Síntesis y Caracterización Estructural de los Materiales · Síntesis y Caracterización...

Ángel Carmelo Prieto Colorado

Física de la Materia Condensada, Cristalografía y Mineralogía.Facultad de Ciencias.

Universidad de Valladolid.

Síntesis y Caracterización Estructural de los Materiales

©A. Carmelo Prieto Colorado

Bases Cristalográficas

Tema 10 Simetría TraslacionalRestricciones a la simetría puntual impuesta por la redRedes de BravaisRedes primitivas y centradasSimetría de las redes de Bravais en dos y tres dimensionesSistemas cristalinosEjes helicoidales y planos de deslizamiento


Simetría Traslacional

La forma externa de los cristales es consecuenc ia de una d ispos ic ión geométrica ordenada de los átomos.Un concepto fundamental relacionado con la repetición por traslación, es la repetición periódica por la que se describe la estructura interna de los cristales, lo que denominamos periodicidad.

Se representa por un conjunto de traslaciones en las tres direcciones del espacio, de tal forma que el cristal puede considerarse como un apilamiento, en tres dimensiones, de bloques idénticos.Cada bloque, de una forma y tamaño determinados (pero todos iguales), se denomina celda unidad ó celda fundamental. Su tamaño viene determinado por la longitud de sus tres aristas (a, b, c), y la forma por el valor de los ángulos entre dichas aristas (α, β, γ).


Evidentemente, en 3D es más intuitivo apilar a partir de las redes 2D ya descritas, que recubren el espacio sin dejar huecos. O sea: las celdas oblicua, rectangular, cuadrada, rómbica y hexagonal.

Como ya se indico los ejes de simetría en los cristales solo responden a órdenes de rotación 2, 3, 4 y 6, si bien, los iones o moléculas aislados pueden mostrar ejes de simetría de orden 5, 7, 8 (o superior) estos órdenes de rotación no son compatibles con la repetición cristalina. La razón es que la forma externa de los cristales es consecuencia de una disposición geométrica ordenada de los átomos. En efecto, si uno intenta combinar objetos con ejes de rotación de orden 5, 7, 8 (o superior) nos daremos cuenta de que es imposible rellenar totalmente el espacio.


Restricciones a la simetría puntual impuesta por la red

Geométricamente es inviable el recubrir sin dejar huecos, el espacio bi- o tridimensional, con ritmos angulares o rotaciones de orden 5.

Supongamos una red que cumpliera la simetría de orden 5. Si ello fuera posible, por definición de retículo, la suma de cualquier par de vectores que definen los puntos reticulares debería generar un nuevo punto reticular. Si sumamos los vectores t1 y t4 no obtenemos t5, sino un nuevo vector (t1+t4) con traslación no reticular, lo cual inhabilita la hipótesis de partida.

Evidentemente, el conjunto de las traslaciones globales {T}, impone esta restricción a la simetría puntual y solo son posibles ordenes de rotación compatibles con la periodicidad.


Ya se vio con anterioridad la Regla de Barlow, mediante la cual se demostró la imposibilidad de existencia de ejes de rotación de orden 5, en los cristales.

Consideremos una fila reticular, espaciada con un vector de traslación t. Si a dicha fila le aplicamos una rotación de orden n, con giro +α (Ɵ=360º/n) perpendicular al plano de proyección, obtendremos la fila de átomos azules. Y apl icando la operación de rotación inversa, -α obtendremos la fila de átomos rojos.

Para que la rotación +α sea realmente una operación de simetría de la red, todos los átomos han de ser nodos del retículo, y las distancias entre ellos deberán ser múltiplos de t (traslación reticular), es decir, deberán ser del tipo: mt, m’t, etc., perteneciendo m∈{Z}.


y puesto que los valores de la función coseno están comprendidos entre -1 y +1, sólo están permitidas las cinco posibilidades, que corresponden a los ejes de rotación de orden, 2, 3, 4, 6 y 1 (Ɵ=180º, 120º, 90º, 60º y 360º).

En el triángulo isósceles, que se obtiene tras los giros de la línea reticular seleccionada, deberá cumplirse que:

m -2 -1 0 1 2cos α -1 -0.5 0 0.5 1α 180 120 90 60 0n 2 3 4 6 1


Redes de Bravais

Mediante apilamiento de las redes 2D, se generan 14 redes 3D, denominadas de Bravais, todas ellas primitivas.

€

! ρ = p! a + q

! b + z; ∀p,q∈ R{ };0 ≤ p,q ≤1( )

a

bγ

a

bγ

a

bγ

γa b γa

ba ≠ b; γ ≠ 90º Red Oblicua

a ≠ b; γ = 90º Red Rectangular

a = b; γ = 90º Red Cuadrada

a = b; γ≠60º, 90º, 120º Red Rómbica

a = b; γ = 60º ó 120º Red Hexagonal


€

Oblicúa! ρ = p! a + q

! b + z

Triclínico :P

€

Rectangular P! ρ = p

! a + 0

! b + z

Monoclínico :P

€

Rectangular C! ρ = p

! a + 0

! b + z

Monoclínico :C

14 Redes de Bravais, 3D

1 3 5


€

Rectangular P! ρ = 0! a + 0

! b + z

Ortorrómbico :P

€

Rectangular C! ρ = 0! a + 0

! b + z

Ortorrómbico :C

€

Rectangular P! ρ = 0.5! a + 0.5

! b + z

Ortorrómbico : I

€

Rectangular C! ρ = 0.5! a + 0

! b + z

Ortorrómbico :F


4 6

9 2



€

Cuadrada P! ρ = 0! a + 0

! b + z

Tetragonal :P

€

Cuadrada P! ρ = 0.5! a + 0.5

! b + z

Tetragonal : I

8 10



€

Hexagonal P! ρ = 0! a + 0

! b + z

Hexagonal :P

€

Hexagonal P! ρ =

13! a + 1

3

! b + z

Trigonal ó Romboedrica : R

7 11



€

Cuadrada P! ρ = 0! a + 0

! b + a

Cúbico :P

€

Cuadrado P! ρ = 0! a + 0.5

! b + a

2Cúbico :F

€

Cuadrada P! ρ = 0.5! a + 0.5

! b + a

2Cúbico : I

14 13 12


El apilamiento de redes bidimensionles haciendo coincidir elementos de simetría, dan lugar a 14 redes de Bravais todas ellas primitivas con parámetros ap , bp y cp.Ahora bien, si consideramos como sistemas referenciales las direcciones reticulares de máxima simetría a, b y c, surgen 14 celdas de Bravais algunas primitivas y otras múltiples, pero agrupadas en 7 sistemas de referencia, (que consideran las direcciones de máxima simetría) que son los 7 Sistemas Cristalinos.

ab

c

ab

c a

b

c

ab

c

ab

c

ab

c

ab

c

ab

c

ab

c

ab

c

ab

c

a

b

c

ab

c

ab

c

ab

c

ap bp

cp

ap

bp

cp

ap bp

cp

ap

bp

cp

apbp

cp

ap

bp

cp

ap

bp

cpap

bp

cp

153

4 2

6 9

7 11a 11b

8 10

13

1214


14 Celdas de Bravais, 3D


Redes primitivas y centradasTodas las celdas de Bravais se pueden convertir a una forma primitiva de modo que los vectores fundamentales a, b y c se transforman en homólogos primitivos ap, bp y cp según sea la celda múltiple C, F o I.


P, Triclínico a≠b≠c;

α≠β≠γ≠90º

P, Monoclínico a≠b≠c;

α=β= 90º≠γ

C, Monoclínico a≠b≠c;

α=β= 90º≠γ

P, Ortorrómbico a≠b≠c;

α=β= γ=90ºC, Ortorrómbico

a≠b≠c; α=β= γ=90º

I, Ortorrómbico a≠b≠c;

α=β= γ=90ºF, Ortorrómbico

a≠b≠c; α=β= γ=90º



Triclínico, P Monoclínico, P Monoclínico, C

Ortorrómbico, P Ortorrómbico, C Ortorrómbico, I Ortorrómbico, F


R, Trigonal a=b=c;

α≠β≠γ≠90º

P, Tetragonal a=b≠c;

α=β=γ=90º

I, Tetragonal a=b≠c;

α=β=γ=90º

H, Hexagonal a=b≠c;

α=β=90º γ=120º

C, Cúbico a=b=c;

α=β= γ=90º

I, Cúbico a=b=c;

α=β= γ=90º

F, Cúbico a=b=c;

α=β= γ=90º



Tetragonal, P Tetragonal, I Hexagonal, HTrigonal, R

Cúbico, P Cúbico, I Cúbico, F


Simetría de las redes de Bravais en dos y tres dimensiones

Oblicua, P; [a]≠[b]; γ≠90º Rectangular, P; [a]≠[b]; γ=90º

Rectangular, F; [a]≠[b]; γ=90º

Cuadrado, P; [a]=[b]; γ=90º Hexagonal, P; [a]=[b]; γ=120º


El sistema de apilamiento seguido, que contempla la superposición de los elementos de máxima simetría, genera una simetría característica y dominante en cada una de las celdas de Bravais, y que evidentemente se toma como referente en el Sistema Cristalogáfico.


Simetría puntual compatible con los 7 SC, 3D

€

SistemaCentro Simétricos

G.LaueEnantiomorfos Polares

Triclínico 1 1 1Monoclínico 2 /m 2 2,mOrtorrombico mmm 222 mm2

Trigonal 3 ;3 m 3,32 3,3mTetragonal 4 /m;4 /mmm 4,422 4,4mmHexagonal 6 /m;6 /mmm 6,622 6,6mm

Cúbico m3;m3m 23,432


Sistemas cristalinos

Los sistemas cristalinos surgen de los sistemas de referencia de las redes de Bravais, con tres condicionantes

a. tamaño de la celda: [a], [b] y [c].b. relación angular entre ejes: α, β y γ.c. elemento de simetria característico

Así, tenemos tres sistemas trimétricos, [a]≠ [b]≠[c]; tres dimétricos [a]=[b]≠[c] y uno isometrico, [a]=[b]=[c]. Mediante las relaciones de α, β y γ dan lugar a la separac ión en s is temas t r i c l ín ico , monocl ín ico, or tor rombico, t r igonal tetragonal, hexagonal y cúbico.


7 Sistemas Cristalográficos, 3D

€

Sistema Parámetros FundamentalesCúbico a = b = c; α = β = γ = 90°

Hexagonal a = b ≠ c; α = β = 90°,γ =120°

Tetragonal a = b ≠ c; α = β = γ = 90°

Trigonal a = b = c; 120° ≥α = β = γ ≠ 90°

Ortorrombico a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90°

Monoclínico a ≠ b ≠ c; α = γ = 90° ≠ β

Triclinico a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ ≠ 90°


Simetría característica de los 7 SC, 3D

€

Sistema Parámetros Fundamentales Simetría esencial DirecciónTriclínico a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ ≠ 90° - -

Monoclínico a ≠ b ≠ c; α = γ = 90° ≠ β 2 010Ortorrombico a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90° 222 100 010 001

Trigonal a = b = c; 120° ≥α = β = γ ≠ 90° 3 001Tetragonal a = b ≠ c; α = β = γ = 90° 4 001Hexagonal a = b ≠ c; α = β = 90°,γ =120° 6 001

Cúbico a = b = c; α = β = γ = 90°4 ∗ 33∗ 4

111 1 11 11 1 111

100 010 001


Ejes helicoidales y planos de deslizamiento

Ejes helicoidales: np

€

! T = u

! a + v! b + w

! c ;(u,v,w ∈ {Z})

Ejes helicoidales : np = n ∗! τ

! τ =

pn

; ! τ = n ∗! a ; ! τ < ! a ⇔ p < n

! T = n

! τ

! T = u

! a = n

! τ ⇔ u

! a = np

! a ⇒ u = np⇒ p =

un

Si p <1 y u,n ∈ {Z}⇒ p 1,2,3.....,n −1.{ }

Operación que combina una rotación de 180, 120, 90 o 60º, con una traslación paralela a dicho eje. Todos los ejes helicoidales, el subindice indica la fracción de la traslación t que corresponde a cada operación de dicho eje. Por ello, np, indica que gira Ɵ=360º/n y desplaza τ=(p/n)t


€

n u p =un! τ = p! a np

2 1 12

12! a 21

3 1 13

13! a 31

2 23

23! a 32

4 1 14

14! a 41

2 24

24! a 42

3 34

34! a 43

6 1 16

16! a 61

2 26

26! a 62

3 36

36! a 63

4 46

46! a 64

5 56

56! a 65

Ejes helicoidales: np21

41 42434

61 65 62 64 636


3132


Planos de deslizamiento: a, b, c, n y dSon de tres tipos diferentes: axiales, diagonales y diamante. Implican una reflexión m seguido de un desplazamiento {τ}.


Planos de deslizamiento axiales: a, b y cLa componente de deslizamiento en estos planos de deslizamiento axiales es paralela a la dirección de alguno de los ejes cristalográficos.La magnitud del deslizamiento equivale a ½ de la traslación unidad a lo largo de dicho eje. A estos planos les llamamos planos a, b ó c, según la dirección del eje que consideremos.

Implica el producto de una reflexión m por una translación fraccionaria τ=½a, τ=½b ó τ=½c.


Planos de deslizamiento diagonales: nPlanos diagonales: se representan generalmente como “n”, y son planos cuya componente de deslizamiento es un vector suma de dos de alguno de estos tres: a/2, b/2 ó c/2. Por tanto, implica el producto de una reflexión m por una translación fraccionaria τ=½(a±b), τ=½(a±c), τ=½(b±c), τ=½(a±b±c).


Planos de deslizamiento tipo diamante: dPlanos diamante: se representan generalmente como “d”, y son planos cuya componente de deslizamiento es un vector suma de dos de alguno de estos tres: a/4, b/4 ó c/4. Por tanto, implica el producto de una reflexión m por una translación fraccionaria τ=0.25(a±b), τ=0.25(a±c), τ=0.25(b±c), τ=0.25(a±b±c).

Ángel Carmelo Prieto Colorado

Física de la Materia Condensada, Cristalografía y MineralogíaFacultad de Ciencias

Universidad de Valladolid

Síntesis y Caracterización Estructural de los Materiales · Síntesis y Caracterización...

Documents

Transcript of Síntesis y Caracterización Estructural de los Materiales · Síntesis y Caracterización...