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1/19

1. El área de un triángulo es de 200m2 si la medida de su base es el cuadruplode la medida de su altura, la medida de la base es:a) 30 b) 40 c) 44 d) 60

2

22

b b hA 200m ; b 4h h ; A 200

4 2

bbb4 200 200 b 1600 b 1600 40m

2

×= = → = = =

×= → = → = → = =

2. !iete obreros ca"an en 2 horas una #an$a de 10m %&uántos metros ca"aran enel mismo tiempo 42 obreros'a) 6( b) 30 c) 60 d) 6

obreros horas ca"an*m)42 2 10

+ 2 10 60m-+ 2

42 2

× ×− − = =

×

+ +

3. .a suma del seto / octa"o trmino de la serie 0,; 0,(; 1,1; 1,2(; 1,40;-es:a) 1,( b) 3,2( c) 3,40 d) 3,((

6 +

6 +

6

0,; 0,)(; 1,10; 1,2(; 1,40; t ; t ; t

1,40 1,2( 0,1( ; 1,2( 1,10 0,1(

t 1,40 0,1( 1,(( t 1,(( 0,1( 1,+0 t 1,

t t 1,(( 1,( 3,40

− = − == + = = + = =+ = + =

4. El "alor de la uncin seno en el tercer cuadrante al hallar la solucin de2tan sec 3+ = , es:

a)

22

−b)

32

−c)

12

−d) 1−

( ) ( )

2

2 2

2 2

1 o

o

tan sec 3

sec 1 tan

tan 1 tan 3 tan tan 2 0

tan 2 tan 1 0

tan 1 tan *1) 4(

2sen22(

2

−

+ =

= +

+ + = → + − =

+ − == → = =

= −

Lee el problema y responde la pregunta:5. na empresa produce dos tipos de rerigeradoras, tipo A especial / tipo 5

general- .a primera necesita 10 horas de traba$o para su abricacin / 4 paralos acabados, mientras ue la segunda reuiere horas en su abricacin / 2

en los acabados- !e dispone como máimo de 10 horas de traba$o enabricacin / 4( en los acabados por semana-

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2/19

!elecciona el sistema de restricciones ue se a$usta a este modelo deprogramacin lineal de maimi#acin en la abricacin de cada modelo dererigeradora-

a)

4 / 10

10 2/ 4(

0/ 0

+ ≤ + ≤

≥   ≥   b)

4 10/ 4(

2/ 10

0/ 0

+ ≤ + ≤

≥   ≥   c)

10 2/ 4(

4 / 10

0/ 0

+ ≤ + ≤

≥   ≥   d)

10 / 10

4 2/ 4(

0

/ 0

+ ≤ + ≤ ≥   ≥

Lee el problema y responde la pregunta:6. .a elaboracin de la estructura de un escritorio tarda (0 horas de traba$o / el

lacado 20 horas, mientras ue la elaboracin de una cama tarda 4( horas enla estructura / 10 en el lacado- !e dispone como máimo- 7e 00 horas detraba$o para reali#ar la estructura / 22( para el lacado-%&uál es el sistema de restricciones ue se a$usta a este modelo deprogramacin lineal de maimacin en la elaboracin de estos muebles'

a)

(0 4(/ 00

20 10/ 22(

0

/ 0

+ ≤ + ≤ ≥   ≥   b)

20 4(/ 00

(0 10/ 22(

0

/ 0

+ ≤ + ≤ ≥   ≥   c)

20 (0/ 22(

4( 10/ 00

0

/ 0

+ ≤ + ≤ ≥   ≥   d)

(0 10/ 22(20 4(/ 00

0

/ 0

+ ≤ + ≤ ≥   ≥

7. &on base en el gra8co, calcula el "alor máimo para la uncin ob$eti"o( ) ,/ 3 2/ (= + −

a) 2 b) 14 c) 21 d) 26

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

1

2

3

4

56

7

x

y

A(3, 5)

B(8, 1)C(1, 2)

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

,/ 3 2/ (

3,( 3 3 2 ( ( 14

,1 3 2 1 ( 21 1,2 3 1 2 2 ( 2

= + −

= + − =

= + − == + − =

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3/19

Lee el problema y responde la pregunta:8. na persona labora en dos lugares- .a empresa A, en la ue traba$a de lunes

a "iernes, le paga !7 ( por hora, mientras ue la compa9a 5, en la uetraba$a los 8nes de semana, paga !7 + la hora- El traba$ador puedecolaborar en la empresa A hasta 120 horas al mes / en la 5 hasta (0 horas almes, / eiste un lmite total mensual de 130 horas-

!i consideramos ue la uncin es ( ) ,/ ( +/= + , cu/o gra8co representa acontinuacin %&uál es el bene8cio máimo ue puede obtener en dlares'a) 3(0 b) 600 c) 6+0

d) +(0

.os puntos en los ue se corta la lineatras"ersal son:*120,10) / * 0,(0)luego se los rempla#a en la ormula*, /) (*120) < +*10)*, /) 6+0*, /) (*0) < +*(0)*, /) +(0

9. A partir de la parábola, determina su ecuacin en la orma ( )2

/ a h == − +

x

y

a) ( )2

/ 3 2= − −

b) ( )2

/ 3 2= − +

c) ( )2

/ 3 2= + −

d) ( )2

/ 3 2= + +

10. !elecciona la ecuacin ue corresponda a la hiprbola:

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4/19

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

F(0, -4)

V(0, -3)

F(0, 4)

V(0, 3)

a)

2 2/ 1

+− =

b)

2 2 /1

+− =

c)

2 2 /1

++ =

d)

2 2/ 1+

− =

11. 7ada la ecuacin de la elipse, identi8ca su grá8co-

2 2 /1

4+ =

-3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

(0, -2)

(3, 0)

(0, 2)

(-3, 0)

b)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

(0, -2)

(3, 0)

(0, 2)

(-3, 0)

a)

( )0 0;0

a 3

b 2

==

 

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

(0, -3)

(-5, 0)

(0, 3)

(5, 0)

d)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-4-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

(0, -3)

(5, 0)

(0, 3)

(-5, 0)

c)

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5/19

Lee el problema y responde la pregunta:12. na empresa de teleona m"il orece un ser"icio con un abono 8$o

mensual de !7 12 por ( horas de comunicacin /por cada minuto ue elcliente eceda, se le cobra !7 0,03- 7icha compa9a usa esta rmula:

( ) 12 0,03= + -%?u representa en ella'a) .a cantidad de horas ue se ha utili#ado el ser"icio en un mes-b) .a cantidad de minutos ue se ha utili#ado el ser"icio en un mes-c) .a cantidad de minutos ue se ha ecedido el uso del ser"icio-d) .a cantidad de dinero a pagar por el uso del ser"icio en un mes-

Lee el problema y responde la pregunta:13. !e lan#a un ob$eto hacia arriba, si la altura máima ue alcan#a despues

de t segundos representa la uncin2h 6t 120t= − + , / sin considerar la

resistencia sdel aire %&uál es laaltura máima / el tiempo en esepunto'

a) h 10m;t 600s= =

b) h 10m;t 114s= =

c) h 600m; t 10s= =

d) h 1140m;t 10s= =

Lee el problema y responde la pregunta:14. En el curso de @ulián todos los alumnos escribieron el nombre de cada

abuelo / su edad en un papel / lo colocaron en una ca$a, los nmerosregistrados ueron:

+0B1B1B0B6(B+0B1B6+B6(B0

7etermina la probabilidad, en porcenta$e, de ue al sacar un papelito la edaddel abuelo sea ma/or ue 6( a9os / menor ue 0 a9os-a) 0C b) +0C c) (0C d) 30C

&asos posibles: 10-&asos a"orables: 3-

( )  3

D 6(edad0 0,30 30C10

= = →

( ) ( )

( )

2

2

h 6t 120t

600 6 10 120 10

600 6 100 1200600 600 1200

600 600

= − +

= − +

= − += − +=

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6/19

Lee el problema y responde la pregunta:15. .a gra8ca representa la e"olucin del precio de un producto durante un

a9o-

%&uál de las a8rmaciones es correcta'

a) El precio más ba$o se mantu"o en el primer semestre-b) El precio se mantu"o constante en el segundo semestre-c) El descenso del precio ue menor en octubre ue en ebrero-d) El precio en $unio superaba los !7 13-

16. .a "arian#a ue corresponde a la distribucin de recuencias con datosagrupados es:

Fnter"alos

i i  i i  ×  2

i2

i i ×

( B 10 +,( 60,0 (6,2( 4(0,0010 B 1( 12,( 4 (0,0 1(6,2( 62(,00

1( B 20 1+,( 2 3(,0 306,2( 612,(020 B 2( 22,( 3 6+,( (06,2( 1(1,+

(2( B 30 2+,( 24+,( +(6,2( 606,2

(30 B 3( 32,( 2 6(,0 10(6,2

(2112,(

03( B40 3+,( 2 +(,0 1406,2

(212,(

030 600,0 4243,+

(143+,

(0

a) 20 b) 30 c) +,2 d) 3+4,(

( )

( )

n n22 2 2   i

n i i ii 1 i 1

2 2

n

1 1G G G G G

n n

600,0 1G 20 143+,(0 20 +,2

30 30

σ  

σ  

= =

 = − = × − = ÷

 

= = = − =

∑ ∑

17.  @uan es halado por dos compa9eros como se interpreta en el grá8co-

Encuentra el "alor del ángulo teta, para ue @uan siga su tra/ectoriahori#ontal-a) o b) 23,6o c) 60o d) +2o

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7/19

  4  0   H

o30

I

     3     2      H

1( Jm

1( 3=mE

H

K

"

( )

o

o

1 o

40senI 32sen30

32sen30senI 0,4

40

I sen 0,4 23,6

−

=

= =

= =

18. n auto se despla#a 1(=m en direccin este, luego continua 1( 3=m haciael norte %&uál es el "ector despla#amiento ue ha eperimentado el "ehculo'a) 30=m *Horte 30L Este)b) 30=m *Horte 60L Este)

c)( )1( 1 3 =m+

*Horte 60L Este)

d)( )o30 (=m Horte30 Este

( )

( )

22

1 o

" 1( 1( 3 22( 6+( )00 30Jm

1( 3tanI 3 I tan 3 60

1(−

= + = + = =

= = → = =

r

19. Encuentra la dierencia de los "ectores a b−r

 en trminos de / /

a) 2 /+ b) / 2− c) 2/ d) 4−

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8/19

/

2

b

a

B2/

20. 7ado los "ectores a / b de la grá8ca, calcula 3aM2b

a) i $− − b) i )$+ c) i 21$+ d) 1+i )$+

21. &alcula 2a b− +

a) 6i 10$− − b) 4i +$− − c) 2i 2$− − d) 2i 2$+

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

[ ] [ ]a b / 2 2 / / 2 2 / 4− = − − + = − − − = −

( ) ( )

( )

( ) ( )

a 3 1 i 4 1 $ 2i 3$

2a 2 2i 3$ 4i 6$

b 4 2 i ( 1 $ 2i 4$

2a b 4i 6$ 2i 4$ 6i 10$

= − + − = +

− = − + = − −

= − + + − + = − −

− + = − − − − = − −

r r r rr

r   r r r r

r   r r r r r rr

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9/19

22. 7ado el sistema de tres ecuaciones, determina su con$unto solucin- / 10

# 1

/ # 23

+ = + = + =

a) ( )2);3);16−

b) ( )3;+;16

c)( )3;13;22

d) ( )1+;+;30

23. El departamento de personal de una empresa compro los regalos de 8n dea9o; se in"ertieron !7 200 en la compra de (00 regalos- El regalo paracada una de las mu$eres costo !7 / para cada uno de los "arones !7 (-Al 8nali#ar el dia se habian entregado todos los regalos %&uántas mu$eres /cuantos "arones recibieron el su/o'a) 400 "arones / 100mu$eres-b) 100 "arones / 400mu$eres-c) 300 "arones / 200mu$eres-d) 2(0 "arones / 2(0mu$eres-

24. 7etermina el sistema de desigualdadesrepresentado en el grá8co-

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1

2

3

4

x

y

a) 3 0/ 2 0

− > − ≥

b)

3 0

/ 2 0

+ > − ≥

c)

3 0

/ 2 0

− > + ≥

d)

3 0

/ 2 0

− ≥ − >

25. n automo"il nue"o cuesta !7 30 000, sabiendo ue su depresiacinanual es del 10C %&uál será su "alor al 8nal del uinto a9o'a) 0,03 b) 1( 000,00 c) 1+ +14,+0 d) 163,00

(

1 a o : 3000 0-) 2+00

2 a o : 3000 0-) 2430

3 a o : 3000 0-) 21+

4 -----------------------------------

( a o : 3000 0-) 1++1

9

9 N

,4+ "alor 8na

O

9 l

9

× =× =× =

× =

" m (00

(" m 200

+ = + =

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10/19

26.  Patiana debe pagar su prstamo en cuotas ue aumentan a ra#n de!7 6 cada mes- !i la cuota inicial es de !7 6 %&uánto pagara en total'a) 1(6 b) 10 c) 216 d) 432

6 12 1 24 30 36 42 4 216+ + + + + + + =

27. En la biblioteca del se9or >alde#, las tres cuartas partes de los libros sonde medicina, la uinta parte del resto son de biologia / completan la coleccin20 libros de historia%&uántos libros de medicina /biologa tiene'a) ( medicina / +( biologa

b) 300 medicina / 0biologac) 0 medicina / 300biologad) +( medicina / ( biologa

28. Encuentre el "alor de en la ecuacin eponencial:2 32=

a) 3 b) 4 c) ( d) 6

= ⇒ = ⇒ = (2 32 2 2 (

29. En la ecuacin( ) ( ) 1 1 23 ) 2++ −=

 %&uál es el "alor de '

a) 2Q( b) 1 c) (Q2 d) 4

( ) ( )   ( ) ( ) ( ) (+ − + ++ −

+ + − −

= ⇒ = =

= = ⇒ = − ⇒ + =

= ⇒ = =

2 1 3 1 2 2 1 3 1 1 2

2 2 3 6 ( 4

3 2+ 3 3 3 3

3 3 3 ( 4 4 (

(( ( 1

(

30. %&uál es el "alor de en la ecuacin eponencial'3 1=

a) 2 b) 3 c) 4 d) (

( ) ( )medicina 3 / 4 ; biología 1 / 5 1 / 4 1 /

3 1 20 15 1 1historia 1

4 20 20 5Total 5 20 100

3 1Medicina 100 75 ; iología 100

4 20

= = =

− −= − − = =

= × =

= × = = ×

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11/19

43 81 3 3 4

 x x  x= ⇒ = ⇒ =

31. %?u "alores satisacen la ecuacin 2cos cot=  en el inter"alo [ ]0;2R 'a) 1(o / +(o b) 30 o / 1(0o c) 30o / 210o d) 60o /300o

( )

= ⇒ = ⇒ =

 = ⇒ = ⇒ = = ÷  

= − = ⇒

o

o o o o o

cos cos2cos cot 2cos 2sen

sen cos

1 12sen 1 sen arcsen 30

2 2

10 30 1(0 !ol-: 30 ;1(0

32. En el inter"aloo o0 10≤ ≤ , determina la solucin de:

2 2 1sen cos 02

− − =

a)( )o o30 ;60

b)( )o o60 ;120

c)( )o o30 ;60

d)( )o o30 ;60

( )− − = ⇒ − − −

− + − = ⇒ = ⇒  

= = = − = ÷ ÷  

2 2 2 2

2 2 2

o o o o

1sen cos 0 sen 1 sen

2

1 3

sen 1 sen 0 2sen se2 23

arcsen 60 ; 10 60 1202

33. 7etermina el con$unto solucin para:222( / 0− ≥

a) { }/ Q / 1(∈ ≥S

b) { }/ Q / 1(∈ ≤S

c){ }/ Q 1( / 1(∈ − ≤ ≤S

d) { }/ Q 1( / 1(∈ − <

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12/19

34.  10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10

20

30

40

50

60

70

x

y

(30;10)

(90;30)

(100;20)

(100;10)

&on base al grá8co,identi8ca el par ordenado en el ue se produce la maimi#acin de la uncin

ob$eti"o ( )T ;/ 3( 60/= +

a) ( )30;10

b) ( ))0;30

c) ( )100;10

d) ( )100;20

35. na persona puede elegir 2 rutas de entre 10 disponibles para hacer un

batido %&uántas ormas tiene para me#clarlas'a) 2 b) 12 c) 20 d) 4(

( ) ( )n 2m 10

mU 10U 10Um 10;n 2;& & 4(

nU m n U 2U 10 2 U 2U U= = = → = = =

− − ×

36. !i a una reunin asisten ( hombres / ( mu$eres, %&uántos comites de 4personas pueden ormarse con igual nmero de hombres / mu$eres'a) 20 b) 24 c) 100 d) 240

( ) ( )

( ) ( )

n 2

m (

n 2

m (

mU (UVombres: m (;n 2;& &nU m n U 2U ( 2 U 2U

mU (U (Wu$eres: m (;n 2; & &

nU m n U 2U ( 2 U 2U

Dosibilidades totales: 10 10 100

= = = → = =− −

= = = → = =− − ×

× =

37. na urna contiene 2 bolas a#ules / 4 bolas blancas- !i se puede etraer 2bolas a la "e# %de cuantas maneras se puede etraer solo bolas blancas'a) 2 b) 6 c) 12 d) 1(

( ) ( )n 2m 4

mU 4U 4Um 4 ;n 2; > > 12m n U 4 2 U 2U

= = = → = = =− −

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13/19

38. %&uántos nmeros de 3 ciras pueden ormarse con los ( dgitos: 1, 2, 3, 4/ (, sin ue se repita uno de ellos en el nmero ormado'a) 1( b) 60 c) 120 d) 20

( ) ( )

n 3m (

mU (U (Um (;n 3; > > 60

m n U ( 3 U 2U

= = = → = = =− −

39.  Pres "ia$eros llegan a una ciudad en la ue ha/ 6 hoteles- %7e cuántasmaneras pueden ocupar sus cuartos, debiendo estar cada uno en un hoteldierente'a) 1 b) 240 c) 120 d) 112

o

o

o

El 1 "ia$ero tiene 6 posibilidades para escoger-

El 2 "ia$ero tiene ( posibilidades para escoger- X de man

El 3 "ia$ero tiene 4 posibilidades para escoger-

⇒

40. Va/ 4 mnibus ue "ia$an entre Y.as DalmerasZ / el paradero de Y2 deWa/oZ- %7e cuántas maneras una persona puede ir a las Dalmeras / regresaren mnibus dierente'a) b) 6 c) 10 d) 12

Dara ir a las palmeras tiene 4 posibilidades-X de maner

Dara regresar tiene 3 posibilidades-

⇒

41. %7e cuántas maneras distintas pueden sentarse en una banca de 6asientos, 4 personas'a) 60 b) 24 c) 120 d) 360

o

o

o

o

.a 1 D puede ocupar cualuiera de los 6 asientos-

.a 2 D puede ocupar cualuiera de los ( restantes-

.a 3 D puede ocupar cualuiera de los 4 restantes-

.a 4 D puede ocupar cualuiera de los 3 restantes-

X de ormas distintas 3 4 ( 6 360

⇒ = × × × =

( ) ( )n 4m 6

D[\ >A\FA&F]H:mU 6U 6U

m 6;n 4; > > 360m n U 6 4 U 2U

= = = → = = =− −

42. El producto de las races de la ecuacin ( ) ( ) 3 ( 0− + =  es:a) b) 2 c) B1( d) 1(

43. !e lan#a un ob$eto hacia arriba, si la altura máima despus de t segundosrepresenta la uncin ue se da a continuacin- %cuál es la altura máima / eltiempo en ese punto'

( )   2h t 6t 120t= − +a) h10 metros, t600 seg- b) h10 metros, t114 seg-c) h600 metros, t10 seg- d) h1140 metros, t10 seg-

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44. En una clase de 3( alumnos se uiere elegir un comit ormado por tresalumnos- %&uántos comits dierentes se pueden ormar'a) 1+ b) 130 c) 32+ d) 6(4(

( )

33(

3(U 3(U 3( 34 33 32Um 3(;n 3 & 6

3U 3( 3 U 3U32U 3U32U

× × ×= = ⇒ = = = =

−

45. na persona posee 3 anillos distintos- %7e cuántas maneras puedecolocarlos en sus dedos de la mano derecha, colocando slo un anillo pordedo, sin contar el pulgar'a) 12 b) 24 c) 36 d) 120

( ) ( )n 3m (

mU 4U 4Um 4 ;n 3; > > 24

m n U 4 3 U 1U= = = → = = =

− −

46. n estudiante tiene ue resol"er 10 preguntas de 13 en un eámen-%&uántas maneras de escoger las preguntas tiene'a) 26 b) 1 03+ 36 c) 6( d) 130

( )1013

13U 13Um 13;n 10 & 26

10U 13 10 U 10U3U= = ⇒ = = =

−

&alcular el nmero de triángulos ue se pueden tra#ar por YmZ puntos nocolineales-

a)

( ) ( )m m 1 2m 1

6

+ −

b)

( ) ( )m m 1 m 2

6

− −

c)

( ) ( )m m 1 m 2

6

+ +

d)

( )m m 1

6

+

( )

( ) ( ) ( )3m

m m 1 m 2 m 3 UmUm m;n 3 &

3U m 3 U

− − −= = ⇒ = =

−   ( )3U m 3 U−

(m=

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analisis-htmlhttp:QQpromoiM2013-blogspot-comQ2012Q12Qe$erciciosMresueltosMdeManalisis-html

F7EHPF7A7E! P\F^[H[W_P\F&A! TH7AWEHPA.E!.as identidades trigonomtricas son ormas simpli8cadas ue permiten reali#ar /conocer las dierentes unciones de la trigonometra-

Fdentidades trigonomtricas 5ásicas

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D\[5A5F.F7A7&álculo matemático de las posibilidades ue eisten de ue una cosa se cumplao suceda al a#ar-!uceso: Es cada uno de los resultados posibles de una eperiencia aleatoria-Espacio muestral: Es el con$unto de todos los posibles resultados de una

eperiencia aleatoria, lo representaremos por E *o bien por la letra griega `)-E$emplos:B Espacio muestral de una moneda: E &, !- *&cara; !sello)B Espacio muestral de un dado: E 1, 2, 3, 4, (, 6-

!uceso aleatorio: Es cualuier subcon$unto del espacio muestral-

E$emplo: na bolsa contiene bolas blancas / negras- !e etraen sucesi"amentetres bolas- &alcular:

1- El espacio muestral-E *b,b,b); *b,b,n); *b,n,b); *n,b,b); *b,n,n); *n,b,n); *n,n ,b); *n,n,n)

2- El suceso A etraer tres bolas del mismo color-A *b,b,b); *n, n,n)

3- El suceso 5 etraer al menos una bola blanca-5 *b,b,b); *b,b,n); *b,n,b); *n,b,b); *b,n,n); *n,b,n); *n,n ,b)

4- El suceso & etraer una sola bola negra-& *b,b,n); *b,n,b); *n,b,b)

\egla de .aplace!i reali#amos un eperimento aleatorio en el ue ha/ n sucesos elementales,todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, laprobabilidad de ue ocurra el suceso A es:

( ) nmero de casos a"orables a AD Anmero de casos posibles

=

E$emplos1- Vallar la probabilidad de ue al lan#ar dos monedas al aire salgan

dos caras-&asos posibles: cc, cs, sc, ss-&asos a"orables: 1-

( )1

D 2 caras4

=

2- En una bara$a de 40 cartas, hallar la D*as) / D*copas)-&asos posibles: 40-

&asos a"orables de ases: 4-( )

  4 1D as

40 10= =

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&asos a"orables de copas: 10-

( )  10 1

D copas40 4

= =

3- &alcular la probabilidad de ue al echar un dado al aire, salga:a) n nmero par-

&asos posibles: 1, 2, 3, 4, (, 6-&asos a"orables: 2, 4, 6-

( )  3 1

D par6 2

= =

b) n mltiplo de tres-&asos a"orables: 3, 6-

( )  2 1

D 36 3

= =

c) Wa/or ue 4-&asos a"orables: (, 6-

( )  2 1

D 46 3

> = =

https:QQ-goconr-comQenQpQ21241MmatemMticasMui##es

VFDE\5[.A

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

A 5/ & 7/ E 0; A 5 deben tener signo distinto

h / =1;Viperbola hori#ontal

a b

/ = h1;Viperbola "ertical

a b

+ + + + = ≠

− −− =

− −− =

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!"#$%&"&$!'

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18/19

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0a

 xe

+ =  /

0a

 xe

− =

0a

 x he

− + =  /

0a

 x he

− − =

0a

 ye

+ =  /

0a

 ye

− =

0a

 y k e

− + =  /

0a

 y k 

e

− − =.A7[ \E&P[

22b

a

\E.A&F]H 7E# $a b c

2 2 2a b c= +

E&A&F]H ^EHE\A.2 2

0 Ax By Dx Ey F + + + + =

EG&EHP\F&F7A72 2c a b

ea a

−= =

L' -!("*+L'

E&A&F]H 7E .AVFD_\5[.A &[H&EHP\[ EH E.

[\F^EH,

E@E \EA. EH x

2 2

2 2  1

 x y

a b− =

&[H &EHP\[ ( );h k  ,E@E

\EA. DA\A.E.[ A  x

( ) ( )2 2

2 2  1

 x h y k 

a b

− −− =

E&A&F]H 7E .AVFD_\5[.A &[H&EHP\[ EH E.

[\F^EH,E@E \EA. EH  y

2 2

2 2  1

 y x

b a− =

&[H &EHP\[ ( );h k  ,E@E

WA[\ DA\A.E.[ A y

( ) ( )2 2

2 2  1

 y k x h

a b

− −+ =

E&A&F[HE! 7E .A!7F\E&P\F&E!E@E \EA.  x

0a

 xe

+ =  /

0a

 xe

− =

E@E \EA. DA\A.E.[ A  x

0a

 x he

− + =  /

0a

 x he

− − =

" 2 F P PF a− = E&A&F[HE! 7E .A!

7F\E&P\F&E!E@E \EA.  y

0a

 ye

+ =  /

0a

 ye

− =

E@E \EA. DA\A.E.[ A  y

0a

 y k e

− + =  /

0a

 y k e

− − =

.A7[ \E&P[

22b

a

\E.A&F]H 7E# $a b c2 2 2c a b= +

E&A&F]H ^EHE\A.2 2

0 Ax By Dx Ey F − + + + =

EG&EHP\F&F7A72 2c a b

ea a

+= =

E&A&F[HE! 7E .A! A!FHP[PA!

E@E \EA.  x :

b y x

a= ±

E@E \EA. DA\A.E.[ A  x :

( )b

 y k x ha

− = ± −

E&A&F[HE! 7E .A! A!FHP[PA!

E@E \EA.  y :

a y x

b= ±

E@E \EA. DA\A.E.[ A  y :

( )a

 y k x hb

− = ± −