Библиотека<Математическое просвещение>

Выпуск 27

С. Г. Смирнов

ПРОГУЛКИПО ЗАМКНУТЫМПОВЕРХНОСТЯМ

Издательство Московского центранепрерывного математического образования

Москва • 2003

УДК 515.16ББК 22.152

С50

Аннотация

Изучение замкнутых поверхностей началось в XVIII векес теоремы Эйлера: В−Р+Г=2 для всякого выпуклого много-гранника. Но для невыпуклых многогранников выражение χ==В−Р+Г может принимать совсем другие значения. Принявзначение χ за численную характеристику поверхности, мы получа-ем её первый т о п о л о г и ч е с к и й и н в а р и а н т: он позволя-ет доказать, например, что тор н е э к в и в а л е н т е н кренделю.Но различить таким образом тор и бутылку Клейна н е у д а ё т-с я: нужен другой инвариант, выражающий о р и е н т и р у е-м о с т ь поверхности. В конце XIX века Пуанкаре навёл алгебра-ический порядок среди всех замкнутых поверхностей. Одновре-менно Хивуд связал эйлерову характеристику χ с наименьшимчислом цветов, необходимых для раскраски любой карты на дан-ной поверхности. В XX веке геометры стали изучать поверхностис новой точки зрения: какие из них являются границами некихтел, и какие из них можно изобразить в пространстве без самопе-ресечений. Пути решения этих проблем рассмотрены в брошюре.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей: школьни-ков, студентов, учителей.

Издание осуществлено при поддержкеДепартамента образования г. Москвыи Московской городской Думы.

ISBN 5-94057-120-4 © С. Г. Смирнов, 2003.© МЦНМО, 2003.

Сергей Георгиевич Смирнов.

Прогулки по замкнутым поверхностям.

(Серия: <Библиотека ,,Математическое просвещение“>. Вып. 27).М.: МЦНМО, 2003. — 28 с.: ил.

Редактор А. Б. Сосинский.Техн. редактор М. Ю. Панов. Корректор Т. Л. Коробкова.

Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано в печать 10/X 2003 года.Формат бумаги 60×88 1/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Физ. печ. л. 1,75.

Усл. печ. л. 1,71. Уч.-изд. л. 1,72. Тираж 3000 экз. Заказ 3922.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.119002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 05 00.

Отпечатано с готовых диапозитивовв ФГУП <Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ>.

140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86.

§ 1

СФЕРА

ТОР

КРЕНДЕЛЬС ДВУМЯ ДЫРКАМИ

Рис. 1

Биологи привыкли делить историю жизнина Земле на три эры: палеозой (эру трилоби-тов), мезозой (эру динозавров) и кайнозой (эрумлекопитающих животных). Всю историю ма-тематики тоже можно разделить на три эры.Античность (или научный палеозой) замеча-тельна тем, что её учёные люди (Пифагор,Архимед, Цзу Чун-чжи и их коллеги в Элладеи Китае) хорошо знали целые числа и про-стые фигуры — вроде куба или параболы,но не ведали позиционной записи чисел. Науч-ный мезозой начался в XVII веке — когда пер-вый динозавр (Рене Декарт) ввёл на плоско-сти числовые координаты, записал уравнениянесложных кривых линий и начал изучатьграфики функций путём их математическогоанализа. В XIX веке эта сфера знаний достиг-ла совершенства: тогда первый млекопитаю-щий (Георг Риман) применил все накопленныеметоды работы к изучению гладких много-образий. В течение кайнозоя (XX век) новаянаука о многообразиях (алгебраическая топо-логия, основанная <индрикотерием> — АнриПуанкаре) объединила вокруг себя все прочиеветви математики в единое дерево — разве-систое и обильно плодоносящее в наши дни.

Самые простые многообразия имеют раз-мерность 2 и называются замкнутыми поверх-ностями. Ими мы займёмся, начав с простогоопределения: замкнутой поверхностью назы-вается любая ограниченная (компактная) фи-гура, около каждой своей точки устроеннаятак же, как обычная плоскость.

Примеры замкнутых поверхностей знако-мы всем — это сфера (поверхность шара —или колобка), тор (поверхность бублика) и крендель (с двумя илибо́льшим количеством дырок в тесте), рис. 1.

§ 2

Поглядев на этот ряд фигур, неизбежно задаёшь вопрос: мож-но ли их о т л и ч и т ь друг от друга иначе, чем <на глазок>?Сможет ли их различить компьютер по каким-нибудь числовым ха-рактеристикам этих поверхностей? Например, если мы нарисовали

3

на некой поверхности карту — отгадает ли

КУБ

�=8, �=12, �=6;�−�+�=2

ОКТАЭДР

�=6, �=12, �=8;�−�+�=2

ДОДЕКАЭДР

�=20, �=30, �=12;�−�+�=2

Рис. 2

компьютер, на к а к о й поверхности онанарисована?

Вопросы такого рода приходили в го-лову даже динозаврам в мезозойскуюэру — т. е. в XVII веке, в эпоху Ришельеи д’Артаньяна. Кстати, именно тогда бы-ли построены первые компьютеры — ме-ханические арифмометры. Их построилБлез Паскаль (1623—1662) — коллегаи конкурент Декарта в создании аналити-ческой геометрии. А сам Рене Декарт(1596—1650) заметил неожиданное общеесвойство всех правильных многогранни-ков: для любого из них В−Р+Г=2, гдеВ — число вершин многогранника, Р —число его рёбер, Г — число его граней,рис. 2.

Сделав это наблюдение, Декарт обра-довался: как будет хорошо, если это свой-ство выделяет правильные многогранни-ки среди всех прочих! Но вскоре пришлоотрезвление: формула В−Р+Г=2 вер-на для всех в ы п у к л ы х многогран-ников, и для многих невыпуклых— тоже.Разочарованный таким <ненужным>открытием, Декарт оставил эту тему по-томкам — следующему поколению мате-матических динозавров.

§ 3

Прошло полвека, прежде чем на светпоявился очередной великий матема-тик — Леонард Эйлер (1707—1783).В эту пору научные динозавры пересталиработать в уединении, подобно Декартуи Паскалю. Они сбивались в стаю, назы-вали её академией наук и вместе обсу-ждали самые важные проблемы. Четыресамые авторитетные академии возни-кли в Лондоне (1662), в Париже (1666),в Берлине (1700) и в Петербурге (1724).Именно в Петербург приехал 20-летнийЭйлер со своим другом — Даниилом

4

Бернулли (1700—1782). Позднее оба друга стали первыми акаде-миками всех четырёх академий Европы.

Молодой Эйлер был готов заниматься любой точной наукой,какая под руку попадётся. То он в одиночку и вручную обраба-тывал данные первой российской переписи населения; то читаллекции по исчислению дифференциалов и интегралов для буду-щих морских офицеров; то упражнялся в дешифровке очередноготайного послания какого-нибудь иностранного посла к своему мо-нарху. В перерывах между этими важными делами Эйлер искали находил новые задачи из <чистой> математики — и решал их,если хватало времени и сил.

Именно тогда Эйлер открыл для себя большую теорему Фер-ма — и доказал её для степеней 3 и 4, а дальнейшую ра-боту оставил для новой научной молодёжи (работы им хватилона 250 лет). Тогда же Эйлер переоткрыл формулу Декарта длявыпуклых многогранников (В−Р+Г=2) — и доказал её оченьпростым способом, выявляющим главную суть дела.

Действительно, если эта формула верна для в с е х выпуклыхмногогранников, то чьё же свойство она выражает? Наверное, этосвойство с ф е ры — той замкнутой поверхности, на которой можнонарисовать контур любого выпуклого многогранника, состоящийиз вершин (В) и рёбер (Р). При этом сфера разбивается на столькообластей, сколько граней (Г) у исходного многогранника. Инымисловами, поверхность любого выпуклого многогранника взаимнооднозначно деформируема в сферу путём сжатий или растяже-ний — но без разрывов или склеек1).

§ 4

После такого переосмысления теорема Эйлера о многогран-никах приобрела очень простую формулировку и доказательство.

Всякое вложение связного графа с В вершинами и Р рёбрамив сферу разбивает её на Г областей, причём В−Р+Г=2.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть на сфере нарисован произволь-

ный связный граф с В вершинами и Р рёбрами, разбивающий еёна Г областей. Мы будем последовательно упрощать наш граф,уменьшая числа его рёбер и вершин, но так, чтобы сумма В−Р++Г сохранялась при всех упрощениях. Если после всех упрощенийбудет выполнено условие В−Р+Г=2, значит, оно выполнялосьи для исходного графа. Упрощения графа будут двух сортов.

1◦. С т я г и в а н и е в точку одного ребра, соединяющего дверазные вершины. Такая операция уменьшает на единицу числовершин графа (В) и точно так же уменьшает число его рёбер (Р).

1) Такую деформацию математики XX века назвали гомеоморфизмом фигур:это понятие нам пригодится позже.

5

Число областей (Г), на которые граф делит

�)↓ 1◦

�)↓ 1◦

�)↓ 1◦

� )↓ 1◦

�)Рис. 3

сферу, при этом н е и з м е н я е т с я — так чтосумма В−Р+Г сохраняется1) (рис. 3, а—д).

Наша операция 1◦ может увеличить чи-сло петель в графе — но это нам не меша-ет. Напротив, наша промежуточная цель —сделать число вершин графа (В) равным 1(рис. 3, д). Такой граф называется букетомпетель; упростить его дальше с помощью опе-рации 1◦ невозможно; поэтому мы вводим сле-дующую операцию.

2◦. Пусть на сфере лежит букет петель; мыуберём одну из них. Тогда число областей (Г),на которые делит сферу новый граф (он —тоже букет петель), на единицу меньше, чембыло у исходного графа. Значит, сумма В−−Р+Г сохраняется при преобразовании 2◦.

Ясно, что таким образом мы можем умень-шить число рёбер графа до нуля: граф пре-вратится в одну точку на сфере, а для такогографа В−Р+Г=1−0+1=2. Доказательствотеоремы Эйлера закончено.

§ 5

Теперь мы построим к о н т р п р и м е рк теореме Эйлера с помощью н е в ы п у к л о г омногогранника, нарисованного на т о р е(рис. 4). Для этого многогранника В−Р+Г=0!

Итак, для некоторых вложений некоторыхграфов в тор сумма В−Р+Г равна нулю —а не двойке, как на сфере. Верно ли это длялюбого вложения любого графа в тор? К сожа-лению, нет. Например, окружность (т. е. графс одной вершиной и одной петлёй) можно вло-жить в тор двумя способами: либо так, чтоокружность уместится в маленьком круге (какна сфере), либо так, что она станет меридиа-ном тора или его параллелью (рис. 5, а—в).В случае а окружность разбивает тор на двеобласти; в случаях б и в дополнение к окруж-ности в торе связно — значит, область одна.

1) З а м е ч а н и е. В графе некоторые пары вершинмогут быть соединены н е с к о л ь к и м и рёбрами, а длянекоторых рёбер (петель) начало и конец могут совпадать.

6

�=16, �=32, �=16�−�+�=0

Рис. 4

�) �) �)

Рис. 5

Конечно, Эйлер заметил разницу между этими картинками —и нашёл условие, необходимое для одинаковых значений суммыВ−Р+Г при разных вложениях графа в тор или более сложнуюповерхность.

Заметим, что при подсчёте суммы В−Р+Г мы должны счи-тать, что любая область из дополнения к графу K, вложенномув поверхность М, г о м е о м о р ф н а кругу без границы.

На сфере это условие выполнено для любого вложения любогосвязного графа. Но на торе это не всегда так. Минимальный граф,п р а в и л ь н о р а з б и в ающи й тор — это букет двух петель: па-раллели и меридиана. Дополнение к такому графу состоит из однойправильной области, так что В−Р+Г=1−2+1=0. Сходные раз-биения можно построить на кренделе с k <дырками>: в этом случаесумма В−Р+Г принимает значение 2−2k. (Постройте на крен-деле с двумя <дырками> букет петель, удовлетворяющий условиюЭйлера. Сколько петель для этого потребуется?)

К сожалению, Эйлеру не удалось придумать строгое доказа-тельство формулы В−Р+Г=2−2k для л ю б о г о графа, лежа-щего на кренделе с k дырками и правильно разбивающего этуповерхность. Эйлер оставил эту задачу своим преемникам, надеясьна дерзость и смекалку новых динозавров. Потомки не подвелиЭйлера — хотя ждать успеха пришлось долго. Доказать коррект-ность определения эйлеровой характеристики сумел только АнриПуанкаре в конце XIX века — когда эра динозавров в математикесменялась эрой млекопитающих.

7

§ 6

Но ещё в середине XIX века сразу несколько дерзких мате-матиков задались простым вопросом: в с е ли возможные замкну-тые поверхности обнаружил Эйлер? Видно, что для <кренделей>сумма В−Р+Г (её назвали эйлеровой характеристикой поверхно-сти) принимает чётные значения. Нет ли поверхности с нечётнойэйлеровой характеристикой? Например, можно ли построить по-верхность и правильный граф на ней, для которых В−Р+Г=1?

Оказывается, можно! Такую поверхность впервые построилГеорг Риман (1826—1866) — ученик великого математика КарлаГаусса и лучший геометр своего времени. Исследуя геометрию фи-гур на сфере, Риман заметил интересный факт: о к р у ж н о с т инаибольшего радиуса играют на сфере ту же роль, что п р я-м ы е на плоскости! Ведь отрезок большой окружности являетсяк р а т ч а йш е й линией, соединяющей две любые точки на сфере.Правда, геометрия Римана на сфере резко отличается от геометрийЕвклида или Лобачевского на плоскости. В ней вовсе н е т п а р а л-л е л ь н ы х <прямых>, ибо любые две окружности наибольшегорадиуса пересекаются в двух концах некоторого диаметра сферы!

Сам по себе этот факт не шокировал современников Римана.Они успели привыкнуть к геометрии Лобачевского, где через лю-бую точку вне <прямой> можно провести много разных <прямых>,не пересекающих данную <прямую>. Ну, а если <псевдопараллель-ных> прямых бывает много — значит, может не быть и ни одной!Но вот пересечение двух прямых в д в у х разных точках — этонеестественно. Разные прямые должны пересекаться в одной точ-ке — либо вовсе не пересекаться!

Так думал и Риман; поэтому он решил <исправить> сферу,склеив к а ж д у ю её точку с другой точкой — диаметральнопротивоположной. То, что получилось в результате, современникиРимана назвали проективной плоскостью — благо эту страннуюповерхность давным-давно построили иным путём и использовалифранцузские геометры во главе с Жераром Дезаргом, современни-ком Декарта и Паскаля.

§ 7

Интересно, что оба первооткрывателя — Дезарг и Риман — вос-принимали необычную проективную плоскость лишь как удобнуюм о д е л ь, где воплощена нужная система геометрических преобра-зований или удобная система аксиом. О том, как вы г л я д и т в с япроективная плоскость—<вблизи> или <в целом>, первым задумалсядругойученикГаусса—АвгустМёбиус (1790—1868),пожилойискром-ный профессор астрономии и геометрии. Он начал с чертежа проек-тивной плоскости, используя как заготовку привычный чертёж куба.

8

Из определения проективной плоско-

Рис. 6

�)

�)

Рис. 7

сти по Риману следует, что на ней в с е-г о будет в д в о е м е н ьш е, чем на сфе-ре. Не шесть граней, а три; не восемьвершин, а четыре; не 12 рёбер, а толькошесть (рис. 6). Поэтому эйлерова харак-теристика В−Р+Г проективной плоско-сти равна 1.

Забудем ненадолго о <приполярных>областях сферы и займёмся тем, чтопроисходит вблизи её экватора, когдатам склеиваются вместе все пары диаме-трально противоположных точек. Из че-тырёх боковых граней куба две соседниеисчезают; зато две другие соседки скле-иваются вместе своими параллельнымирёбрами — но не так, как мы привыклиизготовлять цилиндр из прямоугольнойбумажки, а с п е р е в о р о т о м ребра-от-резка вокруг его середины (рис. 7, а). Этусклейку вы, наверное, когда-то в детствевыполняли сами — и знаете, что полу-ченная вами <перекрученная на 180◦>лента называется <листом Мёбиуса>(рис. 7, б). Почему её не заметили Де-карт или Дезарг, Эйлер или Риман?Наверняка замечали — но не придалибольшого значения случайной находке,не укладывающейся в красивую общуютеорию. А вот Мёбиус оценил свою на-ходку по достоинству — и нечаянно обрёл на склоне лет научноебессмертие. Урок для всех добрых молодцев: следите внимательноза любыми чудесами вокруг себя — особенно за теми, о которыхвам никто не сообщил заранее!

§ 8

Итак, лист Мёбиуса составляет главную часть проектив-ной плоскости — её более сложную половину. Другая половинатой же плоскости получается из <приполярной> области сферы —т. е. из обычного круга, который приклеивается к листу Мёбиу-са по их общему краю — окружности. Здесь нас ожидает новое<чудо>: интуитивно ясно, что эту приклейку н е л ь з я произве-сти в пространстве без самопересечений! Спасибо интуиции — онанас не обманывает. Действительно: в отличие от сферы, тора или

9

Рис. 8

кренделя, проективную плоскость н е л ь з я в л ожи т ь в обычноепространство без кратных точек самопересечения! Дело в том, чтовсякая замкнутая поверхность, лежащая в трёхмерном про-странстве, р а з д е л я е т его на две части — ограниченную<внутренность> и неограниченную <внешность>, подобно тому,как замкнутая кривая разделяет плоскость на две части.

Но известно, что лист Мёбиуса — поверхность о д н о с т о-р о н н я я. Пройдя вдоль всей его <средней линии> с поднятымвверх флажком, мы вернёмся в исходную точку — но флажок бу-дет теперь <поднят> в другую сторону (рис. 8)! Это значит, чтофлажок, не пересекая проективную плоскость, попал из <внешно-сти> во <внутренность> дополнения к ней. Значит, у дополненияк проективной плоскости в пространстве н е т отдельной <внеш-ности> и отдельной <внутренности>! То же верно для л ю б о йзамкнутой поверхности, содержащей хотя бы один лист Мёбиу-са и расположенной в пространстве. Оттого все эти поверхностин е в к л а д ы в а ю т с я, а только погружаются в трёхмерноеевклидово пространство. Зато в четырёхмерное пространство онивкладываются без самопересечений — но об этом речь пойдёт ниже.

§ 9

Вспомним, как тор Р1 породил бесконечное семейство крен-делей Рk с помощью <связной суммы поверхностей> (рис. 9).

+ =

Рис. 9

10

Точно так же проективная плоскость Н1 поро-

Рис. 10

ждает бесконечное семейство поверхностей Нk.Все они, в отличие от кренделей, н е о р и е н т и-р у е м ы. Нетрудно заметить и подсчитать (сде-лайте это!), как преобразуется эйлерова харак-теристика поверхностей при их связной сумме:χ(A+B)=χ(A)+χ(B)−2. Поэтому χ(Hk)=2−k.

Упомянутый выше геометр Анри Пуанка-ре (1854—1912) доказал (когда пришла порадля таких открытий), что любые две замкнутыеповерхности с р а з н ы м и эйлеровыми харак-теристиками н е г о м е о м о р ф н ы друг другу.Он доказал также, что любая ориентируемая по-верхность н е г о м е о м о р ф н а любой неориен-тируемой поверхности. Пути этих доказательствмы рассмотрим ниже; пока важно заметить, чтовсе фигуры Pk и Hk попарно различны, даже с точки зрения топо-логии — самой общей ветви геометрической науки. Но прежде чемуглубиться в эти тайны, геометры пожелали у в и д е т ь чертеживсех фигур Нk. Пусть это будут картинки с самопересечениями —лишь бы их можно было охватить единым взором!

Сказано — сделано. Первого успеха в изготовлении портретаповерхности Н2 достиг в 1870 году молодой и везучий немецФеликс Клейн (1849—1925) — достойный преемник рано умершегоРимана, будущий соперник Пуанкаре и друг Гильберта. Его про-стую картинку до сих пор называют <бутылкой Клейна> (рис. 10).

Видно, что эту бутылку (как и тор) можно изготовить из обыч-ного цилиндра. Но склеивать основания цилиндра здесь придётсяиначе: зеркально отразив окружность-торец относительно её диаме-тра. Заметим ещё, что самопересечение бутылки Клейна устроенодовольно скромно: всего одна окружность, вдоль которой вытяну-тое горлышко бутылки прорезало её бок. Можно ли изобразитьсходным путём проективную плоскость?

Да, можно! Для этого нужно заметить, что бутылка Клейнаимеет плоскость симметрии, которая рассекает её на две одинако-вые половины (рис. 11). Каждая половина представляет собой листМёбиуса, вложенный в полупространство весьма своеобразно: пе-ресекая себя вдоль отрезка и так, что весь край листа Мёбиусауместился в краю полупространства! А теперь вспомним, как ста-рик Мёбиус разложил проективную плоскость на две части —на лист Мёбиуса и круг, склеенные по общему краю. Мы уже по-грузили лист Мёбиуса в полупространство. Нам остаётся погрузитьв другое полупространство круг — но не как попало, а так, чтобыкрай круга лежал в краю полупространства точно так, как в нёмлежит край листа Мёбиуса!

11

= +

Рис. 11

КРАЙЛИСТА МЁБИУСА

ОКРУЖНОСТЬ

Рис. 12

Сделаем это. Рассмотрим край листа Мёбиуса, погружённыйв плоскость, как обычное погружение окружности — и начнёмдвигать эту окружность по плоскости, допуская самопересечения,но не допуская изломов кривой (рис. 12).

12

Рассмотрим с л е д этого движения окружности

Рис. 13

по плоскости. Он задаёт п о г р у ж е н и е цилин-дра в толстый <ломоть> пространства, заключённыймежду двумя параллельными плоскостями (рис. 12).В верхнем краю ломтя лежит погружённая окруж-ность (край листа Мёбиуса), а в нижнем — вложеннаяокружность, которую легко продолжить до вложе-ния круга. Вот и всё! Теперь погружение проективной плоскостив обычное пространство можно составить из трёх частей: из погру-жения листа Мёбиуса в верхнее полупространство, из погруженияцилиндра в ломоть пространства согласно рис. 12 и из вложениякруга в нижнюю граничную плоскость ломтя.

Обратим внимание на множество всех к р а т н ы х точек по-строенного нами погружения проективной плоскости в евклидовопространство. Наблюдая за изменением семейства двойных точексамопересечения окружности при её регулярной гомотопии поплоскости, можно заметить то единственное мгновение, когда по-явилась и сразу исчезла одна тройная точка будущего погруженияповерхности. Весь ансамбль кратных точек проективной плоскостив трёхмерном пространстве выглядит, как лист клевера (рис. 13).

В этом букете каждая петля состоит из двойных точек, ноузловая точка букета — тройная. Около неё три разных листапогружённой проективной плоскости пересекаются попарно орто-гонально — как три координатные плоскости Oxy, Oxz, Oyz возленачала координат O.

§ 10

А теперь мы попробуем в л о ж и т ь проективную плоскостьв ч е т ы р ё х м е р н о е евклидово пространство без самопере-сечений. Увидеть эту картинку целиком нашими трёхмернымиглазами, конечно, невозможно — и не нужно. Всё, что происходитв четырёхмерном пространстве, можно описать словами и изобра-зить на трёхмерном чертеже столь же успешно и точно, как мыизображаем трёхмерные тела на плоских чертежах.

Например, трёхмерное пространство есть произведение плос-кости на прямую. Точно так же четырёхмерное пространство естьпроизведение обычного пространства на прямую. Выделим в этомпроизведении четырёхмерный <толстый ломоть> — произведениетрёхмерного пространства на отрезок — и вложим в верхнее осно-вание ломтя лист Мёбиуса, а в его нижнее основание — круг.Вспомним, что край листа Мёбиуса н е о б р а з у е т в обычном про-странстве узла. Поэтому его можно непрерывным движением безсамопересечений превратить в окружность, стандартно вложеннуюв плоскость и ограничивающую в ней круг.

13

Значит, мы можем дополнить наши две вложенные фигуры —

�)

ТОР

�)

ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬH1

Рис. 14

лист Мёбиуса в верхнем основании четырёхмерного ломтя и кругв его нижнем основании — вложением в тело ломтя двумерногоцилиндра, согласно следу движения, <развязывающего> край ли-ста Мёбиуса в пространстве. Объединение всех трёх вложенныхфигур — листа Мёбиуса, цилиндра над его краем и диска, замыка-ющего другой край цилиндра — даёт нам вложение проективнойплоскости в евклидово пространство размерности 4.

Аналогично можно вложить в четырёхмерное пространствосвязную сумму любого числа проективных плоскостей — т. е.любую из известных нам замкнутых неориентируемых поверхно-стей Нk. Нам осталось только доказать, что все в о з м о ж н ы езамкнутые поверхности нам уже известны!

Для этого нужно сделать очередной пры-жок на 60 лет вперёд: из эпохи молодого нем-ца Феликса Клейна и юного француза АнриПуанкаре перескочить в эпоху молодого аме-риканца Марстона Морса, когда стариковКлейна и Пуанкаре уже не будет в живых.На дворе будет 1930 год — расцвет эры мле-копитающих в ноосфере — учёном сообществематушки Земли.

Если считать гениального Римана первымсреди прытких новых зверей (кем-то вродепервой лошадки — эогиппуса), а могучегопервопроходца топологии — Анри Пуанкареуподобить индрикотерию (который мог шутяперешагнуть через обычного слона), то Мар-стон Морс (1892—1977) оправдал значениесвоей английской фамилии: Морж. Он спокой-но и уверенно переплыл такое море, котороестаршие сухопутные коллеги по привычкесчитали непроходимым. Вероятно, Пуанкаремог бы сделать это раньше — но недосуг бы-ло, за прочими великими делами!

§ 11

Молодой Морс начал с простого замечания:каждую из известных замкнутых поверхностей(будь то сфера или тор, проективная плоскостьили бутылка Клейна) можно разложить в объ-единение нескольких лент — либо плоских,как обычное кольцо, либо кручёных — каклист Мёбиуса. Тор составлен из двух таких

14

Рис. 15

лент, последовательно приклеенных к краю круга крест-накрест(рис. 14, а). Первая из этих лент (1) превращает край круга(окружность) в край кольца (это — две окружности). Вторая лен-та (2) восстанавливает связность края и позволяет нам заклеитьэтот край <крышкой> — кругом (3) так, что мы получаем замкну-тую ориентируемую поверхность.

Соорудить неориентируемую поверхность из лент ещё проще.Ведь край листа Мёбиуса связен; поэтому приклейка к кругулюбого набора кручёных лент оставляет край поверхности связ-ным — и мы в любой момент можем заклеить этот край крышкой(рис. 14, б). Так и получаются два семейства замкнутых поверхно-стей: Рk, где число плоских лент чётно, и Нk, где число кручёныхлент любое.

Как же доказать, что в с я к а я замкнутая поверхность Мсоставлена из плоских либо кручёных лент? Морс нашёл удиви-тельно простой ход к цели. Достаточно задать на поверхности Млюбую гладкую ч и с л о в у ю ф у н к ц ию F — и проследить, какизменяется множество меньших значений этой функции по дорогеот её минимума к максимуму!

Возьмём тор: поставим его на стол и сопоставим каждой точкетора число, равное её высоте над столом. Видно, что множествоменьших значений М(F) существенно изменяется четырежды: припроходе через все критические точки функции F, где касательнаяплоскость к её графику горизонтальна (рис. 15).

Около точек минимума и максимума график функции F устро-ен как чашка, открытая вверх (минимум) или вниз (максимум).Около промежуточных точек график F выглядит как седло: при

15

�

� �

Рис. 16

проходе через него (будь то снизу вверх или сверху вниз) к краюмножества меньших (или бо́льших) значений функции приклеива-ется лента — либо плоская, либо кручёная.

Морс доказал (это было не трудно), что на любой замкну-той поверхности любую числовую функцию можно преобразоватьв <хорошую> функцию — с одной точкой минимума, одной точкоймаксимума и несколькими седловыми точками. Поэтому всякаязамкнутая поверхность склеена из лент — либо только из плос-ких, либо только из кручёных, либо из тех и других вперемежку.Но оказалось, что <смешанных> поверхностей н е б ы в а е т: при-клейка двух кручёных лент порождает такую же фигуру, какприклейка одной плоской и одной кручёной ленты (рис. 16).

Вот так Марстон Морс сумел перечислить в с е возможныезамкнутые поверхности — и не только их, ибо теория Морсаоказалась применима к изучению м н о г о о б р а з и й л ю б о йр а з м е р н о с т и. А теперь вернёмся на одно поколение назад —в 1890-е годы, когда Морс родился, а Пуанкаре сумел решить про-блему, поставленную Риманом: как различить любые поверхности,не гомеоморфные друг другу? Видно, не случайно Анри Пуанкареродился в тот год (1854), когда Георг Риман прочёл перед лицомстарого Карла Гаусса знаменитую лекцию о ведущей роли много-образий в обновлённой геометрии!

16

§ 12

Вспомним, что в XVIII веке Эйлер учредил арифметическуютопологию — когда он начал различать замкнутые поверхностипо значению на них арифметической суммы В−Р+Г. В нача-ле XIX века Лагранж, Абель и Галуа ввели в математику новоепонятие группы — для того, чтобы <исчислять> преобразова-ния фигур, которые не всегда удаётся записать целыми числами.В конце XIX века Пуанкаре превратил арифметическую тополо-гию в алгебраическую топологию: для этого он ввёл в геометриюфундаментальную группу Π(Φ) произвольной фигуры Φ.

Описать эту группу не трудно: все её элементы суть петлис общей вершиной на фигуре Φ, причём две петли эквивалентны(гомотопны), если одна из них переводится в другую непрерыв-ным движением (гомотопией). Перемножить две петли — значит,пройти их одну за другой в определённом порядке. Ясно, чтофундаментальная группа у большинства фигур н е к о м м у т а-т и в н а — и вычислять её не легко. Ещё труднее доказать, чтодве разные группы н е и з о м о р ф н ы друг другу. Но эта зада-ча облегчается в случае, когда обе группы коммутативны. Оттоготопологи часто добавляют в фундаментальную группу тождествокоммутативности: AB=BA для любых элементов A и B. Уж еслидве сомнительные группы оказались не изоморфны после того, какмы их прокоммутировали — значит, они и прежде были не изо-морфны друг другу!

Именно так получается с фундаментальными группами замк-нутых поверхностей. Пуанкаре заметил, что петли, порождающиефундаментальную группу Π(Φ) поверхности Φ, соответствуют темлентам (плоским или кручёным), из которых склеена поверх-ность Φ. А ещё в группе Π(Φ) есть о д н о соотношение: оно воз-никает, когда мы приклеиваем завершающий круг к краю объеди-нения всех лент, составляющих нашу поверхность Φ (см. рис. 14).

§ 13

Например, в случае проективной плоскости мы приклеили за-вершающий круг к краю листа Мёбиуса, который обегает егосреднюю линию д в а раза. Оттого группа Π(Φ) поверхности H1задана одним элементом a и одним соотношением: а·а=e. Это —знакомая вам группа �2 вычетов по модулю 2; она состоит из двухэлементов. Вскоре мы увидим, что у всех прочих замкнутыхповерхностей фундаментальные группы либо бесконечны, либотривиальны (у сферы). Так мы единым махом доказали довольносильное утверждение: проективная плоскость H1 не гомеоморфнаникакой другой замкнутой поверхности. Вот для таких триумфови создавалась алгебраическая топология!

17

Перейдём теперь к бутылке Клейна H2. Она склеена из двухлистов Мёбиуса; поэтому в её группе Π(Φ) есть две образую-щие а, b и одно соотношение: a·a·b·b=e. Если упростить этугруппу путём коммутирования и заменить одну из образующих bна более сложную ab, то получится группа �+�2. Аналогично,для более сложных поверхностей семейства Нk прокоммутирован-ная фундаментальная группа Π(Φ) изоморфна сумме (k−1)�+�2.Как доказать, что все эти группы попарно не изоморфны?

Дело в том, что в каждой из этих групп есть лишь о д и н эле-мент порядка 2. При любом изоморфизме таких групп их элементыпорядка 2 переходят друг в друга. Профакторизовав по этим эле-ментам наши группы, мы получим изоморфизм между более про-стыми группами: (k−1)�=(m−1)�. Но он возможен, только еслиk=m: иначе мы получили бы изоморфизм векторных пространствразных размерностей, невозможность которого была доказана ещёГауссом. Точно так же доказывается попарная неизоморфностьгрупп Π(Φ) для разных кренделей Pk: их фундаментальные груп-пы после коммутирования становятся изоморфны (2k)�. Наконец,изоморфизм групп k� и m�+�2 невозможен потому, что в однойиз этих групп есть элемент порядка 2, а в другой такого эле-мента нет. Вот мы и разобрали алгебраическое (на языке теориигрупп) доказательство знаменитой теоремы Пуанкаре о том, чтовсе известные замкнутые поверхности попарно не гомеоморфны.

§ 14

Что же делать дальше? Дальше в умной голове Анри Пуанкаре

Рис. 17

возник совсем наивный вопрос: ч ь им и поверхностями (т. е. кра-ями каких трёхмерных тел) являются известные нам замкнутыеповерхности? Для поверхностей Pk всё ясно: согласно нашему по-строению, они ограничивают знакомые всем кренделя. Не оченьтрудно построить тело, краем которого служит бутылка Клейна:оно получится из бублика, если склеить попарно все его точки,симметричные относительно центра бублика (рис. 17).

Но для сферы похожая операция не проходит — потому чтоцентр сферы находится внутри шара (а центр бублика лежит вне

его). Результат склейки всех пар диа-метрально противоположных точек ша-ра н е б у д е т трёхмерным многообра-зием (устроенным около каждой точкитак же, как обычное пространство) —потому что центр шара не с чем склеить!По этой причине нам не удаётся по-строить тело, ограниченное проективнойплоскостью. Более того, эта поверхность

18

Рис. 18

н е о г р а н и ч и в а е т н и к а к о г о т р ё х м е р н о г о т е л а! Тако-го чуда не предвидел даже хитроумный и опытный геометр АнриПуанкаре. Но, нечаянно обнаружив этот чудесный факт, Пуанка-ре сумел доказать его — путём не очень сложных геометрическихконструкций.

Оказалось, что только поверхности с ч ё т ным и эйлеровымихарактеристиками служат границами трёхмерных многообразий —потому, что эйлерова характеристика χ(W)=В−Р+Г−Ш любогозамкнутого трёхмерного многообразия W равна н у лю.

Вывести первое утверждение из второго не сложно. Допустим,что проективная плоскость H1 является краем некоторого трёхмер-ного тела V. Возьмём два экземпляра этого тела и склеим их по ихобщему краю — так, как раньше мы склеивали два листа Мёбиу-са, чтобы получить бутылку Клейна (рис. 18). Теперь мы получимзамкнутое трёхмерное многообразие W: его строение нам не ясно,но мы знаем (со слов Пуанкаре), что эйлерова характеристика χ(W)равна 0.

Из чертежа видно, что χ(W)=2χ(V)−χ(Н1). Аналогично эйле-рова характеристика бутылки Клейна выражалась через эйлеровыхарактеристики листа Мёбиуса и его границы — окружности.Но там мы не получили арифметического противоречия, посколькуэйлеровы характеристики всех трёх фигур — участниц склейки —равнялись нулю. Здесь же одна из характеристик — χ(Н1) —нечётна, а другая — χ(W) — равна 0. Оттого наше равенство не-выполнимо по модулю 2 — и тем более, в целых числах.

Наметим теперь схему доказательства того факта, что эйлеровахарактеристика В−Р+Г−Ш любого замкнутого трёхмерного мно-гообразия W равна нулю. Проще всего вывести этот факт из теорииМорса — используя те разложения многообразия W в объединениеточек (В), отрезков (Р), кругов (Г) и шаров (Ш), которые задают-ся гладкими числовыми функциями на многообразии V. Рассмо-трим сразу две такие функции: F и −F. Задаваемые ими суммыВ−Р+Г−Ш должны быть равны — если эйлерова характери-стика многообразия W определена корректно. Но из нечётности

19

размерности 3 следует, что все слагаемые суммы В−Р+Г−Шдля функции F имеют противоположные знаки, по сравнениюс этими же слагаемыми в сумме В−Р+Г−Ш для функции −F.Значит, χ(V)=В−Р+Г−Ш=0.

Доказательство закончено: проективная плоскость не ограни-чивает никакого трёхмерного тела!

§ 15

Вот такие неожиданные геометрические факты открывал АнриПуанкаре — основатель алгебраической топологии многообразий —в 1890-е годы, когда математический мезозой незаметно сменял-ся математическим кайнозоем, причём маститый Пуанкаре игралроль первого индрикотерия в обновлении древней (палеозойской)геометрии. Второй, младший индрикотерий — Давид Гильберт(1862—1943) перестраивал столь же древнюю теорию чисел на но-вый кайнозойский лад — так, чтобы она срослась воедино с новойкайнозойской алгеброй — теорией групп — и старой (мезозойской)алгебраической геометрией. А чем занимались в ту пору послед-ние динозавры уходящего мезозоя?

В конце XIX века эта порода грозных ящеров сохраняласьтолько в доброй старой Англии. Старый Чарльз Дарвин уже умер,и роль последнего динозавра играл Артур Кэли (1821—1895). Онвырос в далёком Петербурге, где успел увидать живого Пуш-кина и царя Николая I. Вернувшись в Англию, удалой юношаокончил Кембридж и стал профессиональным адвокатом — но про-должал увлекаться всем на свете, от математики до альпинизма.Услыхав, что его старший коллега Гамильтон придумал интерес-ное некоммутативное умножение векторов в ч е т ы р ё х м е р н о мпространстве, молодой Кэли решил не уступать сопернику. Онпридумал в в о с ь м и м е р н о м пространстве такое умножениевекторов, которое даже не ассоциативно — но сохраняет многиеполезные свойства комплексных чисел.

Тогда же Артур Кэли увлёкся давней и, оказывается, всё ещёне решённой задачей: хватит ли четырёх разных красок, чтобыраскрасить любую карту на глобусе так, что страны-соседки полу-чат разные цвета?

Первый необходимый шаг в доказательстве этого факта ясен:нужно доказать, что на сфере нельзя нарисовать пять стран, лю-бые две из которых граничат по отрезку. Если такая пятёрка странсуществует, то мы соединим их столицы попарно — кратчайшимидорогами, и так получим вложение в сферу полного графа, натя-нутого на пять вершин.

Но такое вложение н е в о з м ож н о — ибо вложенный в сферуполный граф с четырьмя вершинами разбивает её на четыре тре-

20

угольные области. Куда бы мы ни поместили пятую вершину —из неё будут достижимы только три другие вершины, а четвёртаябудет заслонена одним из рёбер четырёхвершинного графа.

Таково начало доказательства гипотезы Кэли о четырёх крас-ках на сфере. Как пройти от этого начала к желанному концу?Сколько разных вариантов промежуточных карт придётся пере-брать на индуктивном пути? Решить эту проблему Кэли не успел —по многим причинам; например, потому, что у него не былокомпьютера для перебора тысяч карт. Подходящий компьютери подходящие к нему головы геометров-программистов появилисьна Земле через восемь десятилетий после Кэли — в глубокомкайнозое (1976 год), когда все математические динозавры дав-ным-давно вымерли.

Но прежде чем вымер Кэли, последний из его друзей-диноза-вров — Джон Хивуд, молодой доцент Кембриджа — вдохновилсяуспехами Римана и Клейна в классификации замкнутых поверх-ностей и решил разобраться с раскраской карт на любых поверх-ностях. Например, тор: сколько попарно граничащих стран можнона нём нарисовать? Сколько таких стран уместится на проектив-ной плоскости или на бутылке Клейна?

Будучи опытным геометром, Хивуд быстро придумал довольносложные карты на этих поверхностях. На торе он нашёл семьпопарно граничащих стран, а на проективной плоскости — шесть.Вот как выглядят эти карты.

Проведём на торе три параллели и один меридиан. Эти четыреокружности рассекают поверхность тора на три длинные области —полосы, которые начинаются и кончаются на меридиане. Разрежем

Рис. 19

21

Рис. 20

тор по этому меридиану — и склеим его вновь, после поворотавдоль меридиана на 120◦. В результате три страны-полосы склеятсяв одну очень длинную полосу, трижды обматывающую тор вдольего параллели и один раз — вдоль его меридиана. Теперь разрежемэту сверхдлинную полосу на семь равных частей поперечнымиотрезками. Поскольку 3/7<1/2, то каждая из семи стран занимаетна торе довольно скромное место: меньше его половины в длину,и одну треть — в ширину. Поскольку числа 3 и 7 взаимно простыи 9/7>1, то любые две из этих семи стран имеют общий отрезокграницы (рис. 19, рис. на 1-й стр. обложки). Вот и получиласьна торе карта, которую невозможно правильно раскрасить менеечем семью цветами!

Чтобы создать сходную карту из шести стран на проектив-ной плоскости, мы разобьём сферу на 12 пятиугольных стран —согласно граням, рёбрам и вершинам правильного додекаэдра.Этот многогранник центрально симметричен (рис. 20). Склеиваяпопарно все его диаметрально противоположные вершины, рёбраи грани, мы получаем разбиение проективной плоскости на шестьпятиугольных стран, каждая из которых граничит по ребру с лю-б о й другой страной.

Итак, образцовые карты Хивуда нарисованы. Теперь мы пере-ходим к доказательству теоремы Хивуда о раскраске произвольныхкарт на замкнутой поверхности M с эйлеровой характеристи-кой χ(М). Формулировка теоремы такова.

22

А. Если χ(М)>0, то любая карта на M

Рис. 21

правильно раскрашивается шестью цветами.Б. Если χ(M)=0, то любая карта на M

правильно раскрашивается семью цветами.В. Если χ(М)<0, то любая карта на М

правильно раскрашивается C(χ) цветами, где

C(χ)=������

7+√49−24χ2

������.

Из этой формулы видно, что в концедоказательства нам придётся решать некоеквадратичное неравенство — притом решатьего в целых числах. Но прежде чем мы до негодоберёмся, нам нужно повторить довольнохитрые геометрические рассуждения ДжонаХивуда.

О п р е д е л е н и е. Карта на поверхности Мназывается регулярной, если в каждой её вер-шине сходятся вместе т р и страны и т р иребра, а каждая страна гомеоморфна кругу.

З ам е ч а н и е. Если любая регулярная карта на поверхностиМправильно раскрашивается k разными красками, то и любая другаякарта на этой поверхности правильно раскрашивается k красками.

Д о к а з а т е л ь с т в о показано на рис. 21.Видно, что на новой регулярной карте каждая страна имеет

н е м е н ьш е соседок, чем имела её предшественница на старой —не регулярной карте. И если мы умеем правильно раскраситьновую карту k цветами — значит, мы можем это сделать и со ста-рой, не регулярной картой. Заметим ещё одно полезное свойстворегулярных карт: для них 3В=2Р. Действительно, из каждой вер-шины регулярной карты исходят три ребра; пересчитав их по всемвершинам, мы получим удвоенное число рёбер карты, ибо каждоеребро мы учли в обеих его вершинах.

§ 16

Теперь мы изложим основную геометрическую процедуру Хи-вуда. Для заранее выбранной поверхности M с эйлеровой характе-ристикой χ он перебирает все возможные карты на ней, в порядкевозрастания числа стран (Г) у этих карт.

Рассуждение ведётся путём индукции по Г. Основной шаг ин-дукции таков: если мы умеем правильно раскрасить любую картуна M с Г−1 странами с помощью k цветов и если в данной регу-лярной карте с Г странами нашлась хоть одна страна, число рёберкоторой меньше, чем k — тогда и данную карту с Г странами мыможем правильно раскрасить k цветами.

23

Как выполнить этот шаг индукции? Выбрав в карте K1с Г странами такую страну C, которая ограничена менее чемk рёбрами, мы с т я г и в а е м эту страну в точку. Это стягива-ние возможно, поскольку каждая страна карты K1 гомеоморфнакругу; ясно также, что стягивание круга в точку не изменяет по-верхность M, в которой лежит этот круг. Значит, наше стягиваниекруга даёт нам новую карту K2 на той же поверхности M — бытьможет, не регулярную, но уже с Г−1 странами.

По индуктивному предположению, мы умеем правильно рас-красить л ю б у ю карту на M с Г−1 странами — в том числе,карту K2 — с помощью k цветов. В той вершине карты K2, котораяполучилась от стягивания страны C, сходятся вместе м е н ь ш ечем k разных стран — тоже по предположению нашей индук-ции. Значит, для этой вершины мы можем выбрать <свободный>цвет — и окрасить им страну C в исходной карте K1 с Г странамина поверхности M. Все прочие страны карты K1 мы раскрашиваемтеми же цветами, какие мы использовали при раскраске их обра-зов на <стянутой> карте K2.

Таково описание геометрической процедуры в одном шаге ин-дукции Хивуда. Теперь нам нужно написать некое неравенство,которое делает этот шаг возможным. Вот оно — неравенство Хивуда:

kГ>6(Г−χ).Смысл его таков: если для данной поверхности M с эйлеровойхарактеристикой χ найдётся натуральное число k такое, что не-равенство Хивуда верно для любого числа стран Г, то любуюрегулярную карту на M можно правильно раскрасить k цветами.

Проверим, гарантирует ли неравенство Хивуда выполнимостьгеометрической процедуры Хивуда, описанной выше.

Вспомним, что χ=В−Р+Г, и что 3В=2Р для регулярнойкарты. Подставив эти соотношения в неравенство Хивуда, мы по-лучаем:

6(Г−χ)=6(Р−В)=6·Р3=2Р.

Итак, неравенство Хивуда принимает вид kГ>2Р. Из этого не-равенства видно, что в регулярной карте с Г странами найдётсястрана, ограниченная менее чем k рёбрами. Значит, неравенствоХивуда обеспечивает выполнимость геометрической процедуры Хи-вуда — стягивания одной страны в точку, с последующей рас-краской новой и старой карт. Теперь вся геометрическая работаХивуда и его индуктивные переходы между картами обоснованынами. Осталась чисто арифметическая работа: выяснить, какимнужно брать число k для данной поверхности M с эйлеровой ха-рактеристикой χ, чтобы для любой карты на ней с числом стран Гвыполнялось неравенство Хивуда kГ>6(Г−χ).24

Решать это неравенство относительно k нам придётся тремяразными путями — в зависимости от знака эйлеровой характери-стики χ=χ(М).

А. Пусть χ(М)>0. Это значит, что мы работаем со сферой илис проективной плоскостью. В этом случае нам достаточно взятьk=6 — тогда неравенство kГ>6(Г−χ) будет выполнено при любомзначении Г.

Б. Пусть χ(М)=0. Это значит, что мы работаем с тором илис бутылкой Клейна. В этом случае нам достаточно взять k=7,чтобы обеспечить неравенство kГ>6(Г−χ) для всех значений Г.

В. Пусть χ(М)<0. Это значит, что мы работаем с кренделямиили с теми неориентируемыми поверхностями, которые накрыва-ются этими кренделями при склейке пар противолежащих точеккренделя.

В этом случае мы перепишем неравенство Хивуда в виде

k>6�����1−

χГ

���

и заметим, что второе слагаемое в скобках неравенства п о л о-ж и т е л ь н о, но оно у б ы в а е т с ростом Г. Чтобы обеспечитьвыполнение этого неравенства при в с е х значениях Г, нам доста-точно обеспечить его при н а и м е н ьш е м осмысленном значенииГmin=k+1, ибо любую карту с меньшим числом стран мы можемправильно раскрасить k цветами.

Итак, мы должны решить в целых числах неравенство

k>6�����1−

χk+1

��� .

Оно равносильно квадратичному неравенству k(k+1)>6(k+1−χ),или k2−5k+6(χ−1)>0. Больший корень этого квадратного трёх-члена равен

5+√49−24χ2

. Наименьшее натуральное число, пре-

восходящее этот корень или равное ему, выражается формулой

C(χ)=������

7+√49−24χ2

������ .

Такое число красок достаточно для раскраски любой картына замкнутой поверхности M с эйлеровой характеристикойχ(M)<0. Например, для обычного кренделя с двумя <дырка-ми> P2 мы получаем C=8, а для связной суммы трёх проективныхплоскостей H3 мы получаем C=7. Заметим, что для тора тожеC=7, а для бутылки Клейна C=6: это единственный при-мер, где верхняя оценка Хивуда оказалась завышенной! Во всехпрочих случаях она точна — даже для сферы, где формула Хи-вуда подсказывает нам не обоснованный, но верный ответ C=4.

25

Как положено последнему динозавру (и священнику англикан-ской церкви), Джон Хивуд не дожил до полного решения проблемычетырёх красок, которое появилось на заре компьютерной эры —в 1976 году и огорчило настоящих топологов. Они-то надеялись,что эта проблема Кэли потребует новых мощных алгебраическихметодов — быть может, даже введения в математику новых по-нятий, вроде фундаментальной группы! Но оказалось, что здесьдостаточно усидчивой работы за компьютером — такова суть про-блемы, и таков двадцатый век.

§ 17

Полтораста лет назад (1854) молодой и дерзкий геометр ГеоргРиман объявил программу создания новой науки — топологии. Онпоставил главную задачу нового раздела геометрии: разобратьсяв строении п р о и з в о л ь н ы х многообразий так же хорошо илилучше, чем мы уже разобрались в строении замкнутых поверхно-стей! Сто лет назад (1905) матёрый геометр Анри Пуанкаре изобрёлнеобходимые алгебраические средства работы с многообразиямилюбой размерности. Это — группы г о м о т о п и й и г о м о л о-г и й. Первым примером этого рода стала фундаментальная группаΠ(X) — она позволила различить две замкнутые поверхности отно-сительно их гомеоморфизма. Наконец, 70 лет назад (1930) третиймогучий зверь из класса млекопитающих — Марстон Морс — при-думал геометрическую конструкцию, которая позволяет явно опи-сать лю б о е замкнутое многообразие п р о и з в о л ь н о й размерно-сти. С этого момента топология вступила в свой зрелый возраст: егоможно назвать кайнозойской эрой, по аналогии с нынешним цар-ством млекопитающих зверей на всей Земле. Что же сделали новыезвери — топологи — за 70 лет бурного развития их науки? На-сколько они сумели превзойти скромные открытия Римана и Пу-анкаре, которые мы с вами разобрали на предыдущих страницах?

Первый крупный прорыв совершил в 1938 году англичанинХаслер Уитни. Он доказал, что л ю б о е многообразие размерно-сти k можно вложить в евклидово пространство размерности 2k —почти так же, как мы с вами вложили проективную плоскостьв четырёхмерное пространство. И эта оценка — неулучшаемая: су-ществуют такие многообразия Mk, которые невозможно вложитьв пространство 2k−1 без самопересечений. Таковы, например, про-ективные пространства Pk при k=2n; в случае k=2 мы с ваминечаянно натолкнулись на самую неукротимую из замкнутых по-верхностей — проективную плоскость.

Кстати, мы с вами сумели п о г р у з и т ь проективную плос-кость в трёхмерное евклидово пространство — расположить её тамбез изломов, хотя и с гладкими самопересечениями. Оказывается,

26

что и этот результат наилучший: при k=2n проективное про-странство Pk можно погрузить в евклидово пространство 2k−1,но нельзя погрузить в пространство 2k−2. Препятствием к тако-му погружению оказались особые элементы в группах гомологийпроективных пространств — характеристические классы Уитнии Понтрягина, которые обобщают знакомую нам эйлерову харак-теристику и ориентацию замкнутой поверхности.

Как известно, аппетит приходит во время еды — во всякомслучае, у млекопитающих зверей. Топологи тоже обладают этимкачеством. Как только проблема вложения замкнутых многообра-зий была решена, они взялись за проблему бордизма этих жемногообразий: каких алгебраических условий будет достаточно,чтобы замкнутое многообразие Mk было краем компактного мно-гообразия Wk+1? Не пригодятся ли и здесь характеристическиеклассы Уитни и Понтрягина?

Оказывается, да! В 1954 году проблему бордизма замкнутыхповерхностей решил молодой французский математик Рене Том —уроженец города Гренобля, где когда-то дерзкий Жан ФрансуаШампольон расшифровал древнеегипетские иероглифы. При этоммолодой египтолог Шампольон опирался на открытия маститогоангличанина — физика Томаса Юнга; а молодой тополог Рене Томопирался на открытие маститого россиянина — Льва Понтрягина,изобретателя характеристических классов.

Во время Второй мировой войны слепой математик Понтрягин(1908—1988) был эвакуирован в Казань и там тратил много вре-мени на стояние в разных очередях: за обедом, за куском мылаи т. д. Чтобы не тратить это время попусту, Понтрягин постоян-но размышлял о каких-нибудь геометрических задачах, например,о гомотопических группах сфер большой размерности. Вдруг онзаметил, что эти группы (ещё никем не вычисленные) тесно связа-ны с бордизмами многообразий — но не простых, а оснащённых,вроде рассерженного ежа, из которого во все стороны торчат игол-ки. Зная строение всех замкнутых многообразий размерностей 1и 2, Понтрягин сумел вычислить в уме первые две гомотопическиегруппы сфер: обе они оказались изоморфны группе вычетов �2.Не имея полной информации о строении многообразий размерно-сти 3, Лев Понтрягин не сумел вычислить третью гомотопическуюгруппу сфер. Она оказалась равна группе вычетов �24. Это выяс-нил в 1950 году очередной молодой француз — Жан-Пьер Серр,используя новую разновидность топологической арифметики —с п е к т р а л ь н ы е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и, изобретённые учи-телем Серра — Жаном Лере.

Вычисления Серра были очень красивы — но они не былинапрямую связаны с бордизмами гладких многообразий, как вы-числения Понтрягина. Можно ли установить и здесь прямую связь

27

алгебры с геометрией? Эту задачу взялся решать Рене Том, когдаему не повезло: попав в автомобильную катастрофу, он оказал-ся на несколько месяцев привязан к постели. В этом неприятномположении Рене Том остался наедине со своими мыслями — по-чти как Лев Понтрягин в эвакуации. Итог получился столь жеудачный: Том сумел объединить алгебраическую технику Серрас геометрическими конструкциями Понтрягина и решил проблемубордизма гладких замкнутых многообразий. Оказалось, что лю-бое замкнутое многообразие Mk либо ограничивает компактнуюплёнку Wk+1, либо оно бордантно какому-нибудь произведениюпроективных пространств — действительных или комплексных;при этом размерности всех сомножителей должны быть степенямидвойки. Например, в размерности 3 все бордизмы тривиальны —т. е. всякое замкнутое многообразие M3 ограничивает некоторуюплёнку W4; зато в размерности 4 есть три разных класса много-образий, не бордантных нулю или друг другу: их представителиобозначаются P2×P2, P4 и �P2. Последнее из этих трёх мно-гообразий — ориентируемое; так что бывают и ориентируемыемногообразия, не ограничивающие никаких плёнок.

Все эти замечательные открытия выздоровевший Рене Томопубликовал в 1954 году. В этом же году Жан-Пьер Серр былудостоен высшей награды Международного союза математиков —Филдсовской медали. Тогда она впервые была присуждена тополо-гу, и было уже ясно, что это не в последний раз.

И вот что любопытно: престарелый динозавр Джон Хивуд(1861—1955), который первый разобрался в раскраске карт на по-верхностях, успел узнать о блестящих открытиях своих далёкихнаследников и преемников, успел порадоваться их триумфам! По-думать только: этот человек родился ещё при жизни Римана, онбыл всего на семь лет моложе Пуанкаре, на год старше Гильбер-та! И вот — прожил от высокого мезозоя до высокого кайнозоя,до великих открытий Понтрягина и Тома, Лере и Серра... Кстати,два героя-ровесника — Жан-Пьер Серр и Рене Том — родились не-задолго до создания теории Морса; они благополучно здравствуютпоныне, через полвека после своих первых триумфов, когда сре-ди филдсовских лауреатов насчитывается уже более 10 топологов!Но их открытия и вдохновение — это тема для особого разговора.А читатели этой брошюры могут стать преемниками дел её геро-ев — если увлекутся красотами новой математики так, как этослучилось в прежние времена с Эйлером и Риманом, с Пуанкареи Морсом, с Серром и Томом.