SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC

ĐẠI SỐ 11

GV:Phan Nhật Nam

SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

TRONG LƯỢNG GIÁC

0 cos

sin

0

SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com


Công thức được sử dụng trong bài viết:

1. Công thức nhân đôi :

2. Công thức nhân ba :

3 33 3sin 4sin 3 4cos 3cossin a a a cos a a a

3. Công thức hạ bậc :

4. Công thức biến đổi tích thành tổng

Phương pháp chung:

Sử dụng các công thức trên để quy phương trình lượng giác về phương trình bậc 2,

bậc 3 theo một biến.

Các dạng toán thường gặp:

Loại 1: Phương trình bậc 2, bậc 3 theo sin hoặc cos

Phương pháp chung: Sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba để quy phương trình về dạng phương

trình bậc hai, bậc ba theo sin hoặc theo cos :

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình : cos2 5sin 2 0x x

Giải :

2 21 2sin 5sin 2 0 2sin 5sin 3 0pt x x x x

2 2 2 2

2 2sin cos

2 cos sin 2cos 1 1 2sin

sin a a a

cos a a a a a

2 21 cos 2 1 cos 2

2 2

a asin a cos a

)sin()sin(2

1cos.sin

)cos()cos(2

1sin.sin

)cos()cos(2

1cos.cos

bababa

bababa

bababa

Sử dụng CT: để quy

về

PT bậc 2 theo sinx (vì pt chứa bậc lẻ )

http://www.toanhocdanang.com/



Đặt sint x 1,1t

2

3 ( )

2 5 3 0 1

2

t loai

pt t tt

261

sin72

2 26 6

x k

x

x k k

Ví dụ 2: Giải phương trình : 4 6cos cos2 2 sin 0x x x

Giải :

2 31 cos 2 1 cos 2

cos 2 2 02 2

x xpt x

3 2cos 2 1

cos 4cos 5cos 2 0 2 2cos 2 2 ( ) 2 4

xx x x x k x k

x VN

Ví dụ 3: Giải PT : cos2 cos4 cos6 cos cos3 cos2 2x x x x x x

Giải :

Ta có:

2cos4 cos2(2 ) 2cos 2 1x x x

3cos6 cos3(2 ) 4cos 2 3cos2x x x x

21 1cos3 .cos cos 4 cos 2 2cos 2 1 cos 2

2 2x x x x x x

Khi đó phương trình tương đương:

2 3 21cos2 (2cos 2 1) (4cos 2 3cos2 ) cos2 (2cos 2 cos2 1) 2

2pt x x x x x x x

3 2

2

cos 2 12cos 2 cos 2 cos 2 2 0

2cos 2 3cos 2 2 0 ( )

xx x x

x x VN

cos2 1 2 2x x k x k

Ví dụ 4: Giải phương trình : xx 3cos3

cos8 3

Các biểu thức :

cos4 ,cos6 ,cos3 .cosx x x x

đều có thể quy về cos2x




Giải:

Đặt: 3 3

t x x t

3 38cos cos3 8cos cos 33

pt t t t t

3 38cos cos3 cos sin3 sin 8cos cos3t t t t t

3 38cos 4cos 3cos 0t t t

312cos 3cos 0t t

1cos (1)

2

cos 0 (2)

1cos (3)

2

t

t

t

22

23(1) 3

222

3

t kx k

x kt k

(2)2 6

t k x k

223

(3) 22

2 33

x kt k

x kt k

Vậy PT có 5 họ nghiệm: 23

x k

, 2x k , 6

x k

, 2x k và 2

23

x k

Loại 2: Phương trình thuần nhất:

Dấu hiệu nhận dạng: phương trình có tất cả các số hạng đều ở dạng bậc lẻ hoặc cùng ở dạng bậc chẵn

Cách tính bậc: ˆ ˆtan cot 0n nBac x Bac x , ˆ cos sinn mBac x x n m

Công thức thường dùng: sin sin

tancos cos

nnn

n

x xx

x x

, 2

2

1tan 1

cosx

x (*)

Dạng cơ bản:

Dạng 1: 2 2sin sin cos cosa x b x x c x d

Dạng 2: 3 2 2 3sin sin cos sin cos cos sin cos 0a x b x x c x x d x m x n x




Phương pháp chung :

Xét cos 0x thay vào phương trình ta sẽ có 1 trong 3 khả năng sau:

sin 1 22

pt x x k

. Phương trình có nghiệm 22

x k

sin 1 22

pt x x k

. Phương trình có nghiệm 22

x k

sin 1pt x (mâu thuẫn vì 2 2sin cos 1x x )

Xét cos 0x . Chia hai vế phương trình cho cosn x (với n là bậc cao nhất của phương trình)

Sử dụng các công thức (*) để quy phương trình về dạng bậc 2 hoặc bậc 3 theo tan x


Ví dụ 1: Giải phương trình : 02

3sin5

2cos

2

5sin2)3(sin3 22

xxxx

Giải:

Ta có: sin(3 ) sin3 cos cos3 sin sinx x x x

2

2 25 5 5sin sin cos cos sin cos

2 2 2x x x x

cos cos cos sin sin sin2 2 2

x x x x

2

22 23 3 3sin sin cos cos sin cos cos

2 2 2x x x x x

2 23sin 2cos sin cos 0pt x x x x

Với cos 0x ta có phương trình trở thành

23sin 0 sin 0x x (mâu thuẫn vì 2 2sin cos 1x x )

Với cos 0x . Khi đó chia 2 vế của pt cho 2cos x ta có phương trình tương đương :

2 2

2 2 2

sin cos sin cos3 2 0

cos cos cos

x x x x

x x x

2

tan 14

3tan 2 tan 1 0 11tan

arctan33

x kx

x xx

x k




Vậy phương trình có hai nghiệm 4

x k

và 1

arctan3

x k

Ví dụ 2: Giải phương trình : 01cossin3sin2 xxx

Giải:

Với cos 0x phương trình trở thành

2sin 1 0( )x VN (mâu thuẫn vì 2 2sin cos 1x x )

Với cos 0x . Khi đó chia 2 vế của pt cho 2cos x ta có phương trình tương đương sau:

2

2 2

2 2 2

sin cos sin 13 0 tan 3tan tan 1 0

cos cos cos

x x xx x x

x x x

2

tan 14

2 tan 3tan 1 0 11tan

arctan22

x kx

x xx

x k

Vậy phương trình có hai nghiệm 4

x k

và 1

arctan2

x k

Ví dụ 3: Giải phương trình : xx sin24

sin3

Giải:

3

31sin cos 2 sin sin cos 4sin

2pt x x x x x x

3 2 3 3sin 3sin cos 3sin cos cos 4sin 0x x x x x x x

Với cos 0x phương trình trở thành

3 2

2

sin 0sin 4sin 0 sin 4 sin 0

sin 4

xx x x x

x

(mâu thuẫn vì 2 2sin cos 1x x )

Với cos 0x . Khi đó chia hai vế của phương trình cho 3cos x ta có pt tương đương sau:

3 2 2 3

3 3 3 3 3

sin sin cos sin cos cos sin3 3 4 0

cos cos cos cos cos

x x x x x x x

x x x x x

2 2 2tan 3tan 3tan 1 4tan tan 1 0x x x x x

3 23tan 3tan tan 1 0x x x

2tan 1 3tan 1 0 tan 14

x x x x k




Vậy phương trình có nghệm 4

x k

Ví dụ 4: Giải phương trình : x

xxcos

1cossin3

Giải:

Điều kiện: cos 02

x x k

2

2

sin cos 13 3 tan 1 tan 1

cos cos cos

x xpt x x

x x x

2tan 0

tan 3 tan 0tan 3

3

x kx

x xx kx

Vậy phương trình có hai nghiệm : x k và 3

x k

Loại 3: Phương trình đối xứng theo sin, cos

Dấu hiệu nhận dạng: phương trình chứa sin và cos có vai trò tương đồng nhau.

Dạng cơ bản:

Dạng 1: 0)cossin;cos(sin xxxxf (1)

Dạng 2: 0)cossin;cos(sin xxxxf (2)


Đặt :

2

1cossin2,2

4sin2cossin

2

1cossin2,2

4sin2cossin

2

2

txxxxxt

txxxxxt

0)2

1;()2(

0)2

1;()1(

2

2

ttf

ttf

Giải phương trình theo t ta có được nghiệm t. Từ đó suy ra nghiệm x


Ví dụ 1: Giải phương trình : xxx 2sin2

3cossin1 33

Giải:

2 2 31 sin cos sin sin cos cos 2sin cos

2pt x x x x x x x x

1 sin cos 1 sin cos 3sin cosx x x x x x




Đặt : 2 1

sin cos 2 sin 2 , 2 sin cos4 2

tt x x x x x

2 2

3 2 21 11 1 3 3 3 5 0 1 2 5 0

2 2

t tpt t t t t t t t

1

1 6( ) 1 2 sin 14

1 6( )

t

t loai t x

t loai

21

sin sin 24 42

2

x kx

x k

Vậy phương trình có hai nghiệm: 22

x k

và 2x k

Ví dụ 2: Giải phương trình : 14

sin22sin

xx

2sin cos 2 sin 14

pt x x x

Đặt : 2 1

sin cos 2 sin 2 , 2 sin cos4 2

tt x x x x x

2

20 (1)1

2 1 01 (2)2

ttpt t t t

t

(1) 2 sin 0 sin 04 4 4

x x x k

21

(2) 2 sin 1 sin 24 4 2

2

x kx x

x k

Vậy phương trình có 3 nghiệm là: 4

x k

, 22

x k

và 2x k

Loại 4: Phương trình đối xứng theo tan, cot

Dạng: (tan cot ) 0n nf x x


Đăt: 2 2sin cos 1 2

tan cotsin cos sin cos sin 2

x xt x x

x x x x x

Quy tất cả các số hạng của phương trình theo biến t

Ví dụ minh họa : Giải phương trình : 6cotcotcottantantan 3232 xxxxxx




Giải:


sin 2 0sin 0 2

xx x k

x

Đăt: 2 2sin cos 1 2

tan cotsin cos sin cos sin 2

x xt x x

x x x x x

Khi đó ta có:

22 2 2tan cot tan cot 2 tan cot 2x x x x x t

33 3 3tan cot tan cot 3tan cot (tan cot ) 3x x x x x x x x t t

3 2 3 23 2 6 0 2 8 0pt t t t t t t t

2

2

2 22 3 4 0 2

sin 23 4 0 ( )

tt t t

xt t VN

sin 2 14

x x k

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 4

x k

Loại 5 : Phương trình đa thức theo tan:

Dạng: (tan ,sin 2 ,cos2 , 2 ) 0f x x x tam x


Đặt : tant x

Ta có : 2

2 22 2 2 2

2

2sin cos

2sin cos 2 tan 2cossinsin cossin cos tan 1 1

cos

x x

x x x txxx xx x x t

x

Tương tự ta có : 2

2

1cos 2

1

tx

t

,

2

2tan 2

1

tx

t

2

2 2 2

2 1 2, , , 0

1 1 1

t t tpt f t

t t t

Ví dụ minh họa: Giải phương trình : xxx tan1)2sin1)(tan1(

Giải:


x x k

Đặt : tant x

Ta có : 2

2 22 2 2 2

2

2sin cos

2sin cos 2 tan 2cossinsin cossin cos tan 1 1

cos

x x

x x x txxx xx x x t

x




3 2

2 2

02(1 ) 1 1 0

1 1 0( )

ttpt t t t t t

t t t VN

tan 0x x k

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x k

Loại 6 : Phương trình đối xứng bậc chẵn theo sin, cos

Dạng: 2 2sin cos 0n nf x x

Công thức áp dụng:

4

4cos32sin

2

11cossin21cossin 22244 x

xxxx

8

4cos352sin

4

31cossin31cossin 22266 x

xxxx

32

)4cos1(

2

4cos112sin

8

12sin1cossin

24288 xx

xxx

64

)4cos1(5

2

)4cos1(512sin

16

52sin

4

51cossin

2421010 xx

xxx


Ví dụ 1: Giải phương trình : xx 2coscossin 44

Giải:

Ta có : 4 4 2 2 21sin cos 1 2sin cos 1 sin 2

2x x x x

2 211 sin 2 cos 2 2 (1 cos 2 ) 2cos 2

2pt x x x x

2cos 2 2cos2 1 0 cos2 1 2 2x x x x k x k

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x k

Ví dụ 2: Giải phương trình : ( )

√

Giải:

Điều kiện:

22 4

sin32

24

x k

x

x k

(*)

Ta có : 6 6 2 2 23sin cos 1 3sin cos 1 sin 2

4x x x x

0 cos

sin

0




232 1 sin 2 sin cos 0

4pt x x x

2

sin 2 1

3sin 2 sin 2 4 0 2 242 4sin 2 ( )

3

x

x x x k x kx VN

Kết hợp với điều kiện (*) ta có: 5

24

x k

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bái 1: Giải phương trình :

a. 03cos32sinsin 22 xxx f. x

xxcos

1cos6sin4

b. 2

5sin2cos4cossin34 22 xxxx g. xx tan22sin31

c. 2

3 4 2sin 22 3 2(cotg 1)

sin 2cos

xx

xx

h. xx sin2

4sin2 3

d. 0cossinsin3cos3sin4 233 xxxxx i. x

xxxx

2cos2

cos4sin5cos2sin6 3

e. xx 3cos)3

(cos8 3


a. 1cossin)cos(sin2 xxxx g. 3

10

sin

1sin

cos

1cos

xx

xx

b. 12sin7cossin xxx xxxx cossin13

32cossin

c. 212sin)cos)(sin21( xxx 1)cos(sin23cos3sin xxxx

d. 0cottancos

1

sin

1)2sin2(2

xx

xxx

e. Tìm m để phương trình : 02sin)cos(sin xxxm có nghiệm

f. Tìm m để phương trình : mxxx )sin(cos42sin có nghiệm





a. xx 2coscossin 44 e. 6 6sin cos cos4x x

b. 16

7cossin 66 x f. xx 2sin

4

1cossin 266

c.

g. 06sin3)1cos(sin16 66 xx

d. Tìm m để phương trình : 02sin4

12coscossin 244 mxxx có nghiệm


a. cos2 5sin 6 0x x i. 8

9

4sin

4sinsin 444

xxx

b. xxx 2cossincos 64 k. 0sin22sin3sin xxx

c. 14cos2cos2cos4 xxx l. 0cos2sin3sin 2 xxx

d. 3

4coscos 2 x

x m. 16coscos32 6 xx

e. 5

4cos3

5

3cos21 2 xx

n. xxxx 4sin432cos4cos6cos

f. 2 2 2sin cos 2 cos 3x x x o. xxx 2sinsin816cos 24

g.

2

3

10sin

2

1

210

3sin

xx p.

4sin.2sin

43sin

xxx

h. xx 3cos3

cos8 3


a. 2 cos 2 tan2

xx d. √

b. 72cos22cossin

)3sin1(3

x

xx

x e. xxx tan1)2sin1)(tan1(

c. xx 2sin2tan31 f. xxx 2tan2tancot


SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC

Education

Transcript of SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRONG LƯỢNG GIÁC