Contoh soal beserta pembahasan

Bab geometri

MATEMATIKA WAJIB

Oleh:MELANI SHAPUTRI

1.Kubus dengan panjang sisi 12 cm.

Tentukan panjang diagonal bidang sisi kubus…

a. 12√2 cmb. 12√3 cmc. 12√4 cmd. 6√3 cme. 6√2 cm

PembahasanAF adalah salah satu contoh diagonal bidang pada kubus, sementara BH adalah salah satu contoh diagonal ruang pada kubus.

Panjang diagonal bidang dan diagonal dari kubus dengan panjang sisi = a masing-masing adalah

2.Kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi 12 cm. Titik P adalahperpotongan diagonal bidang ABCD. Tentukan jarak titik P ke titik G

A.6√2B.6√3C.6√6D.12√2E.12

PembahasanGambar sebagai berikut

AC panjangnya 12√2, sementara PC adalah setengah dari AC. Sehingga PC = 6√2 cm. CG = 12 cm.

3.Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, jarak titik B ke diagonal ruang AG adalah...

A. √5B. 2√5C. 3√5D. 2√6E. 3√6(UN 2003)

PembahasanMisalkan jaraknya adalah BP, dimana BP dengan AG harus tegak lurus.

Ambil segitiga ABG sebagai acuan perhitungan. Jika AB dijadikan alas segitiga, maka BG menjadi tingginya. Jika AG yang dijadikan alas, maka tinggi segitiganya adalah BP, dimana BP itulah yang hendak dicari.

alas1 x tinggi1 = alas2 x tinggi

4.Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm, titik P adalah tepat ditengah CG, tentukan jarak titik C ke garis AP!

a.8b.8√3c.4√2d.4√3e.4

PembahasanPosisi titik C dan garis AP pada kubus sebagai berikut:

Cari panjang AP terlebih dahulu,

dilanjutkan menentukan jarak C ke AP,

5.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk A cm hitunglah jarak titik A dan titik C…

a.a√2

b. a√3

c.1/2a

d.a

e.2a

penyelesaian:

perhatikan segitiga ABC dengan sudut B 90 derajat ,berdasarkan teorema phytagoras,diperoleh:

AC^2=AB2+BC2

=a2+a2

=2a2

=√2a2

=a√2 cm

6.Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 cm dan TA = 6 cm. Jarak titik C ke garis AT A. 1/14 √14 cmB. 2/3 √14 cmC. 3/4 √14 cmD. 4/3 √14 cmE. 3/2 √14 cm

PembahasanSketsa soalnya seperti berikut ini

Dengan pythagoras dapat ditentukan panjang AC,

dan juga tinggi limas TP

Akhirnya dari segitiga ACT diperoleh nilai x

Jawaban: D. 4/3 √14 cm!

7. Jarak Antara Dua Titik .Diketahui dua buah titik A(2,4) dan B(8,8). Tentukan jarak antara kedua titik ?

A.13√2

b.13

c2√13

d.2√52

e.52

penyelesaian?

Ab=√¿¿2-x1)2+(y2-y1)2

= √ (8−2 )2+ (8−4 )2¿

¿

= √62+42

= √36+16

= √52

= 2√13

8.Diketahui dua buah titik A(5,7) dan B(6,3).Tentukan jarak antara kedua titik…

A.√13

B.√14

C.√15

D.√16

E.√17

Penyelesaian:

AB =√(x2-x1)2+(y2-y1)2

AB=√(6-5)2+(3-7)2

AB=√12+42

AB=√1+16

AB=√17

9.Tentukan jarak dari titik pusat O ke titik pusat P bila: a.P(4,3,2), b.P(-2,3,6)

A.√29, 7

B.√23, 8

C.√21, 1

D.29, √7

E.21, 7

Penyelesaian:

Titik asal O =(0,0,0)=(x1,y1,z1) dan P = ( x2,y2,z2)

OP=√ x22+y2

2+z22

a.OP =√ x22+y2

2+z22

=√42+32+22

=√16+9+4

=√29

b. OP=√ x22+y2

2+z22

=√(-2)2+32+62

=√49

=7

10. Tentukan jarak titik A ke titik B bila, A (4,2,2) dan B ( 2,1,1)…

A. 2

B 3

C.√6

D.√7

E.√8

Penyelesaian :

Titik asal A = x1,y1,z1 dan B =x2,y2,z2

AB=√(x2-x1)2 +( y2-y1)2+ (z2-z1)2

= √(2-4)2+(1-2)2+(1-2)2

=√4+1+1

=√6

11.Di ketahui segitiga ABC dengan titik titik sudut A(3,4,1),B (7,-8,-2) dan C (2,4,1).Tentukan titik berat segitiga ABC

A. ( 1238343 )

B. ( 1038343 )

C ¿

D . ( 12383123 )

E . ( 1234343)

PENYELESAIAN

M= (XA+XB+XC3

, YA+YB+YC3

, ZA+ZB+ZC3

¿

( 3+7+23, 4+8−4

3, 1+2+1

3 )

( 1238343 )

12.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P dan Q masing-masing terletak pada pertengahan CG dan HG. Sudut antara BD dan bidang BPQE adalah α , nilai tanα = …

a.34√2

b.34√3

c.24√2

d.34

e.√2

penyelesaian

13.Diketahui kubus ABCD.EFGH. Dari pernyataan berikut:(1) AH dan BE berpotongan(2) AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD(3) DF tegak lurus bidang ACH(4) AG dan DF bersilanganyang benar adalah nomor…A. (1) dan (2) saja B. (3) dan (4) saja

C. (2) dan (4) saja D.(2) dan (3) saja E. (1) dan (3) saja

untuk jawabannya , silahkan perhatikan penjelasan berikut ini,,,buat dahulu gambarnya,,,

Perhatikan gambar:untuk kondisi 1AH dan BE tidak berpotongan karena AH dan BE tidak terletak pada bidang yangterpisahUntuk kondisi 2AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD adalah benartarik salah satu titik dari gris AH yang berada di luar bidang ABCD yaitu

titik H ke bidangABCD yang membentuk siku –siku ke ujung titik yang lain (titik A), kemudian tarik titiktersebut didapat garis ADuntuk kondisi 3.DF tegak lurus bidang ACH d titik P (titik berat ACH)Untuk kondisi 4terlihat pada gambar bahwa garis AG dan DF bersilangan, karena masing-masingmerupakan garis diagonal ruang yang saling berpotongan

14.Diketahui bidang empat beraturam ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Cosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah…..

A.48−6432.3

B.48+4832.3

C.48+48−6432

D.48+48−7432.3

E. 48+48−6432.3

penyelesaian

buat dulu gambarnya,,,,

maka jawabannya adalah....

15

a.6√6

b.6

C.3

D. 6√2

E. 6√7

PENYELESAIAN:

16A.3

B.3√3

C. 3√2

D.3√6

E.√56

PENYELESAIAN

17.

A.4√3

B. 4√2

C. 4

D. 4√6

E.2√2

PENYELESAIAN

18

A.3

B.3√6

C.3√7

D.√28

E.√9

PENYELESAIAN

19.DIKETAHUI balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB;4 m, AD:6 m, dan AE;8m

Maka diagonal ruang DF adalah..

A.√18

B. √52

C. √70

D. √116

E. √120

PENYELESAIAN

√A B2+A D2+AE2

√42+62+82¿¿

√16+36+64

√116

20. Pada kubus ABCD.EFGH yang berusuk 6 cm,tentukan jarak titik H ke titik tengah BC

A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm E.10 cmPembahasan:

Titik tengah BC= P,maka CP= 1/2 × 6 =3 cm

CH = 6√2 cm (diagonal bidang)

Pandang ∆PCH,siku-siku di C

Berdasarkan teorema Pythagoras ,diperoleh:

HP =√(CH)2 + (CP)2

=√(6√2)2 + 32

=√62. 2+32

=√32(8+1)

=√32.32

=3.3 =9 cm