UNIVERSITETI I TIRANËS

FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS

DISERTACION

PËR MARRJEN E GRADËS SHKENCORE

“DOKTOR”

SJELLJA OSHILATORE DHE JOOSHILATORE E

ZGJIDHJEVE TË EKUACIONEVE FUNKSIONALE

DHE ZBATIME

Punoi: Udhëheqës Shkencor:

Elisabeta PETI Prof. Dr. Dhimitraq NIÇKA

Tiranë, 2015

ii

UNIVERSITETI I TIRANËS

FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS

Disertacion

i

Paraqitur nga

Znj. Elisabeta Peti

Për marrjen e gradës shkencore

“DOKTOR”

Specialiteti: Analizë dhe Algjebër

Tema: SJELLJA OSHILATORE DHE

JOOSHILATORE E ZGJIDHJEVE TË

EKUACIONEVE FUNKSIONALE DHE ZBATIME

Mbrohet më dt. . . para jurisë:

1. Kryetar

2. Anëtar (oponent)

3. Anëtar (oponent)

4. Anëtar

5. Anëtar

6. Anëtar

iii

PËRMBAJTJA

PËRMBAJTJA ....................................................................................................................... iii

PARATHËNIE ........................................................................................................................ v

HYRJE .................................................................................................................................... vi

KAPITULLI I .......................................................................................................................... 1

NJOHURI PARAPRAKE................................................................................................... 1

§ 1. NJOHURI MBI TEORINË E SHTURM-LIUVILIT ................................................. 1

§ 1.1 MATRICAT E KONJUGUARA DHE TË VETË-KONJUGUARA ....................... 2

§ 1.2 OPERATORËT E KONJUGUAR DHE TË VETË-KONJUGUAR ....................... 3

§ 1.3. PROBLEMI KLASIK I SHTURM-LIUVILIT (SL) ............................................... 6

§ 1.4. TEOREMAT E KRAHASIMIT TË EKUACIONEVE DIFERENCIALE SIPAS

SHTURMIT ...................................................................................................................... 9

§ 2. NJOHURI MBI TEORINË E OSHILACIONIT ...................................................... 15

KAPITULLI II ...................................................................................................................... 19

EKUACIONET FUNKSIONALE TË RENDIT TË LARTË ............................................. 19

§ 1. KRITERE OSHILACIONI TË EKUACIONEVE FUNKSIONALE TË RENDIT TË

LARTË ............................................................................................................................ 19

§ 2. KUSHTE OSHILACIONI PËR NJË TRAJTË MË TË PËRGJITHSHME TË

EKUACIONIT FUNKSIONAL TË RENDIT TË LARTË ............................................. 42

KAPITULLI III ..................................................................................................................... 46

EKUACIONET FUNKSIONALE TË RENDIT TË DYTË ............................................... 46

§ 1. DISA KUSHTE TË MJAFTUESHME PËR OSHILACIONIN E ZGJIDHJEVE TË

EKUACIONIT FUNKSIONAL TË RENDIT TË DYTË ............................................... 46

§ 2. KUSHTE TË MJAFTUESHME TË OSHILACIONIT PËR EKUACIONET E

RENDIT TË DYTË SI ZBATIME TË EKUACIONIT TË RENDIT TË LARTË ......... 59

§ 3. PËRMIRËSIMI I DISA KUSHTEVE PËR JOOSHILACIONIN E ZGJIDHJEVE

TË EKUACIONIT FUNKSIONAL TË RENDIT TË DYTË ......................................... 63

KAPITULLI IV ..................................................................................................................... 67

ZBATIME TË KUSHTEVE TË OSHILACIONIT DHE JOOSHILACIONIT NË

EKUACIONET DIFERENCË DHE REKURENCË .......................................................... 67

§ 1. SJELLJA OSHILATORE NË EKUACIONET E DIFERENCËS (DDE) ME

ARGUMENT DISKRET ................................................................................................ 67

§ 2 EKUACIONI DIFERENCË I RENDIT TË DYTË .................................................. 72

§ 3. SJELLJA OSHILATORE E ZGJIDHJEVE NË EKUACIONET E REKURENCËS

(RE) ................................................................................................................................. 74

iv

§ 4. SJELLJA OSHILATORE E ZGJIDHJEVE NË EKUACIONET E DIFERENCËS

(DE) ME ARGUMENT TË VAZHUESHËM ................................................................ 78

KAPITULLI V ....................................................................................................................... 81

DISA KUSHTE OSHILACIONI NË EKUACIONET DIFERENCIALE .......................... 81

§ 1. KUSHTE OSHILACIONI DHE JOOSHILACIONI PËR EKUACIONET

DIFERENCIALE TË ZAKONSHME TË RENDIT TË DYTË ..................................... 82

§ 2. KUSHTE OSHILACIONI DHE JOOSHILACIONI PËR EKUACIONET

DIFERENCIALE JOLINEARE TË RENDIT TË DYTË ME FAKTOR SHUARËS .... 94

§ 3. MODELE MATEMATIKORE ................................................................................ 99

PËRFUNDIME .................................................................................................................... 107

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................. 108

v

PARATHËNIE

Në vitet 1836 dhe 1837, Jacques Charles François Sturm (1803-1855) dhe

Joseph Liouville (1809-1882) publikuan një seri punimesh mbi ekzistencën e vlerave

vetjake (eigenvalues) dhe funksioneve vetjake (eigenfunctions) koresponduese në

ekuacionet diferenciale të zakonshme të rendit të dytë. Në rrafshin teorik fill pas

publikimit të tyre u vu re menjëherë një intensifikim i paparë idesh të reja që u bënë

vatër i një debati të zjarrtë shkencor. Për më tepër, gjithnjë e më shumë u bë e qartë

mundësia e pasjes në dorë tashmë të një instrumenti bazë që do t’i shërbente zgjidhjes

së shumë problemave praktike në disiplina të tilla ku kërkohej nevoja jo vetëm e

ekzistencës së vlerave vetjake dhe funksioneve koresponduese vetjake të tyre, por edhe

përshkrimi cilësor i tyre. Pikërisht, kjo teori e ideuar dhe e zbatuar duke filluar nga

punimet e Shturm-Liuvilit duke qenë tepër rrënjësore në konceptimin e saj, e shtrirë

tashmë edhe në shumë disiplina shtroi për studim dhe për zgjidhje një problematikë të

re, interesante dhe mjaft komplekse, duke krijuar një kuadër të ri studimi: Teorinë e

Oshilacionit.

Informacioni historik i mësipërm na lejon të pohojmë që me krijimin e teorisë

së Shturm-Liuvilit në shekullin e XIX, nis në parim edhe historia e teorisë së

oshilacionit, pavarësisht se me probleme që lidhen me të matematikanët ishin ndeshur

edhe gjatë një shekulli më parë.

Tashmë, teoria e oshilacionit është një degë e rëndësishme e teorisë së

aplikuar të ekuacioneve funksionale që lidhet me studimin e fenomeneve oshilatore

(luhatëse) në shkencat teknologjike, natyrore dhe shoqërore. Problemet themelore të

teorisë klasike të oshilacionit konsistojnë në provën e ekzistencës ose mos ekzistencës

të zgjidhjeve oshilatore (periodike, pothuajse periodike etj) të një ekuacioni apo

sistemi ekuacionesh.

Shpresoj që ky disertacion të ketë përmbushur qëllimin tonë për të hedhur

dritë mbi Teorinë e Oshilacionit dhe pse jo të ketë zgjuar interesin për bashkëpunim

edhe me disiplina të tjera të interesuara për këto rezultate.

Për të arritur në hartimin e këtij disertacioni përveç punës dhe përpjekjeve personale

një kontribut të rëndësishëm ka dhe udhëheqësi im shkencor Prof. Dr. Dhimitraq

Niçka, të cilit i shpreh mirënjohjen dhe falënderimet e mia.

I shpreh mirënjohjen time Prof. Dr. Ioanis Stavroulakis (Universiteti i Janinës). Jam

ndier e privilegjuar që jo vetëm më ka udhëzuar në përzgjedhjen e literaturës së

nevojshme klasike dhe bashkëkohore por edhe mbështetur në të gjithë rrugëtimin tim.

I shpreh mirënjohjen edhe Prof.Asoc Xhevair Beqiri (Universiteti i Tetovës) për

bashkpunimin, këshillat dhe inkurajimin e tij gjatë gjithë kësaj periudhe.

Një falënderim i veçantë për të gjithë grupin e profesorëve të Departamentit të

Matematikës për kontributin që kanë dhënë në formimin tim akademik.

Së fundi falënderimet e mia do të shkojnë për familjen time. Dashuria, durimi dhe

mbështetja e tyre kanë qenë faktori kryesor në edukimin tim profesional dhe njerëzor.

vi

HYRJE Me termin Ekuacion Funksional nënkuptohet prania në të e një të panjohuri i

cili është funksion i një apo më shumë ndryshoreve. Çdo funksion që e kënaq

ekuacionin funksional për vlera të ndryshores (ndryshoreve) në një zonë të fushës së

tij të përcaktimit, natyrshëm e quajmë zgjidhje të atij ekuacioni në atë zonë. Studimi i

zgjidhjeve si në anën numerike ashtu edhe cilësore është objekt i Teorisë së

Ekuacioneve Funksionale (T.E.F).

Teoria e ekuacioneve funksionale ka qenë dhe mbetet një drejtim i

rëndësishëm në disiplinën e Analizës Teorike por kjo teori, metodat e përdorura për

zgjidhjet dhe për më tepër gjerësia e aplikimeve të tyre kanë përparuar tashmë përtej

fazës fillestare për të zënë një vend qëndror edhe në Analizën Aplikative. Në fakt, këtë

e dëshmojnë artikujt kërkimore të shumtë, monografi të ndryshme, konferenca vjetore

ndërkombëtare, si dhe revista të reja të cilat i kushtohen studimit të zgjidhjeve dhe

aplikimeve të tyre. Në to shpesh vihet re se edhe ata ekspertë që kanë besuar në

universalitetin e ekuacioneve funksionale (sidomos ekuacioneve diferenciale

funksionale) kanë zbuluar në mënyrë të habitshme divergjencën që qëndron ndërmjet

vazhdueshmërisë dhe diskretësisë së tyre, me fjalë të tjera ndërmjet ekuacioneve

funksionale dhe rasteve diskrete të tyre.

Një rast i veçantë diskret i ekuacioneve funksionale janë ekuacionet diferencë

me argument diskret dhe ekuacionet e rekurencës. Në disa raste ekuacionet diferencë

(ekuacionet diferencë me argument të vazhduar) janë analoge të ekuacioneve

diferenciale.

Në vitet 1836 dhe 1837, Jacques Charles François Sturm dhe Joseph Liouville

publikuan një seri punimesh mbi ekzistencën e vlerave vetjake (eigenvalues) dhe

funksioneve vetjake (eigenfunctions) koresponduese në ekuacionet diferenciale të

zakonshme të rendit të dytë. Për më tepër ata hodhën idenë e përdorimit tashmë të një

instrumenti bazë që do t‟i shërbente zgjidhjes së shumë problemave praktike në

disiplina të tilla ku kërkohej nevoja jo vetëm e ekzistencës së vlerave vetjake dhe

funksioneve koresponduese vetjake të tyre, por edhe përshkrimi cilësor i tyre.

Pikërisht, kjo teori e ideuar dhe e zbatuar prej tyre shtroi për studim dhe për zgjidhje

një problematikë të re, interesante dhe mjaft komplekse, duke krijuar një kuadër të ri

studimi: Teorinë e Oshilacionit.

Teoria e oshilacionit është një degë e rëndësishme e teorisë së aplikuar të

ekuacioneve funksionale që lidhet me studimin e fenomeneve oshilatore në shkencat

teknologjike, natyrore dhe shoqërore. Problemet themelore të teorisë klasike të

oshilacionit konsistojnë në provën e ekzistencës ose mos ekzistencës të zgjidhjeve

oshilatore (periodike, pothuajse periodike etj) të një ekuacioni apo sistemi

ekuacionesh. Për më tepër, shpesh herë sidomos bëhet më interesante studimi i sjelljes

së zgjidhjeve të tjera (zgjidhje jooshilatore) kundrejt një zgjidhjeje oshilatore. Qindra

punime mbi aspektet teorike të teorisë së oshilacionit për klasa të ndryshme

ekuacionesh duke përfshirë: ekuacionet funksionale, diferenciale të zakonshme

(ODE), lineare dhe jo lineare, ekuacionet neutrale, ekuacionet diferenciale të

pjesshme (PDE), ekuacionet impulsive si dhe format diskrete të tyre (ekuacionet

vii

diferencë, ekuacionet e rekurencës etj) janë publikuar ndër vite ([1], [2], [3], [17],

[18], [26], [64], etj).

Në ditët e sotme, teoria e oshilacionit është një disiplinë që operon më tepër në

fushën e ekuacioneve funksionale ku ekuacionet diferenciale zënë një vend të

rëndësishëm. Vetë përmbajtja dhe spektri shumë i gjerë i aplikimit të teorisë së

oshilacionit në shumë kërkime shkencore me karakter matematikor ose me një

nuancim të lehtë matematikor, ka rritur ndjeshëm interesin e studiuesve që në mënyrë

sistematike të merren me këtë disiplinë. Studimet e kohëve të fundit kanë sugjeruar,

se shumë popullata të kafshëve apo të bimëve luhaten në sinkron për shkak të

bashkveprimit të faktorëve të tillë si gjuetia apo konkurrenca. Karakteri oshilativ

(zgjidhje oshiluese, të sistemeve që modelojnë ndryshimin e numrit të individëve në

këto popullata në varësi të kohës dhe faktorëve të tjerë) i këtyre popullatave

biologjike mund të shkaktojë efekte potencialisht të rëndësishme për to si

përshembull, të ashtuquajturin “kaosi sinkronizues”. Në neuroshkencë apo inxhinjeri

prania e zgjidhjeve oshilatore karakterizon modelet neurotike me oshilacione tensioni

të kontrolluara.

Për arsyet që u përmendën më sipër na u duk e përligjur që edhe ne të

përfitojmë nga tërë kjo pasuri botimesh në këtë fushë pak të rrahur në vendin tonë, por

edhe të kontribuojmë në këtë drejtim të ri për ne.

Organizimi i materialit: Ky punim është konceptuar në 5 kapituj.

Në kapitullin I të këtij punimi bëhen të njohura disa nocione bazë që

paraprinë lindjen e “Teorisë së Oshilacionit”. Në paragrafin e parë bëhet një paraqitje

e shkurtër e teorisë së Shturm-Liuvilit. Kjo teori në fillimet e saj pati në qendër të

studimit një nga tipet e ekuacioneve diferenciale që haset më shpesh në matematikë

dhe fizikë, ekuacionin diferencial të rendit të dytë të formës

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (E)

ku koefiçientët funksionalë ( ), - janë supozuar të vazhdueshëm dhe me

vlera reale mbi një interval . Në vazhdim të paragrafit të parë të këtij kapitulli

do të paraqesim disa përkufizime dhe koncepte bazë mbi matricat apo operatorët e

vetë-konjuguar dhe jo të vetë-konjuguar. Një vend të rëndësishëm ka zënë në këtë

kapitull edhe prezantimi i Problemit të Shturm-Liuvilit. Për konkretizim të këtij

problemi janë marrë nën studim këto ekuacione

, -

, ( ) ( )- ( ) ( ) (F)

, -

, ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) (G)

Për nocionet kryesore dhe faktet nga teoria e ekuacioneve diferenciale i referohemi

([20], [29], [35], [61]).

Natyrisht do të ishte e pëlqyeshme që zgjidhja e ekuacioneve funksionale (jo

diferenciale dhe diferenciale) të jepej me ndihmën e një “formule” të shprehur në

funksione elementare të fundme. Ekuacione të tilla në fakt janë shumë pak në

krahasim me numrin tepër të madh të atyre ekuacioneve diferenciale që nuk lejojnë

zgjidhje në trajtë të fundme. Çështja nuk është se matematikanët nuk kanë arritur t‟i

zgjidhin në trajtë të fundme këto ekuacione por, në përgjithësi parimisht është e

viii

pamundur. Madje, Liuvil tregoi se edhe ekuacione mjaft të thjeshta në dukje nuk

mund të integrohen në trajtë të fundme, ndaj ai ishte ndër të parët që hodhi idenë e

krahasimit të zgjidhjeve të panjohura të një ekuacioni me zgjidhjet e njohura të një

ekuacioni tjetër. Kjo ide e tij u shoqërua me disa teorema ”fillestare” të krahasimit

dhe të ndarjes, të cilat gjejnë pasqyrim në fund të paragrafit të parë. Në shumë

monografi apo artikuj shkencor gjejmë mënyra të ndryshme vërtetimi të teoremave të

krahasimit apo të ndarjes, por e pamë të udhës që në këtë punim të sjellim mënyra

vërtetimi si tek Hartman [37]. Në dy paragrafet e fundit të këtij kapitulli, pasi njihemi

me përkufizimet e zgjidhjeve oshilatore dhe jooshilatore, paraqesim disa shembuj për

të fiksuar idenë mbi këto zgjidhje. Teknika Rikati si transformim themelor, falë

lehtësisë së përdorimit të tij në vërtetimet e kushteve të cilat garantojnë oshilacionin e

zgjidhjeve, gjen pasqyrim në fund të këtij kapitulli.

Në Kapitullin II do të paraqesim për ekuacionet e rendit të lartë kushte nën të cilat

ato janë ekuacione oshilatore. Duke qenë se me këtë problematikë janë marrë shumë

autorë ([32], [34], [77], [78]), jemi përpjekur që disa prej kritereve të oshilacionit të

përftuara prej tyre ndër vite t‟i paraqesim sipas rendit të tyre kohor. Mbi këto kushte

ekzistuese është punuar për përmirësimin e tyre (Koçi.E [43], [49]). Për përcaktimin e

kushteve oshiluese janë përdorur disa prej teknikave bazë të teorisë së oshilacionit si

metodat e krahasimit dhe të ndarjes së Shturmit, metoda e përgjithsuar Rikati, metoda

e futjes së funksioneve të Philos dhe metoda Kamenev e të mesmes integrale.

Pas vërtetimit të disa kushteve oshilacioni, përmirësuese të rezultateve më të

rëndësishme që qarkullojnë në literaturën ekzistuese për ekuacionet funksionale të

rendit të lartë, në Kapitullin III përftohen kushte oshiluese për ekuacionet

funksionale të rendit të dytë duke i parë këto të fundit si raste të veçanta të

ekuacioneve funksionale të rendit të lartë. Përmirësimi i disa kushteve të mjaftueshme

për oshilacionin e zgjidhjeve të ekuacionit funksional të rendit të dytë, që trajtohet në

paragrafin e dytë, vjen si rrjedhojë e aplikimit në to të disa kushteve oshilative të

ekuacioneve funksionale të rendit të lartë, por pa u futur në detaje vërtetimi si në

kapitullin e dytë. Ky këndvështrim i të parit të problemit na ka ndihmuar edhe në

analizën që i bëjmë një trajtë më të përgjithshme të ekuacionit funksional të rendit të

dytë. Kushti i jooshilacionit i vendosur në fund të këtij kapitulli është një kusht i

mjaftueshëm për ekzistencën e të paktën një zgjidhjeje jooshilatore.

Në kapitullin IV bëhen të njohura disa nga kriteret e oshilacionit dhe jooshilacionit

për ekuacionet diferencë (me argument diskret dhe të vazhdueshëm) dhe ekuacionet

rekurencë. Për më tepër, kemi aplikuar teoremat e kapitullit të dytë dhe të tretë për

këto ekuacione duke i parë ato si raste të veçanta të ekuacioneve funksionale. Ndaj,

shpesh herë, rezultate të njohura të oshilacionit të zgjidhjeve të ekuacionit diferencë

(trajta të ndryshme të tij) vijnë lehtësisht në këtë punim pa u zgjatur në vërtetime të

ndërlikuara.

Në kapitullin V, teoremat e kapitullit të dytë dhe të tretë aplikohen për ekuacionet

diferenciale të rendit të parë dhe të dytë. Për fat të mirë kjo degë e rëndësishme

kërkimi nuk ka vetëm karakter teorik por ka dhe shumë aplikime të rëndësishme. Ndaj

prej studimit të sjelljes oshilatore ose jooshilatore të zgjidhjeve të ekuacioneve

funksionale merren njohuri më të thella mbi dinamikën e zgjidhjeve të ekuacioneve të

cilat modelojnë probleme të ndryshme që dalin në fushat inxhinjerike, teknologjike

apo në shkencat natyrore. Në funksion të kësaj që sapo evidentuam më sipër në këtë

kapitull aplikojmë dy modele matematikore. Modeli i parë prezantohet me një

ix

ekuacion diferencial të rendit të dytë me argument të vazhduar dhe modeli i dytë me

një ekuacion diferencial të rendit të parë me argument të vonuar.

Në mbyllje të kësaj hyrjeje po paraqesim shkurtimisht disa nga synimet që

duam të arrijmë me anë të këtij punimi.

Qëllimi i studimit: Në këtë disertacion përpiqemi fillimisht të bëjmë një paraqitje sa

më sistematike të njohurive bazë që gëlojnë në fushën e teorisë së oshilacionit (për të

cilat ka interpretime të ndryshme nga autorë të ndryshëm në përshtatje me fushat e

tyre të interesit shkencor), natyrisht duke i gërshetuar ato me elementë të njohura nga

fushat e Algjebrës, të Analizës Funksionale apo Ekuacioneve Diferenciale. Madje,

edhe pohime të Analizës Funksionale do të “preken paksa” sepse me ndihmën e disa

teoremave të njohura të saj do të provojmë kriteret e jooshilacionit. Më tej, në këtë

disertacion do të synojmë paraqitjen e një informacioni bashkëkohor, e cila do t‟i

kushtohet Teorisë së Oshilacionit, konkretisht, studimit të zgjidhjeve të ekuacionit

funksional dhe diferencial, që kanë një pafundësi zerosh (zgjidhjeve oshilatore) dhe

zgjidhjeve që nuk janë të tilla (zgjidhjeve jooshilatore). Një tjetër qëllim i yni në këtë

disertacion është sjellja e disa kritereve të reja oshilacioni (shpesh herë të konsultuara

me një prej matematikanëve më të njohur në këtë fushë I.P.Stavroulakis). Për fat të

mirë kjo degë e rëndësishme kërkimi nuk ka vetëm karakter teorik, por ka dhe shumë

aplikime të rëndësishme, ndaj në vijim do të trajtojmë edhe ndërtimin e shembujve

konkretë për analizimin e këtyre rezultateve dhe aplikimet e tyre në Fizikë, Biologji

etj.

Në departamentin tonë Teoria e Oshilacionit është një drejtim i ri kërkimi. Pra,

natyrshëm konsiderojmë si një prej synimeve që kërkohet të arrihet me anë të këtij

punimi, paraqitjen e sistemuar të njohurive të përgjithshme të Teorisë së Oshilacionit

të trajtuara në literaturën ekzistuese që disponojmë, duke u kujdesur që të mbajmë të

njëjtën linjë arsyetimi.

Në këtë punim do të shkojmë përtej çështjes së stabilitetit dhe sjelljes asimptotike

të zgjidhjeve. Interesi ynë do të përqëndrohet në sjelljen e kritereve që tregojnë se nën

çfarë kushtesh një, më shumë se një, apo të gjitha zgjidhjet luhaten rreth një pike

ekuilibri K, pavarësisht nga sjellja asimtotike e saj. Për lehtësi këtë ekuilibër si në

literaturën ekzistuese edhe në këtë punim e marrim

Një tjetër synim që përshkon fund e krye këtë punim (synim që vihet re në

shumicën e punimeve të sotme mbi teorinë e oshilacionit) është: Përmirësimi i disa

kushteve të mjaftueshme oshilative të njohura për disa lloje ekuacionesh funksionale.

Metodologjia e studimit: Metodologjia e punimit mbështet së pari në rezultatet bazë

të cilat janë marrë në konsultim me literaturën e huaj si klasike ashtu edhe atë të

viteve të fundit. Korrespodenca, takimet, konferencat, konsultimet me specialistë të

vendit dhe të huaj janë konkretizuar edhe me disa punime kushtuar natyrës oshiluese

të zgjidhjeve të ekuacioneve nën studim ([7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [22],

[23],[24]).

Në punim përdoren disa teknika si: Teknika e supozimit nga e kundërta, Teknika

krahasuese e Shturmit, Teknika Rikati, Teknika Kamenev e të mesmes integrale dhe

funksionet e Philos-it.

x

Shpresojmë që ky disertacion të ketë përmbushur qëllimin tonë për të hedhur dritë

mbi Teorinë e Oshilacionit dhe pse jo të ketë zgjuar interesin për bashkëpunim edhe

me disiplina të tjera të interesuara për këto rezultate.

1

KAPITULLI I

NJOHURI PARAPRAKE

Në këtë kapitull do të prezantojmë fillimisht disa njohuri bazë mbi teorinë e

Shturm-Liuvilit, përshkrimin e tipit të ekuacionit dhe problemet që lidhen me këtë

teori. Problemet bazë të Teorisë së Shturm-Liuvilit janë dy: (I) Të studiojë konceptin

e ekzistencës së vlerave vetjake (eigenvalues) dhe të funksioneve vetjakë

korespondues (eigenfunctiones), t‟i përshkruajë ato nga ana cilësore dhe në një farë

mase, nga ana sasiore. (II) Të provojë që një funksion “arbitrar” mund të shprehet si

një seri e pafundme e funksioneve vetjakë. Në vazhdim do të paraqesim disa nga

konceptet bazë vetëm të problemit të parë sepse instrumenti kryesor që përdoret në

zgjidhjen e këtij problemi është Teoria e Oshilacionit. Kjo teori fillimet e saj i ka aty

rreth viteve 30 të shekullit XIX me punimet e Shturmit. Që nga ajo kohë e deri më

sot, një numër i madh punimesh janë shkruajtur e vazhdojnë të shkruhen mbi kushtet

që duhet të plotësojnë zgjidhjet e ekuacioneve funksionale të zakonshme, ekuacioneve

funksionale me argument të devijuar, ekuacioneve funksionale neutrale, ekuacioneve

diferenciale të zakonshme, ekuacioneve me derivate të pjesshme, ekuacioneve

dinamike, ekuacioneve impulsive dhe formave diskrete të tyre për të qenë oshilatore

ose jooshilatore.

Në mënyrë të konsiderueshme këto veti të zgjidhjeve janë zhvilluar mbi një

kuadër të përgjithshëm i cili nuk kërkon zgjidhjen eksplicite të këtyre ekuacioneve,

kur ne nuk mundemi të japim një zgjidhje përfundimtare për to.

§ 1. NJOHURI MBI TEORINË E SHTURM-LIUVILIT

Studimet e hershme të ekuacioneve funksionale në përgjithësi dhe atyre

diferenciale në veçanti janë përqëndruar në manipulime formale të cilat japin zgjidhje

të tyre në terma funksionesh të njohura. Këto studime çuan në lindjen e shumë

koncepteve të dobishme duke përfshirë edhe ato të faktorëve të integrimit dhe të

diferencialeve të plota mbi ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë.

Matematikanët Birkhoff dhe Rota ([37]) i zgjeruan këto koncepte edhe mbi ekuacionet

diferenciale lineare të rendit të dytë dhe si rrjedhojë, përftuan nocione të reja si ato të

ekuacioneve të konjuguar dhe vetë-konjuguar prej tyre.

Në teorinë e ekuacioneve funksionale është i njohur fakti se në më të

shumtën e rasteve nuk mundemi të japim një zgjidhje përfundimtare për ekuacionin.

Çështja nuk është se ne ende nuk kemi arritur të përftojmë të gjitha teknikat e

zgjidhjes në trajtë të fundme të tyre, por për “shumicën” e tyre një gjë e tillë është në

përgjithësi parimisht e pamundur. Ndaj, integrimi në trajtë të fundme shpesh herë

është i pamundur edhe për ekuacionet diferenciale (rast i veçantë i ekuacioneve

funksionale).

Matematikanët, Charles-François Shturm dhe Joseph Liouville ishin ndër të

parët që larguan vëmendjen nga zgjidhja konkrete e këtyre ekuacioneve dhe e

fokusuan atë në cilësitë e përgjithshme që gëzonin këto zgjidhje. Për të realizuar një

studim të tillë në fillim të shekullit të XIX-të ata ideuan një analogji të mbyllur

ndërmjet disa koncepteve algjebrike tepër të njohura për kohën dhe disa koncepteve të

reja të krijuara prej tyre. Funksionet dhe operatorët linearë të teorisë së mirënjohur të

ekuacioneve diferenciale sipas tyre do të luanin përkatësisht rolin e vektorëve dhe

matricave algjebrike. Diagonalizimi i një matrice simetrike reale i korespondonte në

2

këtë teori zgjidhja e një ekuacioni diferencial të zakonshëm i përcaktuar nga një

operator L i vetë konjuguar sipas tyre, në terma të funksioneve vetjakë të tij të cilët në

fakt janë në analogji me vektorët vetjakë në teorinë algjebrike. Pra, siç do të shohim

edhe më tej përveç te tjerash ata futën të parët konceptet e operatorit të vetë

konjuguar, vlerën vetjake dhe funksionin vetjak korespondues.

Paraqesim më poshtë së pari disa nocione për matricat e vetë konjuguara dhe

më pas disa nga përkufizimet bazë të operatorëve diferenciale lineare të vetë

konjuguar dhe ekuacioneve të vetë konjuguara. Për pohimet e paragrafit në vijim i

referohemi ([20], [29], [35], [61]).

§ 1.1 MATRICAT E KONJUGUARA DHE TË VETË-KONJUGUARA

Produkti i brendshëm, i zakonshëm për vektorët (shtyllat) reale dhe është

dhënë si vijon

⟨ ⟩

Për një matricë katrore reale (përfaqësuese e një pasqyrimi linear L) dhe një

produkt të brendshëm, matrica e konjuguar me të, përcaktohet si më poshtë për

çdo dhe

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Nga përcaktimi që i është bërë produktit të brendshëm, kemi

⟨ ⟩ ( ) ( ) ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

nga rrjedh që .

Pra, matricat që janë të vetë konjuguara sipas produktit të brendshëm të

zakonshëm janë pikërisht matricat simetrike. Çdo matricë simerike është e

diagonalizueshme.

Ekuacioni | | quhet ekuacion karakteristik i matricës A dhe i pasqyrimit

linear L.

Meqë matrica ( ) është e pakthyeshme rrjedhimisht ekziston një vektor v jo

zero, i tillë që ( ) ( ).

Një vektor i tillë quhet vektor vetjak i -ës, pra vektor vetjak i matricës A ose i

pasqyrimit linear L.

Në qoftë se dhe janë dy vlera vetjake të një matrice simetrike reale atëherë

dhe , vektorët vetjakë korespondues të tyre janë ortogonale pra,

⟨ ⟩ ( ) ( )

( )

dhe

⟨ ⟩ ( )

Meqë rrjedh që

⟨ ⟩

3

§ 1.2 OPERATORËT E KONJUGUAR DHE TË VETË-KONJUGUAR

Metoda e ndarjes së variablave në zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale me

derivate të pjesshme shpesh çon në problema me vlera vetjake të shoqëruara nga

operatorë diferencial linear. Operatorët diferencial linear të vetë-konjuguar, të cilët

përgjithësojnë kuptimin e matricave reale simetrike, janë një klasë e përshtatshme

operatorësh, e cila sidomos në teorinë e problemave me vlera vetjake është

veçanërisht produktive.

E zgjerojmë idenë e nisur në seksionin më sipër tek operatorët diferencial linear dhe

tek produktet e brendshme të funksioneve. Le të ndërtojmë produktin e brendshëm

mbi funksionet dhe si ⟨ ⟩ Operatori linear mbi funksionin dhe i

konjuguari i tij përcaktohen me anë të këtij barazimi

⟨ ⟩ ⟨ ⟩

për çdo funksion dhe . Operatori do të quhet i vetë-konjuguar nëse për

këto funksione.

Le të marrim dy shembuj operatorësh në vijim.

Operatori ( ) nuk është i vetë konjuguar. Marrim si produkt të brendshëm të

funksioneve ( ) dhe ( ) integralin

⟨ ⟩ ∫ ( ) ( )

Duke integruar me pjesë dhe duke ditur që, ( ) ( ) ( ) ( ) marrim

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ⟨ ⟩

Nga barazimi i mësipërm kemi që ( ) , ndaj ky operator nuk është

i vetë konjuguar.

Operatori ( ). Marrim si produkt të brendshëm të funksioneve ( ) dhe

( ) përsëri integralin e mësipërm. Kushtet për të dy funksionet ngelen po ato ndaj,

duke integruar edhe një herë me pjesë gjejmë që ( ) . Barazimi i fundit

tregon arsyen pse ky operator është i vetë konjuguar.

Operatorët e vetë konjuguar përgjithësojnë matricat reale simetrike (matrica të vetë

konjuguara).

Le të përqëndrohemi në vijin në ekuacionin diferencial linear homogjen të

rendit të dytë me koefiçientë jo konstant

, - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1.1.2.1)

Përkufizim 1.1.2.1. Një ekuacion diferencial linear homogjen i rendit të dytë

, - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

është quajtur ekuacion ekzakt në qoftë se dhe vetëm në qoftë se për ndonjë ( ) ( ) ekuacioni

4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, ( ) ( ) ( ) ( )-

kënaqet për çdo funksion .

Përkufizim 1.1.2.2. Një funksion është një faktor integrimi për ekuacionin

(1.1.2.1) pra, , - është ekuacion ekzakt, në qoftë se dhe vetëm në qoftë se ai

është një zgjidhje e ekuacionit diferencial linear të rendit të dytë

, - ( ( ) ( ))

( ( ) ( )) ( ) ( ) (1.1.2.2)

Përkufizim 1.1.2.3. Operatori është quajtur i konjuguar (adjoint) i operatorit .

Koncepti i konjugimit të një operatori linear, historikisht ka lindur që në kohën

kur studiuesit e parë u vunë në kërkim të faktorëve integrues. Ky koncept është i një

rëndësie më të madhe sidomos për shkak të rolit tepër të rëndësishëm që ai luan në

teorinë e Oshilacionit. Le të konsiderojmë operatorët dhe Nëse -ja është

shumëzuar me dhe -ja është shumëzuar me , pasi i zbresim ato prodhime

marrim

, - , -

[ ( )( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( )] ( )

Ky barazim quhet Identiteti i Langranzhit.

Identiteti i Langranzhit do të aplikohet sidomos në vërtetimet e teoremave të

krahasimit.

Përkufizim 1.1.2.4. Ekuacioni diferencial linear homogjen që përputhet me të

konjuguarin e tij quhet i vetë–konjuguar (self-adjoint).

Kushti për ekuacionin (1.1.2.1) që të jetë i vetë–konjuguar është ( ) ( ) .

Ky kusht nuk është vetëm i nevojshëm por edhe i mjaftueshëm sepse ka vend edhe

barazimi, ( ) ( ) .

Ekuacioni (1.1.2.1) nëse është i vetë-konjuguar transformohet në ekuacionin

[ ( )

] ( ) ( )

Për më tepër, në rastin e vetë–konjugimit meqë kemi të vërtetë barazimin e

mëposhtëm

[ ( )( ( ) ( ) ( ) ( ))] ( ), ( ) ( )- ( ), ( ) ( )-

atëherë identiteti i Langranzhit ka formën

, - , -

0 ( ) . ( ) ( ) ( ) ( )/1 ( )

5

Teoremë 1.1.2.1. Ekuacioni diferencial linear homogjen i rendit të dytë (1.1.2.1)

është i vetë–konjuguar në qoftë se dhe vetëm në qoftë se ka formën e ekuacionit

homogjen të Shturmit

[ ( )

] ( ) ( ) ( )

Teoremë 1.1.2.2. Të gjithë ekuacionet diferenciale lineare homogjene të rendit të dytë

mund të shndërrohen në formën e vetë–konjuguar duke shumëzuar me funksionin

ndihmës

( )

∫ ( )

( )

( )

Teoremë 1.1.2.3. Ekuacioni diferencial linear homogjen i rendit të dytë (1.1.2.1)

është i vetë–konjuguar në qoftë se dhe vetëm në qoftë se ka formën e problemit të

Shturm-Liuvilit

[ ( )

] ( ) ( ) ( )

Vërtetim. Le të jetë dhënë operatori linear diferencial për ndonjë funksion peshë

( ) si në vijim

( )( ( )

)

Ky operator është i vetë konjuguar në lidhje me produktin e brendshëm të përcaktuar

si vijon

⟨ ⟩ ∫ ( ) ( ) ( )

Atëherë, problemi me vlera të veta vijues ku ( ) ( )

( ( )

)

( ) ( )

mund të shkruhet

( )( ( )

)

( ) ( )

Pra, ky rezultat tregon që një problem me vlera të veta shoqërohet me një operator

diferencial linear të vetë-konjuguar.■

Konkluzion 1.1.2.1. Çdo ekuacioni linear homogjen të rendit të dytë i korespondon

një formë e vetë e konjuguar. Pasi ndërtojmë mbi këtë formë, problemin korespondues

me vlera të veta, këtij të fundit i shoqërohet një operator diferencial linear i vetë-

konjuguar. Pra, çdo ekuacioni linear homogjen të rendit të dytë i korespondon një

operator diferencial linear i vetë-konjuguar.

6

Le të rendisim më poshtë disa nga ekuacionet diferenciale më të njohura dhe

format e vetë-konjuguara të tyre koresponduese.

Të gjithë ekuacionet diferenciale të zakonshme lineare të rendit të dytë mund të

ndryshojnë në formë në anën e majtë të tyre duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit

me një faktor integrues të përshtatshëm (edhe pse e njëjta gjë nuk është e vërtetë për

ekuacionet diferenciale të pjesshme të rendit dytë).

Ekuacioni i Beselit

( )

mund të shkruhet në formën e Shturm-Liuvilit

( ) :

⁄ ;

Ekuacioni i Lezhandrit

( ) ( )

mund të shkruhet në formën e Shturm-Liuvilit sepse ( )

,( ) - ( )

Ekuacioni diferencial i Çebishevit (Chebyshev) paraqitet në vijim

( )

Në këtë ekuacion kemi: ( ) , ( ) dhe ( )

Atëherë funksioni ndihmës ( ) ndërtohet si më poshtë

( )

∫ ( )

( )

( )

∫

( )

( )

Nga barazimi i mësipërm marrim formën e vetë–konjuguar të ekuacionit diferencial të

Çebishevit

[( )

] ( )

( )

§ 1.3. PROBLEMI KLASIK I SHTURM-LIUVILIT (SL)

Ekuacioni klasik i Shturm-Liuvilit është një ekuacion diferencial linear i rendit

të dytë i formës

[ ( )

] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ku funksionet ( ) ( ) dhe ( ) . Në rastet më të thjeshta këto

funksione janë të vazhdueshme mbi një interval të fundëm e të mbyllur , - dhe

( ) ka derivat të parë të vazhdueshëm. Funksioni , është quajtur zgjidhje e këtij

7

ekuacioni në qoftë se ai është me derivat të vazhdueshëm mbi ( ) dhe kënaq

ekuacionin ( ) në çdo pikë të intervalit ( ) Në vazhdim funksionit të

panjohur i kërkohet që të kënaq kushtet kufitare mbi dhe përshembull,

( ) ( ) . Funksioni ( ) quhet funksion “peshë“ ose “densitet”. Për vlerën

e -ës nuk ka një “përcaktim” gjë që do të thotë se: të gjesh vlerat e -ës për të cilat

ekuacioni ( ) ka një zgjidhje jo-triviale që kënaq kushtet kufitare është një

pjesë e problemit të quajtur Problem i Shturm–Liuvilit (S.L).

Pasqyrimi

( )(

[ ( )

] ( ) ( ))

mund të shihet si një operator linear që pasqyron funksionin tek funksioni i ri .

Studimi i këtij operatori linear bëhet në kontekstin e Analizës Funksionale. Në fakt

ekuacioni (1.1.2.1) i cili mund të shkruhet si quhet formë e Shturm-Ljuvilit

sepse L është një operator i vetë-konjuguar. Ky fakt mund të tregohet lehtësisht duke

përdorur formalisht integrimin dy herë me pjesë, ku termat kufitare zhduken për

shkak të kushteve kufitare. Ky problem është pikërisht problem i vlerave vetjake.

Teoria e cila merret me studimin e ekzistencës dhe sjelljes asimptotike të

vlerave vetjake dhe teoria korresponduese e cila studion nga ana cilësore funksionet

vetjakë në një hapësirë të përshtatshme funksionale u bë e njohur si Teoria e Shturm-

Ljuvilit.

Kjo teori është tepër e rëndësishme në fushën e Matematikës së aplikuar, ku

problemet (S-L) janë shumë të shpeshta, veçanërisht kur kanë të bëjnë me ekuacionet

diferenciale lineare me derivate të pjesshme të cilat mund të ndahen (si në rastin e

ekuacionit valor). Siç dihet, teoria e Shturm–Liuvilit ndoqi nga afër çfarë pikërisht

ishte zbuluar për ekuacionin valor një dimensional të trajtës

( ) ( )

ku tregon shpejtësinë e përhapjes së valës. Metoda e njohur e ndarjes së

variablave propozuar nga Furie, konsiston në marrjen e zgjidhjeve jo zero të trajtës

( ) ( ) ( ) me ndihmën e sistemit të mëposhtëm të ekuacioneve diferenciale

të rendit të dytë, lineare homogjene dhe me koefiçienta konstante

{

( ) ( )

( )

( )

Me lehtësi arrijmë të tregojmë se zgjidhjet e këtyre ekuacioneve respektivisht janë

( ) ( ) ( ) dhe ( ) .

/ .

/ . Problemi i

lëkundjeve të lira të kordës së fundme (me gjatësi L) me skaje të fiksuara që ngrihet

mbi ekuacionin valor kërkon që funksioni ( ) të kënaqë kushte fillestare dhe

kufitare të cilat ndikojnë në zgjidhjen e problemit. Ekuacioni i dytë (e marrim si

shembull) mund të shkruhet në trajtën

( ) ( )

8

ku .

/

.

/

për ndonjë numër të plotë pozitiv dhe quhet problem

me vlera vetjake (eigenvalue problem). Zgjidhjet koresponduese ( ) .

/

të vlerave vetjake quhen funksione vetjakë (eigenfunctions).

Ekzistenca e vlerave vetjake dhe si rrjedhojë dhe e funksione vetjakë lidhet

ngushtë sipas teorisë së Shturm-Liuvilit me ekzistencën e zgjidhjeve oshilatore.

Në vijim studiojmë ekuacionet e Shturm-Liuvilit, një klasë e ekuacioneve diferenciale

të zakonshme të rendit të dytë, që përmban si nënklasë të veçantë problemin me vlera

vetjake të ngritur mbi ekuacionin (1.1.3.1).

Përkufizim 1.1.3.1. Konsiderojmë një problem me vlera kufitare i cili konsiston:

1. Një ekuacion diferencial linear homogjen i rendit të dytë të forrmës

[ ( )

] , ( ) ( )- ( )

Në këtë ekuacion p, q dhe w janë funksionet reale. Funksioni p është me derivat të

parë të vazhdueshëm dhe ( ) .

Funksionet q dhe w janë të vazhdueshëm ku ( ) për çdo dhe

është një parametër i pavarur nga x.

2. Dy kushte suplementare kufitare

( ) ( )

( ) ( )

Në këto dy barazime , , dhe janë konstante reale të tilla që

dhe

. Ky tip i problemit me vlera kufitare është quajtur një problem

i rregullt i Shturm-Liuvil-it ose sistem i Shturm-Liuvil-it.

Dy rastet speciale më të rëndësishme janë ato me kushte suplementare të formës:

( ) ( )

ose

( ) ( )

Është e qartë që një zgjidhje e çdo problemi të këtij tipi është zgjidhja triviale e

tillë që ( ) për çdo vlerë të -it. Vëmendja jonë do të fokusohet në kërkimin e

zgjidhjeve jotriviale të problemit. Kjo do të thotë se, po kërkojmë funksione jo

identikisht zero të cilët kënaqin si ekuacionin ashtu edhe dy kushtet. Ne do të shohim

që ekzistenca e zgjidhjeve jotriviale varet nga vlera e -ës në ekuacionin (1.1.3.2).

Përkufizim 1.1.3.2. Konsiderojmë problemin e Shturm-Liuvilit. Vlerat e parametrit

në ekuacionin (1.1.3.2) për të cilin ekzistojnë zgjidhje jotriviale të problemit janë

quajtur vlera vetjake të problemit. Zgjidhjet jotriviale koresponduese të tyre janë

quajtur funksionë vetjakë të problemit.

9

Pra, le të jenë dhe dy vlera vetjake të këtij problemi. Le të jetë një

funksion vetjak korespondues i dhe le të të jetë një funksion vetjak

korrespondues i .

Përkufizim 1.1.3.3. Dy funksione f dhe g janë quajtur funksione ortogonale në lidhje

me funksionin peshë w mbi segmentin në qoftë se dhe vetëm në qoftë se

∫ ( )

( ) ( ) ( )

Konkluzion 1.1.3.1

Të gjitha vlerat vetjake të problemit të Shturm-Liuvilit jane reale, si rrjedhojë

edhe zgjidhjet shoqëruese (koresponduese) pra, funksionet vetjakë janë reale.

Të gjitha vlerat vetjake të problemit të Shturm-Liuvilit janë të thjeshta në

kuptimin që çdo vlere vetjake i korespondon një dhe vetëm një zgjidhje

linearisht e pavarur.

Të gjitha vlerat vetjake të problemit të Shturm-Liuvilit janë diskrete, renditen

sipas një vargu rritës që tenton drejt infinitit.

Funksionet vetjakë dhe janë ortogonale në lidhje me funksionin peshë

w mbi Le të jetë * + një bashkësi e pafundme e vlerave vetjake të problemit të

Shturm-Liuvilit (S.L) të sistemuar sipas një vargu rritës monoton . Për çdo le të jetë funksioni

korespondues i vlerës karakteristike (pa marrë parasysh shumëzimin me

konstante) i cili ka saktësisht zero në ( ). Bashkësia e pafundme

* + është një sistem ortogonal në lidhje me funksionin peshë w mbi

§ 1.4. TEOREMAT E KRAHASIMIT TË EKUACIONEVE DIFERENCIALE

SIPAS SHTURMIT

Në këtë paragraf do të përqëndrohemi kryesisht në disa teoerema krahasimi të

ekuacionit diferencial linear të rendit të dytë

( )

[ ( )

] ( ) ( )

të përcaktuar në një zonë të pafundme. Thelbi i këtyre teoremave qëndron në

përpjekjet për të interpretuar cilësisht zgjidhjet e një ekuacioni diferencial linear të

rendit të dytë nën studim me ndihmën e një ekuacioni tjetër për zgjidhjet e të cilit

dimë më shumë. Realizimi i këtij proçesi bëhet nëpërmjet krahasimit të koefiçientëve

të tyre. Për më tepër mund të themi se objekt interesi për ne është cilësia oshilatore e

një zgjidhjeje ( ) që lidhet me ekzistencën e zerove të saj.

Le të jetë një operator diferencial i përcaktuar mbi një interval ( ) si vijon

, -

[ ( )

] ( ) ( ) ( )

ku ( ) dhe ( ) janë funksione me vlera reale mbi ( ). Funksioni ( ) është

i vazhdueshëm dhe funksioni ( ) është me derivat të parë të vazhdueshëm për më

10

tepër ( ) . Le të studiojmë teoremën e krahasimit të problemit të Shturm-

Liuvilit për dy ekuacionet e rendit të dytë të vetë-konjuguar

, -

[ ( )

] ( ) ( ) ( )

, -

[ ( )

] ( ) ( ) ( )

Teoremë 1.1.4.1. Në qoftë se dhe janë dy zero të njëpasnjëshme të një

zgjidhjeje jotriviale ( ) të ekuacionit ( ) dhe në qoftë se

(i) ( ) ( ) për , -, (ii) ( ) ( ) dhe ( ) ( ) për , -,

atëherë çdo zgjidhje ( ) e ekuacionit ( ) ka një zero në , - .

Vërtetim. Le të jenë ( ) dhe ( ) zgjidhje të ekuacionit ( ) dhe ekuacionit

( ) respektivisht. Meqë dhe janë dy zero të njëpasnjëshme të një

zgjidhjeje jotriviale të , - nuk humbasim asgjë në qoftë se supozojmë se

( ) për çdo ( ) . Supozojmë nga e kundërta që ( ) për çdo

( ) dhe përsëri nuk humbasim asgjë po të supozojmë se ( ) për çdo

( ) . Në ekuacionin (1.1.4.2) shumëzojmë me ( ) dhe në ekuacionin

(1.1.4.3) shumëzojmë me ( ) . Pra, kemi ndërtuar të ashtuquajturin Identitet të

Langranzhit si më poshtë

( ) , - ( ) , -

( )

, ( ) - ( ) ( ) ( ) ( )

, ( ) - ( ) ( ) ( )

, ( ) - ( ) , ( ) - ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )

[ ( )( ( ) ( ) ( ) ( ))] ( ( ) ( )) ( ) ( )

Integrojmë në të dyja anët e këtij barazimi nga tek dhe kemi në vijim

∫ [ ( ) , - ( ) , -]

∫ [ ( ( ) ( ) ( ) ( ))]

∫ ( ) ( ) ( )

Por, nga ekuacionet (1.1.4.2) dhe (1.1.4.3) kemi barazimin , - , - , si

rrjedhojë marrim barazimet e njëpasnjëshme

∫ ( ) ( ) ( )

∫ [ ( ( ) ( ) ( ) ( ))]

( ( ) ( ) ( ) ( ))|

( )* ( ) ( ) ( )

( )+ ( )* ( ) ( ) ( )

( )+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

11

Meqë dhe janë zero të njëpasnjëshme të një zgjidhjeje jotriviale ( ) për

çdo ( ) atëherë, funksioni ( ) është rritës në pikën dhe zbritës në pikën

. Pra, kemi që ( ) dhe ( ) . Meqë nga kushti (ii) i teoremës kemi

( ) ( ) atëherë, ana e majtë e barazimit të mësipërm është pozitive ndërsa

ana e djathtë është negative. Pra, ky rezultat është absurditet. Po të ishin të dyja anët

të barabarta me zero, atëherë patjetër që ( ) ( ), kështu që të dy ekuacionet

(1.1.4.2) dhe (1.1.4.3) janë identike mbi [ ]. Pra, ngelet që ( ) ka një zero në [ ] ■

Në qoftë se kushti krahasues (ii) i teoremës së mësipërme kënaqet atëherë ekuacioni

(1.1.4.3) është quajtur Sturm majorant (mazhorues i sipërm i Shturmit) për ekuacionin

(1.1.4.2).

Por, a është kusht thelbësor, kushti (i) i teoremës sonë? A mund ta zëvendësojmë atë

me një kusht tjetër dhe rezultati i teoremës të ngelet i njëjtë ? Kësaj pyetjeje i japim

përgjigje me anë të teoremës së mëposhtme.

Teoremë 1.1.4.2. Në qoftë se dhe janë dy zero të njëpasnjëshme të një

zgjidhjeje jotriviale, ( ) të ekuacionit ( ) dhe në qoftë se

(i) ( ) ( ) për [ ], (ii) ( ) ( ) dhe ( ) ( ) për [ ],

atëherë çdo zgjidhje ( ) e ekuacionit ( ) ka një zero në[ ].

Vërtetim. Le të jenë ( ) dhe ( ) zgjidhje të ekuacionit ( ) dhe ekuacionit

( ) respektivisht. Meqë dhe janë dy zero të njëpasnjëshme të një

zgjidhjeje jotriviale të ekuacionit [ ] nuk humbasim asgjë në qoftë se

supozojmë se ( ) për çdo ( ). Supozojmë nga e kundërta që ( )

për çdo ( ). Nga ekuacionet ( ) dhe ( ) kemi

[ ]

[ ( )

] ( ) ( )

[ ]

[ ( )

] ( ) ( )

Duke supozuar që në fillim se ( ) ( ) ( ) ( ) dhe ( ) ( ) janë të

diferencueshëm dhe ( ) kryejmë veprimet e mëposhtme

[ ( )

( )(

( )

( ))]

( ) ( )

( )(

( )

( ))

( )

( )(

( )

( ))

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

12

( )

( )4(

)

( )

(

)

( )

5

( ( ))

( ) ( ) ( )

( )

( ( )) ( ( ))

( ( )) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )( ( ) ( )) ( )( ( ))

[( ( ))

( ) ( ) ( )

( )

( ( )) ( ( ))

( ( )) ]

Atëherë, duke integruar nga tek kemi

∫

[ ( )

( )( ( )

( ) ( )

( ))]

( )

( )( ( )

( ) ( )

( )) |

∫ ( )( ( ) ( )) ( ( ) ( )) (

)

( ) 6

( ) ( )

( )7

Meqë ( ) ( ) atëherë kanë vend barazimet e mëposhtme

∫ ( )( ( ) ( )) ( ( ) ( )) (

)

( ) 6

( ) ( )

( )7

∫ ( ) 6 ( ) ( ) ( )

( )7

∫ ( )( ( ) ( ))

∫ ( ( ) ( ))( ( ))

Në barazimin e fundit vëmë re se ana e majtë e tij ose është negative ose është zero

ndërsa ana e djathtë e tij ose është pozitive ose është zero. E vetmja mundësi që ngelet

është që të dyja anët të jenë të barabarta me zero. Por kjo do të thotë që ( ) ( )

dhe ( ) ( ) në të njëjtën kohë e si rrjedhojë ekuacionet (1.1.4.2) dhe (1.1.4.3)

do të jenë ekuivalente ose mundësia tjetër që ngelet është si vijon

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

Meqë ( ) ( ) ( ) ( ) atëherë ( ) ( ) . Pra ( )

ka të paktën një zero në , -.■

Teoremë 1.1.4.3. Le të jetë dhënë ekuacionet (forma normale)

13

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

për ku ( ) ( ). Le të jetë një zgjidhje e ekuacionit (1.1.4.4) dhe

një zgjidhje e ekuacionit (1.1.4.5) atëherë ndërmjet dy zerove të njëpasnjëshme të

-së ka të paktën një zero të -së.

Vërtetim. Le të jenë dhe dy zero të njëpasnjëshme të -së dhe supozojmë se

( ) në ( ). Pranojmë faktin se nuk anullohet në ( ) dhe marrim si në

teoremën më sipër ( ) . Atëherë ( )( ) ( ) ( ) sepse

( ) dhe ( ) . Ndërkaq marrim në ( )

( ( )( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )-

që nga rrjedh se është funksion monoton rritës në kundërshtim me faktin se

( )( ) dhe ( )( ) .

Po të kishim supozuar se ( ) do të kishim ( )( ) , ( )( ) dhe

Pra, përsëri një kontradiksion në të cilin na sjell supozimi i gabuar se nuk anullohet

në ( ).■

Teoremë 1.1.4.4. Le të jenë dhënë ekuacionet për , -

[ ( )

] ( ) ( )

[ ( )

] ( ) ( )

ku dhe janë respektivisht zgjidhje të ekuacionit (1.1.4.6) dhe ekuacionit

(1.1.4.7). Këto ekuacione nëse plotësojnë kushtet ( ) ( ) dhe ( ) ( ) atëherë zgjidhja ka një zero të vetme ndërmjet dy zerove të njëpasnjëshme

të zgjidhjes në , -.

Le të shohim në vazhdim të këtij paragrafi dy teorema të ndarjes sipas Shturmit.

Le të jetë dhënë ekuacioni diferencial i rendit të dytë si vijon

( ) ( ) ( ) ( )

Teoremë 1.1.4.5. Le të jenë dhe dy zgjidhje linearisht të pavarura të

ekuacionit ( ) atëherë ndërmjet dy zerove të njëpasnjëshme të zgjidhjes ka

një zero të vetme të zgjidhjes .

Vërtetim. Le të jenë dhe dy zero të njëpasnjëshme të zgjidhjes pra,

( ) , ( ) dhe ( ) për . Ndërtojmë përcaktorin e

Wronskit si në vijim

14

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

që nga marrim

( ) dhe ( )

Supozojmë se ( ) për , -, atëherë

është i përcaktuar në , -

dhe bëhet zero në dhe . Nga çfarë u tha më sipër rrjedh se derivati i tij bëhet

zero në një pikë ( ). Ky përfundim është kontradiktor me faktin vijues

(

) ( )

( )( )

( )

Rrjedhimisht, ekziston të paktën një zero e zgjidhjes ndërmjet dhe madje

kjo është e vetme. Nëse do të kishte dy zero, për shembull dhe , duke arsyetuar

në mënyrë të ngjashme me zgjidhjen do të kemi se ndërmjet dhe ka një

zero të zgjidhjes . Pra, absurditet sepse dhe janë dy zero të njëpasnjëshme të

zgjidhjes .■

Për ekuacionin (1.1.4.8) (forma standarte) do të supozojmë se ( ) Ky

ekuacion do të transformohet në ekuacionin (forma normale),

( ) ( ) ( )

me anë të transformimit në vijim

( ) ( ) 6

∫ 4

( )

( )5

7

Për më tepër zerot e zgjidhjes ( ) dhe të zgjidhjes ( ) janë të njëjta.

Ekuacionin (1.1.4.8) është ekuivalent me ekuacionin

[ ( )

] ( )

i cili quhet formë e vetëkonjuguar (self-adjoint) e ekuacionit (1.1.4.8). Për këtë

mjafton të shfrytëzojmë faktin që

( ) ( ) <

∫ :

( ) ( )

⁄ ;

=

është zgjidhje e ekuacionit (1.1.4.8).

Shumëzojmë të dy anët e ekuacionit (1.1.4.8) me

<∫ :

( ) ( )

⁄ ;

=

dhe shënojmë

15

( ) <∫ : ( )

( )⁄ ;

=,

( ) < ( )

( )⁄ = <∫ : ( )

( )⁄ ;

= ( )

( )⁄ ( )

Pas zëvendësimit marrim formën e vetëkonjuguar të ekuacionit (1.1.4.8).

Teoremë 1.1.4.6. Le të jetë dhënë ekuacioni (forma normale)

( ) ( ) ( ) ( )

ku ( ) në intervalin ( ).Atëherë çdo zgjidhje e ndryshme identikisht nga

zeroja e ekuacionit (1.1.4.9) ka të shumtën një zero në këtë interval.

Vërtetim. Le të jetë ( ) një zero e zgjidhjes atëherë ( ) . Pa

humbur gjë le të supozojmë se ( ) . Rrjedhimisht e tillë që për , , kemi ( ) . Mirëpo ( ) ( ) ( ) , që nga marrim ( )

në , ,. Pra, ( ) është funksion monoton rritës, si rrjedhojë i ndryshëm nga zero

në , -. Në mënyrë të ngjashme nëse ( ) është një zero tjetër e zgjidhjes

atëherë ( ) është funksion monoton rritës dhe pozitiv për pra edhe

për . Ky pohim i fundit ose është absurditet ose ( ) duhet të jetë monoton

zvogëlues dhe pra negative për pra edhe për . Absurditeti që marrim

tregon vërtetësinë e teoremës (1.1.4.6), vërtetimi i së cilës na ndihmon në përfundimin

e mëposhtëm.■

Nga teorema e mësipërme është e qartë se në qoftë se ( ) dhe ( ) kënaqin

ekuacionin (1.1.4.9) atëherë ose ( ) për të gjitha -et ose ( ) ka jo më

shumë se një zero. Meqë interesohemi për zgjidhjet oshilatore kushti ( )

(rigorozisht pozitive) është i nevojshëm. Me këto kushte pra

( ) ∫ ( )

zgjidhjet ( ) do të kenë një numër të pafundëm zerosh, por vetëm një numër të

fundëm zerosh mbi një interval të kufizuar (shikoni kushtin e dytë).

§ 2. NJOHURI MBI TEORINË E OSHILACIONIT

Teoria e Oshilacionit mendohet të ketë lindur aty rreth vitit 1836 me disa

punime të Shturmit të përmbledhura ([20]) mbi ekuacionin diferencial linear të rendit

të dytë. Kjo teori u përdor prej tij fillimisht e më pas prej Liuvilit si instrument

kryesor që përdoret në zgjidhjen e problemeve me vlera vetjake. Tashmë

problematika që kjo teori trajton është zgjeruar mjaft duke përfshirë çështje të

rëndësishme si më poshtë:

(i) Gjetja e kushteve për të qenë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit

oshilatore.

(ii) Gjetja e kushteve për ekzistencën e zgjidhjeve jooshilatore.

16

(iii) Studimi i klasifikimit të zgjidhjeve jooshilatore.

(iv) Gjetja e kritereve të linearizimit për oshilacionin e zgjidhjeve.

(v) Studimi i sjelljes së zgjidhjeve oshilatore të ekuacionit.

(vi) Studimi i teorisë së qëndrueshmërisë së zgjidhjes në lidhje me teorinë e

oshilacionit.

Le të nisim këtë paragraf me konceptin e oshilacionit për funksionin.

Përkufizim 1.2.1. Një funksion i vazhdueshëm është quajtur se oshilon ose është

oshilator në qoftë se ka një numër të pafundëm zerosh, në kuptimin që për çdo

ekziston një e tillë që ( ) .

Në të kundërt funksioni quhet jo-oshilator, pra marrim përkufizimin në vijim.

Përkufizim 1.2.2. Një funksion i vazhdueshëm është quajtur se nuk oshilon ose

është jooshilator në qoftë se ekziston një e tillë që ( ) për çdo .

Në qoftë se funksioni është i vazhdueshëm dhe nuk është oshilator atëherë ai

funksion duhet të jetë ose rigorozisht negativ ose rigorozisht pozitiv, në kuptimin që

ekziston një i tillë që ( ) për ose ( ) për .

Për konkretizim të dy përkufizimeve (1.2.1.) dhe (1.2.2.) po paraqesim më poshtë dy

shembuj.

Shembull 1.2.1. Ekuacioni diferencial i rendit të dytë i zakonshëm

( ) ( )

ka si zgjidhje të përgjithshme ( )

pra, nuk ka zgjidhje oshilatore.

Ndërsa, ekuacioni diferencial i rendit të dytë me vonesë ,

( ) ( )

me ekuacion karakteristik , i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore. Dy prej

zgjidhjeve të tij ( ) dhe ( ) janë zgjidhje periodike (rasti më i

thjeshtë i zgjidhjeve oshilatore).

Pra, në këtë shembull vihet re se futja në ekuacionin e dytë të vonesës

shkakton oshilacione të zgjidhjeve.

Shembull 1.2.2. Ekuacioni diferencial i rendit të dytë me argument të vonuar

( )

(

)

nuk i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore sepse të paktën zgjidhja ( ) √ nuk është

e tillë. Ndërsa, ekuacioni diferencial i rendit të dytë i zakonshëm korespondues

( )

( )

17

i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore, sepse zgjidhja e përgjithshme e këtij ekuacioni është

( ) √ ( √ ) √ ( √ ).

Pra, në këtë shembull vihet re se heqja në ekuacionin e dytë të vonesës shkakton

oshilacione të zgjidhjeve.

Interesi ynë në këtë punim qëndron në përpjekjet për tu përgjigjur disa

pyetjeve rreth sjelljes së zgjidhjeve të ekuacioneve funksionale, pa i gjetur ato

zgjidhje në të vërtetë Një trajtim i tillë është quajtur analizë cilësore dhe i ka fillimet

me punimet e Simmons (1972). Literatura e sotme për analizën oshilatore që u bëhet

ekuacioneve funksionale është mjaft voluminoze edhe për shkak të tipeve të shumta të

ekuacioneve që përfshihen nën termin ekuacioni funksional.

Ekuacionet funksionale ndahen në dy tipe kryesore.

I) Ekuacione funksionale diferenciale (ekuacione diferenciale).

II) Ekuacione funksionale jo diferenciale (ekuacione thjesht funksionale).

Në vazhdim të punimit do të përdorim emertimet nën kllapa. Secila nga tipet e

sipërpërmendura ka nënndarjet e veta. Në vijim po paraqesim disa nga ekuacionet

kryesore që janë objekt studimi në literaturën e viteve të fundit.

1) Ekuacion funksional me argument të vazhdueshëm.

2) Ekuacion funksional me argument të devijuar.

2/a) Ekuacion funksional me argument të vonuar (delay).

2/ b) Ekuacion funksional me argument të avancuar (advanced).

2/ c) Ekuacion funksional me argument të vonuar dhe të avancuar.

3) Ekuacion funksional neutral.

4) Ekuacion funksional me argument diskret.

Disa nga teknikat më të njohura me të cilat do të ndeshemi sidomos gjatë vërtetimeve

të teoremave në kapitujt pasardhës po i paraqesim në vijim.

Zëvendësimi Rikati (Riccati).

Ekuacioni diferencial i rendit të parë jolinear i trajtës

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

quhet ekuacion Rikati. Teknika Rikati, e cila lidh zerot e zgjidhjes ( ) të një

ekuacioni me zerot e një zgjidhjeje të ekuacionit Rikati shoqërues (siç do e shohim në

vijim) përbën një element bazë në teorinë e Oshilacionit. Kjo teknikë në bazë të saj ka

lemën vijuese.

Lema 1.2.1. Në qoftë se është një zgjidhje e ekuacionit

18

( )

[ ( )

] ( ) ( ) ( )

atëherë

( ) ( ) ( )

( ) ( )

është një zgjidhje e ekuacionit Rikati vijues

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Vërtetim. Le të jetë ( ) një zgjidhje jotriviale me vlera reale e ekuacionit ( )

dhe le të jetë ( ) i përcaktuar si në barazimin ( ). Atëherë, duke i përdorur të

dyja si ekuacionin ( ) dhe zëvendësimin ( ) marrim barazimet vijuese

( ) 6 ( )

( )7

, ( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( )

( )

, ( ) ( )-

( )

( ), ( )-

( ) ( )

( ) ( )

Si rrjedhim, ekuacioni shoqërues Rikati i ekuacionit ( ) është dhënë si vijon

( )

( ) ( ) ( ) .■

Dy teknikat e tjera, Teknika e të mesmes integrale (Teknika Kamenev) dhe Teknika

Philos do të trajtohen në kapitujt e tjerë në vazhdim.

19

KAPITULLI II

EKUACIONET FUNKSIONALE TË RENDIT TË LARTË

Ekuacionet funksionale janë ekuacione ku i panjohuri është një funksion i një

apo më shumë ndryshoreve. Ekuacionet funksionale me një ndryshore janë zakonisht

më të lehtë për tu zgjidhur. Nuk ka nje metodë të caktuar për të zgjidhur këto

ekuacione funksionale por transformimi i variablave është një nga metodat më të

zakonshme për t‟i zgjidhur ato. Kur aplikojmë këtë teknikë, zëvendësojmë një

ndryshore (të vjetër) me një tjetër (të re) duke mos harruar se fusha e ndryshores së

vjetër nuk duhet të ndryshojë, në mënyrë që të merret një ekuacion i ri funksional i

cili është më i lehtë për tu zgjidhur (për të gjetur funksionin e panjohur) në krahasim

me ekuacionin fillestar.

Çdo funksion që e kënaq ekuacionin funksional për vlera të ndryshores (ndryshoreve)

në një zonë të fushës së tij (së tyre) të përcaktimit, natyrshëm e quajmë zgjidhje të atij

ekuacioni në atë zonë. Për shembull, pa e zgjidhur analitikisht ekuacionin funksional,

( ) ( ) ( ) vëmë re se funksioni logaritmik ( ) ( ) është

zgjidhje e tij. A eshte e vetmja zgjidhje? Natyra e përgjigjes varet nga fusha e

përcaktimit në të cilën e kërkojmë zgjidhjen.

Një rast i veçantë i ekuacioneve funksionale janë Ekuacionet Diferencë, ekuacionet që

krahasojnë ( ) ( ) për shembull, me ndonjë shprehje që përfshin dhe

( ).

Funksionet, bashkësia e përcaktimit të të cilëve është bashkësia e numrave të plotë,

formojnë vargje. Ndaj, një ekuacion funksional i përcaktuar në këtë bashkësi është në

thelb një problem rekurence i cili modelohet matematikisht si Ekuacion Rekurence.

Funksionet e një ndryshoreje që kënaqin një ekuacion diference sillen si zgjidhje në

Ekuacionet Diferenciale të Zakonshme (O.D.E), natyrisht funksionet e dy ose më

shumë variablave sillen si zgjidhje të Ekuacioneve Diferenciale të Pjesshme (P.D.E).

Në ndryshim me zhvillimin e shpejtë gjatë dekadave të fundit të teorisë së

oshilacionit në ekuacionet funksionale, ekuacionet diferencë me argument diskret dhe

sidomos ato diferencë me argument të vazhduar (të vazhdueshme në kohë për shkak

të pranisë në këto ekuacione të vonesave të vazhdueshme) numri i kriterve të

oshilacionit apo jooshilacionit është ende i papërfillshëm në krahasim me ekuacionet

diferenciale funksionale.

Një nga arsyet kryesore pse i trajtojmë ekuacionet funksionale është edhe fakti që, rast

i veçantë i tyre janë edhe ekuacionet e rekurencës të cilat kanë një numër të madh

aplikimesh. Ato përshkruajnë proçese të shtrira në shumë fusha si Biologji, Ekonomi,

Meteorologji etj.

§ 1. KRITERE OSHILACIONI TË EKUACIONEVE FUNKSIONALE TË

RENDIT TË LARTË

Teoria e oshilacionit ka lindur në vitin 1836 me punimet e Shturmit, i cili e

përdori atë si instrument bazë për futjen e konceptit të ekzistencës së vlerave vetjake

dhe funksioneve vetjakë si dhe për t'i përshkruar ato nga ana cilësore. Problemi i

oshilacionit të zgjidhjeve të ekuacioneve funksionale është studiuar nga shumë autorë

([32], [33], [34], [43], [44]), por tepër pak në krahasim me ekuacionet që rrjedhin prej

20

tyre. Në këtë kapitull do të prezantojmë disa kushte të mjaftueshme nën të cilat

ekuacioni funksional i rendit të lartë ku ,

( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )

ka vetëm zgjidhje oshilarore, në qoftë se një prej koefiçientëve ka shenjë të

kundërt nga të tjerët. Pra pyetjes, se për këtë rast, nën cilat kushte shtesë mbi

koefiçientët çdo zgjidhje e ekuacionit (E) është oshilatore, do t'i japim disa

përgjigje në trajtën e kushteve të mjaftueshme. Disa prej këtyre kushteve, të

shpërndara në shumë artikuj të studiuesve të fushës së oshilacionit, të para prej tyre

edhe në këndvështrime të ndryshme, do të vijnë natyrshëm si raste të veçanta të së

njëjtës teoremë, teoremës (2.1.2.) në këtë paragraf.

Konsiderojmë ekuacionin funksional të rendit të lartë 1,m me koefiçienta

funksione të variablit t të trajtës:

( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )

ku I është një nënbashkësi e pakufizuar e ,0R . Funksionet kQ janë të tillë

që

1.,0,1,...,=ku: mmkRIQk

Ndërsa, IIg : është një funksion i dhënë për të cilin kanë vend përcaktimet

vijuese

0,1,...=,=,= 10 mIttggtgttg mm

Me mg kuptojmë iteracionin e m -të të funksionit g , ndërsa me 1g funksion-in e

anasjelltë të tij. Kudo në këtë artikull do të vlejë supozimi i ekzistencës së funksionit

të anasjelltë dhe kanë vend kushtet e mëposhtme:

ttgtgtg ,1 dhe

tgtlim për It (2.1.2)

Përkufizim 2.1.1.[32] Me zgjidhje të ekuacionit (2.1.1) do të kuptojmë funksionin e

panjohur me vlera reale RIx : të tillë që: për

çdo R0t dhe që kënaq ekuacionin (2.1.1) mbi I .

Përkufizim 2.1.2.[32] Një zgjidhje x për ekuacionin (2.1.1) është quajtur oshilatore

në qoftë se ekziston një varg pikash 1nt , ku Itn , dhe është i tillë që

1,2,....=rep0dhe=lim 1 ntxtxt nnnn

Pra, thjesht në vazhdim të punimit me zgjidhje oshilatore x të ekuacionit do të

kuptojmë ekzistencën e një pafundësie zerosh. Në të kundërt zgjidhja është quajtur jo

oshilatore.

Përkufizim 2.1.3. [32] Në qoftë se për çdo varg pikash ,1

nt ku

=lim nn

t kemi

që 0>)( 1 nn txtx atëherë zgjidhja x e këtij ekuacioni eshtë jo oshilatore.

0,:sup 0 ItIssxot

21

Pra në këtë rast të fundit vihet re që zgjidhjet janë ose pozitive rigorozisht ose

negative rigorozisht.

Vihet re për më tepër nga trajta e ekuacionit (2.1.1) që ekzistenca ose jo e zgjidhjeve

oshilatore në të varet nga shenja e funksioneve kQ ku 10,1,2,...,= mk në I . Për

konkretizim marrim pohimin në vijim.

Pohim 2.1.1. [43] Në rastin kur 0>kQ ose 0<kQ për çdo 10,1,2,...,= mk dhe

për çdo It ekuacioni (2.1.1) përmban vetëm zgjidhje oshilatore.

Vërtetim. Supozojmë nga e kundërta që ekziston një zgjidhje jo oshilatore tx e

ekuacionit (2.1.1). Pra kemi që, për çdo varg pikash ,1

nt ku

=lim nn

t ,

0>)( 1 nn txtx . Për më tepër, supozojmë që kjo zgjidhje është rigorozisht pozitive

pra, ekziston I1t i tillë që 0>)(tx për .1tt Le të jetë 0

nt një term i vargut i

tillë që .10

ttn Kjo do të thotë që 0.>)(0

ntx Shumëzojmë me 0>10ntx në të dy

anët e ekuacionit (2.1.1) dhe marrim barazimin në vijim

...1000

11000

0 nnnnnn txtgxtQtxtxtQ

1ku0=100

1

01

mtxtgxtQ nn

m

nm . (2.1.3)

Pasi ndërtojmë vargun e ri të tillë që,

100

1

200

2

100

=)(,...,=)(,=

mnn

m

nnnn ttgttgttg , (2.1.4)

arrijmë në një kundërshtim sepse ana e majtë e ekuacionit (2.1.3) bëhet rigorozisht

pozitive. ■

Në të njëjtën mënyrë do të vërtetohej edhe rasti kur kjo zgjidhje është rigorozisht

negative. Në qoftë se një prej funksioneve kQ ka shenjë të kundërt me të tjerët pra,

ekziston ms 1,2,..., e tillë që 0<tQs dhe 0tQk për

smk 10,1,2,..., atëherë ekuacioni (2.1.1) mund t'i posedojë të dyja si

zgjidhjet oshilatore dhe ato jo oshilatore, si në rastin e shembujve të mëposhtëm.

Shembull 2.1.1. Le të jetë dhënë ekuacioni

0,ku0=4324 ttxtxtxtxtx .

Ekuacioni ka zgjidhje oshilatore tx 2cos= dhe tx 2sin= , ndërsa zgjidhjen 1=x e

ka zgjidhje jooshilatore.■

Shembull 2.1.2. Le të jetë dhënë ekuacioni

0,ku0=3253 ttxtxtxtx

Ekuacioni ka zgjidhje oshilatore tx 2cos= dhe jooshilatore zgjidhjen 1.= tx ■

22

Ateherë në rastin kur një prej funksioneve kQ ka shenjë të kundërt me të

tjerët konkretizuar në këta dy shembuj, lind pyetja se nën çfarë kushtesh shtesë mbi

koefiçientët ,tQk çdo zgjidhje e ekuacionit (2.1.1) do të jetë oshilatore.

Konsiderojmë në vazhdim që koefiçientët plotësojnë kushtin vijues

11,...,1,0,1,...,=ku0dhe0< mssktQtQ ks .

Për më tepër 0>1 tQs dhe 0>1 tQm për It . Pa humbur gjë supozojmë edhe

që 1= tQs . Atëherë ekuacioni (2.1) merr formën në vijim

tgxtQtgxtQtgx k

k

m

sk

k

k

s

k

s1

1=

1

0=

=

. (2.1.5)

Në vijim të studimit do të na duhet të përdorim edhe këto dy barazime

0==

tQ j

r

kj

dhe

r

kj

j tQ 1 ku kr < .

Teoremë 2.1. [32] Konsiderojmë mosbarazimet funksionale si më poshtë

tgxtQtgxtPtgx mss 11 , (2.1.6)

tgxtQtgxtPtgx mss 11 . (2.1.7)

ku 1m , ms 1,2,..., , RIQP :, dhe funksioni g kënaq kushtin (2.1.2).

Në qoftë se:

21

10= 2

1>liminf

smsm

j

jii

i

sm

t sm

smtgPtgQ

I ,

atëherë mosbarazimet (2.1.6) [(2.1.7)] nuk kanë zgjidhje pozitive [negative] për It, shumë të mëdha, pra nuk kanë zgjidhje rigorozisht pozitive [rigorozisht negative].

Vërtetim. Supozojmë që tx është një zgjidhje jo oshilatore të themi rigorozisht

pozitive e ekuacionit (2.1.6). Ky supozim do të përshkojë të gjithë studimin duke qenë

se edhe tx është zgjidhje jo oshilatore. Pra ekziston 0>1t i tillë që 0>tx për

1tIt . Nga kushti (2.1.2) meqë

tlim =tg , atëherë ekziston

12 tIt i tillë që

0>tgx i për 2

tIt ku 12 tt dhe 1.1,2,...,= mi Nga mosbarazimi (2.1.6)

kemi që, tgxtPtgx ss 1 për 2

tIt dhe si rrjedhojë marrim

tgxtgPtggxtgPtggxtgx ssss == 11

1

0

11 =j

jss tgPtgxtgxtgPtP

23

Me këtë arsyetim do të marrim për 11,...,; mssi

si

j

jsi tgPtgxtgx0

1

1

10

11 =)(si

j

jssi

j

jsi tgPtgxtggPtggxtgx . (2.1.8)

Duke përdorur mosbarazimin (2.1.8) tek mosbarazimi (2.1.6) për mi = kemi

sm

j

jsss tgPtgxtQtgxtPtgx1

1

1.

Në mosbarazimin e fundit duke pjesëtuar me 0>tgx s marrim mosbarazimin

tgx

tgxtPtgPtQ

s

ssm

j

j11

1

1

.

Me metodën e induksionit matematik tregohet lehtë që, për smi 0,1,2...= kemi

tgx

tgxtgPtgPtgQ

si

sii

sm

j

jii

11

1

1 .

Në të dyja anët e mosbarazimit shumojmë nga 0=i në smi =

tgx

tgxtgPsmtgPtgQ

si

sii

i

smsm

j

jii

i

sm

1

0=

1

10=

)(1)())(()( . (2.1.9)

Dimë nga analiza se është i vërtetë mosbarazimi në vijim

kk

i

ii

i

k

aak

11

00=

11

ku 0,ia

atëherë, duke e përdorur atë në studimin tonë marrim barazimet e njëpasnjëshme

=)()(1

1 1

1

1

0

1

0=

sm

si

sism

i

i

si

sii

i

sm

tgx

tgxtgP

tgx

tgxtgP

sm

=)(...)()(=1

11

1

111

10

sm

m

msm

s

s

s

s

tgx

tgxtgP

tgx

tgxtgP

tgx

tgxtgP

1

1

1

0

)(=

sm

m

ssm

i

i

tgx

tgxtgP .

24

Si rrjedhim nga mosbarazimi i mësipërm dhe ai (2.1.9) marrim mosbarazimin

sm

j

jii

i

sm

tgPtgQ1

10=

)(

1

1

0

1

)(11)(

smsm

i

i

m

s

tgPtgx

tgxsm (2.1.10)

Duke u rikthyer tek kushti i Teoremës (2.1.1) ka vend ky mosbarazim

1<=2

1>liminf

21

10=

Asm

smtgPtgQ

smsm

j

jii

i

sm

t

I.

Atëherë do të ekzistoj një konstante ,1AB dhe një pikë 2

3 tIt pra, 23 tt e

tillë që

3

1

10=

rep)(< t

sm

j

jii

i

sm

IttgPtgQBA

. (2.1.11)

Zgjedhim numrin më të parë natyror M që e bën të vërtetë mosbarazimin e

mëposhtëm

B

sm

A

BM

1>

, (2.1.12)

gjë që është e mundur sepse AB > pra, 1>A

B. Nga mosbarazimet (2.1.11) dhe

(2.1.12) rrjedh mosbarazimi

sm

j

jii

i

sm

tgPtgQsmsm

B 1

10=

)(1

1

1

1

1

0

1

1

smsm

i

i

m

s

tgPtgx

tgx.

Nga mosbarazimi i mësipërm kemi

1

0

1

11

smsm

i

i

m

s

sm

BtgP

tgx

tgx

B

A

sm

sm

Bsm

BB

B

smsm

=2

11=

11max

121

, (2.1.13)

ku 1<< BA .

25

Duke qenë se ka vend barazimi në vijim

0=1

11

1=1

1

1

sm

BB

sm

B

sm

BB

sm'

B

sm

,

atëherë maksimumi që kërkohet tek mosbarazimi (2.1.13) arrihet për 2

1=

sm

smB

. Pra, si rrjedhojë marrim këto mosbarazime të njëpasnjëshme

sm

i

ism tgPtgxA

Btgx

0

1

1

10

11 =sm

j

jssm

i

ism tgPtgxA

BtgPtgx

A

Btgx .

Duke përsëritur M -herë veprimet si tek mosbarazimi (2.1.13) marrim

sm

j

js

M

m tgPtgxA

Btgx

1

1

1 ,

ku M është e njëjtë si tek mosbarazimi (2.1.12). Duke zëvendësuar tek kushti

(2.1.6) mosbarazimin e mësipërm marrim mosbarazimet

sm

j

js

M

ss tgPtgxA

BtQtgxtPtgx

1

1

1 )(

sm

j

js

M

tgPtgxA

BtQ

1

1

.

Duke pjesëtuar në këtë mosbarazim me 0>tgx s kemi mosbarazimin

sm

j

j

M

tgPA

BtQ

1

1

1 .

Si rrjedhim për smi 0,1,2,..., marrim mosbarazimin

sm

j

ji

M

i tgPA

BtgQ

1

1

1 .

Duke mbledhur në të dyja anët nga 0=i deri tek smi = kemi rezultatin në vijim

sm

j

jii

i

smM

tgPtgQA

Bsm

1

10=

)(1 .

26

Nga (2.1.11) kemi për 3> tt që BA

Bsm

M

1 , gjë e cila kundërshton

mosbarazimin (2.1.12). Pra teoreema (2.1.1) u vërtetua për mosbarazimin (2.1.6). Në

të njëjtën mënyrë vërtetohet edhe për mosbarazimin (2.1.7).■

Rezultatet e kësaj teoreme i aplikojmë në ekuacionin vijues

msmtgxtQtgxtPtgx mss 1,2,...,,1rep= 11 . (2.1.14)

Teoremë 2.1.2. [32] Në qoftë se është dhënë ekuacioni funksional i trajtës (2.1.14)

ku RI:,QP , funksioni g kënaq kushtin (2.1.2) dhe ka vend mosbarazimi i

mëposhtëm

21

10= 2

1>liminf

smsm

j

jii

i

sm

t sm

smtgPtgQ

I,

atëherë ky ekuacion ka vetëm zgjidhje oshilatore.

Në lemën (2.1.1.) dhe teoremën e mësipërme (2.1.2.) në qoftë se marrim rastin kur

1=s dhe km = atëherë, përftojmë teoremat e mëposhtme.

Teoremë 2.1.3. [43] Në qoftë se është dhënë ekuacioni funksional i trajtës:

,:,,1rep= 1 RIQPktgxtQtxtPtgx k

funksioni g kënaq kushtin (2.1.2) dhe ka vend mosbarazimi i mëposhtëm

1

10=

1

1>liminf

kk

j

jii

i

k

t k

ktgPtgQ

I

atëherë ky ekuacion ka vetëm zgjidhje oshilatore.

Teoremë 2.1.4. [43] Në qoftë se është dhënë ekuacioni funksional i trajtës:

RIQPtgxtQtxtPtgx :,rep= 2

funksioni g kënaq kushtin (2.1.2) dhe ka vend mosbarazimi i mëposhtëm:

4

1=

11

1>liminf

11

tgPtQ

t I

atëherë ky ekuacion ka vetëm zgjidhje oshilatore.

Le t'i rikthehemi ekuacionit tonë fillestar (2.1.5) për të studiuar kushte të cilat janë të

mjaftueshme për oshilacionin e të gjitha zgjidhjeve.

Teoremë 2.1.5.[43] Le të jetë dhënë ekuacioni (2.1.5) në të cilin ka vend mosbarazimi

21

10= 2

1>liminf

smsm

j

jii

i

sm

t sm

smtgAtgB

I

27

ku

tQtgQtQtA s

ks

l

l

sk

k

s

1

2

1

0=

2

=

dhe

tQtgQtQtB m

sk

ksmk

sk

m

11

1=

=

atëherë ekuacioni (2.1.5) ka vetëm zgjidhje oshilatore.

Vërtetim. Supozojmë që ekuacioni (2.1.5) ka të paktën një zgjidhje jo oshilatore dhe le

të jetë 0>tx për 1tIt ku 01 t . Atëherë prej faktit që

tlim =tg rrjedh

ekzistenca e 12 tt i tillë që , 0>tgx i për 11,2,..., mi dhe 2

tIt .

Atëherë nga ekuacioni (2.1.5) kemi këto mosbarazime

12,...,1,=rep mssitgxtQtgx i

i

s . (2.1.15)

Nga ky mosbarazim rrjedh mosbarazimi i mëposhtëm

10,1,...,=rep2

1

1

sktgQtgxtgxks

l

l

s

sk (2.1.16)

sepse pasi zëvendësojmë tek mosbarazimi (2.1.15) për 1= si marrim

tggxtgx sksk = )(=( 1

1

1

1 tgxtgQtggxtgQ ksk

s

skssk

s

.

Pra, kemi mosbarazimin

tgxtgQtgx ksk

s

k 21

1

1(

.

Pas zëvendësimit në hapin e dytë marrim këtë rezultat

tgxtgQtgQtgx ksk

s

sk

s

k 21

11

.

Pas ks 1 hapash (sepse ky është numri i termave në ekuacionin (2.1.5) ndërmjet

tgx k dhe tgx s 1 marrim

...1

11 tgQtgQtgx sk

s

sk

s

k

ks

l

l

s

skskkssk

s tgQtgxtgxtgQ2

1

11)(2)()(

1 = .

Nga mosbarazimi (2.1.15) rrjedh mosbarazimi (2.1.16). Pra si rrjedhojë,

mssktgxtgQtgx msk

ksm

k 2,...,1,=rep1

1

, (2.1.17)

sepse pasi zëvendësojmë tek mosbarazimi (2.1.15) për )(1= ksmi marrim

28

=(= )(1

)(1 tggxtgQtggxtgx skksmsk

ksm

sksk

tgxtgQ msk

ksm

1

)(1=

.

Në ekuacionin (2.1.5) pas zëvendësimit të mosbarazimeve (2.1.16) dhe (2.1.17) në të

kemi relacionet vijuese

BAtgxtQtgxtQtgx k

k

sk

mk

k

k

ss ==

1=

1

0=

1

ks

l

l

sk

k

ss

ks

l

l

s

s

k

k

s

tgQtQtgxtgQtgxtQA2

1

0=

21

2

1

1

0=

1

=

)1(

2

1

1

1

ss

l

l

s

s

s tgQtgxtQ .

Meqë produkti i fundit merr vlerën 1, atëherë tAtgxA s 1 .

Ndërsa per B* marrim relacionet

tgxtQtgxtQtgxtQB m

m

k

k

sk

mk

k

sk

m1

1

1=1=

1

==

tgxtQtgQtQ m

m

sk

ksmk

sk

m1

11

1=

.

Pra ,nga vërtetësia e barazimit të fundit rrjedh që tBtgxB m 1 . Atëherë

marrim mosbarazimin në vijim

tBtgxtAtgxtgx mss 11 , (2.1.18)

ku RIBA :, , 1m , .1,2,...,ms Duke përdorur lemën (2.1.1) në këtë

mosbarazim marrim një kundërshtim me faktin që tx është një zgjidhje pozitive e

tij.■

Le të trajtojmë në vijim ekuacionin

tgxtQtgxtQtxtQtgx m

m

1

1

2

20 ...=

. (2.1.19)

Nga teorema (2.1.4) dhe teorema (2.1.5) rrjedhin dy teoremat e mëposhtme të cilat

gjenden në [32] [W.Golda, J.Werbowski, 1995].

Teoremë 2.1.6. [32] Le të jetë dhënë ekuacioni (2.1.19) ku ka vend mosbarazimi i

mëposhtëm

1

1

0

0=

1

1>liminf

mm

j

jii

i

m

t m

mtgQtgG

I (2.1.20)

ku

29

tQtgQtQtG m

k

kmk

k

m

1

1

2

2=

=

atëherë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (2.1.19) janë oshilatore.

Vërtetim. Kjo teoremë merret prej teoremës (2.5) për 1=s . Pra kushti (2.1.20) ku

tQtQtgQtQtA l

s

k

lk

k

001

1

2=0=

1

==

dhe

tGtQtgQtQtB m

k

kmk

k

m

== 1

1

2

2=

është i mjaftueshëm për oshilacionin e zgjidhjeve të ekuacionit (2.1.19).■

Teoremë 2.1.7. [32] Le të jetë dhënë mosbarazimi i mëposhtëm

4

1>liminf

1

1

0

2=

1

k

j

j

k

k

m

ttgQtQ

I, (2.1.21)

atëherë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (2.1.19) janë oshilatore.

Vërtetim. Supozojmë që ekuacioni (2.1.19) ka të paktën një zgjidhje jo oshilatore dhe

le të jetë 0>tx për 1tIt ku 0.1 t Si më parë supozojmë që 0>tgx i për

.11,2,..., mi Nga ekuacioni (2.1.19) kemi txtQtgx 0 dhe për

13,4,...,= mk me metodën e induksionit matematik marrim këtë mosbarazim vijues

1

2

0

2k

j

jk tgQtgxtgx . (2.1.22)

Për këtë mjafton të ndjekim hapat e mëtejshme. Për 3=n kemi:

tgxtgQtggxtgx 22

0

23 = .

Supozojmë të vërtetë për 1= kn ku 4>k . Atëherë ka vend mosbarazimi

2

2

00

2

2

0

21k

j

jk

j

jk tgQtgQtgxtgQtgxtgx .

Për kn = kemi barazimet në vijim

=)(=2

2

1

0

2

0

21

k

j

jkk tgQtgQtgxtggxtgx

1

2

0

21

3

0

2

0

2 ==k

j

jk

j

j tgQtgxtgQtgQtgx .

30

Duke e përdorur mosbarazimin (2.1.22) tek ekuacioni (2.1.19) kemi

txtQtgxtQtxtQtgx k

k

k

m

0

2=

1

0=

1

2

0

2=

12

k

j

j

k

k

m

tgQtQtgx .

Në teoremën (2.1.4) duke marrë

1

2

0

2=

1

=k

j

j

k

k

m

tgQtQtQ dhe tQtP 0= do

të marrim mosbarazimin

=)(liminf=liminf 0

1

2

0

2=

1

tgQtgQtQtgPtQk

j

j

k

k

m

tt

II

4

1>liminf=

1

1

0

2=

1

k

j

j

k

k

m

ttgQtQ

I.

Kemi përfunduar vërtetimin e kësaj teoreme.■

Kushtet (2.1.20) dhe (2.1.21) janë të pavarur nga njëri tjetri, në kuptimin që mund të

plotësohet kushti (2.1.20) por jo ai (2.1.21) dhe anasjelltas e megjithatë të gjitha

zgjidhjet e ekuacionit (2.1.19) do të jenë oshilatore. Pra këto kushte janë të

mjaftueshme por jo të nevojshme. Pavarësinë e tyre nga njëri tjetri po e tregojmë me

anë të dy shembujve të mëposhtëm.

Shembull 2.1.3. Le të jetë dhënë ekuacioni

Rttxttxttttxtx ku0=32151105 3

.

Kushti (2.1.20) nuk kënaqet sepse ekuacioni për ,0,1,2,3=i 2=m dhe

1= ttg

merr trajtën

32155=110 3 txttxtttxttx

ku

,2

1=

10

15=1,=

10

10=,

2

1=

10

5= 210

t

t

tttQ

t

ttQ

tttQ

,10

=10

=23

3

t

t

ttQ

3)2(

1=)(,

2)2(

1=)(,

1)2(

1=)( 3

0

2

00 t

tgQt

tgQt

tgQ .

Kushti (2.1.20) kënaqet nëse ka vend mosbarazimi i mëposhtëm

31

27

8=

12

2>liminf

12

0

2

1=0=

1

tgQtgG ji

j

i

it I

ku

102

2

2

1=)(=

2

322

ttttQtgQtQtG

10

1)(

2

3

2

2=)()()(=)(

2

3

2

22

ttttgQtgQtgQtgG .

Atëherë, pas zëvendësimit në kushtin (2.1.20) marrim këtë relacion

27

8<

40

7=

2140

1

8

1liminf

22

tt

tt

t I.

Ndërsa, kushti (2.21) kënaqet sepse ka vend mosbarazimi i mëposhtëm

=liminf 0

1

1=2=

3

tgQtQ jk

jk

kt

I

=)()()(liminf= 2

00302 tgQtgQtQtgQtQt

I

4

1>

21404

1liminf=

2

tt

t

t I.■

Shembull 2.1.4. Le të jetë dhënë ekuacioni

Rttxttxttttxtx ku0=36211105 3

Kushti (2.1.20) kënaqet sepse ekuacioni për ,0,1,2,3=i 2=m dhe 1= ttg

merr trajtën

36215=110 3 txttxtttxttx

,5

3=)(,

10

1=)(1,=)(,

2

1=)(

2

3210

ttQ

ttQtQ

ttQ

3)2(

1=)(,

2)2(

1=)(,

1)2(

1=)( 3

0

2

00 t

tgQt

tgQt

tgQ

5

3

10

2

10

1=)(=

2

322

ttttQtgQtQtG

5

1)3(

10

3

10

2=)()()(=)(

2

3

2

22

ttttgQtgQtgQtgG .

Atëherë ka vend mosbarazimi i mëposhtëm

32

5

3

100

21

214

1liminf

2ttt

ttt I

27

8>

200

61=

5

1)3(

100

32

324

1 2

ttt

tt.

Ndërsa kushti (2.1.21) nuk kënaqet sepse kanë vend relacionet në vijim

=liminf1

1

0

2=

3

k

j

j

k

kt

tgQtQI

4

1<

5

1=)()()(liminf= 2

00302 tgQtgQtQtgQtQt

I

.■

Megjithatë në të dy shembujt zgjidhjet janë vetëm oshilatore. Le të sjellim një kusht

tjetër të mjaftueshëm për oshilacionin e zgjidhjeve të ekuacionit (2.1.5) .

Teoremë 2.1.8. [43] Në qoftë se ekuacioni (2.1.5) plotëson kushtin vijues

1>limsup1

10=

1

MtgAtgBsm

j

jii

i

sm

t

I

(2.1.23)

}{1

1

11

1=

))(()((1=ku

sm

l

smlksmk

k

i

tgAtgBM .

Madhësitë A dhe B janë përcaktuar si në teoremën (2.1.5.) . Atëherë të gjitha

zgjidhjet e ekuacionit (2.1.5) janë oshilatore.

Vërtetim. Supozojmë që ekuacioni (2.1.5) ka të paktën një zgjidhje jo oshilatore dhe le

të jetë 0>tx për 1tIt ku 01 t . Atëherë si në teoremën (2.1.5) janë të vërteta

mosbarazimet (2.1.16) dhe (2.1.18), pra

10,1,...,=ku2

1

1

sktgQtgxtgxks

l

l

s

sk

dhe

tBtgxtAtgxtgx mss 11 .

Nga mosbarazimi i fundit për 10,1,..., smi dhe 2

tIt ku 12 tt vërtetohet

lehtë me induksion mosbarazimi

tgBtgxtgAtgxtgx iimiisis 11 . (2.1.24)

33

Në mosbarazimin e fundit shumëzojmë në të dyja anët e tij me 0>1

1

sm

ij

j tgA dhe

marrim mosbarazimin

tgAtgxtgAtgxtgA iissm

ij

jissm

ij

j 11

1

1

1

tgxtgAtgB imsm

ij

ji 11

1

. (2.1.25)

Shumojmë nga 1=i deri në 1= smi në të dyja anët e mosbarazimit të

mësipërm dhe kemi për anën e majtë këtë barazim

tgAtgAtgAtgxtgxtgA smsissm

ij

j

i

sm1321

1

11=

1

...=

1...... 1132 tgxtgAtgAtgx msms

ku

tQtgQtQtA s

ks

l

l

sk

k

s

1

2

1

0=

2

=

)()(=)( 1

1

2

1

1

1

0=

21 tgQtgQtgQtgA sm

s

ks

l

lsm

s

sm

k

k

ssm

,

dhe për anën e djathtë

tgAtgxtgA iissm

ij

j

i

sm1

1

11=

1

BAtgxtgAtgB imsm

ij

ji

i

sm

=)()( 11

11=

1

=)()(=1

1

1

1=

1

sm

ij

jiis

i

sm

tgAtgAtgxA

)(...)()(= 132 tgAtgAtgAtgxtgA sms

1)(...)(...)( 11312 tgxtgAtgAtgAtgxtgA msmsms

)(...)(= 12 tgAtgAtgAtgxA sms

)()(...)( 11321 tgAtgxtgAtgAtgAtgx smmsms .

Atëherë, pas shumimit dhe pas thjeshtimit të kufizave të barabarta në të dyja anët e

mosbarazimit (2.1.25) marrim mosbarazimin në vijim

34

)(...)( 121 tgAtgAtgAtgxtgx smsm

tgxtgAtgB imsm

ij

ji

i

sm1

1

11=

1

)(

tgxtgAtgBtgAtgxtgx imsm

j

ji

i

smsm

j

jsm 11

11=

11

1

1

. (2.1.26)

Duke përdorur përsëri mosbarazimin (2.18) kemi në vazhdim mosbarazimin

tAtgxtgx ss 1 .

Pra, për 3

tIt ku 23 tt dhe për 11,...,, mssk marrim

)(=)()(= 11 tgAtgxtgAtggxtggxtgx ssss

1

0

11 )(=)(l

lss tgAtgxtgAtAtgx

Duke vepruar në të njëjtën mënyrë hap pas hapi kemi relacionin vijues

sk

l

lssksk tgAtgxtggxtgx0

1 )()(= . (2.1.27)

Me ndihmën e mosbarazimit (2.1.27) përftojmë

)(= 22 tggxtgx smkksm

ksm

sml

lmsk

l

smlsms tgAtgxtggAtggx22

2

1

0

221 )(=))(( , (2.1.28)

1}1,...,,{=ku mssk .

Nga relacioni (2.24) për 11,2,..., smi dhe 10,1,..., smj kemi përftuar

tgxtgx ssijmijm )1(1 =

tgxtgBtgxtgA sijmsijmijmsijm 2211

.

Nga (2.1.28) marrim mosbarazimin

1 1m j i m j i s m j ix g t A g t x g t

jism

sml

lmsijm tgAtgxtgB222

2

11 )( . (2.1.29)

Duke përdorur relacionet (2.18) dhe (2.29) për 0=j tek relacioni (2.26) kemi

35

1

1 1 1

1

m sm j s m

j

x g t A g t x g t A t x g t B t

1

11=

1

)()(sm

ij

ji

i

sm

tgAtgB

ism

sml

lmsimimsim tgAtgxtgBtgxtgA222

2

111 )( .

Nga ky mosbarazim i fundit marrim mosbarazimin

1 1

1 1 1

1 0

( ) ( )m s m s

m m j s j

j j

x g t x g t A g t B t x g t A g t

tgxtgAtgAtgB imsimsm

ij

ji

i

sm1

1

12=

1

tgxtgAtgAtgB msmsm

j

j 121

2

ism

sml

lmsimsm

ij

ji

i

sm

tgAtgxtgBtgAtgB222

2

111

11=

1

)()()( .

Pra, kanë vend mosbarazimet

tBtgAtgxtgxsm

j

jmm1

1

11 )(

tgAtgAtgB smsm

j

j 21

2

)(

ism

sml

lsimsm

ij

ji

i

sm

tgAtgBtgAtgB222

2

11

11=

1

)()(

1

0

111

12=

1

)()()(sm

j

jsimsimsm

ij

ji

i

sm

tgAtgxtgxtgAtgAtgB ,

dhe

tgxtgx mm 11 M ,

ku

222

1

1

1=

11

10=

1

)()(()(sm

j

jisimi

i

smsm

j

jii

i

tgAtgBtgBtgAtgBM

36

1

0

11

1

1

2=

1

)(()(sm

j

jsimsm

ij

jsimi

i

sm

tgAtgxtgxtgAtgAtgB .

Nga ky mosbarazim i fundit marrim lehtësisht

1

10=

111 )()(

sm

j

jii

i

mm tgAtgBtgxtgx

222

1

1

1=

1

)()(sm

j

jisimi

i

sm

tgAtgBtgB

tgxtgAtgAtgB imsm

j

jsimi

i

sm

1

1

1

2=

1

)()( .

Duke përdorur këtë mosbarazim dhe mosbarazimin e mëposhtëm që rrjedh nga

(2.1.29) për 1=j marrim në vijim

tgxtgAtgx imsimim 11111

1222

2

111 )(ism

sml

lmsim tgAtgxtgB .

Pra,

tgxtgx mm 11

222

1

1

1=

11

10=

1

)()()()(sm

j

jisimi

i

smsm

j

jii

i

tgAtgBtgBtgAtgB

1

1

1

2=

1

)()(sm

j

jsimi

i

sm

tgAtgAtgB

122

2

11 )(ism

sml

lmsimimsim tgAtgxtgBtgxtgA ,

dhe

1

10=

111 )()(

sm

j

jii

i

mm tgAtgBtgxtgx

122

2

1

1

1

2=

1

)()()(ism

sml

lsm

j

jsimsimi

i

sm

tgAtgAtgAtgBtgB

222

1

1

1=

11 )()(

sm

j

jisimi

i

smm tgAtgBtgBtgx

37

tgxtgAtgAtgB im

k

kismsm

j

ji

i

sm1

1

0

11

12=

1

)()()(

.

Atëherë,

1

10=

111

sm

j

jii

i

mm tgAtgBtgxtgx

2 2 11

1

=2 1

( ) ( ) ( )m sm s

i m i s i j m s i

i j

B g t B g t A g t A g t

+

222

1

1

1=

11 )()(

sm

j

jisimi

i

smm tgAtgBtgBtgx

1 11

1 1

=3 1 0

( ) ( ) ( )m sm s

m i i j m s i k

i j k

x g t B g t A g t A g t

1

0

31

1

21 )()()(k

ksmsm

j

jm tgAtgAtgBtgx .

Si përfundim marrim mosbarazimin

1

10=

211 )()(

sm

j

jii

i

mm tgAtgBtgxtgx

)()()( 1222

12=

1

tgAtgAtgBtgB ismsm

j

jisimi

i

sm

222

1

1

1=

11 )()(

sm

j

jisimi

i

smm tgAtgBtgBtgx

tgxtgAtgAtgB im

k

kismsm

j

ji

i

sm1

1

0

11

13=

1

)()()(

. (2.1.30)

Në mënyrë të ngjashme kemi që,

1

10=

111 )()(

sm

j

jii

i

smmm tgAtgBtgxtgx

MtgAtgBtgBsm

j

jisimi

i

sm

...)()(222

1

1

1=

1

38

1

3

3

1

2

=

1

)()()()(=kusm

k

kism

j

jiii

smi

sm

tgAtgAtgBtgBM

1

2

12

1

121 )()(sm

k

ksmsm

j

jsmsmsm tgAtgAtgBtgB .

Duke pjesëtuar me 0>1 tgx m

në të dyja anët e mosbarazimit të fundit marrim një

kundërthënie të kushtit (2.1.23) të teoremës nën studim (2.1.8).■

Le të supozojmë se për ekuacionin (2.1.5) kushtet e teoremave (2.1.5) dhe (2.1.8) nuk

plotësohen. Atëherë do të tregojmë se kushti i teoremës në vijim i pavarur prej tyre

është i mjaftueshëm për oshilacionin e të gjitha zgjidhjeve të tij.

Teoremë 2.1.9. Supozojmë që

1

10=

sm

j

jii

i

sm

tgAtgB ku

2

2

1=

sm

sm

sm dhe

1

10=

1

limsupsm

j

jii

i

sm

t

tgAtgBI

1>11

1

11

1=

sm

l

smlksmk

k

i

tgAtgB2

sm

.

ku A dhe B janë përcaktuar si në teoremën (2.1.5). Atëherë ekuacioni (2.1.5) ka

vetëm zgjidhje oshilatore.

Vërtetim. Nga teorema (2.1.5) marrim mosbarazimet e mëposhtme nëse 0>tx për

2tIt ku 012 tt ,

10,1,2,...,=rep2

1

1

sktgQtgxtgxks

l

l

s

sk ,

mssktgxtgQtgx msk

ksm

k 2...,1,=rep1

1

.

Gjithashtu, nga teorema (2.1.8) marrim mosbarazimet e mëposhtme të vërteta për t

shumë të mëdha pra, .3

tIt

)()( 11 tgBtgxtgAtgxtgx iimiisis , (2.1.31)

dhe

tBtgxtAtgxtgAtgx mssm

j

jm 111

1

1 )(

39

1

11=

1

)(sm

ij

ji

i

sm

tgAtgB (2.1.32)

ism

sml

lmsimimsim tgAtgxtgBtgxtgA222

2

111 )( .

Si në mënyrën e vërtetimit të teoremës (2.1.8) nga mosbarazimi i fundit marrim

mosbarazimin vijues

1

10=

11

1

0

11 )()()(sm

j

jii

i

smm

sm

j

jsm tgAtgBtgxtgAtgxtgx

...)()()(222

1

1

1=

1 sm

j

jiismi

i

sm

tgAtgBtgB

1

3

3

1

2

=

1

)()()()(sm

k

kism

j

jiii

smi

sm

tgAtgAtgBtgB

1

2

12

1

121 )()()()(sm

k

ksmsm

j

jsmsmsm tgAtgAtgBtgB .

(2.1.33)

Në mosbarazimin (2.1.31) shumëzojmë me

sm

ij

j tgA1

)( dhe më pas mbledhim nga

0=i deri në smi = ,

tgxtgA issm

ij

j

1

)(

)()()( 11

1

tgBtgxtgAtgxtgA iimiissm

ij

j

sm

ij

jis

i

sm

tgAtgxA10=

)(=

BtgAtgBtgxtgAtgxsm

ij

jiim

i

smsm

ij

jis

i

sm

=)()(1

1

0=

1

0=

.

Duke zbërthyer mosbarazimin e fundit kemi mosbarazimin vijues

)(...)()(= 2 tgAtgAtgAtgxA sms

)()(...)(...)( 121 tgAtgxtgAtgAtgx smmsms

)(...)(=)( 1 tgAtgAtAtgxBtgx smsm

40

)()(...)(...)( 1 tgAtgxtgAtgAtgx smmsms

sm

ij

jiim

i

sm

tgAtgBtgx1

1

0=

)()( .

Pas eleminimit të kufizave të njëjta në të dyja anët e këtij mosbarazimi kemi

mosbarazimin

sm

ij

jiim

i

smsm

ij

jsm tgAtgBtgxtgAtgxtgx1

1

0=0

1 )()()()( .

Shumëzojmë tek kjo e fundit me 0.>)(1 tgA sm

sm

j

jsmsm tgAtgxtgxtgA0

11 )()()(

1

1

1

0=

)()(sm

ij

jiim

i

sm

tgAtgBtgx .

Atëherë, ka vend mosbarazimi

1

1

1

0=

1 )()()()(sm

ij

jiim

i

smmsm tgAtgBtgxtgxtgA . (2.1.34)

Nga mosbarazimi (2.1.31) marrim mosbarazimin më poshtë

Duke përsëritur 1i herë mosbarazimin më sipër marrim rezultatin e mëposhtëm

i

j

jsis tgAtgxtgx1

))(())(())(( (2.1.35)

sepse

tgxtgAtggxtgx isiisis 2111 )()(=

tgxtgAtgAtggxtgx isiiisis 211 )()((=

i

ij

jisis tgAtgxtgx1

2 )(

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

j

jsi

iij

jiisis tgAtgxtgAtgxtgx1)1(

)(=)( .

Nga mosbarazimi (2.1.35) marrim mosbarazimin vijues

0,1,2...=rep)(1 itgAtgxtgx iisis

41

=)()(=1

1111

i

j

smjsmssmisim tggAtggxtggxtgx

ism

sm

jmi

j

jsmm tgAtgxtgAtgx1

2

1

1

11 )(=)(= . (2.1.36)

Pas zëvendësimit të mosbarazimit (2.1.36) tek mosbarazimi (2.1.34) kemi përftuar

ism

sml

lmsm

ij

ji

i

smmsm tgAtgxtgAtgBtgxtgA

1

2

11

10=

1 )()()()()(

=)()(= 11

10=

tgxtgAtgB mism

ij

ji

i

sm

tgxtgxtgAtgB mmsm

j

jii

i

sm11

1

10=

)()(=

. (2.1.37)

Atëherë zgjidhja rigorozisht pozitive tx e ekuacionit (2.1.5) kënaq ekuacionin e

mëposhtëm

)(11111 tggxtggxtggA msmmsmmssm .

Pra, marrim

)()()( 1 tgxtgxtA ss (2.1.38)

Nga mosbarazimi (2.1.38) kemi për sm = që .)( 1 tgxtgxtgA ss

Shumëzojmë tek mosbarazimi (2.1.38) me .)(tgA

tgxtgxtgAtgAtgxtgxtgAtA ss

j

jss 121

0

11 )(=

.

Duke e përsëritur këtë veprim sm herë të tjera kemi

tgxtgAtgx msmsm

j

js 121

0

1 )(

.

Në mosbarazimin (2.1.30) përdorim mosbarazimin e mësipërm

1

10=

11121 )()(

sm

j

jii

i

smmmsmm tgAtgBtgxtgxtgx

...)()()(222

1

1

1=

1 sm

j

jiismi

i

sm

tgAtgBtgB

42

1

3

3

1

2

=

1

)()()()(sm

k

kism

j

jiii

smi

sm

tgAtgAtgBtgB

1

2

12

1

121 )()()()(sm

k

ksmsm

j

jsmsmsm tgAtgAtgBtgB

.

Duke pjesëtuar me 0>1 tgx m kemi që

1

10=

12 )()(1

sm

j

jii

i

smsm tgAtgB

1

1

11

1=

)()(1sm

j

smlksmk

k

i

tgAtgB .

Mosbarazimi i fundit kundërshton kushtin e teoremës (2.1.9) ndaj, meqë u nisëm nga

një supozim për ekzistencën e një zgjidhjeje jo oshilatore rezulton që të gjitha

zgjidhjet e ekuacionit (2.1.5) të jenë oshilatore.■

§ 2. KUSHTE OSHILACIONI PËR NJË TRAJTË MË TË PËRGJITHSHME

TË EKUACIONIT FUNKSIONAL TË RENDIT TË LARTË

Le të konsiderojmë një ekuacion funksional të ri i cili e ka ekuacionin funksional të

rendit të dytë si rast të veçantë për .

( ( )) ( ) ( ) ∑ ( ) . ( )/

( )

ku ( ) ( ) është një bashkësi e

pakufizuar ku është një numër natyror. Përcakojmë funksionin , njësoj si më

sipër në studim

( )

( )

( ) ( ) . ( )/

Le të shënojmë

( ( ))

( )

( )

( )

Në vitin 2001 , Zhang.B.G dhe Choi.S.K. (shikoni [83]) paraqitën disa kritere si në

vijim.

Teoremë 2.2.1. [83] Në qoftë se është i vërtetë një nga mosbarazimet e mëposhtëme

∑ .

/

43

ose

∑ [

( )(

( ))

]

atëherë të gjithë zgjidhjet e ekuacionit (2.2.1) janë oshilatore.

Vërtetim .Le të supozojmë nga e kundërta që ekziston një zgjidhje rigorozisht pozitive

( ) e ekuacionit (2.2.1). Duke pjesëtuar të dyja anët e këtij

ekuacioni me ( ) marrim barazimin në vijim

( ( ))

( )

( ) ( )

( ) ∑ ( )

. ( )/

( )

Nga një veti e njohur mbi inferiorin aplikuar mbi këtë barazim marrim mosbarazimin

( ( ))

( )

( ) ( )

( )

∑ ( )

. ( )/

( )

Pra,

∑

Ndryshe mosbarazimin e mësipërm mund ta shkruajmë

∑ .

/

∑ ( )

Tregohet lehtë që ( ) e arrijnë maksimumin e tyre në pikën

( ( ))

(

( ))

Atëherë kemi arritur në një absurditet sepse

( )

( )(

( ))

Teorema u vërtetua. ■

Pra kemi treguar një kriter të ri oshilacioni për ekuacionin (2.39) .

Teoremë 2.2.2. [83] Në qoftë se

∑ ( )

∏ . ( )/

( )

44

atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (2.2.1) është oshilatore.

Teoremë 2.2.3 [83] Në qoftë se ekziston një numër i tillë që

∑ ( )

∏ . ( )/

ku

( ) ( )

∑ ( ) ∏ (

( ))

atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (2.2.1) është oshilatore.

Teoremë 2.2.4. [83] Në qoftë se është e vërtetë që

∑ ( )

∏ . ( )/

ku është rrënja më e madhe pozitive e ekuacionit

(

)

( )

ku

∑ ( )

∏ . ( )/

atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (2.2.1) është oshilatore.

Vëmë re se për ekuacioni ynë (2.2.1) është ekuacioni nën studim (1.2.1), pra

ekuacioni

( ( )) ( ) ( ) ∑ ( ) . ( )/

Meqë nga teorema (2.2.2.) kemi që ekuacioni (1.2.1) është oshilator për

,

problemi i oshilacionit ngelet i hapur për

.

Ekuacioni (2.2.2), i cili për merr trajtën si vijon

( )

ka dy rrënjë nga të cilat më e madhja është rrënja

√

45

Si rrjedhojë e këtij konkluzioni marrim teoremën e mëposhtme.

Teoremë 2.2.[83] Në qoftë se është e vërtetë që

∑ ( )

∏ . ( )/

√

atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (2.19) është oshilatore.

Teoremë 2.2.5. [83] Në qoftë se ekziston një numër i tillë që

< ( ( )) ∑ ( )

∏ . ( )/

∑ ( ( ))

∏ . ( )/

=

atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (2.2.1) është oshilatore.

Në këtë kapitull u fokusuam në ekzistencën e zgjidhjeve oshilatore në ekuacionet

funksionale të rendit të lartë pra, në ato zgjidhje që tentojnë në pambarim dhe që kanë

një pafundësi zerosh. Në rezultatet e këtij kapitulli jemi mbështetur kryesisht në

literaturën e huaj, atë klasike dhe atë të viteve të fundit. Kriteret e marra (përmirësim i

kritereve ekzistuese) ndërtohen mbi kushtet që duhet të plotësojnë koefiçientët

funksionalë të ekuacioneve funksionale të rendit të lartë nën studim. Këta koefiçientë

ndikojnë në natyrën oshiluese ose jooshiluese të këtyre ekuacioneve. Disa nga kriteret

që morëm në këtë kapitull janë ato mbi të cilat do të operojmë në kapitullin

pasaardhës.

46

KAPITULLI III

EKUACIONET FUNKSIONALE TË RENDIT TË DYTË

Në këtë kapitull do të fokusohemi në ekuacionet funksionale të rendit të dytë, të

trajtës

tgxtQtxtPtgx 2= . (L)

Në paragrafin e parë të këtij kapitulli jepen disa rezultate bazë në teorinë e

oshilacionit për ekuacionet funksionale të rendit të dytë, të cilat kryesisht janë

kontribut i disa studiuesve Golda(Nowakowska).W, Werbowski.J ([31], [32], [33],

[34]), Shen.J.H, Stavroulakis.I.P ([77], [78]) dhe Zhang.B.G, Choi.S.K. ([83]).

Kontributi ynë në këtë kapitull qëndron në kriterin (6*), i cili është një përmirërësim i

kushteve të marra nga Golda dhe Werbowski. Në paragrafin e dytë të këtij kapitulli

kemi përftuar dy kritere oshilacioni të paraqitura në dy teorema. Këto dy teorema

gjenden edhe në punimet e Golda dhe Werbowski tek [31] por, në punimin tonë

vërtetimet e tyre janë parë si rrjedhime të teoremës (2.1.8) të kapitullit të dytë. Kjo

mënyrë vërtetimi jo vetëm që shmang artificat e shumta që gjenden në këto vërtetime

(literatura ekzistuese) por na ndihmon dhe për përmirësimin e kushteve të oshilacionit

për ekuacionet funksionale të rendit të dytë, duke marre disa kushte të reja të cilat do

t‟i paraqesim në vazhdim në paragrafin e dytë të këtij kapitulli. Në mbyllje të këtij

kapitulli paraqesim disa kritere jooshilacioni.

§ 1. DISA KUSHTE TË MJAFTUESHME PËR OSHILACIONIN E

ZGJIDHJEVE TË EKUACIONIT FUNKSIONAL TË RENDIT TË DYTË

Konsiderojmë ekuacionin linear funksional të rendit të dytë të formës:

tgxtQtxtPtgx 2= (3.1.1)

ku , : 0,P Q I R

dhe :g I I janë funksione me vlera reale. Supozojmë

0 2= , =g t t g t g g t

dhe për më tepër që g t t dhe

tg

tlim për t I

. Me simbolin x, do të kuptojmë një funksion të panjohur me vlera reale dhe me g2

iteracionin e dytë të funksionit g. Në këtë paragraf do të prezantojmë disa kushte të

mjaftueshme në rendin përmirësues nën të cilat ky ekuacion ka vetëm zgjidhje

oshilatore nën kushtin

1

0 = liminf4

m Q t P g tt I

.

Me zgjidhje të ekuacionit (3.1.1) do të kuptojmë funksionin e panjohur me vlera reale

:x I R të tillë që: për çdo 0

t R

dhe që kënaq

ekuacionin (3.1.1) mbi I . Një zgjidhje x për ekuacionin (3.1.1) është quajtur

oshilatore në qoftë se ekziston një varg pikash 1n

t

ku n

t I i tillë që

1lim = dhe 0 = 1, 2,per ....

n n nn

t x t x t n

Në të kundërt zgjidhja është quajtur jo

oshilatore.

Le të bëjmë një prezantim të shkurtër pa hyrë në detaje për shkak të natyrës së

studimit në kriteret më klasike të teorisë së oshilacionit për ekuacionet funksionale të

rendit të dytë. Këto kritere të mjaftueshme oshilacioni janë pa dyshim kontribut i dy

0,:sup 0 ItIssxot

47

studiuesve të njohur (të cilëve i referohemi shpesh në kapitullin e dytë dhe të tretë)

Golda (Nowakowska).W dhe Werbowski.J.

Në vitin 1994 Golda (Nowakowska) dhe Werbowski ([31]) treguan që ky

ekuacion është oshilativ në qoftë se dy koefiçientët funksionalë P(t) dhe Q(t)

plotësojnë këto kushte në lidhje me njëra-tjetrën.

1 4

1>liminf= tgPtQm

t I

2 1>limsup= tgPtQMt I

3 1>)()(limsup 2

0

1

0=

tgPtgQtgPtQ j

i

j

j

i

n

t I

ku 0n (jo për çdo n , mjafton të plotësohet vetëm për një të tillë).

Madje, ndër këto kushte të mjaftueshme të pavarura nga njëra tjetra kushti i parë nuk

ka përmirësim të mëtejshëm në kuptimin që si kufi i poshtëm nuk mund të merret

ndonjë numër tjetër më i vogël se 4

1, [Kujtojmë që po këta autorë e kanë treguar këtë

me anë të një shembulli, shikoni [31]].

Përdorim më tej në studimin tonë këto barazime

qtQptPrtx

tgx

ttt=liminf=liminf=liminf

III .

Kriteri 1 dhe barazimet e mësipërme i përdorim për teoremën në vijim.

Teoremë 3.1.1.[31] Në qoftë se në ekuacionin (3.1.1) kemi të vërtetë mosbarazimin

4

1>pq ku p dhe q janë të përcaktuara si më sipër atëherë çdo zgjidhje e tij është

oshilatore.

Vërtetim. Le të supozojmë që ekuacioni (3.1.1) ka të paktën një zgjidhje jo oshilatore

dhe le të jetë 0>tx për 1tIt ku 01 t . Duke pjesëtuar me 0>tx në të dyja

anët e tij kemi

tx

tgxtQtP

tx

tgx 2

=

,

ndaj marrim relacionin

tx

tgx

tgx

tgxqp

tx

tgxqpr

tt

22

liminf=liminfII

.

48

Pra, 2qrpr . Ndërtojmë funksionin f të tillë që, .= 2qrrrf Maksimumin ky

funksion e arrin në pikënq

r2

1= . Tregohet lehtë që ky funksion vlerën maksimale e

ka, max q

rf4

1= . Gjë që na çon në përfundimin që p

q

4

1 pra pq

4

1.

Marrim një absurditet (kundërshtohet kushti i teoremës nën studim).■

Në qoftë se tgPtQt lim do të ekzistonte atëherë do të kemi që

MtgPtQmtgPtQtgPtQttt

=limsup==liminf=lim

dhe kushti 4

1>= Mm do të ishte i mjaftueshëm për oshilacionin e ekuacionit

(3.1.1).

Në qoftë se tgPtQt lim nuk do të ekzistonte atëherë ndërmjet kushteve 1 dhe

2 ka një hendek (ndërmjet 4

1 dhe 1) të cilin kushti 3 përpiqet ta mbush. Pra,

me fjalë të tjera ndërsa kufiri i poshtëm 4

1 nuk mund të zvogëlohet më, a mund të

thuhet e njëjta gjë për kufirin e sipërm, mund të bëhet ai më i vogël se 1 , që

ekuacioni (3.1.1) t'i ketë të gjitha zgjidhjet oshilatore me kushtin që 4

10 m .

Teoremat vijuese njëra pas tjetrës ([83]) do ta përmirësojnë gjithnjë e më shumë

kushtin .2

Teoremë 3.1.2. [83] Në qoftë se 4

10 m dhe

m

mM

1

21> 4 atëherë të gjitha

zgjidhjet e ekuacionit (3.1.1) janë oshilatore.

Vërtetim. Për 0=m është e vërtetë që të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (3.1.1) janë

oshilatore sepse merret kushti 2 . Pra teorema do të vërtetohet për .4

1<0 m

Meqë t

liminf mtgPtQ = atëherë .mtgPtQ Si rrjedhojë do të ekzistonte

0> ku m0, i tillë që mtgPtQ > për 2tt . Meqë,

4

1<<0 mm atëherë duke zëvendësuar në kushtin e teoremës (3.1.2) do të kemi

të vërtetë që

)(11>ose

)(1

)2(1>

m

mM

m

mM

.

Meqë 0=limk

km

atëherë ekziston Nn e tillë që, ka vend mosbarazimi vijues

49

k

k

mmmm

mmM )(...)(1)(1=

)(1

])[1(1>

1

.

Pra, marrim në vijim mosbarazimin

1>)(...)()(1)( 2 kmmmmM . (3.1.1)

Nëse i rikthehemi kushtit 3 i cili zbërthehet si më poshtë për 0,n numër i

plotë, duke kujtuar që ky kusht nuk është i nevojshëm të plotësohet për çdo 0n

por për të paktën një numër të tillë

)()(limsup 2

0

1

0=

tgPtgQtgPtQ ji

j

j

i

n

t I

tgPtgQMtgPtgQM ji

j

j

i

n22

0

1

0=

)(=)()(

tgPtgQtgQtgPtgQ nn 21232 )(...)(...)(1

1>)(...)()(1)( 2 nmmmmM

Pra teorema u vërtetua.■

Meqë plotësimi i kushtit 3 mjafton për oshilacionin e të gjitha zgjidhjeve atëherë

kushti i ri 4 është një përmirësim i kushtit të mjaftueshëm .2 A mund të

përmisohet më tej? Përgjigja pozitive e cila gjendet përsëri tek [83] shprehet nga

teorema vijuese, vërtetimin e së cilës do e shohim pas vërtetimit të kësaj leme

ndihmëse. Së pari përcaktojmë funksionet ndihmëse duke mbetur në kushtin

.4

10 m

tgPtgx

tgxtw

21 = dhe

tQtgx

tgxtw

2

2 =

.

Lemë 3.1.1. [83] Supozojmë që ekuacioni (3.1.1) ka një zgjidhje rigorozisht pozitive

tx , atëherë për 1,2=i do të kemi

2

411limsup

mtwi

t

. (3.1.2)

Vërtetim. Së pari le të tregojmë që është i vërtetë mosbarazimi

t

limsup 2

4111

mtw

.

1rep

)(1

)(1>

2

nkm

mmM

k

50

Dimë nga ekuacioni (3.1) që txtPtgx . Meqë

=lim tgt

atëherë ka vend

mosbarazimi

)()(= 2 tgxtgPtgxtggx . (3.1.3)

Atëherë meqë nga mosbarazimi (3.1.3) kemi

1limsup=limsup21

tgPtgx

tgxtw

tt

mosbarazimi ynë është i vërtetë për 0.=m Ngelet rasti kur 4

1<0 m .

Meqë t

liminf ,= mtgPtQ atëherë nga kuptimi i inferiorit do të ekzistonte 0>

dhe 01 t i tillë që m0, ku mtgPtQ për 1tt dhe si rrjedhojë

marrim

tgPdtgx

tgxdtgP

tgx

tgxtw 1

1

2

121 =ose1==

.

Në ekuacionin (3.1.1) pjesëtojmë të dyja anët me .tgx

tQtgPdtgx

txtP

tgx

tgxtQ

tgx

txtP 1

1

2

==1

.

Tek ky mosbarazim i fundit pas zëvendësimit mtgPtQ > do të marrim

mosbarazimet

1

1

1

1 1<pra>1 dmtgx

txtPmd

tgx

txtP

.

Pra, kemi mosbarazimin në vijim

1<==1< 2

1

11

11 dd

mddmtw

.

Në mënyrë iterative kemi për 1,2,...=n

1<==1< 1

1

1

n

n

nn d

d

mddmtw

(3.1.4)

Le të studiojmë tani monotoninë e këtij vargu të krijuar, ku 1<0 nd

22

1 == nn

n

nnnn dmdSgn

d

dmdSgnddSgn

.

51

Pa vështirësi tregohet që për

2

411,

2

411 mmdn kemi të

vërtetë mosbarazimin 0.>2

nn dmd Ky përfundim do të thotë që vargu është

monoton rritës dhe si i tillë duke qenë edhe i kufizuar nga sipër është konvergjent, të

themi tek d -ja. Atëherë është e qartë nga veprimet e mësipërme që

2

411=

md . Pra

2

411=limsup 1

mdtw

t

. Meqë m0, kur

tenton t'i afrohet zeros marrim mosbarazimin (3.1.2) për 1=i . Në të njëjtën

mënyrë vërtetohet mosbarazimi (3.1.2) për 2=i . Nga ekuacioni (3.1.1) kemi

mosbarazimin

tgxtQtgx 2 ,

atëherë mosbarazimi (3.1.2) për 0=m vërtetohet sepse ka vend relacioni i

mëposhtëm

1== 1

2

2 dtQtgx

tgxtw . (3.1.5)

Ekuacioni (3.1.1) merr trajtën e mëposhtme

))(()()()(=)(= 22 tggxtgQtgxtgPtggxtgx ,

ndaj duke pjesëtuar me tgx 2 në të dyja anët e barazimit të fundit marrim këtë

barazim

tgx

tgxtgQ

tgx

tgxtgP

2

3

2

))(()(

)()(=1

Nga (3.1.5) kemi

tgx

tgxtgQdm

tgx

tgxtgQdtQtgP

2

31

12

31

1 >)(

)(=1

.

Pra, përftojmë

1<==1<=)(=)( 2

1

11

112

3

2 dd

mddmdtgQ

tgx

tgxtgw

.

Si në vërtetimin e pjesës së parë të lemës kemi që për 1,2,...=n

12 =)(

n

n

n dd

mdtgw

.

Prej faktit që

=lim tgt

marrim relacionin

52

2

411=limsup=limsup 22

mdtgwtw

tt .

Meqë m0, kur tenton t'i afrohet zeros marrim mosbarazimin (3.1.2) për

2=i .■

Teoremë 3.1.3. [83] Le të jetë 4

10 m dhe për ndonjë 0n kemi kushtin vijues

1>limsup 2

0

1

0=

tgPtgQmtgPtQm j

i

j

jin

it

(5*)

ku

1

2

411=

mm .Atëherë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (3.1.1) janë oshilatore.

Vërtetim. Supozojmë që ekuacioni (3.1.1) ka të paktën një zgjidhje jo oshilatore tx

rigorozisht pozitive. Nga lema (3.1.1) ekziston 0> dhe 01 t që do të thotë se

për 1tt kemi të vërtetë mosbarazimin

2

411=limsupku 12

mmtwtgP

tgx

tgxm

t.

Meqë

=lim tgt

atëherë ka vend mosbarazimi i mëposhtëm

m

txtPtgxtP

tgx

txmtP

tgx

txm >>

.

Atëherë ka vend relacioni

txtPmtxtPmtgx =)(> 1 (3.1.6)

ku

1

1

2

411)(=

mmm

.

Në të njëjtën mënyrë si më sipër marrim këtë mosbarazim

)(> 2 tgxtQmtgx . (3.1.7)

Me metodën e induksionit matematik tek mosbarazimi (3.1.6) kemi për

=)()(>)()(>2 txtgPtPmmtgxtgPmtgx

53

1

0

2

=j

j tgPtxm

.

Për 1= in supozojmë të vërtetë mosbarazimin në vijim

2

0

11 >

i

j

ji

i tgPtxmtgx

.

Për in = do të kemi akoma që

=)()(>)(=2

0

11

i

j

ji

ii tggPtgxmtggxtgx

=)()(

=)()(1

0

12

0

11

i

j

jii

j

ji

tgPtP

tgxmtgPtgxm

1

0

1

0

1

)(>)()(

=i

j

jii

j

ji

tgPtxmtgPtxtP

txtgxm . (3.1.8)

Në mosbarazimin e fundit kemi shfrytëzuar mosbarazimin (3.1.6) pra, faktin që

mtxtP

tgx>

)(

. Nga ekuacioni (3.1.1) marrim lehtësisht barazimin

tgxtgQtgxtgPtgx 32 = .

Me induksion tregohet lehtë që për 2,3,...=i kemi

tgxtgQtgxtgPtgx iiiii 21 = . (3.1.9)

Duke përdorur barazimin (3.1.9) për 2=i dhe për 3=i si më sipër marrim për

0n

)()()()(= 22

0=

2 tgxtgPtgxtgPtgx ii

i

n

1

0

14

0

1 )()(n

j

jni

j

j tgQtgxtgQ

.

Në këtë të fundit duke zëvendesuar në relacionin (3.1.7) dhe më pas në atë (3.1.8)

kemi

))(()()()( 22

0=

22 tggxtgPtgxtQmtgPtgx ii

i

n

54

1

0

14

0

1 )()(n

j

jni

j

j tgQtgxtgQ

i

i

i

n

mtgPtgxtgxtgPtQmtgx )(2

0=

222

1

0

14

0

11

0

2 )()()))(((n

j

jni

j

ji

j

j tgQtgxtgQtggP

.

Meqë 0)(1

0

14

n

j

jn tgQtgx atëherë ka vend mosbarazimi i mëposhtëm

)()( 22 tgxtgPtQmtgx

i

j

ji

j

ji

i

i

n

tgQtgPmtgPtgx0

11

0

22

0=

2 )()(

,

Pra,

tgPtgQmtgxtgxtgPtQmtgx ji

j

ji

i

n2

0

1

0=

222

.

Duke pjesëtuar me tgx 2 në të dyja anët dhe duke kaluar në limit kur t

marrim në vijim mosbarazimin

tgPtgQmtgPtQm j

i

j

jin

it

2

0

1

0=

limsup1

ku

11

2

411=dhe

2

411

mm

mm

Meqë për 0 kemi mm atëherë kemi arritur në një kundërshtim të kushtit

të teoremës. Pra supozimi nga u nisëm bie.■

Për dy teoremat vijuese (Koçi.E [44], [50]) kemi përdorur të njëjtën teknikë ndërtimi

të kritereve oshiluese si në (Shen, Stavroulakis, [83]), por vërtetimet e tyre i

përmbahen të njëjtës linjë arsyetimi që po përdorim në këtë punim.

Teoremë 3.1.4. Në qoftë se 4

10 m dhe

2

2

411>

mM atëherë të gjitha

zgjidhjet e ekuacionit (3.1.1) janë oshilatore.

Vërtetim. Për 0=m kemi 1>M (rezultat i njohur).

55

Për 4

1<0 m vlerësojmë anën e majtë të kushtit të dhënë nga teorema (3.1.3). Pra

si në teoremën (3.1.3) kemi:

MmtgPtgQmtgPtQm j

i

j

jin

it

2

0

1

0=

limsup

tgPtgQtgPtgQm

tgPtgQtgPtgQmtgPtgQnnn

t212

3222

...

...limsup

=... 1322 nn

MmMmMmMMm

=...1=2

MmMmMmMmMn

Mm

Mm

MmM

n

1

1=

1

(3.1.10)

ku 22

411=<1

1

mm dhe 0n .

Rasti I.

Në qoftë se për ekuacionin funksional nën studim ka vend barazimi në vijim

0=Mm atëherë nga ky barazim kemi që, 0.=M Por, meqë 0=<0 Mm është

një absurditet atëherë ky rast nuk është i mundur. Pra, mbetet që 0>Mm .

Rasti II.

1= AMm . Nëse n do të marrim që

,1

11

MmMm

MmM

n

pra sido

që të jetë M -ja zgjidhjet e ekuacionit do të jenë oshilatore. Meqë ky rast nuk sjell

ndonjë përmirësim të kushteve të oshilacionit të marra nga teoremat paraardhëse

ngelet studimi vetëm i rastit të mëposhtëm.

Rasti III.

1.<<0 Mm Kalojmë në limit në anën e djathtë të mosbarazimit (3.1.10) kur

n . Meqë kushti i kësaj teoreme shprehet me termat e teoremës paraardhëse në

trajtën 2

2 1=>

mmM

kemi rezultatin vijues

56

11

1=

1

11=

1

11

1

>1

2

2

2

mmm

m

mm

mm

mMm

Mm

M

sepse 2.<1 m Pra, përfundimisht marrim një përfundim të njohur

1>limsup 2

0

1

0=

tgPtgQmtgPtQm j

i

j

jin

it

që është kushti i teoremës (3.1.3) pra zgjidhjet e ekuacionit (3.1.1) janë oshilatore.■

Në të njëjtën mënyrë vërtetohet edhe teorema e mëposhtme.

Teoremë 3.1.5. [44] Në qoftë se kanë vend kushtet 4

10 m dhe

√

atëherë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (3.1.1) janë oshilatore.

Le të shohim se si konkretizohet me një shembull teorema (3.1.4) .

Shembull 3.1.1. Jepet ekuacioni funksional

ttttxttxttx 22222 sin2(sin2sin2cos4

1=sin2

Vihet re që kanë kuptim zëvendësimet

0>kut,cos4

1=,1=,sin2= 22 tQtPtttg

Atëherë marrim dy barazimet në vijim

4

1=tcos

4

1liminf= 2

tm

4

1>

4

1=tcos

4

1limsup= 2

t

M

Pra kushti 1 nuk kënaqet për asnjë 0> ndërsa kushti 2 (që të dy kushtet

janë

parë në fillim të këtij paragrafi) nuk kënaqet për çdo , por vetëm për ato që

plotësojnë kushtin M4

3>1>

4

1= . Për të tilla zgjidhjet janë oshilatore

57

por a mund ta zvogëlojmë këtë kufi të poshtëm? Pra a mund të ketë zgjidhje

oshilatore ky ekuacion nëse 4

3<<0 sepse për

4

3= kushti 3 kënaqet.

Le të shkruajmë më poshtë kushtin 3 për .4

3<<0

=tcos4

1limsup

0

1

0=

2

i

j

j

i

n

t

tgQ

=)(...)(...)()()(limsup4

1 12 tgQtgQtgQtgQtgQ n

t

...tgcos4

1limsup

4

1= 2

t

=...tgcostgcos4

1limsup 222

t

=...)sin2(cos4

1limsup

4

1= 22

ttt

12

4

1...

4

1

4

1

4

1=

n

=

4

3

4

1

4

1

4

11

4

11

4

1

4

1

1

n

n

1>

4

32

3

16

7

=

2

.

Zgjidhja e mosbarazimit 0<16

5

2

52 , që rrjedh prej mosbarazimit paraardhës

me lehtësi na jepet në trajtën e intervalit

4

525,

4

525

.

Pra kufiri i poshtëm u përmisua nga ky kusht sepse .4

3<

4

525

Kushti i teoremës (3.1.2.) zbatuar për këtë shembull do të jetë si më poshtë

58

12

5>pra

3

2=

4

11

4

121

>4

1=

M

Pra edhe ky kufi i poshtëm për ën është përmirësim i kufirit 4

3 sepse .

4

3<

12

5

Meqë 4

1=m shohim nëse plotësohet kushti që na jep teorema (3.1.4.) .

4

1=

2

4

1411

>

2

M

.

Plotësimi i këtij kushti tregon se ky ekuacion i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore për çdo

0.> Pra ky shembull është një tregues i qartë i përmirësimit të kushteve të

mjaftueshme të oshilacionit të zgjidhjeve të ekuacionit (3.1.1).■

Nga teorema (3.1.3.) vihet re lehtë që për 0m kemi 1m dhe si rrjedhojë

kushti i teoremës (3.1.3.) nuk është gjë tjetër veçse kushti .3 Po për 0m

kushti i teoremës (3.1.2.), (3.1.4.) dhe i teoremës (3.1.5.) nuk është gjë tjetër veçse

kushti 2 . Po çfarë ndodh me përfundimet tona në rastin kur .4

1

m Kushti i

teoremës (3.1.2.) do të jetë ,3

2>M kushti i teoremës (3.1.3.) meqë

2m do të

jetë për ndonjë 0k

MM

M

Mk

21>21

211

Kushti i teoremës (3.1.4.) do të jetë .4

1>M Ndërsa, kushti i teoremës (3.1.5.) do të

jetë

. Pra në fakt kushti i teoremës (3.1.4.) është përmirësimi më i madh që

mund t‟u bëjmë rezultateve të njohura deri tani.

Për më tepër ky kusht pra

është i "mprehtë" sepse kufi më të vogël se

4

1

nuk mund të marrim për M -në. Kjo, sepse është treguar ([31]) që përmirësim të

kushtit të mjaftueshëm për oshilacionin 14

1>m nuk mund të ketë sepse

Mm <4

1. Pra hendeku për të cilin folëm në fillim të këtij paragrafi “gati mbushet”

me plotësimin e kushtit (3.1.4). Në vijim po paraqesim kushtet e mjaftueshme të

oshilacionit të zgjidhjeve të ekuacionit (3.1.1).

59

1 4

1>l imin f= tgPtQm

t I

2 1>l ims u p= tgPtQMt I

3 Ekziston 0n e tillë që:

1>limsup 2

0

1

0=

tgPtgQtgPtQ j

i

j

jn

it

4 Në qoftë se 4

10 m dhe

m

mtgPtQM

t

1

21>limsup=

I

5 Në qoftë se 4

10 m dhe ekziston 0n e tillë që:

1>limsup 2

0

1

0=

tgPtgQmtgPtQm j

i

j

jin

it

(6*) Në qoftë se 4

10 m dhe

( ) ( ( )) √

(7*) Në qoftë se 4

10 m dhe

( ) ( ( )) 4 √

5

§ 2. KUSHTE TË MJAFTUESHME TË OSHILACIONIT PËR EKUACIONET

E RENDIT TË DYTË SI ZBATIME TË EKUACIONIT TË RENDIT TË

LARTË

Nga teorema (2.1.8.) e kapitullit të kaluar më poshtë do të marrim dy teorema

të rëndësishme për ekuacionet funksionale të rendit të dytë.

Teoremë 3.2.1. Le të jetë dhënë përsëri ekuacioni (3.1.1)

tgxtQtxtPtgx 2= .

Në qoftë se ka vend mosbarazimi

1>)()(limsup 2

0

1

0=

1

tgPtgQtgPtQ j

i

j

j

it I,

60

atëherë të gjitha zgjidhjet e tij janë oshilatore.

Vërtetim. Shohim ekuacionin (3.1.1) si rast të veçantë të ekuacionit (2.1.5) të

kapitullit paraardhës, ku 1== sm , tPtQ =0 dhe .=2 tQtQ Atëherë nga

teorema (2.1.8) kemi që

1>1limsup1

1

11

1=

1

10=

1

sm

j

lkk

k

i

j

jii

it

tgAtgBtgAtgBI

1>)(1)(limsup 322 tgAtgBtgAtgBtgAtBt

I ,

ku

tPtQtQtgQtQtAl

l

sk

k

==)(= 00

0

2

1

0=

1

tQtQtgQtQtB k

kk

k

=)(= 2

1

3

2=

1

.

Tregohet lehtë (si në vijim) se kushti i kësaj teoreme kënaqet

=)()()(limsup 3222 tgAtgBtgAtgBtgAtgBtgAtBt

I

1>)()(limsup= 2

0

1

0=

1

tgPtgQtgPtQ j

i

j

j

it I.

atëherë nxjerrim përfundimin e menjëhershëm që zgjidhjet e ekuacionit (3.1.1) janë

veçse oshilatore.■

Teoremë 3.2.2. Le të jetë dhënë ekuacioni (3.1.1). Në qoftë se për ndonjë numër të

plotë 0n plotësohet kushti:

1>)()(limsup 2

0

1

0=

tgPtgQtgPtQ j

i

j

j

i

n

t I

(3.2.1)

atëherë çdo zgjidhje e tij është oshilatore.

Vërtetim. Supozojmë nga e kundërta që ekziston një zgjidhje e ekuacionit (3.1.1)

rigorozisht pozitive, pra 0>tgx i për ),(= 22

tIIt t . Atëherë nga

ekuacioni (3.1.1) kemi në vijim

txtPtgx (3.2.2)

tgxtQtgx 2 . (3.2.3)

Lehtë nga mosbarazimi i parë me induksion tregohet që është i vërtetë ky mosbarazim

61

1ku1

0

itgPtxtgxi

j

ji . (3.2.4)

Nga ekuacioni (3.1.1) marrim barazimin vijues

tgxtgQtgxtgPtggxtgx 32 )()()(=(= (3.2.5)

tgxtgQtgxtgPtggxtgx iiiiii 2121 )()()(=)((= . (3.2.6)

Në barazimin (3.2.5) kemi zëvendësuar tgx 3 për 2=i dhe tgx 4 për 3=i ,

të marrë nga barazimi (3.2.6) ndaj, marrim barazimet vijuese

=)()()()()()(= 42222 tgxtgQtgxtgPtgQtgxtgPtgx

)()()()()()()(= 222 tgQtgQtgxtgPtgQtgxtgP

=)()( 5333 tgxtgQtgxtgP

2

0

15

0

122

0=

1

)()()()()()(=j

ji

j

jii

i

tgQtgxtgQtgxtgPtgxtgP

.

Atëherë lehtë me induksion tregohet që për 1n kemi barazimin vijues

1

0

122

0=

2 )()()()()(=j

jii

i

n

tgQtgxtgPtgxtgPtgx

1

0

14 )(n

j

jn tgQtgx

.

Meqë 0>tgx i për 2

tIt atëherë për të njëjtat ,t do të ekzistoj 1n e tillë

që 0>4 tgx n . Pra, kemi të vërtetë mosbarazimin

i

j

jii

i

n

tgQtgxtgPtgxtgPtgx0

122

0=

2 )()()()()(

.

Nga mosbarazimi (3.2.3) zbatuar në këtë të fundit marrim mosbarazimin në vijim

i

j

jii

i

n

tgQtgxtgPtgxtQtgPtgx0

122

0=

22 )()()()(

.

Nga mosbarazimi (3.2.4) zbatuar në mosbarazimin paraardhës kemi mosbarazimin në

vijim

tgxtQtgPtgx 22 )(

62

i

j

ji

j

ji

i

n

tgQtgPtgxtgP0

11

0

222

0=

)()()()(

.

Pra, marrim në vijim mosbarazimin

)()()()( 2

0

12

0=

22 tgPtgQtgxtgxtQtgPtgx ji

j

j

i

n

,

sepse ka vend barazimi i mëposhtëm

i

j

ji

j

ji tgPtgPtgP0

21

0

22 )(=)()(

.

Pjesëtojmë në të dyja anët me 0,>2 tgx marrim në këtë mënyrë një kundërshtim

të kushtit (3.2.1) të teoremës (3.2.2).■

Teorema (3.2.1.) mund të shihet edhe si një rrjedhim i menjëhershëm i teoremës

(3.2.2.) për 1=n . A mund të përmisohet më tepër kushti i teoremës (3.2.2.)

[kujtojmë që 0n ]? Pra, a mundet që teorema të ngelet e vërtetë për çdo numër të

plotë? Përgjigja është pozitive, gjë që shprehet në teoremën pasardhëse, (shikoni [31])

sepse për 0<n dihet që ka vend barazimi vijues

0=)()( 2

0

1

0=

tgPtgQ ji

j

j

i

n

.

Teorema e mëposhtme paraqet një rezultat të Golda(Nowakowska) dhe Werbowski

por, këtu në këtë punim është sjellë si rast i veçantë i teoremës (2.1.8) të kapitullit

paraardhës.

Teoremë 3.2.3. Le të jetë dhënë ekuacioni (3.1.1). Në qoftë se vendosim kushtin në

vijim

1>limsup tgPtQt I ,

atëherë çdo zgjidhje e ekuacioni (3.1.1) është oshilatore.

Vërtetim Supozojmë si në teoremën (3.2.2) që ekuacioni (3.1.1) ka një zgjidhje

rigorozisht pozitive tx . Pra, 0>tx për1tIt . Atëherë ekziston

),(= 22

tIIt t ku 12 tt , i tillë që 0>tgx i . Si në teoremën paraardhëse

kemi nga mosbarazimi (3.2.2) që tgxtgPtgx )(2 . Për 2

tIt kemi

mosbarazimet

tgxtQtxtPtgx 2=

tgxtgPtQtgxtgPtQtxtP )()( .

63

Pjesëtojmë me 0>tgx në të dyja anët e mosbarazimit më sipër dhe kemi

)(1 tgPtQ për çdo 2

tIt . Kundërshtimi me kushtin e teoremës (3.2.3.) tregon

vërtetësinë e saj.■

Teorema (2.2.6) e kapitullit të dytë aplikuar për ekuacionin (3.1.1) është si më poshtë.

Teoremë 3.2.4. [83] Në qoftë se ekziston një numër i tillë që

[ ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ))]

atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (3.1.1) është oshilatore.■

§ 3. PËRMIRËSIMI I DISA KUSHTEVE PËR JOOSHILACIONIN E

ZGJIDHJEVE TË EKUACIONIT FUNKSIONAL TË RENDIT TË DYTË

Në vitin 1994 Golda dhe Werbowski ([31]) paraqitën një kriter oshilacioni

(Teorema (3.1.1.) në këtë kapitull) për ekuacionin (3.1.1) kur nëse

( )

( )

dhe kemi këtë lidhje ndërmjet tyre, 4

1>pq ku p dhe q janë të përcaktuara si më

sipër atëherë çdo zgjidhje e tij është oshilatore. Po këta autorë treguan me anë të një

shembulli se ky kriter nuk ka përmirësim ([31]).

Në vitin 2001 Shen dhe Stavroulakis ([77]) e emërtuan me termin kusht “i mprehtë”

kushtin 4

1>pq , në kuptimin që kur 0>ptp , 0>qtq dhe ttg =

,0> atëherë kushti është edhe i mjaftueshëm edhe i nevojshëm për oshilacionin e

ekuacionit .2)(=)( tqxtpxtx

Pikërisht kushtet e jooshilacionit, pra egzistenca e zgjidhjeve jooshilatore (rigorozisht pozitive

ose rigorozisht negative) kërkohen ndër këto kushte të mprehta, pra që nuk lejojnë

përmirësime.

Në vazhdim të idesë, pyetja e natyrshme që lind është se nën çfarë kushtesh të tjera shtesë

mbi koefiçientët funksionalë ( ) ( ) dhe funksionin ( ), kushti vijues

( ( )) ( )

siguron egzistencën e një zgjidhjeve jooshilatore për ekuacionin (3.1.1).

Paraqesim disa hipoteza si në vijim

A) ( ) ( ( )) ( ) ( ) funksioni ( ) është rritës

rigorozisht;

B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

C) ( ) ( ( )) ( ) ( )

Teoremë 3.3.1. [78] Le të jetë dhënë ekuacioni funksional jolinear i rendit të parë

64

( )

( ) ( ) ( )

ku është dhënë funksioni ( ) ( ) i tillë që, për t shumë të mëdha kemi

( )

( )

Atëherë ekuacioni (3.3.1) ka një zgjidhje jooshilatore.

Teoremë 3.3.2. [78] Le të jetë dhënë ekuacioni funksional jolinear i rendit të parë

( )

( ) ( ( )) ( )

ku është dhënë funksioni ( ) ( ) dhe ( ) kënaq kushtin (B). Atëherë

egziston një transformim variablash që transformon ekuacionin (3.3.3) në ekuacionin

(3.3.1). Ky transformim realizohet në këtë mënyrë, për

8 ( ) ( ( ))

( ) ( ( ))

ku ( ) është përcaktuar nga barazimi

( ) ( ( )) ( )

dhe , - , , është një funksion i vazhdueshëm rritës i cili kënaq kushtin

( ( )) ( )

Si rrjedhim, kemi që funksioni ( ) i përcaktuar nga barazimi ( ) ( ( )) ,

oshilon atëherë dhe vetëm atëherë në qoftë se ( ) oshilon.

Teoremë 3.3.3. [78] Supozojmë se kanë vend hipotezat (A) dhe (B). Atëherë

ekuacioni (3.1.1) ka një zgjidhje rigorozisht pozitive në qoftë se dhe vetëm në qoftë se

ekuacioni funksional jolinear i rendit të parë

( )

( ) ( ( )) ( ( )) ( )

ka një zgjidhje rigorozisht pozitive të vazhdueshme.

Teoremë 3.3.4. Supozojmë se ka vend hipoteza (A) dhe hipoteza (B). Në qoftë se për

t shumë të mëdha ka vend mosbarazimi i mëposhtëm

( ( )) ( )

atëherë ekuacioni (3.1.1) ka një zgjidhje jooshilatore.

Për vërtetimin e kësaj teoreme nevojiten teoremat më sipër.

65

Vërtetim. Nga teorema (3.3.3.) duket qartë se është e mjaftueshme të provojmë që

ekuacioni (3.3.5) ka një zgjidhje rigorozisht positive të vazhdueshme. Përcaktojmë

funksionin ( ) si në vijim

( ) ( ( )) ( )

Le të jetë funksioni ( ) si në (3.3.4) tek teorema (3.3.2.). Përcaktojmë për t shumë

të mëdha

( ) ( ( )) ( ( )) . ( ( ))/

Nga teorema (3.3.1.) ekuacioni (3.3.1) ka një zgjidhje rigorozisht pozitive të

vazhdueshme ( ) Nga teorema (3.3.2.) edhe ekuacioni (3.3.3) ka një zgjidhje

rigorozisht pozitive të vazhdueshme ( ) Atëherë ekuacioni (3.1.1) ka një zgjidhje

rigorozisht pozitive. Vërtetimi përfundoi.■

Teoremë 3.3.5. Supozojmë se ka vend hipoteza (A) dhe hipteza (C) .Në qoftë se për t

shumë të mëdha ka vend mosbarazimi i mëposhtëm

( ( )) ( )

( )

atëherë ekuacioni (3.1.1) ka një zgjidhje jooshilatore.

Vërtetim. Meqë funksioni ( ) kënaq kushtin (C), atëherë rrjedh që ( ) kënaq

kushtin (B), me përjashtimin që ( ) Nga ekuacioni (3.1.1)

marrim

( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) ( )

Kushti ( ) për t shumë të mëdha zbatohet mbi ( ), ndaj marrim

( ( )) . ( ( ))/ ( ( )) ( ( ))

Duket qartë se ekuacioni ( ) ka një zgjidhje rigorozisht pozitive si në vërtetimin

e teoremës së mësipërme. Atëherë ekuacioni (3.1.1) ka një zgjidhje rigorozisht

pozitive. Vërtetimi përfundoi.■

Shembull 3.3.1. Konsiderojmë ekuacionin

(

) ( )

(

)

Duket qartë se

( ( )) ( )

Nga teorema (3.3.4.) ka një zgjidhje jooshilatore. Në fakt një zgjidhje e tillë është

( )

66

Në fund të këtij kapitulli vlen të theksohet se teoremat të cilat vërtetohen

në këtë punim në kushte që mendojmë se dallojnë nga ato të autorëve të ndryshëm (që

u jemi referuar në këtë studim) mbulojnë një numër të madh të rezultateve të

paraqitura prej tyre në dekadën e fundit. Por, në punimin tonë na u duk më e udhës të

bëjmë një trajtim tjetër të vërtetimit të tyre. Me këtë mënyrë trajtimi u arrit edhe

marrja e rezultateve të reja siç është edhe rezultati (6*) për oshilacionin e ekuacioneve

funksionale të rendit të dytë.

67

KAPITULLI IV

ZBATIME TË KUSHTEVE TË OSHILACIONIT DHE

JOOSHILACIONIT NË EKUACIONET DIFERENCË DHE

REKURENCË

Duke u njohur me lidhjen ndërmjet ekuacioneve funksionale, dhe ekuacioneve

diferencë e kemi më të lehtë të përshtasim për to kushtet tashmë të njohura në

literaturën ekzistuese. Eshtë i njohur fakti se ekuacionet diferencë janë analoge

diskrete të ekuacioneve diferenciale ([1], [3], [50]. [51]).

Ekuacioni i Beselit i cili ka trajtën

është një nga shembujt më të njohur ku duket qartë lidhja që ekziston ndërmjet

ekuacionit diferencial të rendit të dytë dhe ekuacioneve diferencë apo rekurencë.

Dihet se ky ekuacion i ka zgjidhjet në trajtën e serive fuqi, pra

( ) ∑

ku pas zëvendësimit të kësaj zgjidhjeje në ekuacionin e Beselit marrim një ekuacion

diferencë si më poshtë

∑, ( ) -

Koefiçientët e këtij ekuacioni të fundit plotësojnë kushtin për

. Ky kusht quhet ekuacion rekurencë, sepse koefiçienti llogaritet me

ndihmën e koefiefiçientit . Siç edhe do ta shohim në vijim për rastin e

përgjithshëm ekuacioni rekurencë që i korespondon ekuacionit të Beselit ka si

ekuacion karakteristik ekuacionin

i cili ka dy rrënjë komplekse të konjuguara të njëra tjetrës pra,

. Ekzistenca e

këtyre rrënjëve komplekse siç do të shikohet në vijim lidhet me karakterin oshilativ të

ekuacionit diferencë dhe për rrjedhojë edhe me karakterin oshilativ të ekuacionit

diferencial të Beselit.

§ 1. SJELLJA OSHILATORE NË EKUACIONET E DIFERENCËS (DDE) ME

ARGUMENT DISKRET

Ekuacionet diferencë (DDE) janë ekuacione ku funksioni i panjohur ndryshon

në mënyrë diskrete, pra ato janë forma diskrete të ekuacioneve diferenciale. Ato

modelojnë matematikisht situata ku ndryshorja operon mbi një bashkësi diskrete

vlerash.

Konsiderojmë ekuacionin e zakonshëm diferencë të rendit të formës

68

( ) ( )

ku është një funksion i dhënë, është numër i plotë pozitiv dhe .

Një zgjidhje e këtij ekuacioni është një varg ( ) i cili kënaq ekuacionin (4.1.1)

për . Një rast i veçantë i këtij ekuacioni është edhe ekuacioni diferencë

i rendit me koeficientë konstantë i cili paraqitet në formën

( )

ku koefiçientët janë konstante reale dhe

Ekuacioni karakteristik i tij është

( )

Struktura e sistemit bazë të zgjidhjeve të ekuacionit ( ) varet nga vlerat vetjake

të ekuacionit ( ) .

Dallojmë rastet si më poshtë:

Rasti 1. Të gjithë numrat karakteristikë janë realë dhe të ndryshëm nga njëri–tjetri;

ku . Atëherë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (4.1.3)

është:

Rasti 2. Të gjithë numrat karakteristikë janë të ndryshëm nga njëri–tjetri, por

ndërmjet tyre ka edhe kompleksë; ku janë numrat

karakteristikë realë ndërsa janë numrat karakteristikë kompleksë (dy e nga dy

të konjuguar, ) . Atëherë zgjidhja e përgjithshme është për këtë rast si në vijim

∑

∑

∑

ku dhe përcaktohen nga formulat

√

,

,

Rasti 3. Ndër numrat karakteristikë të ekuacionit (4.1.3) ka rrënjë të cilat janë të

shumëfishta; supozojmë se vetëm është rrënjë e -fishtë, atëherë marrim

Në vijim po paraqesim disa përkufizime të teorisë së oshilacionit për ekuacionet

diferencë.

Përkufizim 4.1.1. Një zgjidhje jotriviale ( ) është quajtur oshilatore (rreth zeros)

në qoftë se për çdo numër pozitiv ekziston e tillë që ( ) ( ) .

Përndryshe, zgjidhja quhet jooshilatore. Me fjalë të tjera një zgjidhje ( ) është

oshilatore nëse ajo nuk është as rigorozisht pozitive as rigorozisht negative.

69

Përkufizim 4.1.2. Zgjidhja ( ) quhet oshilatore rreth një “pike ekuilibri” në

qoftë se ( ) , është zgjidhje oshilatore rreth zeros.

Përkufizim 4.1.3. Ekuacioni diferencë që i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore quhet

ekuacion oshilator.

Teoremë bazë 4.1.1. Të gjitha zgjidhjet e ekuacionit diferencë janë oshilatore në

qoftë se dhe vetëm në qoftë se ekuacioni korespondues karakteristik nuk ka rrënjë

reale pozitive.

Ekuacionet karakteristike në të shumtën e rasteve janë tepër të ndërlikuar

(problem më vete). Ndaj, studiuesit që merren me teorinë e oshilacionit janë fokusuar

në vitet e fundit në përcaktimin e kritereve (sidomos të mjaftueshme) të cilat

verifikojnë ekzistencën ose jo të zgjidhjeve oshilatore, kuptohet pa e zgjidhur

analitikisht as ekuacionin nën studim dhe as ekuacionin korespondues karakteristik.

Në vazhdim të kësaj ideje po paraqesim më poshtë disa zbatime të kritereve të

oshilacionit për ekuacionet funksionale, të marra në kapitujt II dhe III, për ekuacionet

diferencë.

Rasti në vijim është një kombinim i dy ekuacioneve diferencë, njëra me argument

diskret të vonuar (delayed) dhe tjetra me argument diskret të avancuar (advanced).

Le të konsiderojmë një ekuacion diferencë me argument diskret të vonuar dhe

argument diskret të avancuar.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ku * + për janë

funksione të dhënë dhe operatori diferencë është përcaktuar si më poshtë

( ) ( ) ( )

Teoremat vijuese i kemi paraqitur pa vërtetim duke qenë se do e marrim vërtetësinë e

tyre nga aplikimi i teoremave të vërtetuara në kapitujt paraardhës.

Duke zbatuar teoremën (2.1.6.) të kapitullit të dytë marrim teoremën si në vijim.

Teoremë 4.1.2. Le të ketë vend mosbarazimi

∑ ( ) ∏ ( ) .

/

ku

( ) ∑ ( ) ∏ ( )

dhe

70

( ) ∑ ( )

( ) ( )

Atëherë ekuacioni diferencë (4.1.4) ka vetëm zgjidhje oshilatore.

Duke zbatuar teoremën (2.1.8.) të kapitullit të dytë marrim këtë teoremë vijuese.

Teoremë 4.1.3. Le të jetë i vërtetë mosbarazimi

∑ ( ) ∏ ( )

> ∑ ( ) ∏ ( )

?

Atëherë ekuacioni diferencë (4.1.4) ka vetëm zgjidhje oshilatore.

Për konkretizim në vijim po sjellim një rast të veçantë të ekuacionit ( ) ,

ekuacioni karakteristik i të cilit nuk zgjidhet aq thjeshtë.

Le të konsiderojmë një ekuacion diferencë me tre terma të rendit

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ku dhe ( ( ))

një varg i përcaktuar për

Për dhe ( ) marrim si rast të veçantë të tij ekuacionin e

mëposhtëm

( ) ( ) ( )

ndryshe,

( ) ( ) ( ) ( )

Ekuacioni karakteristik i këtij të fundit është , me rrënjë

√

Nga teorema bazë (4.1.1.) e oshilacionit, të gjitha zgjidhjet e ekuacionit karakteristik

të ekuacionit (4.1.6) janë oshilatore nëse dhe nuk janë numra realë pozitivë.

Atëherë ngelet që, pra

Ky rezultat rrjedh menjëherë edhe nga

zbatimi i teoremës (2.1.3) të kapitullit të dytë.

Le të rikthehemi tek ekuacioni ( ) problemi i të cilit qëndron tek koefiçienti

funksional ( ) pranë ( ) Ky ekuacion është rasti diskret i ekuacionit

diferencial të rendit të parë me argument të vonuar (delay) si vijon

( ) ( ) ( )

71

Sjellja oshilatore e këtij ekuacioni është e ngjashme me atë të rastit diskret ku

përjashtim bën vetëm rasti kur Në këtë rast të veçantë ekuacioni kthehet në

ekuacion me variabla të ndashëm si në vijim

( ) ( ) ( ) ( ) Zgjidhja e njohur e tij

( ) ( ) 6 ∫ ( )

7

nuk është asnjëherë oshilatore. A mund të themi të njëjtën gjë për rastin korespondues

diskret të tij?

Rasti diskret i ekuacionit (4.1.7) është si më poshtë

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ose

( ) ( ( )) ( )

Ekuacioni (4.1.8) ka si zgjidhje (shikoni ngjashmërinë me rastin e vazhdueshëm më

sipër), funksionin

( ) ∏( ( )) ( ) ( )

∏( ( ))

Vëmë në dukje për korrektësi se kudo në këtë studim ka vend barazimi në vijim

∏( ( ))

Teoremë 4.1.4. Ekuacioni diferencë (4.1.8) i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore nëse

mosbarazimi, ( ) ose ndryshe ( ) është i vërtetë për çdo .

Vërtetim. Le të vlerësojmë prodhimin e dy zgjidhjeve të njëpasnjëshme të ekuacionit

(4.1.8)

( ) ( ) :∏( ( )) ( )

; :∏( ( )) ( )

;

( ( )) :∏( ( ))

;

( ( ))

Pra teorema u vërtetua me ndihmën e përkufizimit (4.1.1) për oshilacionin e

zgjidhjeve.■

Ekuacionet funksionale diferenciale kanë shumë ngjashmëri në kriteret e oshilacionit

me ato të rasteve diskrete të tyre por ka edhe përjashtime (shembulli i mësipërm). Ky

është shkaku i kujdesit për t‟i marrë me rezervë disa prej kritereve të tyre oshilative

sepse analogjia ndërmjet formave të vazhdueshme dhe atyre diskrete koresponduese

me to nuk vlen gjithmonë.

72

Aplikojmë përsëri teoremën (2.1.3) në ekuacionin (4.1.5) dhe marrim në vijim

teoremën.

Teoremë 4.1.5. Nëse është e vërtetë që

( )

( )

atëherë ekuacioni (4.1.5) është oshilator.

Kushti i kësaj teoreme është i mprehtë (nuk ka vend barazimi). Mprehtësia e kushtit

vihet re nga shembulli i mëposhtëm.

Shembull 4.1.1. Le të jetë e vërtetë për ekuacionin (4.1.5) që

( )

( )

atëherë për marrim zgjidhjen e mëposhtme të ekuacionit pra,

( ) (

)

Ndërtimi i zgjidhjes tregon se ajo është zgjidhje jooshilatore e ekuacionit.

§ 2 EKUACIONI DIFERENCË I RENDIT TË DYTË

Gjatë rrugëtimit tonë në paragrafin paraardhës shpesh jemi ndalur në ekuacione

diferencë të rendit të parë. Në këtë paragraf të ri do të trajtojmë ekuacionin diferencë

të rendit të dytë të formës

, ( ) ( )- ( ) ( ) ( )

ku ( ) dhe Ekuacioni (4.2.1) është quajtur i vetë konjuguar si edhe ekuacioni diferencial i rendit

të dytë korespondues i tij

, ( ) ( )- ( ) ( )

Ekuacioni ( ) mund të shkruhet më thjeshtë si vijon

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ku

( ) ( ) ( ) ( )

Hartman [37] futi kuptimin e zeros së “përgjithësuar” në ekuacionet diferencë për të

marrë një përkufizim analog me përkufizimin e Shturmit për ekuacionet diferenciale.

Përkufizimi 4.2.1. [37] Një zgjidhje jotriviale ( ) për e ekuacionit

( ) ka një zero të përgjithësuar për në qoftë se ose ( ) ose

( ) ( )

73

Përkufizimi 4.2.2. [37] Një zgjidhje jotriviale ( ) e ekuacionit ( ) ka një zero

të përgjithësuar, me fjalë të tjera, nëse është një zgjidhje zero (aktuale) ose kur ajo

ndryshon shenjën e saj.

Për ekuacionin diferencë paraqesim në vijim teoremën analoge të ndarjes sipas

Shturmit.

Teoremë 4.2.1.[37] Le të jenë ( ) dhe ( ) dy zgjidhje linearisht të pavarura të

ekuacionit ( ) atëherë kanë vend pohimet e mëposhtme:

a) ( ) dhe ( ) nuk mund të kenë një zero të përbashkët d.m.th në qoftë se

( ) , atëherë ( ) b) Në qoftë se ( ) ka një zero tek dhe një zero të përgjithësuar për

, atëherë ( ) duhet të ketë një zero të përgjithësuar tek - - c) Në qoftë se ( ) ka një zero të përgjithësuar tek ku , atëherë

( ) duhet të ketë një zero të përgjithësuar tek , -

Bazuar mbi kuptimin e zerove të përgjithsuara, jepet një tjetër përkufizim mbi

oshilacionin.

Përkufizim 4.2.3. [37] Një zgjidhje e një ekuacioni diferencë është quajtur

oshilatore mbi , , në qoftë se ka një numër të pafundëm zerosh të përgjithsuara

mbi, ,.

Përkufizim 4.2.4. [37] Zgjidhja ( ) e ekuacionit ( ) quhet jooshilatore nëse

ajo nuk është zgjidhje oshilatore.

Në vijim duke u mbështetur në përkufizimin (4.2.3.) marrim një rrjedhim të

menjëhershëm të teoremës së mësipërme (4.2.1.) të Shturmit.

Rrjedhim 4.2.1.[37] Nëse ekuacioni ( ) ka një zgjidhje oshilatore, atëherë të

gjitha zgjidhjet e tij janë oshilatore.

Por, ky rrjedhim nuk është gjithmonë i vërtetë për ekuacionet diferencë të rendit të

dytë. Ekuacioni në vijim nuk është i vetëkonjuguar

( ) ( )

dhe vihet re lehtë se ai ka edhe zgjidhje jooshilatore për shembull, ( ) dhe

zgjidhje oshilatore për shembull, ( ) ( ) . Pra, rrjedhimi në këtë rast nuk

ngelet i vërtetë.

Teoremë 4.2.2. Në qoftë se ekziston një nënvarg ( ) ku

atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit ( ) është oshilatore.

Vërtetim. Supozojmë nga e kundërta që ekzison të paktën një zgjidhje e ekuacionit

( ) e cila nuk është oshilatore. Le të jetë ( ) për , atëherë marrim

mosbarazimin

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i cili është një absurditet. Pra teorema u vërtetua.■

74

§ 3. SJELLJA OSHILATORE E ZGJIDHJEVE NË EKUACIONET E

REKURENCËS (RE)

Konsiderojmë një ekuacion rekurencë si vijon

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

ku * + për * +

Përkufizim 4.3.1. Një zgjidhje e ekuacionit ( ) është një funksion e

tillë që plotëson kushtin *| ( )| + për ndonjë dhe y kënaq

ekuacionin ( ) mbi .

Përkufizim 4.3.2. Një zgjidhje e ekuacionit ( ) është quajtur oshilatore nëse

për çdo ekziston e tillë që ( ) ( ) . Përndryshe zgjidhja

quhet jooshilatore.

Si në kapitullin e mëparshëm edhe në rastin e ekuacioneve të rekurrencës ekzistenca e

zgjidhjeve oshilatore varet nga shenja e koefiçientëve funksionalë , për

* +. Në qoftë se ato janë të gjitha pozitive (negative) ekuacioni

( ) përmban vetëm zgjidhje oshilatore (vërtetimi njësoj si në kapitullin e dytë).

Në qoftë se kjo nuk është e vërtetë atëherë ekuacioni ( ) mund të ketë edhe

zgjidhje oshilatore dhe jooshilatore.

Shembull 4.3.1 Le të jetë dhënë ekuacioni rekurencë si më poshtë

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Tregohet lehtë se ekuacioni rekurencë ka zgjidhje oshilatore ( ) ( ) dhe

jooshilatore zgjidhjen ( ) .

Pra, për ekuacionin ( ) konsiderojmë për më tej në punim që koefiçientët

funksionalë nuk kanë të njëjtën shenjë. Supozojmë që për ndonjë * + ( ) dhe ( ) , ku dhe Supozojmë për lehtësi që ( ) , ndaj ekuacioni ( ) merr trajën e

mëposhtme

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Për , ndërtojmë ekuacionin si vijon:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Në këtë paragraf aplikojmë teoremat e kapitullit të dytë dhe të tretë në ekuacionet e

rekurencës duke pasur si ide marrjen e kushteve të mjaftueshme për oshilacionin e të

gjitha zgjidhjeve të ekuacioneve ( ) , ( ) apo ( ) . Theksojmë se në

vërtetimet tona kemi përdorur këto barazime të njohura në literaturën e teorisë së

oshilacionit për .

75

∑

∏

Disa nga kushtet e mëposhtme gjenden në artikuj të ndryshëm por, në këtë paragraf

ato do të vijnë si aplikime të teoremave të dy kapitujve paraardhës, duke shmangur

vërtetimet e gjata, duke i vendosur sipas një rregullsie dhe për më tepër duke marrë

disa kushte të reja oshilacioni .

Duke zbatuar teoremën (2.1.3.) të kapitullit të dytë marrim teoremën në vijim.

Teoremë 4.3.1. Le të plotësohet kushti për

∑ ( )

∏ ( ) (

)

ku

( ) ∑ ( )

∏ ( ) ( )

dhe

( ) ∑ ( ) ( )

( )

atëherë ekuacioni rekurencë (4.3.2) ka vetëm zgjidhje oshilatore.

Duke zbatuar teoremën (2.1.8) të kapitullit të dytë marrim teoremën e mëposhtme .

Teoremë 4.3.2. Le të plotësohet kushti

> ∑ ( ) ( )

∏ ( ) (

) ∑ ( )

∏ ( )

?

ku ( ) dhe ( ) janë si më sipër, atëherë ekuacioni rekurencë (4.3.2) ka vetëm

zgjidhje oshilatore.

Duke zbatuar teoremën (2.1.6) të kapitullit të dytë marrim teoremën vijuese .

Teoremë 4.3.3. Le të jetë dhënë kushti për

∑ ( )

∏ ( ) .

/

ku

76

( ) ( ) ∑ ( ) ( )

dhe

( ) ( ) ∑ ( )∏ ( )

atëherë ekuacioni rekurencë (4.3.2) ka vetëm zgjidhje oshilatore.

Nga teorema e mësipërme (4.3.2) rrjedh teorema e mëposhtëme.

Teoremë 4.3.4. Le të jetë dhënë kushti

>∑ ( ) ( )

∏ ( ) ( )

∑ ( )

∏ ( )

?

ku ( ) dhe ( ) janë si në teoremën më sipër, atëherë ekuacioni rekurencë (4.3.2)

ka vetëm zgjidhje oshilatore.

Duke zbatuar teoremën (2.1.7.) të kapitullit të dytë tek ekuacioni ( ) ku

marrim teoremën vijuese.

Teoremë 4.3.5. Le të jetë dhënë kushti

∑ ( ) ∏ ( )

atëherë ekuacioni rekurencë (4.3.3) ka vetëm zgjidhje oshilatore.

Teoremë 4.3.6. Le të jetë dhënë kushti

* ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )+

ku ( ) dhe ( ) janë si në teoremat më sipër (4.3.1.) dhe (4.3.3.), atëherë

ekuacioni rekurencë (4.3.3) ka vetëm zgjidhje oshilatore.

Duke zbatuar teoremën (2.1.6.) të kapitullit të dytë marrim në vijim teoremën.

Teoremë 4.3.7. Le të jetë dhënë kushti

∑ ∏ ( )

.

/

77

ku

∑ ( )

( ) ( )

atëherë ekuacioni rekurencë (4.3.3) ka vetëm zgjidhje oshilatore.

Duke zbatuar teoremën (2.1.7) të kapitullit të dytë tek ekuacioni ( ) marrim

teoremën.

Teoremë 4.3.8. Le të jetë dhënë kushti

( ) ( )

ku ( ) dhe ( ) janë si në teoremat më sipër (4.3.1.) dhe (4.3.3.), atëherë

ekuacioni rekurencë (4.3.3) ka vetëm zgjidhje oshilatore.

Si edhe në kapitullin e dytë vlen të përmendet që kushtet e teoremave të mësipërme

janë kushte të mjaftueshme dhe jo të nevojshme, si rrjedhojë ato janë të pavarura nga

njëra tjetra. Le ta konkretizojmë këtë me disa shembuj.

Shembull 4.3.1. Le të jetë dhënë ekuacioni në vijim për

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Tregohet lehtë që për kushtet e teoremave (4.3.2.) dhe (4.3.4.) nuk

plotësohen por është i vërtetë kushti i teoremës (4.3.1.), si rrjedhojë ky ekuacion është

oshilator.■

Shembull 4.3.2. Le të jetë dhënë ekuacioni në vijim për

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Tregohet lehtë që për kushtet e teoremave (4.3.1.) dhe (4.3.4.) nuk plotësohen

por është i vërtetë kushti i teoremës (4.3.2.) si rrjedhojë ky ekuacion është oshilator.■

Shembull 4.3.3. Le të jetë dhënë ekuacioni në vijim për

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Tregohet lehtë që kushtet e teoremave (4.3.1.) dhe (4.3.3.) nuk plotësohen por është i

vërtetë kushti i teoremës (4.3.5.), si rrjedhojë ky ekuacion është oshilator.■

Le të konsiderojmë një ekuacion tjetër rekurrencë të rendit të dytë si në vijim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ku për * +

Aplikojmë nga kapitulli i dytë teoremën (2.1.7.) dhe nga kapitulli i tretë teoremën

(3.2.1.) duke marrë teoremat e mëposhtme respektivisht.

Teorema 4.3.9. Të gjitha zgjidhjet janë oshilatore për ekuacionin ( ) në qoftë se

dhe vetëm në qoftë se plotësohet kushti i mëposhtëm

78

( ) ( )

( ) ( )

Teoremë 4.3.10. Të gjitha zgjidhjet janë oshilatore për ekuacionin ( ) në qoftë

se dhe vetëm në qoftë se plotësohet kushti i mëposhtëm për ndonjë

> ( ) ( )

( ) ( ) ∑ ∏

( ) ( )

( ) ( )

?

§ 4. SJELLJA OSHILATORE E ZGJIDHJEVE NË EKUACIONET E

DIFERENCËS (DE) ME ARGUMENT TË VAZHUESHËM

Në ekuacionin (2.1.5) të kapitullit të dytë duke marrë ( ) dhe ndërtojmë ekuacionin diferencë me argument të vazhdueshëm të trajtës

( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ( ) )

( )

Teoremë 4.4.1. Supozojmë që ( ) dhe ( ) për . Nëse ka

vend mosbarazimi i mëposhtëm

∑ ( )

∏ ( )

( )

atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (4.4.1) është oshilatore.

Teoremë 4.4.2. Supozimi i teoremës (4.4.1.) ngelet përsëri i vërtetë. Nëse ka vend

mosbarazimi i mëposhtëm

∑ ( )

∏ ( ( ))

ku është rrënja më e madhe pozitive e ekuacionit

(

)

dhe ku

∑ ( )

∏ ( ( ))

atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (4.4.1) është oshilatore.

Në ekuacionin (2.1.5) të kapitullit të dytë duke marrë ( ) dhe ndërtojmë ekuacionin diferencë me argument të vazhdueshëm të trajtës

79

( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( )

( )

Teoremë 4.4.3. Supozojmë që ( ) dhe ( ) për . Nëse ka

vend mosbarazimi i mëposhtëm

∑ ( )

∏ ( )

( )

atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit ( ) është oshilatore.

Teoremë 4.4.4. Supozimi i teoremës (4.4.1.) ngelet përsëri i vërtetë. Nëse ka vend

mosbarazimi i mëposhtëm

∑ ( )

∏ ( )

ku është rrënja më e madhe pozitive e ekuacionit

(

)

dhe ku

∑ ( )

∏ ( )

atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit ( ) është oshilatore.

Le të konsiderojmë një tjetër ekuacion diferencë me argument të vazhduar të formës

( ) ( ) ( ) ( )

ku ( ) ( ) ( ) , tregon diferencën e funksionit me span dhe është funksion i vazhdueshëm.

Nga kapitulli i dytë, teorema (2.1.7.) dhe kapitulli i tretë teorema (3.2.1.) marrim

teoremat e mëposhtme.

Teoremë 4.4.5. Të gjitha zgjidhjet janë oshilatore për ekuacionin ( ) në qoftë se

dhe vetëm në qoftë se plotësohet kushti i mëposhtëm

( )

Teoremë 4.4.6. Të gjitha zgjidhjet janë oshilatore për ekuacionin ( ) në qoftë se

dhe vetëm në qoftë se plotësohet kushti i mëposhtëm për ndonjë

80

> ( ) ∑ ∏ ( ( ) )

?

Përfundime

Dy rastet e veçanta diskrete të ekuacioneve funksionale janë ekuacionet

diferencë me argument diskret dhe ekuacionet e rekurencës. Në disa raste ekuacionet

diferencë (me argument të vazhduar) janë analoge të ekuacioneve diferenciale.

Artikuj kërkimore të shumtë, monografi të ndryshme, konferenca vjetore

ndërkombëtare, si dhe revista të reja i kushtohen studimit të zgjidhjeve dhe

aplikimeve të tyre. Shpesh është vënë re prej tyre, se edhe ata ekspertë, që kanë besuar

në universalitetin e ekuacioneve funksionale (sidomos ekuacioneve diferenciale

funksionale) kanë zbuluar në mënyrë të habitshme divergjencën që qëndron ndërmjet

vazhdueshmërisë dhe diskretësisë së ekuacioneve funksionale (rasteve diskrete të

tyre). Pra, ekuacionet funksionale diferenciale kanë vërtetë shumë ngjashmëri në

kriteret e oshilacionit me ato të rasteve diskrete të tyre por ka edhe përjashtime. Ky

është edhe shkaku i kujdesit për t‟i marrë me rezervë disa prej kritereve të tyre

oshilative sepse analogjia ndërmjet formave të vazhdueshme dhe atyre diskrete

koresponduese me to nuk vlen gjithmonë.

Në studim në këtë kapitull ishin vetëm disa trajta ekuacionesh diferencë dhe

rekurencë për të cilat teoremat e marra në kapitullin e dytë dhe të tretë për rastet e

veçanta të ekuacioneve funksionale të rendit të dytë apo të rendit të lartë aplikohen

gjerësisht. Kjo është edhe arsyeja pse në pergjithësi keto teorema i kemi paraqitur pa

vërtetim.

81

KAPITULLI V

DISA KUSHTE OSHILACIONI NË EKUACIONET

DIFERENCIALE

Që nga koha kur Shturmi (1836) problemin fizik të përçueshmërisë termike e

lidhi ngushtë me problemin e oshilacionit të zgjidhjeve të ekuacionit diferencial të

zakonshëm linear të rendit të dytë, ( ) ( ) ( ) , teoria e oshilacionit për

ekuacionet diferenciale ka patur një zhvillim të madh si në ekuacionet e rendit të parë

dhe në ato të rendeve të larta. Problemi i zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale të

zakonshme, ekuacioneve me argument të devijuar (ekuacionet me vonesa (delay) dhe

ekuacionet me argument të avancuar (advanced)) apo ekuacioneve neutrale është i

lidhur ngushtë me problemin e gjetjes së rrënjëve të një ekuacioni karakteristik që u

shoqërohet ndaj, teoremat bazë të teorisë së oshilacionit të tyre lidhen me natyrën e

këtyre rrënjëve ([4], [20]). Por shpesh problemi i gjetjes së rrënjëve është tepër i

vështirë, ndaj kriteret e oshilacionit dhe jooshilacionit që gjenden në artikujt apo

monografitë e viteve të fundit ([1], [2], [3]) nuk kanë në përbërje të tyre kushte mbi

rrënjët. Në ditët e sotme kriteret e oshilacionit (sidomos kushtet e mjaftueshme të

oshilacionit) përcaktohen (shumicën e rasteve përmirësojnë kriteret ekzistuese) me

anë të disa teknikave, përveç të tjerave përmendim:

Teknika Rikati ([9], [10], [11], [12], [13]) e cila konsiston në futjen e një

funksioni ndihmës në përbërje të të cilit janë koefiçientët e ekuacionit nën studim. Ky

funksion përdoret si instrument verifikimi për vërtetësinë e një relacioni nën kushte të

caktuara .

Teknika Kamenev ([39]), teknika e të mesmes integrale që përdoret në

krahasimin e relacioneve që përmbajnë integrale.

Teknika Philos ([48],[65]) e cila konsiston në futjen e dy funksioneve

ndihmëse pozitive të Philos, ( ) dhe ( ).

Këto metoda do t‟i përdorim edhe në vazhdim të punimit. Për më tepër në këtë

kapitull do të paraqesim shkurtimisht disa kritere për oshilacionin dhe për ekzistencën

e zgjidhjeve jooshilatore në ekuacionet diferenciale të zakonshme lineare dhe jo

lineare të rendit të dytë (duke u zgjeruar në ekuacionet diferenciale me faktor shuarës)

, ekuacioneve të rendit të parë dhe të rendit të dytë me vonesa (delay) dhe me

argument të avancuar (advanced), ekuacioneve neutrale të rendit të parë. Vlen të

theksojmë që shumë matematicienë të njohur nga vende të ndryshme të botës punojnë

në këto tipe ekuacionesh, gjë që e tregon edhe literatura e paraqitur në këtë punim.

Vihet re tjetër edhe bashkëpunimi i tyre me specialistë të fushave të tjera. Kontributi i

këtyre specialistëve në sjelljen e problemave ku kërkohen njohuri nga fusha e

oshilacionit është rritur shumë dekadat e fundit duke e bërë këtë teori një fushë

tërheqëse për shumë matematicienë. Kjo është edhe një nga arsyet që në këtë kapitull

do të trajtojmë dy probleme nga fusha e Fizikës dhe e Biologjisë. Pas modelimit

matematikor të tyre, bëjmë studimin oshilativ të zgjidhjeve të dy ekuacioneve: i pari

ekuacion diferencial i zakonshëm i rendit të dytë linear dhe i dyti ekuacion diferencial

i rendit të parë me vonesa .

Teoria e Oshilacionit për ekuacionet diferenciale, studion veç tё tjerash edhe

kushte të nevojshme apo të mjaftueshme për ekzistencёn ose jo të zgjidhjeve

82

jooshilatore, klasifikimin e kёtyre zgjidhjeve, studimin e sjelljes së zgjidhjeve

oshilatore përkundrejt një zgjidhjeje jooshilatore dhe lidhjen e Teorisë së Oshilacionit

me Teorinë e Qëndrueshmërisë së zgjidhjeve ([3], [15], [26], [35], [69], [71]). Disa

nga rezultatet më të njohura të këtyre dy teorive do të aplikohen edhe në këtë kapitull

për zgjidhjet e ekuacionit diferencial të rendit të parë me vonesa, konkretisht

ekuacionit logjistik Hutchinson. Por, studimi i lidhjes së këtyre dy teorive edhe me

teorinë e kaosit do të jenë në qendër të punës sime në të ardhmen.

§ 1. KUSHTE OSHILACIONI DHE JOOSHILACIONI PËR EKUACIONET

DIFERENCIALE TË ZAKONSHME TË RENDIT TË DYTË

Problemi i jolinearitetit është dukshëm problemi më i studiuar në çdo fushë të

shkencës. Përjashtim nga kjo nuk bën as teoria e Oshilacionit. Nuk janë të pakta rastet

që kriteret e oshilacionit për rastin jolinear janë konkretizuar edhe për rastin linear të

ekuacioneve duke i parë këto të fundit si raste të veçanta të tyre.

Konsiderojmë ekuacionin diferencial të rendit të dytë jolinear:

. ( ) ( )/

( ) ( ( )) ( )

ku ( ) (, , ) , ( ) (, , ) dhe ( ) . Funksioni

është me derivat të parë të vazhdueshëm përveç ndoshta pikës zero dhe kënaq kushtin

e mëposhtëm (kushtin e rritjes monotone të tij)

( ) ( ) për . ( )

Interesi ynë në këtë paragraf shtrihet mbi ato zgjidhje të ekuacionit ( ) që

ekzistojnë mbi ndonjë gjysëmsegment , , dhe që kënaqin mosbarazimin

* | ( ) + për .

Përkufizim 5.1.1. Një zgjidhje e ekuacionit ( ) do të quhet oshilatore në qoftë se

ka një numër të pafundëm zerosh për , që do të thotë se për funksionin zgjidhje

y, ekziston një varg ( ) , i tillë që ku ( ) 0.

Përkufizim 5.1.2. Zgjidhja y është quajtur jooshilatore nëse nuk është oshilatore, pra

ekziston e tillë që ( ) për .

Pra, në këtë rast zgjidhja y ose është rigorozisht negative ose rigorozisht pozitive.

Përkufizim 5.1.3. Një ekuacion quhet oshilator në qoftë se të gjitha zgjidhjet e tij janë

oshilatore.

Sidomos në këto dy dekadat e fundit, sjellja oshilatore dhe jooshilatore e zgjidhjeve

për klasa të ndryshme të ekuacioneve diferenciale të rendit të dytë ka qenë objekt

studimi për shumë autorë. Një numër tepër i madh punimesh kanë pasur si objekt

studimi raste të veçanta të ekuacionit ( ) ([4], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12],

[16], [18], [21], [25]).

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )| ( )| ( ) ( )

83

. ( ) ( )/

( )| ( )| ( ) ( )

Ekuacionet ( ) dhe ( ) të ashtuquajtura ekuacione të Emden-Fowler,

konsiderohen si prototipe të ekuacioneve respektive ( ) dhe ( ).

Ekuacionet (5.1.4) dhe (5.1.5) quhen lineare nqs . Ekuacionet (5.1.1) dhe

[( ) ( )- quhen superlineare nqs ato kënaqin edhe kushtet e superlinearitetit

respektivisht

∫

( )

dhe ∫

( )

për , -

Ekuacionet (5.1.1) dhe [( ) ( )- quhen sublineare nqs ato kënaqin edhe

kushtet e sublinearitetit respektivisht

∫

( )

dhe ∫

( )

për , -

Një nga instrumentetmë të përdorura në këto punime është teknika e të

mesmes integrale, e cila përdoret në krahasimet e relacioneve integrale. Duke

përdorur këtë teknikë janë gjetur shumë kritere oshilacioni të cilat përfshijnë edhe

sjelljen e integraleve të koefiçienteve të ekuacionit që po studiohet (në rastin tonë të

p-së dhe të q-së). Në rastin linear ( ) disa nga kriteret më të rëndësishme të

vendosura sipas rendit kohor të përftimit të tyre, janë:

∫ ∫ ( )

(Wintner 1949, [87] )

(K1)

∫ ( )

(Leighton 1950, [56])

(K2)

> )

∫ ∫ ( )

)

∫ ∫ ( )

(Hartman 1952,[37])

(K3)

∫ ( ) ( )

për ndonjë * + (Kamenev 1978,[39])

(K4)

{

)

∫ ( ) ( )

* +

)

∫ ( ) ( ) ( )

) ∫ ( )

( ) * ( ) +

(Wan 1986, [85]) (K5)

84

{

( )∫ 6 ( ) ( )

, ( )-

7

*( ) +

( ) ( )

( ) ( )√ ( ) ( ) ( )

(Philos 1989,[65] ) (K6)

Për ekuacionin ( ) Butler (1980, [70]) provoi që kushti (K1) dhe kushti (K3) janë

të mjaftueshëm për rastin superlinear ( ) ndërsa në rastin sublinear ( ) Kamenev (1971, [38]) provoi se mjaftonte vetëm pjesa e dytë, pra ii) e kushtit

(K3) për ekzistencën e zgjidhjeve oshilatore duke mos vendosur asnjë lloj kushti tjetër

për limitin vijues

∫ ∫ ( )

Pyetjes nëse mund të bënim të njëjtën gjë edhe për rastin superlinear i dha përgjigje

mohuese Willett (1969, [88]). Pra, sipas tij vetëm nënkushti ii) i kushtit (K3) nuk

është i mjaftueshëm për të qenë të gjitha zgjidhjet oshilatore në rastin kur .

Po Butler, provoi se duke bërë krahasimin rigoroz të dy kushteve të (K3 ) (ku kushti

ii) është më i gjerë) përftoi një tjetër kusht të mjafueshëm për rastin sublinear.

∫ ∫ ( )

∫ ∫ ( )

.

(K7)

Edhe Wong (1990, [89]) dha gjithashtu një tjetër kusht të mjafueshëm për rastin

sublinear

∫ 0∫ ( )

1

(K8)

Li dhe Yan (1997, [57]) për rastin superlinear provuan këtë kusht të mjafueshëm,

>

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

(K9)

Rasti kur janë numra realë pozitiv ka ngelur ende një problem i

hapur studimi.

Në studimin e ekuacionit diferencial (5.1.1) shumica e kritereve të oshilacionit që

ekzistojnë mbështeten tek sjellja e integralit të ( )-së dhe ( )-së. Por shumica e

85

këtyre kritereve nuk mund të aplikohen kur ( ) ka një sjellje të “keqe” mbi një pjesë

të madhe të , ,, pra kur

∫ ( )

Kujtojmë disa nga kriteret më të njohura të oshilacionit për ekuacionin (5.1.1) jo

vetëm me dy kushtet e mundshme

) ∫

( )

) ∫

( )

por edhe në rastin kur oshilacioni i zgjidhjeve nuk varet nga asnjë prej kushteve të

mësipërme.

Teoremë 5.1.1. [2] Në qoftë se plotësohet kushti (5.1.2) dhe kushtet e mëposhtme

∫

( )

∫ ( )

atëherë ekuacioni ynë (5.1.1) është oshilator.

Teoremë 5.1.2. [2] Supozojmë ekzistencën e kushtit ( ). Në qoftë se kanë vend

edhe kushtet e mëposhtme

∫

( )

∫ ( )

∫ ( )

atëherë ekuacioni ynë (5.1.1) është oshilator.

Teoremë 5.1.3. [74] Në qoftë se plotësohen kushtet e mëposhtme

∫

( )

( ) ( ) 6∫

( )

7

dhe nëse ekziston një ku

e tillë që

| |

( )

( | |)

[

( | |) ]

atëherë ekuacioni ynë (5.1.1) është oshilator.

Teoremë 5.1.4. [3] Le të jenë

86

( )

∫

( )

dhe

( ) ∫ ( )

atëherë të gjithë zgjidhjet e ekuacionit tonë (5.1.1) janë oshilatore.

Në fakt pjesa më e madhe e kritereve të oshilacionit që njihen deri tani është tepër e

limituar në zbatime, kjo është dhe arsyeja pse vazhdohet të punohet për “nxjerrjen” e

kritereve të reja. Kriteret duke qenë kushte të mjaftueshme, në qoftë se plotësohen

nuk ka dyshim për oshilacionin e zgjidhjeve por kur nuk plotësohen atëherë nuk mund

të thuhet me siguri që zgjidhjet nuk janë oshilatore.

Nga teoremat krahasuese të Shturmit dihet që oshilacioni është vetëm një veti

intervalore në kuptimin që: Në qoftë se ekziston një varg nënintervalesh

, - , , i tillë që, për çdo ekziston një zgjidhje e ekuacionit

tonë që ka të paktën dy zero në këtë interval atëherë, çdo zgjidhje e ekuacionit tonë në

, , është oshilatore. Vëmë në dukje se nuk ka rëndësi sa „„i keq‟‟ është ekuacioni

në pjesët e mbetura të , ,.

Motivuar nga idetë e El- Sayed [27], Kong [42], Li [58], Agarwal dhe Feng [[1], [2],

[3], [66]], Philos [65] për përdorimin e metodës së të mesmes integrale që përdoret

në krahasimin e relacioneve që përmbajnë integrale, të teknikës së përgjithshme Rikati

, e cila konsiston në futjen e një funksioni ndihmës në përbërje të të cilit janë

koefiçientët e ekuacionit nën studim dhe të funksioneve Philos, në vijim po paraqesim

disa kritere përmirësuese oshilacioni për ekuacionin nën studim (5.1.1), objekt

studimi edhe në disa nga artikujt tanë ([8], [10], [11], [45], [48]).

Kritere Oshilacioni në rastin kur f është funksionin rritës

Teoremë 5.1.5. [48] Supozojmë që ( ) për

Le të jenë *( ) + , *( ) + dhe funksioni

( ) i cili kënaq tre kushtet e mëposhtme:

i) ( ) për , ( ) për .

ii) Funksioni H ka derivate të pjesëshme të vazhdueshme mbi në lidhje me të

dy variablat t dhe s.

iii)

( ) ( )√ ( ) dhe

( ) ( )√ ( )

ku dhe janë funksione të vazhdueshëm dhe jonegativë mbi

Në qoftë se ekziston një funksion ( ) (, , ) i tillë që

( )∫ ( ) ( ) ( )

( )∫ ( ) ( ) ( )

87

( )∫ ( ) ( )

, ( )-

( )∫ ( ) ( )

, ( )-

(5.1.6)

ku

( ) ( ) ( )

( )√ ( )

( ) ( ) ( )

( )√ ( )

atëherë të gjithë zgjidhjet e ekuacionit tonë (5.1.1) janë oshilatore.

Vërtetim. Supozojmë nga e kundërta, që ekuacioni ynë ka të paktën një zgjidhje

jooshilatore ( ) dhe për më tepër ( ) mbi , - për ndonjë .

Ndërtojmë funksionin ndihmës (teknika Rikati) si më poshtë:

( ) ( ) ( ) { ( )

( ( ))} për .

Duke derivuar të dyja anët e barazimit të mësipërm marrim barazimet vijuese

( ) [ ( ) ( ) { ( )

( ( ))}]

[ ( ) ( ) { ( )

( ( ))}]

, ( ) ( )- { ( )

( ( ))}

( ) ( ) [ ( )

( ( ))]

( ) ( ( )) { ( )

( ( ))} ( ) ( ) [

( )

( ( ))]

=

( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )

( ( ))] =

= ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Si rrjedhim, marrim mosbarazimin e mëposhtëm

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Duke shumëzuar në mosbarazimin e mësipërm me funksionin e Philos, ( ) dhe

duke integruar më pas mbi , - për , -, marrim për , -

∫ ( ) ( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( ) 6 ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )7

Pasi integrojmë me pjesë në integralin e parë të anës së djathtë marrim

( ) ( ) ∫ ( ) ( )√ ( )

88

∫ ( ) 6 ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )7

( ) ( ) ∫ >6 ( )

( ) ( )7

( )

6 ( ) ( )

7

( )?

∫ ( ) ( )

( )

( ) ( ) ∫ ( ) ( )

( )

Pra, kemi

∫ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ∫ ( ) ( )

( )

Kalojmë në limit në të dyja anët e tij për dhe pjesëtojmë gjithashtu me

( ) .

∫ ( ) ( ) ( )

( )

0

( ) ( )

∫ ( ) ( )

( )

1

( )

Si rrjedhojë, marrim përfundimisht mosbarazimin në vijim,

( )∫ ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )∫

( ) ( )

( )

( )

Nga ana tjetër, duke shumëzuar me funksionin ( ) tek mosbarazimi (5.1.7) dhe

duke integruar më pas mbi , - për , - marrim për , -

∫ ( ) ( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( ) 6 ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )7

Pra,

∫ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ∫ ( ) ( )√ ( )

∫ ( ) 6 ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )7

89

( ) ( ) ∫ >6 ( )

( ) ( )7

( )

6 ( ) ( )

7

( )?

∫ ( ) ( )

( )

( ) ( ) ∫ ( ) ( )

( )

Përfundimisht kemi mosbarazimin,

∫ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ∫ ( ) ( )

( )

Kalojmë në limit në të dyja anët e tij për dhe pjesëtojmë gjithashtu me

( )

∫ ( ) ( ) ( )

( )

0

( ) ( )

∫ ( ) ( )

( )

1

( )

Si rrjedhojë marrim mosbarazimin në vijim

( )∫ ( ) ( ) ( )

( )

( )∫

( ) ( )

( )

( )

Duke i mbledhur të dy mosbarazimet (5.1.8) dhe (5.1.9) kemi

( )∫ ( ) ( ) ( )

( )∫ ( ) ( ) ( )

( )∫

( ) ( )

( )

( )∫

( ) ( )

( )

Pra mosbarazimi i fundit kundërshton kushtin (5.1.6) gjë që tregon edhe vërtetimin e

teoremës.■

Vërejtje 5.1.1. Në shumë artikuj të tjerë vihet re prania e kushtit ( ) .

Teorema e vërtetuar më sipër nuk e përjashton rastin kur ( ) .

Vërejtje 5.1.2. Një ndër paraqitjet më të njohura të funksionit Philos, ( ) është

( ) ( ) ku dhe është një konstante.

Teorema vijuese (kontribut i këtij punimi) operon me funksionin e Philos të trajtës

( ) ( ) .

Teoremë 5.1.6 [48] Supozojmë që kënaqen përsëri kushtet e teoremës (5.1.5.). Në

qoftë se ekziston një funksion (, , ), i cili është jozvogëlues. Në qoftë

se për kanë vend dy mosbarazimet e mëposhtme njëkohësisht

90

[∫ ( )

( ) ( )

∫( )

( ) ( ) 6

( )( )

( )7

]

( )

[∫ ( )

( ) ( )

∫( )

( ) ( ) 6

( )( )

( )7

]

( )

atëherë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (5.1.1) janë oshilatore.

Vërtetim. Sipas teoremës paraardhëse (5.1.5) bëjmë zëvendësimet e nevojshme

, ( )- 6

( ) √ ( )⁄

( )

( )√ ( )7

6 ( )

( )

( )( )

7

[( )

2 ( )

( )( )3]

=( ) 2 ( )

( )( )3

dhe

, ( )- 6

( ) √ ( )⁄

( )

( )√ ( )7

6 ( )

( )

( )( )

7

[( )

2 ( )

( )( )3]

= ( ) 2 ( )

( )( )3

Le të zëvendësojmë tek mosbarazimi (5.10), . Atëherë ekziston një

konstante e tillë që ka vend mosbarazimin vijues

[∫ ( )

( ) ( )

∫( )

( ) ( ) 4

( )( )

( )5

]

Le të zëvendësojmë tek mosbarazimi (5.1.10) . Atëherë ekziston

nga marrim edhe këtë mosbarazim

91

[∫ ( )

( ) ( )

∫( )

( ) ( ) 6

( )( )

( )7

]

Nga kombinimi i dy mosbarazimeve të mësipërme marrim kushtin (5.1.6) të teoremës

paraardhëse, pra kemi vërtetuar teoremën (5.1.6).■

Teoremë 5.1.7. [48], Supozojmë që kënaqen kushtet e teoremës (5.1.5), duke shtuar

edhe kushtin ( ) për ndonjë . Në qoftë se ekzistojnë dy funksione

(, , ) dhe , -. Funksioni w kënaq kushtin ( ) , - ku, ( ) ( ) Në qoftë se kemi edhe kushtin vijues

∫ { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 ( )

( )

( ) ( )7

}

atëherë ekuacioni ynë (5.1.1) është oshilator.

Vërtetim. Supozojmë nga e kundërta, që ekuacioni ynë ka të paktën një zgjidhje

jooshilatore ( ) dhe për më tepër ( ) mbi , - për ndonë . Si në

teoremën (5.1.5.), në mosbarazimin (5.1.7) shumëzojmë me ( ) dhe marrim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Integrojmë në të dyja anët e këtij mosbarazimi në lidhje me s-në nga a-ja tek b-ja

duke përdorur edhe kushtin ( ) ( ) . Atëherë marrim mosbarazimet

∫ ( ) ( ) ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( )

8 ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )9

∫ ( ) ( ) ( )

∫ ( )

8 ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )9

( )

Përdorim simbolet e mëposhtme për lehtësi të veprimeve

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) √ ( ) ( )

6 ( )

( )

( ) ( )7 √ ( ) [ ( )

( ) ( )]

92

( ) √

( ) ( ) ( ) ( ) √

( ) ( )

6 ( )

( )

( ) ( )7

( ) ( )

√ ( ) √ ( ) { ( )

( ) ( )}

( ) ( )

√ ( ) ( )

( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( )

√ ( )7 6

( ) ( )

√ ( )7

( ) ( ) ( )

√ ( ) 6

( ) ( )

√ ( )7

( ) ( ) [ ( )

( ) ( )] 6

( ) ( )

√ ( )7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Nga mosbarazimi (5.13) rrjedhin këto mosbarazime të njëpasnjëshme

∫ ( ) ( ) ( )

∫ , ( ) ( )-

∫ ( )

∫ >√ ( ) ( )

6 ( )

( )

( ) ( )7 ?

∫ ( ) ( )

6 ( )

( )

( ) ( )7

Mosbarazimi i fundit bie në kundërshtim me kushtin tonë të teoremës ndaj teorema

është vërtetuar.■

Kriteret e oshilacionit të rrjedhura nga teoremat (5.1.4.) dhe (5.1.7.) do të aplikohen

në vazhdim në dy ekuacione jolineare të rendit të dytë.

Shembull 5.1.1. Le të jetë dhënë ekuacioni

( )

( ) ( )

Atëherë për të dhënat nga ekuacioni përdorim simbolikën e teoremave në studim si

më poshtë

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ∫

( )

∫

( ) , ( ) ( )- (

)

93

( ) ∫ ( )

∫

( )

Pra, për

ekuacioni ynë është oshilator nga zbatimi në të i kushtit të

mjaftueshëm të oshilacionit (teorema (5.1.4.)).■

Shembull 5.1.2. Le të jetë dhënë ekuacioni

( )

Atëherë kemi

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ∫

( ) , ( ) ( )- ( )

( ) ∫ ( )

∫

Pra për ekuacioni ynë është oshilator nga kushti i teoremës (5.1.4.)

Ndërsa, po për të njëjtin ekuacion nga teorema (5.1.7.) kemi rezultatin në vijim. Për

( ) ( ) dhe ( ) marrim rezultatin vijues,

∫

( ) ( ) (

)

Ky mosbarazim tregon dukshëm se për

ekuacioni ynë është oshilator. Të

dyja teoremat japin kritere të mjaftueshme oshilacioni.■

Në këtë shembull vihet re se teorema (5.1.4.) jep rezultat më të mirë se

teorema (5.1.7.), por kjo nuk do të thotë aspak që teorema (5.1.4.) na ka dhënë një

kusht të mjaftueshëm oshilacioni “më të mirë” se teorema (5.1.7.) për çdo ekuacion

diferencial të rendit të dytë jolinear.

Po paraqesim së fundmi një teoremë të Agarwall, [2] mbi të cilën kemi

ndërtuar një kriter jooshilacioni për zgjidhjet e trajtës lineare të ekuacionit (5.1.1),

. ( ) ( )/

( ) ( ) ( )

Teoremë 5.1.8. [2] Ekuacioni (5.1.14) është jooshilues në qoftë dhe vetëm në qoftë se

ekziston një indeks dhe funksioni ( ) (, , ) , i cili vërteton

mosbarazimin

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )

Teoremë 5.1.9. [7] Në qoftë se ( ) , ( ) për ( ) për

dhe ka vend mosbarazimi në vijim

94

( ) ( )

( )

( )

atëherë ekuacioni (5.1.14) është jooshilues.

Vërtetim. Nga kushti (5.1.16) rrjedh ekzistenca e dy numrave dhe të tillë që

dhe

, ku

( ) ( )

( )

Prej nga kemi që

( ) ( )

( )

Le të marrim ( )

, atëherë

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) (

) ( ) ( )

Vërtetimi përfundoi.■

§ 2. KUSHTE OSHILACIONI DHE JOOSHILACIONI PËR EKUACIONET

DIFERENCIALE JOLINEARE TË RENDIT TË DYTË ME FAKTOR

SHUARËS

Në këtë seksion prezantohen kritere për përcaktimin e intervaleve të

oshilacionit për ekuacionin diferencial jolinear të rendit të dytë me faktor shuarës

(damping) dhe me vonesa të tipit

( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ) . ( ( ))/ ( )

ku koefiçienti funksional ( ) është funksioni i vazhdueshëm me vlera pozitive dhe

funksionet dhe janë funksione të vazhdueshme dhe plotësojnë kushte të

caktuara. Duke qenë se teknika e linearizimit për përcaktimin e këtyre kritereve nuk e

është e mundur do të përdorim metodën e përgjithsuar të Rikatit, metodën e të

mesmes integrale si dhe funksionet pozitive të Philos. Kriteret e fituara zgjerojnë dhe

përmirësojnë një numër rezultatesh ekzistuese. Si gjithmonë vëmendja përqëndrohet

në zgjidhjet jotriviale të ekuacionit nën studim (5.2.1).

Në dekadat e fundit objekt studimi për shumë autorë, i referohemi ([7], [8], [21], [27],

[68], [85]) ka qenë studimi oshilativ për ekuacionin me faktor shuarës por pa vonesa

të tipit

( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )

ku (, , , ,), (, , ), ( ) i tillë që ( )

dhe ( ) për ku është një konstante pozitive .

95

Sigurisht, ekzistenca e vonesave (delay) në ekuacionin (5.2.1) e vështirëson më shumë

problemin, ndaj kërkon futjen e kushteve të reja për funksionet vonesë ( ) dhe

( ).

Rendisim më poshtë disa prej kritereve të oshilacionit të marra vitet e fundit për

ekuacionin (5.2.2).

Çakmak (2008, [21]) supozoi ezistencën e një funksioni ( ) (, , , ,)

dhe me ndihmën e transformimit Rikati provoi këto kushte të mjafueshme për

oshilacionin e ekuacionit (5.2.2),

{

∫

( ) ( )

∫ [ ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))

( ) ( )]

( ) ( ) ( ) ( )

dhe

{

∫ 4∫ ( ) ( )

5

∫ [∫ [ ( ) ( )

( ( ) ( ) ( ) ( ))

( ) ( )]

( ) ( ) ( ) ( )

]

E reja e sjellë nga këto kritere konsiston në faktin që nuk ka shtrëngim në shenjë për

funksionet dhe , pra ato janë funksione me vlera reale.

Kushti i monotonisë ( ) mund të zëvendësohet në të dyja kriteret me

kushtin ( )

për , por në këtë rast funksioni duhet të jetë jonegativ.

Për fat të keq kushti i monotonisë ( ) nuk është i aplikueshëm gjithmonë

në ekuacionet e tipit (5.2.2), konkretisht për funksionin në vijim, funksioni derivat i tij

ndryshon shenjë katër herë në drejtëzën reale,

( ) (

)

ku

( ) ( )( )

( )

Teorema vijuese jep një kriter të mjaftueshëm për oshilacionin e ekuacionit (5.2.1)

duke mos përdorur kushtin e monotonisë.

Teorema 5.2.1 [2] Le të jenë (, , ). Në qoftë se eksiston një

funksion ( ) (, , , ,) i tillë që

( ) dhe ( ) ( )

( ) dhe . ( ) ( )

( )/

( )

96

∫ ( ) ( )

( )

∫ ( )

( ( ))

( )

( )

∫

( ) ( )4∫ ( ) ( )

5

( )

atëherë ose ekuacioni ynë (5.17) është oshilator ose zgjidhja ( ) kur .

Prania e numrit të madh të kushteve në teoremën e mësipërme për oshilacionin e

ekuacionit (5.2.1) kushtëzohet nga disa arsye: fakti që ekuacioni është jolinear, prania

e faktorit shuarës, prania e dy funksioneve vonesë në të por dhe shmangia e detyruar

nga kushti i monotonisë. Për kritere të tjera oshilacioni mbi këtë ekuacion u

referohemi ([7], [8], [21], [68], [85]). Për kriteret në vijim gjatë vërtetimit do të na

duhet të tregojmë oshilacionin ose jo të zgjidhjeve të një ekuacioni të rendit të parë

me një vonesë. Në literaturën tepër të pasur përzgjodhëm lemën vijuese të Li [57].

Lema 5.2.1. [57] Le të jenë (, , ) dhe ( ) . Supozojmë të

vërtetë një prej kushteve në vijim:

{

∫

( )

( ( ))

( )

∫ ( )

( ( ))

4 ∫ ( )

( ( ))

( )

5

( )

{

∫

( )

( ( ))

( )

∫ ( )

( ( ))

( )

8 4∫ ( )

( ( ))

( )

5 9

( )

ose

{

( )

( )

( )

ku

97

( ) ∫ ( )

( ( ))

( )

( )

( ) ∫ ( )

( ( ))

( )

( ) ( )

( ) ∫ ( )

( ( ))

( )

( ) ∫ ( )

( ( ))

( )

( )

atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit diferencial me një vonesë

( ) ( )

( ( )) ( ( )) ( )

është oshilatore.

Teorema vijuese nuk mund të quhet përmisuese e teoremës (5.2.1.), por në

klasën e ekuacioneve të tipit (5.2.1) u jep “shansin“ atyre që nuk plotësojnë kushtin

(5.2.6) të teoremës (5.2.1), të testohen edhe njëherë duke e zëvendësuar këtë kusht me

një nga kushtet e mësipërme të lemës.

Teorema 5.2.2. Le të jenë (, , ) ku eksiston një funksion

( ) (, , , ,) i tillë që plotëson kushtet (5.2.4), (5.2.5), (5.2.7) si dhe

kushtet

( ) ( ) dhe ( ) ( )

( ) ( ) për ( )

Në qoftë se këtyre kushteve i shtojmë një nga kushtet (5.2.8), (5.2.9) ose (5.2.10) të

lemës (5.2.1), atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit diferencial të rendit të dytë me faktor

shuarës dhe me dy vonesa është oshilatore.

Vërejtje 5.2.1. Kjo teoremë nuk na kushtëzon tek vonesa e dytë ( ), gjë që na lejon

zbatimin e teoremës dhe në rastet kur ( ) [tipi i prapambetur], ( ) [tipi i

avancuar] ose ( ) [pa vonesë].

Vërejtje 5.2.2. Kjo teoremë nuk duhet parë si përgjithsim i rastit kur ekuacioni nuk ka

faktor shuarës [ ( ) ], apo nuk është me vonesën e parë ose e ka por është i tipit

të avancuar [ ( ) ]. Pra, faktori shuarës ( )dhe faktori vonesë ( ) luajnë rol

kritik në oshilacionin e zgjidhjeve.

Shembulli i mëposhtëm tregon pikërisht se faktori vonesë ( ) luan rol kritik në

oshilacionin e zgjidhjeve për këtë ekuacion me faktor shuarës [ ( ) ].

Shembull 5.2.1. Le të jetë dhënë ekuacioni

( ( )) ( )

(

) ( )

98

ku

( ) ( ) ( )

(

) ( )

ka të paktën një zgjidhje jooshilatore ( ) për .■

Teorema e mëposhtëme na jep një tjetër kusht të mjaftueshëm por kur të dyja

vonesat janë të tipit të prapambetura.

Teoremë 5.2.3.[21] Le të jenë (, , ). Në qoftë se eksiston një

funksion ( ) (, , , ,) i tillë që plotëson kushtet (5.2.4), (5.2.5), (5.2.7),

(5.2.13) si dhe kushtet

( ) ( ) ( ) dhe ( ) ( )

( )

( )

∫ ( ( ) ( ) ( ( ))

( ( ))

( ) ( ))

( )

atëherë të gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni janë oshilatore ose ( ) kur .

Shembull 5.2.2. Në shembullin e mëposhtëm, zgjedhim ( ) dhe shohim se

plotësohen kushtet e teoremës (5.2.3.) për .

4

( )5

( )

( )

( ) ( ) (

( ))

Pra, zgjidhjet e këtij ekuacioni janë të gjitha oshilatore.■

Në teoremën e mëposhtme ndryshojmë vetëm kushtin (5.2.16) të teoremës (5.2.3), me

një kusht të ri me anë të teknikës së të mesmes integrale (teknika Kamenev).

Teoremë 5.2.4. Si në teoremën (5.2.3), përveç kushtit (5.2.16) që e zëvendësojmë me

kushtin vijues

∫ ( ) ( ( ) ( )

( ( )) ( ( ))

( ) ( ))

( )

atëherë të gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni janë oshilatore ose ( ) kur .

Në teoremën në vazhdim ndryshojmë vetëm kushtin (5.2.16) të teoremës (5.2.3) me

një kusht të ri me anë të futjes së dy funksioneve të reja (teknika Philos).

Supozojmë fillimisht ekzistencën e funksioneve të Philos :

*( ) +

i tillë që

( )

99

( ) ( )

Funksioni ka derivat të pjesshëm të rendit të parë të vazhdueshëm dhe jopozitiv

mbi në lidhje me variablin e dytë dhe kënaq barazimin

( )

( )√ ( )

Ndërtojmë funksionin si vijon

( ) ( ) ( )

( )√ ( )

Teoremë 5.2.5. Si në teoremën (5.2.3), përveç kushtit (5.2.16) që e zëvendësojmë me

kushtin vijues

( )∫ 4 ( ) ( ) ( )

( ) ( ( )) ( )

( )5

( )

atëherë të gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni janë oshilatore ose ( ) kur .

§ 3. MODELE MATEMATIKORE

Shembulli vijues ilustron se si aplikohen disa nga teoremat e marra më sipër në një

problem konkret nga fusha e Fizikës.

Shembull 5.3.1. Konsiderojmë ekuacionin diferencial të rendit të dytë jolinear me

argument të vazhduar *i (rast special: lëvizja e lirë me koefiçient shuarës

0 , 0 , 0m k për çdo 0t ). Ekuacioni diferencial *i shndërrohet në

ekuacionin *ii dhe *iii si vijon

*) 0k

i x x xm m

,

2

2

1*) 0

4

tm

kii u e u

m m

*) 0iii p t x t q t x t

ku, 1

2, , ,t t t

m m mk

p t e q t e f x x u t e x tm

dhe 1xf x .

0 0

,s

mds m

e dsp s

Nga kushti (K2, Leighton), ekuacioni *ii është oshilator për 2

2

10

4

k

m m

24 0km dhe 0m

100

2 2

2 2

0 0

1 1lim lim lim 1

4 4

t ts t

m m

t t t

k k mq s ds e ds e

m m m m

Ndërsa nga Teorema (5.1.5.), kemi për *iii

1

21 1 2 2, , , , , , , 1

t s t sm mH t s e Q t s h t s Q t s h t s e g s

m

2 2

2 2

1 1, , , ,

4 4

c b c bs s s s

m m m m

a c a c

k kH s a e ds H b s e ds H s a e ds H b s e ds

m m m m

,

2

2

1

4

c b c bs a s b s s s a s b s s

m m m m m m m m

a c a c

ke e ds e e ds e e ds e e ds

m m

2

2

2

10

4

c bs a b s s

m m m

a c

ke ds e e ds

m m

.

Atëherë për 24 0km dhe 0m

, ekuacioni *)iii është oshilator nga teorema

(5.1.5.).

Teorema (5.1.7.), kur aplikohet tek *iii , jep rezultatin vijues

sin sin 2 sin 2 0 , 1w s s k k g s ose s

mg s e

Atëherë ekuacioni *)iii është oshilator kur 2 22 2km m ose2 24 4km m .

Përfundime

Shumë prej kritereve të oshilacionit të marra për ekuacionin (5.1.1) në paragrafin e

parë kërkojnë informacion për q t dhe p t mbi 0 ,t . Por pjesa më e madhe

prej tyre janë shumë të limituara në aplikime. Për ekuacionin nën studim të mësipërm

karakteri oshilativ i zgjidhjeve nuk mund të provohej nga rezultatet e shumë prej

kritereve të tjera të njohura (literatura ekzistuese) dhe të renditura në paragrafin e

parë. Krahasimi ndërmjet rezultateve tona dhe rezultateve të njohura tashmë paraqitur

edhe për shembullin tonë të mësipërm, (vini re se 0

ds

p s

) tregon se të treja

teoremat (K2), (5.1.5) dhe (5.1.7) japin kritere të mjaftueshme oshilacioni por,

teorema (5.1.7) jep rezultat më të mirë se teorema (5.1.5), të paktën në këtë shembull.

Problemi në vijim nga fusha e Demografisë ndërtohet mbi një ekuacion diferencial të

rendit të parë me argumet të vonuar (delay). Këto ekuacione paraqesin modele

matematikore për sisteme në të cilat shpejtësia e ndryshimit varet jo vetëm nga

gjendja aktuale në të cilën ndodhet sistemi por gjithashtu dhe nga të dhëna që lidhen

101

me gjendjen e sistemit në të kaluarën e tij. Minorsky ([61],[62]) ishte një nga

studiuesit e parë të ekuacioneve delay (DDE) dhe efekteve të tyre mbi sistemet me

kontroll prapa veprues, në të cilat koha e komunikimit nuk mund të neglizhohet. Këto

ekuacione i gjejmë shpesh si modele popullatash apo epidemish, modele ekonomike,

reaktor nuklear apo probleme në elektrodinamikë.

Konsiderojmë ekuacionin diferencial linear të rendit të parë me vonesa të ndryshme të

formës

( ) ∑

( ) ( )

ku , , i=1, 2, 3…..,n janë konstante positive.

Le të jetë * + dhe një funksion (, - ) Me

zgjidhje të ekuacionit (5.3.1) në lidhje me funksionin fillestar në , kuptojmë një

funksion (, - ) të tillë që ( ) ( ) për ku

funksioni është me derivat të parë të vazhdueshëm dhe kënaq ekuacionin (5.3.1)

për .

Ekuacioni karakteristik shoqërues i tij i cili paraqitet si vijon

∑

( )

është një problem shpesh herë tepër i ndërlikuar. Po paraqesim në vijim vetëm disa

rezultate kryesore të teorisë së oshilacionit dhe të qëndrueshmërisë së zgjidhjeve për

ekuacionin e rendit të parë me vonesa, sepse këtu do të konsistojë edhe vazhdimi i

punës sonë në të ardhmen.

Përkufizim 5.3.1.[75] Zgjidhje Ekuilibër do të quajmë një zgjidhje të

ekuacionit (5.3.1), të tillë që:

Në qoftë se për çdo ekziston një e tillë që të plotësojë kushtin | ( )

| mbi [ ] atëherë të gjitha zgjidhjet ( ) të ekuacionit (5.3.1) me vlerë

fillestare mbi [ ], kënaqin kushtin | ( ) | për çdo .

Përkufizim 5.3.2. [75] Në qoftë se ekziston një e tillë që të plotësojë kushtin

| ( ) | mbi [ ] dhe për më tepër, ( ) atëherë do të

kemi që është zgjidhje stabël asimptotik.

Përkufizim 5.3.3. [75] Një zgjidhje ( ), , të ekuacionit (5.3.1) do ta quajmë

zgjidhje oshilatore në qoftë se ekziston një varg kur e tillë që

( ) që do të thotë se ka një numër të pafundëm zerosh.

Përkufizim 5.3.4. [75] Një ekuacion diferencial është oshilator nëse të gjitha zgjidhjet

e tij janë oshilatore.

Përkufizim 5.3.5. [75] Një zgjidhje ( ), , të ekuacionit (5.3.1) do ta quajmë

zgjidhje jooshilatore në qoftë se ekziston një e tillë që | ( )| për që do të thotë se ka zgjidhje ose rigorozisht pozitive ose rigorozisht negative.

102

Nga teoria mbi qëndrueshmërinë e zgjidhjeve kemi shkëputur teoremën e mëposhtme

e cila na shërben në vërtetimin e teoremës bazë të teorisë së oshilacionit, teoremës

(5.3.2.).

Teoremë 5.3.1. [75] Zgjidhja, është asimptotikisht stabël në qoftë se të

gjitha vlerat vetjake të ekuacionit karakteristik janë komplekse dhe me pjesë reale

negative.

Teoremë 5.3.2. Pohimet e mëposhtme janë ekuivalente për oshilacionin e ekuacionit

me vonesa (5.3.1).

(i) Të gjitha zgjidhjet e ekuacionit janë oshilatore.

(ii) Ekuacioni karakteristik i tij nuk ka rrënjë reale.

(iii)

Vërtetim. Nga teorema (5.3.1.), mjafton të tregojmë se (ii) dhe (iii) janë ekuivalente.

Le të ndërtojmë funksionin e ri ( ) , ku ana e djathtë e tij është ana e

majtë e ekuacionit karakteristik (5.3.2) të ekuacionit (5.3.1). Vëmë re se ( ) ( ) , pra ( ) . Për më tepër, gjejmë se sa është vlera më e vogël e

këtij funksioni. Pas një proçesi matematikor të njohur kemi :

( ) ( )

.

Ky barazim është i vërtetë për , e cila është edhe vlera ku funksioni në

shqyrtim merr vlerën më të vogël. Atëherë meqë ( ) për çdo , marrim

rezultatin e pritshëm pas zëvendësimit të .

( )

Pra teorema u vërtetua.■

Rast i veçantë i ekuacionit (5.3.1) është ekuacioni me një vonesë

( ) ( ) ( )

që i shoqërohet ekuacioni karakteristik

( )

Shembull 5.3.2. Ekuacioni diferencial i rendit të parë i zakonshëm

( ) ( )

ka si zgjidhje të përgjithshme ( ) pra, nuk ka zgjidhje oshilatore. Ndërsa,

ekuacioni diferencial i rendit të parë me vonesë

,

( ) .

/

103

me ekuacion karakteristik

, i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore [vini re

se,

], të tilla janë për shembull, ( ) dhe ( ) . Pra, në

këtë shembull vihet re se futja në ekuacionin e dytë të vonesës

shkakton

oshilacione (luhatje) të zgjidhjeve. Por sigurisht, ka edhe shembuj që tregojnë të

kundërtën ku ekuacioni pa vonesa i ka të gjitha zgjidhjet oshilatore dhe jooshilacioni

është shkaktuar nga futja e madhësisë vonesë.

Një numër i madh problemash në natyrë modelohen matematikisht me

ndihmën ose të disa madhësive diskrete ose të disa madhësive që ndryshojnë

vazhdimisht në lidhje me kohën. Në qoftë se e konsiderojmë popullatën (njerëz, bimë,

kafshë, viruse etj) si një madhësi që varet në mënyrë diskrete nga koha, atëherë norma

e rritjes së popullatës mund të përcaktohet me ndihmën e një ekuacioni diferencë. Por

megjithatë ekologjistët, biologët apo demografët shtrojnë për zgjidhje probleme ku

numri i individëve të një popullate është tepër i madh ndaj dhe shpesh modelimi

matematikor i tyre realizohet me terma që tregojnë vazhdueshmëri në kohë. Derivatet

e si rrjedhojë ekuacionet diferenciale operojnë me madhësi që ndryshojnë vazhdimisht

në lidhje me kohën ndaj dhe ato shpesh janë përdorur si mjete tepër efikase për të

analizuar situata ku kërkohet projektimi i popullatës në kohë të ndryshme.

Modele të projektimit të popullatës si modeli linear, eksponencial apo logjistik

standart operojnë me ekuacione diferenciale të zakonshme të tipit ( ( )) ku

( ) , të cilat japin parashikime për të ardhmen vetëm me informacionin që

kanë për numrin e individëve të momentit (present time). Modele të tilla, si modeli

linear, eksponencial apo logjistik standart që veprojnë mbi popullata të përbëra vetëm

nga një lloj (specie) janë përdorur nga shumë studiues tё fushave tё ndryshme ([30],

[55]). Këto modele mund të japin rezultate të mira për sa kohë që shtrirja e studimit

është e shkurtër në kohë po jo më tej. Rezultatet mbi popullatën për perioda të gjata

studimi i largohen tepër realitetit sepse në fakt, norma e rritjes së popullatës shpesh

varet jo vetëm nga numri i individëve të momentit por edhe nga numri në të shkuarën

e individëve (past time). Për këtë arsye por edhe sepse ekuacioni që e modelon atë

matematikisht është një ekuacion diferencial i rendit të parë me vonesa ky model

quhet ekuacion logjistik me vonesa (delay logistic model).

Modeli i ri logjistik ka përmirësuar modelin ekzistues logjistik dhe në këtë

mënyrë është përftuar një model më i mire, që i përafrohet më shumë realitetit duke

shfrytëzuar edhe informacionin që ne marrim nga e shkuara. Problemi i projektimit të

popullatës fillimisht u modelua matematikisht nga Hutchinson (1948), si ekuacion

diferencial me vonesa (D.D.E) i tipit ( ( ) ( )).

Në vijim po paraqesim grafikisht disa modele pa vonesa në kohë (modeli

linear, modeli eksponencial dhe modeli logjistik standart) të cilat edhe analitikisht

janë studiuar në disa punime në bashkëpunim edhe me specialistë të fushës së

Statistikës, për të parë ndryshimin me modelin Hutchinson ([22], [23], [24], [46]).

104  

 

Figura 1

Figura 2

Modeli logjistik me vonesa

Të tilla modele kanë aplikime të shumta në Demografi, Ekologji, Epidemiologji, Inxhinjeri dhe Biologji. Le të paraqesim me N(t) numrin e popullsisë së planktoneve (popullatat e planktoneve 0,2-5 mm, Daphnia) të rritura në kohën e momentit t.

Modeli logjistik

Viti

Nu

mri

i p

op

ulls

ise

2000 2500 3000 3500

99

96

00

09

99

70

00

99

98

00

09

99

90

00

10

00

00

00

Modelet: Linear (blu) dhe Eksponencial (kuqe) 

Viti 

Numri

i popullsise 

2000

2010

2020

2030

2040

2050

3100000 

3300000 

3500000 

3700000 

105

Norma e rritjes së këtij numri individësh varet sidomos nga numri i individëve femra,

koha e zhvillimit nga veza tek i sapolinduri. Pra në këtë popullatë me sa duket numri i

individëve përcaktohet jo nga sasia e ushqimit në dispozicion kur çelin vezët por kur

vezët formohen, pra disa kohë para se të kalojnë në fazën e çeljes. Ndërmjet kohës së

formimit të vezëve dhe çeljes së tyre, le të themi njësi kohe, mund të kenë lindur të

tjerë individë Daphnia, pra popullata rritet. Hutchinson (1948) propozoi këtë model

për situata të këtij lloji duke përfshirë dhe atë njerëzore :

>

( )

( ) 4

( )

5

( ) ( )

( )

ku dhe K janë konstante positive të përcaktuara si në modelin logjistik standart,

ndërsa tregon njësi kohe vonesë, pra koha që i duhet një veze për të çelur, në

rastin e popullatës njerëzore 9 muaj. Problemit (5.3.5) që shtrohet për zgjidhje i

shtojmë edhe kushtin fillestar, ( ) ( ) ku , - dhe , - është funksion i vazhdueshëm

Konsideratat biologjike, demografike apo inxhinjerike mbi parashikimet për rritjen e

popullatës për një situatë të tillë mbështetur në eksperimente laboratorike gjenden në

shumë artikuj ([15], [30]). Interesi ynë në këtë punim është përqëndruar në studimin

matematikor të problemit me vonesa (5.3.5). Për këtë, le ta transformojmë më parë

ekuacionin tonë në një ekuacion të ri i cili ngelet përsëri diferencial jolinear me

vonesa (delay) D.D.E por më i lehtë për tu studiuar.

Ndërtojmë funksionin e ri

( ) ( )

ku marrim pas derivimit në lidhje me t-në barazimin si vijon

( ) ( )

Nga ekuacioni ynë me vonesa marrim barazimet e mëposhtme :

( ) ( ) 4 ( ( ))

5

( )

, ( ) - 6

( ( ) )

7

( ) ( ( ) )y( ) (5.3.6)

Le të konsiderojmë tani ekuacionin e linearizuar me vonesa të ekuacionit (5.3.6)

( ) ( ) (5.3.7)

Ekuacioni karakteristik për ekuacionin (5.3.7) është . Për më lehtë

ekuacioni karakteristik shkruhet në trajtën e një ekuacioni transhendet, i cili ka zakonisht një numër të pafundëm rrënjësh. Zgjidhjet e tij jepen me ndihmën e

një funksioni të ashtuquajtur “Product -Log” ose “Plog“, i cili është funksioni i

106

diferenciale për shembull, mathematica. Le të rendisim më poshtë disa nga pohimet

më të rëndësishme që do të na ndihmojnë për përcaktimin e situatës në rastin kur

popullata i afrohet kapacitetit mbajtës K.

Aplikojmë tani studimin linear të bërë më sipër për ekuacionin (D.D.E)

jolinear tek modeli logjistik me vonesa (5.3.5) që është një nga modelet më të njohura

për projektimin e popullatës duke marrë këto rezultate.

Rezultate

Në qoftë se,

norma e rritjes është si ajo e modelit

standart logjistik dhe të gjitha zgjidhjet janë jooshilatore .

Në qoftë se,

të gjitha zgjidhjet janë oshilatore.

Kjo analizë matematike siguron kufijtë ekologjistik për madhësinë vonesë , për

shkak të së cilës kemi dhe fenomenin oshilacion, si në figurë.

Figura 3

107

PËRFUNDIME

1. Ky disertacion përbën një kontribut të rëndësishëm për teorinë e oshilacionit si një

drejtim i ri kërkimi në departamentin tonë.

2. Pra, natyrshëm konsiderojmë si një prej synimeve që kërkohet të arrihet me anë të

këtij punimi, paraqitjen e sistemuar të njohurive bazë të teorisë së oshilacionit të

trajtuara në literaturën ekzistuese që disponojmë, duke u kujdesur që të mbajmë të

njëjtën linjë arsyetimi.

3. Në këtë disertacion kemi synuar paraqitjen e informacioneve sa më bashkëkohore,

që gëlojnë në fushën e teorisë së oshilacionit për të cilat ka interpretime të

ndryshme nga autorë të ndryshëm në përshtatje me fushat e tyre të interesit

shkencor.

4. Në pjesën kryesore të këtij disertacioni u fokusuam në ekzistencën e zgjidhjeve

oshilatore në ekuacionet funksionale (klasa të ndryshme) dhe në format diskrete të

tyre pra, në ato zgjidhje që tentojnë në pambarim dhe që kanë një pafundësi

zerosh.

5. Kriteret e marra (përmirësim i kritereve ekzistuese) ndërtohen kryesisht mbi

kushtet që duhet të plotësojnë koefiçientët funksionalë të ekuacioneve funksionale

nën studim. Këta koefiçientë ndikojnë në natyrën oshiluese (luhatëse) ose

jooshiluese të këtyre ekuacioneve.

6. Teoremat të cilat vërtetohen në këtë disertacion (jemi perpjekur që të plotësojnë

kushte të cilat dallojnë nga ato të autorëve të ndryshëm të këtyre dekadave të

fundit) në pergjithësi ngrihen mbi kushte që përmbajnë integrale.

7. Disa nga metodat kryesore të cilat përdoren në ndërtimin dhe më pas vërtetimin e

saktësise së këtyre kritereve oshiluese ose jooshiluese janë: metoda krahasuese e

Shturmit, metoda Rikati, metoda Kamenev (metoda e të mesmes integrale),

metoda Philos etj.

8. Disa nga kriteret ekzistuese të oshilacionit të marra nën studim janë shumë të

limituara në aplikime. Kjo është treguar në disertacion me anë të shembujve të

ndërtuar sipas kritereve të teoremave ekzistuese. Ndaj, mbi to jemi përpjekur të

bëjmë përmirësime, duke marrë kritere të reja oshilacioni (kushte që ekuacioni të

jetë oshilator).

9. Për fat të mirë kjo fushë e rëndësishme kërkimi nuk ka vetëm karakter teorik, por

ka dhe shumë aplikime të rëndësishme, ndaj në kapitullin e fundit trajtojmë edhe

ndërtimin e modeleve konkrete për analizimin e rezultateve të marra.

10. Studimi i problemave që interpretohen matematikisht me ekuacione funksionale

dhe që kërkojnë verifikim të sjelljes oshilatore të zgjidhjeve na nxitën në punim

për krijimin e “paketave me rregulla verifikuese” dhe sigurisht me pasurimin e

tyre në të ardhmen.

108

BIBLIOGRAFIA

[1] Agarwal, R. P., Grace, S. R., Oregon ,D., (2000), Oscillation Theory for

Difference and Functional Differential Equations , Kluwer Academic Publishers.

[2] Agarwal, R. P., Grace, S. R. , O‟Regan ,D., (2002), Oscillation Theory for

Second Order Linear, Half-Linear, Superlinear and Sublinear Dynamic Equations ,

Kluwer Academic Publishers.

[3] Agarwal, R. P., Bohner, M.,Li, W. T.,(2004), Nonoscillation andOscillation

Theory for Functional Differential Equations , Marcel Dekker .

[4] Bahatia, N. B.,(1966),SomeOscillation Theorems for Second Order Nonlinear

Equations, J. Math. Anal. Appl.,Vol.15, 442-446.

[5] Baculikova, Blanka.,Oscillation criteria for second order nonlinear

differential equations,(2006), Archivum Matematicum (Brno) .Vol, 42:141-149.

[6] Beqiri,Xh.,Interval oscillation of nonlinear diferential equations second

order.(2011),The Heritage., Nr.4 :122-128.

[7] Beqiri,Xh.,Koçi.E., Oscillation Criteria for second order nonlinear perturbed

differential Equations,(2011),The Heritage, Nr.6, :83-90.

[8] Beqiri,Xh.,Koçi.E., Interval oscillation criteria for second order nonlinear

differential equations with damping term,(2011), International Journal of Science,

Innovation and New Technology , IJSINT, Nr.2, Vol 3 :85-91.

[9] Beqiri,Xh.,Koçi,E., Oscillation Criteria for second order nonlinear

differential Equations,(2012),British Journal of Science, Vol6(2) :73-80.

[10] Beqiri,Xh.,Koçi,E., Oscillation theorems for second order Differential

Equations and their Applications,(2013), Journal of Mathematics and System Science

.Vol 3: 83-88.

[11] Beqiri.Xh.,Koçi,E., New oscillation and nonoscillation criteria for second

order nonlinear differential equations,(2014), International Journal of Pure and

Applied Mathematics.Nr. 2,Vol 93 : 155-163.

[12] Beqiri,Xh.,Koçi,E., Oscillation theorems for second order Differential

Equations and their Applications.Internacional Conference , Information Systems and

Technology Innovation: their application in Economy.8-9 June 2012,Tiranë,

ALBANIA.

[13] Beqiri,Xh.,Koçi,E.,Oscillation Criteria for second order non linear

differential equations. I.E.C.M.S.A ,1-st Internacional Eurasian Conference on

Mathematical Sciences and Applications .3-7 Shtator 2012, Prishtine, KOSOVA.

[14] Beqiri,Xh.,Koçi,E.,New oscillation and nonoscillation criteria for second

order non linear differential equations.1st International Western Balkans Conference

of Mathematical Sciences.May 30 - June 1, 2013 Elbasan,ALBANIA .

[15] Berezansky, L., Braverman ,E., Oscillation of a Logistic Difference Equation

with several delays,Advances in Difference Equations,(2006),V:ID 82143: 1-12.

109

[16] Bin, Zh., Interval Oscillation Criteria Related to interval Averaging

Technique for Certain Nonlinear Delay Differential Equations,(2008),Int. Journal of

Math Analysis, Vol.2, No .4 , 149 – 157.

[17] Bohner, M. ,Saker, S. H., Oscillation of Damped Second Order Nonlinear

Delay Differential Equations of Emden-Fowler Type ,(2006) ,Advances in

Dynamic Sys. Appl,Vol.1, No. 2, 163-182.

[18] Budinčević ,Mirko.,Oscillation of second order neutral nonlinear differential

equations ,(1997), Novi Sad. J Math. Vol. 27, No. 2: 49-56.

[19] Butler,G,J., Integral averages and the oscillation of second order ordinary

differential equations , (1980) , SIAM J. Math.Anal. No.11, 190-200.

[20] Byrne Charles .,Notes on Sturm-Liouville Differential Equations,(2009),

University of Massachusetts at Lowell,Lowell, MA 01854, USA.

[21] akmak, D., Oscillation for Second Order Nonlinear Differential Equations

with Damping,(2008), Dynamic Sys. Appl,Vol.17, 139-148.

[22] Dhamo,E .,Koçi,E.,Xhaja,B.,Asimi, A.,Defects of fixed –line network :

modeling and prediction using Arima ,Garch models, (2012), International Journal of

Science, Innovation and New Technology , IJSINT, Nr.3, Vol 1 :33-38.

[23] Dhamo,E.,Koçi,E.,Xhaja,B.Shevroja,M., Implemention of some mathematical

models on the Albanian population projection (Prediction until year, 2300),

(2011),B.Sh.N (UT), Nr.12 :15-25.

[24] Dhamo, E.,Xhaja,B ., Koçi, E .,Modele Matematikore mbi Projeksionin e

Popullsisё Shqipёtare (parashikimi deri ne vitin 2300).Konferenca Kombëtare, FIMIF

28 Tetor 2011,Tiranë, ALBANIA.

[25] Elabbasy, E. M.,Elzeiny,Sh. R. , Oscillation Theorems concerning Non-Linear

Differential Equations of the Second Order , (2011) ,Opuscula Mathematica,

Vol.31,No. 3,373-389.

[26] Elmetwally , M. Elabbasy., Taher, S. Hassan ., Samir ,H. Saker.,Oscillation

and Nonoscillation of Nonlinear Neutral Delay Differential Equations with Several

Positive and Negative Coefficients, (2007) , Kyungpook. Math. J. 47 : 1-20.

[27] El-Sayed,M.A.,An oscillation criterion for a forced second order linear

differential equations, (1993) Proc. Am. Math. Soc,Vol.118, 813-817.

[28] Erbe,L.,Hasan,T. S., Peterson, A. , Oscillation of Second Order Neutral

Delay Differential Equations ,(2008), Advances in Dynamic Sys. Appl,Vol. 3, No. 1,

53-71.

[29] Felix,R.Braun-Munzinger., Brian,I.Carlsen.,Oscillation criteria for Sturm-

Liouville operator coefficients in the limit circle case .(2010),Summer School

supported by the National Science Foundation, Grant DMS-0963728.

[30] Getto ,Philipp .,Delay Equations a nd Structured Population models,(2010),

(B.C.A.M).

110

[31] Golda (Nowakowska),W.,Werbowski, J.,Oscillation of linear functional

equations of the second order, (1994), Funkcial.ekvac., 37: 221-227.

[32] Golda (Nowakowska),W.,Werbowski, J.,Oscillation of linear functional

equations of higher order,(1995), Arch.Math., 31: 251-258.

[33] Golda (Nowakowska),W.,Werbowski, J.,The Oscillatorybehavior of linear

recurrence equations,(1995),Fas.Math., 25: 105-111.

[34] Golda (Nowakowska),W.,Werbowski, J.,Oscillatory behavior of solutions of

functional equations, (2001), Nonlinear Analysis., 44: 767-775.

[35] Gyori,I., Ladas ,G.,Oscillation theory of delay differential equations,(1991),

Osford Univ. Press, New York, MR93m: 34109.

[36] Hamedani, G. G.,Oscillation of a Class of Higher Order Forced Functional

Differential Equations,(2005) , Journal of Applied Mathematics, Statistics Informatics

(JAMSI).1. No. 2.

[37] Hartman, P., Non oscillatory linear differential equationsof second

order,(1952), Amer.J.Math, No.74, 389-400.

[38] Kamenev, I, V., Certain specifically nonlinear oscillation theorems.(1971),

Mat.Zametki, No.10, 129-134. In Russian.

[39] Kamenev, I, V., An integral criterion for oscillation of lineardifferential

equations of second order.(1978), Mat.Zametki, No.23, 249-251. In Russian.

[40] Karpuz ,B.,Rath, R.N., Padhy ,L.N., Oscillation and Asymptotic Behaviour of

a Higher Order Neutral Differential Equation with Positive and Negative

Coefficients, (2008), Electronic Journal of Differential Equations, Vol, No. 113 : 1-

15.

[41] Kiguradze, I.T.,On the oscillation of solutions of the equation

0)( signuutadt

ud n

m

m

, (1964),Mat.Sb. 65 :172-187 (Russian).

[42] Kong,Q.,Interval criteria for oscillation of second order linear ordinary

differential equations, (1999), J. Math. Anal. Appl,Vol.229, 258-270.

[43] Koçi,E., Oscillatory behavior of solutions of functional equations . Some

sufficient conditions for their oscillation,(2008),B.Sh.N (UT), Nr.5 :53-65.

[44] Koçi,E., Improvement of some sufficient conditions of oscillation of solutions

to functional equations of second order,(2009), B.Sh.N (UT), Nr.7 :58-68.

[45] Koçi,E., Oscillation of solutions to second order nonlinear neutral delay

differential equations,(2010) ,A,J.N.T.S ,Vol .16, Nr.2(28) :115-128.

[46] Koçi,E.,Beqiri,Xh.,Dhamo,E., On the Use of differential equation with delay

in the mathematical model population Projection,(2011), Albanian Socio Ekonomic

Review, Nr.5(69) :147-154.

111

[47] Koçi,E.,Beqiri,Xh.,Dhamo,E., Oscillation Criteria of Nonlinear Dynamic

Equations with a Single Dely, (2012),International Journal of Science, Innovation and

New Technology , IJSINT, Nr.3, Vol 2 :1-10.

[48] Koçi,E. ,Oscillation of the solutions to second order nonlinear differential

equations ,(2012),AKTET , Nr.3, Vol 5 :315-325.

[49] Koçi,E., Oscillatory behavior of solutions of functional

equations.Internacional Conference on Algjebra and Functional Analysis II.1 Korrik

2008, Elbasan, ALBANIA.

[50] Koçi,E., TheImprovement of some sufficient conditions for the oscillation of

solutions of second orderfunctional equation.Internacional Conference on Algjebra

and Functional Analysis III.15-16 Maj 2009, Elbasan, ALBANIA.

[51] Koçi,E., Oscillation of solutions to second order nonlinear neutral

delaydifferential equations.Internacional Conference on Algjebra and Functional

Analysis IV. 14-15 Maj 2010, Elbasan, ALBANIA.

[52] Koçi,E., Oscillation of solutions to second order nonlinear differential

equations.Takimi i VI vjetor ndërkombëtar i institutit Alb-Shkenca, IASH.1-4 Shtator

2011,Prishtinë,KOSOVA.

[53] Koçi,E., Beqiri,Xh.,Oscillationproblems for first order delay differential

equations.Takimi i VII vjetor ndërkombëtar i institutit Alb-Shkenca, IASH. 29 Gusht-

1 Shtator 2012,Shkup,MAQEDONI.

[54] Koçi,E., Beqiri,Xh.,Oscillation of solutions to second order non linear

differential equations.Konferenca shkencore ,Fakulteti i Shkencave Natyrore ne 100-

vjetorin e pavaresise. 22-23 Nentor 2012, Tiranë, ALBANIA .

[55] Kyrychko,Y.N.,Hogan,S.J.,On the Use of Delay Equations in Engineering,

Applications, (2010) , Journal of Vibration and Control. 16 (7-8):493-960.

[56] Leighton, W., The dedection of the oscillations of solutions of a second order

linear differential equation , (1950) , Duke Math.J., No.17, 57-62.

[57] Li ,W. T.,Interval oscillation of second-order half-linear function differential

equations , (2004), Applied Mathematics and Computation,Vol.155 , 451-468.

[58] Li, W. T. ,Huo, H. F. , Interval Oscillation Criteria for Nonlinear Second

Order Differential Equations ,( 2001), Indian J.pure appl.Math,Vol.32,No.7, 1003-

1014.

[59] Li ,W. T.,Yan, J., Oscillation Criteria for Second Order Superlinear

Differential Equations ,(1997), Indian J.Pure.Appl.Math,Vol.28 ,735-740.

[60] Lomotidze ,A.,Oscillation and nonoscillation criteria for second order linear

differential equations,(1997), Georgian Mathematical Jurnal. Vol.4,No.2:129-138.

[61] Minorsky, N., Oninteraction of non-linear oscillations, (August 1953).

J.Franklin Inst.256(2): 147–165.

112

[62] Minorsky, N., Nonlinear Oscillations,(1962). Von Nostrand co., Inc.,

Princeton.

[63] Ming, Shu Peng .,Agarwal ,R.P.,Oscillation Theorems of Second Order

Nonlinear Neutral Delay Differential Equations Under Impulsive

Perturbations,(2002), Indian J. 33(7): 1017-1029.

[64] Niri ,Khadija ., Stavroulakis, Ioannis. P., On the oscillation of the solutions to

delay and difference equations,(2009),Tatra Mt. Math. Publ. No.43, 173–187.

[65] Philos,Ch,G., Oscillation theorems for linear differential equations of second

order, (1989), Arch.Math.No.53, 482-492.

[66] Qinghua, Feng .,Interval Oscillation Criteria for Second Order Delay

Differential Equations,(2009),World Congress on Engineering , July 1-3 ,. Vol .2,

London, U.K.

[67] Tiryaki ,Aydin.,Oscillation criteria for a certain second order nonlinear

differential equations with deviating arguments,(2009), N. 61:1-11.

[68] Saker,S. H., Pang,P. Y. H.,Agarwal,R. P., Oscillation Theorems for Second

Order Nonlinear Functional Differential Equations with Damping ,(2003), Dynamic

Sys. Appl, Vol. 12, 307-322.

[69] Staikos, V. A.,Basic results on Oscillations for Differential Equations, (1980),

Hiroshima Math. J . 10: 495-516.

[70] Stavroulakis,I.P.,Oscillation criteria for functional differential equations

Electronic Journal of Differential Equations,(2005) ,Conference 12 : 171-180.

[71] Sung Kyu Choi., Nam Jip Koo .,Oscillation theory for delay and neutral

differential equations, (1999), Trends in Mathematics (I.C.M.S.) (2) : 170-176.

[72] Seman ,J., Oscillation of solutions to Second Order linear Differential

Equations , (2004 ), Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2004, No.28 ,

1-9.

[73] Seman ,J., Oscillation Theorems for Second Order Nonlinear Delay

Inequalities(1989), Math. Slovaca,Vol. 39, No. 3, 313-322.

[74] Sugie, J.,Kita, K.,Yamaoka, N., Oscillation constant of second-order non-

linear self- adjoint differential equations , (2002), Ann.Mat. Pura Appl ,Vol.4,

No.181, 309-337.

[75] Syamsuddin Toaha .,Stability Analysis of some population models with time

delay and harvesting, (2006), Universiteti Putra, Malaysia.

[76] Shang ,Nina., Youmin ,Lu & Fuyi ,Xu., Oscillating Criteria on Second Order

Non-linear Differential Equations with distributed Deviating Arguments and Delay

Terms,(2009), Int. Journal of Math . Analysis, Vol. 3, No.9: 431-441.

[77] Shen ,J.H.,Stavroulakis, I.P.,Sharp conditions for oscillation of functional

equations, (2002), Acta Math.Scientia 22B (1): 56-62.

113

[78] Shen ,J.H.,Stavroulakis, I.P.,Sharp conditions for non-oscillation of functional

equations,(2002), Indian J.Pure Appl.Math .33(4): 543-554.

[79] Shoukaku,Y.,Oscillation of solutions of second order neutral

differentialequations with positive and negative coefficients,(2009), Journal of

Applied Analysis Vol.15,No.2,281-298.

[80] Yamaoka,N.,Oscillation and NonoscillationTheorems for Second Order

Nonlinear Differential Equations with p- Laplacian,(2005),Mathematical Science

Vol.38, 17-30 .

[81] Yildiz, M.K ., Öcalan, Ö ., Karpuz, B.,Oscillation of nonlinear neutral delay

differential equations of second-order with positive and negative coefficients,(2009),

Turk J Math 33: 341-350.

[82] Zaki, M. S., On asymptotic behavior of a second order delay differential

equation,(2007), Intern. J of Physical Sciences ,Vol.2 , No. 7, 185-187.

[83] Zhang ,B.G., Choi,S.K.,Oscillation and NonOscillation of a Class of Functional

Equations,(2001), Math.Nachr., 227: 159-169.

[84] Wang, Tong.Li.,Interval oscillation criteria for nonlinear second order

differential equations,(2001), Indian J. pure appl. Math .,32(7) 1 1003-1014.

[85] Wan,J., Oscillation Theorems for Second Order linear Differential Equations

with Damping Term, (1986) , Proc.Amer.Math.Soc. No.98, 276-282.

[86] Wang, X.,Song ,G., Oscillation Criteria for a Second -Order Nonlinear

Damped Differential Equation , (2011), Intern J of ISC ,Vol.7, No. 1, 73-82.

[87] Wintner, A. A criterion of oscillatory stability.(1949), Quart.Appl.Math.,

No.7, 115-117.

[88] Willet,D,W., Onthe oscillatory behavior of the solutions of second order

linear differential equations,(1969) , Ann.Polon.Math, No.21, 175-191.

[89] Wong.J.S.W., An oscillation theorem for second order sublinear differential

equations ,(1990), Proc.Amer.Math.Soc, No.110, 633-637.