduanya mulai berlari pada saat yang sama dari titik P, tetapi mengambil arah berlawanan. Santi berlari 1 kali lebih cepat daripada Tini. Jika PQ adalah garis tengah lingkaran lintasan dan keduanya berpapasan untuk pertama kalinya di titik R, berapa derajatkah besar RPQ ?

16. Pada sisi-sisi SU, TS dan UT dari STU dipilih titik-titik P, Q dan R berturut-turut sehingga SP = 41SU, TQ = 21TS dan UR = 31UT. Jika luas segitiga STU adalah 1, berapakah luas segitiga PQR ?

17. Berapakah banyak minimal titik yang harus diambil dari sebuah persegi dengan panjang sisi 2, agar dapat dijamin senantiasa terambil dua titik yang jarak antara keduanya tidak lebih dari 221 ?

18. Pada segitiga ABC diberikan titik-titik D, E, dan F yang terletak berturut-turut pada sisi BC, CA dan AB sehingga garis-garis AD, BE dan CF berpotongan di titik O. Buktikan bahwa

19. Beni, Coki dan Doni tingggal serumah dan belajar di sekolah yang sama. Setiap pagi ketiganya berangkat pada saat yang sama. Untuk sampai ke sekolah Beni memerlukan waktu 2 menit, Coki memerlukan waktu 4 menit, sedangkan Doni memerlukan waktu 8 menit. Selain itu tersedia sebuah sepeda yang hanya dapat dinaiki satu orang. Dengan sepeda, setiap orang memerlukan waktu hanya 1 menit. Tunjukkan bahwa adalah mungkin bagi ketiganya untuk sampai ke sekolah dalam waktu tidak lebih dari 2 menit. 20. Misalkan ABCD sebuah trapesium dengan BC//AD. Titik-titik P dan R berturut-turut adalah : titik tengah AB dan CD. Titik Q terletak pada sisi BC sehingga rasio luas segiempat PQRS terhadap luas trapesium ABCD adalah .

OSN 2004(Propinsi)

BDCA21. Jika AB = AC, AD = BD dan besar sudut DAC = 890, maka besar sudut BAD adalah .

22. Sebuah segienam beraturan dan segitiga sama sisi mempunyai keliling yang sama. Jika luas segitiga adalah , maka luas segienam adalah .

OSN 2005(Propinsi)

23. Keliling sebuah segitiga samasisi adalah p. Misalkan Q adalah sebuah titik di dalam segitiga tersebut. Jika jumlah jarak dari Q ke ketiga sisi segitiga adalah s, maka, dinyatakan dalam s, p = . . .

24. Misalkan ABCD adalah limas segitiga beraturan, yaitu bangun ruang bersisi empat yang berbentuk segitiga samasisi. Misalkan S adalah titik tengah rusuk AB dan T titik tengah rusuk CD. Jika panjang rusuk ABCD adalah 1 satuan panjang, maka panjang ST adalah . . .

25. Panjang sisi terbesar pada segiempat talibusur ABCD adalah a, sedangkan jari-jari lingkaran luar ACD adalah 1. Tentukan nilai terkecil yang mungkin bagi a. Segiempat ABCD yang bagaimana yang memberikan nilai a sama dengan nilai terkecil tersebut ?

26. Panjang ketiga sisi a, b, c dengan a b c, sebuah segitiga siku-siku adalah bilangan bulat. Tentukan semua barisan (a, b, c) agar nilai keliling dan nilai luas segitiga tersebut sama.

OSN 2006(Propinsi)

27. Luas sisi-sisi sebuah balok adalah 486,486,243,243,162,162. Volum balok tersebut adalah ....28. Pada segitiga ABC, garis bagi sudut A memotong sisi BC di titik D. Jika AB = AD = 2 dan BD = 1, maka CD = ....29. Pada segitiga ABC, garis-garis berat dari titik sudut B dan titik sudut C saling berpotongan tegak lurus. Nilai minimum adalah .30. Misalkan segitiga ABC siku-siku di B. garis tinggi dari B memotong sisi AC di titik D. jika titik E dan F berturut-turut adalah titik tengah BD dan CD, buktikan bahwa .31. Pada trapesium ABCD, sisi AB sejajar dengan DC. Sebuah lingkaran yang menyinggung ke empat sisi trapesium dapat dibuat. Jika AB = 75 dan DC = 40, maka keliling trapezium ABCD = .

OSN 2007(Propinsi)

32. Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama dengan dua kali panjang sisi terpendeknya, sedangkan panjang sisi ketiga 1 satuan panjang lebih panjang dari panjang sisi terpendeknya. Luas segitiga itu adalah . . . satuan luas.

33. Dona menyusun lima buah persegi yang kongruen menjadi sebuah bangun datar. Tidak ada persegi yang menindih persegi lainnya. Jika luas bangun yang diperoleh Dona adalah 245 cm2, keliling bangun tersebut paling sedikit adalah . . . cm.

34. Sebuah kubus berukuran 5 x 5 x 5 disusun dari 125 kubus satuan. Permukaan kubus besar lalu dicat. Rasio sisi (permukaan) ke-125 kubus satuan yang dicat terhadap yang tidak dicat adalah . . .

35. Diberikan segitiga ABC siku-siku di A, titik D pada AC dan titik F pada BC. Jika AF BC dan BD = DC = FC = 1, maka AC = . . .

36. Misalkan ABCD sebuah segiempat dengan AB = BC = CD = DA. (a) Buktikan bahwa titik A harus berada di luar segitiga BCD. (b) Buktikan bahwa setiap pasangan sisi berhadapan pada ABCD selalu sejajar.

37. Pada segitiga lancip ABC, AD, BE dan CF adalah garis-garis tinggi, dengan D, E, F berturut-turut pada sisi BC, CA, dan AB. Buktikan bahwa DE + DF BC

OSN 2008(Propinsi)

38. Di berikan segitiga ABC, AD tegak lurus BC sedemikian rupa sehingga DC = 2 dan BD = 3. jika BAC = 450, maka luas segitiga ABC adalah . . .39.

Diberikan segitiga ABC, dengan BC = a , AC = b, dan C = 600. jika , maka besarnya sudut B adalah . . .

40. Diberikan segitiga ABC, dengan BC = 5, AC = 12, dan AB = 13. titik D dan E berturut-turut pada AB dan AC sedemikian rupa sehingga DE membagi segitiga ABC menjadi dua bagian dengan luas yang sama. Panjang minimum DE adalah . . .41. Diberikan segitiga ABC dengan sisinya a, b, dan c, nilai a2 + b2 + c2 sama dengan 16 kali luas segitiga ABC. Besarnya nilai ctg A +ctg B + ctg C adalah . . .

42.

Diketahui Ad adalah garis tinggi dari segitiga ABC, DAB = ACD, Ad = 6, BD = 8. luas segitiga ABC adalah . . .

43. Lingkaran dalam segitiga ABC, menyinggung sisi-sisi BC, CA dan AB berturut-turut di D, E, dan F. Melalui D, ditarik garis tegak lurus EF yang memotong Ef di G. Buktikan bahwa

OSN 2009(Propinsi)

44. Diberikan segitiga dengan panjang dari ketiga garis tinggi segitiga itu merupakan bilangan bulat. Jika panjang kedua garis tingginya adalah 10 dan 6, maka panjang maksimum garis tinggi ketiga adalah ....45.

Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan panjang sisi-sisinya a, b, dan c serta a