Persamaan Diferensial Parsial Numerik

METODE ROE

Oleh: Indah Yanti 106090404151001

PROGRAM PASCA SARJANA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG 2011

1

Skema GodunovSistem hukum konservasi satu-dimensi ( ) ( ) (6.1.1a) Pada saat diskontinu terjadi, solusi diharapkan memenuhi

( )| (6.5.1)

pada sebarang interval

. Diskontinuitas bergerak menurut kondisi Rankine-Hugoniot ( ) ( ) ( ) (6.5.2)

dimana Misal (

dan

nilai solusi pendekatan kanan dan kiri dari diskontinuitas. ) adalah solusi dari masalah Riemann (6.1.1a) dengan data awal ( ) {

Contoh 6.5.1. Solusi masalah Riemann untuk persamaan inviscid Burgers ( ) adalah ( dan ) {

(

)

{ Metode Godunov adalah metode pertama yang menggunakan solusi Riemann problem untuk membangun prosedur beda-hingga. Skema Godunov adalah skema shock capturing yang

2

mempunyai dissipasi yang berhubungan dengan diskontinuitas. Dan menyebarkan diskontinuitas pada sel komputasi. Grid Metode Godunov Grid seragam dari pengaturan jarak konstan dari diberikan oleh ( ) ( )

dan pandang solusi pada level waktu ( )

sebagai fungsi

(6.5.5)

??????

??????????????????

?????????????????? ??????

??????

??????

??????

??????

??????

3

Solusi Riemann problem patah pada ( (

) dengan data konstan ( ] ( ]

)

sehingga solusi Riemann problem pada subinterval berdekatan tidak berinteraksi. Solusi Riemann problem lokal jika kondisi CFL dipenuhi adalah ( ) (

)

(

]

(

] (6.5.6b)

(

)

(

)

(

]

(

] (6.5.6c)

3

Dengan metode Godunov, solusi masalah nilai awal pada waktu memproyeksikan solusi Riemann problem pada fungsi konstan

diperoleh dengan

(

) (6.5.7)

Karena (

) adalah solusi eksak dari sistem differensial parsial (6.1.1a), maka

[

( )]

(

)|

( )|

(6.5.8) Untuk (

diperoleh

(

)

( (

) dan untuk ) dan (

diperoleh ;

)

(

). Bagaimanapun,

) independen dari

sehingga

( )|

* ( (

))

( (

))+

Dengan menggunakan (6.5.8) diperoleh * ( ( )) ( ( ))+ (6.5.9a) . dengan Bentuk (6.5.9a) adalah skema Godunov dengan fluks numerik ( ) ( ( )) (6.5.9b) Contoh 6.5.2. Dengan menggunakan solusi Riemann problem untuk persamaan inviscid Burger, diperoleh

(

) {

Dengan fluks numerik 4

(

)

{

5

Metode RoeRoe mengembangkan dengan bentuk hukum konservasi dengan fluks numerik ( ) ( ( )) (6.5.11a) Dimana ( ) adalah solusi eksak dari linearized Riemann problem ( Matriks adalah pendekatan dari Jacobian ( ) ( ) ) (6.5.11b) yang memenuhi ( )( ) (6.5.11c) akan membuktilan sejumlah sifat untuk solusi dari aproksimasi persamaan (6.1.1a) menjadi aproksimasi yang sesuai dari solusi persamaan (6.1.1a). Kondisi tersebut adalah 1. Matriks mempunyai nilai eigen. Hal ini merupakan syarat perlu untuk aproksimasi sistem hukum konservasi adalah hiperbolik. 2. harus mendekati ketika dan saling mendekati satu sama lain: ( ) ( )

3. Konservasi terpenuhi, yaitu untuk sebarang sepasang variabel (

), lompatan pada fluks berhubungan dengan lompatan pada variabel melalui kondisi Rankine-Hugoniot ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

Contoh 6.5.3. Fluks untuk persamaan inviscid Burger ( ) adalah ( ) (6.5.11c) menjadi ( ) ( ( ) ) ( ( ( ( )( )( ) ) 6 ) )

(

)

(

)

(

)

dimana adalah shock speed. Sehingga fluks numerik Roe untuk persamaan inviscid Burger adalah ( ) { Misal terputus di (

, kecepatan signal minimum dan maksimum yang terkait dengan Riemann problem, ). Solusi dari

adalah

. Dan solusi untuk

adalah . Aproksimasi solusi Riemann adalah ( ) { (6.5.12) ?????? ???????????????????????? ???????????? ???????????????????????? ????????????

??????

???????????? ?????? ??????

Untuk menentukan daerah , diperoleh dari mengintegralkan hukum konservasi pada sel ) untuk mendapatkan ( ) (

7

[

( )]

(

)|

( )|

Karena solusi pada

dan

adalah

dan

, diperoleh

dari (6.5.12) diperoleh

(

)|

[ (

)

(

)]

( dan

)

{

(

)

{

Sehingga bentuk integral menjadi ( Atau ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]

Prosedur penghitungan kecepatan signal (Harten dan Hyman) Ambil ( ( ) ) [ ]

(6.5.14a) [ ]

((

)

) (6.5.14b)

Kecepatan signal ( ) ( ( ) ) (6.5.14c) ( ) ( ( )) 8

(6.5.14d) ( ) ( )

(6.5.14e)

Contoh 6.5.4. Untuk persamaan inviscid Burger, nilai ekstrim terjadi pada ( ) ) ( ) ( SOAL Fluks untuk persamaan inviscid Burger ( ) adalah ( ) Untuk ( ( ) ) ( )

Diperoleh

dan

.

( Untuk ) {

Diperoleh

dan

.

( ) {

9

Listing Program%fluks inviscid Burger function f=fb(u) f=(u^2)/2; %aproksimasi jacobian function A=Ab(ul,ur) A=(ur+ul)/2; %nilai fungsi function w=wb(a,b,ul,ur,vmin,vmax) us=((vmax*ur-vmin*ul)/(vmax-vmin))-((fb(ur)-fb(ul))/(vmax-vmin)); if a/bur clear all; clc; ul=1; ur=0; t1=0; t2=1; x1=-0.5; x2=1; dt=0.001; dx=0.002; n=floor((t2-t1)/dt); m=floor((x2-x1)/dx); vminb = min(ul,Ab(ul,ur)); vmaxb = max(Ab(ul,ur),ur); vmin = Ab(ul,ur)-(Ab(ul,ur)-vminb); vmax = Ab(ul,ur)+(vmaxb-Ab(ul,ur)); %nilai awal for i=1:m+1; x(i)=x1+i*dx; if x(i)