Slučajni Grafovi i Mogućnosti Primjene

5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene

1/37

Sluajni grafovi imogunosti primjene

ZAVRNI RADPrvog ciklusa studija

Student Mentor

Elma Birparid, III-3/07 r.sc. Amir Nuhanovid, re


2/37

Uvod

Poetkom90-ih godina 20.stoljedazapoelasu istraivanjausluajnihgrafova i kompleksnih mrea.

Grafovi su matematika apstrakcija raznih problema usvijetu. Oni su preovlaavajuda struktura podataka u rnauci, a algoritmi za rad s njima su osnova raunarstva.

U osnovi graf se sastoji od skupa vorovai skupa bridova. Postoji vievrsta grafova i vienainanjihovog prikazivanja.

Grafika,matematikai raunarskareprezentacija grafova.


3/37

Osnove teorije grafova

Matematikigledano, graf je par (V, E) gdje je V konanisbinarna relacija na V.

Za voroveu i vkaemoda su susjedni ako postoji brid e(uspaja.

Stepen vorav (deg(v)) grafa G je broj bridova koji su inciden

U raunarstvu graf moemo predstaviti pomodu matrice smatrice incidencije, liste susjedstva ili liste bridova.


4/37

Sluajni grafovi

Do informacija o mreama iz stvarnog svijeta se jako tekodpokazalo potrebnim napraviti modele koji bi dovoljno dobrstvarni svijet kao tosu interakcije proteina i mreecitata.

Postoje tri moela sluajnih grafova:

ErdosRenyi model AlbertBarabasi model

Model duplikacije i divergencije


5/37

Erdos-Renyi model

Razlikuje se o mrea iz stvarnog svijeta u vije kljune stvari: Neostaje mu mrena grupiranost

Ima nerealistinu istribuciju broja briova po voru

E-R model moemo generisati na vie naina ovisno o tom

zadati: Broj vorovai bridova

Broj vorovai vjerovatnoduveze izmeudva vora

Distribuciju stepena


6/37

AlbertBarabasi model

Priceov mehanizam akumulirane prednosti Albert i Barabasi su uzeli Priceov mehanizam, doradili g

preferirano povezivanje. Njihov model je jednostavniji i vrza neusmjerene grafove. Po njima svaki vorkoji se dodajepoetni inicijalni stepen. Time se izbjegava mogudnvjerovatnode, odnosno ukoliko vor inicijalno ima stepen nijedan novi vornedepovezati na njega.

Primjer Albert-Barabasi modela rasta mree u stvarnom mreacitata.


7/37

Duplikacija i divergencija

Moel olino opisuje: Mreu protein-protein interakcija

Rast mree ljuskih kontakata

Rast WWW mree

Rast prema modelu sastoji se od dvije faze:

Duplikacija

Divergencija


8/37

Kompleksne mree

E-R model osnova za definisanje veliina kojima stopolokeosobine mrea.

Kompjuterski resursi i dostupnost ogromnim elektronskimpodataka uticali su na razvoj oblasti kompleksnih mrea,modstupaju od karakteristika sluajnihgrafova.

Zajenikoza sve ove sisteme je postojanje oreenogbrokoje meusobnointerreaguju estojakim nelinearnim inter


9/37

Kompleksne mree (2)

Postojanje ili odsustvo oreeneinterakcije izmeudva sistemafundamentalnu osnovu za primjenu teorije kompleksnih mrea.

Kompleksne mree su mree ija je struktura mnogo komplestruktura klasinihsluajnihgrafova.

Raspodjela veza po voru moe biti daleko sloenija od Praspodjela.

Kompleksne mree su sastavljene od vorova i (i=1.....N) mpovezanih linkovima eij.

MreaveliineN se formalno moezapisati u obliku matrice poiji element Aij = 1 ukoliko postoji link od vora i do vorajsuprotnom.


10/37

Kompleksne mree (3)

Svaka mreaima jedinstvenu matricu povezanosti. vorovi u mrei odgovaraju osnovnim jedinicama gra

sistema kao to su proteini, delije, web stranice dok seopisuju interakcije izmeujedinica kao tosu na primjer veneurona i hiperlinkovi.

Postoje vije vrste kompleksnih mrea: Mali svijet (small world)

Mree bez skale (scale-free mree)


11/37

Mali svijet (small world)

Stenli Milgram,ameriki

psiholog jeezesetih

godinstoljedapokuaoda napravi sliku mreemeusobnihveza kljude inediod njih zajednicu.

6 stepeni razvojenosti

Danas je osobina malog svijeta direktno provjerena u velirazliitihmrea.

Zadnjih desetak godina izraz mali svijet je dobio i znaenje. Ukoliko l koji oznaava srednji najkradi put u glogaritamski ili jo sporije s obzirom na rast veliine mresrednjeg stepena tada moemoredida za mreuvrijedi efesvijeta.


12/37

Mree bez skale (scale-free netwo

Izraz slobodno skaliranje se odnosi na bilo koju funkcijsku koja ostaje nepromijenjena bez obzira na skaliranje neovisnx.

Karakteristinoza mreebez skale je da se u njima pojavlju(eng. hub) koji imaju stepene za red veliine vede od pstepena svih vorova.

Fundamentalna osobina pri kreiranju mrea bez skale je ppovezivanje.


13/37

Parametri kompleksnih mrea

Svaka mrea ima oreeni skup parametara koji nam govormreii na taj naino stvarnom svijetu kojeg ta mreapredsta

Ti parametri su:

Promjer mree

Najkradi put izmeu pojeinih vorova

Koeficijent grupiranja za cijelu mreu

Zajenica unutar mree

Najveda komponenta


14/37

Dijagram vremena kreiranja sluamrea razliitih veliina

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Broj vorova mree

Vrije

meizvravanja(s)

random

scale-free

small-world

Dij k i j l


15/37

Dijagram vremena kreiranja sluamrea razliitih veliina (logaritam

prikaz)

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 400010

-1

100

101

102

103

Broj vorova mree

Vrijemeizvravanja(s)

random

scale-free

small-world


16/37

Primjena sluajnih grafova u beimreama

Modeli grafova za mree vor predstavlja ureakomunikacijski link ili ponekad odnos interferencije.

Hromatski broj minimalni broj boja potrebnih tako da nijsusjednih vorovanije dodijeljena ista boja.

Susjedni vorovi dijele brid, susjedni bridovi dijele najma

vori boje se koriste za identifikaciju razliitihfrekvencija. Cilj je pronadi vezu izmeu osnovnih obiljeja i dva vana

beinih mrea: vjerovatnode da je mrea povezana i mbroja kanala potrebnih mreida smanji interferenciju.


17/37

Uopteno o beinim komunikacija

Beine komunikacije su promijenile nau interakciju sa cjelokupan nainivota.

Povezanost mreeu literaturi se odnosi na vjerovatnoduda u mreimogu komunicirati jedan sa drugim u bilo koje vrijem

Interferencija je bitna za beine mree, via interferencij

manju propusnost i samim tim i niuefikasnost komunikacij


18/37

Uopteno o beinim komunikacijam

Problem interferencije se eliminira dodjelom dovoljnog broj

U stvarnosti, broj raspoloivihkanala je ogranien.

Tehnika viestrukog pristupa sa raspodjelom frekvencija vkanala koritenjem razliitih frekvencija buudi da je spek

deficitaran resurs. Pod jednakim uslovima, to je manji broj frekvencija potre

bolja emaalokacije kanala.


19/37

Pregled beinih mrea

Mobilne mree se sastoje o fiksnih baznih stanica i mobilni

Spektar je poijeljen na set kanala koji mogu biti koriteniistovremeno.

Tehnike koje se koriste za podjelu kanala: FDM, TDM i CDM.

Prva generacija beinih mrea (1G)

Druga generacija beinih mrea (2G)

Treda generacija beinih mrea (3G)

etvrta generacija beinih mrea (4G)


20/37

Pregled beinih mrea (2)

Beinelokalne mree(WLAN) imaju visoku irokopojasnupi jeftinu implementaciju.

Pristup Internetu putem pristupnih taaka(APs).

WLAN je dizajniran da osigura veliku brzinu prijenosa korisnicima na oreenomporuju.

Voedi standard za WLAN je IEEE 802.11 (WiFi) kojfrekvencijama od 2GHz i 5GHz i koristi ortogonalno fmultipleksiranje (OFDM).


21/37

Pregled beinih mrea (3)

Mobilne i WLAN mreezahtijevaju postojanje fiksne infrastr

Ad-hoc je mreakoja ne zahtijeva fiksnu infrastrukturu.

U poreenju sa ostalim beinimmreama, ima prednost brze implementacije i automatske kontrole.

Navedeno predstavlja poeljne osobine u izvanrednim s

poput zemljotresa, zaguenja autocesta ili u sredinama gdmogu pristupiti kao tosu mjesta visokih i niskih temperatu


22/37

Povezanost i alokacija kanala u bemreama

Postojanje najmanje jednog puta od jednog do drugog vora

Gubitak jedne veze ili vora uzrokuje da jedan dio mdiskonektovan i samim tim promet izgubljen.

Postojanje alternativnih puteva.

Broj alternativnih puteva predstavlja mjeru robusnosti mre

Dodjela kanala mrenim ureajima na nain da je ukuinterferencije minimalan.


23/37

Modeli grafova za beine mre

Jednostavan pristup prouavanja beinih mrea je prestkao grafove.

Ukoliko se vornalazi u prijenosnom ospegu rcdrugog vorova dva vorasusjedna odnosno postoji veza meunjima.

Ako je ri granina vrijednost za interferenciju onda

udaljenost izmeu vorova manja od ri

, vorovi inerferijadrugim.


24/37

Primjer komunikacijskog iinterferencijskog grafa


25/37

Komunikacijski graf

Graf koji predstavlja skup predajnika i komunikacijskih linkse komunikacijski graf.

U komunikacijskom grafu, stepen predajnika je broj prekojim komunicira taj predajnik.

Uopteno,vrednovanje interferencije je teakzadatak zbog izmeupredajnika, fizikih karakteristika okruenja u komimplementirana i zbog razliitih tehnika kontrole kopredajnim ureajimaza smanjenje odnosa signal-um(SNR)


26/37

Bojenje grafa

Planiranjemeto za poboljanje iskoristivosti mree i reuinterferencije.

Planer oijeljuje razliite frekvencije/vrijeme/ko kanalima

Broj razliitih kanala ostupnih planeru zavisi o koritene btehnologije.

IEEE 802.11 stanar omogudava 12 nepreklapajudih kanala IEEE 802.11 stanar je preloio CSMA/CA mehanizam u ci

smanjivanja kolizije.


27/37

Bojenje grafa (2)

U poslednjih nekoliko esetljeda, za prouavanje plakoritenametoda bojenja grafa.

U ovom radu, kanal je predstavljen bojom.

Problem planiranja postaje problem bojenja ija je sudodijeliti boje kanalima tako da susjedni kanali nemaju istu

Najmanji broj boja potrebnih za bojenje grafa se naziva broj.


28/37

Bojenje grafa (3)


29/37

Bojenje grafa (4)

Problem rasporeivanja mrenih kanala za eliminaciju interfmoe biti mapiran u problem bojenja na ogovarajudeminterferencijskom grafu.

Na primjer, boje mogu biti razmatrane kao ili odvojeni vremslotovi ili frekvencijski opsezi.

vor prestavlja pristupnu taku, a link prestavlja interfereukoliko svi vre prijenos na istoj frekvenciji.

Nakon bojenja interferencijskog grafa, svakom voruje dodidruga boja.


30/37

Modelovanje ad-hoc senzorskih mpomou sluajnih grafova

Ad-hoc mrease moeznaajnorazlikovati u veliini: moedva modula koji razmjenjuju podatke pa sve do na hiljsenzora koji posmatraju okolinu.

Glavna osobina ad-hoc mree je mogudnost ostvarenja kopostojedimbeinimtehnologijama.

Senzorske mree se sastoje o velikog broja sitnih senzorskikoji ukljuuju oitavanje, obrau poataka i komunikacijukomponenti.

Nema unaprijed konfigurisane mrene infrastrukture ili cenkontrole na porujuprekrivenom senzorima.

M d l j d h kih


31/37

Modelovanje ad-hoc senzorskih msluajnim grafovima (2)

Kao posljedicu toga imamo stohastikuraspodjelu senzora. Ovo dovodi do toga da su lokacije senzora i informacije o

susjedima nepoznate prije uspostavljanja mree neizvjesnost i sluajnostu strukturu mree.

Energija senzora je ogranienau senzorskim mreama.

Stoga je jedan od glavnih ciljeva u istraivanju senzorspredlaganje novih nainaza smanjenje potronjeenergije.


32/37

Teorija perkolacije

Uvedena 1957.godine od strane Broadbenta i Hamersleya.

Osnovni cilj je primjeniti fazni prijelaz u teoriji perksenzorske mreei ostvariti novi nainouvanjaenergije.

Model perkolacije bridovi se formiraju samo izmeu

vorova.


33/37

Teorija perkolacije (2)

Kada nastupi kritina vjerovatnoda p, ogaa se nagla stanja.

Ako je vjerovatnoda p velika, vedina vorova de biti posluajnomgrafu, a ako je p malo vorovideprije biti nepovepovezani.

Na slijeedojslici imamo prikazan model perkolacije pomou vodnjaku. Stabla su smjetenau reetkuradi jednostavnijJedno stablo je zaraeno. Epidemija inficira susjedna stabla se na cijeli vodnjak.


34/37



35/37


Neka je C0povezana komponenta sluajnog grafa i neka je broj vrhova

lC0l. Oekivana vrijenost je ata slijeedom formulom:

E(lC0l)= (=1 lC0l=n)

Oito, ova oekivana vrijednost je funkcija koje se povedava savjerovatnodep i beskonanaje kada je p=1 pa mora postojati infimuod p za koju je oekivanibroj vrhova u povezanoj komponenti beskona

Grubo govoredi, ova vrijednost za p je prag iznad kojeg je sluajnipovezani oznaavase sa pT.


36/37


Drugi kriterij za tako visoku povezanost grafa je vjerovpovezana komponenta saribeskonanomnogo vorova,P

Ova vrijednost praga je oznaenasa pH.

Koincidencija postojanja dva praga vrijednosti je dokazana bilo koje dimenzije.

Postojanje kritinevrijednosti i rastinepromjene koje nas

prekoraenja ove vrijednosti predstavlja univerzalni fensusredemou raznim situacijama.

Ova univerzalnost je razlog za oekivati da ovakav pristupprimjeniti i u ad-hoc senzorskim mreama.


37/37

Zakljuak

U ovom radu obraenisu koncepti grafova, parametri i mjere

grafova i kako su ovi koncepti koriteni za opisivanje beiKarakteristika grafa koja igra kljunuulogu pri prouavanjupmree i interferencije je stepen vorova. Koliko je robusnapovezana mrea, prvenstveno ovisi o stepenima vorova. Mplaniranja za izbjegavanje interferencije mapiran je u problegrafa koji se pak odnosi na hromatski broj ijaje vrijednost o

stepenom vorova. Za modelovanje ad-hoc senzorskih mreaje metoda perkolacije koja se bazira na tome da se povesusjedni vorovigdje kada se pojavi kritinavjerovatnodap,nagla promjena stanja.

Slučajni Grafovi i Mogućnosti Primjene

Documents

Transcript of Slučajni Grafovi i Mogućnosti Primjene