Soal Aljabar Matriks ITS

Kata Pengantar

Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul

ajar ini dapat terselesaikan.

Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak jauh. Se-

jalan dengan tujuan penyelenggaraan perkuliahan, materi modul ajar ini dipilih dari pokok-

pokok aljabar matriks sebagai bahan penyeragaman pemahaman aljabar martriks bagi ma-

hasiswa. Dalam hal ini, setelah mengikuti kuliah sesuai materi dalam modul ajar ini, di-

harapkan mahasiswa mempunyai bekal yang cukup baik untuk mengikuti perkuliahan.

Materi yang diberikan dalam modul ajar ini cukup untuk ukuran perkuliahan satu se-

mester. Untuk itu, materi dalam modul ini diberikan dengan cara sederhana dan contoh

singkat; mengingat bahwa semua materi harus diserap sendiri. Untuk itu diharapkan peser-

ta kuliah dengan tekun dan sungguh-sungguh mengikuti modul ini dan aktif mengerjakan

soal-soal.

Penyusun menyampaikan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu hing-

ga tersusunnya modul ini. Tak lupa, kritik dan saran untuk menyempurnakan modul ini

sangat diharapkan.

Surabaya, Januari 2007

Penyusun

ii

Daftar Isi

Kata Pengantar ii

Daftar Isi iii

1 Sistem Persamaan Linear 1

1.1 Soal-Soal Latihan Pengantar SPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.2 Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.3 Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.4 Soal-Soal Latihan Matriks Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.5 Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers . . . . . . . . . .5

1.6 Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris . . . . . . . . .6

2 Determinan 7

2.1 Soal-Soal Latihan Fungsi Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

2.2 Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan . . . . . . . . . . . .8

2.3 Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . .9

2.4 Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers . . . . . . . . . . . . . . .10

3 Vektor dan Operasinya 11

3.1 Soal-Soal Latihan Pengantar Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

3.2 Soal-Soal Latihan Panjang Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

3.3 Soal-Soal Latihan Dot Product, Proyeksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

3.4 Soal-Soal Latihan Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

4 Transformasi Linear dan Sifat 14

4.1 Soal-Soal Latihan Transformasi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

4.2 Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . .15

5 Ruang Vektor 17

5.1 Soal-Soal Latihan Ruang Vektor Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

5.2 Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun . . . . . . . . . . . .18

iii

5.3 Soal-Soal Latihan Bebas Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

5.4 Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

5.5 Soal-Soal Latihan Ruang Baris, Ruang Kolom dan Ruang Kosong . . . . .19

5.6 Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

iv

Modul 1Sistem Persamaan Linear

1.1 Soal-Soal Latihan Pengantar SPL

Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya ban-

dingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan.

1. Persamaan-persamaan manakah yang termasuk persamaan linear?

(a) 2x + 3y + 2z = 6 (b) 2xy + 3y + 2z = 6 (c) 2x + 3y = 2z + 6

(d) 12x + 3y2 = 6 (e) 1

x + 3y − z = 6 (f) 14x− 2

3y = 6

2. Jikap adalah suatu konstanta, persamaan manakah yang termasuk persamaan linear

(a) 2x + 3y = sin p (b) py + 3x + 2z = π (c) px + 1py = 6

3. Buatlah matriksA, x danb yang dapat mewakili sistem persamaan linear dibawah ini

2x + 3y + 4z = 6

−3x + 3y − 6z = 12

4. Buatlah matriks diperbesar dari sistem persamaan linear dibawah ini

3x + 4y − 3z = 12

−x + 2y + 9z = 21

−3y + 2x + 6z = 22

1

1.2. Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL 2

5. Apakah sistem linear dibawah termasuk sistem linear homogen

3x + 2y = 3z

−x + 9z = 2y

−3y + 11z = 2x

6. Cari sistem persamaan linear dari matriks diperbesar dibawah ini

3 4 −13 1 81

−3 −22 12 2 32

4 3 33 3 32

1 12 11 7 34

2 1 −3 23 55

1.2 Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL



1. Diantara matriks-matriks tersebut yang termasuk matriks yang berbentuk eselon, eselon

tereduksi, atau bukan keduanya

(a).

1 2 1

0 1 2

0 0 1

(b).

1 0 1

0 1 0

0 0 1

(c).

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(d).

1 0 0

0 1 0

0 0 0

(e).

0 0 0

0 1 0

0 0 1

(f).

1 0 0

0 1 0

0 0 0

(g).

1 0 0

0 0 1

0 1 0

(h).

1 1 0

0 1 0

0 0 0

2. Selesaikan sistem dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss

2x + 2y + 2z = 12

x + 2y + 3z = 14

3x + y + 2z = 11

3. Selesaikan sistem dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss-Jordan

x + 2y + 2z = 9

x + y − 3z = 2

3x− y + 2z = 9

Modul Aljabar Matriks ITS BPKLN-DepDikNas

1.3. Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya 3

4. Selesaikan sistem linear homogen dibawah ini dengan metode sebarang

x + 2y + 2z = 0

x + y − 3z = 0

3x− y + 2z = 0

5. Selesaikan sistem linear dibawah ini dengan metode sebarang

x1 + 2x2 + 2x3 = x4

x1 + x2 − 3x4 = 2x3

2x1 − 2x3 + 2x4 = x2

6. Carilah nilaia, sedemikian hingga sistem linear tersebut mempunyai satu penyelesaian,

banyak penyelesaian dan tidak mempunyai penyelesaian

x1 + 2x2 − 3x3 = 4

3x1 − x2 + 5x4 = 2

4x1 + x2 + (a2 − 14)x3 = a + 2

1.3 Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya



1. Diketahui matriks beserta ukurannya, yaituA3×4, B3×4, C4×2, D3×2, danE4×3, ten-

tukan manakah yang dapat dilakukan, jika tidak dapat dilakukan beri komentar

(a)B A (b) A C + D (c) A E + B (d) A B + B

(e)E(B + A) (f) E(A C) (g) ET A (h) (AT + E) D

2. Diketahui persamaan matriks dibawah ini(

a-b b+c

3d+c 2a-4d

)=

(16 2

14 12

)

carilah nilaia, b, c dand

3. Pandang matriks-matriks dibawah ini

X =

1 2

3 6

4 3

Y =

(4 −1

−2 2

)Z =

(2 3 −1

0 −2 2

)W =

1 2 −1

3 −2 0

6 2 5

Hitung operasi matriks dibawah (jika memungkinkan)


1.4. Soal-Soal Latihan Matriks Invers 4

(a)XY (b) Y Z (c) ZW (d) WX

(e)Y X − Z (f) ZX − 2Y (g) 3Y + ZX (h) XZ − 2W

4. Carilah matriksA berukuran4×4, yang anggotanya memenuhi syarat yang dinyatakan

(a)aij = i + j (b) aij = ij−1 (c) aij =

{1, |i− j| > 1

−1, |i− j| ≤ 1

5. Jika matriksA berukuranp× q, maka

tr(AAT ) = tr(AT A) = s

dimanas adalah jumlah kuadrat anggota-angotaA.

1.4 Soal-Soal Latihan Matriks Invers


dingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. Diketahui empat

matriks, yaitu

A =

(2 3

3 5

)B =

(5 −3

−3 2

)C =

(4 −3

5 4

)D =

(4 3

5 4

)

1. Hitunglah

(a)AB (b) AC (c) AD

(d) BA (e) BC (f) BD

(g) CA (h) CB (i) CD

(j) DA (k) DB (l) DC

Apa yang dapat saudar simpulkan ?

2. Gunakan hasil kesipulan soal sebelumnya, kemudian hitunglah

(a)A3 (b) B3 (c) C3 (d) D3

(e) (A−1)3 (f) (B−1)3 (g) (C−1)3 (h) (D−1)3

(a) (AB)3 (b) (AB)−1 (c) (CD)−1 (d) (DC)3

3. Gunakan hasil dari soal sebelumnya, kemudian hitung

(a) A2 − 2A + I


1.5. Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers 5

(b) B2 − 2B + I

(c) (A2 − 2A + I)(B2 − 2B + I)

4. Hitunglah

(a)AT (b) BT (c) CT (d) DT

(e) (A−1)T (f) (B−1)T (g) (C−1)T (h) (D−1)T

(a) (AT BT )−1 (b) (B−1A−1)T (c) (CT DT )T (d) (DC)T

5. Matriks

A =

1 0 1

1 1 0

0 1 1

Tentukan apakahA mempunyai invers atau tidak, jika punya, carilah inversnya (petun-

juk selesaikanAX = I)

1.5 Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers



1. Manakah diantara matriks dibawah ini yang termasuk matriks elementer

a.

(1 0

−3 1

)b.

(−3 1

1 0

)c.

(1 0

0√

5

)d.

(0 1

1 0

)

2. Carilah operasi baris yang menghasilkan matriks elementer berikut

a.

(0 1

1 0

)b.

(−3 0

0 1

)c.

(1 0

0 52

)d.

(1 0

−3 1

)

3. Diketahui matriks

A =

3 2 1

−3 6 −3

8 1 2

B =

8 1 2

−3 6 −3

3 2 1

C =

3 2 1

−3 6 −3

2 −3 0

Carilah matriks elementerE1, E2, E3 danE4, sedemikian hingga

a. E1A = B b. E2B = A c. E3A = C d. E4C = A

4. Pandang matriks

A =

(1 0

−3 3

)


1.6. Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris 6

(a) Cari matriks elementerE1 danE2 sedemikian hinggaE2E1A = I

(b) Tulis A−1 sebagai perkalian dua matriks elementer

(c) Tulis A sebagai perkalian dua matriks elementer

5. Carilah invers dari

B =

1 2 3

2 5 3

1 0 8

1.6 Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris



1. Apakah matriks-matriks dibawah ini mempunyai invers, jika ya, cari inversnya

(a)

(−2 0

0 5

)(b)

2 0 0

0 0 0

0 0 5

(c)

−2 0 0

0 3 0

0 0 4

2. HitunglahA2, A−2, danA−l dari

(a) A =

(−2 0

0 3

)(b) A =

2 0 0

0 1 0

0 0 3

(c) A =

12 0 0

0 13 0

0 0 14

3. Cari semua nilaia, b danc, jika matriksA adalah simetris

A =

2 a− 2b + 2c 2a + b + c

3 5 a + c

0 −2 7

4.


Modul 2Determinan

2.1 Soal-Soal Latihan Fungsi Determinan



1. Carilah jumlah pembalikan dari permutasi{1, 2, 3, 4, 5, 6}

(a) (1, 2, 3, 6, 4, 5) (b) (6, 5, 4, 3, 2, 1) (c) (4, 3, 5, 6, 1, 2) (d) (3, 2, 1, 5, 4, 6)

2. Hitung determinan berikut

(a)

∣∣∣∣∣2 3

6 1

∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣−3 2

5 3

∣∣∣∣∣ (c)

∣∣∣∣∣2 −3

6 4

∣∣∣∣∣ (d)

∣∣∣∣∣3 −3

2 4

∣∣∣∣∣

3. Hitung determinan berikut

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 2

3 5 1

2 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣(b)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −3 2

0 2 3

2 −2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣(c)

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 2 1

1 0 1

2 2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣(d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 2 1

1 0 1

0 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

4. carilah nilaiα sehingga determina dari matriks berikut bernilai nol

(a)

∣∣∣∣∣α− 2 −5

1 α + 4

∣∣∣∣∣ (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣

α− 4 0 0

0 α 2

0 3 α− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

7

2.2. Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan 8

5. Gunakan aturan yan gsudah diperoleh unutk mendapat nilai determian dari matriks

berikut ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 1 0

3 2 2 0

2 5 1 1

1 2 4 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2.2 Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan



1. Hitung determinan berikut dengan cepat

(a).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 1

0 1 2

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣(b).

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 1 3

0 2 0 2

0 0 1 −3

0 0 0 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(c).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 4 1

3 1 3

6 6 6

∣∣∣∣∣∣∣∣(d).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −2 3

10 1 9

1 −2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣

2. Hitung determinan berikut dengan mencongak

(a).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3

4 1 6

2 4 6

∣∣∣∣∣∣∣∣(b).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −4 0

2 1 0

4 5 0

∣∣∣∣∣∣∣∣(c).

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 2

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(d).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 0

0 0 9

0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

3. Dengan melakukan reduksi, hitung determinan berikut

(a).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3

4 9 6

2 4 7

∣∣∣∣∣∣∣∣(b).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −4 0

2 1 5

4 5 3

∣∣∣∣∣∣∣∣(c).

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 2

2 1 1 0

3 3 1 0

4 2 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(d).

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 0

2 4 9

3 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

4. Dengan menggunakan reduksi baris, buktikan∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1

x y z

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣∣= (y − z)(z − x)(z − y)


2.3. Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan 9

5. Tunjukan bahwa determinan dibawah ini benar

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 z

0 y z

x y z

∣∣∣∣∣∣∣∣= −xyz (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 0 z

0 0 y z

0 x y z

t x y z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= txyz

2.3 Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan



1. Periksalah bawhadet(kA) = kndet(A)

(a)A =

(−1 2

2 3

); k = 2 (b)

1 2 5

2 3 4

7 9 11

; k = −2

2. Periksalah bahwadet(AB) = det(A)det(B)

1 2 0

4 3 0

0 0 2

dan B =

−1 1 3

1 7 2

0 5 1

3. Periksa matriks-matriks dibawah ini, apakah mempunyai invers atau tidak

X =

1 0 −1

9 −1 4

8 9 −1

Y =

4 2 8

−2 1 −4

3 1 6

Z =

2 −7 0

6 −21 0

5 −9 0

4. Pandang

Z =

a d h

b e i

c f j

dengan mengasumsikan bahwadet(Z) = −5, maka hitung

(a)det(3A) (b) det(A−1 (c) det(2A−1) (d) det(2A)−1)

5. Berapa nilaik agar matriksA mempunyai invers

(a)A =

(k − 3 −2

−2 k − 2

)(b)

1 2 4

3 1 6

k 3 2


2.4. Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers 10

2.4 Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers



1. Pandang matriks

A =

4 −1 1 6

0 0 −3 3

4 1 0 14

4 1 3 2

Hitung semua Minor, Kofaktor dari matriksA?

2. Dengan menggunakan matriks soal pertama, hitung perluasan kofaktor untuk

(a) baris pertama (b) kolom pertama (c) baris ketiga (d) kolom kedua

3. Pandang

1 3 1 1

2 5 2 2

1 3 8 9

1 3 2 2

(a) HitungA−1 dengan menggunakan teorema yang ada

(b) HitungA−1 dengan menggunakan OBE

(c) Manakah yang lebih efisien

4. Dengan aturan Cramer, hitunglah,x1, x2 danx3

4x1 + 5x2 = 2

11x1 + x1 + 2x3 = 3

x1 + 5x1 + 2x3 = 1


Modul 3Vektor dan Operasinya

3.1 Soal-Soal Latihan Pengantar Vektor



1. Sketsa vektor-vektor berikt dengan titik pangkal pada titik asal

(a)v1 = (2, 6) (b) v2 = (4, 2) (c) v3 = (8, 6) (d) v4 = (6,−3)

(e)u1 = (1, 2, 6) (f) u2 = (3, 4, 2) (g) u3 = (−2, 8, 6) (h) u4 = (6,−3,−2)

2. Carilah vektor tak-nolv dengan titik pangkal pada titikP (1, 2, 3) sedemikian hingga

(a) v mempunyai arah yang sama denganu = (3, 2, 1)

(b) v berlawanan arah denganu = (−3,−2, 3)

3. Carilah semua skalark1, k2 dank3 sedemikian hingga

k1(1, 2, 0) + k2(2, 1, 1) + k3(1, 7, 5) = (0, 5, 4)

4. Jikax = (1, 2, 3), y = (−1, 4, 3) danz = (1,−2, 5), hitunglah

(a)x + y (b) z − 2y (c) z − x + y (d) x− 2x + 3y

5. Carilahu sehingga memenuhi

2u− x + y = 2z − 3y + 5u

11

3.2. Soal-Soal Latihan Panjang Vektor 12

3.2 Soal-Soal Latihan Panjang Vektor



1. Hitung panjang vektor-vektor dibawah ini

(a)v1 = (2, 6) (b) v2 = (4, 2) (c) v3 = (8, 6)

(d) u1 = (1, 2, 6) (e)u2 = (3, 4, 2) (f) u3 = (−2, 8, 6)

(g) w1 = (−1,−2, 8, 6) (h) w2 = (6,−3, 6,−3) (i) w3 = (−2, 6,−3,−2)

2. Carilah jarak antara titikP danQ, jika

(a)P (2, 6) danQ(4, 2) (b) P (8, 6) danP (−2, 3)

(c) P (1, 2, 6) danQ(3, 4, 2) (d) P (1, 8, 6) danP (−3,−2, 3)

(e)P (−1,−2, 8, 6) danQ(6,−3, 6,−3) (f) P (−2, 6,−3,−2) danQ(−2, 6,−3,−2)

3. Jikau = (3, 2, 1), v = (−3,−2, 3) danw = (3, 2,−3) hitungkah ekspresi dibawah ini

(a)‖u− v‖ (b) ‖u‖ − ‖v‖ (c) ‖u‖+ ‖v‖(d) ‖u + 2v + 3w‖ (e)

1‖u‖v (f)

∥∥∥∥1‖u‖v

∥∥∥∥

Dot Product, Proyeksi

3.3 Soal-Soal Latihan Dot Product, Proyeksi



1. Hitungu ¦ v, jika

(a)u = (2, 6) danv = (4, 2) (b) u = (8, 6) danv = (−3, 2)

(c) u = (1, 2, 6) danv = (3, 4, 2) (d) u = (−2, 8, 6) danv = (−3,−3, 2)

(e)u = (1, 2, 8, 6) danv = (6, 3, 6, 3) (f) u = (−2, 6,−3, 2) danv = (−2, 3, 2, 3)

2. Cari proyeksi ortogonalu terhadapa

(a)u = (2, 6) dana = (4, 2) (b) u = (8, 6) dana = (−3, 2)

(c) u = (1, 2, 6) dana = (3, 4, 2) (d) u = (−2, 8, 6) dana = (−3,−3, 2)

(e)u = (1, 2, 8, 6) dana = (6, 3, 6, 3) (f) u = (−2, 6,−3, 2) dana = (−2, 3, 2, 3)

3. Carilah komponen vektor dariu yang ortogonal terhadapa dari Soal 2

4. Hitunglah‖Proyau‖ dari Soal 2


3.4. Soal-Soal Latihan Cross Product 13

3.4 Soal-Soal Latihan Cross Product



1. Hitungu× v, jika

(a)u = (1, 2, 6) danv = (3, 4, 2) (b) u = (−2, 8, 6) danv = (−3,−3, 2)

(c) u = (1, 2, 8) danv = (6, 3, 6) (d) u = (−2, 6,−3) danv = (−2, 3, 2)

2. Cari vektor yang ortogonal baik terhadapu danv

(a)u = (1, 2, 6) danv = (3, 4, 2) (b) u = (−2, 8, 6) danv = (−3,−3, 2)

3. Carilah luas yang dibangun olehu dana

(a)u = (1, 2, 6) danv = (3, 4, 2) (b) u = (−2, 8, 6) danv = (−3,−3, 2)

4. Carilah hasil kali ganda tigau ¦ (v × w)

(a)u = (−1, 2, 4), v = (3, 4,−2), w = (−1, 2, 5)

(b) u = (3,−1, 6), v = (2, 4, 3), w = (5,−1, 2)


Modul 4Transformasi Linear dan Sifat

4.1 Soal-Soal Latihan Transformasi Linear



1. Carilah matriks standar dari transformasi linear yang didefinisikan dibawah ini

a. w1 = 2x + 3y + 2z, w2 = x + 3y + 2z

b. w1 = 2x + 3y + 2z, w2 = 2x + 3y + 2z, w3 = 2x− 3y + 4z

c. w1 = 2x+3y +2z−2t, w2 = 2x+3y +2z + t, w3 = 2x−3y +4z−2t

2. Carilah matriks standar untuk transformasi linearT : R3 → R3 yang diberikan oleh

w1 = 3x1 + 5x2 − x3

w2 = 2x1 − 5x2 + 3x3

w3 = x1 − 5x2 + 2x3

dan hitungT (−1,−2, 3) dengan secara langusng mensubstitusikan pada persamaan

tersebut dan dengan perkalian matriks.

3. Carilah matriks standar transformasi linear yang diberikan rumus seperti dibawah ini

a. T (x1, x2) = (x1 + x2, x1− 3x2, 4x1 + 2x2)

b. T (x1, x2, x3) = (x1 + x2 − x3, x1− 3x2 + 2x3, 4x1 + 2x2 − 4x3)

c. T (x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2 − x3, x1− 3x2 + 2x3 − x4, 4x1 + 2x2 − 4x3 − 2x4)

d. T (x, y, z) = (0, 0, 0, 0, 0)

14

4.2. Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear 15

4. Dengan menggunakan matriks pencerminan, carilah hasil daris = (−1, 2) jika di-

lakukan pencerminan terhadap

a. sumbu-x

b. sumbu-y

c. garis-y = x

d. sumbu-x kemudian garis-y = x

e. garis-y = x kemudian sumbu-x

5. Dengan menggunakan matriks pencerminan, carilah hasil daris = (−1, 2, 3) jika di-

lakukan pencerminan terhadap

a. bidang-xy

b. bidang-xz

c. bidang-yz

d. bidang-xy kemudian bidang-y = x

e. bidang-y = x kemudian bidang-xy

6. Carilah matriks standar untuk transformasi linear yang mentransformasi secara ortogo-

nal pada

a. sumbu-x

b. sumbu-y

7. Carilah matriks standar untuk transformasi linear yang mentransformasi secara ortogo-

nal pada

a. bidang-xy

b. bidang-xz

c. bidang-yz

8. Carilah matriks transformasi untuk rotasi padaR2

4.2 Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear



1. Cari matriks standar untuk operator linear yang sesuai dari persamaan-persamaan berikut

ini


4.2. Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear 16

a.

w1 = 2x1 + 3x2

w2 = 3x1 − 4x2

b.

w1 = 2x1 + 3x2 − 2x3

w2 = 3x1 − 4x2 + x3

w3 = x1 + 2x2 + 2x3

2. Tunjukan bahwa daerah hasil dari operator linear dengan pesamaan dibawah ini

w1 = x1 − 2x2 + x3

w2 = 4x1 + x2 + 2x3

w3 = 5x1 − x2 + 3x3

tidqk berada diR3 dan cari sebuah vektor yang tidak berada di daerah hasil.

3. Anggal l adalah garis pada bidang-xyyang melalui titik asal dan membentuk sudutθ

dengan sumbu-x positif dengan0 ≤ θ < π, danT : R2 → R2 adalah operator linear

yang memetakan setipa vektor ke proyeksi ortogonalnya ke garisl.

a. Cari matriks standar untukT

b. cari proyeksi ortogonal vektorx = (1, 5) pada garis yang melalui titik asal yang

membentuk sudutθ = π6 dengan sumbu-x positif.

4. Carilah operator linear balikanT−1 dari soal nomor 1


Modul 5Ruang Vektor

5.1 Soal-Soal Latihan Ruang Vektor Real



1. Himpunan semua pasangan dua bilangan(x, y) dengan operasi

(x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′), k(x, y) = (3kx, 3ky)

2. Himpunan semua pasangan tiga bilangan(x, y, z) dengan operasi

(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′, y + y′, z + z′), k(x, y, z) = (kx, y, z)

3. Himpunan semua pasangan bilangan real yang berbentuk(x, 0) dengan operasi-operasi

standar padaR2

4. Himpunan semua matriks2× 2 berbentuk(

a 1

1 b

)

dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks

5. Himpunan semua matriks2× 2 berbentuk(

a a + b

a + b b

)

dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks

6. Gunakan Teorema??untuk menentukan manakah yang termasuk sub-ruang dariR3

17

5.2. Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun 18

(a) semua vektor berbentuk(x, 0, 0)

(b) semua vektor berbentuk(x, 1, 1)

(c) semua vektor berbentuk(x, y, z) denganx = y + z

(d) semua vektor berbentuk(x, y, z) dengany = x + z + 1

5.2 Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun



1. Nyatakan vektor-vektor dibawah ini merupakan kombinasi linear darip̄ = (1,−1, 3),

q̄ = (2, 1, 4) danr̄ = (3, 2, 5)

(a) (6, 11, 6) (b) (0, 0, 0) (c) (5, 6, 7)

2. Nyatakan matriks-matriks dibawah ini merupakan kombinasi linear dari matriks

p̄ =

(1 −1

2 3

)q̄ =

(0 1

2 4

)q̄ =

(4 0

−2 −2

)

(a)

(0 0

0 0

)(b)

(6 0

3 8

)(c)

(5 −1

1 7

)

3. Apakah vektor-vektor dibawah ini membangunR3

(a) p̄ = (1,−1, 3), q̄ = (2, 1, 4) danr̄ = (3, 2, 5)

(b) p̄ = (1, 1, 1), q̄ = (0, 1, 1) danr̄ = (0, 0, 1)

(c) p̄ = (1, 2, 6), q̄ = (3, 4, 1), r̄ = (3, 2, 5) dans̄ = (1, 2, 5)

5.3 Soal-Soal Latihan Bebas Linear



1. Apakah himpunan vektor dibawah ini yang bebas linear atau tak bebas linear

(a) {(8, 1, 3), (2, 3, 5)}(b) {(8, 1, 3), (2, 3, 5), (2, 3, 4)}(c) {(8, 1, 3), (2, 3, 5), (2, 3, 4), (1, 2, 7)}


5.4. Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi 19

2. Untuk nilai realα berapakah vektor berikut ini membentuk suatu himpunan vektor yang

bebas linear

v̄1 = (α,−1,−1), v̄2 = (−1, α,−1), v̄3 = (−1,−1, α),

3. Tunjukan bahwa vektor-vektoru1 = (4,−7, 1, 3), u2 = (6, 0, 5, 1) danu3 = (0, 3, 1,−1)

merupakan himpunan vektor yang tak bebas linear diR4

4. Nyatakan setiap vektor pada soal 3 sebagai kombinasi linear dari dua vektor yang lain-

nya.

5.4 Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi



1. Apakah himpunan vektor dibawah ini merupakan basis untukR2

(a) (1, 2), (3, 0) (b) (4, 1), (7, 8) (c) (−3,−9), (4, 12)

2. Apakah himpunan vektor dibawah ini merupakan basis untukR3

(a)(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3) (b) (3, 1,−4), (2, 5, 6), (1, 4, 8) (c) (1, 6, 4), (−1, 2, 5), (2, 4, 1)

3. Carilah koordinat vektor̄v relatif terhadap basisS = {v̄1, v̄2, v̄3}(a) v̄ = (−2, 1,−3), v̄1 = (1, 0, 0), v̄2 = (2, 2, 0), v̄3 = (3, 3, 3)

(b) v̄ = (5,−12, 3), v̄1 = (3, 1,−4), v̄2 = (2, 5, 6), v̄3 = (1, 4, 8

4. Carilah basis dan dimensi dari ruang penyelesaian dari sistem linear berikut

(a)3x1 + x2 + x3 + x4 = 0, 5x1 − x2 + x3 − x4 = 0

(b) x1 − 4x2 + 3x3 − x4 = 0, 2x1 − 8x2 + 6x3 − 2x4 = 0

5.5 Soal-Soal Latihan Ruang Baris, Ruang Kolom dan Ruang

Kosong



1. Carilah basis ruang kosong dari matriks dibawah ini

(a)

1 −1 3

4 −3 −3

3 3 2

(b)

−1 −4 −5 −5 −9

3 −2 1 4 −1

2 3 5 7 8

−1 0 −1 −2 −1


5.6. Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas 20

2. Carilah basis ruang baris dari matriks-matriks pada Soal 1

3. Carilah basis ruang kosong dari matriks-matriks pada Soal 1

5.6 Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas



1. Tunjukan bahwarank(A) = rank(AT ) dari matriks dibawah ini

(a) A =

1 2 2 −2 0

3 −2 3 5 2

5 −1 2 4 1

(b) A =

2 1 −2 1 2

4 3 −4 −1 3

6 5 −6 1 2

8 7 −8 −1 2

2. Carilah jumlah parameter yang dibutuhkan pada soal 1

3. Carilahnull(A) dari soal 1


Daftar Pustaka

[1] Howard Anton, 2000, Dasar-Dasar Aljabar Linear, Interaksara, Batam.

[2] Steven J. Leon, 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, Erlangga, Jakarta.

21

Soal Aljabar Matriks ITS

Documents

Transcript of Soal Aljabar Matriks ITS