Skrypt z FSiT

Opracowanie zagadnieńwersja 1.0.3RC

jb

Spis treści1 Pytania 3

2 Termodynamika 42.1 Zasady Termodynamiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Transformacja Legenderea w termodynamice . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Relacja Gibbsa-Duhlema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Zasada Pracy Maksymalnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Stabilność układów termodynamicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 Entropia gazu doskonałego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7 Potencjał chemiczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8 Reguła faz Gibbsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.9 Termodynamika reakcji chemicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.10 Relacja Claussiusa-Clapeyrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Podstawy Fizyki Statystycznej 103.1 Zespół mikrokanoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Zespół Kanoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Wielki zespół kanoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Rozkład Maxwella-Boltzmanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5 Funkcja gęstości stanów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6 Rozkład Fermiego-Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7 Rozkład Bosego-Einsteina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.8 Gaz elektronowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

0Disclaimer: Nie odpowiadam za adekwatność tej pracy. Ni za efekry relacjonowanai jej na egz0Źródło: prof. Zagórski, Notatki ze strony wiciowca, Muzzy, prof. Hołyst0Że strony: http://85000i.googlepages.com/, tam tez dostępne źródło pracy0Jakby ktoś bardzo chciał to może sobie to pozmieniać, zamieścić gdzie tam chce, ale winien dać

odnośnik do mojej strony i wskazać autora pracy. Użycie komercyjne (nie wiem po co, ale) zakazane.0Na licencji CC-Uznanie autorstwa-na tych samych warunkach-użycie niekomercyjne0Wykonano z użyciem LATEX i LEd

1

SPIS TREŚCI 2

3.8.1 Dla T = OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.8.2 Dla T > OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.9 Gaz Bozonowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.9.1 Potencjał chemiczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.9.2 Koncentracja Bosego-Einsteina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.10 T > T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Zastosowania 254.1 Model Isinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Rozszerzenia modelu Isinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Jednowymiarowy model Isinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3.1 Wyliczenie Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Funkcja korelacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5 Podatność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.6 Model pola średniego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1 PYTANIA 3

1 Pytania1

Termodynamikai. Zasady Termodynamikiii. Transformacja Legendere’a w termodynamiceiii. Relacja Gibbsa – Duhlemaiv. Zasada pracy maksymalnejv. Stabilność układów termodynamicznych, równowaga termodynamicznavi. Entropia dla gazu doskonałegovii. Potencjał chemiczny dla gazu doskonałegoviii. Reguła faz Gibbsaix. Termodynamika reakcji chemicznych, gaz doskonałyx. Równanie Claussiusa-Clapeyrona

Podstawy fizyki statystyczneji. Rozkład mikrokanonicznyii. Rozkład kanoniczny, wyprowadzenie, własności, fluktuacjeiii. Wielki rozkład Kanoniczny , wyprowadzenie, własności, fluktuacjeiv. Rozkład Maxwella-Boltzmannav. Gęstość stanówvi. Rozkład Fermiedo-Diracavii. Rozkład Bosego-Einsteinaviii. Gaz elektronowy, potencjał chemiczny, energia wewnętrzna, ciepło wła-

ściweix. Gaz bozonowy, potencjał chemiczny, energia wewnętrzna, ciepło właściwex. Gaz fotonowy, potencjał chemiczny, energia wewnętrzna, ciepło właściwexi. Kondensacja Bosego-Einsteina

Zastosowania fizyki statystyczneji. Model Isinga, przykłady zastosowańii. Rozszerzenia modelu isingaiii. Model Isinga w jednym wymiarzeiv. Funkcje korelacji łańcucha Isingav. Podatność łańcucha Isingavi. Teoria pola średniego (molekularnego), temperatura krytyczna, wykład-

niki krytycznevii. Hipoteza uniwersalności zjawisk krytycznychviii. Teoria Landaua przejść Fazowych, wykładniki krytyczneix. Teoria chaosu deterministycznego, mapa logistycznax. Hipoteza skalowaniaxi. Grupa renormalizacji na przykładzie modelu Isinga i modelu perkolacjixii. Równanie transportu Boltzmannaxiii. Równanie dyfuzjixiv. Przewodnictwo elektryczne

1Boldem te zrobione, kursywą te ważne, skreślone nie obowiązują w roku 2006/2007

2 TERMODYNAMIKA 4

2 Termodynamika

2.1 Zasady Termodynamiki

0. Istnieje intensywna zmienna zwana temperaturą T, o takiej własności że wtedy itylko wtedy gdy układy A i B są w stanie równowagi termodynamicznej T(A)=T(B).

Stanem równowagi termodynamicznej nazywamy stan stacjonarny (czyli takiw którym parametry są stałe w czasie) i taki ze nei ma makroskopowych prze-pływów. Przykładowo jak masz sobie włączony kaloryfer to nie jest on w stanierównowagi, choć pewnie ma ustalone parametry, bo ciepło z niego ucieka (i jestdoń dostarczane z sieci).

1. Istnieje eistensywna funkcja stanu że w każdym procesie jej przyrost wynosi:

∆Udf.= Uk − Up = Q+W

2. Istnieje ekstensywna funkcja stanu zwana entropią taka że w każdym procesie:

dS ≥ dQ

TPrzy równość dotyczy procesów odwracalnych.

3. Różnica entropii pomiędzy dwoma stanami układu o tej samej temperaturze T,pomiędzy którymi można przejść w sposób odwracalny spada do zera gdy tempe-ratura spada do zera.

Lub inaczej: (ale mniej ogólnie). Entropia idealnego kryształu zbiega do zera gdytemperatura zbiega do zera.

2.2 Transformacja Legenderea w termodynamice

Mamy sobie funkcję f(x,y, . . .), chcemy mieć funkcję g(

dfdx,y, . . .

)ale taką żeby zawierała

te same informacje co ta pierwotna.

Okazuje się że taką funkcją jest g = f−x∂f∂x

. Zebrane potencjały na rysunku na następnejstronie (no albo gdzieś w okolicy:P)(pomaga je zapamiętać)

2.3 Relacja Gibbsa-Duhlema

Rozważamy układ U złożony z λ (takich samych) układów U′ . Zauważamy ze S,U,V,Nsą ekstensywne, czyli:

S = λS ′

V = λV ′

U = λU ′

N = λN ′

2 TERMODYNAMIKA 5

Ponieważ S = λS ′ mamy:S(λU, λV, λN) = λS (1)

Różniczkujemy po λ:

S =∂S

∂λUU · ∂S

∂λVV · ∂S

∂λNN

Ponieważ jest to prawdziwe dla każdej λ to wstawiamy λ = 1.

S =∂S

∂UU · ∂S

∂VV · ∂S

∂NN

Wzór na różniczkę entropii:

dS =1

T(dU + pdV − µdN)

Wynikają z niego następujące relacje:

∂S

∂U=

1

T∂S

∂V=p

T∂S

∂N= −µ

T

Wstawiamy do równania:

S =U

T+pV

T− Nµ

T

Po prostych przekształceniach algebraicznych ,.

Nµ = U + PV − STdf.= G

Dochodzimy do ostatecznego wyniku:

G = µN (2)

2 TERMODYNAMIKA 6

2.4 Zasada Pracy Maksymalnej

Jak chcecie przeczytać ‘pouczające’ wyprowadzenie to zapraszam na info.fuw.edu.pl/~gkubalsk/skryptfs.ps.

Osobiście wolę takie machanie rękami: Mamy policzyć maksymalną pracę nieobjęto-ściową. Jest ona mniejsza niż z zmiana energii wewnętrznej układu. Czyli W = −(∆U−X) (minus wynika z tego ze liczymy pracę układu nad otoczeniem, cokolwiek w tymstylu, nigdy nie potrafię się tu połapać). Należy teraz odjąć ciepło jakie ciało oddałootoczeniu, czyli W = −(∆U − T∆S −X). Ponieważ rozważamy pracę nieobjętościowąto mamy: W = −(∆U − T∆S + p∆V ). Wyciągamy znak ∆ przed nawias i mamy:

W = −∆(U − TS − pV ) (3)

2.5 Stabilność układów termodynamicznych

Po długich rozważaniach stwierdzilem że te wyprowadzenia są masakryczne i ja się ichuczył nie będę.

Ale jak zapamiętać na egzamin w procesie o ustalonych parametrach X, Y i Z minima-lizuje się potencjał którego naturalnymi zmiennymi są X, Y i Z.

Można też agitować inaczej (za podr. prof. Hołysta)

Procesy samorzutne w stałej temperaturze i ciśnieniu

Rozważmy układ będący w kontakcie z otoczeniem. Całość jest izolowana i wiemy żeT, p = const. Mamy więc następujące równania:

∆Sot+ ∆Su ≥ 0

entropia rośnie.

Otoczenie jest >> układu. Więc możemy przyjąć że jest ono w stanie równowagi ter-modynamicznej:

∆Sot =∆Q

T=

∆U

T

bo układ izolowany nie wykonuje pracy.

Ponieważ całość jest izolowana to:

∆Uot = ∆Uuk

Po wymnożeniu i wstawieniu wszstkiego do pierwszego równania mamy:

∆U − T∆S ≤ 0

2 TERMODYNAMIKA 7

Po wstawieniu definicji F df.= U − TS otrzymujemy:

∆F ≤ 0

Dalej należy agitować tak: jeśli układ jest w stanie równowago znaczy że nie możesamożutnie zmienić swohjego stanu, czyli wszystkie zmiany muszą zwiększać F. Czyli Fjest w minimum.

Energia Gibbsa

Centralnie tak samo:∆Sot+ ∆Su ≥ 0

entropia rośnie.

Otoczenie jest >> układu. Więc możemy przyjąć że jest w stanie równowagi termody-namicznej:

∆Uot = T∆S − p∆V

bo układ izolowany nie wykonuje pracy. Ponieważ całość jest izolowana to:

∆Uot = ∆Uuk

∆Vot = ∆Vuk

Ostatecznie:∆U − S∆T + p∆V

df.= ∆G ≤ 0

2.6 Entropia gazu doskonałego

Wzór na różniczkę entropii:

dS =1

T(dU + pdV − µdN)

Przy stałej liczbie cząstek (jak chcemy sobie zmieniać liczbę cząstek trzeba się pomęczyćbardziej):

dS =1

T(dU + pdV ) =

1

T(ncvdT +

nR

V) (4)

Całkujemy obustronnie:

S =

∫dS = ncv lnT + nR lnV + C(n)

Teraz: Pierwszy wyraz jest ekstensywny, drugi i trzeci — nie wiadomo. Ale całość jestekstensywna, więc nadajemy taką postać stałej C(n) by to ładnie wyrazić.

C(n)df.= n · σ − nR lnV

2 TERMODYNAMIKA 8

gdzie σ jest nową stałą liczbową (nie zależną od N)

Ostatecznie:S = n(cv lnT +R ln

V

T+ σ) (5)

2.7 Potencjał chemiczny

F = U − TS (6)dF = −SdT − pdV + µdN (7)

Jeśli T i V są stałe to dF = µdN , skąd:

µ =

(dF

dN

)T,V

Wstawiamy wzór na S do definicji F:

F = U − TS

= ncV T − T (ncv lnT + nR lnV

N+ σ)

Dalej:

µ =∂F

∂N=

= cvT − T (Rcv lnT +RlnV

N) +RT

= µ0(T ) + TR ln c (8)

gdzie c = VN

.

2.8 Reguła faz Gibbsa

P - ilość FazB - liczba rodzajów cząstek

Dla każdego rodzaju cząstek jest tak że µp są równe dla każdej fazy (z warunków sta-bilności układów). Czyli dla każdej cząstki mamy (P-1) więzów postaci µi = µj, gdzie i,j to indeksy faz. Ponieważ i 6=j mamy P-1 więzów.

Liczba więzów: B(P − 1).

Liczba stopni swobody (no nie wiem dlaczego jest ich tyle, nie rozumiałem wyjaśnień wźródłach, więc tu to są raczej takie mocne spekulacje).

2 TERMODYNAMIKA 9

Możemy manipulować p, V oraz koncentracjami każdego składnika każdej fazy, ale jeśliznamy koncentrację B-1 związków w jakiejś fazie to znamy też koncentracje ostatniegozwiązku.

Liczba stopni swobody: P (B − 1) + 2.

Liczba zmiennych swobodnych: P (B − 1) + 2−B(P − 1) = B − P + 2.

2.9 Termodynamika reakcji chemicznych

Relacja G-D:

G =∑

µiNi

Przykładowo:

2H2 +O2 ⇔ 2H2O

dG = µH2dNH2 + µO2dNO2 + µH2OdNH2O

Oznaczamy dNO2jako dN i dostajemy:

dG = 2µH2dN + µO2dN − 2µH2OdN

= dN(2µH2 + µO2d− 2µH2O)

= dN∑

µiνi

gdzie νi to współczynnik stechiometryczny stojący przy i-tym związku.

Dalej z warunków równowagi:

dG

dN= 0∑

µiνi = 0

Dalej potraktujemy że reakcja zachodzi w gazie doskonałym, czyli:

µ = µ0(T ) + TR ln c (9)

Z warunku stabilności: ∑µiνi = 0

=∑

(νiµ0i(T ) + TRνi ln c) ⇒

−∑

µOiνi = RT∑

νi ln ci ⇒

= −∑

µOiνi = RT∏

ln cνii

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ 10

Ostatecznie: ∏cνii = exp

(−∑νiµOi

kBT

)df.= k (10)

Gdzie k to stała reakcji chemicznej, która nie zależy od koncentracji. (W ostatnim prze-kształceniu zamieniliśmy R na kB — przy okazji koncentracja jest teraz cząsteczkowanie molowa).

2.10 Relacja Claussiusa-Clapeyrona

W każdym punkcie krzywej równowagi faz (z warunku równowagi) mamy:

µA = µB

Z relacji Gibbsa-Duhlema mamy:

µ =G

N

Różniczkujemy i wykorzystujemy że dN = 0:

dµ =dG

N+GdN

N=

dG

N=−SdT + V dp

N

Dalej wykorzystujemy definicję gęstości entropii i objętości na jedną cząsteczkę (v =V/N):

dµ = −sdT + vdp

Korzystamy z relacji równowagi:

−s1dT + v1dp = −s2dT + v2dp

Skąd po uporządkowaniu, przemnożeniu i ustaleniu: ∆s = s1 − s2 i ∆V = v1 − v2

dostajemy:

∆s

∆v=

dp

dT(11)

3 Podstawy Fizyki Statystycznej

3.1 Zespół mikrokanoniczny

Jest on postulowany a nie wyprowadzany. Co najwyżej sprawdza się jego poprawność- hipoteza ergodyczna, która stwierdza że średnia stanu po czasie z jednej cząstki jestrówna średniemu stanowi zespołu cząstek.


Rozkład mikrokanoniczny opisuje układ izolowany, tj. mający stałą energię (E0) i stałąilość cząstek. Dopuszczamy niewielkie fluktuacje energii E ∈< E0 −∆E;E0 + ∆E >.

Postulujemy taki rozkład prawdopodobieństwa konkretnego stanu układu:1

∆Γ, E ∈< E0 −∆E;E0 + ∆E >

0, E /∈< E0 −∆E;E0 + ∆E >(12)

gdzie ∆Γ to ilość możliwych stanów (lub objętość podprzestrzeni stanów dozwolonych).

Postulujemy że entropia dana jest wzorem :

S = kB ln ∆Γ (13)

TODO (Przestzreń stanów; Hipoteza Ergodyczna)

3.2 Zespół Kanoniczny

Zespół kanoniczny opisuje układ bący w kontakcie energetycznym z otoczeniem, alepozostający w stałej temperaturze.

Założenia: Otoczenie >> układUkład będący sumą naszego układu i otoczenia jest izolowanePonieważ otoczenie jest większe od układu a układ jest << od otoczenia, to samootoczenie jjest opisywane rozkładem mikrokanonicznym.

Oznaczenia: Parametry układu: E, SParametry otoczenia: E ′, S ′

Parametry całości: Et, St

Postulujemy następujący wzór:

P (Ω(E)) ∼ ∆Γ′(E ′)

Oznacza on że prawdopodobieństwo pewnego konkretnego stanu układu zależy od tegona ile sposobów otoczenie może ten stan zrealizować. Przykładowo stan w którym wpod-układzie jest cała energia otoczenia jest mało prawdopodobny, bowiem można tenstan zrealizować na jeden sposób (cała energia w podukładzie).

Traktujemy otoczenie jako izolowane(opisane rozkładem mikrokanonicznym).

S ′ = k ln(∆Γ′) ⇒ ∆Γ′ = eS′(E′)

kB (14)


Ponadto:

S ′(E ′) = S ′(Et − E) ≈∣∣∣∣ Z definicji różniczki:S(E + dE) = S(E) + ∂S

∂EdE

∣∣∣∣ ≈ S ′(E) +∂S ′

∂(−E)

= const− E

T

Ostatecznie ∆Γ′ wynosi:

∆Γ′ = eS′(Et−E)

kB = econst− E

kBT = econst · e− E

kBT

∼ e− E

kBT

Wreszcie wyliczamy P (Ω):

P (Ω) ∼ ∆Γ′ ∼ e− E

kBT

(15)

Ostatecznie:P (Ω) = 1

Ze− E

kBT (16)

Gdzie Z dobieramy tak żeby∑

Ω P (Ω) = 1, dostajemy Z =∑

Ω eE

kBT

Energia:

U = 〈E〉 =1

Z

∑Ee−βE

Zauważamy że: − ∂

∂βe−βE = Ee−βE

= − 1

Z

∑ ∂

∂βe−βE = − 1

Z

∂

∂β

∑e−βE = − 1

Z

∂

∂βZ

Zauważamy że:∂

∂βlnZ =

1

Z

∂

∂βZ

=∂

∂βlnZ

Energia:

U = − ∂∂βlnZ (17)

Energia swobodna: Jak wiemy ,F = U − TS, oraz dF = −SdT − pdV + µdN ⇒∂F∂T

= −S

Przekształcamy:

F = U − TS ⇒ U = F + TS = F − T∂F

∂T= T 2

(F − T ∂F

∂T

T 2

)= T 2 ∂

∂T

(F

T

)(?)


Z drugiej strony:

U = − ∂

∂βlnZ = −∂ lnZ

∂T

∂T

∂β=

∣∣∣∣ β = 1kT

∂β∂T

= − −1kT 2

∣∣∣∣ = −∂ lnZ

∂T

(∂β

∂T

)−1

= −kT 2∂ lnZ

∂T(??)

Po dodaniu (?) i (??) mamy:F = −kT lnZ (18)

Entropia:

S =∂F

∂T= |F = −kT lnZ| = k

∂T lnZ

∂T= k

[lnZ + T

1

Z

∂Z

∂T

]

=

∣∣∣∣∣ Z =∑

Ω e− E

kT

∂Z∂T

=∑

ΩE

kT 2 e− E

kT

∣∣∣∣∣ = k

lnZ +T1

Z

∑Ω

E

kT2

=

∣∣∣∣∣∣Zauważamy że zawsze:1

Z

∑Ω

e−EkT = 1

∣∣∣∣∣∣ = k

lnZ1

Z

∑Ω

e−EkT +

1

Z

∑Ω

E

kTe−EkT

=k

Z

∑Ω

[lnZ +

E

kT 2

]e−

EkT = − k

Z

∑Ω

[ln

1

Z+ ln e−

EkT2

]e−

EkT

= − k

Z

∑Ω

ln

(1

Ze−

EkT2

)︸︷︷︸ e−

EkT = −k

∑Ω

lnP (Ω)P (Ω) (19)

Wyraz zaznaczony klamerką to przecież P (Ω).

Ostatecznie:S = −k〈lnP (Ω)〉 (20)

Multiplikatywność sumy statystycznej Jeśli da się tak podzielić układ by: E =E1 + E2 + . . . En (co jest nie zawsze możliwe, bo kiedy mamy oddziaływania między-układowe to energia dwóch układów jest istotnie różna od sumy energii poszczególnychukładów), to mamy:

Z =∑Ω

eE1+E2+...En

kBT =∑Ω

eE1

kBT ·∑Ω

eE2

kBT

∑Ω

·eE3

kBT . . . ·∑Ω

eEn

kBT

= Z1 · Z2 · . . . · Zn

Fluktuacje Odchylenie std. w kwadracie zmienej X dane jest wzorem

σ2X = 〈(X − 〈X〉)2〉 = 〈X2〉 − 〈X〉2


Dalej podstawiamy za X E:

〈E〉 = U = −Z′

Z

〈E2〉 =Z∑

ΩE2e−βE =

1

Z

∂2

∂β2Z =

Z ′′

Z

σ2 =Z ′′

Z−(Z ′

Z

)2

=ZZ ′′ − Z ′2

Z2=

(Z ′

Z

)′

= U ′− =∂U

∂β

= −∂U∂T

· ∂T∂β

=

∣∣∣∣∂T∂β = −kT 2;∂U

∂T

df.= Cv

∣∣∣∣ = kT 2CV (21)

Ponieważ CV ∼ n to σ2 ∼ N .

Więcej:σE

E∼ 1√

n(22)

3.3 Wielki zespół kanoniczny

Wielki zespół kanoniczny opisuje układ otwarty pozostający w kontakcie z otoczeniem,tj. mogący wymieniać energięi materię z otoczeniem. Warunki jak dla kanonicznego ,alezamiast E trzeba wszędzie pisać E, N.

Wyprowadzenie P (Ω), U, N jest centralnie takie samo jak dla kanonicznego, no tyle żezamiast Z jest Z.

Wyniki:

P (E,N) =1

Ze−βE−µN

Z =∑Ω

e−β(E−µN)

〈N〉 = kBT∂

∂µlnZ

U = µ〈N〉 − ∂

∂βlnZ

Fluktuacje: Też tak samo:

σ2E ∼ N

σ2N = kBT

∂〈N〉∂µ

założenie∼ kBT 〈N〉


Entropia: Chcemy żeby było tak samo jak dla kanonicznego, tj. S = −kB〈lnP (E,N)〉.

S = −kB〈lnP 〉 = −kB

∫Ω

P (E,N) lnP (E,N)dΩ

= −kB

∫Ω

1

Ze−β(E−µN) [− lnZ − β(E − µN)] dΩ (23)

Pierwszy czynnik z − lnZ−β(E−µN) = − lnZ−βE+βµN− po wysumowaniu da nam− lnZ (bo ta suma to musi dać jeden nie ,), drugi −βU , trzeci µβ〈N〉. Ostatecznie:

kb [+ lnZ + βU − µβ〈N〉] (24)

F Centralnie z dyni: F df.= U − TS = U + kBT [− lnZ − βUµβ + 〈N〉], jest też: kBT =

β−1 czyli mamy:

−kBT lnZ + µ〈N〉 (25)

Wielki potencjał chemiczny

kBT lnZ = F − µ〈N〉 = F −Gdf.= Φ

Φ = kBT lnZ (26)

3.4 Rozkład Maxwella-Boltzmanna

Interesuje nas prawdopodobieństwo znalezienie cząstki w określonym przedziale ~r i ~v.Standardowo — jest ono dane wzorem:

P (~r,~v) =dN(~r,~v)

N= const · e−βε(~e,~v)drdv

gdzie ε to energia cząstki o określonych parametrach.

Teraz skonscentrujemy się na wyznaczeniu stałej, ogólnie jest to nietrywialne i trzeba doniego znać dokładną postać zależności od prędkości i położenia. Przyjmijmy że energiapotencjalna jest nieistotna a energia kinetyczna jest ‘normalna’.

ε =mv2

2

Wyznaczamy to z warunku na stałą ilość cząstek:

dN(~c)

N= Ae−β mv2

2∫dN(~c)

N= A

ye−β mv2

2 dvxdvydvz


Podstawiamy

dvxdvydvz ⇒ v2 sinθdθdφ︸︷︷︸ dv

= 4π

(27)

dN(~c)

N= 4πB

yv2e−β mv2

2dv

Bardziej interesuje nas stała B. Całkę liczmy przy pomocy całki Gaussa:∫ ∞

−∞eax2

=

√π

a

Różniczkujemy ją dwukrotnie po a by dostać:∫ ∞

−∞x2e−ax2

=1

2

√π

a3

Ponieważ my całkujemy od 0 do ∞ to mamy dostajemy połowę powyższej wartości:

dN(~c)

N= B

1

4

√8π

β3m3= B

1

4π

(2πkT

m

)3/2

dN(v) = 4πN( m

2πkT

)3/2

e−β mv2

2 dv (28)

3.5 Funkcja gęstości stanów

Jest tu trochę machania ręką i wyprowadzenie jest inne niż w Zagórskim.

Nie lubimy sumować po stanach (jest ich dużo ,) wolimy sumować, czy całkować poenergii (bo albo stanów jest jakoś mało, albo całka jest analityczna). Ale nie można takbezpośrednio przejść od jednego do drugiego. Wyobrażmy sobie że grupujemy stany otej samej energii i mamy funkcję która zwraca nam ilość stanów wtedy możemy napisać:∑

Ω

X =∑

ε

g(ε)X

Wyprowadzenie dla rozkładu kwantowego:

Jednowymiarowa studnia potencjału Mamy cząstkę w studni potencjału danejwzorem:

0, x ∈ (0;L)

∞, x /∈ (0,l)


Teraz trzeba rozwiązać równanie Shrodingera:

Hψ = Eψ ⇒ −~2

2m

∂

∂x2ψ + V ψ = Eψ

W takim wypadku psi ma postać ψ = A sin(Bx), ale A nas kopletnie nie istneresuje.Wyznaczamy B z warunku ψ(L) = 0 ⇒ BL = nπ ⇒ B nπ

L. Wstawiamy do Schroedingera

i wyliczamy E.−~2

2mB2

Asin(Bx) = EAsin(Bx)

Wyliczamy E i mamy:

E = − ~2π2

2mL2n2

Trójwymiarowa studnia potencjału Analogicznie:

E = − ~2π2

2mL2

(n2

x + n2y + n2

z

)Da się to ładnie wyliczyć. Trzeba pokazać że jeśli V (x,y,z) = V (x)V (y)V (z) to Ψ(x,y,z) =Ψ(x)Ψ(y)Ψ(z). I potem napisać sobie równanie S. z Lagranżianem w i wychodzi.

Ilość stanów o energii ε < E Zauważamy że równanie:

E = − ~2π2

2mL2

(n2

x + n2y + n2

z

)jest równaniem kuli o promieniu:

√2mL2

~2π2 . Z tym że bierzemy tylko jej ćwiartkę (n jestdodatnie, bo naturalne) Objętość tej kuli wynosi:

V =1

8

4

3π

(√2mL2

~2π2

)3

=1

6

L3

π2~3

√2mE

3=

1

6

Vk

π2~3

√2mE

3

W ostatnim przekształceniu podstawiłem L3 = Vk, czyli objętość kryształu. Mamy jużV, potrzebujemy teraz ∆Γ, czyli ilości stanów. Musimy tutaj uzględnic spin (bo tennie wpływa specjalnie na energię w tym przybliżeniu). Dla elektronów ∆Γ = 2V , dlabozonów jakoś dużo więcej ,. ∆Γ to ilość stanów o energii mniejszej od E. Interesujenas teraz ilość stanów o energii E, a ściślej Edε. Czyli musimy ∆Γ zróżniczkować.

g(ε)dε = V2π2

(2m~2

)3/2√εdε

df.= A

√εdε (29)


3.6 Rozkład Fermiego-Diraca

Tworzymy sobie Zα czyli wielką sumę statystyczną konkretnego stanu kwantowego. Jestona dość trywialna — albo jest w tym stanie dokładnie jedna cząstka, albo dokładnieżadna (wtedy εα = 0).

Zα = e0 + e−β(εα−µ)

Jak wiemy: 〈N〉 = kBT∂∂µ

lnZ, czyli:

〈N〉α =1

β

1

Z∂

∂β

(1 + e−β(εαµ)

)=

e−β(εα0µ)

1 + e−β(εα−µ) + 1=

1

1 + eβ(εα−µ)

I to już jest rowzwiązanie. Jest to funkcja podająca prawdopodobieństwo tego że wkonkretnym stanie o energii εα jest cząstka.

f(ε) = 11+eβ(εα−µ) (30)

3.7 Rozkład Bosego-Einsteina

Centralnie tak samo. Z tym że w stanie może być nieskończenie wiele cząstek.

Zα =∞∑

n=0

e−nβ(εα−µ)

Korzystamy z wzoru na sumę szeregu geometrycznego:

∞∑n=0

tn =1

1− t

Mamy:

Zα =1

1− e−nβ(εα−µ)

Jak ostatnio:

Nα =1

β

∂

∂µlnZ =

(1− e−nβ(εα−µ)

)· 1

(1− e−nβ(εα−µ))2 · βe−nβ(εα−µ)

=e−nβ(εα−µ)

1− e−nβ(εα−µ)=

1

e−nβ(εα−µ) − 1

Ostatecznie:f(ε) = 1

e−β(εα−µ)−1(31)


3.8 Gaz elektronowy

3.8.1 Dla T = OK

Zastanówmy się co się dzieje z funkcją, gdy T = 0K

f(ε) =1

1 + eβ(εα−µ)

Mamy wtedy arcyciekawe (,) wyrażenie (µ0df.= µ):

f(ε) =1

1 + e∞(εα−µ0)

Kiedy potencjał chemiczny µ0 = εα to cholera wie co się dzieje wyrażenie jest nieozna-czone2. Gdy natomiast µ0 < εα mamy wyrażenie postaci:

f(ε) =1

1 + e−∞= 1

gdy µ0 > εα:

f(ε) =1

1 + e+∞= 0

Czyli funkcja fermiego przechodzi w funkcję schkową. Wyjaśnia się nam tez sens skłąd-nika µ0, jest energia poniżej której wszystkie stany są obsadzone a powyżej — żadne.

Wyznaczamy µ0

Wyznacza się je zawsze z warunku na ilość cząstek:

N

∫ ∞

0

f(ε)g(ε)dε =

∫ µ0

0

g(ε)dε = A

∫ µ0

0

√edε =

2

3Aµ

32

, gdzie A jest wyznaczone w 3.5 (str. 17), czyli:

µ0 =

(3

2NA−1

) 23

=~2

2m(3π2c)

23

gdzie c df.= N

VOstatecznie:

µ0 = ~2

2m(3π2c)

23 (32)

Wyznaczamy U0

Jak ostatnio:

U =

∫ µ0

0

εg(ε) =2

5A(µ0)

52 =

2

5Aµ0(mu0)

32 =

2

5

3

2µ0ANA

−1 =3

5µ0N

Użyłem wzoru na µ0, ostatecznie:

U0 =3

5µ0N

2Pojawia się w nim składnik 0 · ∞


Wyznaczamy p

F = U − ST , jeśli T=0 F = U .

p = −∂F∂V

=3

5N∂µ0

∂V= −3

5N

~2

2m(3π2)

23∂

∂V

(N

V

) 23

= −U0

c32

·N 2

3· −2

3· V − 5

3

=2

3

U0

V

p = 23

U0

V(33)

3.8.2 Dla T > OK

Trochę matematyki, ale trzeba mieć to z głowy.

Całka Fermiego

Ip =

∫ ∞

0

εpf(ε)dε

gdzie f(ε) to funkcje Fermiego.

Najpierw całkujemy przez części (εp = dψ, f(ε) = ϕ).

ψ =1

p+ 1εp+1

dϕ =d

dε

1

1 + eβ(ε−µ)= −1

1

(1 + eβ(ε−µ))2· eβ(ε−µ) · β

= −β eβ(ε−µ)

(1 + eβ(ε−µ))2=

eβ(ε−µ)

e2β(ε−µ) + 2eβ(ε−µ) − 1

=−β

(eβ(ε−µ) + 1)(e−β(ε−µ) + 1)

Ponieważ dla wartości krańcówych i ψ i ϕ się zerują mamy:

Ip = −∫ ∞

0

ψdϕdε =+β

p+ 1

∫ ∞

0

εp+1 1

(eβ(ε−µ) + 1)(e−β(ε−µ) + 1)dε

Następnie zmieniamy zmienne y = β(ε− µ), ε = kTy + µ, dε = 1βd.

Założenie: kT << µ. A ponieważ y = ε−µkT

to jeśli ε = 0 mamy wyrażenie w stylu− duże

małe i możemy przyjąć że wynosi ono −∞. Dlatego przesuwamy granice całkowaniado −∞3.

3Sam nie wiem po co jak zaraz taylorem czeba będzie jechać i wyciąć tylko y ∼ 0


Dostajemy (wreszcie!) jakąś ludzką postać tego bagna:

Ip =1

1 + p

∫ ∞

−∞β(ε− µ)p+1 1

(ey + 1)(e−y + 1)dy

Jedziemy Taylorem (rozwijamy funkcję potęgową w szereg Taylora w punkcie µ4):

(µ+ yKT )p+1 ≈ µp+1 + (p+ 1)µpykT +1

2p(p+ 1)µp−1(ykT )2

Dalej piszemy sobie:Ip = I1

p + I2p + I3

p

gdzie kolejne Ip odpowiadają wyrażeniom szeregu Taylora.

Całka z drugiego elementu jest równa zeru bo jest całką z funkcji parzystej i nie parzystej.

Całka z pierwszego jest raczej prosta (jak się pamięta co nieco o funkcjach hiperbolicz-nych). Trzy wzory:

tanh′ =1

cosh2 xcosh(2x) = cosh2(x) + sinh2 x1 = cosh2(x)− sinh2 x (34)

−1

(e−y + 1)(ey + 1)=

−1

e−y + ey + 2= −1

2

1

cosh +1

= −1

2

1

cosh2 y2

+ sinh2 y2

+ 2

= −1

2

1

cosh2 y2

+ sinh2 y2

+ cosh2 y2− sinh2 y

2

= −1

2

1

2 cosh2 y2

= −1

4tanh′

(y2

)

I1P =

µp+1

p+ 1

∫ +∞

−∞

−1

(e−y + 1)(ey + 1)dy =

1

4

µp+1

p+ 1

∫ +∞

−∞tanh′

(y2

)dy =

µp+1

p+ 1

Trzecia całka jest już nietrywialna:

Wyliczamy najpierw całkę pomocniczą:∫ye−aydy = −1

a

∫e−aydy =

1

a2

∫e−ayd(ay) =

1

a2

4Przypominamy że: w szeregu Taylora są pochodne w punkcie w którym rozwijamy!


I3p = −p

2(kT 2)µp−1

∫ ∞

−∞f ′(y)y2dy

Zauważamy że funkcja podcałkowa jest parzysta więc możemy zmienić granice całko-wania na od zera do ∞ i postawic przed całością 2. Teraz całkujemy przez częśći zębypowrócić do f(y) (funkcji Fermiego).

Ip3 = pµp+1(kT )2

∫ ∞

0

f(y)ydy

Tą całkę rozwalamy tak:

f(y) =1

1 + ey=

e−y

1− (−e−y)

To rozwijamy w szereg potęgowy5.

f(y) =e−y

1− (−e−y)= e−y

∞∑0

(−1)ne−ny =∞∑1

(−1)ne−ny

Wstawiamy do całki i wykonujemy całkowanie ‘całki pomocniczej’. Dostajemy:

pµp+1(kT )2

∞∑1

(−1)l−1 1

l

2

Korzystamy z funkcji Zeta Riemanna:

ζ(r) =∞∑l=1

1

lr

Przekształcamy:

∞∑1

(−1)l−1 1

l

2

= 1− 1

22+

1

32− 1

42+ . . . = ζ(2)− 2

(1

22+

1

42+

1

62+ . . .

)= ζ(2)− 1

2(1 +

1

22+

1

32) = ζ(2)− 2ζ(2) (35)

Korzystając z Wikipedii mamy: ζ(2) = π6.

Ostatecznie:∞∑1

(−1)l−1 1

l

2

=π

12

Zbieramy całe to to tałatajstwo do kupy i mamy:5Szereg sumy geometrycznej


Ip = I1p + I2

p =

(µp+1

p+ 1+ pµp−1(kT )2π

2

12

)Za te wszystkie mordęgi mamy tera natychmiastowy wzór na µ

N = AI1/2 = A

(2

3µ

32 +

∓2

12µ−

12 (kT )2

)Wyciągamy µ3/2 przed nawias i wyliczamy je by otrzymać:

µ =

(2A

3N

)2/3[1 +

π2

8

(kT

µ

)2]−2/3

Zauważamy6 że czynnik przed nawiasem to µ0, w nawiasie zamieniamy µ na µ0 (chybamożna tak zrobić bo całe obliczenia i tak są tak przybliżone że gorzej raczej nie będzie),a potem korzystamy z wzoru na przybliżenie:(1 + x)α = 1 + αx.

Ostatecznie:

µ = µ0

[1− π2

12

(kT

µ0

)2]

TODO (Reszta ble)

3.9 Gaz Bozonowy

Funkcja gęstości

Jak dla fermionów, ale stała inna (bo spin inny):

g(ε) = B√ε

Ale mamy B = const · A, gdzie a to stała dla fermionów.

3.9.1 Potencjał chemiczny

Mamy funkcję rozkładu:

f(ε) =1

e−β(εα−µ) − 1

Wiąże nam ona β i µ, przy pomocy równania:

N =

∫ ∞

0

f(ε)g(ε)dε

Czyli µ jest funkcją β.6Jak ja kocham jak tak piszą!


Temperatura graniczna

Bozonki śmiesznie zachowują się w okolicy temperatury T0 takiej że µ(T0) = 0, więcwyznaczmy ją (od razu wstawiamu µ = 0):

N =

∫ ∞

0

f(ε)g(ε)dε = B

∫ ∞

0

√(e)

1

eεβ − 1dε

Wstawiamy εβ = x:

N = B(kT )3/2

∫ ∞

0

x12

1

ex − 1dx

Ostatnia całka jest liczbą niewymierną (jak ktoś wie jak to policzyć to niech wali towkleję wyprowadzenie — mnie to powaliło).

Oznaczamy: B1 = B ·∫∞

0x

12

1ex−1

dx.

Mamy:

kT0 =(

NB1

)2/3

(36)

Ponieważ B (czyli i B1) ma postać B = const · V to:

T0 = const · c2/3 (37)

gdzie c to koncentracja.

3.9.2 Koncentracja Bosego-Einsteina

Poniżej temperatury T0 µ jest równe zeru.

Ponieważ funkcja bosego jest funkcją rosnącą parametru T to dla temperatur T < T0

całka∫∞

0f(ε)g(ε)dε maleje z temperaturą. Ale przecież N nie może zależeć od tempera-

tury!

Więc piszemy:

N = N0 +

∫ ∞

0

f(ε)g(ε)dε

Ponieważ z jednej strony:∫∞

0f(ε)g(ε)dε = B1(KT )3/2, a z drugiej N = B1(KT0)

3/2

mamy:

N0 = N −B1(KT )3/2 = N

[1−

(T

T0

)3/2]

U =

∫ ∞

0

εf(ε)g(ε)dε = B(kT )5/2

∫ ∞

0

x12

1

ex − 1dx

4 ZASTOSOWANIA 25

Ta całka podobnie jak poprzednia jest równa liczbie:

U = B2(KT )5/2 (38)

gdzie B2df.= B

∫∞0x

12

1ex−1

dx

Ciepło właściwe:

CV =dU

dT= constT 3/2

3.10 T > T0

TODO (Reszta)

4 Zastosowania

4.1 Model Isinga

W modelu Isinga mamy już oddziaływania międzycząsteczkowe, czyli w szczególnościZ 6=

∑Zi i policzenie Z jest już nietrywialne.

Założenia modelu Isinga i tak upraszczają problem ponad miarę. Zakłada on że stanposzczególnych cząstek da się scharakteryzować jedną liczbą (symbol to generalnie s)przyjmującą przeliczalny zbiór wartości (generalnie dwie ,), zakłada też że siła oddzia-ływań pomiędzy dwoma cząstkami m i n wyraża się wzorem

Emn = −Jmnsnsm

gdzie Jmn to całka wymiany, to wniej siedzą takie detale jak odległość cząstek od siebieitp.

W ogólności Jmn 6= Jnm, ale prawie zawsze dla zastosowań fizycznych TAK.

Ogólnie energia modelu wynosi:

E =N∑

m=0

N∑n=0

Jmnsmsn

Z polem zewnętrznym

E =N∑

m=0

N∑n=0

Jmnsmsn +∑n=0

NsnH

gdzie H to abstrakcyjna reprezentacja pola zewnętrznego7

7ponieważ s jest zasadniczo liczbą to H nie może być np. natężeniem pola magnetycznego, bo energiama inną jednostkę niż pole magnetyczne

4 ZASTOSOWANIA 26

4.2 Rozszerzenia modelu Isinga

Gaz sieciowy: Dzielimy przestrzeń na małe komórki, takie że w jednej na raz przebywamaksymalnie jedna cząstka. Jeśli w sąsiednich komórkach sa atomy mamy oddziaływa-nie.

Sieci neuronowe

Epidemiologia: Mamy społeczeństwo pomiędzy osobami A i B są oddziaływania jeśli jestduża szansa że jeśli A zaraził się jakimś syfem to B zarazi się od niego. Przykładowymproblemem jest to ile procent populacji należy zaszczepić żeby nie było epidemii i żebychoroba wygasła. Drugim jest to kogo szczepić (osoby o dużej liości oddziaływań), i jaktakie znajdować (z branki na ulicy każemy wskazać ludziom ich dowolnego znajomego ijego szczepić).

Internet: Topologia internetu: link to oddziaływanie (oddziałtywania są bezzwrotne —wszystko ma linki do Wikipedii, a Wikipedia do niewielu stron z poza Wikipedii ,)

4.3 Jednowymiarowy model Isinga

Przyjmiemy dodakowe uproszczenia:

Jmn = Jnm

s przyjmuje dwie wartości s ∈ −1; 1

Ponadto:

Jmn =

Jm n = m+ 1

0 n 6= m+ 1

Wyjaśnienie: Energie oddziaływania cząstki n na cząstkę m włączamy do energii oddzia-ływania cząstki m na n. Możemy wtedy przyjąć że Jnm = O, a nowa stała Jmn jest dwarazy większa od starej.

Teraz energia upraszcza sie w następujący sposób:

E =N∑

m=0

N∑n=0

Jmnsmsn =N∑

n=0

sm(s1Jm1 + s2Jm2 + . . .+ sm+1Jm,m+1 + . . .)

=N∑

m=0

Jmsmsm+1

4.3.1 Wyliczenie Z

Jeśli mamy już E wypada teraz policzyć Z. Cofamy się do najpierwszej definicji Z:

Z =∑

eβE

4 ZASTOSOWANIA 27

U nas jest:Z =

∑s

eβ∑

n βJnsnsn+1

Pierwsza suma jest sumą po możliwych stanach, tj. jej elementem jest ustalony zbiórspinów reprezentujący jeden z możliwych stanów układu. Druga suma jest po już usta-lonych przez pierwszą sumę stanach układu i jej elementem jest jeden spin. OK? Dalej:

Teraz dokonujemy czysto estetycznego podstawienia: Kn = βJn.

Z =∑s

eK1s1s2+K3s2s3+... =∑s

N−1∏n

eKnsnsn+1

W iloczynie jest N-1 bo ostatni element nie oddziałuje z niczym, tj. oddziaływanie sN

na sN−1 jest już włączone w oddziaływanie sN−1 na sN . A nie ma następnego elementuna który sN mógłby oddziaływać.

Zasadniczo suma jest niezależna od iloczynu — sumując sumujemy po możliwych sta-nach, a mnożąc mnożymy owe ustalone stany. Jak są niezależne to można je przestawićmiejscami:

Z =∑s

N−1∏n

eKnsnsn+1 = 2N−1∏

n

∑s

eKnsnsn+1

Tylko że tu jesto tyle super że sumujemy już nie po wszystkich stanach, a po staniesn. Stan sn+1 pozostanie nieustalony. Ta zamiana jest możliwa tylko dlatego że da sięwydzielić takie nie wpływające na siebie pary. Tzn. w każdej parze ustalam tylko je-den element, drugi mi znika w toku obliczeń. Gdybym musiał ustalić oba elementy niemógłbym zamienić sumy i iloczynu. Dwa wzięło się stąd że wcześniej sumowaliśmy powszystkich spinach, a teraz po wszystkich poza ostatnim.

Czyli mamy:

Z = 2N−1∏

n

∑sn

eKnsnsn+1 = 2N−1∏

n

(∑sn

eKnsn+1 + eKnsn+1

)

= 2N−1∏

n

(2 cosh(Jnsn+1)) = 2N

N−1∏n

cosh(Jn)

Ponieważ cosh jest funkcją parzystą to znak argumentu (a sn+1 moze zmienić tylko jegoznak) nie ma znaczenia.

Ostatecznie:Z = 2N

∏N−1n cosh(Jn) (39)

Jeśli ∀nJn = J :Z = 2N (cosh J)N−1 (40)

4 ZASTOSOWANIA 28

U

U = − ∂

∂βlnZ = −

∑ 1

coshKn

Jn sinhKn = −∑

Jn tanh(βJn)

C

(jesli Jn = Jn+1)

C =∂U

∂T= −kβ2

∑ Jn

cosh2Kn

Funkcja korelacji

Najpierw wyliczmy wartość oczekiwaną iloczynu spinów tj. < snsn+1 >. U z definicjito: U =< E >= −〈

∑Jnsnsn+1〉 = −

∑〈Jnsnsn+1〉 = −

∑Jn 〈snsn+1〉. Porównujemy z

poprzednim wzorem na U:

−∑

Jn 〈snsn+1〉 = −∑

Jn tanh(βJn)

Po opuszczeniu sumowań otrzymujemy:

〈snsn+1〉 = tanhKn

Jeśli Jn = Jn+1 to możemy opuścić sumowanie bo zakładam że wszystkie 〈snsn+1〉 sąsobie równe. Jeśli nie to nie wiem dlaczego można opuśić tu sumę.

4.4 Funkcja korelacji

Jest ona zdefiniowana jako:

Γ(n,i) = 〈sisi+n〉 − 〈si〉〈si+n〉

Uproszczenia:

1. przyjmujemy że ∀i, j, n Γ(n,i) = Γ(n,j), czyli wartość funckji koleracyjnej niezależy od położenia w jakim ją badamy.

2. Zakładamy ze pozczególne spiny mają średnią wartość równą zeru, czyli 〈si〉〈si+n〉 =0

Wyliczamy ją z definicji:

Γ(n) =1

Z

∑s

sisi+ne∑

n Kn−1sn−1sn

4 ZASTOSOWANIA 29

Wyrażenie sisi+n rozpisujemy na: sisi+1 · si+1si+2 · si+2si+3 · . . . · sn+i−1sn+1. Powstawia-liśmy pary sisi. Pary te są równe 1. Ponadto każda para w postaci: sisi+1 jest równa:

∂∂KI

e∑

n Kn−1sn−1sn . Tak więc:

Γ(n) =1

Z

∑s

sisi+ne∑

n Kn−1sn−1sn =1

Z

∂

∂Ki

∂

∂Ki+1

. . .∂

∂Kn+i+1

∑s

e∑

n Kn−1sn−1sn

Ale przecież a suma to Z.

Γ(n) =∏ ∂

∂Ki+n

Z = tanhKi tanhKi+1 . . . tanhKi+n−1

skożystaliśmy z wzoru na Z.

Jeśli wszystkie Kn są takie same mamy:

Γ(n) = (tanhK)n

Wnioski: Ponieważ tanh x < 1 Γ(n) dąży do zera gdy n rośnie. Czyli zawse dalekiespiny są nieskorelowane. Czyli łańcuch isinga się nie porządkuje.

4.5 Podatność

Energia łańcucha pod wpływem pola wraża się wzorem E = E0 − γF∑

n sn, gdzie EO

to energia oddziaływań wewnętrznych.

W obecności pola nie jest tak że 〈sn〉 = 0. Miarą uporządkowania będzie∑

n 〈sn〉 =〈∑

n sn〉.

X =1

Z

∑s

[(∑n

sn

)e−βEo+βγF

∑n sn

]

Jak zwykle w takim wypadku (kiedy nie wiadomo co zrobić) trzeba zróżniczkować poczymś:

(∑n

sn

)e−βEo+βγF

∑n sn =

1

βγ

∂

∂F

∑s

e−βEo+βγF∑

n sn =1

βγ

∂

∂FZ

X =1

βγ

1

Z

∂

∂FZ

Nie da się tego wyliczyć bo to Z tutaj nie jest dane żadnym z wzorów które wyprowa-dzaliśmy (bo i energia się zmieniła).

4 ZASTOSOWANIA 30

Podatność

Podatność definiujemy jako

χ =∂

∂FX(0)

Ponieważ jest ona liczona w punkcie zero to wzory znowu zaczynają obowiązyać:

Oznaczenie: ∂∂FZ = Z ′

χ =1

βγ

[−(Z ′

Z

)2

+Z ′′

Z

]= βγ

[−〈s1 + s2 + . . . sn〉2 +

⟨(s1 + s2 + . . .+ s3)

2⟩]

Ponieważ liczymy to dla F = 0 przyjmujemy że 〈ssi〉 = 0, a zatem 〈s1 + s2 + . . . sn〉2 =

(〈s1〉+ 〈s2〉+ . . .+ 〈sn〉)2 = 02

Drugi element jest mniej fajny: 〈(s1 + s2 + . . .+ s3)2〉 = 〈s2

1〉+〈s22〉+ . . .+〈s2

n〉+〈s1s2〉+〈s1s3〉+ . . . =

∑nm 〈snsm〉. Pierwsza część przedostatniego wyrażenia znika bo s2

n = 0.

Tak więc:χ = βγ

∑nm

〈snsm〉 = βγ∑nm

Γ(n−m) = βγ∑nm

tanhKn

Założyliśmy że wszystkie stałe Kn są takie same.

Wysumujmy to w macierzy (oznaczamy tanhK = t i N — ilość elementów w łańcuchu):

Γ =

1 t t2 · · · tN−1

t 1 t · · · tN−2

t2 t 1 · · · tN−3

......

... . . . ...tN−1 tN−2 · · · · · · 1

Sumujemy to po ukośnych: Pierwsza (przekątna) ma długość N. Druga — (N-1) etc.∑

nm

tanhKn = N + 2(N − 1)t+ 2(N − 2)t3 + 2(N − 3)t3 + . . .+ 2tN−1

wykonujemy mnorzenia przez t i dostajemy:∑nm

tanhKn = −N + 2N(1 + t+ t2 + . . .+ tN−1)− 2t(1 + 2t+ 3t2 + . . .+ (N − 1)tN−2)

Pierwszy element to suma postępu geometrycznego, drugi pochodna (element po ele-mencie) takiego postępu.∑

nm

tanhKn = −N + 2N1− tn

1− t− 2t

∂

∂t

(1− tn

1− t

)

4 ZASTOSOWANIA 31

Ponieważ t = tanhK więc t < 0, możemy bezpiecznie założyć że tN = tN−1 = 0.∑nm

tanhKn = −N + 2N1

1− t− 2t

1

(1− t)2

Ostatecznie:χ = βγN

1 + t

1− t= βγNe2K

4.6 Model pola średniego

Energia jednego spinu:En = −Jsn

∑sm − γFsn

Suma po najbliższych sąsiadach.

Generalnie nie podoba nam się to wyrażenie więc zastępujemy sm przez 〈sm〉. Ponieważśrednia jest taka sama suma przechodzi na z 〈s〉, z — to ilość sąsiadów.

En = −Jsn

∑sm − γFsn = −Jsn

∑〈s〉 − γFsn

= −Jzsn 〈s〉 − γFsn = γ

(F +

zJ 〈s〉γ

)sn (41)

Oznaczenie: Fm = F + zJ〈s〉γ

.

Suma statystyczna

Liczymy sumę statystyczną jednej cząstki:

Zn =∑

s

eβγ(F+Fm)s = eβγ(F+Fm)s + e−βγ(F+Fm)s = 2 cosh βγ(F + Fm)

Spin jednej cząstki:

〈sn〉 =1

Zn

∑sne

βγ(F+Fm) = tanh βγ(F + Fm)

Uwikłany wzór na spin dla F=0:

〈s〉 = tanh βγFn = tanh (βγzJ 〈s〉)

Skrypt z FSiT

Documents

Transcript of Skrypt z FSiT