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Diseno de compensadores en adelanto (Phase-leadcontroller) mediante la respuesta en frecuencia

Dr. Herman Castaneda CuevasSERVOMECANISMOS

Ingeniera en Mecatronica

Facultad de Ingeniera Mecanica y Electrica (FIME)Universidad Autonoma de Nuevo Leon (UANL)

San Nicolas de los Garza, N.L. 2014.

Herman Castaneda. (FIME-UANL) Servomecanismos Octubre 2014 1 / 34

Programa

1 Introduccion.

2 Procedimiento de diseno de un compensador en adelanto de fase

3 Ejemplo 1: Compensador en adelanto de fase



6 Conclusiones.


Introduccion

La compensacion en adelanto de fase, produce en escencia, unmejoramiento razonable en la respuesta transitoria y un cambio pequenoen la precision en estado estable. Por otro lado, puede acentuar el ruido dealta frecuencia.


Compensador en adelanto de fase

Sea un compensador en adelanto de fase que tiene la funcion detransferencia siguiente:

KcTs+ 1

Ts+ 1= Kc

s+ 1Ts+ 1T

, (0 < < 1) (1)

donde es el factor de acentuacion y Kc la ganancia del compensador.Tiene un cero en s = 1/T y un polo en s = 1/T . Puesto que,0 < < 1, se observa que el cero siempre estara localizado a la derechadel polo en el plano complejo. Entonces, para un valor pequeno de , elpolo se localiza lejos a la izquierda.

El valor mnimo de esta limitado por la construccion del compensador yusualmente se toma como valor mnimo 0.05, es decir, que el adelantomaximo del compensador sera de 65



El diagrama polar de

KcjT + 1

jT + 1, (0 < < 1) (2)

con Kc = 1.



Para un valor determinado de , el angulo entre el eje real positivo y lalinea tangente desde el origen al semicirculo proporciona el angulo deadelanto de fase maximo m. Se llamara m a la frecuencia en el puntotangente y se puede obtener la siguiente razon

senm =12

1+2

=1 1 +

(3)

que relaciona el angulo de adelanto de fase maximo con el valor de .



El diagrama de Bode de

KcTs+ 1

Ts+ 1, (0 < < 1) (4)

con Kc = 1 y = 0.1.



Las frecuencias en las esquinas para el compensador en adelanto de faseson = 1/T y = 1/T , si se examina el diagrama de Bode, se deduceque m es la media geometrica de las dos frecuencias esquinas, es decir

logm =1

2

(log

1

T+ log

1

T

)(5)

Por tanto,

m =1T

Tambien, se puede deducir a partir del Bode que el compensador enadelanto de fase es basicamente un filtro pasa alta. (Pasan frecuenciasaltas, pero se atenuan las frecuencias bajas)


Diseno de un compensador en adelanto de fase

La funcion principal del compensador en adelanto es modificar la curva derespuesta en frecuencia para proporcionar un angulo de fase suficiente paracompensar el excesivo retardo de fase asociado a los componentes delsistema. El sistema de control esta dado en la siguiente figura

Las especificaciones se daran en funcion del margen de fase, margen deganancia, constantes del error estatico de velocidad. Para lo cual se da elsiguiente procedimiento.


Procedimiento de diseno de un compensador en adelanto

Tecnicas de compensacion en adelanto de fase.1.- Suponga el compensador en adelanto:

Gc(s) = KcTs+ 1

Ts+ 1= Kc

s+ 1Ts+ 1T

, (0 < < 1), (6)

definiendo K = Kc, se tiene

Gc(s) = KTs+ 1

Ts+ 1. (7)

Por lo tanto, la funcion de transferencia en lazo abierto del compensadorcon la planta es

Gc(s)G(s) = KTs+ 1

Ts+ 1G(s) =

Ts+ 1

Ts+ 1KG(s). (8)

Entonces, determine la ganancia K que satisfaga el requisito sobre laconstante estatica de error dada.Herman Castaneda. (FIME-UANL) Servomecanismos Octubre 2014 10 / 34


2.- Dibuje el diagrama de Bode de KG(s), que es el sistema con laganancia ajustada pero sin compensar. Calcule el margen de fase.

3.- Determine el angulo de fase que se necesita agregar al sistema. A esevalor, agreguele de 5 a 12 mas. Esto debido a que la adicion delcompensador de adelanto desplaza la frecuencia de cruce de gananciahacia la derecha y disminuye as el margen de fase.

4.- Determine el factor de atenuacion usando

senm =1 1 +

, =1 + senm1 senm

despues determine la frecuencia donde la magnitud del sistema nocompensado sea

20log(1/)Herman Castaneda. (FIME-UANL) Servomecanismos Octubre 2014 11 / 34


Esta frecuencia sera la nueva frecuencia de cruce de ganancia ycorresponde a

m =1T

y el cambio de fase maximo m ocurre en esta frecuencia.

5.- Determine el polo y el cero del compensador

Cero del compensador: = 1/T

Polo del compensador; = 1/T

6.- Con el valor de K y de , calcule la constante del compensador

Kc =K

7.- Verifique el margen de ganancia del sistema compensado.


Ejemplo 1: Compensador en adelanto

Considere la siguiente funcion de trasnferencia:

G(s) =4

s(s+ 2)(9)

Se requiere disenar un compensador para el sistema de manera que laconstante de error estatico de velocidad Kv sea 20seg

1, el margen defase de al menos 50 y el margen de ganancia de al menos 10dB.Solucion.Utilizando el compensador en adelanto de la forma

Gc(s) = KcTs+ 1

Ts+ 1= Kc

s+ 1Ts+ 1T

, (10)

el sistema en compensado tendra la funcion en lazo abierto Gc(s)G(s).



Definiendo

G1(s) = KG(s) =4K

s(s+ 2), K = Kc

El primer paso es ajustar la ganancia K para cumplir el requerimiento deestado estacionario. Como esta constante es de 20seg1, se obtiene

Kv = lims0

sGc(s)G(s) = lims0

sTs+ 1

Ts+ 1G1(s) = lim

s0s4K

s(s+ 2)= 2K = 20

(11)Por tanto, K = 10 y entonces se grafican los diagramas de Bode de

G1(s) = KG(s) =40

s(s+ 2)



2.- Se observa que los margenes de fase y de ganancia son 18 y +dB.3.- Considerando el desplazamiento de la frecuencia de cruce de ganancia,el angulo requerido sera 38 esto porque 50 18 = 32 + 5-12.Herman Castaneda. (FIME-UANL) Servomecanismos Octubre 2014 15 / 34


4.- Determinar el factor de atenuacion a partir de m = 38,

sen38 =1 1 +

, = 0.24

Ahora, se calcula el cambio de magnitud que se obtiene al agregar elcompensador. Se utiliza 20log(1/

).

20log(1/0.24) = 6.2dB

se observa en el diagrama de Bode en que frecuencia se tiene unamagnitud de -6.2dB y se define como la nueva frecuencia de cruce deganancia. Del diagrama se observa que esta frecuencia es c = 9rad/s.



Despues se hace que a esta frecuencia ocurra el maximo aumento de fasem. En otras palabras c es la frecuencia media entre frecuencia de cortedel cero y del polo.

c =1T

,

entonces, se tiene que

1

T=c = 4.41,

1

T=

c= 18.4

Por lo tanto, el compensador queda detrminado de la siguiente manera

Gc(s) = Kcs+ 4.41

s+ 18.4= Kc

s+ 1Ts+ 1T

con Kc = K/ = 10/0.24 = 41.7



La funcion de transferencia en lazo abierto resulta:

Gc(s)G(s) = 10s+ 4.41

s+ 18.4

4

s(s+ 2)= 41.7

s+ 1/4.41

s+ 1/18.4

4

s(s+ 2)



Resultado



Considere el control de un seguidor solar, representado por la siguientefuncion de trasnferencia:

G(s) =0(s)

A(s)=

2500K

s(s+ 25)(12)

Se requiere disenar un compensador para el sistema de manera que laconstante de error estatico de velocidad 0.01, el margen de fase de almenos 45 .Solucion.Utilizando el compensador en adelanto de la forma

Gc(s) = KcTs+ 1

Ts+ 1= Kc

s+ 1Ts+ 1T

, (13)




El primer paso es ajustar la ganancia K para cumplir el requerimiento deestado estacionario. Aplicando el teorema de valor final a A(t), tenemos

lims0

sA(s) = lims0

sr(s)

1 +G(s)

Puesto que r(s) = 1/s2 (rampa unitaria), mediante el uso de la funcion

de transferencia original, se tiene

limtA(t) = 0.01K

As, s K = 1 tendremos el error en estado estacionario igual a 0.01, elcual es el maximo permitido. Sin embargo para este valor de K elcoeficiente de amortiguamiento es de 0.25, que corresponde a un 44.4% desobrepaso en la respuesta al escalon.



2.- Se observa que el margen de fase es 28.3.- Considerando el desplazamiento de la frecuencia de cruce de ganancia,el angulo requerido sera 25 esto porque 45 28 = 17 + 8-12.Herman Castaneda. (FIME-UANL) Servomecanismos Octubre 2014 22 / 34


4.- Determinar el factor de atenuacion a partir de m = 25,

sen25 =1 1 +

, = 2.46

Ahora, se calcula el cambio de magnitud que se obtiene al agregar elcompensador. Se utiliza 20log(1/

).

20log(1/2.46) = 3.91dB

se observa en el diagrama de Bode en que frecuencia se tiene unamagnitud de 3.91dB y se define como la nueva frecuencia de cruce deganancia. Del diagrama se observa que esta frecuencia es c = 60rad/s.



Despues se hace que a esta frecuencia ocurra el maximo aumento de fasem. En otras palabras c es la frecuencia media entre frecuencia de cortedel cero y del polo.

c =1T

,


1

T=c =

2.46 60 = 94, 1

T=

c= 94/

2.46 = 38.2.


Gc(s) = Kcs+ 38.2

s+ 94= Kc

s+ 1Ts+ 1T

con Kc = K/ = 1/2.46 = 0.4065




Gc(s)G(s) = 2.46s+ 38.2

s+ 94

2500

s(s+ 25)



Resultado



Considere la siguiente funcion de trasnferencia:

G(s) =1

s2(s+ 5)(14)

Se requiere disenar un compensador para el sistema con un margen de fasede al menos 50 y el margen de ganancia de al menos 10dB. Ademas, sedesea un ancho de banda de 1 2rad/sSolucion.Utilizando el compensador en adelanto de la forma

Gc(s) = KcTs+ 1

Ts+ 1= Kc

s+ 1Ts+ 1T

, (15)




El Bode del sistema sin compensador es:

En = 1, la fase es de 191.31. Por lo tanto, el compensador deadelanto necesita aportar 50 + 11.31 = 61.31.Herman Castaneda. (FIME-UANL) Servomecanismos Octubre 2014 28 / 34


As, se puede determinar a partir de

senm = sen61.31 =

1 1 +

= 0.8772, = 0.06541

Se considera que el maximo aumento de fase m ocurre en la mediageometrica. En otras palabras c es la frecuencia media entre frecuenciade corte del cero y del polo.

c =1T

=1

0.06541T=

3.910

T= 1,


1

T=

1

3.910= 0.2558,

1

T=

0.2558

0.06541= 3.910


Gc(s) = Kc0.065413.910s+ 1

0.2558s+ 1




Gc(s)G(s) = Kc0.065413.910s+ 1

0.2558s+ 1

1

s2(s+ 5)o

Gc(s)G(s)

Kc0.06541=

3.910s+ 1

0.2558s+ 1

1

s2(s+ 5)



Mediante el diagrama de Bode se encuentra que la curva de magnituddebe elevarse en 2.3 dB para que la magnitud sea igual a 0 dB en = 1rad/s. En este caso, se establece

20log0.06541Kc = 2.3

o0.06541Kc = 10

2.320 = 1.3041

Por lo tanto Kc = 19.94



Resultado


Conclusiones

El diseno de compensadores en adelanto ayuda a mejorar la respuesta delsistema, sus caracteristicas nos permiten adicionar fase necesaria paraobtener un comportamiento deseado de la salida del sistema. Comodesventaja se tiene que el sistema puede ser sensible a ruido de altafrecuencia, puesto que el compensador en adelanto se comporta como unfiltro pasa altas.


Gracias por su atencion !!!Siguiente clase: Compensadores en

atraso de fase mediante la respuesta enfrecuencia


Introduccin.Procedimiento de diseo de un compensador en adelanto de faseEjemplo 1: Compensador en adelanto de faseEjemplo 2: Compensador en adelanto de faseEjemplo 3: Compensador en adelanto de faseConclusiones.

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