SKL I : Memahami pernyataan dan ingkarannya, … · Web viewMisalkan matriks A = , dan det (A) ≠...
80
http://matematrick.blogspot.com NO KOMPETENSI INDIKATOR KET 1. Menggunakan logika matematik a dalam pemecahan masalah Menentukan ingkaran atau kesetaraan da i suatu 1 Menentukan kesimpulan dari beberapa pr 2 2. Memahami konsep yang berkait an dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar se derhana, fungsi kuadrat dan grafiknya , persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, komposisi dan inver s fungsi, sistem persamaan linear, pro gram linear, matriks, barisan dan deret, serta mampu menggunakannya alam pemecahan masalah. Menentukan hasil operasi bentuk pangka , akar, dan 3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan d ngan grafik 2 Menentukan komposisi dua fungsi dan in ers suatu 2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan d ngan 2 Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. 1 Menentukan penyelesaian dari sistem pe samaan 1 Menyelesaikan masalah sehari-hari yan berkaitan 1 Menentukan nilai optimum bentuk objekti f dari daerah himpunan penyelesaian sistem 2 Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan 1 Menyelesaikan masalah matriks yang berk aitan dengan kesamaan, determinan, dan atau 3 Menentukan suku ke-n atau jumlah n suk pertama 2 Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan 1 3. Memahami limit fungsi aljaba r, turunan fungsi, nilai ekstri m, dan integral fungsi serta mener pkannya Menghitung nilai limit fungsi aljabar. 2 Menentukan turunan fungsi aljabar dan 2 Menentukan integral fungsi aljabar. 2 Menentukan luas daerah dengan mengguna an 1 4. Mengolah, menyajikan, dan menafsirkan data dan memaham i kaidah pencacahan, permutasi , kombinasi dan peluang kejadi an serta mampu menerapkannya dalam pemecahan masalah. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan kaidah pencacahan, permutasi, a 1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan d ngan 2 Menentukan unsur-unsur pada diagram lingkaran 1 Menghitung nilai ukuran pemusatan dari data dalam 1 Menentukan nilai ukuran penyebaran. 1
Transcript of SKL I : Memahami pernyataan dan ingkarannya, … · Web viewMisalkan matriks A = , dan det (A) ≠...
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
NO KOMPETENSI INDIKATOR KET1. Menggunakan logika matematika
dalam pemecahan masalahMenentukan ingkaran atau kesetaraan dari suatupernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor.
1
Menentukan kesimpulan dari beberapa premis. 22. Memahami konsep yang berkaitan
dengan aturan pangkat, akar danlogaritma, fungsi aljabar sederhana,fungsi kuadrat dan grafiknya,persamaan dan pertidaksamaankuadrat, komposisi dan invers fungsi,sistem persamaan linear, programlinear, matriks, barisan dan deret,serta mampu menggunakannya dalampemecahan masalah.
Menentukan hasil operasi bentuk pangkat, akar, danlogaritma.
3
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan grafikfungsi kuadrat.
2
Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatufungsi.
2
Menyelesaikan masalah yang berkaitan denganpersamaan kuadrat.
2
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. 1Menentukan penyelesaian dari sistem persamaanlinear dua variabel.
1
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitandengan sistem persamaan linear dua variabel.
1
Menentukan nilai optimum bentuk objektif daridaerah himpunan penyelesaian sistempertidaksamaan linear.
2
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitandengan program linear.
1
Menyelesaikan masalah matriks yang berkaitandengan kesamaan, determinan, dan atau inversmatriks.
3
Menentukan suku ke-n atau jumlah n suku pertamaderet aritmetika atau geometri.
2
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitandengan barisan dan deret aritmetika.
1
3. Memahami limit fungsi aljabar,turunan fungsi, nilai ekstrim, danintegral fungsi serta menerapkannyadalam pemecahan masalah.
Menghitung nilai limit fungsi aljabar. 2Menentukan turunan fungsi aljabar dan aplikasinya. 2Menentukan integral fungsi aljabar. 2Menentukan luas daerah dengan menggunakanintegral.
1
4. Mengolah, menyajikan, danmenafsirkan data dan memahamikaidah pencacahan, permutasi,kombinasi dan peluang kejadian sertamampu menerapkannya dalampemecahan masalah.
Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitandengan kaidah pencacahan, permutasi, ataukombinasi.
1
Menyelesaikan masalah yang berkaitan denganpeluang dan frekuensi harapan suatu kejadian.
2
Menentukan unsur-unsur pada diagram lingkaranatau batang.
1
Menghitung nilai ukuran pemusatan dari data dalambentuk tabel atau diagram.
1
Menentukan nilai ukuran penyebaran. 1
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
A. Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk
1. Konjungsi
p q (dibaca “p dan q”) bernilai benar hanya jika
keduanya benar.
2. Disjungsi
p V q (dibaca “p atau q”) satu saja benar maka bernilai
benar.
3. Implikasi
p → q (dibaca “jika p maka q”) bernilai salah hanya
jika p benar tetapi q salah.
4. Biimplikasi
p ↔ q (dibaca “p jika dan hanya jika q”) bernilai
benar jika p dan q memiliki nilai kebenaran yang
sama.
B. Ingkaran / Negasi Pernyataan
1. p v q ingkarannya ~ p Λ ~ q
2. p Λ q ingkarannya ~ p v ~ q
3. p q ingkarannya p Λ ~ q
4. Semua p adalah A ingkarannya ada p bukan A.
5. Beberapa q adalah A ingkarannya semua q bukan A.
C. Menentukan kesimpulan
1. Modus Ponen :
P1 : p q
P2 : p
K : q
2. Modus Tolens :
P1 : p q
P2 : q
K : p
3. Silogisme
P1 : p q
P2 : q r
K : p r
4. Ekuivalensi ( kesamaan/ ≡ )
p q ≡ p v q ≡ q p
1. Diketahui pernyataan:
(1) ~p↔q (4) ~p → q
(2) ~p Λ q (5) ~p v q
(3) ~p → ~q
Jika pernyataan p bernilai salah dan pernyataan q bernilai
benar, maka yang bernilai salah adalah pernyataan ….a. (1) d. (4)
b. (2) e. (5)
c. (3)
Penyelesaian:
P salah, maka ~p benar ;
q benar, maka ~q salah;
(3). ~p → ~q = B → S = S. Jadi jawabannya C.
2. Diketahui pernyataan : ‘Jika semua siswa rajin maka
semua siswa lulus ujian ”
Ingkaran dari pernyataan tersebut adalah ….a. Ada siswa yang rajin dan beberapa siswa tidak lulus
ujian
b. Ada siswa yang tidak rajin dan beberapa siswa tidak
lulus ujian
c. Ada siswa yang tidak lulus ujian dan semua siswa
rajin
d. Jika ada siswa yang rajin maka beberapa siswa tidak
lulus ujian
e. Jika ada siswa yang lulus ujian maka beberapa siswa
rajin belajar
Penyelesaian :
( i ) Ingkaran jika p maka q adalah p dan ~ q
Jadi jawabannya adalah :
Semua siswa rajin dan ada siswa yang tidak lulus ujian
Atau dapat ditulis dengan :
Ada siswa yang tidak lulus ujian dan semua siswa rajin
Jawaban : C
1) Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan (p
q) p, pada tabel di samping adalah ....
p Q (p q) p
B B ....
a. SBSBb. SSSBc. SSBBd. SBBBe. BBBB
Ingkaran “jika maka” tidak lagi menggunakan “jika
maka”
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
BSS
SBS
.... .... ....
2) Diketahui pernyataan p bernilai salah dan pernyataan
q bernilai benar. Pernyataan berikut yang bernilai salah
adalah ….
a.
b.
c.
d.
e.
p V q
p V q
p ( p V q )
( p V q ) p
( p q ) p
3) Nilai kebenaran pernyataan majemuk (~pq ) V ~q
pada tabel berikut adalah … . ( UN 2011 )
p q (~pq ) V ~q
BBSS
BSBS
.... .... .... ....
4) Negasi dari pernyataan “Jika semua anak lulus maka
semua guru bergembira” adalah
a. Jika semua anak tidak lulus ujian maka semua guru
tidak bergembira
b. Jika ada anak tidak lulus ujian maka semua guru tidak
bergembira
c. Jika ada guru tidak bergembira maka semua anak
tidak lulus ujian
d. Semua anak tidak lulus ujian dan ada guru tidak
bergembira
e. Semua anak lulus ujian dan beberapa guru tidak
bergembira
5) Negasi dari pernyataan : “ Jika permintaan naik maka
harga naik ” adalah ....a.
b.
c.
d.
e.
Permintaan naik tetapi harga tidak naik
Permintaan naik dan harga naik
Permintaan naik atau harga tidak naik
Permintaan tidak naik tetapi harga naik
Permintaan tidak naik dan harga tidak naik
6) Negasi dari pernyataan : ” Permintaan terhadap suatu
produk tinggi dan harga barang naik ” adalah ....
a. Permintaan terhadap suatu produk tinggi
atau harga barang tidak naik
b. Permintaan terhadap suatu produk tidak
tinggi atau harga barang naik
c. Permintaan terhadap suatu produk tinggi
dan harga barang tidak naik
d. Permintaan terhadap suatu produk tidak
tinggi dan harga barang tidak naik
e. Permintaan terhadap suatu produk tidak
tinggi atau harga barang tidak naik
7) Ingkaran dari : ” beberapa siswa memakai kacamata
” adalah ....
a. beberapa siswa tidak memakai kacamata
b. semua siswa memakai kacamata
c. ada siswa tidak memakai kacamata
d. tidak benar semua siswa memakai
kacamata
e. semua siswa memakai kacamata
8) Dari argumentasi berikut :
Jika ibu tidak pergi maka adik senang.
Jika adik senang maka dia tersenyum.
Kesimpulan yang sah adalah …
a. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum
b. Ibu pergi dan adik tidak tidak tersenyum
c. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum
d. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum
e. Ibu pergi atau adik tersenyum
9) Diberikan premis – premis :
Premis ( 1 ) : p q
Premis ( 2 ) : q r
Premis ( 3 ) : r
Kesimpulan yang sah adalah ….a.
b.
c.
r
q
p
d.
e.
p
q
10) Diketahui premis – premis : ( UN 2010 )
P1 : Jika guru matematika tidak datang maka semua
siswa senang
P2 : Ada siswa yang tidak senang
Kesimpulan yang sah dari premis – premis di atas
adalah…
a. Guru matematika tidak datang
b. Semua siswa senang
c. Guru matematika senang
d. Guru matematika datang
e. Ada siswa yang tidak senang
11) Diketahui premis-premis: ( UN 2011 )
a. SBSB
b. BBBS
c. BSBB
d. BBBB
e. BBSS
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
(1) Jika semua warga negara membayar pajak, maka
banyak fasilitas umum dapat dibangun.
(2) Tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun.
Kesimpulan yang sah dari kedua premis di atas adalah … .
a. Semua warga negara tidak membayar pajak
b. Ada warga negara tidak membayar pajak
c. Semua warga negara membayar pajak
d. Semua warga negara membayar pajak dan tidak
banyak fasilitas umum dapat dibangun
e. Semua warga negara tidak membayar pajak atau
banyak fasilitas umum dapat dibangun.
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
A. Bentuk Pangkat
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4.
B. Bentuk Akar
1. Operasi penjumlahan dan pengurangan :
a.
b.
2. Operasi Perkalian
Contoh:
3. Operasi Pembagian
Contoh :
4. Merasionalkan Penyebut Bentuk akar :
( i ).
( ii ).
C. Konsep Logaritma
1. Definisi logaritma :
2. Sifat – sifat logaritma :
( i ).
( ii )
(iii).
(iv).
(vi).
(vii).
(viii). , karena
1. Jika a = 32 dan b = 27, maka nilai dari
adalah ....
a.
b.
c. 5
d. 6
e. 8
Penyelesaian :
( i ). ubah 32 dan 27 menjadi bilangan berpangkat, 32 = 25 ,
dan 27 = 33
( ii ). = ( C )
2. Bentuk sederhana dari adalah ....
a. b. c. d. e.
Penyelesaian :
( jawaban : C )
3. Nilai dari adalah ....
a. 2 b. 4 c. 7 d. 8 e. 11
Penyelesaian :
=
=
=
= (-2 ) + 6
= 4 . jadi jawabannya B.
bbb .
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
1. Bentuk sederhana dari
(6-2 a2)3 : ( 123 a3 )-2 adalah ....
b. 2-1 d. 26 a12
c. 2 e. 2-6 a-12
d. 2 a12
2. Diketahui m = 16 dan n
= 27. Nilai . = ...
a. –72 c. e. 72
b. d.
3. Bentuk sederhana dari
adalah ….
a. ( 2ab)4 d. ( 2ab)-1
b. ( 2ab)2 e. ( 2ab)-4
c. 2ab4. Bentuk sederhana dari
adalah ….
a. d.
b. e.
c.
5. Bentuk sederhana dari
adalah ....
a.
b.
c.
d.
e.
6. Hasil dari
= ....
a.
b.
c.
d.
e.
7. Bentuk
ekuivalen dengan ….a. d.
b. e.
c.
8. Hasil dari
adalah ….
a. -33
b. -23
c. -3
d. 3
e. 33
9. Bentuk sederhana
dari adalah ….
a.
b.
c.
d.
e.
10. Diketahui 2 log 3 = m,
dan 2 log 5 = n. Nilai 2 log 90 adalah ....
a. 2m + 2n
b. 1 + 2m + n
c. 1 + m2 + n
d. 2 + 2m + n
e. 2 + m2 + n
11. Diketahui 2log 3 = x,
dan 2log 5 = y maka 4log 45 adalah ....
a. (2x + y)
b. (x + y)
c.
d.
e.
12. Nilai dari
adalah …
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
a. 2 d. -1
b. 1 e. -2
c. 0
13. Nilai dari
adalah ….
a.
b.
c.
d.
e.
1
2
3
4
5
14. Jika
= ….
a.
b.
c.
d.
e.
15. Nilai dari
adalah ….
a.
b.
c.
d.
e.
1
2
3
4
5
16. Nilai dari
= ….( UN 2010 )
a. 1
b. 2
c. 3
d. 6
e. 36
17. Nilai dari
= …. ( UN 2011 )
a. -3
b. -1
c. 0
d. 2
e. 3
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
1. Bentuk umum fungsi kuadrat : f ( x )=ax2 + bx + c, a ≠ 0
2. Grafik fungsi kuadrat berupa parabola
3. Grafik fungsi kuadrat ditinjau dari tanda ( nilai ) a dan
D
( dengan D = b2 – 4.a.c )
Untuk a > 0/ a positif ( grafik selalu
terbuka ke atas ) ada 3 jenis :`
Untuk a < 0 ( grafik terbuka ke bawah )
4. Unsur – unsur grafik fungsi kuadrat :
Menentukan unsur – unsur grafik fungsi kuadrat jika
diketahui persamaan grafiknya ( y = a x2 + b x + c ) atau
diketahui gambarnya:
Untuk menentukan titik potong dengan sumbu X
:
Cari saja dua bilangan x1 dan x2 yang memenuhi
x1 + x2 =
maka titik potong dg sumbu X-nya adalah (x1 , 0 ) dan
( x2 , 0 )
Untuk menentukan persamaan sumbu simetri :
Gunakan rumus x = atau
x =
Untuk menentukan titik potong dengan sumbu Y
:
Lihat saja c nya pada persamaan tersebut.
Sebab titik potong dengan sumbu Y adalah ( 0, c )
Contoh : y = 3 x2 + 5x + 1 ; maka titik potong dengan
sumbu Y- nya adalah ( 0,1 )
Jika y = -2 x2 +3x – 4; maka titik potong dengan
sumbu Y-nya adalah ( 0, -4 )
Titik puncak/ titik balik
atau dapat di cari dengan xb =
atau subtitusikan xb ke persamaan,
sehingga menjadi
Dan ingat ( diskriminan )
1. Koordinat titik ekstrem kurva dengan
persamaan
y = x2 – 4x +9 adalah….
a. ( -2 , 21)
X
a>0D>0 a>0
D=0a>0D<0
Grafik terbuka ke atas dan memotong sumbu X di dua titik berbeda
Grafik terbuka ke atas dan
menyinggung sumbu X
Grafik terbuka ke atas dan
tidak memotong ataupun
menyinggung sumbu X
X X
Jadi a>0 membuat grafik terbuka ke atas, dan D menentukan keadaan grafik memotong atau menyinggung atau tidak sama
sekali terhadap sumbu X
X
YTitik puncak / titik
balik ( pada grafik di samping berupa titik balik maksimum )
Titik potong dg Sumbu X, di titik tersebut y = 0
Garis / Sumbu simetri( di tengah antara dua titik potong dg sumbu X )
Titik potong dengan sumbu Y, di titik tersebut x = 0
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
b. ( -2 , 9 )
c. ( 0 , 9)
d. ( 2 , 9 )
e. ( 2 , 5 )
Penyelesaian :
Jelas a = 1, b= -4, c = 9
Titik ekstrim = titik balik = titik puncak
( jadi untuk mencari yb dengan cara menggantikan x
dengan xb pada persamaan yang diketahui )
Jadi titik ekstrimnya : ( 2, 5 ) ( E )
2. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y =
3x2 + 7x – 6 dengan sumbu X adalah ....
a. dan d. dan
b. dan e. dan
c. dan
Penyelesaian :
( i ). Titik potong dengan sumbu X, jelas y-nya / yang
dibelakang harus 0, jadi pilihan E jelas salah.
( ii ). Kemudian cari dua bilangan di posisi x yang jumlahnya =
= , maka jawabannya ( A ) sebab
1. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat
yang persamaannya y = (x – 6)(x + 2) adalah ....( UN 2010 )
a. (–2, 0)
b. (–1, –7)
c. (1, –15)
d. (2, –16)
e. (3, –24)
2. Koordinat titik potong kurva y = x2 – 2x – 8
dengan sumbu X adalah ….
a. (-4 , 0) dan ( -2 , 0)
b. (-4 , 0) dan ( 2 , 0)
c. (-2 , 0) dan (4 , 0)
d. (2 , 0) dan ( 4 , 0)
e. (2 , 0) dan (8 , 0)
3. Koordinat titik puncak dari grafik y = x –
6x + 5 adalah ....
a. (6, 5) d. ( – 3,32)
b. (3, – 4) e. ( – 6,5)
c. (3, – 14)
4. Nilai minimum fungsi kuadrat f( x ) = 2x2 –
2x + 6 adalah ....
a. b. c. d. e.
5. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat
dengan sumbu X dan sumbu Y adalah …
.( UN 2010 )
a. (-1,0), , dan (0,2)
b. , (1,0), dan (0, -2)
c. , (1,0), dan
d. , (-1,0), dan (0, -1)
e. , (1,0), dan (0, 3)
6. Persamaan sumbu simetri grafik fungsi
kuadrat
y = 5x2 -20x + 1 adalah ....( UN 2011 )
a. x = 4
b. x = 2
c. x = -2
d. x = -3
e. x = -4
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
21
y =f(x)
6
Ini artinya titik potong dg sumbu Y; yaitu ( 0,6 )
y = x2 – 3x + 2
y = x2 + 3x + 2y = 3x2 + 9x + 6
y = 3x2 – 9x + 6
y = -3x2 + 9x + 6
X
Y
Menyusun Persamaan Grafik Fungsi
Kuadrat
1. Jika diketahui titik – titk potong dengan sumbu X ( ( x1 , 0 )
dan ( x2 , 0 ) diketahui )
Persamaannya :
Cara singkatnya : y = x2 – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2 , kemudian
disesuaikan ( lihat contoh )
2. Jika diketahui koordinat titik puncak / titik balik (( xb , yb )
diketahui )
Persamaannya :
1. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah ….
= -3x2 + 9x + 6
Penyelesaian :
Jelas x1 = 1 dan x2 = 2 dan memotong sumbu Y di titik ( 0, 6 )
Cara Biasa :
Y = a ( x – 1 ) . ( x – 2 )
Y = a ( x2 -3x + 2 )
Grafik memotong sumbu Y di titk ( 0, 6 ),
Artinya untuk x = 0, y = 6, maka : 6 = a ( 02 – 3.0 + 2 )
6 = a.2
2a = 6
a = 3
Jadi Persamann fungsinya adalah :
Y = 3. ( x2 -3x + 2 )
Y = 3 x2 -9x + 6 ( pilihan D )
Cara singkat :
susun saja bentuk y = x2 – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2
y = x2 – 3 x + 2 ( berarti a=1, b=-3, c=2 )
kemudian lihat bahwa grafik memotong sumbu y di ( 0,6 ),
maka c harus 6, padahal :
pada y = x2 – 3 x + 2, c = 2 sehingga agar 2 jadi 6 kalikan saja
dengan 3. maka hasilnya :
y = 3. (x2 – 3 x + 2)
y = 3x2 – 9 x + 6 ( jawaban D ).
2. Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai titik ekstrim
(–1, 4) dan melalui titik (0, 3) adalah ....( UN 2010 )
a. y = –x2 + 2x – 3
b. y = –x2 + 2x + 3
c. y = – x 2 – 2 x + 3
d. y = –x2 – 2x – 5
e. y = –x2 – 2x + 5
Penyelesaian :
Jelas xb = -1, yb = 4, dan grafik melalui titik ( 0,3 )
Cara Biasa
Grafik melalui ( 0,3 ) berarti untuk x = 0, y = 3 , maka :
3 = a ( 0 +1 )2 + 4
3 = a .1 + 4
3 = a + 4
Maka a = -1, sehingga persamaannya : y = -1.(x+1)2 +4
Y = -1.(x2 +2x+1)+4
Y = -x2 -2x-1+4
Y = -x2 -2x +3 ( C )
Cara singkat :
Jelas bahwa grafik melalui titik ( 0,3 ) ini tidak lain titik
potong dengan sumbu Y, berarti c=3, sehingga pilihan yang
mungkin adalah B dan C.
Jelas xb = -1, padahal xb = ,
x1 + x2 = 2 xb = 2.(-1)=-2
dan kita punya bahwa x1 + x2 = , maka antara pilihan B
dan C pilih saja yang nilai = -2.
Jadi jawabannya C.
Kesimpulan dari cara singkat adalah : pilih saja pilihan yang
memenuhi = 2xb.
1. Persamaan grafik fungsi kuadrat dibawah ini adalah ....
a. y = –2x2 + 4x +
3 b. y = –2x2 + 2x +
3c. y = –x2 – 2x + 3d. y = –x2 + 2x – 3e. y = –x2 + 2x + 3
3
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
-8
2. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah ….
(0,-3)
3. Persamaan grafik di bawah ini adalah ….
4. Persamaan grafik fungsi di bawah ini adalah …
–2 4
5. Persamaan grafik fungsi pada gambar di bawah ini adalah
....
( petunjuk : grafik menyinggung sumbu X, berarti x1 = x2
=2 atau pakai titik puncak )
6. Persamaan grafik fungsi kuadarat yang memotong sumbu
X di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik ( -1,-16)adalah …
.
a.
b.
c.
d.
e. ( UN 2011 )
Akar-Akar Persamaan Kuadrat
1. Bentuk umum Persamaan kuadrat :
2. Menentukan akar akar persamaan kuadrat
Cara Biasa : - Faktorisasi
- Melengkapkan kuadrat sempurna
- Rumus abc
Cara Singkat : ( jika memungkinkan )
Pakai saja rumus jumlah dan hasil kali akar – akar
persamaan kuadrat
Dengan maksud : cari saja dua bilangan ( dan )
yang memenuhi rumus jumlah dan hasil kali tersebut.
Catatan : biasanya cukup dicari/ dipilih saja dua bilangan
( dan ) yang memenuhi .
3. Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat
Jika dan akar – akar persamaan kuadrat
maka berlaku :
4. Persamaan yang sering digunakan terkait jumlah
dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat :
-1 3
x
y
o(1,-2)
a. y = x2 +3b. y = x2 -3c. y = -x2
+3d. y = x2 -
2x -3
9
5
Y = f(x)
2X
Y a. y = -x2 + 4x +
5
b. y = -x2 - 4x +
5
c. y = -2x2 + x +
5
d. y = -2x2 - x +
a. y = –x2 + 2x – 8
b. y = –x2 + 2x + 8
c. y = –x2 – 2x + 8
d. y = –x2 – 2x – 8
a.
b.
c.
d.
e.
denganm + n = b; dan m.n = a.c
2
2
Y
X
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Catatan : akar persamaan kuadrat tidak selalu dinyatakan
dalam dan , kadang dinyatakan dalam α dan β, p dan
q, dsb.
5. Menyusun Persamaan Kuadrat ( PK )
Kasus 1 :
Jika diketahui akar – akarnya ( x1 dan x2 )
Maka Cara penyelesaiannya :
Cara I : pakai pola
Cara II : pakai pola
Kasus 2 :
Jika akar – akar persamaan kuadrat yang akan disusun
berhubungan dengan akar – akar persamaan kuadrat yang
lain
Maka Cara penyelesaiannya :
Dengan mengubah bentuk dari akar – akar tersebut agar
dapat disubtitusi ke persamaan kuadrat yang lain
Secara lengkapnya perhatikan uraian berikut :
Jika Diketahui persamaan kuadrat ax2 + bx + c =0, memiliki
akar – akar α dan β, maka :
( i ). Untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang
memiliki akar – akar dan ,Caranya :
Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0 dengan , sehingga
diperoleh PK baru :
dan seterusnya...
( kali masuk jadi bagi )
( ii ). Untuk menyusun PK baru yang akar – akarnya dan
, Caranya :
Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0 dengan , sehingga
diperoleh PK baru :
a( kx )2 +b.kx + c = 0 , dan seterusnya ...
( bagi masuk jadi kali )
( iii ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya
dan , Caranya :
Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0 dengan ,
sehingga diperoleh PK baru :
a(x – k)2 + b.(x - k) + c = 0, dan seterusnya ...
( + masuk jadi - )
( iv ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya
dan , Caranya :
Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0 dengan ,
sehingga diperoleh PK baru :
a(x + k)2 + b.(x + k) + c = 0, dan seterusnya ...
( - masuk jadi + )
Catatan : cara ini dipakai untuk kasus PK baru yang
bentuk akar- akarnya simetris ( x1 dan x2 serupa ),dan
tidak berlaku untuk akar – akar yang bentuknya tidak
simetris ( misalkan akan disusun PK baru yang akar –
akarnya dan )
1. Akar – akar persamaan kuadrat 5x2 – 6x - 8 = 0
adalah ....
a. dan -2
b. dan -2
c. dan 2
d. - dan 2
e. dan 2
Penyelesaian :
Cara Singkat :
Jelas : Nilai , maka pilih saja pada
pilihan tersebut yang jika dijumlahkan nilainya .
Sehingga jawabannya D, karena - + 2 =
2. Persamaan kuadrat 4x2 + 3x + 6 = 0 mempunyai akar –
akar dan . Nilai 2 + 2 = ....
a. d.
b. e.
c.
Penyelesaian :
Jelas 2 + 2 = ( α + β )2 – 2.αβ
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
=
=
= ( jawaban : B )
3. Akar – akar persamaan kuadrat x2 – 3x + 1 = 0 adalah
α dan β . Persamaan kuadrat baru yang akar –
akarnya 3α dan 3β adalah ....a.
b.
c.
d.
e.
x2 + 3x + 3 =0
x2 - 3x + 3 =0
x2 + 3x - 3 =0
x2 - 9x + 3 =0
x2 - 9x + 9 =0
Penyelesaian :
Ganti saja x pada persamaan x2 – 3x + 1 = 0 dengan , maka
Persamaan kuadratnya adalah :
( x 9 )
( E )
1. Akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 9x + 7 = 0
adalah ....
a. 1 dan 7
b. dan 7
c. 1 dan
d. -1 dan -
e. -1 dan -7
2. Akar-akar persamaan kuadrat x2 –3x + 2 = 0 adalah A
dan B, dengan A > B. Nilai A + 2B adalah ....
a. –5 d. 4
b. –4 e. 5
c. –1
3. Akar-akar dari 2x2 – 3x – 9 = 0 adalah x1 dan x2.
Nilai dari x12 + x2
2 = ....
a. d.
b. e.
c.
4. Akar – akar persamaan kuadrat 3 x2 – 4 x + 2 = 0
adalah α dan β. Nilai dari ( α + β )2 - 2αβ = ....
a. d.
b. 1 e. 0
c.
5. Diketahui akar- akar persamaan kuadrat 2x2 – 7x – 6
= 0 adalah x1 dan x2. Nilai adalah ….( UN 2010 )
a. -3
b.
c.
d.
e.
6. Persamaan kuadrat 3x2 – x + 2 = 0 mempunyai akar
– akar dan . Nilai ( + )2 + 2 = ....
a. d.
b. e. 2
c.
7. Persamaan kuadrat 2x2 + 3x + 6 = 0 mempunyai akar
– akar dan . Nilai 2 + 2 = ....
a.
b.
c.
d.
e.
8. Akar-akar persamaan kuadrat
adalah dan . Nilai dari =….
a. –4
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
b. –2
c. –1
d. 4
e. 5
9. Persamaan kuadrat x2 - 3x – 2 = 0 mempunyai akar-
akar x1 dan x2. Nilai dari x12 x2+ x1.x2
2 = ....
a. d.
b. e. 6.
c. 3
10. Akar – akar persamaan kuadrat x2 – 3x + 1 = 0adalah
x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 2x1
dan 2x2 adalah ....a.
b.
c.
d.
e.
x2 + 3x + 3 =0
x2 - 3x + 3 =0
x2 + 3x - 3 =0
x2 + 6x + 4 =0
x2 - 6x + 4 =0
11. Akar – akar persamaan kuadrat 2x2 + x + 6 = 0 adalah
dan . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya
adalah ....
a.
b.
c.
d.
e.
6x2 + x + 2 =0
6x2 + x + 3 =0
18x2 - 3x + 6 =0
18x2 + 2x - 6 =0
18x2 + 2x + 6 =0
12. Akar – akar persamaan kuadrat x2 – 3x + 1 = 0 adalah
x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 3x1
dan 3x2 adalah ....a.
b.
c.
d.
e.
x2 + 3x + 3 =0
x2 - 3x + 3 =0
x2 + 3x - 3 =0
x2 - 9x + 3 =0
x2 - 9x + 9 =0
13. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 3x2 - x + 9 = 0,
maka nilai = ….( UN 2011 )
a.
b.
c.
d.
e.
14. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 - 13x – 7 = 0
adalah x1 dan x2. Jika x2 > x1, maka nilai 2x1 + 3x2 = ….( UN
2011 )
a. -12,5
b. -7,5
c. 12,5
d. 20
e. 22
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
1. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
dengan a ≠ 0
2. Menentukan pembuat nol ( x1 dan x2 )
Untuk menentukan x1 dan x2 , caranya : Cari / pilih saja dua
bilangan yang memenuhi
3. Menentukan daerah penyelesaian
Pakai saja metode : SSBT ( Sama → Samping, Beda →
Tengah ) , dengan maksud jika tanda dari a dan tanda
pertidaksamaan itu Sama maka daerah penyelesaiannya
daerah Samping dari pembuat nol , dan jika tanda antara a
dan tanda pertidaksamaan Beda maka daerah
penyelesaiannya adalah daerah Tengah antara pembuat
nol.
Apabila tanda pertidaksamaan mengandung sama dengan,
maka penyelesaiannya juga mengandung tanda sama
dengan, dan sebaliknya.
1. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 3 - 2x -
x2 < 0 adalah ....
a.
b.
c. .
d. .
e.
Penyelesaian :
Jelas a = -1, b = -2, dan c = 3, maka nilai ,
sehingga pembuat nolnya adalah -3 dan 1 ( sebab -3+1 = -2 ).
Maka sudah pasti jawaban yang mungkin hanya D.
2. Himpunan penyelesaian dari adalah ….
a.
b.
c.
d.
e.
Penyelesaian :
Jelas a = 1, b = 5, maka nilai , sehingga
pembuat nolnya adalah -6 dan 1, kemudian pada soal tanda
pertidaksamaan tidak mengandung sama dengan , dan a
positif sedangakan pertidaksamaannya kurang dari nol ( < 0 )
/ negatif, berarti a dan tanda pertidaksamaan Beda tanda
maka daerah penyelesaiannya daerah Tengah antara -6 dan
1 .
Jadi jawabannya A.
3. Himpunan penyelesaian dari adalah . .
a.
b.
c.
d.
e.
Penyelesaian :
Jelas soal serupa dengan soal no. 2, hanya berbeda tanda
pertidaksamaannya, yaitu ada tanda sama dengan dan
bertanda positif ( ≥0 ), berarti antara a dan tanda
pertidaksamaan Sama tanda, maka daerah penyelesaiannya
daerah Samping. Jadi jawabannya E.
1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat
2x2+5x 12 adalah....
a. {x | -4 x }
b. {x| - x 4}
c. {x| -3 x 1}
d. {x| x -3 atau x 1}
e. {x| x -4 atau x }
2. Penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat 2x2-11x -
12 adalah....
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
a. -4 x -
b. x 4
c. -4 x
d. x atau x 4
e. x 2 atau x 3
3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
adalah....
a. │ atau
b. │ atau
c. │ atau
d. │
e. │
( petunjuk : ubah dulu bentuknya agar jelas a dan b –nya )
4. Penyelesaian dari x ( 2x + 5 ) ≤ 12 adalah ....
a. x ≤ -4 atau x ≥
b. x ≤ atau x ≥ 4
c. -4 ≤ x ≤ -
d. - ≤ x ≤ 4
e. -4 ≤ x ≤
5. Himpunan penyelesaian dari x2 – 10x + 21 < 0, xЄ R
adalah ….
a. │ atau
b. │ atau
c. │
d. │
e. │ ( UN 2010 )
6. Himpunan penyelesaian dari -2x2 + 11x -5 0, xЄ R
adalah …. ( UN 2011 )
a. │ atau
b. │ atau
c. │
d. │
e. │
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Menentukan fungsi komposisi
Misalkan f ( x ) dan g ( x ) dan h ( x ) adalah fungsi – fungsi yang
terdefinisi dalam himpunan bilangan real. Rf ∩ Dg ≠ Ф, dan Rg ∩
Df ≠ Ф serta Rg ∩ Dh ≠ Ф, maka berlaku :
1. {f ο g}(x) = f(x) ο g(x) =
2. {g ο f}(x) = g(x) ο f(x) =
3. { f ο g ο h}(x) = f(x) ο
g(x) ο h(x) =
1. Diketahui fungsi f : R R dan g : R R dengan
dan Rumus (gof)(x)
= . . . .
a. 3x2 + 3x – 6
b. 6x2 + 2x – 13
c. 12x2 + 6x – 5
d. 12x2 + 14x – 3
e. 12x2 + 12x – 3
Penyelesaian :
Jelas , dan maka :
( jawaban D )
Catatan : g (2x+1 ) berarti mengganti x pada g(x) dengan 2x+1
2. Jika f(x) = x2 +2, maka f (x+1) = ....
a. x2 + 2x + 3
b. x2 + x + 3
c. x2 + 4x + 3
d. x2 + 3
e. x2 + 4
Penyelesaian :
Jelas , maka :
( jawaban A )
Catatan : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
1. Diketahui f : R R, g : R R , f (x) = 3 - x2 dan
g(x) = 2x - 1, rumus komposisi (fog)(x) =....
a. 7 – 4x - 8x2
b. 2 + 4x - 4x2.
c. 8 – 7x - 4x2
d. 2 – 4x - 6x2
e. 2 + 4x - 6x2
2. Diketahui f : R R, g : R R , f (x) = 3x + 4 dan
g(x) = 2 + x2, komposisi (gof)(x) =....
a. 9x2 + 24x + 18
b. 4x2 + 4x +1
c. 6x2 – 20x + 18
d. 6x2 + 4x -18
e. 9x2 + 24x -16.
3. Diketahui fungsi f : R R dan g : R R dengan
dan . Rumus (gof)(x)
adalah . . . .
a. x2 – 6x + 5
b. x2 – 6x – 3
c. x2 – 2x + 6
d. x2 – 2x + 2
e. x2 – 2x – 5
4. Diketahui fungsi f(x)_ = 2x + 1 dan g(x) = x2 – 3x + 5,
maka (gof)(x)= ....
a. 4x2 – 2x + 3
b. 4x2 – 6x + 3
c. 4x2 – 2x + 9
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
d. 2x2 -6x + 6
e. 2x2 – 2x + 5
5. Fungsi f: R R dan g : R R , jika fungsi f(x)=x-2 dan g(x)=
2x2+3x+4 maka (gof)(x)=....
a. x2-5x+12
b. x2-5x+6
c. x2-11x+6
d. 2x2+3x+6
e. 2x2-5x+6
6. Diketahui fungsi f : R → R dan g : R → R yang dinyatakan
dengan f(x) = x2 – 3x – 5 dan g(x) = x – 2. Komposisi dari
kedua fungsi (f o g) (x) = ....
a. x2 – 3x + 5
b. x2 – 7x + 5
c. x2 + x – 7
d. x2 – 3x – 3
e. x2 – 3x – 7
7. Jika fungsi f : R → R dan g : R → R yang dinyatakan dengan
f(x) = 4x – 2dan g(x) = x2 + 8x – 2, maka (g o f) (x) = ....
a. 8x2 + 16x – 4
b. 8x2 + 16x + 4
c. 16x2 + 8x – 4
d. 16x2 - 16x + 4
e. 16x2 + 16x + 4 ( UN 2010 )
Menentukan fungsi invers
1. Definisi :
Jika yang dinyatakan dengan pasangan terurut
maka invers adalah
yang dinyatakan dengan
2. Cara menentukan fungsi invers :
Bentuk I :
f(x) = ax + b, maka
Contoh : f(x) = -2x + 5, maka
Bentuk II :
f(x) = ax - b, makaabxxf
)(1
Contoh : f(x) = 3x – 6, maka
Catatan : a berupa konstanta/ bilangan baik positif
maupun negatif
Bentuk III :
f(x) = , dengan x ≠ maka ,
dengan x ≠
secara mudah kita katakan : “ tukar saja a dan d
sekaligus ubah tandanya “
catatan : a adalah koefisien dari x yang berada di atas,
dan d adalah konstanta ( bukan koefisiaen x ) yang
berada di bawah ( Ingat ! : a harus yang nempel pada
x di bagian atas )
Contoh :
f(x) = , dengan x ≠ 2 , maka ,
dengan x ≠
Paket Soal 10 :
1. Diketahui f(x) = dan f-1(x)
adalah invers dari f (x), maka f-1(x) = ....
a.
b. .
c.
d.
e.
2. Diketahui f(x) = dan f-
1(x) adalah invers dari f (x), maka f-1(x) = ....
a.
b. .
c.
d.
+ jadi -
Kali a jadi bagi a
Kali a jadi bagi a
- jadi +
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
e.
3. Diketahui fungsi f ditentukan oleh
dan adalah fungsi invers dari
f, maka =….
a.
b.
c.
d.
e.
4. Funsi invers dari f(x) = , x - ,
adalah ....
a. , x
b. , x
c. , x
d. , x
e. , x -
5. Diketahu f-1(x) invers dari f(x) = , x
maka f-1(x) =....
a. , x 2
b. , x 2
c. , x
d. , x -2
e. , x
6. Diketahu f-1(x) invers dari f(x) = , x
maka f-1(x) =....
a.
b. .
c.
d.
e.
7. Funsi invers dari f(x) = , x - ,
adalah ....
a. , x
b. , x
c. , x
d. , x
e. , x ( UN 2010 )
8. Diketahu f-1(x) invers dari f(x) =
, maka f-1(x) =.... ( UN 2011 )
a.
b.
c.
d.
e.
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
1. Bentuk umum SPLDV :
2. Cara menentukan himpunan penyelesaian ( HP :
) :
a. Eliminasi dan subtitusi
b. Menggunakan invers matriks, dengan konsep :
Catatan : jika dinyatakan dalam
matriks maka menjadi :
c. Menggunakan Determinan Matriks :
, maka :
dan ; dengan
d. Cara Tebak Saja/ di kira – kira bilangan yang
cocok.
1. Himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan , adalah ....
a. { - 2,-1 }
b. { - 2,1 }
c. { -1,-2 }
d. { -1,-2 }
e. {2,1}
Penyelesaian :
Jelas jawabannya B { - 2, 1 }, sebab jika disubtitusikan/
digantikan ke dalam x dan y, maka memenuhi kedua
persamaan tersebut.
3.(-2) – 1 = -6 – 1 = -7, dan
2.(-2) + 3.1 = -4 + 3 = -1
2. Diketahui sistem persamaan;
jika x dan y penyelesaian dari sistem persamaan diatas
maka nilai x2 - y2 adalah....
a. -2 d. 3.
b. -1 e. 5
c. 2
Penyelesaian :
dapat diubah menjadi
Tebak saja : 4 + 3 = 7, berarti x = 2 dan y = -1, di cek untuk
persamaan kedua : 5. 2 + 2.(-1) = 10 – 2 = 8 Cocok.
Jadi x = 2, dan y = -1, sehingga nilai x2 – y2 = 22 – ( -1 )2 =4-1 = 3
.
Jadi jawabannya D.
Catatan : jika jawaban sulit ditebak, silahkan Anda
menempuh cara lain.
1. Himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan , adalah ....
a. { - 4, 3 }
b. { - 4, - 3 }
c. { 4, - 3 }
d. { 3, - 4 }
e. { -3, 4 }
2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan
linier adalah ….
A X = B
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
a.
b.
c.
d.
e.
3. Himpunan penyelesaian sistem persamaan
linier , adalah ….
a.
b.
c.
d.
e.
4. Himpunan penyelesaian dari
adalah . Nilai
a.
b.
c.
d.
e.
7
8
26
29
104
5. Diketahui sistim persamaan;
jika x dan y penyelesaian dari sistim persamaan diatas
maka nilai 2(x + y) adalah....
a. -2
b. 6
c. -4
d. 8
e. 2
6. Himpunan penyelesaian dari
adalah . Nilai
a.
b.
c.
d.
104
29
26
8
e. 7
7. Jika x dan y memenuhi sistem persamaan:
adalah .
Nilai x + y sama dengan ….a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
8. Diketahui sistem persamaan linier :
Nilai dari x-y = ....
a. -5
b. -1
c. 1
d. 5
e. 6
9. Penyelesaian dari
adalah x = a dan y = b , nilai ( a – b ) 2 = ....
a. 4
b. 9
c. 25
d. 64
e. 121
10. impunan penyelesaian dari
adalah . Nilai
( UN 2010 )
a. 6
b. 3
c. – 2
d. – 3
e. – 6
11. Nilai x yang memnuhi sistem persamaan
adalah .... ( UN 2011/ petunjuk :
dimisalkan )
a.
b.
c.
d.
e.
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Menyelesaikan soal cerita SPLDV
1. Mengubah hal – hal yang diketahui dalam soal cerita ke
dalam bentuk operasional, yaitu ke dalam bentuk Sistem
persamaan linear dua variabel
2. Menyelesaikan SPLDV seperti pada Kisi 10
Contoh Soal :
Harga delapan buah manggis dan dua semangka adalah
Rp 17.000,00, sedangkan harga enam buah manggis
dan empat buah semangka adalah Rp 19.000,00. Jika
Andi ingin membeli enam buah manggis dan enam
buah semangka, maka ia harus membayar ….a.
b.
c.
d.
e.
Rp 14.000,00
Rp 16.500,00
Rp 19.000,00
Rp 23.500,00
Rp 24.000,00
Penyelesaian :
Misalkan : x = harga sebuah Manggis
y = harga sebuah Semangka, maka permasalahan
pada soal tersebut dapat diubah dalam bentuk :
dan yang ditanyakan adalah nilai dari :
untuk mencari nilai x dan y dapat kita tebak , langkahnya :
( i ). Jelas harga Sebuah manggis lebih murah dibanding
sebuah semangka
( ii ). Cermati angka pada hasil yaitu 17.000 dan 19.000, maka
nilai x dan y akan berupa bilangan yang mengandung
ratusan, coba saja nilai x = 1.500,
dan y = 2.500
( iii ). Cek : 8x1.500+2x2.500 = 12.000 + 5.000 = 17.000
6x1.500+4x2.500 = 9.000 + 10.000 = 19.000
Tepat.
maka nilai
Jadi jawabannya E. Rp. 24.000 ( jika mengalami kesulitan
gunakan cara lain )
Paket Soal 12 :
1. Angga dan Bona membeli pensil dan Karet penghapus.
Angga membayar Rp.9.500,- untuk 4 buah pensil dan 2
buah Karet penghapus. Bona harus membayar
Rp.9.000,- untuk 3 buah pensil dan 3 buah Karet
penghapus. Yang harus dibayar Cantik kalau membeli 2
buah pensil dan 1 buah Karet penghapus. adalah ....
a. Rp 4.500,-
b. Rp 4.700,-
c. Rp 4.750,-
d. Rp 4.800,-
e. Rp 4.850,-
2. Sinta membeli 3 buku dan 4 penggaris maka ia
membayar Rp.10.250,- Ratih harus membayar
Rp.9.750,- untuk 2 buku dan 5 penggaris. Deby membeli
4 buku dan 2 penggaris, yang harus dibayar adalah ....
a. Rp 9.500,-
b. Rp 9.700,-
c. Rp 9.750,-
d. Rp 9.800,-
e. Rp 9.850,-
3. Ibu Rita membelanjakan uangnya sebesar Rp26.000,00
ditoko untuk membeli 3 kg gula dan 2 kg terigu. Ibu
Siska membelanjakan Rp32.000,00 untuk membeli 4 kg
gula dan 2 kg terigu. Ditoko yang sama Bu Retno
membeli 1 kg gula dan 2 kg terigu, ia harus
membayar ....
a. Rp20.000,00
b. Rp16.000,00
c. Rp14.000,00
d. Rp12.000,00
e. Rp10.000,00
4. Pada suatu toko kue. Ibu Ani membeli 8 buah kue A dan
10 buah kue B. dengan harga Rp.40.000,00 dan Ibu
Berta membeli 12 buah kue A dan 8 buah kue B. dengan
harga Rp.46.000,00. Uang yang harus dibayarkan oleh
Ibu Lita jika ia membeli 50 buah kue A dan 50 buah kue
B untuk suatu pertemuan adalah .......
a. Rp.125.000,00
b. Rp.150.000,00
c. Rp.175.000,00
d. Rp.200.000,00
e. Rp.225.000,00
5. Pada suatu toko buku dan alat tulis. Adi membeli 4 buku
tulis dan 3 pensil dengan harga Rp.9.750,00 dan dan
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Budi membeli 2 buku tulis dan sebuah pensil dengan
harga Rp.4.250,00 Dita membeli 5 buku dan 2 pensil,
maka banyaknya uang yang dibayarkan Dita adalah .......
a. Rp.9.000,00
b. Rp.9.500,00
c. Rp.10.000,00
d. Rp.11.500,00
e. Rp.12.000,00
6. Harga 3 kg beras dan 2 kg gula di Toko A adalah Rp.
17.000,00, sedangkan di Toko B harga 4 kg beras dan 5 kg
gula adalah Rp. 32.000,00. Pada saat itu harga beras dan
gula di Toko A dan B adalah sama. Jika Ani membeli 1 kg
beras dan kg gula maka harga yang dibayar adalah ....
a. Rp 3.000,00
b. Rp 4.000,00
c. Rp 5.000,00
d. Rp 5.500,00
e. Rp 6.000,00
7. Bu Ana membayar Rp.39.000,- untuk membeli 3 kg jeruk
dan 2 kg apel. Pada tempat yang sama Bu Ani membayar
Rp.59.000,- untuk membeli 2 kg jeruk dan 5 kg apel. Harga
1 kg jeruk adalah ….( UN 2010 )
a. Rp6.500,-
b. Rp7.000,-
c. Rp7.500,-
d. Rp9.000,-
e. Rp11.000,-
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
1. Dalam permasalahan program linear dikenal
dua istilah , yaitu :
a. Fungsi Kendala/ pembatas,
berupa pertidaksamaan – pertidaksamaan linear
b. Fungsi/ bentuk objektif,
berupa fungsi linear
2. Terkait bentuk objektif, biasanya yang dicari
adalah memaksimalkan atau meminimalkan nilai
yang secara singkat disebut mengoptimalkan
3. Langkah dalam menentukan nilai optimum
adalah :
a. gambar garis dari semua fungsi kendala yang ada
( jika persamaan garis belum ada maka harus dicari
dahulu )
b. tentukan daerah penyelesaian yang memenuhi syarat
fungsi kendala ( jika belum ada )
c. tentukan titik – titik fisible, yaitu titik sudut dari
daerah penyelesaian ( jika belum ada )
d. periksa nilai bentuk objektif pada titik –
titik fisible tersebut
Catatan :
Untuk memeriksa nilai Z pada titik – titik fisible,
jangan diperiksa semua, pilih saja sesuai permintaan,
dengan asumsi :
( i ). Jika pada nilai dan masalahnya
adalah memaksimalkan, maka periksa saja titik –
titik yang nilai x-nya besar, dan sebaliknya jika
masalahnya meminimalkan maka periksa saja
nilai Z dari titik – titik yang nilai x-nya kecil
( ii ). Jika pada nilai dan masalahnya
adalah memaksimalkan, maka periksa saja titik –
titik yang nilai y-nya besar, dan sebaliknya jika
masalahnya meminimalkan maka periksa saja
nilai Z dari titik – titik yang nilai y-nya kecil
e. pilih nilai Z yang sesuai dengan permintaan ( yang
paling besar/ maksimal atau yang paling kecil /
minimal )
1. Pada gambar di bawah, daerah yang diarsir
merupakan grafik himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari bentuk
obyektif 5x + y dengan x, y C himpunan penyelesaian
itu adalah
a. 21 (1,5)
b. 24 (4,4)
c. 26 (0,2)
d. 27
e. 30 (2,0)
Penyelesaian :
Jelas z = 5x + y, ditanya Zmaks = ... ?
dan
Jelas a = 5, b = 1, maka pilih saja titik yang x – nya besar
yaitu titik ( 4, 4) dan ( 5,1 )
Z ( 4,4 ) = 5.4 + 4 = 20 + 4 = 24
Z ( 5,1 ) = 5.5 + 1 = 25 + 1 = 26
Jadi Zmaks = 26 ( jawaban C )
2. Daerah yang diarsir pada gambar
merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem
pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari f (x, y) = 5x +
6y adalah ....
Penyelesaian :
Jelas Z = 5x + 6y, ditanya Zmaks = ....
Jelas bahwa antara a ( koefisien variabel x ) dan b
( koefisien variabel y ) perbedaannya tidak terlalu besar,
maka nanti yang akan memberi nilai maksimum adalah
(5,1)
Cara Menentukan Persamaan garis :Jika titik potong dg sb-Xnya ( p,0 ) dan titik potong dg sb-Ynya ( 0,q ); maka persamaan garisnya adalah :q x + p y = p.q( untuk ruas kiri hanya saling tukar saja, dan untuk ruas kanan kalikan saja )
a. 18b. 20c. 27d. 28e. 45
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
titik yang x dan y-nya sama – sama besar, maka pasti titik
potong kedua garis tersebut.
Sayangnya titik potong belum diketahui, maka harus dicari,
dan untuk mencari titik potong perlu persamaan garisnya.
( i ) buat persamaan garis :
Garis yang memotong sb-X di titik ( 5,0 ), dan sb- Y di
titik ( 0,5 ) adalah :
5x + 5y = 5.5 ( bagi dg 5 )
x + y = 5
Garis yang memotong sb-X di titik ( 6,0 ), dan sb- Y di
titik ( 0,4 ) adalah :
4x + 6y = 4.6 ( bagi dg 2 )
2x + 3y = 12
( ii ) titik potong kedua garis dapat kita
tebak yaitu : ( 3,2 ) ( ingat ! SPLDV )
Jadi Zmaks = 5.3 + 6.2 = 15 + 12 = 27 ( jawaban C )
3. Daerah penyelesaian sistem
pertidaksaan linier 3x + 5y ≥ 15, 2x + y ≥ 6, x ≥ 0, y
≥ 0 yang ditunjukkan gambar berikut adalah ....
Penyelesaian :
Jelas jawabannya adalah A karena 3x + 5y ≥ 15 dan 2x + y
≥ 6
( tandanya semuanya ≥ ), maka daerah penyelesaiannya
yang berada di atas kanan ( daerah I )
1. Untuk daerah penyelesaian yang diarsir pada gambar
berikut nilai maksimum dari fungsi obyektif f(x,y) = 5x + 4y
adalah ….
2. Untuk daerah yang diarsir pada gambar berikut , nilai
minimum dari fungsi obyektif f(x,y) = 5x + 4y adalah ….
3. Nilai maksimum f ( x , y ) = 15x + 20y, dari daerah
yang diarsir pada gambar disamping, adalah…
4. Nilai maksimum fungsi objektif
untuk himpunan penyelesaian seperti pada grafik di
bawah ini adalah ....
5. Diketahui sistem pertidaksamaan linear 2x + y ≤
6,5x + 6y ≤ 30, x + y ≤ 6, x ≥0, y ≥ 0, x, y R. Daerah
himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem
pertidaksamaan linear tersebut adalah ....
6. Perhatikan gambar ! ( UN 2011 )
Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 3x + 2y dari daerah
yang diarsir pada gambar adalah ….
a. 4
b. 6
c. 7
d. 8
e. 9
a. 14b. 16c. 20d. 23e. 26
a. 14b. 16c. 20d. 23e. 26
a. 165
b.150
c. 140
d.90
e. 60
(0,1)
(2,5)
(6,4)
(4,1)
(2,0) X
Y a. 50b. 22c. 18d. 17e. 7a. I
b. IIc. IIId. IVe. II dan IV
6 12 X
7
12
Y
IIIIIIIVV
6
5
X
6
3
IIIII
IIV V
Y
4
4
X
Y
6
8
4
2 3
3
X
Y
Y
X
8
4
64
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Merancang atau menyelesaikan model matematika dari
masalah program linear
Dalam Kisi ini ada 2 hal yang difokuskan :
a. Merancang model, dan
b. Menyelesaikan model
1. Menyusun model matematika dari fungsi kendala yang
berupa pertidaksamaan – pertidaksamaan linear dan
fungsi objektif
2. Menggambar / memilih gambar daerah penyelesaian
3. Menentukan nilai optimum ( maksimum/ minimum ) dari
fungsi objektif yang telah disusun
1. Pedagang sepatu mempunyai kios yang hanya cukup
ditempati 40 pasang sepatu. Sepatu jenis I dibeli dengan
harga Rp60.000,00 setiap pasang dan sepatu jenis II dibeli
dengan harga Rp80.000,00 setiap pasang. Jika pedagang
tersebut mempunyai modal Rp3.000.000,00 untuk
membeli sepatu jenis I dan jenis II. Maka model
matematika dari masalah tersebut adalah ....
a. 3x + 4y 150, x + y 40, x 0, y 0
b. 3x + 4y 150, x + y 40, x 0, y 0
c. 3x + 4y 150, x + y 40, x 0, y 0
d. 6x + 8y 300, x + y 40, x 0, y 0
e. 6x + 4y 300, x + y 40, x 0, y 0
Penyelesaian :
Buat tabel :
Jenis
sepatu
Harga /
jenis
Permisalan/
jenis sepatu
I 60.000 X
II 80.000 Y
batasan 3.000.000 40
Maka model fungsi kendala dari permasalahan tersebut :
( i ). 60.000 x + 80.000 y ≤ 3.000.000 ( bagi dg 20.000 )
3 x + 4 y ≤ 150
( ii ). x + y ≤ 40
( iii ). x ≥ 0, dan y ≥ 0 ( karena banyak sepatu tidak mungkin
negatif ).
Jadi jawabannya : 3 x + 4 y ≤ 150, x + y ≤ 40, x ≥ 0,y ≥ 0(C )
2. Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian untuk
dijual, pakaian jenis I memerlukan 2 m kain katun dan 4
m kain sutera, dan pakaian jenis II memerlukan 5 m kain
katun dan 3 m kain sutera. Bahan katun yang tesedia 70
m dan sutera 84 m. Pakaian jenis I dijual dengan laba
Rp25.000,00/buah dan pakaian jenis II mendapat laba
Rp50.000,00/buah. Agar ia memperoleh laba yang
sebesar-besarnya, maka banyaknya pakaian jenis I dan
jenis II berturut-tururtadalah ....
a. 15 dan 8
b. 8 dan 15
c. 20 dan 3
d. 13 dan 10
e. 10 dan 13
Penyelesaian :
( i ) rancang model
Jenis
pakaian
Permisalan
/ jenis
pakaian
Kebutuhan
Bahan
Katun (m)
Kebutuhan
Bahan
sutera (m)
Laba
( Z )
I X 2 4 25.000
II y 5 3 50.000
batasan 70 84
Modelnya fungsi kendalanya :
2 x + 5 y ≤ 70
4 x + 3 y ≤ 84 ; x ≥ 0, y ≥0
Model fungsi objektifnya :
Z = 25.000 x + 50.000 y
Yang ditanyakan : berapa x dan y agar Zmaks.
( ii ) gambar daerah penyelesaian :
Dari daerah yang diarsir tampak titik – titik fisibelnya adalah
( 21,0 ), ( 0,14 ) dan titik potong kedua garis ( 15, 8 ), dan
dengan melihat pilihan maka pasti jawabannya adalah titik
potong kedua garis tersebut, yaitu titik potong antara garis :
2x + 5y = 70 dan 4x + 3y = 84,
maka jawabannya A ( 15,8 )
35
14
28
212x + 5y = 70
( 15,8 )
Titik potong dicari menggunakan metode eliminasi atau subtitusi/ cara lain
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Catatan : untuk mencari titik potong dua garis, sama halnya
kita mencari penyelesaian sistem persamaan linear dua
variabel ( lihat kisi 11 )
Seorang pembuat mebel akan membuat meja dan kursi
yang terbuat dari kayu. Untuk membuat sebuah meja
diperlukan 6 lembar papan .Sedangkan untuk membuat
sebuah kursi diperlukan 3 lembar papan.Papan yang
tersedia sebanyak 900 lembar. Jika banyaknya meja x buah
dan kursi y buah.serta membuat sebuah meja memerlukan
biaya Rp.30.000,00 dan sebuah kursi Rp.25.000,00 Dana
yang tersedia Rp. 6.000.000,00 .
Model matematika dari uraian di atas adalah ….
a. 2x + y ≤ 300 , 6x + 5y ≤ 1200 , x ≥ 0 ,
y ≥ 0
b. x + 2y ≤ 300 , 6x + 5y ≤ 1200 , x ≥ 0 ,
y ≥ 0
c. 2x + y ≥ 300 , 6x + 5y ≥ 1200 , x ≥ 0 ,
y ≥ 0
d. 2x + y ≥ 300 , 5x + 6y ≤ 1200 , x ≥ 0 ,
y ≥ 0
e. 2x + y ≥ 300 , 6x + 5y ≤ 1200 , x ≥ 0 ,
y ≥ 0
1. Sebuah industri kecil memproduksi 2 jenis barang
( barang A dan barang B) yang dikerjakan dengan 2 mesin
(mesin M1 dan mesin M2). Satu unit barang A dikerjakan
M1 selama 2 menit dan M2 selama 4 menit. Barang B
dikerjakan M1 selama 8 menit dan M2 selama 4 menit.
Dalam sehari M1 dan M2 masing-masing bekerja tidak lebih
dari 8 jam.
Model matematika dari uraian di atas adalah ….
a. x + 2y ≤ 240 , 2x + y ≤ 120 , x ≥ 0 , y ≥
0
b. x + 2y ≤ 240 , 2x + y > 120 , x ≥ 0 , y ≥
0
c. x + 2y >240 , 2x + y ≤ 120 , x ≥ 0 , y ≥
0
d. x + 4y < 240 , x + y ≤ 120 , x ≥ 0 , y ≥
0
e. x + 4y > 240 , x + y > 120 , x ≥ 0 , y ≥
0
2. Daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan
linier dalam x dan y, ditunjukkan oleh daerah yang
diraster pada gambar di bawah ini. Sistem
pertidaksamaannya adalah ….
3. Suatu pabrik roti memproduksi 120 kaleng roti
setiap hari yaitu roti asin dan roti manis. Setiap hari
diproduksi paling sedikit 30 kaleng roti asin dan 50 kaleng
roti manis. Misalkan x adalah banyak kaleng roti asin dan
y adalah banyak kaleng roti manis maka model
matematika yang memenuhi permasahan diatas
adalah ....
a. x + y ≤ 120, x ≥ 30, y ≥ 50, x, y C
b. x + y ≥ 120, x ≥ 30, y ≥ 50, x, y C
c. x + y ≤ 120, x ≥ 30, y ≤ 50, x, y C
d. x + y = 120, x ≥ 30, y ≥ 50, x, y C
e. x + y = 120, x = 30, y = 50, x, y C
4. Sebuah pabrik menggunakan bahan A, B dan C
untuk memproduksi 2 jenis barang, yaitu barang jenis I
dan jenis II. Sebuah barang jenis I memerlukan 1 kg bahan
A, 3 kg bahan B dan 2 kg bahan C. Sedangkan barang jenis
II memerlukan 3 kg bahan A, 4 kg bahan B dan 1 kg bahan
C. Bahan baku yang tersedia 480 kg bahan A, 720 kg
bahan B dan 360 kg bahan C. Model matematika dari
uraian di atas adalah ….
a. x + 3y ≤ 480 ; 3x + 4y ≤720 ; x + 2y
≤360 ; x ≥0 ; y ≥ 0
b. x + 3y ≤ 480 ; 3x + 4y ≤720 ; 2x + y
≤360 ; x ≥0 ; y ≥ 0
c. 3x + y ≤ 480 ; 3x + 4y ≤720 ; 2x + y
≤360 ; x ≥0 ; y ≥ 0
d. 3x + y ≤ 480 ; 4x + 3y ≤720 ; 2x + y
≤360 ; x ≥0 ; y ≥ 0
e. 3x + 4y ≤ 480 ; x + 3y ≤720 ; 2x + y
≤360 ; x ≥0 ; y ≥ 0
a. b. c. d. e.
4
60-2
2
X
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
5. Seorang penjahit membuat 2 model pakaian . Model
pertama memerlukan 4 m kain polos dan 2 m kain
bercorak.Model kedua memerlukan 3 m kain polos dan 3m
kain bercorak. Dia hanya mempunyai 41 m kain polos dan
31 m kain bercorak. Jumlah maksimum pakaian yang dapat
dibuat adalah … potong.
a. 10
b. 12
c. 14
d. 15
e. 19
6. Tempat parkir seluas 600 m2 hanya mampu
menampung 58 bus dan mobil. Tiap mobil membutuhkan
tempat seluas 6 m2 dan bus 24 m2. Biaya parker tiap mobil
Rp. 2.000,00 dan bus Rp. 3.000,00. Jika tempat parkir
penuh, maka hasil dari biaya parkir maksimum dalam satu
kali parkir sebesar ….
a.
b.
c.
d.
e.
Rp. 75.000,00
Rp.116.000,00
Rp.130.000,00
Rp.174.000,00
Rp.290.000,00
7. Seorang pedagang buah menjual mangga dan pisang
dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli
mangga dengan harga Rp 8.000/kg dan pisang Rp 6.000/kg.
Modal yang tersedia Rp 1.200.000 dan gerobag hanya dapat
memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg ,jika harga jual
mangga Rp 9200/ kg dan pisang Rp 7000/kg maka laba
maksimum yang dapat diperoleh adalah ....
a. Rp 150000
b. Rp 180 000
c. Rp 192 000
d. Rp 204 000
e. Rp 216 000
8. Pedagang makanan membeli tempe seharga Rp 2.500
per buah di jual dengan laba Rp 50 per buah, sedangkan
tahu seharga Rp 4.000 per buah dan di jual dengan laba Rp
1.000 . Pedagang tersebut mempunyai modal Rp 1.450.000
dan kios hanya mampu menampung tempe dan tahu
sebanyak 400 buah, maka keuntungan maksimum pedagang
tersebut adalah....
a. Rp 250.000
b. Rp 350.000
c.Rp 362.000
d. Rp 400.000
e. Rp 500.000
9. Sebuah butik memiliki 4m kain satin dan 5m kain
prada. Dari bahan tersebut akan dibuat dua baju pesta.
Baju jenis I memerlukan 2m kain satin dan 1m kain
prada, baju jenis II memerlukan 1m kain satin dan 2m
kain prada. Jika harga jual baju jenis I Rp. 500.000 dan
jenis II Rp. 400.000, maka hasil penjualan maksimum
butik tersebut adalah ....
a. Rp800.000
b. Rp1.000.000
c. Rp1.300.000
d. Rp1.400.000
e. Rp2.000.000
10. Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang.
Barang jenis I dengan modal Rp30.000,00/buah member
keuntungan Rp4.000,00/buah dan barang jenis II dengan
modal Rp25.000,00/buah member keuntungan
Rp5.000,00/buah. Jika seminggu dapat diproduksi 220
buah dan modal yang dimiliki Rp6.000.000,00 maka
keuntungan terbesar yang diperoleh adalah…. ( UN
2010 )
a. Rp800.000,00
b. Rp880.000,00
c. Rp1.000.000,00
d. Rp1.100.000,00
e. Rp1.200.000,00
11. Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk
memelihara ikan koki dan ikan koi. Setiap kolam dapat
menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan
koi saja sebanyak 36 ekor. Jumlah ikan yang
direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor.
Jika banyak kolam berisi ikan koki adalah x , dan banyak
kolam berisi ikan koi adalah y, maka model matematika
untuk masalah ini adalah …. (UN’11)
a. x + y ≥ 20, 3x + 2y ≤ 50, x≥ 0, y≥ 0
b. x + y ≥ 20, 2x + 3y ≤ 50, x≥ 0, y≥ 0
c. x + y ≤ 20, 2x + 3y ≤ 50, x≥ 0, y≥ 0
d. x + y ≤ 20, 2x + 3y ≥ 50, x≥ 0, y≥ 0
e. x + y ≤ 20, 3x + 2y ≥ 50, x≥ 0, y≥ 0
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
12. Seorang ibu memproduksi dua jenis keripik pisang,
yaitu rasa coklat dan rasa keju. Setiap kilogram keripik rasa
coklat membutuhkan modal Rp10.000,00, sedangkan
keripik rasa keju membutuhkan modal Rp15.000,00 per
kilogram. Modal yang dimiliki ibu tersebut Rp500.000,00.
Tiap hari hanya bisa memproduksi paling banyak 40
kilogram. Keuntungan tiap kilogram keripik pisang rasa
coklat adalah Rp2.500,00 dan keripik rasa keju Rp3.000,00
per kilogram. Keuntungan terbesar yang dapat diperoleh
ibu tersebut adalah ….(UN 2011)
a. Rp110.000,00
b. Rp100.000,00
c. Rp99.000,00
d. Rp89.000,00
e. Rp85.000,00
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Konsep yang di pakai :
1. Kesamaan Matriks :
Misalkan A dan B dua buah matriks yang berordo sama ,
dan
A = B, jika dan hanya jika a=p, b=q, c=r, dan d=s
2. Transpose Matriks :
Jika A = maka transpose matriks A adalah :
AT = At = A1 = ( elemen baris jadi elemen kolom
dan sebaliknya )
3. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Penjumlahan dan pengurangan matriks dapat dilakukan jika
:
Ordo matirks – matriksnya sama
Cara menjumlah atau mengurangkan adalah “ dengan
menjumlah atau mengurangkan elemen-elemen yang
seletak “
4. Determinan Matriks ordo 2 x 2 :
Misalkan diketahui matriks , determinan
matrik A ditulis dengan :
det ( A ) =
Apabila sebuah matriks nilai
determinannya = 0, maka disebut matriks singular
dan akibatnya matriks tersebut tidak memiliki invers
matriks.
Dan jika determinanya ≠ 0, maka
disebut matriks nonsingular, dan matirks tersebut
memiliki invers matriks.
Jika C = A . B, maka det ( C ) = det
( A ) . det ( B )
Jika C = kA, maka det ( C ) = k2 .
det ( A ), dg k konstanta
5. Misalkan matriks A = , dan det (A) ≠
0, invers matriks A dirumuskan dengan :
=
6. Perkalian Matirks ( dot product ) :
Misalkan A dan B dua buah matriks
dan
Perkalian matriks A dan B dirumuskan dengan :
=
=
Apabila matriks A berordo m x n dan matriks B berordo
n x p, maka hasil perkalian matriks A.B berordo m x p
Am x n . Bn x p = Cm x p
7. Persamaan Matriks :
( i ). AX = B, maka X = A-1 . B ( jika A di kirinya X, maka
munculnya A-1 dikirinya B )
( ii ). XA = B, maka X = B. A-1 ( jika A dikananya X, maka
munculnya A-1 dikanannya B
)
Contoh Soal :
1. Diketahui perkaliann
matriks = .
Nilai x – y = ....
a. -4
d. 6
b. 0
e. 8
c. 4
Penyelesaian :
=
=
berarti : -y +4 = 6
-y = 6 – 4
dan 2y + 2x = 8 y + x = 4 -2 + x = 4 x = 6
Elemen a dan d di tukar, elemen b dan c berubah tanda
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
-y = 2
y = -2
Maka nilai x – y = 6 – (-2) = 8 ( jawaban E )
2. Diketahui matriks A =
dan B = . Jika matriks C = AB, maka
determinan C = ....
a. 12
b. 11
c. 2
d. 2
e. 12
Penyelesaian :
Jelas C = A. B = = =
Maka det (C) = 1.0 – (-4).(-3) = 0 – 12 = -12 ( jawaban A )
Cara lain : C = A.B, maka det(C )= det(A ).det(B )
det ( C ) = ( 2.3 – 1.0) . ( 0 - (-2).(-1) )
det ( C ) = 6 . ( -2 )
det ( C ) = -12
3. Invers matriks A =
adalah A–1 = ....
a.
b.
c.
d.
e.
Penyelesaian :
Jelas det A = -8 – ( -6 ) = -8 + 6 = -2
Maka A-1 = = jadi jawabannya A.
Paket Soal 15 :
Kelompok Kesamaan Matriks : 1 - 9
2. Untuk persamaan
, harga x + y
adalah ….
a. -2 d. 6
b. 2 e. 7
c. 4
3. Nilai 2a – b dari
persamaan matriks
adalah ....
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
4. Nilai a yang memenuhi
persamaan adalah ….
a.
b.
c.
d.
e.
5
3
-2
-3
-5
5. Diketahui
, maka nilai p + q = ….
a. -3
d. 2
b. -1
e. 3
c. 1
6. Diketahui kesamaan
matriks = . Nilai a dan b
berturut – turut adalah ….
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
a. dan
b. - dan
c. dan -
d. - dan -
e. - dan
-
7. Diketahui
. Nilai a+b+c = ....
a. 11 d. 14
b. 12 e. 16
c. 13
8. Diketahui
. Nilai y – x
= …. ( UN 2010 )
a. -5
b. -1
c. 7
d. 9
e. 11
9. Diketahui matriks A =
, B = , dan C= . Jika 3A – B
= C, maka nilai x + y = ….
( UN 2011 )
a. – 3
d. 1
b. – 2
e. 3
c. – 1
Kelompok Determinan : 10 - 16
10. Diketahui A = dan
B = Nilai determinan dari( AB) adalah ….
a. 5
b. 4
c. 3
d. 2
e. 1
11. Jika A = maka
determinan dari AT adalah ....
a. -22
b. -7
c. -2
d. 2
e. 12
( petunjuk : pakai saja konsep det A = det AT )
12. Diketahui matriks A =
dan matriks B = . Jika matriks C
= 2At – B maka determinan dari matriks C adalah ....
a. –57 d. 48
b. –38 e. 57
c. 38
13. Diketahui A=
dan B= . Determinan ABt adalah ….
a. 48 d. - 34
b. 24 e. - 52
c. -8
14. Determinan
= 12. Nilai yang memenuhi adalah ….
a.
b.
c.
d.
e.
-2 dan 3
-2 dan -3
2 dan 3
-1 dan 6
1 dan 6
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
15. Diketahui matriks P =
dan Q = .
Jika R = 3P – 2Q, maka determinan R = …. ( UN 2010 )
a. – 4 d. 7
b. 1 e. 14
c. 4
16. Diketahui matriks A =
, B = , dan C= . Nilai
determinan dari matriks (AB – C) adalah …. ( UN 2011 )
a. – 7
d. 3
b. – 5
e. 12
c. 2
Kelompok Invers Matriks dan Bentuk AX = B, XA = B :
( 17 – 27 )
17. Diketahui empat matriks :
( i ) ( ii ) ( iii )
( iv )
Matriks yang tidak memiliki invers adalah ….a.
b.
c.
d.
e.
( i ) dan ( iv )
( ii ) dan ( iv )
( ii ) dan ( iii )
( iii )
( iv )
18. Diketahui empat matriks :
( i ) ( ii ) ( iii )
( iv )
Matriks yang memiliki invers adalah ….a.
b.
c.
d.
e.
( i ) dan ( iv )
( ii ) dan ( iv )
( ii ) dan ( iii )
( iii )
( iv )
19. Diberikan matriks A =
dan B = . Matriks X berordo 2 x 2
yang memenuhi persamaan AX = B adalah ….
a.
b.
c.
d.
e.
20. Diberikan matriks A =
dan B = . Matriks X berordo 2 x 2
yang memenuhi persamaan XA = B adalah ….
a. d.
b. e.
c.
21. Jika A = dan B =
, maka ( BA )-1 adalah ....
a. d.
b. e.
c.
22. Jika A = dan B =
, maka ( AB )-1 adalah ....
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
a. d.
b. e.
c.
23. Jika X =
, maka matriks X = ....
a. d.
b. e.
c.
24. Diketahui matriks A =
dan B = . Jika matriks C = A – 3B,
maka invers matriks C adalah ….
(UN 2010)
a. d.
b. e.
c.
25. Diketahui matriks A =
, dan B = . Matriks X yang memenuhi AX =
B adalah …. ( UN 2010/ 2011 )
a. d.
b. e.
c.
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Ringkasan Materi :
1. Barisan dan Deret Aritmetika
Definisi Barisan Aritmetika :
Definisi I :
Barisan Aritmetika adalah susunan bilangan yang
kenaikan suku berurutannya ditambah ( atau dikurangi )
dengan bilangan yang tetap/ sama
Bilangan yang tetap/ sama itu disebut dengan beda ( b )
Definisi II :
Barisan Aritmetika adalah susunan bilangan yang
memenuhi sifat setengah dari jumlah suku pertama dan
terakhir sama dengan suku tengahnya.
rumus suku ke-n barisan aritmetika
Un = a + ( n – 1 ) .b
Dan b = Un – Un-1, dengan Un-1 adalah suku sebelum
suku ke-n
Utengah = Ut =
Rumus suku ke-n : Un = a + ( n –
1 ) .b, dengan a= suku pertama, b = beda, dan n adalah
urutan suku
Definisi Deret Aritmetika :
Deret Aritmetika adalah penjumlahan dari suku – suku
pada barisan aritmetika.
U1 + U2 + U3 + ... + Un
Selanjutnya U1 + U2 + U3 + ... + Un ditulis dengan Sn
( dari kata Sum n, yang berarti jumlah n suku pertama )
Rumus Jumlah n suku pertama
deret aritmetika ( Sn )
Sn = = atau
Sn =
Hubungan Un , dan Sn ( juga
berlaku untuk barisan/ deret geometri )
Un = Sn – Sn-1
Dengan Sn-1 = jumlah suku pertama sampai dengan suku
sebelum n
Contoh :
Diketahui sebuah barisan 20, 18, 16, 14, ...
Tentukanlah : a. beda
b. suku ke-7
c. jumlah 7 suku pertama
Penyelesaian :
Jelas U1 = a = 20, dan beda ( b ) = -2 ( dapat dicari
dengan U2 – U1 atau U3 - U2 )
Suku ke-7 = U7 = a + ( 7 – 1) . b
= 20 + 6.(-2)
= 20 – 12
= 8
Jumlah 7 suku pertama = S7
Cara I : S7 =
=
=
Cara II : S7 =
=
=
= 7. 14
= 98
2. Barisan dan Deret Geometri
Definisi Barisan Geometri :
Barisan Geometri adalah susunan bilangan yang
kenaikan suku berurutannya dikalikan ( atau dibagi )
dengan sesuatu/ bilangan yang tetap/ sama.
Bilangan yang tetap/ sama itu disebut dengan rasio (
r )
r = dengan
Un-1 adalah suku sebelum suku ke-n
Rumus suku ke-n barisan
geometri : Un = a.rn-1
Rumus suku tengah pada
barisan geometri ( dengan syarat banyaknya suku
ganjl ) : Ut =
Definisi Deret Geometri :
penjumlahan suku – suku pada barisan geometri
U1 + U2 + U3 + ... + Un = Sn
Rumus Jumlah n suku pertama
deret Geometri ( Sn )
Sn = , untuk r < 1 atau
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Sn = , untuk r > 1
Hubungan Un , dan Sn : Un = Sn – Sn-
1
Deret geometri tak hingga ( dalam
arti n menuju ∞ ), dituliskan dengan :
U1 + U2 + U3 + ... = S∞ ( baca : jumlah tak hingga suku
derat geometri )
Rumus tak hingga deret
geometri :
S∞ =
Contoh :
Diketahui barisan geometri 9, 3, 1, , ....
Tentukan : rasio, suku ke-7, jumlah 5 suku pertama,
dan jumlah tak hingga suku tersebut
Penyelesaian :
Jelas yang ditanya : r, U7 , S5 , dan S∞
dan jelas bahwa r = ( dapat dicari dengan 3 dibagi
9 / )
U7 = 9.( )7-1
= 9. ( )6
= 9. ( )
= 32 . =
( Catatan : Anda dapat menempuh cara lain )
S5 =
=
=
=
=
S∞ =
Contoh Soal :
1. Diketahui deret aritmatika dengan suku pertama
adalah 5 dan suku ketujuh 23. Suku ketiga belas dalam
deret itu adalah ........
a. 40 d. 43
b. 41 e. 44
c. 42
Penyelesaian :
Jelas U1= a = 5 dan U7 = a + (7-1). b = 23, maka
a + 6b = 23
5 + 6b = 23
6b = 23 – 5
6b = 18
b = 3
Sehingga suku ketiga belas = U13 = a + 12b = 5 + 12.3=
5+36=41
Jadi jawabanya B.
2. Suku ke-2 suatu deret aritmetika adalah 8 dan suku
ke-6 adalah –8. Jumlah tujuh suku pertama adalah …
a. –12 d. 12
b. –8 e. 168
c. 0
Penyelesaian :
Jelas U2 = 8 berarti a + b = 8, dan
U6 = -8 berarti a + 5b = -8, selanjutnya kita cari a dan b,
coba saja a diganti 12 dan b diganti -4 ( dan tepat ) / Anda
dapat pula mencari a dan b dengan cara eliminasi – subtitusi.
Ditanya : S7
Jelas S7 = .7(2.12 + (7-1).(-4))
= .7(24+6.(-4))
= .7(24-24)
= .7.0
= 0 . Jadi jawabannya C.
3. Suku kedua barisan geometri adalah 9 dan suku
kelima adalah 243. Jumlah sepuluh suku pertama adalah
....
a. 1536 d. 14267
b. 3072 e. 88572
c. 6144
Penyelesaian :
Jelas diketahui U2 = 9, berarti a. r = 9 , dan
U5 = 243, berarti a.r4 = 243, maka
Ingat ! Sn =
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
= 27
= 3, maka a = 3 ( sebab a. r = 9 )
Ditanya : S10
Jelas S10 =
=
=
=
= 3. 242.122
= 88572 ( jawaban E )
Catatan : ( i ). ( a – b ) . ( a + b ) = a2 – b2
( ii ). (35 – 1).(35 +1) = ( (35)2 – 12 ) = 310 -1
4. Jumlah sampai tak hingga deret 3 + 1 + + ...
adalah ....
a. d.
b. e.
c.
Penyelesaian :
Jelas yang ditanyakan adalah S∞ , maka yang perlu ditentukan
terlebih dahulu adalah mencari a dan r .
Dan jelas :
a = 3 ( suku pertama )
r = ( dari )
Sehingga S∞ = = = ( jawabannya C )
Paket Soal 16 :
Kelompok menentukan Un
1. Diketahui barisan aritmatika dengan suku
kedua 8 dan suku kesepuluh 24, suku keduapuluh lima
barisan aritmatika tersebut adalah....
a. 48 d. 54
b. 50 e. 56
c. 52
d. 54
2. Suatu deret geometri suku pertama dan
suku ke empat berturut-turut adalah 3 dan 24. Suku
ketujuh deret tersebut adalah ....
a. 64 d. 192
b. 80 e. 320
c. 120
3. Suku pertama barisan geometri = 54 dan
suku kelima adalah . Suku ketujuh barisan tersebut
adalah ....
a. d.
b. e.
c.
4. Suatu deret geometri suku pertama dan
suku ke empat berturut-turut adalah 5 dan 40. Suku
ketujuh deret tersebut adalah ....
a. 64 d. 320
b. 80 e. 640
c. 120
5. Seorang ayah akan membagikan 78 ekor
sapi kepada keenam anaknya yang banyaknya setiap
bagian mengikuti barisan aritmetika. Anak termuda
mendapat bagian paling sedikit, yaitu 3 ekor dan anak
tertua mendapat bagian terbanyak. Anak ketiga
mendapat bagian sebanyak …. (UN 2011)
a. 11 ekor d. 18 ekor
b. 15 ekor e. 19 ekor
c. 16 ekor
6. Suku ketiga dan suku keenam barisan
geometri berturut-turut adalah 18 dan 486. Suku
kedelapan barisan tersebut adalah …. ( UN 2011 )
a. 4.374 d. 1.458
b. 3.768 e. 1.384
c. 2.916
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
7. Dari suatu barisan aritmetika diketahui suku
ke-5 adalah 22 dan suku ke-12 adalah 57. Suku ke-15
barisan ini adalah….
( UN 2011 )
a. 62 b. 68 c. 72 d. 74 e. 76
Kelompok Menentukan Sn
8. Diketahui suku pertama suatu deret
aritmetika adalah 2 dan suku ke-10 adalah 38. Jumlah
20 suku pertama deret tersebut adalah ....
a. 400
b. 460
c. 800
d. 920
e. 1600
9. Suku lelima dan suku kedua belas suatu
barisan aritmetika berturut – turut adalh 42 dan 63.
Jumlah dua puluh suku pertama barisan tersebut
adalah ....
a. 870 d. 1.170
b. 900 e. 1.200
c. 970
10. Diketahui suku pertama suatu barisan
geometri adalah 3 dan suku ke-4 adalah 24. Jumlah tujuh
suku pertama barisan tersebut adalah ....
a. 182 d. 381
b. 189 e. 384
c. 192
11. Seorang petani mencatat hasil panennya
selama 100 hari. Jika hasil panen hari pertama 12 kg dan
mengalami kenaikan 3 kg setiap 10 hari. Banyak seluruh
hasil panen setelah 100 hari adalah ... kg.
a. 245 d. 260
b. 250 e. 265
c. 255
12. Suatu pabrik sepatu dapat menghasilkan
5000 buah sepatu pada awal bulan. Pada bulan
berikutnya ditingkatkan menjadi 5050 buah. Bila
peningkatan produksi setiap bulanya tetap makan jumlah
produksi pabrik tersebut dala setahun adalah ....buah
a. 5550 d. 63300
b. 60000 e. 63000
c. 60600
13. Suku pertama barisan geometri adalah 3
dan suku kelima adalah 48. Jumlah sepuluh suku
pertama adalah ....
a. 384 d. 3069
b. 768 e. 6144
c. 1536
14. Seorang petani jeruk berhasil memetik
buah jeruk setiap harinya sesuai rumus deret Aritmetika
dimana n menunjukkan hari , Un banyaknya jeruk yang
dipetik setiap harinya dan Un = 50 + 25n. Banyak
jeruk yang berhasil dipetik selama sepuluh hari adalah
….
a. 1525 d. 1875
b. 1625 e. 1925
c. 1775
15. Diketahui deret aritmetika dengan suku ke-
3 adalah 3 dan suku ke-8 adalah 23. Jumlah 20 suku
pertama deret tersebut adalah .... ( UN 2010 )
a. 656 d. 668
b. 660 e. 672
c. 664
16. Suku ketiga dan suku keenam suatu deret
geometri berturut – turut adalah – 12 dan 96. Jumlah
tujuh suku pertama deret tersebut adalah.... ( UN 2010 )
a. – 192 d. 129
b. – 129 e. 192
c. – 127
17. Suku kedua deret geometri dengan rasio
positif adalah 10 dan suku keenam adalah 160. Jumlah
10 suku pertama deret tersebut adalah .... ( UN 2011 )
a. 5.215 d. 5.120
b. 5.210 e. 5.115
c. 5.205
Kelompok Menentukan S∞
18. Jumlah deret geometri tak hingga 1 +
... adalah ....
a.
d.
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
b.
e.
c.
19. Rumus suku ke-n barisan geometri tak
hingga turun adalah , maka jumlah deret geometri tak
hingga tersebut adalah ....
a. 3 d.
b. 2 e.
c. 1
20. Jumlah deret geometri tak hingga 8 + 4 + 2 +
1 +... adalah ....
a. 15 d. 24
b. 16 e. 32
c. 8
21. Jumlah tak hingga deret geometri : 64 + 8 + 1
+ + … adalah …. ( UN 2010 )
a. d.
b. e.
c. 74
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Ringkasan Materi :
Kasus I : x → a ( x mendekati bilangan tertentu ) ada 2
bentuk
Bentuk I :
Contoh :
( 1 ).
( 2 ).
Secara singkat kita katakan bahwa limit - limit pada
bentuk I adalah limit yang selesai cukup dengan
disubtitusikan
Bentuk II :
Dalam bentuk ini tidak dapat dicari dengan
mengganti ( mensubtitusi ) x dengan a, sebab nilai
akan berupa bilangan tak tentu ( yaitu )
Ingat ! bahwa adalah bilangan taktentu/ tak terdefinisi
Untuk menyelesaikan langkahnya adalah dengan
menyederhanakan baik melalui faktorisasi atau
mengalikan dengan sekawannya
Contoh :
Pada soal ini apabila x diganti 3, maka hasilnya adalah :
yang merupakan bilangan tak tentu
sebab hasilnya bisa 1, bisa 2, 3, dll, dan ini bukan
jawaban, maka perlu diadakan penyederhanaan yaitu
dengan proses faktorisasi
Jadi = 6
Kasus II : x → ∞ ( x mendekati tak hingga ) ada 2 bentuk
Bentuk I :
Untuk bentuk ini kita pakai saja cara praktis ,
( i ). Jika =
( ii ). = ∞
( iii ). = - ∞
Bentuk II :
Cara Praktis :
( i ). Jika m = n, maka hasilnya =
( ii ). Jika m < n, maka hasilnya = 0
( iii ). Jika m > n, maka hasilnya = ∞
Contoh Soal :
Tips Penyelesaian limit untuk x → a :i. setiap soal limit untuk x → a langkah
pertama selalu ganti saja x dengan a, apabila
hasilnya ada ( bukan ) maka itulah hasilnya,
dan jika hasilnya , maka adakan
penyederhanaan.ii. Cara singkat yang dapat ditempuh jika
f(a) = adalah dengan cara menurunkan
Jadi dst
Contoh :
=
iii. Bedakan antara bentuk – bentuk
dengan bentuk
Bentuk , tetapi
Bentuk
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
1. = ....
a. -8 d. 2
b. -2 e. 8
c. 0
Penyelesaian :
Jelas jika x diganti -3 maka hasilnya =
=
Maka harus disederhanakan atau turunkan saja :
=
Jadi jawabannya A.
2. Nilai
a. ∞
b. 2
c. 1
d. 0
e. -1
Penyelesaian :
Jelas ini kasus x→∞ bentuk I.
Ubah soal menjadi :
=
3.
a. -4 d. 4
b. -2 e. ∞
c. 0
Penyelesaian :
Ubah bentuk soal agar susunan suku – suku pada penyebut
dari x yang pangkatnya tertinggi :
=
Paket Soal 18 :
Kelompok x → a
1.
a. -8 d. 4
b. -4 e. 8
c. -2
2. = …
a. d.
b. e.
c. 0
3. Nilai dari
....
a. d.
b. e.
c.
4. = ....
a. -6 d. 2
b. -2 e. 6
c. 0
5. = ....
a. 5 d. 15
b. 7 e. 18
c. 9
=
Jadi jawabannya C
Berarti ini kasus a = p, dengan b = 2 dan q = 0, dan a = p = 1 maka hasilnya
adalah
=
Jadi jawabannya A
Tampak bahwa ini kasus x→∞ bentuk II dengan m = n = 3, maka hasilnya
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
6. Nilai = ....
a. 4 d.
b. 3 e.
c. 2
7.
= ….
a. 0 d. 4
b. ∞ e. 8
c. 2
8. Nilai = ....
( UN 2010 )
a. – 6 d.
b. - e. 6
c. 0
9. Nilai
= .... ( UN 2011 )
a. 4 d. – 2
b. 2 e. – 4
c.
Catatan : soal – soal nomor 1 s.d 7 dapat ditentukan dengan
model penurunan.
Kelompok x→∞
10. Nilai
adalah ....
a. -6 d. -2
b. -4 e. -2
c. -3
11.
= ....
a. -2 d. 2
b. 0 e. ∞
c. 1
12. = ….
a.
d.
b.
e.
c. -
13.
=…
a. d.
b. e.
c.
14.
= ....
a. –2
b.
c.
d.
e.
15. Nilai
= ….
a. –8 d. 2
b. –4 e. 4
c. –2
16. Nilai =
....
a. -1 d. 0
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
b.
e. 1
c.
17. Nilai =
.... ( UN 2010 )
a. d.
b. e. 0
c.
18. Nilai
= …. ( UN 2011 )
a. d. -
b. e. -
c.
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Ringkasan Materi :
1. M
enentukan turunan fungsi aljabar
Misalkan suatu fungsi dituliskan dengan f(x) = y,
maka turunan pertama fungsi tersebut terhadap
variabel x dituliskan dengan atau y1 atau
atau
Rumus pokok turunan fungsi aljabar
( i ). Jika f(x) = axn , maka f1 (x) = n.a.xn-1
( ii ). Jika f(x) =a (konstanta), maka f1(x) = 0
( iii ). Jika f(x)=ax, maka f1(x) =a
Contoh :
( i ). f(x)=2x3 + 5 , maka f1 (x)=3.2x3-1 + 0 = 6x2
( ii ). f(x)= , maka bentuknya diubah dulu
menjadi f(x)= 3.x-5 -5x, sehingga :
f1 (x)=(-5).3x-5-1-5 = -15x-6 -5= - 5
2. M
enentukan nilai turunan fungsi aljabar
Jika f1 (x) adalah turunan fungsi f(x), maka nilai turunan
fungsi f(x) di x = a adalah f1 (a).
Contoh :
f(x) = 2x2 -3x, tentukanlah nilai turunan fungsi f(x) di x= -2 !
Penyelesaian :
Jelas f1 (x)= 4x-3, maka f1 (-2) = 4.(-2)-3 = -8-3 = -11
3. A
plikasi/ Penerapan konsep turunan
Menentukan gradien dan persamaan garis singgung
di suatu titik pada kurva y = f (x)
( i ).Gradien ( m ) garis singgung di titik ( x1 ,y1 ) pada
kurva y = f(x) dapat ditentukan dengan :
m = f1 ( x1 )
( ii ).Persamaan garis singgung pada kurva y=f(x) di titik
( x1 ,y1 ), dirumuskan dengan :
y – y1 = m.( x – x1 )
Menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi
f(x)
( i ). Fungsi f(x) akan mencapai maksimum/ minimum,
untuk x yang memenuhi f1 (x) = 0
( ii ). Menentukan nilai maksimum/minimum fungsi
f(x) pada interval tertutup a ≤ x ≤ b
Langkahnya :
Carilah x yang memenuhi f1 (x) = 0
Periksalah nilai f(x) untuk x = a, x = b, dan
x yang diperoleh dari langkah pertama,
dengan catatan x tersebut nilainya lebih
dari a dan kurang dari b.
Jika yang diminta adalah nilai maksimum
maka pilihlah nilai – nilai f(x) dari langkah
dua yang nilainya paling besar, dan
sebaliknya jika yang diminta adalah nilai
minimum, maka pilihlan nilai f(x) dari
langkah dua yang nilainya paling kecil.
Menerapkan turunan pada soal cerita
Untuk penerapan jenis ini Ringkasan Materi sama
dengan saat mencari nilai maksimum/ minimum,
yaitu;
f (x) akan mencapai maksimum atau minimum
untuk x yang memenuhi f1 (x) = 0
( biasanya soal dalam bentuk soal cerita, dan f(x)
perlu dirumuskan dahulu )
Menentukan interval fungsi naik atau turun
( i ). f(x) naik jika f1 (x) > 0
( ii ). f(x) turun jika f1 (x) < 0
Contoh Soal :
1. Turunan pertama dari
adalah
a. x3 + x2 – 2 d. 2x3 + 2x2 – 4x
b. x3 + 2x2 – 4 e. 2x3 + 2x2 – 4
c. 2x3 + 2x2 – 4x + 1
Penyelesaian :
Jelas
jadi jawabannya C
Ingat !Untuk menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi jika fungsinya berupa fungsi kuadrat juga bisa menggunakan konsep pada fungsi kuadrat yaitu pakai rumus untuk mencari yb ( y-nya titik balik ) lihat kisi 5
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
2. Turunan pertama dari fungsi
adalah . Nilai
a. 4 d. 11
b. 6 e. 13
c. 8
Penyelesaian :
Jelas , maka
= 4.
Jadi jawabannya A
3. Persamaan garis singgung
pada kurva y = x2 +4x + 1 di titik (2,13) adalah ....
a. y = 8x – 3 d. y = 2x + 9
b. y = 8x + 13 e. y = 4x + 5
c. y = 8x – 16
Penyelesaian :
Jelas , maka m =
Sehingga persamaan garis singgungnya :
y – y1 = m( x – x1 )
y – 13 = 8 ( x – 2 )
y – 13 = 8x -16
y = 8x -16 + 13
y = 8x – 3 jadi jawabannya A
4. Nilai maksimum dari
adalah ....
a. 6 d. 14
b. 8 e. 15
c. 13
Penyelesaian :
Cara I :
Untuk mencapai maksimum, maka x harus memenuhi f1(x)=0
Jelas f1(x) = -4x – 2
Syaratnya f1(x)=0
-4x – 2 = 0
-4x = 2
x =
Cara II : pakai konsep titik balik pada fungsi kuadrat
Dari fungsi di atas, jelas a = -2, b = -2, c = 13.
Ingat !
Maka =
=
= = 13 Jadi jawabannya
C
5. Sebuah home industry
memproduksi x unit barang dengan biaya yang
dinyatakan dengan ribu rupiah, dan
pendapatan setelah barang tersebut habis terjual
adalah ribu rupiah. Keuntungan maksimal home
industry tersebut adalah ....
a. Rp1.900.000,00
b. Rp1.150.000,00
c. Rp550.000,00
d. Rp300.000,00
e. Rp100.000,00
Penyelesaian :
Langkah pertama :
buat model fungsi keuntungan = pendapatan – biaya
f(x) = - ribu rupiah
f(x) = ribu rupiah
kita pakai cara II: pakai konsep fungsi kuadrat
jelas , maka keuntungan maksimum
adalah ( yb ) =
r
b
Jadi jawabannya Rp1.900.000,00 ( A )
Paket Soal 17 :
Kelompok Menentukan dan nilai nilai turunan
1. Diketahui f(x) = 3x3+4x+8. Jika turunan
pertama f(x) adalah f’(x), maka f’(x) adalah....
a. x2+4
fmaks =
=
=
= = 13 Jadi jawabannya C
maka
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
b. 9x2+4
c. 27x2+4
d. 9x2+4x+8
e. 27x2+4x+8
2. Diketahui f’(x) adalah turunan pertama dari
f(x). Jika f(x) = 4 - 5x - 2x3 maka f’(x)= ....
a. 2x2 – 5
b. -2x2 – 5
c. -6x + 5
d. -6x2 + 5
e. -6x2 – 5
3. Jika f’(x) adalah turunan pertama dari
f(x) = x4 – x3 + 4x –1 maka f’(x) adalah ....
a. x3 – x2 – 4
b. x3 – 2x2 – 4
c. 2x3 – 2x2 + 4
d. 2x3 – 2x2 + 4x
e. 2x3 – 2x2 + 4x –1
4. Diketahui f(x) = dan f1 adalah
turunan pertama fungsi f. Nilai f1 ( 3 ) adalah ….
a. 24
b. 36
c. 72
d. 108
e. 216
5. Diketahui f(x) = (2x – 1)4 dan f adalah
turunan pertama fungsi f. Nilai f (2) adalah ....
a. 216
b. 108
c. 72
d. 36
e. 24
6. Diketahui , maka
a. -11
b. -10
c. -4
d. 13
e. 14
7. Diketahui
dan adalah
turunan pertama dari f (x). Nilai = ....
( UN 2010 )
a. 64 d. 56
b. 60 e. 52
c. 58
8. Diketahui Jika f’
adalah turunan pertama f, maka f’(x) = .... ( UN 2011 )
a. d.
b. e.
c.
Kelompok penerapan turunan
9. Persamaan garis singgung pada kurva
di titik ( -3, 2 )adalah ....
a.
b.
c.
d.
e.
10. Persamaan garis singgung pada kurva y =
3x2 – 8x + 1 di titik (1,–4) adalah ....a. y – 2x + 6 = 0
b. y + 2x – 2 = 0
c. y + 2x + 2 = 0
d. y – 5x + 9 = 0
e. y + 5x – 1 = 0
11. Diketahui kurva y = 8x2-14x-15 dan titik P
berabsis 1. Gradien garis singgung kurva yang melalui
titik P adalah ....
a. -30 d. 2
b. -18 e. 30
c. -2
12. Persamaan garis singgung pada kurva y = x2
–2x + 3 di titik (2, 3) adalah ....
a. y = 2x –1
b. y = 2x – 7
c. y = 2x + 1
d. y = 3x – 1
e. y = 3x – 7
catatan : persamaan garis dapat disajikan dalam bentuk y = ax + b atau dalam bentuk ax+by+c =0, atau dalam bentuk by
+ ax + c = 0
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
13. Nilai maksimum untuk fungsi f(x) =
pada interval adalah ....
a. –6
b. –1
c. 3
d. 6
e. 8
14. Nilai maksimum untuk fungsi f (x) = 2x(x2 –
12) pada selang – 3 ≤ x ≤ 2 adalah ....
a. 8
b. 12
c. 16
d. 24
e. 32
15. Diketahui suatu kurva dengan persamaan
f(x)=4 +3x - untuk x > 0 nilai maksimum dari f ( x )
adalah ....
a. 4
b. 5
c. 6
d. 7
e. 8
16. Nilai minimum fungsi kuadrat f(x) = 3x2 – 24x
+ 7 adalah ....
a. –151
b. –137
c. –55
d. –41
e. –7
17. Sebuah perusahaan furnitur mempunyai
sebanyak x orang pegawai yang masing-masing
memperoleh gaji yang dinyatakan dengan fungsi G(x) =
(3x2 – 900x) dalam rupiah. Jika biaya tetap satu juta rupiah
dan agar biayanya minimum, maka banyaknya karyawan
seharusnya ....
a. 200 orang
b. 400 orang
c. 600 orang
d. 800 orang
e. 900 orang
18. Untuk memproduksi barang perhari
diperlukan biaya ( x3 – 2000 x2 + 3000000x) rupiah per
unit. Agar biaya produksi per hari minimum maka jumlah
barang yang harus diproduksi adalah .... unit
a. 1000
b. 1500
c. 2000
d. 3000
e. 4000
19. Beaya produksi per x unit barang
dirumuskan B(x) = x2 – 6x + 20. Banyak unit barang akan
mencapai beaya minimum pada saat diproduksi
sebanyak ... unit.
a. 8
b. 9
c. 10
d. 11
e. 12
20. Tinggi h meter dari sebuah peluru yang
ditembakkan ke atas setelah t detik dinyatakan dengan
h(t) = 25 + 16 t – 4t2. Tinggi maksimum yang dicapai
peluru adalah ....
a. 40 meter
b. 41 meter
c. 42 meter
d. 43 meter
e. 44 meter
21. Suatu persegi panjang dengan panjang ( 2x
+ 4 ) cm dan lebar ( 4 -x ) cm. Agar luas persegi panjang
maksimum, ukuran panjang adalah ....
a. 4 cm
b. 6 cm
c. 8 cm
d. 10 cm
e. 12 cm
22. Biaya produksi barang dinyatakan dengan
fungsi f( x ) = (x2 – 100x + 4500 ) ribu rupiah.
Biaya minimum untuk memproduksi barang tersebut
adalah ....( UN 2010 )
a. Rp1.000.000,00
b. Rp2.000.000,00
c. Rp3.500.000,00
d. Rp4.500.000,00
e. Rp5.500.000,00
23. Grafik fungsi
turun pada interval .... ( UN 2010 )
a. -2 < x < 6 d. x < -6 atau x > 2
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
b. -6 < x < 2 e. x < -2 atau x > 6
c. -6 < x < -2
24. Biaya produksi barang dinyatakan dengan
fungsi B( x ) = (2x2 – 180x + 2500 ) ribu rupiah.
Agar biaya minimum , maka harus diproduksi barang
sebanyak ....
( UN 2011 )
a. 30 d. 90
b. 45 e. 135
c. 60
25. Grafik fungsi
turun pada interval .... ( UN 2011 )
a. 1 < x < 3 d. x < -1 atau x > 3
b. - 1 < x < 3 e. x < -3 atau x > 1
c. x < -3 atau x > -1
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Ringkasan Materi :
Kaidah Pencacahan
1. Aturan Perkalian
Jika sesuatu objek dapat diselesaikan dalam n1 cara
berbeda, dan sesuatu objek yang lain dapat diselesaikan
dalam n2 cara berbeda, maka kedua objek itu dapat
diselesaikan secara bersama – sama ( secara berurutan )
dalam n1 x n2 cara berbeda.
Contoh :
Ali memiliki 2 baju putih dan 3 celana abu – abu, ada
berapa cara bagi Ali untuk memasangkan perpaduan baju
putih dan celana abu – abu tersebut ?
Penyelesaian :
Jelas pasangan antara baju putih dan celana abu – abu
yang dapat dibentuk ada sebanyak 2 x 3 = 6 pasangan
berbeda. Untuk lebih jelasnya perhatikan diagram berikut
ini :
BAJU PUTIH CELANA ABU2 HASIL PASANGAN
BJ1
CL1 BJ1 CL1
CL2 BJ1 CL2
CL3 BJ1 CL3
BJ2
CL1 BJ2 CL1
CL2 BJ2 CL2
CL3 BJ2 CL3
Aturan Perkalian juga bisa disajikan dalam model
pengisisan kotak kosong ( filling slots ) :
Kotak
I
Kotak
IIHasil
2 3 = 6
2. Permutasi
Permutasi adalah banyaknya susunan objek – objek yang
berbeda dengan memperhatika urutan.
Rumus permutasi r objek dari n objek berbeda adalah :
P( n, r ) = n P r = , dengan r ≤ n.
Jika r = n, maka rumusnya menjadi :
P( n, n ) = n P n =
Catatan : ( i ). n ! ( baca n faktorial ) = 1.2.3 . ... . n
( ii ). 0 ! = 1
3. Kombinasi
Kombinasi adalah banyaknya cara susunan objek – objek
berbeda tanpa memperhatikan urutan
Rumus kombinasi r objek dari n objek berbeda adalah :
C( n, r ) = n C r = , dengan r ≤ n.
Jika r = n, maka menjadi :
C( n, n ) = n C n =
Contoh Soal :
1. Dari 7 finalis Putri Indonesia 2009, akan dipilih peringkat
1 sampai dengan 3. Banyak cara memilih peringkat
tersebut adalah ....
a. 6 d.35
b. 7 e. 210
c. 21
Penyelesaian :
Jelas, misalkan terpilih 3 finalis berinisial A, B, dan C, maka
antara si A sebagai juara I, si B sebagai juara II, dan si C
sebagai juara III, tentu dianggap berbeda hasilnya jika yang
juara I si B, juara II si C dan juara III si A. Oleh karena urutan
hasil peringkat/ juara sangat diperhatikan maka masalah
tersebut adalah masalah permutasi
Sehingga jawabannya :
Cara I :
Jawabannya E
Cara II : menggunakan pengisian kotak :
Posisi
juara
I
Posisi
juara
II
Posisi
juara
III
Banyak
cara yang
mungkin
7 6 5 = 210
2. Banyak bilangan terdiri dari 2 angka berlainan yang
dapat disusun dari angka – angka 1, 2, 4, 5 dan 6
adalah ....
a. 10 d. 35
b. 20 e. 50
c. 30
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Penyelesaian :
Yang pertama kali perlu dicermati adalah kata berlainan, yang
berarti tidak boleh ada bilangan yang terbentuk dari 2 angka
yang sama, misalkan 22, 11, 44 dsb. Oleh karena yang boleh
adalah 2 angka berlainan maka tentu masalah ini masalah
permutasi ( karena antara 12 dengan 21 tentu sebuah bilangan
yang berbeda/ antara 1 di depannya 2 dengan 2 di depannya 1
akan menghasilkan bilangan yang berbeda, jadi urutan sangat
diperhatikan )
Cara I ; pakai rumus permutasi
( jawaban B )
Cara II : filling slots
5 4 =20 cara
Keterangan :
Angka 5 berasal dari banyak angka 1, 2, 4, 5 dan 6
Angka 2 berasal dari banyak angka yang disusun
3. Lima orang bermain bulu tangkis satu lawan satu
bergantian, banyaknya pertandingan adalah ....
a. 5 d. 20
b. 10 e. 25
c. 15
Penyelesaian :
Perhatikan ! Bahwa dalam pasangan pertandingan antara A
bertemu B, dengan kita katakan B bertemu A adalah
pertandingan yang sama, hanya mengatakannya yang
berbeda. Jadi A-B kita sebut dengan B-A itu pertandingannya
sama saja, berarti dalam masalah ini urutan tidak
diperhatikan, maka merupakan masalah kombinasi
Sehingga banyaknya pertandingan :
pert.
Jadi jawabannya B.
Paket Soal 19 :
1. Seorang ingin melakukan pembicaraan
melalui telepon di sebuah wartel. Ada 4 buah kamar dan
ada 6 nomor yang akan dihubungi. Banyak susunan
pasangan kamar bicara dan nomor telpon yang akan
dihubungi ada ....
a. 10 d. 1.296
b. 24 e. 4.096
c. 360
2. Tono akan membeli sebuah sepeda motor.
Ketika ia berkunjung ke ruang pamer sepeda motor
ternyata ada 4 pilihan merek sepeda motor dan masing-
masing merek menyediakan 6 pilihan warna. Banyak
cara Tono memilih merek dan warna sepeda motor
adalah ....
a. 4 cara d. 18 cara
b. 6 cara e. 24 cara
c. 10 cara
3. Dari 10 finalis lomba AFI akan dipilih juara
I, II dan III. Banyaknya kemungkinan susunan terpilihnya
sebagai juara adalah ....
a. 120 d. 620
b. 240 e. 720
c. 480
4. Dari 7 orang calon pelajar teladan di suatu
daerah akan dipilih 3 orang pelajar teladan I, II, dan III.
Banyak cara susunan pelajar yang mungkin akan terpilih
sebagai pelajar teladan adalah ....
a. 21 d. 210
b. 35 e. 720
c. 120
5. Pada suatu ruang pertemuan mempunyai 7
buah pintu masuk. Jika ditentukan bahwa seseorang
yang masuk tidak boleh keluar pada pintu yang sama,
maka banyak cara yang dapat dilakukan adalah ....
a. 21 d. 56
b. 30 e. 84
c. 42
6. Banyaknya bilangan genap terdiri dari tiga
angka berlainan yang dapat disusun dari angka-angka 2,
3, 4, 5, 6, 7 dan 8 adalah ....
a. 120 d. 196
b. 144 e. 210
c. 168
7. Dari angka-angka 2,3,4,5, dan 6 akan
disusun bilangan-bilangan yang terdiri dari tiga angka
berlainan. Banyaknya bilangan ganjil yang dapat disusun
adalah ….
a. 60 d. 24
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
b. 48 e. 12
c. 36
8. Dari enam calon pengurus osis akan dipilih
tiga orang pengurus inti yaitu satu orang ketua, satu orang
sekretaris, dan satu orang bendahara. Banyaknya susunan
yang terbentuk adalah ….
a. 12 d. 60
b. 18 e. 120
c. 20
9. Dari 20 orang yang berkumpul, mereka
saling berjabat tangan, maka banyaknya jabatan tangan
yang terjadi adalah ….
a. 40 d. 360
b. 80 e. 400
c. 190
10. Sebuah kompetisi sepak bola diikuti oleh 6
negara. Pada babak awal setiap negara harus bertanding
satu sama lain. Banyaknya pertandingan pada babak awal
adalah ....
a. 36 d. 12
b. 30 e. 6
c. 15
11. Pada suatu bidang terdapat 20 titik, dengan
ketentuan tidak ada 3 titik yang terletak pada satu garis.
Banyaknya garis yang dapat terjadi adalah ....
a. 100 d. 200
b. 120 e. 210
c. 190
12. Suatu kepanitiaan yang beranggotakan 4
orang akan dipilih dari 4 pria dan 7 wanita. Bila dalam
kepanitiaan tersebut disyarakat paling sedikit 2 wanita
maka banyaknya cara memilih panitia adalah ....
a. 1008 d. 301
b. 672 e. 27
c. 330
13. Sebuah kotak berisi 4 buah bola merah dan
5 bola putih akan diambil tiga buah bola. Banyak cara
mengambil 2 bola merah dan 1 bola putih adalah ....
a. 15 d. 120
b. 30 e. 240
c. 60
14. Banyaknya cara memilih pemain bulu
tangkis ganda putra dari delapan pemain putra adalah
….
a. 16 d. 42
b. 20 e. 56
c. 28
15. Dari delapan orang pemain inti, akan
dibentuk sebauah team bola basket. Banyaknya cara
pemilihan team bola basket tersebut adalah ….
a. 36 d. 64
b. 40 e. 76
c. 56
16. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan
disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka
berbeda. Banyaknya bilangan yang dapat disusun
adalah …. ( UN 2010 )
a. 18 d. 120
b. 36 e. 216
c. 60
17. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 7 akan
disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka
berbeda. Banyaknya bilangan berbeda yang dapat
disusun dengan nilai kurang dari 400 adalah ….
( UN 2011 )
a. 12 d. 48
b. 24 e. 84
c. 36
18. Dalam kompetisi bola basket yang terdiri
dari 10 regu peserta akan dipilih juara 1, 2, 3. Banyak
cara memilih adalah ….
(UN 2010 )
a. 120 d. 720
b. 360 e. 900
c. 540
19. Banyak cara memasang 5 bendera dari
Negara yang berbeda disusun dalam satu baris adalah ….
(UN 2011)
a. 20 d. 120
b. 24 e. 132
c. 69
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
20. Dari 20 kuntum bunga mawar akan diambil
15 kuntum secara acak. Banyak cara pengambilan ada ….
(UN 2011)
a. 15.504 d. 4.896
b. 12.434 e. 816
c. 9.024
Menentukan nilai peluang dan frekuensi harapan suatu
kejadian
Ringkasan Materi :
1. Peluang :
a. Peluang kejadian tunggal
Misalkan
A : suatu kejadian
S : semesta pembicaraan
n(A) : banyaknya anggota kejadian A
n(S) : banyaknya anggota semesta pembicaraan
maka Peluang kejadian A ( P(A) ) dirumuskan dengan
P(A) =
b. Peluang kejadian majemuk biasa :
Jika A dan B dua kejadian, maka berlaku :
c. Peluang kejadian majemuk saling
lepas
Misalkan A dan B dua kejadian, jika anggota kejadian A
dan kejadian B tidak ada yang sama ( yang berarti A∩
B = Ф ) maka A dan B disebut dua kejadian yang saling
lepas, dan berlaku :
Catatan : secara mudah kita katakan bahwa dua
kejadian saling lepas tidak mungkin terjadi secara
bersama - sama
d. Peluang kejadian majemuk saling
bebas
Misalkan A dan B dua kejadian, jika terjadinya kejadian
A tidak dipengaruhi oleh terjadi atau tidak terjadinya
kejadian B, dan sebaliknya terjadinya kejadian B tidak
dipengaruhi oleh terjadi atau tidak terjadinya kejadian
A, maka A dan B disebut dua kejadian saling bebas,
dan berlaku :
Catatan : dua kejadian saling bebas, dapat terjadi
secara bersama – sama tetapi tidak saling
mempengaruhi.
2. Frekuensi harapan suatu kejadian ( Fh )
Misalkan dalam sebuah percobaan yang dilakukan
berulang- ulang sebanyak n kali, kemungkinan
munculnya kejadian A sebesar P(A), maka Frekuensi
harapan kejadian A ( Fh (A) ) dirumuskan dengan :
Fh (A) = n . P(A)
Contoh Soal :
1. Dua buah dadu dilempar undi bersama – sama.
Peluang munculnya jumlah kedua mata dadu
merupakan bilangan prima adalah ....
a. d.
b. e.
c.
Penyelesaian :
Misalkan A = kejadian munculnya jumlah mata dadu
merupakan bil. prima
n(S) = 36 , yaitu :
S = {(1,1), (1,2), ... , (6,6)}
anggotanya A =
{(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,4),(4,1),(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),
(3,4),(4,3),(5,6),(6,5)}, jadi n(A) = 15
maka peluang A sebesar :
P(A) = . jadi jawabannya E
2. Sebuah dadu dan sekeping mata uang logam
dilempar undi bersama-sama sekali. Peluang
munculnya mata dadu lima dan angka pada mata uang
logam adalah ....
a. d.
b. e.
c.
Penyelesaian :
Misalkan
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
A = kejadian munculnya mata dadu 5
= {5}
n(A) = 1, dengan n(S) = 6 ( karena muka dadu ada 6 )
akibatnya P(A) =
B = kejadian munculnya angka pada uang logam
= {A}
n(B) = 1, dengan n(S) = 2 ( karena muka uang ada 2 yaitu
Gambar / G dan Angka /A )
akibatnya P(B) =
yang ditanyakan adalah : P(A∩B)
jelas A dan B saling bebas ( karena keduanya tidak saling
mempengaruhi ), maka :
P(A∩B) = P(A). P(B)
=
= . Jadi jawabannya B
3. Tiga buah mata uang logam dilempar undi bersama –
sama sebanyak 40 kali. Frekuensi harapan munculnya dua
angka dan satu gambar adalah ....
a. 12 d. 37
b. 13 e. 38
c. 15
Penyelesaian :
Jelas bahwa tiap mata uang logam ada 2 permukaan, maka
kalau 3 mata uang logam dilempar maka akan diperoleh
delapan pasangan ( dari 23 = 8 ), jadi n (S) = 8.
Misalkan A : kejadian munculnya 2 Angka dan 1 Gambar
= {(AAG),(AGA),(GAA)}
n(A) = 3, sehingga
P(A) =
Jelas banyaknya percobaan ( n ) = 40 , maka :
Frekuensi harapan kejadian A = Fh (A) = n . P(A)
Fh (A) = 40 .
Fh (A) = 5. 3 = 15
Jadi jawabannya C
Paket Soal 20 :
1. Pada percobaan melempar dua buah
dadu satu kali, peluang munculnya mata dadu
berjumlah lebih dari 10 adalah ....
a. d.
b. e.
c.
2. Sebuah kotak berisi 5 kelereng merah
dan 3 kelereng kuning. Jika diambil dua kelereng secara
acak satu persatu berturut-turut tanpa pengembalian,
maka peluang terambil pertama kelereng merah dan
kedua kelereng kuning adalah ....
a. d.
b. e.
c.
3. Dua buah dadu dilambungkan
bersama-sama satu kali. Peluang munculnya jumlah
mata dadu 9 atau 10 adalah ....
a. d.
b. e.
c.
4. Dua buah dadu dilemparkan bersama-
sama satu kali. Peluang muncul mata dadu berjumlah
empat atau sepuluh adalah ….
a.
d.
b. e.
c.
5. Dalam sebuah kotak berisi 6 bunga
mawar merah dan 4 bunga mawar putih. Dari kotak itu
diambil satu tangkai bunga berturut – turut tanpa
pengembalian. Peluang terambilnya bunga mawar
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
merah pada pengambilan pertama dan mawar putih pada
pengambilan kedua adalah ....
a. d.
b. e.
c.
6. Dua buah dadu yang seimbang dilempar
undi bersama – sama sebanyak 540 kali. Frekuensi
harapan munculnya mata dadu berjumlah 5 adalah ....
a. 240 kali d. 60 kali
b. 180 kali e. 30 kali
c. 90 kali
7. Pada percobaan melempar 3 keping mata
uang logam sebanyak 64 kali, frekuensi harapan
munculnya paling sedikit satu angka adalah ....
a. 21 d. 67
b. 24 e. 192
c. 56
8. Dua mata uang logam dilempar bersama-
sama sebanyak 80 kali. Frekuensi harapan munculnya
keduanya gambar adalah .....
a. 20 kali d. 40 kali
b. 30 kali e. 60 kali
c. 35 kali
9. Sebuah dadu dilemparkan 108 kali.
Frekuensi harapan munculnya permukaan dadu prima
ganjil adalah ….
a. 36 d. 62
b. 42 e. 74
c. 54
10. Sebuah lempeng berbentuk
lingkaran dibagi 12 juring sama besar dan setiap
juring diberi bernomor 1 sampai dengan 12 dan
dilengkapi jarum penunjuk. Jika jarum diputar
sebanyak 120 kali, maka frekuensi harapan
jarum menunjuk nomor yang merupakan
bilangan prima adalah ....a. 60 kali
b. 50 kali
c. 40 kali
d. 30 kali
e. 20 kali
11. Dua buah dadu dilempar undi bersama-
sama sebanyak satu kali. Peluang munculnya mata 3
pada dadu pertama atau mata 2 pada dadu kedua
adalah ….( UN 2010 )
a. d.
b. e.
c.
12. Sebuah kotak berisi 6 bola hitam dan 5
bola putih. Jika dari kotak diambil 2 bola secara acak,
maka peluang terambil 2 bola hitam adalah ....( UN 2010
)
a. d.
b. e.
c.
13. Kotak I berisi 4 bola biru dan 3 bola
kuning. Kotak II berisi 2 bola biru dan 5 bola merah. Dari
masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak.
Peluang terambilnya kedua bola berlainan warna
adalah…. ( UN 2011 )
a. d.
b. e.
c.
14. Sebuah dadu dilempar undi sebanyak
150 kali. Frekuensi harapan muncul mata dadu kurang
dari 4 adalah ….
(UN 2010 )
a. 25 d. 100
b. 50 e. 125
c. 75
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
15. Pada percobaan lempar undi 3 keping
uang logam bersama-sama sebanyak 600 kali. Frekuensi
harapan muncul paling sedikit dua gambar adalah …. (UN
2011 )
a. 500 d. 200
b. 400 e. 100
c. 300
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Menentukan unsur-unsur pada diagram lingkaran atau
batang
Ringkasan Materi :
Unsur – unsur pada diagram lingkaran yang pokok hanya 2 hal
:
1. Menentukan besar bagian
dalam lingkaran ( dapat berupa persentase( % ) atau
derajat ( o ) )
Cara Menentukan :
Misalkan suatu pembicaraan dengan populasi / semesta
pembicaraan sebanyak n objek, dan untuk suatu kriteria
tertentu ada sebanyak r objek, maka bagian r objek dalam
lingkaran sebesar :
Jika dalam % =
Jika dalam o =
2. Menentukan banyaknya anggota
suatu kejadian/ objek jika persentase atau derajatnya
dalam lingkaran dan jumlah seluruh objek (n ) diketahui
Banyak anggota
suatu kejadian =
Atau Banyak anggota
suatu kejadian =
Contoh Soal :
1. Pada diagram lingkaran berikut menggambarkan
banyak siswa yang mengikuti olahraga. Jika banyak siswa
ada 400 siswa, maka banyak siswa yang mengikuti dance
adalah ....
Penyelesaian :
Jelas jumlah populasi, n = 400 siswa,
% dance = 100 % - ( 10%+20%+30%+5% ) = 100%-65% = 35%
Sehingga jumlah siswa peserta dance =
=
= 35. 4
= 140 siswa
Jadi jawabannya D.
2. Diagram lingkaran dibawah ini menggambarkan
mata pel yang digemari 144 siswa, maka banyaknya
prosentase siswa yang gemar Matematika adalah ....
Penyelesaian :
Jelas banyaknay siswa gemar Matematika = 144 – (48+36)
X = 60 siswa
Maka % siswa gemar Matematika =
=
=
= 41,67 %
Jadi jawabannya D
Dance ?
Taekwondo30 %
Karate20%
Silat10%
Wushu 5%
a. 40 siswa
b. 80 siswa
c. 120 siswa
d. 140
Ekonomi36 siswa
Matematika X siswa
Geografi48 siswa
a. 38,67%
b. 39,67%
c. 40,67%
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
3. Diagram lingkaran pada gambar berikut adalah data
siswa yang menggunakan kendaraan untuk pergi ke
sekolah. Jika banyaknya siswa yang menggunakan
kendaraan sepeda motor 180 siswa, maka banyaknya
seluruh siswa yang menggunakan kendaraan adalah ....
Penyelesaian :
Jelas untuk bagian sepeda motor 45 % = 180 siswa.
Dan untuk yang memakai kendaraan ( sepeda motor +
angkutan kota + bus kota ) = 45% + 22% + 18%
= 85%
Yang ditanyakan adalah berapa banyak siswa yang
menggunakan kendaraan ( misalkan x siswa ), maka kita cari
menggunakan hubungan kesetaraan :
x =
x = 85 . 4
x = 340 siswa
Paket Soal 21 :
1. Komposisi mata pencaharian penduduk desa
Jati Makmur seperti pada gambar berikut :
Jika tercatat jumlah penduduk 45.000 orang, maka
banyak penduduk yang bermata pencaharian pedagang
adalah ... orang.
a. 2.500 d.
9.000
b. 5.000 e.
12.000
c. 7.500
2. Banyaknya siswa yang mengikuti
ekstrakurikuler sebuah SMA adalah 420 siswa
ditunjukkan oleh diagram lingkaran berikut :
3. Berikut ini adalah data tingkat pendidikan
suatu kota.
Jika banyaknya warga yang berpendidikan SMP 150
orang maka banyaknya warga yang berpendidikan SD
adalah ....
a. 175
b. 200
c. 215
d. 225
e. 250
4. Diagram lingkaran berikut menunjukkan
persentase jenis pekerjaan penduduk di kota X. Jumlah
penduduk seluruhnya adalah 3.600.000 orang. Banyak
penduduk yang menjadi nelayan adalah …. ( UN 2010 )
a. 400 siswa
b. 380 siswa
c. 360 siswa
Petani 1680
Buruh 600
Pedagang720
Pengusaha
400
Pegawai 200
Basket Bola voly147 siswa
Karate63 siswa
Sepak bola126
siswa
Besar persentase peserta ekstrakurikuler basket adalah ... %4035302015
SMA1000PT
500
SD SMP900
nelayan Petani42%Pedagang
28%karyawan
12%
Buruh 8%a. 288.000
d.1.008.000b. 360.000 e.
1.800.000
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
5. Diagram berikut menyatakan jumlah anggota
keluarga dari 50 siswa . Banyak siswa yang mempunyai
jumlah anggota keluarga 5 orang adalah… siswa. ( UN 2011
)p
12119
4
3 4 5 6 7Jumlah anggota
keluargha
Frekuensi
a. 13b. 14c. 15d. 16e. 17
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Menghitung nilai ukuran pemusatan dari data dalam bentuk
tabel atau diagram
Ringkasan Materi :
1. Mean ( rata – rata ) data berkelompok
Cara Biasa :
Ket : = jumlah frekuensi
= jumlah perkalian frekuensi masing –
masing kelas dengan titik tengah masing
– masing kelas
= frekuensi kelas ke- i
= titik tengah kelas ke-i
2. Median ( data tengah/ Me ) untuk data
berkelompok :
Keterangan :
= tepi bawah kelas median ( diperoleh dari batas
bawah kelas median – 0,5 )
Kelas median = kelas yang mengandung data ke -
= jumlah frekuensi
= jumlah frekuensi kelas-kelas sebelum kelas median
= frekuensi kelas median
= panjang interval kelas
3. Modus ( data yang paling sering muncul/
Mo ) untuk data berkelompok :
Keterangan :
= tepi bawah kelas modus ( diperoleh dari batas bawah
kelas modus – 0,5 )
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas
sebelumnya
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas
sesudahnya
Catatan : untuk dan selalu berharga positif ( karena
selisih, berarti yang besar dikurangi yang kecil )
= panjang interval kelas
4. Kuartil :
Kuartil ada 3 jenis, yaitu kuartil bawah ( Q1 ), kurtil
tengah (Q2= yang juga sama dengan Median ), dan
kuartil atas ( Q3)
Rumus kurtil :
Keterangan :
= tepi bawah kelas kurtil ke-i ( jika kuartil 1 maka i
diganti 1, jika kuartil 2 maka i diganti 2, dan jika
kuartil 3 maka i diganti 3 )
= jumlah frekuensi
= jumlah frekuensi kelas-kelas sebelum kelas kurtil
= frekuensi kelas kuartil
= panjang interval kelas
Ingat ! jika mencari kuartil 2, maka dapat
menggunakan rumus median
Contoh Soal :
1. Skor dari hasil seleksi pra olimpiade di
salah satu propinsi disajikan pada tabel berikut :
Skor Frekuensi
2-4
5-7
8-10
11-13
14-16
2
5
6
4
3
Rata – rata hasil seleksi tersebut adalah ....
a. 8,15 d. 11,25
b. 9,15 e. 11,5
c. 10,5
Penyelesaian :
Cara I :
Jelas kita dapat melengkapi tabel menjadi :
Skor f xi f.xi
2-4
5-7
8-10
11-13
14-16
2
5
6
4
3
3
6
9
12
15
6
30
54
48
45
jumlah 20 183
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
Maka rata – ratanya :
= . Jadi jawabannya B
Cara II :
Tabel kita lengkapi menjadi :
Skor f xi ci f.ci
2-4
5-7
8-10
11-13
14-16
2
5
6
4
3
3
6
9
12
15
-2
-1
0
1
2
-4
-5
0
4
6
jumlah 20 1
= 9, p = 3 ( 2 sampai 4 ada 3 angka, atau 5 sampai 7 ada 3
angka ) maka rata – ratanya adalah :
= = 9+0,15 = 9,15
2. Modus dari data pada tabel berikut ini
adalah ....
Nilai Frekuensi
1-3
4-6
7-9
10-12
13-15
1
6
7
5
1
a. 7,25
b. 7,5
c. 8,25
d. 8,5
e. 8,75
Penyelesaian :
Jelas kelas modusnya adalah kelas : 7 – 9 ( karena kelas
tersebut frekuensinya terbesar )
Sehingga Tb = 7- 0,5 = 6,5
S1 = 7 – 6 = 1
S2 = 7 – 5 = 2
P = 3
Maka :
Mo =
Jadi jawabannya B.
3. Dari tabel berikut, kuartil bawahnya adalah
....
Berat badan Frekuensi
36-45
46-55
56-65
66-75
76-85
5
10
12
7
6
a. 50,5 kg
b. 52,5 kg
c. 53,5 kg
d. 54,5 kg
e. 55,5 kg
Penyelesaian :
Jelas jumlah frekuensi ( n ) = 5+10+12+7+6 = 40,
Yang ditanya adalah Q1 maka letak Q1 berada pada data
ke- berarti kelas Q1 adalah kelas 46 – 55
( catatan : ketika di kelas pertama ( 36-45) data baru
berjumlah 5, sehingga agar data ada 10 tentu
letaknya di kelas kedua, yaitu 46-55 )
akibatnya :
Tb = 46-0.5 = 45.5
F = 5
FQ1 = 10 ( frekuensi kelas Q1 )
P = 10 ( berasal dari banyaknya bilangan dari 46 s.d 55, atau
dapat dicari pakai rumus Ta – Tb = 55,5 – 45,5 = 10 )
Ta = Tepi atas = Batas atas – 0,5
Tb = Tepi bawah = Batas bawah – 0,5.
Akhirnya
Q1 =
=
= 45,5 + 5
= 50,5 jadi jawabannya A
Paket Soal 22 :
1. Perhatikan tabel di bawah ini !
Nilai Frekuensi
40-49
50-59
60-69
70-79
4
6
10
4
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
80-89
90-99
4
2
Nilai rata- ratanya adalah ....
a. 65,83 d. 66,23
b. 65,95 e. 66,25
c. 65,98
2. Tabel di samping adalah hasil ulangan
matematika kelas XI IPS. Modus nilai ulangan pada data di
samping adalah ....
3. Diketahui data berkelompok sebagai
berikut :
Ukuran Frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
7
9
20
26
22
16
Modus dari data pada tabel tersebut di atas adala ….
a. 49,5 d. 52,5
b. 50,5 e. 53,5
c. 51,5
4. Perhatikan tabel berikut !
Nilai Frekuensi
151-155
156-160
161-165
166-170
171-175
5
20
40
26
7
Median dari data tersebut adalah ....
a. 156,5 d. 164,5
b. 160,5 e. 166,5
c. 163,5
5. Diketahui histogram berikut.
Modus dari data histogram di atas adalah ....
a. 160 d. 163,5
b. 160,5 e. 165
c. 163
( petunjuk : untuk soal tipe ini sebenarnya sama dengan
yang lain hanya berbeda penampilan, bilangan –
bilangan yang ada pada sumbu X(nilai) adalah tepi
bawah dan tepi atas, jadi kalau dibuat dalam kelas
meliputi kelas 151-155, 156-160, dst , ada 5 kelas )
6. Nilai rata-rata dari data pada histogram
berikut adalah….
( UN 2010 )
a. 55,35 d.
56,50
b. 55,50 e.
57,35
c. 56,35
7. Nilai rata-rata dari data pada histogram
berikut adalah….
( UN 2011 )
a. 43,375 d.
43,135
b. 42,150 e.
44,250
Nilai frekuensi32 – 40 441 – 49 650 – 58 759 – 67 1668 – 76 1877 – 85 1186 – 94 8
a. 68b. 69,5c. 70d. 71,5e. 72
150,5
5
9
1210
4
175,5155,5 160,5 165,5 170,5Nilai
f
29,5
5
7
129
4
59,534,5 39,5 44,5 49,5
Berat badan
f
3
54,5
2
5
8
4
1
Nilai
f
30,5 41,5 52,5 63,5 74,5 85,5
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
c. 43,125
8. Modus dari data pada tabel berikut adalah
…. ( UN 2010 )
Umur Frekuensi
20 – 24
25 – 29
30 – 34
35 – 39
40 - 44
4
7
11
10
8
a. 31,
75
b. 32,0
c. 32,5
d. 33,2
5
e. 33,5
9. Modus dari data pada tabel berikut adalah
…. ( UN 2011 )
Panjang Daun
( mm )
Frekuensi
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
6
13
19
15
7
a. 34,5
0
b.
35,50
c.
35,75
d. 36,2
5
e. 36,5
0
Kisi 22 : Menentukan ukuran penyebaran
Ringkasan Materi :
1. Ragam/ Varians data tunggal ( S2 )
Misalkan adalah data, maka Ragam/
Varians data tersebut :
= jumlah dari kuadrat nilai masing – masing
data dikurangi rata-rata data tersebut )
= data ke-i
= rata – rata data = , dengan n adalah
banyaknya data
2. Simpangan Baku data tunggal ( S )
Jadi kalau ragam sudah ketemu, untuk mancari
simpangan baku tinggal ragam/ variannya diakar saja.
Contoh Soal :
1. Ragam dari data 6, 8, 6, 7, 8, 7, 9, 7, 7, 6, 7, 8, 6, 5, 8, 7
adalah ....
a. 1 d.
b. 1 e.
c. 1
Penyelesaian :
Agar enak data kita buat tabel :
data f xi - (xi - )2
5
6
7
8
9
1
4
6
4
1
-2
-1
0
1
2
4
1
0
1
4
jumlah 16 10
=
Sehingga =
Catatan : jika nau mencari Simpangan baku ( S ), berarti :
S =
Paket Soal 23 :
1. Simpangan baku dari data 7, 7, 8, 6, 7
adalah ....
a. d.
b. e.
c.
2. Ragam dari data : 3, 7, 2, 6, 8, 4 adalah ....
a. d.
b. e.
c.
htt
p:/
/ma
tem
atr
ick
.blo
gsp
ot.
co
m
3. Simpangan baku dari data 2, 1, 3, 6, 1, 4, 2, 5
adalah ….
( UN 2010 )
a. d.
b. e.
c.
4. Simpangan baku dari data 2, 1, 3, 6, 1, 4, 2, 5
adalah ….
( UN 2011 )
a. d.
b. e.
c.
